Logaritminių išraiškų pavyzdžiai. Logaritmai: pavyzdžiai ir sprendimai

Instrukcijos

Parašykite pateiktą logaritminę išraišką. Jei išraiška naudoja 10 logaritmą, tada jo žymėjimas sutrumpinamas ir atrodo taip: lg b yra dešimtainis logaritmas. Jei logaritmo pagrindas yra skaičius e, tada parašykite išraišką: ln b – natūralusis logaritmas. Suprantama, kad bet kurio rezultatas yra laipsnis, iki kurio turi būti padidintas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Surandant dviejų funkcijų sumą, tereikia jas atskirti po vieną ir sudėti rezultatus: (u+v)" = u"+v";

Surandant dviejų funkcijų sandaugos išvestinę, reikia padauginti pirmosios funkcijos išvestinę iš antrosios ir pridėti antrosios funkcijos išvestinę, padaugintą iš pirmosios funkcijos: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Norint rasti dviejų funkcijų dalinio išvestinę, reikia iš dividendo, padauginto iš daliklio funkcijos, sandaugos atimti daliklio išvestinės sandaugą, padaugintą iš dividendo funkcijos, ir padalyti visa tai daliklio funkcija kvadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jei duota sudėtinga funkcija, tada reikia padauginti išvestinę iš vidinė funkcija o išvestinė iš išorinio. Tegul y=u(v(x)), tada y"(x)=y"(u)*v"(x).

Naudodamiesi aukščiau gautais rezultatais, galite atskirti beveik bet kurią funkciją. Taigi pažvelkime į keletą pavyzdžių:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Taip pat kyla problemų apskaičiuojant išvestinę priemonę taške. Tegu funkcija y=e^(x^2+6x+5) duota, reikia rasti funkcijos reikšmę taške x=1.
1) Raskite funkcijos išvestinę: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę in duotas taškas y"(1)=8*e^0=8

Video tema

Naudingi patarimai

Išmok elementariųjų išvestinių lentelę. Tai žymiai sutaupys laiko.

Šaltiniai:

• konstantos išvestinė

Taigi, koks skirtumas? ir racionalioji lygtis nuo racionalaus? Jei nežinomas kintamasis yra po ženklu kvadratinė šaknis, tada lygtis laikoma neracionalia.

Instrukcijos

Pagrindinis tokių lygčių sprendimo būdas yra abiejų pusių konstravimo metodas lygtysį aikštę. Tačiau. tai natūralu, pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra atsikratyti ženklo. Šis metodas nėra techniškai sudėtingas, tačiau kartais jis gali sukelti problemų. Pavyzdžiui, lygtis yra v(2x-5)=v(4x-7). Padalinus abi puses kvadratu, gaunama 2x-5=4x-7. Išspręsti tokią lygtį nėra sunku; x=1. Bet numeris 1 nebus suteiktas lygtys. Kodėl? Vietoj x reikšmės lygtyje pakeiskite vieną, o dešinėje ir kairėje pusėje bus išraiškos, kurios neturi prasmės. Ši vertė negalioja kvadratinei šakniai. Todėl 1 yra pašalinė šaknis, todėl duota lygtis neturi šaknų.

Taigi, neracionali lygtis išspręsta naudojant abiejų jos pusių kvadratūros metodą. Ir išsprendus lygtį, reikia nupjauti pašalines šaknis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastas šaknis į pradinę lygtį.

Apsvarstykite kitą.
2х+vх-3=0
Žinoma, šią lygtį galima išspręsti naudojant tą pačią lygtį kaip ir ankstesnė. Perkelti junginius lygtys, kurie neturi kvadratinės šaknies, į dešinę pusę ir tada naudokite kvadrato metodą. išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir šaknis. Bet ir kitas, elegantiškesnis. Įveskite naują kintamąjį; vх=y. Atitinkamai gausite 2y2+y-3=0 formos lygtį. Tai yra, įprasta kvadratinė lygtis. Raskite jo šaknis; y1=1 ir y2=-3/2. Tada išspręskite du lygtys vх=1; vх=-3/2. Antroji lygtis neturi šaknų iš pirmosios, kad x=1. Nepamirškite patikrinti šaknų.

Išspręsti tapatybes yra gana paprasta. Tam reikia atlikti identiškas transformacijas, kol bus pasiektas užsibrėžtas tikslas. Taigi, pasitelkus paprasčiausią aritmetines operacijas užduotis bus išspręsta.

Jums reikės

• - popierius;
• - rašiklis.

Instrukcijos

Paprasčiausias iš tokių transformacijų yra algebrinės sutrumpintos daugybos (pavyzdžiui, sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumas, suma (skirtumas), sumos kubas (skirtumas)). Be to, yra daug ir trigonometrines formules, kurios iš esmės yra tos pačios tapatybės.

Iš tiesų, dviejų dėmenų sumos kvadratas lygus kvadratui pirmasis plius dvigubas pirmojo sandauga su antruoju ir plius antrojo kvadratas, tai yra (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Supaprastinkite abu

Bendrieji sprendimo principai

Kintamojo pakeitimo metodas

Antrosios rūšies integralų sprendimas

Integracijos ribų pakeitimas

Konvertuojant išraiškas logaritmais, išvardintos lygybės naudojamos tiek iš dešinės į kairę, tiek iš kairės į dešinę.

Verta paminėti, kad nebūtina įsiminti savybių pasekmių: atlikdami transformacijas galite apsieiti su pagrindinėmis logaritmų savybėmis ir kitais faktais (pavyzdžiui, tuo, kad b≥0), iš kurių atsiranda atitinkamos pasekmės. “ Šalutinis poveikis„Toks požiūris pasireiškia tik tuo, kad sprendimas bus šiek tiek ilgesnis. Pavyzdžiui, norint apsieiti be pasekmės, kuri išreiškiama formule , ir pradedant tik nuo pagrindinių logaritmų savybių, turėsite atlikti tokios formos transformacijų grandinę: .

