Өнөөдрийг хүртэл авчирсан задгай савМатематикийн улсын нэгдсэн шалгалтын асуудал (mathege.ru), шийдэл нь зөвхөн нэг томьёо дээр суурилдаг. сонгодог тодорхойлолтмагадлал.
Томьёог ойлгох хамгийн хялбар арга бол жишээнүүд юм.
Жишээ 1.Сагсанд 9 улаан, 3 цэнхэр бөмбөг байна. Бөмбөг нь зөвхөн өнгөөрөө ялгаатай. Бид тэдгээрийн нэгийг нь санамсаргүй байдлаар (харалгүйгээр) гаргаж авдаг. Ингэж сонгосон бөмбөг цэнхэр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Сэтгэгдэл.Магадлалын онолын асуудлуудад ямар нэг зүйл тохиолддог (д энэ тохиолдолдбөмбөгийг сугалах бидний үйлдэл), энэ нь өөр үр дүнд хүргэж болзошгүй - үр дүн. Үр дүнг янз бүрийн аргаар харж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. "Бид ямар нэгэн бөмбөг гаргалаа" гэдэг нь бас үр дүн юм. "Бид цэнхэр бөмбөгийг гаргалаа" - үр дүн. "Бид энэ бөмбөгийг боломжтой бүх бөмбөгнөөс гаргаж авсан" - үр дүнгийн хамгийн бага ерөнхий дүр төрхийг энгийн үр дүн гэж нэрлэдэг. Энэ нь магадлалыг тооцоолох томъёонд заасан үндсэн үр дүн юм.
Шийдэл.Одоо цэнхэр бөмбөгийг сонгох магадлалыг тооцоолъё.
Үйл явдал А: "сонгосон бөмбөг цэнхэр өнгөтэй болсон"
Бүх боломжит үр дүнгийн нийт тоо: 9+3=12 (бидний зурж болох бүх бөмбөгний тоо)
А үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо: 3 (А үйл явдал болсон ийм үр дүнгийн тоо, өөрөөр хэлбэл цэнхэр бөмбөгний тоо)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Хариулт: 0.25
Үүнтэй ижил асуудлын хувьд улаан бөмбөг сонгох магадлалыг тооцоолъё.
Боломжит үр дүнгийн нийт тоо ижил хэвээр байх болно, 12. Тааламжтай үр дүнгийн тоо: 9. Хайж буй магадлал: 9/12=3/4=0,75
Аливаа үйл явдлын магадлал үргэлж 0-1 хооронд байдаг.
Заримдаа ордог өдөр тутмын яриа(гэхдээ магадлалын онолд биш!) үйл явдлын магадлалыг хувиар тооцдог. Математик болон харилцан ярианы онооны хоорондох шилжилтийг 100% үржүүлэх (эсвэл хуваах) замаар гүйцэтгэдэг.
Тэгэхээр,
Түүнээс гадна, тохиолдох боломжгүй үйл явдлын магадлал нь тэг юм - гайхалтай. Жишээлбэл, бидний жишээнд энэ нь сагснаас ногоон бөмбөг зурах магадлал юм. (Хэрэв томьёогоор тооцвол таатай үр дүнгийн тоо 0, P(A)=0/12=0 байна)
Магадлал 1-д ямар ч сонголтгүйгээр тохиолдох нь гарцаагүй үйл явдлууд байдаг. Жишээлбэл, "сонгосон бөмбөг улаан эсвэл цэнхэр өнгөтэй байх" магадлал нь бидний даалгавар юм. (Таатай үр дүнгийн тоо: 12, P(A)=12/12=1)
Бид хянаж үзсэн сонгодог жишээ, магадлалын тодорхойлолтыг харуулсан. Бүгд адилхан Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварМагадлалын онолын дагуу тэдгээрийг энэ томъёогоор шийддэг.
Улаан, цэнхэр бөмбөлгүүдийн оронд алим, лийр, охид, хөвгүүд, сурсан болон сураагүй тасалбар, тодорхой сэдвээр асуулт агуулсан болон агуулаагүй тасалбар (прототип), гэмтэлтэй, өндөр чанартай цүнх, цэцэрлэгийн шахуурга байж болно. прототипүүд,) - зарчим нь хэвээр байна.
Тэд онолын асуудлыг боловсруулахдаа бага зэрэг ялгаатай байдаг Улсын нэгдсэн шалгалт өгөх магадлал, та тодорхой өдөр тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй. ( , ) Өмнөх асуудлуудын адил үндсэн үр дүн нь юу болохыг тодорхойлж, дараа нь ижил томъёог ашиглах хэрэгтэй.
Жишээ 2.Чуулган гурван өдөр үргэлжилнэ. Эхний болон хоёр дахь өдөр 15 илтгэгч, гурав дахь өдөр 20 илтгэгчтэй байна. Сугалаагаар илтгэлийн дарааллыг тогтоовол гурав дахь өдөр профессор М.-ийн илтгэл унах магадлал хэд вэ?
Энд үндсэн үр дүн юу вэ? – Профессорын илтгэлд илтгэл тавих боломжтой бүх серийн дугааруудын нэгийг оноох. Сугалаанд 15+15+20=50 хүн оролцоно. Ийнхүү профессор М.-ийн илтгэл 50 асуудлын аль нэгийг хүлээн авч магадгүй юм. гэсэн үг үндсэн үр дүнердөө 50.
Ямар таатай үр дүн гарах вэ? - Профессор гурав дахь өдөр үг хэлэх нь тодорхой болсон хүмүүс. Энэ нь сүүлийн 20 тоо гэсэн үг юм.
Томъёоны дагуу магадлал P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Хариулт: 0.4
Энд байгаа сугалаа нь хүмүүс болон захиалгат газруудын хооронд санамсаргүй захидал харилцааг бий болгохыг илэрхийлдэг. 2-р жишээнд захидал харилцаа тогтоох асуудлыг аль байрыг авч болох талаас нь авч үзсэн тодорхой хүн. Та ижил нөхцөл байдалд нөгөө талаас хандаж болно: хүмүүсийн аль нь тодорхой газар (прототип , , , ) хүрч болох магадлалтай.
Жишээ 3.Сугалаанд Германы 5, Францын 8, Эстонийн 3 иргэн оролцжээ. Эхнийх нь (/хоёр дахь/долоо дахь/сүүлийн - хамаагүй) Франц хүн байх магадлал хэд вэ?