Tą patį galima pasakyti apie paskutinę aukščiau esančio sąrašo savybę, į kurią atsakoma formule , nes tai išplaukia ir iš pagrindinių logaritmų savybių. Svarbiausia suprasti, kad teigiamo skaičiaus laipsnis su logaritmu eksponente visada gali pakeisti laipsnio bazę ir skaičių po logaritmo ženklu. Teisybės dėlei pastebime, kad pavyzdžių, nurodančių tokio pobūdžio transformacijų įgyvendinimą, praktikoje pasitaiko retai. Toliau tekste pateiksime keletą pavyzdžių.

Skaitinių išraiškų konvertavimas logaritmais

Prisiminėme logaritmų savybes, dabar laikas išmokti jas pritaikyti praktiškai transformuojant išraiškas. Natūralu pradėti konvertuoti skaitines išraiškas, o ne išraiškas su kintamaisiais, nes taip patogiau ir lengviau išmokti pagrindus. Tai mes padarysime ir pradėsime nuo labai paprasti pavyzdžiai, norėdami sužinoti, kaip pasirinkti norimą logaritmo savybę, tačiau pavyzdžius palaipsniui komplikuosime iki to momento, kai gausime galutinis rezultatas turėsite taikyti keletą savybių iš eilės.

Norimos logaritmų savybės pasirinkimas

Yra daugybė logaritmų savybių, ir aišku, kad reikia mokėti iš jų pasirinkti tinkamą, kuri šiuo konkrečiu atveju lems reikiamą rezultatą. Paprastai tai padaryti nesunku lyginant konvertuoto logaritmo ar išraiškos tipą su logaritmų savybes išreiškiančių formulių kairiųjų ir dešiniųjų dalių tipais. Jei paliktas arba dešinėje pusėje viena iš formulių sutampa su duotu logaritmu ar išraiška, tada greičiausiai būtent šią savybę reikėtų naudoti transformuojant. Toliau pateikti pavyzdžiai tai aiškiai parodyta.

Pradėkime nuo išraiškų transformavimo pavyzdžių, naudojant logaritmo apibrėžimą, kuris atitinka formulę a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Pavyzdys.

Jei įmanoma, apskaičiuokite: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Sprendimas.

Pavyzdyje po raide a) aiškiai matoma struktūra a log a b, kur a=5, b=4. Šie skaičiai atitinka sąlygas a>0, a≠1, b>0, todėl galite saugiai naudoti lygybę a log a b =b. Turime 5 log 5 4=4 .

b) Čia a=10, b=1+2·π, tenkinamos sąlygos a>0, a≠1, b>0. Šiuo atveju įvyksta lygybė 10 log(1+2·π) =1+2·π.

c) Šiame pavyzdyje mes kalbame apie a log a b formos laipsnį, kur ir b=ln15. Taigi .

Nepaisant to, kad ji priklauso tam pačiam tipui a log a b (čia a=2, b=−7), išraiška po raide g) negali būti konvertuojama naudojant formulę a log a b =b. Priežastis ta, kad jis beprasmis, nes jame yra neigiamas skaičius po logaritmo ženklu. Be to, skaičius b=−7 netenkina sąlygos b>0, todėl neįmanoma pasinaudoti formule a log a b =b, nes tam reikia įvykdyti sąlygas a>0, a≠1, b> 0. Taigi, mes negalime kalbėti apie 2 log 2 (−7) reikšmės apskaičiavimą. Tokiu atveju parašyti 2 log 2 (−7) =−7 būtų klaida.

Panašiai ir pavyzdyje po raide e) neįmanoma pateikti formos sprendimo , nes pradinė išraiška neturi prasmės.

Atsakymas:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) posakiai neturi prasmės.

Dažnai naudinga transformacija, kai teigiamas skaičius vaizduojamas kaip kokio nors teigiamo ir nevienetinio skaičiaus laipsnis su logaritmu eksponente. Jis pagrįstas tuo pačiu logaritmo apibrėžimu a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, tačiau formulė taikoma iš dešinės į kairę, tai yra forma b=a log a b . Pavyzdžiui, 3=e ln3 arba 5=5 log 5 5 .

Pereikime prie logaritmų savybių panaudojimo išraiškoms transformuoti.

Pavyzdys.

Raskite išraiškos reikšmę: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Sprendimas.

Pavyzdžiuose po raidėmis a), b) ir c) pateiktos išraiškos log −2 1, log 1 1, log 0 1, kurios neturi prasmės, nes logaritmo bazėje neturi būti neigiamo skaičiaus, nulis arba vienas, nes mes apibrėžėme logaritmą tik bazei, kuri yra teigiama ir skiriasi nuo vienybės. Todėl a) - c) pavyzdžiuose negali būti nė kalbos apie posakio prasmės radimą.

Visuose kituose uždaviniuose, aišku, logaritmų bazėse yra atitinkamai teigiami ir nevienetiniai skaičiai 7, e, 10, 3,75 ir 5·π 7, o po logaritmų ženklais visur yra vienetai. Ir žinome vienybės logaritmo savybę: log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1. Taigi b) – e) išraiškų reikšmės yra lygios nuliui.

Atsakymas:

a), b), c) išraiškos neturi prasmės, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Pavyzdys.

Apskaičiuokite: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 -2 (5 π 3 -2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Sprendimas.

Aišku, kad turime naudoti pagrindo logaritmo savybę, kuri atitinka formulę log a a=1, kai a>0, a≠1. Iš tiesų, užduotyse po visomis raidėmis skaičius po logaritmo ženklu sutampa su jo pagrindu. Taigi, iš karto norėčiau pasakyti, kad kiekvienos pateiktos išraiškos vertė yra 1. Tačiau nereikėtų skubėti daryti išvadų: užduotyse po raidėmis a) - d) posakių reikšmės tikrai lygios vienetui, o e) ir f) užduotyse originalios išraiškos neturi prasmės, todėl Negalima sakyti, kad šių išraiškų reikšmės yra lygios 1.

Atsakymas:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) posakiai neturi prasmės.

Pavyzdys.

Raskite reikšmę: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Sprendimas.

Akivaizdu, kad po logaritmų ženklais yra tam tikros bazės galios. Remdamiesi tuo suprantame, kad čia mums reikės pagrindo laipsnio savybės: log a a p =p, kur a>0, a≠1 ir p yra bet koks realus skaičius. Atsižvelgdami į tai, gauname tokius rezultatus: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . Ar galima panašią lygybę pavyzdžiui užrašyti po formos log −10 (−10) 6 =6 raide d)? Ne, negalite, nes posakis log −10 (−10) 6 neturi prasmės.

Atsakymas:

a) log 3 3 11 = 11, b) , V) , d) posakis neturi prasmės.

Pavyzdys.

Pateikite išraišką kaip logaritmų sumą arba skirtumą, naudodami tą pačią bazę: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Sprendimas.

a) Po logaritmo ženklu yra sandauga, ir mes žinome sandaugos logaritmo savybę log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Mūsų atveju skaičius logaritmo bazėje ir skaičiai sandaugoje yra teigiami, tai yra, atitinka pasirinktos savybės sąlygas, todėl galime drąsiai tai taikyti: .

b) Čia naudojame koeficiento logaritmo savybę, kur a>0, a≠1, x>0, y>0. Mūsų atveju logaritmo pagrindas yra teigiamas skaičius e, skaitiklis ir vardiklis π yra teigiami, vadinasi, atitinka savybės sąlygas, todėl turime teisę naudoti pasirinktą formulę: .

c) Pirma, atkreipkite dėmesį, kad išraiška log((−5)·(−12)) yra prasminga. Tačiau tuo pat metu neturime teisės taikyti sandaugos logaritmo formulės log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, nes skaičiai –5 ir –12 – neigiami ir neatitinka sąlygų x>0, y>0. Tai yra, jūs negalite atlikti tokios transformacijos: log((-5)·(-12))=log(-5)+log(-12). Taigi ką turėtume daryti? Tokiais atvejais norint išvengti pradinės išraiškos, reikia iš anksto pakeisti neigiami skaičiai. Apie panašių atvejų Viename iš puslapių išsamiai aptarsime reiškinių transformacijas su neigiamais skaičiais po logaritmo ženklu, tačiau kol kas pateiksime šio pavyzdžio sprendimą, kuris yra aiškus iš anksto ir be paaiškinimo: log((-5)·(-12))=log(5·12)=log5+lg12.

Atsakymas:

A) , b) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Pavyzdys.

Supaprastinkite išraišką: a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Sprendimas.

Čia mums padės visos tos pačios sandaugos logaritmo ir koeficiento logaritmo savybės, kurias naudojome ankstesniuose pavyzdžiuose, tik dabar jas taikysime iš dešinės į kairę. Tai yra, logaritmų sumą paverčiame sandaugos logaritmu, o logaritmų skirtumą – koeficiento logaritmu. Turime
A) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5 = log 3 (0,25 16 0,5) = log 3 2.
b) .

Atsakymas:

A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Pavyzdys.

Atsikratykite laipsnio po logaritmo ženklu: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Sprendimas.

Nesunku suprasti, kad turime reikalą su log a b p formos išraiškomis. Atitinkama logaritmo savybė turi formą log a b p =p·log a b, kur a>0, a≠1, b>0, p yra bet koks realusis skaičius. Tai yra, jei tenkinamos sąlygos a>0, a≠1, b>0, iš laipsnio log a b p logaritmo galime pereiti prie sandaugos p·log a b. Atlikime šią transformaciją pateiktomis išraiškomis.

a) Šiuo atveju a=0,7, b=5 ir p=11. Taigi log 0,7 5 11 =11 · log 0,7 5.

b) Čia tenkinamos sąlygos a>0, a≠1, b>0. Štai kodėl

c) Išraiška log 3 (−5) 6 turi tokią pačią struktūrą log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Tačiau b sąlyga b>0 netenkinama, todėl neįmanoma taikyti formulės log a b p =p·log a b . Taigi, jūs negalite susidoroti su užduotimi? Tai įmanoma, tačiau reikalinga išankstinė išraiškos transformacija, kurią mes išsamiai aptarsime toliau, pastraipoje po antrašte. Sprendimas bus toks: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Atsakymas:

a) log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5.

Gana dažnai, atliekant transformacijas, laipsnio logaritmo formulė turi būti taikoma iš dešinės į kairę forma p·log a b=log a b p (turi būti tenkinamos tos pačios sąlygos a, b ir p). Pavyzdžiui, 3·ln5=ln5 3 ir log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Pavyzdys.

a) Apskaičiuokite log 2 5 reikšmę, jei žinoma, kad log2≈0,3010 ir log5≈0,6990. b) Išreikškite trupmeną logaritmu iki 3 bazės.

Sprendimas.

a) Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė leidžia mums pateikti šį logaritmą kaip dešimtainių logaritmų santykį, kurių reikšmės mums žinomos: . Belieka tik atlikti skaičiavimus, mes turime .

b) Čia pakanka naudoti perėjimo prie naujos bazės formulę ir taikyti ją iš dešinės į kairę, tai yra formoje . Mes gauname .

Atsakymas:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Šiame etape mes gana kruopščiai apsvarstėme daugumos transformaciją paprasti posakiai naudojant pagrindines logaritmų savybes ir logaritmo apibrėžimą. Šiuose pavyzdžiuose turėjome taikyti vieną savybę ir nieko daugiau. Dabar su švari sąžinė galite pereiti prie pavyzdžių, kurių transformacijai reikia naudoti keletą logaritmų savybių ir kt papildomos transformacijos. Su jais kalbėsime kitoje pastraipoje. Tačiau prieš tai trumpai pažvelkime į pasekmių taikymo pavyzdžius iš pagrindinių logaritmų savybių.