Анхан шатны үр дүнгийн тоо - бүгдийн тоо боломжтой хүмүүс, аль нь, сугалаагаар, авах боломжтой энэ газар. 5+8+3=16 хүн.
Тааламжтай үр дүн - Франц хэл. 8 хүн.
Шаардлагатай магадлал: 8/16=1/2=0.5
Хариулт: 0.5
Прототип нь арай өөр юм. Зоос () ба шоо () -ын талаар арай илүү бүтээлч асуудал байсаар байна. Эдгээр асуудлын шийдлийг прототипийн хуудаснаас олж болно.
Зоос эсвэл шоо шидэх цөөн хэдэн жишээ энд байна.
Жишээ 4.Бид зоос шидэх үед толгой дээр буух магадлал хэд вэ?
Толгой эсвэл сүүл гэсэн 2 үр дүн бий. (зоос хэзээ ч ирмэг дээрээ буудаггүй гэж үздэг) Тааламжтай үр дүн бол сүүл, 1.
Магадлал 1/2=0.5
Хариулт: 0.5.
Жишээ 5.Хэрэв бид зоосыг хоёр удаа шидвэл яах вэ? Хоёр удаа толгой цохих магадлал хэд вэ?
Хамгийн гол нь хоёр зоос шидэхдээ ямар үндсэн үр дүнг авч үзэхийг тодорхойлох явдал юм. Хоёр зоос шидсэний дараа дараах үр дүнгийн аль нэг нь гарч болно.
1) PP - хоёр удаа тэр толгой дээр гарч ирсэн
2) PO - эхний удаа, хоёр дахь удаагаа толгой
3) OP – эхний удаа толгойлж, хоёр дахь удаагаа сүүл мушгина
4) ОО - хоёр удаа толгой гарч ирэв
Өөр сонголт байхгүй. Энэ нь 4 үндсэн үр дүн байгаа гэсэн үг бөгөөд зөвхөн эхнийх нь 1 нь таатай байна.
Магадлал: 1/4=0.25
Хариулт: 0.25
Хоёр зоос шидэхэд сүүл үүсэх магадлал хэд вэ?
Анхан шатны үр дүнгийн тоо ижил, 4. Тааламжтай үр дүн нь хоёр, гурав дахь, 2.
Нэг сүүлтэй болох магадлал: 2/4=0.5
Ийм асуудалд өөр нэг томъёолол хэрэг болно.
Хэрэв нэг зоос шидэх үед боломжит сонголтуудбидэнд 2 үр дүн байгаа бол хоёр шидэлтийн үр дүн 2 2 = 2 2 = 4 (жишээ 5-ын адил), гурван шидэлтийн хувьд 2 2 2 = 2 3 = 8, дөрөв шидэлтийн хувьд: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... N шидэлтийн хувьд боломжит үр дүн нь 2·2·...·2=2 N байх болно.
Тэгэхээр та 5 зоос шидсэнээс 5 толгой авах магадлалыг олж болно.
Анхан шатны үр дүнгийн нийт тоо: 2 5 =32.
Тааламжтай үр дүн: 1. (RRRRRR – 5 удаа толгойлох)
Магадлал: 1/32=0,03125
хувьд ч мөн адил шоо. Нэг шидэлтээр 6 үр дүн гарах боломжтой: 6 6 = 36, гурван 6 6 = 216 гэх мэт.
Жишээ 6.Бид шоо шиддэг. Тэгш тоо эргэлдэх магадлал хэд вэ?
Нийт үр дүн: Талуудын тоогоор 6.
Тааламжтай: 3 үр дүн. (2, 4, 6)
Магадлал: 3/6=0.5
Жишээ 7.Бид хоёр шоо шиддэг. Нийт 10 байх магадлал хэд вэ? (зууны нэг хүртэл дугуй)
Нэг үхлийн хувьд 6 боломжит үр дүн байдаг. Энэ нь дээрх дүрмийн дагуу хоёрын хувьд 6·6=36 гэсэн үг.
Нийт 10-ыг эргүүлэхэд ямар үр дүн гарах вэ?
10-ыг 1-ээс 6 хүртэлх хоёр тооны нийлбэр болгон задлах ёстой. Үүнийг 10=6+4, 10=5+5 гэсэн хоёр аргаар хийж болно. Энэ нь кубын хувьд дараах сонголтуудыг хийх боломжтой гэсэн үг юм.
(Эхний дээр 6, хоёр дахь нь 4)
(Эхний дээр 4, хоёр дахь нь 6)
(Эхний дээр 5, хоёр дахь нь 5)
Нийт 3 сонголт. Шаардлагатай магадлал: 3/36=1/12=0.08
Хариулт: 0.08
В6-ийн бусад төрлийн асуудлуудыг хэрхэн шийдвэрлэх тухай өгүүллээр цаашид авч үзэх болно.
Магадлал дээр ажиллах хэрэгцээ нь зарим үйл явдлын магадлалыг мэдэх үед үүсдэг бөгөөд эдгээр үйл явдлуудтай холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг тооцоолох шаардлагатай байдаг.
Магадлалыг нэмэх нь санамсаргүй үйл явдлын хослол эсвэл логик нийлбэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед ашиглагддаг.
Үйл явдлын нийлбэр АТэгээд Бтэмдэглэнэ А + Бэсвэл А ∪ Б. Хоёр үйл явдлын нийлбэр нь аль нэг үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм. Энэ нь гэсэн үг А + Б– ажиглалтын явцад тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдох үйл явдал Аэсвэл үйл явдал Б, эсвэл нэгэн зэрэг АТэгээд Б.
Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд Бхарилцан үл нийцэх ба тэдгээрийн магадлалыг өгвөл нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг магадлалыг нэмэх замаар тооцоолно.
Магадлалын нэмэх теорем.Хоёр зүйлийн нэг болох магадлал нь бие биенээ үгүйсгэдэг хамтарсан арга хэмжээ, эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна:
Жишээ нь, ан хийж байхдаа хоёр удаа бууддаг. Үйл явдал А– эхний сумаар нугас цохих, үйл явдал IN– хоёр дахь удаагийн цохилт, үйл явдал ( А+ IN) – эхний болон хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос авсан цохилт. Тэгэхээр, хэрэв хоёр үйл явдал бол АТэгээд IN- нийцэхгүй үйл явдлууд, тэгвэл А+ IN– эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг эсвэл хоёр үйл явдал тохиолдсон.