Pavyzdys.

a) Atsikratykite šaknies po logaritmo ženklu. b) Paverskite trupmeną 5 logaritmu. c) Išsilaisvinkite iš galių po logaritmo ženklu ir jo pagrindu. d) Apskaičiuokite išraiškos reikšmę . e) Pakeiskite išraišką laipsniu su 3 baze.

Sprendimas.

a) Jei priminsime išvadą iš laipsnio logaritmo savybės , tuomet galite iš karto duoti atsakymą: .

b) Čia naudojame formulę iš dešinės į kairę, turime .

c) Šiuo atveju formulė veda į rezultatą . Mes gauname .

d) Ir čia pakanka pritaikyti išvadą, kurią atitinka formulė . Taigi .

e) Logaritmo savybė leidžia pasiekti norimą rezultatą: .

Atsakymas:

A) . b) . V) . G) . d) .

Kelių savybių nuoseklus taikymas

Tikros užduotys, susijusios su išraiškų transformavimu naudojant logaritmų savybes, paprastai yra sudėtingesnės nei tos, kurias nagrinėjome ankstesnėje pastraipoje. Juose, kaip taisyklė, rezultatas gaunamas ne vienu žingsniu, o sprendimas jau susideda iš nuoseklaus vienos savybės pritaikymo po kitos kartu su papildomomis identiškomis transformacijomis, tokiomis kaip skliaustų atidarymas, liejimas. panašius terminus, redukcinės frakcijos ir kt. Taigi, eikime arčiau tokių pavyzdžių. Čia nėra nieko sudėtingo, svarbiausia elgtis atsargiai ir nuosekliai, laikantis veiksmų tvarkos.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite išraiškos reikšmę (log 3 15–log 3 5) 7 log 7 5.

Sprendimas.

Skirtumas tarp skliausteliuose esančių logaritmų, atsižvelgiant į koeficiento logaritmo savybę, gali būti pakeistas logaritmu log 3 (15:5), o tada apskaičiuoti jo reikšmę log 3 (15:5)=log 3 3=1. O išraiškos 7 log 7 5 reikšmė pagal logaritmo apibrėžimą yra lygi 5. Pakeitę šiuos rezultatus į pradinę išraišką, gauname (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Čia yra sprendimas be paaiškinimo:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5 =
=log 3 3·5=1·5=5 .

Atsakymas:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Pavyzdys.

Kokia yra skaitinės išraiškos log 3 log 2 2 3 −1 reikšmė?

Sprendimas.

Pirmiausia paverčiame logaritmą po logaritmo ženklu, naudodami laipsnio logaritmo formulę: log 2 2 3 =3. Taigi log 3 log 2 2 3 =log 3 3, o tada log 3 3 = 1. Taigi log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Atsakymas:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Pavyzdys.

Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas.

Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė leidžia logaritmų ir vienos bazės santykį pavaizduoti kaip log 3 5. Tokiu atveju pradinė išraiška bus formos . Pagal logaritmo apibrėžimą 3 log 3 5 =5, tai yra , o gautos išraiškos reikšmė pagal tą patį logaritmo apibrėžimą yra lygi dviem.

Čia trumpa versija sprendimai, kurie paprastai pateikiami: .

Atsakymas:

.

Norėdami sklandžiai pereiti prie informacijos kitoje pastraipoje, pažvelkime į išraiškas 5 2+log 5 3 ir log0.01. Jų struktūra neatitinka jokių logaritmų savybių. Taigi, kas atsitiks, jų negalima konvertuoti naudojant logaritmų savybes? Tai įmanoma, jei atliksite išankstines transformacijas, kurios paruošia šias išraiškas logaritmų savybių taikymui. Taigi 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, ir log0.01=log10 −2 =−2. Toliau išsamiai apžvelgsime, kaip atliekamas toks išraiškos paruošimas.

Išraiškų paruošimas naudoti logaritmų savybes

Konvertuojamos išraiškos logaritmai labai dažnai skiriasi žymėjimo struktūra nuo logaritmų savybes atitinkančių formulių kairiosios ir dešiniosios dalių. Tačiau ne rečiau šių išraiškų transformacija apima logaritmų savybių naudojimą: norint juos naudoti, reikia tik preliminarus pasiruošimas. Ir šis pasiruošimas susideda iš tam tikrų tapatybės transformacijos, pateikdami logaritmus į formą, patogią ypatybėms taikyti.

Teisybės dėlei pažymime, kad beveik bet kokia išraiškų transformacija gali veikti kaip preliminari transformacija, nuo banalaus panašių terminų sumažinimo iki trigonometrinių formulių naudojimo. Tai suprantama, nes konvertuojamose išraiškose gali būti bet kokių matematinių objektų: skliaustų, modulių, trupmenų, šaknų, laipsnių ir kt. Taigi, jūs turite būti pasirengę atlikti bet kokią būtiną transformaciją, kad galėtumėte toliau pasinaudoti logaritmų savybėmis.

Iš karto pasakykime, kad šiuo metu mes nekeliame sau užduoties klasifikuoti ir analizuoti visas įmanomas išankstines transformacijas, kurios leistų vėliau pritaikyti logaritmų savybes arba logaritmo apibrėžimą. Čia mes sutelksime dėmesį tik į keturis iš jų, kurie yra tipiškiausi ir dažniausiai sutinkami praktikoje.

O dabar apie kiekvieną iš jų išsamiai, po kurio mūsų temos rėmuose belieka suprasti išraiškų su kintamaisiais transformaciją logaritmų ženklais.

Galių nustatymas po logaritmo ženklu ir jo pagrindu

Iš karto pradėkime nuo pavyzdžio. Paimkime logaritmą. Akivaizdu, kad tokia jo struktūra nėra palanki logaritmų savybių naudojimui. Ar įmanoma kaip nors konvertuoti ši išraiška supaprastinti, o dar geriau – apskaičiuoti jo vertę? Norėdami atsakyti į šį klausimą, atidžiau pažvelkime į skaičius 81 ir 1/9 mūsų pavyzdžio kontekste. Čia nesunku pastebėti, kad šie skaičiai gali būti pavaizduoti kaip 3 laipsniai, iš tikrųjų, 81 = 3 4 ir 1/9 = 3 −2. Tokiu atveju formoje pateikiamas pradinis logaritmas ir atsiranda galimybė pritaikyti formulę . Taigi, .

Analizuojant analizuojamą pavyzdį kyla tokia mintis: jei įmanoma, galite pabandyti išskirti laipsnį po logaritmo ženklu ir jo bazėje, kad pritaikytumėte laipsnio logaritmo savybę ar jo pasekmes. Belieka tik išsiaiškinti, kaip atskirti šiuos laipsnius. Pateiksime keletą rekomendacijų šiuo klausimu.

Kartais visiškai akivaizdu, kad skaičius po logaritmo ženklu ir (arba) jo bazėje reiškia tam tikrą sveikojo skaičiaus galią, kaip ir aukščiau aptartame pavyzdyje. Beveik nuolat tenka susidurti su gerai žinomomis dviejų galiomis: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512 = 2 9, 1024 = 2 10. Tą patį galima pasakyti ir apie trijų galias: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Apskritai nepakenks, jei prieš akis bus laipsnių lentelė natūraliuosius skaičius per tuziną. Taip pat nesunku dirbti su dešimties, šimto, tūkstančio ir kt.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite reikšmę arba supaprastinkite išraišką: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Sprendimas.

a) Akivaizdu, kad 216=6 3, taigi log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Natūraliųjų skaičių laipsnių lentelė leidžia vaizduoti skaičius 343 ir 1/243 atitinkamai kaip laipsnius 7 3 ir 3 −4. Todėl galima tokia duoto logaritmo transformacija:

c) Kadangi 0,000001 = 10 -6 ir 0,001 = 10 -3, tada log 0,000001 0,001 = log 10 −6 10 −3 = (−3)/(−6) = 1/2.

Atsakymas:

a) log 6 216 = 3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

Daugiau sunkių atvejų norint atskirti skaičių galias, reikia pasinaudoti .

Pavyzdys.

Konvertuokite išraišką į daugiau paprastas vaizdas log 3 648 log 2 3 .

Sprendimas.

Pažiūrėkime, į ką išskaidomas skaičius 648 pagrindiniai veiksniai:

Tai yra, 648 = 2 3 · 3 4. Taigi, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Dabar paverčiame sandaugos logaritmą į logaritmų sumą, po to taikome galios logaritmo savybes:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Dėl formulę atitinkančios galios logaritmo savybės , sandauga log32·log23 yra sandauga ir, kaip žinoma, lygi vienetui. Atsižvelgdami į tai, gauname 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Atsakymas:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Gana dažnai posakiai po logaritmo ženklu ir jo bazėje reiškia kai kurių skaičių šaknų ir (arba) laipsnių sandaugas arba santykius, pavyzdžiui, , . Tokios išraiškos gali būti išreikštos galiomis. Norėdami tai padaryti, pereinama nuo šaknų prie galių ir yra naudojami. Šios transformacijos leidžia išskirti laipsnius po logaritmo ženklu ir jo bazėje, o tada taikyti logaritmų savybes.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite: a) , b) .

Sprendimas.

a) Išraiška logaritmo pagrinde yra laipsnių su vienodomis bazėmis sandauga, pagal atitinkama nuosavybė turime laipsnius 5 2 · 5 −0,5 · 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Dabar transformuokime trupmeną po logaritmo ženklu: pereisime nuo šaknies prie laipsnio, po kurio naudosime galių santykio savybę su tomis pačiomis bazėmis: .

Belieka gautus rezultatus pakeisti pradine išraiška, naudoti formulę ir užbaigti transformaciją:

b) Kadangi 729 = 3 6 ir 1/9 = 3 −2, pradinė išraiška gali būti perrašyta kaip .

Toliau taikome laipsnio šaknies savybę, pereiname nuo šaknies prie laipsnio ir naudojame laipsnių santykio savybę logaritmo bazei konvertuoti į laipsnį: .

Atsižvelgiant į paskutinis rezultatas, turime .

Atsakymas:

A) , b) .

Aišku, kad į bendras atvejis norint gauti galias po logaritmo ženklu ir jo bazėje, gali prireikti įvairių transformacijų įvairios išraiškos. Pateikime porą pavyzdžių.

Pavyzdys.

Ką reiškia posakis: a) , b) .

Sprendimas.

Taip pat atkreipiame dėmesį, kad pateikta išraiška turi formą log A B p , kur A=2, B=x+1 ir p=4. Tokio tipo skaitines išraiškas transformavome pagal laipsnio log a b p =p·log a b logaritmo savybę, todėl su duota išraiška noriu padaryti tą patį ir iš log 2 (x+1) 4 pereiti į 4·log 2 (x+1) . Dabar apskaičiuokime pradinės išraiškos reikšmę ir išraišką, gautą po transformacijos, pavyzdžiui, kai x=−2. Turime log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , ir 4 log 2 (−2+1) = 4 log 2 (−1)- beprasmis posakis. Tai kelia logišką klausimą: „Ką mes padarėme ne taip?