Жишээ 1.Нэг хайрцагт 30 бөмбөг байна ижил хэмжээтэй: 10 улаан, 5 цэнхэр, 15 цагаан. Өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг харахгүйгээр авах магадлалыг тооцоол.
Шийдэл. Үйл явдал болсон гэж үзье А- "улаан бөмбөгийг авлаа", мөн үйл явдал IN- "Цэнхэр бөмбөгийг авсан." Дараа нь үйл явдал нь "өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг авдаг." Үйл явдлын магадлалыг олцгооё А:
болон үйл явдлууд IN:
Үйл явдал АТэгээд IN- бие биедээ үл нийцэх, учир нь нэг бөмбөг авбал бөмбөг авах боломжгүй өөр өөр өнгө. Тиймээс бид магадлалын нэмэгдлийг ашигладаг:
Хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хэрэв үйл явдлууд үйл явдлын иж бүрдлийг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь мөн 1-тэй тэнцүү байна.
Эсрэг үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бөгөөд үйл явдлын бүрэн багцын магадлал 1 байна.
Эсрэг үйл явдлын магадлалыг ихэвчлэн жижиг үсгээр тэмдэглэдэг хТэгээд q. Ялангуяа,
дараах зүйл дараах томъёонуудЭсрэг үйл явдлын магадлал:
Жишээ 2.Буудлагын талбайн бай нь 3 бүсэд хуваагдана. Тодорхой мэргэн бууч эхний бүсэд 0.15, хоёрдугаар бүсэд 0.23, гурав дахь бүсэд 0.17 байна. Буудагч бай онох магадлал, буудагч байг алдах магадлалыг ол.
Шийдэл: Буудагч байг онох магадлалыг ол:
Буудагч байг алдах магадлалыг олцгооё.
Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.
Нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлын магадлалыг нэмэх
Хэрэв нэг үйл явдал тохиолдсон нь нэг ажиглалтад хоёр дахь үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол санамсаргүй хоёр үйл явдлыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээ нь, үхэл шидэх үед үйл явдал Атоо 4 гарч цувисан гэж үзэж байна, үйл явдал IN- алдагдал тэгш тоо. 4 нь тэгш тоо тул хоёр үйл явдал таарч байна. Практикт нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг.
Хамтарсан үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем.Хамтарсан үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс магадлалыг хассан. ерөнхий довтолгооүйл явдал хоёулаа, өөрөөр хэлбэл магадлалын үржвэр. Хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
Үйл явдлуудаас хойш АТэгээд INнийцтэй, үйл явдал А+ INГурван боломжит үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол тохиолддог: эсвэл AB. Тохиромжгүй үйл явдлыг нэмэх теоремын дагуу бид дараах байдлаар тооцоолно.
Үйл явдал АХэрэв үл нийцэх хоёр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол гарна: эсвэл AB. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлуудаас нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үүний нэгэн адил:
(6) ба (7) илэрхийллийг (5) илэрхийлэлд орлуулснаар бид хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёог олж авна.
Томъёо (8) ашиглахдаа тухайн үйл явдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй АТэгээд INбайж болно:
- харилцан бие даасан;
- харилцан хамааралтай.
Харилцан хамааралгүй үйл явдлын магадлалын томъёо:
Харилцан хамааралтай үйл явдлын магадлалын томъёо:
Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд INнийцэхгүй байгаа бол тэдгээрийн давхцал нь боломжгүй тохиолдол бөгөөд иймээс, П(AB) = 0. Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын дөрөв дэх томьёо нь:
Жишээ 3.Автомашины уралдаанд эхний машинаа жолоодоход түрүүлэх магадлал өндөр, хоёр дахь машинаа жолоодоход илүү их байдаг. Олно:
- хоёр машин хоёулаа ялах магадлал;
- дор хаяж нэг машин ялах магадлал;
1) Эхний машин ялах магадлал нь хоёр дахь машины үр дүнгээс хамаардаггүй тул үйл явдлууд А(эхний машин ялна) ба IN(хоёр дахь машин ялах болно) - бие даасан үйл явдал. Хоёр машин хожих магадлалыг олъё:
2) Хоёр машины аль нэг нь ялах магадлалыг ол.
Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.
Магадлалын нэмэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 4.Хоёр зоос шидэж байна. Үйл явдал А- эхний зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдал Б- хоёр дахь зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдлын магадлалыг ол C = А + Б .
Үржүүлэх магадлал
Үйл явдлын логик үржвэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед магадлалын үржвэрийг ашигладаг.
Энэ тохиолдолд санамсаргүй үйл явдлууд бие даасан байх ёстой. Нэг үйл явдал тохиолдсон нь хоёр дахь үйл явдлын магадлалд нөлөөлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие биенээсээ хамааралгүй гэж нэрлэдэг.
Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал АТэгээд INнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.
Жишээ 5.Зоосыг гурван удаа дараалан шиддэг. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Шийдэл. Зоосыг эхний шидэх, хоёр дахь, гурав дахь удаагаа шидэхэд төрийн сүлд харагдах магадлал. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг олъё.
Магадлалыг үржүүлэх бодлогыг бие даан шийдэж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 6.Есөн шинэ теннисний бөмбөгний хайрцаг байна. Тоглохын тулд гурван бөмбөг авч, тоглолтын дараа буцааж тавьдаг. Бөмбөгийг сонгохдоо тоглосон бөмбөгийг тоглоогүй бөмбөгөөс ялгадаггүй. Үүний дараа гарах магадлал хэд вэ гурван тоглоомХайрцагт тоглоогүй бөмбөг үлдсэн үү?
Жишээ 7.Орос цагаан толгойн 32 үсэг нь хайчлагдсан цагаан толгойн карт дээр бичигдсэн байдаг. Таван картыг нэг нэгээр нь санамсаргүй байдлаар сугалж, харагдах дарааллаар нь ширээн дээр тавьдаг. Үсгүүд "төгсгөл" гэдэг үгийг үүсгэх магадлалыг ол.
Жишээ 8.Бүрэн тавцангаас (52 хуудас) дөрвөн картыг нэг дор гаргаж авдаг. Эдгээр дөрвөн карт бүгд өөр өөр костюмтай байх магадлалыг ол.
Жишээ 9. 8-р жишээтэй ижил даалгавар, гэхдээ карт бүрийг хассаны дараа тавцан руу буцаана.
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх, мөн хэд хэдэн үйл явдлын үржвэрийг тооцоолох шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас олж болно.
Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг 1-ээс эсрэг үйл явдлын магадлалын үржвэрийг хасч, өөрөөр хэлбэл томъёог ашиглан тооцоолж болно.
Жишээ 10.Ачаа гол, төмөр зам, авто зам гэсэн гурван төрлийн тээврийн хэрэгслээр хүргэдэг. Ачаа хүргэж өгөх магадлал голын тээвэр, 0.82, төмөр замаар 0.87, авто тээврээр 0.90. Ачааг дор хаяж нэгээр нь хүргэх магадлалыг ол гурван төрөлтээвэрлэлт.
онтологийн категори нь ямар ч нөхцөлд аливаа аж ахуйн нэгж үүсэх боломжийн цар хүрээг илэрхийлдэг. Энэхүү үзэл баримтлалын математик, логик тайлбараас ялгаатай нь онтологийн математик нь тоон илэрхийллийн үүрэг хариуцлагатай холбоогүй юм. V.-ийн утга нь детерминизм, хөгжлийн мөн чанарыг ерөнхийд нь ойлгох хүрээнд илэрдэг.
Маш сайн тодорхойлолт
МАГАДЛАЛ
хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсон ойлголт. тодорхой үед тодорхой үйл явдал тохиолдох боломжийн хэмжүүр нөхцөл. Шинжлэх ухаанд танин мэдэхүйд В-ийн гурван тайлбар байдаг. Сонгодог ойлголтМатематикаас үүссэн В. шинжилгээ мөрийтэй тоглоомБ.Паскаль, Ж.Бернулли, П.Лаплас нарын хамгийн бүрэн гүйцэд боловсруулсан нь В.-г таатай тохиолдлуудын тоонд харьцуулсан харьцаа гэж үздэг. нийт тообүгд адилхан боломжтой. Жишээлбэл, 6 талтай шоо шидэх үед аль нэг тал нь нөгөөгөөсөө давуу талгүй тул тус бүр нь 1/6-ийн үнээр бууна гэж найдаж болно. Туршилтын үр дүнгийн ийм тэгш хэмийг тоглоом зохион байгуулахдаа тусгайлан авч үздэг боловч шинжлэх ухаан, практикт объектив үйл явдлыг судлахад харьцангуй ховор байдаг. Сонгодог В.-ийн тайлбар нь статистикт байр сууриа тавьж өгсөн. V.-ийн үзэл баримтлал нь бодит байдалд тулгуурладаг тодорхой үйл явдал болж байгааг удаан хугацааны туршид ажиглах. нарийн тогтсон нөхцөлд туршлага. Дадлага нь үйл явдал илүү олон удаа тохиолддог болохыг баталж байна илүү зэрэг объектив боломжтүүний гадаад төрх, эсвэл B. Тиймээс статистик. В.-ийн тайлбар нь харилцаа холбоо гэсэн ойлголт дээр суурилдаг. туршилтаар тодорхойлж болох давтамж. V. онолын хувьд Энэ ойлголт нь эмпирикээр тодорхойлсон давтамжтай хэзээ ч давхцдаггүй, гэхдээ олон тоогоор. Зарим тохиолдолд энэ нь харьцангуй бага ялгаатай байдаг. үргэлжлэх хугацааны үр дүнд олдсон давтамж. ажиглалт. Олон статистикчид V.-г "давхар" гэж үздэг. давтамж, ирмэгийг статистик байдлаар тодорхойлдог. ажиглалтын үр дүнг судлах
эсвэл туршилтууд. Хязгаартай холбоотой V.-ийн тодорхойлолт нь бодитой бус байсан. давтамжууд олон нийтийн үйл явдал, эсвэл R. Mises-ийн санал болгосон нэгдэл. гэх мэт цаашдын хөгжил V.-ийн давтамжийн хандлага нь V.-ийн чиг хандлагатай, эсвэл хандлагатай тайлбарыг дэвшүүлдэг (К. Поппер, Ж. Хакинг, М. Бунге, Т. Сетл). Энэхүү тайлбарын дагуу V. нь жишээлбэл, нөхцөлийг бий болгох шинж чанарыг тодорхойлдог. туршилт. их хэмжээний санамсаргүй үйл явдлын дарааллыг олж авахын тулд суурилуулалт. Яг энэ хандлага нь бие махбодийг бий болгодог хамаатан садан ашиглан шалгаж болох зан чанар, эсвэл урьдач байдал, V. давтамж
Статистик V.-ийн тайлбар нь шинжлэх ухааны судалгаанд давамгайлж байна. танин мэдэхүй, учир нь энэ нь тодорхой тусгасан байдаг. санамсаргүй шинж чанартай массын үзэгдлүүдэд хамаарах хэв маягийн мөн чанар. Физик, биологи, эдийн засаг, хүн ам зүйн олон зүйлд. гэх мэт. нийгмийн үйл явцтогтвортой давтамжаар тодорхойлогддог олон санамсаргүй хүчин зүйлийн үйлдлийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Эдгээр тогтвортой давтамж, хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох. V.-ийн тусламжтайгаар түүний үнэлгээ нь олон ослын хуримтлагдсан үйлдлийг даван туулах хэрэгцээг илрүүлэх боломжийг олгодог. Энд л тохиолдлыг хэрэгцээ болгон хувиргах диалектик өөрийн илрэлээ олдог (Ф. Энгельс, номонд: К. Маркс ба Ф. Энгельс, бүтээлүүд, 20-р боть, 535-36-р хуудсыг үзнэ үү).
Логик буюу индуктив үндэслэл нь нотлох бус, ялангуяа индуктив үндэслэлийн байр суурь ба дүгнэлтийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог. Дедукцаас ялгаатай нь индукцийн байрууд нь дүгнэлтийн үнэнийг баталгаажуулдаггүй, харин үүнийг илүү эсвэл бага үнэмшилтэй болгодог. Нарийн томъёолсон байртай энэхүү үнэмшилтэй байдлыг заримдаа V ашиглан үнэлж болно. Энэ V.-ийн утгыг ихэвчлэн харьцуулах замаар тодорхойлдог. ойлголтууд (илүү, бага, тэнцүү), заримдаа тоон хэлбэрээр. Логик Тайлбарыг ихэвчлэн индуктив үндэслэлийг шинжлэх, бүтээхэд ашигладаг янз бүрийн системүүдмагадлалын логик (Р. Карнап, Р. Жеффри). Семантик дээр логик ойлголтууд V. нь ихэвчлэн нэг мэдэгдлийг бусад хүмүүс (жишээлбэл, эмпирик өгөгдлөөр нь таамаглал) баталж байгаа зэрэг гэж тодорхойлдог.