O priežastis tokia: atlikome transformaciją log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , remiantis formule log a b p =p·log a b , bet šią formulę turime teisę kreiptis tik tada, kai tenkinamos sąlygos: a>0, a≠1, b>0, p – bet koks realusis skaičius. Tai yra, mūsų atlikta transformacija įvyksta, jei x+1>0, o tai yra tas pats, kas x>−1 (A ir p sąlygos tenkinamos). Tačiau mūsų atveju pradinės išraiškos kintamojo x ODZ susideda ne tik iš intervalo x>−1, bet ir iš intervalo x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Reikia atsižvelgti į DL

Toliau analizuosime pasirinktos išraiškos transformaciją log 2 (x+1) 4, o dabar pažiūrėkime, kas atsitiks su ODZ pereinant prie išraiškos 4 · log 2 (x+1) . Ankstesnėje pastraipoje radome pradinės išraiškos ODZ – tai rinkinys (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Dabar suraskime sritį priimtinos vertės kintamasis x išraiškai 4·log 2 (x+1) . Jis nustatomas pagal sąlygą x+1>0, kuri atitinka aibę (−1, +∞). Akivaizdu, kad pereinant nuo log 2 (x+1) 4 į 4·log 2 (x+1), leistinų reikšmių diapazonas susiaurėja. Ir sutarėme vengti transformacijų, kurios veda į DL susiaurėjimą, nes tai gali sukelti įvairių neigiamų pasekmių.

Čia verta paminėti, kad naudinga kontroliuoti OA kiekviename transformacijos etape ir užkirsti kelią jo susiaurėjimui. Ir jei staiga kažkuriame pertvarkos etape įvyko DL susiaurėjimas, tuomet verta labai atidžiai pasižiūrėti, ar ši pertvarka yra leistina ir ar turėjome teisę ją vykdyti.

Teisybės dėlei sakykime, kad praktikoje dažniausiai tenka dirbti su išraiškomis, kuriose kintamųjų reikšmė yra tokia, kad, atlikdami transformacijas, logaritmų savybes be apribojimų galėtume naudoti mums jau žinoma forma, tiek iš kairės į dešinę ir iš dešinės į kairę. Greitai prie to priprantate ir transformacijas pradedate vykdyti mechaniškai, negalvodami, ar buvo įmanoma jas atlikti. Ir tokiais momentais, kaip pasisektų, praslysta sudėtingesni pavyzdžiai, kai neatsargus logaritmų savybių taikymas sukelia klaidų. Taigi jūs turite visada būti budrūs ir įsitikinti, kad ODZ nesusiaurėja.

Nepakenktų atskirai pabrėžti pagrindines transformacijas, pagrįstas logaritmų savybėmis, kurios turi būti atliekamos labai atsargiai, todėl gali susiaurėti OD ir dėl to atsirasti klaidų:

Kai kurios išraiškų transformacijos, pagrįstos logaritmų savybėmis, gali sukelti ir priešingą – ODZ išplėtimą. Pavyzdžiui, perėjimas iš 4·log 2 (x+1) į log 2 (x+1) 4 išplečia ODZ nuo aibės (−1, +∞) į (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Tokios transformacijos vyksta, jei liekame pirminės išraiškos rėmuose. Taigi ką tik minėta transformacija 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 vyksta kintamojo x ODZ pradinei išraiškai 4·log 2 (x+1), tai yra x+1> 0, kuris yra toks pat kaip (−1, +∞).

Dabar, kai aptarėme niuansus, į kuriuos reikia atkreipti dėmesį transformuojant išraiškas su kintamaisiais naudojant logaritmų savybes, belieka išsiaiškinti, kaip teisingai atlikti šias transformacijas.

X+2>0 . Ar tai veikia mūsų atveju? Norėdami atsakyti į šį klausimą, pažvelkime į kintamojo x ODZ. Jį lemia nelygybių sistema , kuri atitinka sąlygą x+2>0 (jei reikia, žr. straipsnį sprendžiant nelygybių sistemas). Taigi galime drąsiai taikyti galios logaritmo savybę.

Turime
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)–log(x+2)–5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Galite elgtis kitaip, nes ODZ leidžia tai padaryti, pavyzdžiui, taip:

Atsakymas:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Bet ką daryti, kai ODZ nesilaikoma logaritmų savybių lydinčių sąlygų? Tai suprasime pavyzdžiais.

Reikės supaprastinti reiškinį log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Šios išraiškos transformacija, skirtingai nei ankstesnio pavyzdžio išraiška, neleidžia laisvai naudotis galios logaritmo savybe. Kodėl? Kintamojo x ODZ šiuo atveju yra dviejų intervalų x>−2 ir x sąjunga<−2 . При x>−2 galime nesunkiai pritaikyti laipsnio logaritmo savybę ir veikti kaip aukščiau pateiktame pavyzdyje: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 · log(x+2)−2 · log(x+2)=2 · log(x+2). Tačiau ODZ yra dar vienas intervalas x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 o toliau dėl laipsnio k savybių lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Gautą išraišką galima transformuoti naudojant laipsnio logaritmo savybę, nes |x+2|>0 bet kuriai kintamojo reikšmei. Turime log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Dabar galite išsivaduoti iš modulio, nes jis atliko savo darbą. Kadangi atliekame transformaciją ties x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Pažvelkime į dar vieną pavyzdį, kad darbas su moduliais taptų pažįstamas. Įsivaizduokime iš posakio eikite į tiesinių dvinarių x−1, x−2 ir x−3 logaritmų sumą ir skirtumą. Pirmiausia randame ODZ:

Intervale (3, +∞) reiškinių x−1, x−2 ir x−3 reikšmės yra teigiamos, todėl galime lengvai pritaikyti sumos ir skirtumo logaritmo savybes:

O intervale (1, 2) išraiškos x−1 reikšmės yra teigiamos, o reiškinių x−2 ir x−3 reikšmės yra neigiamos. Todėl nagrinėjamame intervale pavaizduojame x−2 ir x−3, naudodami modulį kaip −|x−2|

ir −|x−3|

Turime

atitinkamai. Tuo pačiu metu

Dabar galime pritaikyti sandaugos logaritmo ir koeficiento savybes, nes nagrinėjamame intervale (1, 2) reikšmių x−1 , |x−2|

• ir |x−3|
• - teigiamas.
• Gauti rezultatai gali būti derinami:

Apskritai, panašus samprotavimas leidžia, remiantis sandaugos, santykio ir laipsnio logaritmo formulėmis, gauti tris praktiškai naudingus rezultatus, kuriuos gana patogu naudoti: Dviejų savavališkų log a (X·Y) reiškinių X ir Y sandaugos logaritmą galima pakeisti logaritmų suma loga |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 . Konkretus logaritmas log a (X:Y) gali būti pakeistas logaritmų skirtumu log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X ir Y yra savavališkos išraiškos.