Шийдвэр гаргах, тоглоомын онолыг хөгжүүлэхтэй холбогдуулан гэж нэрлэгддэг V.-ийн хувь хүний тайлбар хэдий ч V. нь тухайн субьектийн итгэл үнэмшил, тодорхой үйл явдал тохиолдох зэргийг нэгэн зэрэг илэрхийлдэг ч V.-ийг V.-ийн тооцооллын аксиомуудыг хангасан байдлаар сонгох ёстой. Тиймээс V. ийм тайлбар нь субъектив бус харин үндэслэлтэй итгэлийн түвшинг илэрхийлдэг. Иймээс ийм V.-ийн үндсэн дээр гаргасан шийдвэрүүд нь сэтгэлзүйн хүчин зүйлийг харгалзан үздэггүй тул оновчтой байх болно. сэдвийн шинж чанар, хандлага.
Эпистемологийн хамт t.zr. статистик, логик хоорондын ялгаа. V.-ийн хувь хүний тайлбар нь хэрэв эхнийх нь санамсаргүй шинж чанартай масс үзэгдлийн объектив шинж чанар, харилцаа холбоог тодорхойлдог бол сүүлийн хоёр нь субъектив, танин мэдэхүйн шинж чанарыг шинжилдэг. тодорхойгүй нөхцөлд хүний үйл ажиллагаа.
МАГАДЛАЛ
нэг хамгийн чухал ойлголтуудшинжлэх ухаан нь ертөнц, түүний бүтэц, хувьсал, мэдлэгийн талаархи тусгай системийн алсын харааг тодорхойлдог. Дэлхий ертөнцийг үзэх магадлалын онцлог нь тоонд оруулах замаар илэрдэг үндсэн ойлголтуудсанамсаргүй байдал, бие даасан байдал, шаталсан байдлын тухай ойлголтууд (системийн бүтэц, тодорхойлох түвшний санаанууд).
Магадлалын тухай санаанууд эрт дээр үеэс үүссэн бөгөөд бидний мэдлэгийн онцлогтой холбоотой байсан бол найдвартай мэдлэг, худал мэдлэгээс ялгаатай магадлалын мэдлэг байгааг хүлээн зөвшөөрсөн. Магадлалын санааны нөлөө шинжлэх ухааны сэтгэлгээ, танин мэдэхүйн хөгжил нь математикийн шинжлэх ухаан болох магадлалын онолыг хөгжүүлэхтэй шууд холбоотой. Магадлалын тухай математикийн сургаалын гарал үүсэл нь 17-р зуунаас эхтэй бөгөөд энэ нь боломжит ойлголтуудын цөмийг бий болгосон юм. тоон (тоон) шинж чанар, магадлалын санааг илэрхийлэх.
Танин мэдэхүйн хөгжлийн магадлалыг эрчимтэй ашиглах нь 2-р хагаст тохиолддог. 19 - 1 давхар 20-р зуун Ийм бүтцэд орсон магадлал суурь шинжлэх ухаансонгодог статистик физик, генетик гэх мэт байгалийн тухай квант онол, кибернетик (мэдээллийн онол). Үүний дагуу магадлал нь шинжлэх ухааны хөгжлийн тэр үе шатыг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь одоо сонгодог бус шинжлэх ухаан гэж тодорхойлогддог. Магадлалын сэтгэлгээний шинэлэг байдал, онцлогийг илчлэхийн тулд магадлалын онолын сэдэв, түүний олон тооны хэрэглээний үндэс суурийг задлан шинжлэх шаардлагатай. Магадлалын онолыг ихэвчлэн массын зүй тогтлыг судалдаг математикийн салбар гэж тодорхойлдог санамсаргүй үзэгдэлтодорхой нөхцөлд. Санамсаргүй байдал гэдэг нь массын шинж чанарын хүрээнд энгийн үзэгдэл бүрийн оршин тогтнох нь бусад үзэгдлүүдийн оршин тогтнохоос хамаардаггүй бөгөөд тодорхойлогддоггүй гэсэн үг юм. Үүний зэрэгцээ үзэгдлийн массын шинж чанар нь өөрөө тогтвортой бүтэцтэй бөгөөд тодорхой зүй тогтлыг агуулдаг. Массын үзэгдэл нь дэд системд нэлээд хатуу хуваагддаг ба дэд систем тус бүрийн энгийн үзэгдлийн харьцангуй тоо ( харьцангуй давтамж) маш тогтвортой байна. Энэ тогтвортой байдлыг магадлалтай харьцуулдаг. Массын үзэгдэл бүхэлдээ магадлалын тархалтаар тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл дэд системүүд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг зааж өгдөг. Магадлалын онолын хэл бол магадлалын тархалтын хэл юм. Үүний дагуу магадлалын онолыг тархалттай ажиллах хийсвэр шинжлэх ухаан гэж тодорхойлдог.
Магадлал нь шинжлэх ухаанд статистикийн хэв маяг, статистикийн тогтолцооны талаархи санааг бий болгосон. Сүүлчийн мөн чанарбие даасан эсвэл бараг бие даасан байгууллагуудаас бүрдсэн системүүд, тэдгээрийн бүтэц нь магадлалын хуваарилалтаар тодорхойлогддог. Гэхдээ бие даасан байгууллагуудаас системийг хэрхэн бүрдүүлэх боломжтой вэ? Интеграл шинж чанартай системийг бий болгохын тулд системийг цементлэх элементүүдийн хооронд хангалттай тогтвортой холболт байх шаардлагатай гэж ихэвчлэн үздэг. Статистикийн системийн тогтвортой байдал нь гадаад нөхцөл байдал, гадаад орчин, гадаад, үгүй дотоод хүч. Магадлалын тодорхойлолт нь үргэлж анхны массын үзэгдэл үүсэх нөхцөлийг тогтооход суурилдаг. Магадлалын парадигмыг тодорхойлсон өөр нэг чухал санаа бол шатлал (дагадал) гэсэн санаа юм. Энэ санаа нь шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг бие даасан элементүүдТэгээд цогц шинж чанаруудсистемүүд: сүүлийнх нь эхнийх нь дээр баригдсан юм шиг санагддаг.
Танин мэдэхүйд магадлалын аргуудын ач холбогдол нь шаталсан, "хоёр түвшний" бүтэцтэй объект, системийн бүтэц, зан үйлийн хэв маягийг судлах, онолын хувьд илэрхийлэх боломжийг олгодогт оршино.
Магадлалын мөн чанарын шинжилгээ нь түүний давтамж, статистик тайлбар дээр суурилдаг. Үүний зэрэгцээ, маш урт хугацааШинжлэх ухаанд магадлалын тухай ийм ойлголт давамгайлж байсан бөгөөд үүнийг логик буюу индуктив магадлал гэж нэрлэдэг байв. Логик магадлал нь тодорхой нөхцөлд тусдаа, бие даасан дүгнэлтийн хүчинтэй байдлын талаархи асуултуудыг сонирхож байна. Индуктив дүгнэлт (таамаглалын дүгнэлт) -ийн баталгааны түвшинг (найдвартай, үнэн) үнэлэх боломжтой юу? тоон хэлбэр? Магадлалын онолыг боловсруулах явцад ийм асуултууд олон удаа яригдаж, таамаглалын дүгнэлтийг батлах түвшний талаар ярьж эхлэв. Энэ магадлалын хэмжигдэхүүнийг байгаа боломжоор тодорхойлно энэ хүнмэдээлэл, түүний туршлага, ертөнцийг үзэх үзэл, сэтгэл зүйн сэтгэлгээ. Бүгдээрээ ижил төстэй тохиолдлуудМагадлалын хэмжээ нь хатуу хэмжилт хийх боломжгүй бөгөөд тууштай математикийн шинжлэх ухааны хувьд магадлалын онолын чадвараас гадуур байдаг.
Магадлалын объектив, давтамжтай тайлбар нь шинжлэх ухаанд ихээхэн бэрхшээлтэй тулгарсан. Эхэндээ магадлалын мөн чанарыг ойлгоход философи, арга зүйн үзэл бодол хүчтэй нөлөөлсөн. сонгодог шинжлэх ухаан. Түүхийн хувьд физикийн магадлалын аргуудыг хөгжүүлэх нь механикийн санаа бодлыг тодорхойлох нөлөөн дор явагдсан: статистикийн системүүдзүгээр л механик гэж тайлбарласан. Холбогдох асуудлууд шийдэгдээгүй тул хатуу аргуудмеханикууд, дараа нь нэхэмжлэл гаргасан магадлалын аргуудмөн статистикийн хуулиуд нь бидний мэдлэгийн бүрэн бус байдлын үр дүн юм. Сонгодог урлагийн хөгжлийн түүхэнд статистик физикҮндэслэл дээр үндэслэн батлах гэж олон удаа оролдсон сонгодог механикГэсэн хэдий ч тэд бүгд амжилтгүй болсон. Магадлалын үндэс нь механик системээс бусад системийн тодорхой ангиллын бүтцийн онцлогийг илэрхийлдэгт оршино: эдгээр системийн элементүүдийн төлөв байдал нь тогтворгүй байдал, харилцан үйлчлэлийн онцгой (механикийн хувьд буурдаггүй) шинж чанартай байдаг.
Мэдлэгт магадлалыг оруулах нь хатуу детерминизмын үзэл баримтлалыг үгүйсгэж, сонгодог шинжлэх ухаан үүсэх явцад бий болсон оршихуйн үндсэн загвар, мэдлэгийг үгүйсгэхэд хүргэдэг. Үндсэн загварууд, статистикийн онолоор илэрхийлэгдсэн, өөр, илүү байна ерөнхий шинж чанар: Эдгээрт санамсаргүй байдал, бие даасан байдлын санаанууд багтана. Магадлалын санаа нь объект, системийн дотоод динамикийг задлахтай холбоотой бөгөөд үүнийг бүрэн тодорхойлох боломжгүй юм. гадаад нөхцөлболон нөхцөл байдал.
Тусгаар тогтнолын талаарх үзэл санааг үнэмлэхүй болгоход үндэслэсэн ертөнцийн магадлалын үзэл баримтлал (хатуу шийдлийн парадигмын өмнөх шиг) одоо түүний хязгаарлалтыг илчилсэн бөгөөд энэ нь шилжилтийн явцад хамгийн хүчтэй нөлөөлдөг. орчин үеийн шинжлэх ухаанруу аналитик аргуудцогц систем, өөрийгөө зохион байгуулах үзэгдлийн физик, математикийн үндэс суурийг судлах.
Маш сайн тодорхойлолт
Бүрэн бус тодорхойлолт ↓
магадлал- 0-ээс 1-ийн хоорондох санамсаргүй үйл явдал тохиолдох магадлалыг илэрхийлдэг тоо бүрэн байхгүйүйл явдал болох магадлал, 1 нь тухайн үйл явдал гарцаагүй тохиолдох болно гэсэн үг.
Е үйл явдлын магадлал нь 1-ээс 1 хүртэлх тоо юм.
Бие биенээ үгүйсгэсэн үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
эмпирик магадлал- түүхэн өгөгдлийн шинжилгээнээс гаргаж авсан өнгөрсөн үйл явдлын харьцангуй давтамжаар тооцогдох магадлал.
Маш ховор тохиолдлын магадлалыг эмпирик байдлаар тооцоолох боломжгүй.
субъектив магадлал- хувь хүн дээр суурилсан магадлал субъектив үнэлгээтүүхэн баримтыг харгалзахгүйгээр үйл явдал. Хувьцаа худалдах, худалдах талаар шийдвэр гаргадаг хөрөнгө оруулагчид ихэвчлэн субъектив магадлалыг харгалзан үздэг.
өмнөх магадлал -
Магадлалын үзэл баримтлалаар үйл явдал тохиолдох магадлал 1 ин... (тохиолдол). Үйл явдал болох магадлалыг магадлалаар дараах байдлаар илэрхийлнэ: P/(1-P).
Жишээлбэл, хэрэв үйл явдлын магадлал 0.5 бол үйл явдлын магадлал 2-оос 1 байна. 0.5/(1-0.5).
Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлалыг (1-P)/P томъёогоор тооцоолно
Тохиромжгүй магадлал- жишээлбэл, А компанийн хувьцааны үнэ 85% -ийг харгалзан үздэг. боломжтой үйл явдал E, мөн B компанийн хувьцааны үнэд ердөө 50%. Үүнийг үл нийцэх магадлал гэж нэрлэдэг. Нидерландын бооцооны теоремийн дагуу тогтворгүй магадлал нь ашиг олох боломжийг бий болгодог.
Нөхцөлгүй магадлал"Үйл явдал болох магадлал хэд вэ?" Гэсэн асуултын хариулт юм.
Нөхцөлт магадлал - Энэ бол "Б үйл явдал тохиолдвол А үйл явдлын магадлал хэд вэ" гэсэн асуултын хариулт юм. Нөхцөлт магадлалыг P(A|B) гэж тэмдэглэнэ.
Хамтарсан магадлал- А ба В үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал. P(AB) гэж тэмдэглэнэ.
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
P(AB) = P(A|B)*P(B)
Магадлалыг нэгтгэн дүгнэх дүрэм:
А эсвэл В үйл явдал тохиолдох магадлал
P (A эсвэл B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
Хэрэв А ба В үйл явдлууд бие биенээ үгүйсгэдэг бол
P (A эсвэл B) = P(A) + P(B)
Бие даасан үйл явдлууд - А ба В үйл явдлууд бие даасан байвал
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
Өөрөөр хэлбэл, энэ нь магадлалын утга нь нэг үйл явдлаас нөгөө үйл явдал хүртэл тогтмол байх үр дүнгийн дараалал юм.
Зоос шидэх нь ийм үйл явдлын жишээ юм - дараагийн шидэх бүрийн үр дүн нь өмнөх үйл явдлын үр дүнгээс хамаардаггүй.
Хамааралтай үйл явдлууд - эдгээр нь нэг нь тохиолдох магадлал нь нөгөө нь тохиолдох магадлалаас хамаардаг үйл явдлууд юм.
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм:
Хэрэв А ба В үйл явдлууд бие даасан байвал
P(AB) = P(A) * P(B) (3)
Нийт магадлалын дүрэм:
P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)
S ба S" нь бие биенээ үгүйсгэдэг үйл явдлууд юм
хүлээгдэж буй үнэ цэнэсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит үр дүнгийн дундаж юм санамсаргүй хувьсагч. X үйл явдлын хувьд хүлээлтийг E(X) гэж тэмдэглэнэ.
Бидэнд тодорхой магадлал бүхий бие биенээсээ үл хамаарах үйл явдлын 5 утга байна гэж бодъё (жишээлбэл, компанийн орлого ийм магадлалтай байсан). Математикийн хүлээлт нь бүх үр дүнгийн нийлбэрийг тэдгээрийн магадлалаар үржүүлсэн байна.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлтээс квадрат хазайх хүлээлт юм.
s 2 = E( 2 ) (6)
Нөхцөлт хүлээгдэж буй утга - S үйл явдал аль хэдийн болсон тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн хүлээгдэж буй утга.
Магадлалүйл явдлыг эерэг үр дүнгийн тооны харьцаа гэж нэрлэдэг энэ үйл явдал, энэ үйл явдал тохиолдож болох туршлагын адил боломжтой бүх үр дүнгийн тоогоор. А үйл явдлын магадлалыг P(A) гэж тэмдэглэв (энд P нь эхний үсэг юм Франц үг probabilite - магадлал). Тодорхойлолтын дагуу
(1.2.1)
А үйл явдалд таатай анхан шатны үр дүнгийн тоо хаана байна; - туршилтын бүх адил боломжтой анхан шатны үр дүнгийн тоо, бүрдүүлэх бүтэн бүлэгүйл явдал.
Магадлалын энэ тодорхойлолтыг сонгодог гэж нэрлэдэг. Энэ нь үүссэн эхний шатмагадлалын онолын хөгжил.
Үйл явдлын магадлал нь дараахь шинж чанартай байдаг.
1. Магадлал найдвартай үйл явдалнэгтэй тэнцүү. Найдвартай үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэе. Тиймээс тодорхой үйл явдлын хувьд
(1.2.2)
2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0 байна. Боломжгүй үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэе. Тиймээс боломжгүй үйл явдлын хувьд
(1.2.3)
3. Магадлал санамсаргүй үйл явдалилэрхийлэгддэг эерэг тоо, нэгээс бага. Санамсаргүй тохиолдлын хувьд , эсвэл , тэгш бус байдал хангагдсан тул
(1.2.4)
4. Аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгш бус байдлыг хангадаг
(1.2.5)
Энэ нь (1.2.2) - (1.2.4) харилцаанаас үүсдэг.
Жишээ 1.Нэг саванд ижил хэмжээтэй, жинтэй 10 бөмбөг байх ба үүнээс 4 нь улаан, 6 нь цэнхэр байна. Нэг бөмбөгийг савнаас гаргаж авдаг. Тассан бөмбөг цэнхэр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Бид "зурсан бөмбөг цэнхэр болсон" үйл явдлыг А үсгээр тэмдэглэж байна. Энэ тест нь адил боломжтой 10 энгийн үр дүнтэй бөгөөд үүнээс 6 нь А үйл явдалд таатай байна. (1.2.1) томъёоны дагуу бид олж авна. 
Жишээ 2. 1-ээс 30 хүртэлх бүх натурал тоог ижил картууд дээр бичиж, саванд хийнэ. Картуудыг сайтар хольсны дараа нэг картыг савнаас гаргаж авдаг. Авсан карт дээрх тоо 5-ын үржвэр байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.“Авсан карт дээрх тоо 5-ын үржвэр” гэсэн үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе. Энэ тестэнд 30 ижил боломжтой энгийн үр дүн байгаа бөгөөд үүнээс 6 үр дүн (5, 10, 15, 20, 25, 30 тоо) А үйл явдлыг илүүд үздэг. Тиймээс, 
Жишээ 3.Хоёр шоо шидэж, нийт оноог тооцдог. дээд нүүрүүд. Шооны дээд тал нь нийт 9 оноотой байх В үйл явдлын магадлалыг ол.
Шийдэл.Энэ тестэнд зөвхөн 6 2 = 36 адил боломжтой энгийн үр дүн байдаг. (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) гэсэн 4 үр дүн нь В үйл явдалд таатай байна. 