Pavyzdys.

Nuo kokios nors išraiškos B logaritmo iki lyginės laipsnio p formos log a B p galime pereiti prie išraiškos p·log a |B| , kur a>0, a≠1, p yra lyginis skaičius, o B yra savavališka išraiška. .

Sprendimas.

Panašūs rezultatai pateikiami, pavyzdžiui, eksponentinio ir sprendimo instrukcijose

logaritmines lygtis

matematikos uždavinių rinkinyje, skirtame stojantiems į universitetus, redagavo M. I. Skanavi.

Supaprastinkite išraišką

Būtų gerai pritaikyti galios, sumos ir skirtumo logaritmo savybes. Bet ar galime tai padaryti čia? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime žinoti DZ.

Apibrėžkime tai:

Visiškai akivaizdu, kad reiškiniai x+4, x−2 ir (x+4) 13 kintamojo x leistinų reikšmių diapazone gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes. Todėl turėsime veikti per modulius.

Modulio ypatybės leidžia perrašyti kaip , so Be to, niekas netrukdo naudoti laipsnio logaritmo savybę ir tada pateikti panašius terminus: Kita transformacijų seka lemia tą patį rezultatą: ir kadangi ODZ išraiška x−2 gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes, tada dedant lyginį eksponentą 14.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų neišsispręsite nei vienos rimtos problemos. logaritminis uždavinys. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir žurnalas a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. žurnalas a x+logas a y=log a (x · y);
2. žurnalas a x− žurnalas a y=log a (x : y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis taškasČia - identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis remiasi šiuo faktu bandymai. O kaip su valdikliais? panašias išraiškas Viso rimtumo (kartais praktiškai be pakeitimų) siūlomi vieningo valstybinio egzamino metu.

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Tai lengva pastebėti paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalingas paaiškinimas. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas ir buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Tegu pateikiamas logaritmo žurnalas a x. Tada už bet kokį skaičių c toks kad c> 0 ir c≠ 1, lygybė yra teisinga:

[Paveikslo antraštė]

Visų pirma, jei įdėtume c = x, gauname:

[Paveikslo antraštė]

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai sutinkamos įprastose skaitinės išraiškos. Įvertinti, kaip jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainis logaritmas, persikėlus į naują bazę:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa argumentu stovinčio laipsnio rodikliu. Skaičius n gali būti visiškai bet kas, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Štai kaip jis vadinamas: pagrindinis logaritminė tapatybė.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei numeris b pakelti iki tokios galios, kad skaičius bšiai galiai suteikia skaičių a? Teisingai: jūs gaunate tą patį numerį a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo taisykles tuo pačiu pagrindu, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemose ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. žurnalas a a= 1 yra logaritminis vienetas. Prisiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo šio pagrindo yra lygus vienetui.
2. žurnalas a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet kas, bet jei argumente yra vienas – logaritmas lygus nuliui! Nes a 0 = 1 yra tiesioginė pasekmė iš apibrėžimo.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b *a c = a b+c). Tai matematinis dėsnis buvo išvestas Archimedo, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą paprastu sudėjimu. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.

Apibrėžimas matematikoje

Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra bet kurio logaritmas neneigiamas skaičius(ty bet koks teigiamas) „b“ pagal bazę „a“ yra laikomas „c“ laipsniu, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai būtų gauta reikšmė „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokią galią, kad nuo 2 iki reikiamos galios gautumėte 8. Galvoje atlikę keletą skaičiavimų, gauname skaičių 3! Ir tai tiesa, nes 2 iki 3 laipsnio suteikia atsakymą kaip 8.

Logaritmų tipai

Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą prasmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys atskiros rūšys logaritmines išraiškas:

1. Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
2. Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
3. Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.

Kiekvienas iš jų yra nuspręstas standartiniu būdu, kuris apima supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norėdami gauti teisingas logaritmų reikšmes, spręsdami turėtumėte atsiminti jų savybes ir veiksmų seką.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas taisyklių-apribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma skaičių padalyti iš nulio, taip pat neįmanoma išgauti neigiamų skaičių lyginės šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kurių laikydamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

• pagrindas „a“ visada turi būti didesnis už nulį, ir tuo pačiu negali būti lygus 1, kitaip posakis praras savo reikšmę, nes „1“ ir „0“ bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
• jei a > 0, tai a b >0, pasirodo, kad „c“ taip pat turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, pateikiama užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x = 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti laipsnį, padidinant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 = 100.

Dabar pavaizduokime šią išraišką logaritmine forma. Gauname logaritmą 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad rastų laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį protą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau už didelės vertės jums reikės laipsnių lentelės. Jį gali naudoti net tie, kurie nieko nežino apie kompleksą matematines temas. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinė skaičių eilutė yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliuose yra skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet koks matematinis skaitinės išraiškos galima parašyti kaip logaritminę lygtį. Pavyzdžiui, 3 4 =81 gali būti parašytas kaip 81 bazinis 3 logaritmas, lygus keturiems (log 3 81 = 4). Už neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome kaip logaritmą, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena įdomiausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Žemiau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius ir sprendimus, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.

Duota tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 – tai yra logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas su baziniu du yra didesnis nei skaičius trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdys – logaritmas 2 x = √9) reiškia vieną ar kelis konkrečius atsakymus skaitinės reikšmės, o sprendžiant nelygybę nustatomas ir leistinų verčių diapazonas, ir šios funkcijos lūžio taškai. Todėl atsakymas yra ne paprastas atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.

Pagrindinės teoremos apie logaritmus

Sprendžiant primityvias logaritmo reikšmių radimo užduotis, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Vėliau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius, pirmiausia pažvelkime į kiekvieną ypatybę išsamiau.

1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tada, kai a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
2. Produkto logaritmas gali būti pavaizduotas tokią formulę: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritminės formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ypatybės laipsniai ), o tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ką reikėjo įrodyti.
3. Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi natūraliais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Tegu log a b = t, pasirodo a t =b. Jei abi dalis pakelsime laipsniu m: a tn = b n ;

bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n, todėl log a q b n = (n*t)/t, tada log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra privaloma matematikos egzaminų dalis. Dėl stojimo į universitetą arba išlaikymo stojamieji egzaminai matematikoje reikia mokėti teisingai išspręsti tokius uždavinius.

Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, bet kiekvienam matematinė nelygybė arba galima taikyti logaritminę lygtį tam tikros taisyklės. Visų pirma, jūs turėtumėte išsiaiškinti, ar posakis gali būti supaprastintas ar sukelti bendra išvaizda. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Spręsdami logaritmines lygtis turime nustatyti, kokio tipo logaritmą turime: pavyzdinėje išraiškoje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad jiems reikia nustatyti galią, kuriai bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Dėl sprendimų natūralūs logaritmai reikia taikyti logaritmines tapatybes arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.

Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

1. Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia plėsti puiki vertė skaičius b į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo galios savybę, mums pavyko išspręsti iš pažiūros sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Jums tereikia apskaičiuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.

Vieningo valstybinio egzamino užduotys

Logaritmai dažnai randami stojamieji egzaminai, ypač daug logaritminių problemų vieningo valstybinio egzamino ( valstybinis egzaminas visiems mokyklą baigusiems asmenims). Paprastai šios užduotys yra ne tik A dalyje (lengviausia bandomoji dalis egzaminas), bet ir C dalyje (sudėtingiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reikalauja tikslių ir tobulos žinios temos „Natūralūs logaritmai“.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialaus Vieningo valstybinio egzamino parinktys. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4, todėl 2x = 17; x = 8,5.

• Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
• Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl, kai po logaritmo ženklu esančios išraiškos ir jo bazės eksponentas išimamas kaip daugiklis, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.

ir kadangi ODZ išraiška x−2 gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes, tada dedant lyginį eksponentą 14.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identiškais pagrindais

Log6 4 + log6 9.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.

Logaritmų sprendimo pavyzdžiai

Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Perėjimas prie naujo pagrindo

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Taip pat žiūrėkite:

Pagrindinės logaritmo savybės

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus.

Pagrindinės logaritmų savybės

Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią vertę parodos dalyviai ir Levo Tolstojaus gimimo data.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

2.

3.

4. Kur .

2 pavyzdys. Raskite x jei

3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos ir kadangi ODZ išraiška x−2 gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes, tada dedant lyginį eksponentą 14.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai jos atskiros dalys nėra skaičiuojamos (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.

Logaritminės formulės. Logaritmų sprendimų pavyzdžiai.

Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas ir buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kaip jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemose ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
2. loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Taip pat žiūrėkite:

B logaritmas iki a pagrindo reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti laipsnį x (), kai lygybė tenkinama

Pagrindinės logaritmo savybės

Būtina žinoti aukščiau pateiktas savybes, nes jų pagrindu išsprendžiamos beveik visos su logaritmais susijusios problemos ir pavyzdžiai. Likusias egzotines savybes galima gauti matematiškai manipuliuojant šiomis formulėmis

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Skaičiuodami logaritmų sumos ir skirtumo formulę (3.4) susiduri gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.

Dažni logaritmų atvejai

Kai kurie iš labiausiai paplitusių logaritmų yra tie, kurių bazė yra lygi dešimčiai, eksponentinė arba dvi.
Logaritmas iki dešimties pagrindo paprastai vadinamas dešimtainiu logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).

Iš įrašo aišku, kad pagrindai įraše neparašyti. Pavyzdžiui

Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio bazė yra eksponentas (žymimas ln(x)).

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Ir dar vienas svarbus logaritmas dviem pagrindams žymimas

Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo

Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal ryšį

Pateiktos medžiagos pakanka, kad išspręstumėte plačią su logaritmais ir logaritmais susijusių problemų klasę. Kad padėčiau suprasti medžiagą, pateiksiu tik kelis įprastus pavyzdžius iš mokyklos mokymo programa ir universitetai.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

2.
Pagal logaritmų skirtumo savybę turime

3.
Naudodami savybes 3.5 randame

4. Kur .

Pagal išvaizdą sudėtinga išraiška naudojant keletą taisyklių yra supaprastinta forma

Logaritmo reikšmių paieška

2 pavyzdys. Raskite x jei

Sprendimas. Skaičiavimui taikome paskutinio termino 5 ir 13 savybių

Įrašome tai ir gedime

Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame

Logaritmai. Pradinis lygis.

Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Sprendimas: Paimkime kintamojo logaritmą, kad parašytume logaritmą per jo terminų sumą

Tai tik mūsų pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, jūsų žinias išplėsime į kitą ne mažiau svarbią temą - logaritmines nelygybes...

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos ir kadangi ODZ išraiška x−2 gali turėti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes, tada dedant lyginį eksponentą 14.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai jos atskiros dalys nėra skaičiuojamos (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas ir buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kaip jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemose ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
2. loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.