Жишээ 4. Санамсаргүй байдлаар сонгосон натурал тоо, 10-аас ихгүй байна. Энэ тоо анхны байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл."Сонгосон тоо анхны" үйл явдлыг С үсгээр тэмдэглэе. Энэ тохиолдолд n = 10, m = 4 ( анхны тоонууд 2, 3, 5, 7). Тиймээс шаардлагатай магадлал 
Жишээ 5.Хоёр тэгш хэмтэй зоос шидсэн байна. Хоёр зоосны дээд талд тоо байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.“Зоос бүрийн дээд талд тоо байгаа” үйл явдлыг D үсгээр тэмдэглэе. Энэ тестэнд 4 адил боломжтой энгийн үр дүн байдаг: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Тэмдэглэгээ (G, C) нь эхний зоос нь төрийн сүлдтэй, хоёр дахь нь дугаартай гэсэн үг юм). D үйл явдлыг нэг үндсэн үр дүн (C, C) илүүд үздэг. m = 1, n = 4 тул 
Жишээ 6.Санамсаргүй байдлаар сонгосон хоёр оронтой тоо ижил цифртэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Хоёр оронтой тоо 10-аас 99 хүртэлх тоонууд; Нийт 90 ийм тоо байдаг 9 тоо нь ижил оронтой (эдгээр нь 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Энэ тохиолдолд m = 9, n = 90, тэгвэл 
,
Энд А нь "ижил оронтой тоо" үйл явдал юм.
Жишээ 7.Үгийн үсгүүдээс дифференциалНэг үсэг санамсаргүй байдлаар сонгогддог. Энэ үсэг нь: а) эгшиг, б) гийгүүлэгч, в) үсэг байх магадлал хэд вэ? h?
Шийдэл. Дифференциал гэдэг үг нь 12 үсэгтэй ба үүнээс 5 нь эгшиг, 7 нь гийгүүлэгч. Захидал hэнэ үгэнд байхгүй. Үйл явдлыг тэмдэглэе: A - "эгшиг үсэг", B - "гийгүүлэгч үсэг", C - "үсэг" h". Тааламжтай энгийн үр дүнгийн тоо: - А үйл явдлын хувьд, - В үйл явдлын хувьд, - С үйл явдлын хувьд. n = 12 тул
, Мөн .
Жишээ 8.Хоёр шоо шидэж, шоо бүрийн дээд талд байгаа онооны тоог тэмдэглэнэ. Шооо хоёулаа өнхрөх магадлалыг ол ижил тоооноо.
Шийдэл.Энэ үйл явдлыг А үсгээр тэмдэглэе. А үйл явдал 6 үндсэн үр дүнгээр давуу тал болно: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). Бүтэн үйл явдлын бүлгийг бүрдүүлдэг адил боломжтой энгийн үр дүнгийн нийт тоо, энэ тохиолдолд n=6 2 =36. Энэ нь шаардлагатай магадлал гэсэн үг юм 
Жишээ 9.Уг ном 300 хуудастай. Санамсаргүй байдлаар нээгдсэн хуудас 5-д хуваагдах серийн дугаартай байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг ижил тэгш боломжтой бүх энгийн үр дүн нь n = 300 байх болно. Эдгээрээс m = 60 нь заасан үйл явдал тохиолдохыг дэмждэг. Үнэн хэрэгтээ 5-ын үржвэр тоо нь 5k хэлбэртэй байх ба энд k нь натурал тоо, эндээс . 
. Тиймээс, 
, энд A - "хуудас" үйл явдал нь 5"-ын үржвэрийн дарааллын дугаартай байна.
Жишээ 10. Хоёр шоо шидэж, дээд талын нүүрэн дээрх онооны нийлбэрийг тооцоолно. Нийт 7 эсвэл 8-ыг авах магадлал юу вэ?
Шийдэл. Үйл явдлыг тэмдэглэе: A - "7 оноо өнхрүүлэв", B - "8 оноо өнхрүүлэв". (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), (6; 1) гэсэн 6 үндсэн үр дүн нь А үйл явдалд давуу тал болно. 5 үр дүнгээр: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Бүх адил боломжтой энгийн үр дүн нь n = 6 2 = 36. Иймээс, Мөн .
Тэгэхээр P(A)>P(B), өөрөөр хэлбэл нийт 7 оноо авах нь нийт 8 оноо авахаас илүү магадлалтай үйл явдал юм.
Даалгаврууд
1. 30-аас ихгүй натурал тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон бөгөөд энэ тоо 3-ын үржвэр байх магадлал хэд вэ?
2. Уурхайн саванд аулаан ба бхэмжээ, жин нь ижил цэнхэр бөмбөг. Энэ савнаас санамсаргүй байдлаар гаргасан бөмбөг цэнхэр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
3. 30-аас ихгүй тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон.Энэ тоо 30-д хуваагч байх магадлал хэд вэ?
4. Уурхайн саванд Ацэнхэр ба бхэмжээ, жингийн хувьд ижил улаан бөмбөг. Энэ савнаас нэг бөмбөгийг аваад хажуу тийш нь тавина. Энэ бөмбөг улаан өнгөтэй болсон. Үүний дараа савнаас өөр бөмбөг гаргана. Хоёр дахь бөмбөг бас улаан байх магадлалыг ол.
5. 50-аас хэтрэхгүй улсын тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон.Энэ тоо анхны байх магадлал хэд вэ?
6. Гурван шоо шидэж, дээд талын нүүрэн дээрх онооны нийлбэрийг тооцоолно. Нийт 9 эсвэл 10 оноо авах магадлал илүү юу вэ?
7. Гурван шоо шидэж, өнхрүүлсэн онооны нийлбэрийг гаргана. Нийт 11 (А үйл явдал) эсвэл 12 оноо (B үйл явдал) авах магадлал нь юу вэ?
Хариултууд
1. 1/3. 2 . б/(а+б). 3 . 0,2. 4 . (б-1)/(а+б-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - нийт 9 оноо авах магадлал; p 2 = 27/216 - нийт 10 оноо авах магадлал; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Асуултууд
1. Үйл явдлын магадлалыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
2. Найдвартай үйл явдлын магадлал хэд вэ?
3. Боломжгүй үйл явдлын магадлал хэд вэ?
4. Санамсаргүй тохиолдлын магадлалын хязгаар нь юу вэ?
5. Аливаа үйл явдлын магадлалын хязгаар нь юу вэ?
6. Магадлалын ямар тодорхойлолтыг сонгодог гэж нэрлэдэг вэ?
