Mevsimler

Jeodezik çizgiler, jeodezik eğrilik Ev.

Bir noktada ve en az biri kaybolmayan sürekli kısmi türevleri varsa, o zaman bu noktanın komşuluğunda denklem (1) ile tanımlanan yüzey olacaktır. doğru yüzey Yukarıdakilere ek olarak belirtmenin örtülü yolu yüzey tanımlanabilir

açıkça , eğer değişkenlerden biri, örneğin z, diğerleri cinsinden ifade edilebiliyorsa: Ayrıca var

parametrik

atama şekli. Bu durumda yüzey denklem sistemi tarafından belirlenir: Basit yüzey kavramı Daha doğrusu, basit yüzey homeomorfik bir haritalamanın görüntüsü olarak adlandırılır (yani bire bir ve bire bir) sürekli ekran) bağırsaklar

birim kare . Bu tanıma analitik bir ifade verilebilir. Uçağa binelim dikdörtgen sistem u ve v koordinatları bir kare ile verilmiştir, koordinatlar< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

iç noktalar 0 eşitsizliklerini karşılayanÖrnek Basit yüzey kavramı basit yüzey

bir yarım küredir. Kürenin tamamı değil Basit yüzey kavramı. Bu durum yüzey kavramının daha da genelleştirilmesini gerektirmektedir. Ev .

Her noktasının bir komşuluğu olan uzayın bir alt kümesi

, isminde

Diferansiyel geometride yüzey

Helikoid katenoid Metrik yüzeyin şeklini benzersiz bir şekilde belirlemez. Örneğin, bir helikoid ve bir katenoidin buna göre parametrelendirilmiş metriği çakışır, yani bölgeleri arasında tüm uzunlukları (izometri) koruyan bir yazışma vardır. İzometrik dönüşümler altında korunan özelliklere denir

iç geometri

yüzeyler. İç geometri, yüzeyin uzaydaki konumuna bağlı değildir ve gerilme veya sıkıştırma olmaksızın büküldüğünde (örneğin, bir silindir bir koni şeklinde büküldüğünde) değişmez.

Metrik katsayılar sadece tüm eğrilerin uzunluklarını değil aynı zamanda genel olarak yüzey içindeki tüm ölçümlerin (açı, alan, eğrilik vb.) sonuçlarını da belirler. Bu nedenle yalnızca metriğe bağlı olan her şey iç geometriyi ifade eder.

Normal ve normal bölüm Yüzey noktalarındaki normal vektörler - Bir yüzeyin temel özelliklerinden biri, normal birim vektör:

, teğet düzleme dik

Bir yüzeyin normali (belirli bir noktada) içeren bir düzleme göre kesiti, yüzey üzerinde belirli bir eğri oluşturur; buna normal bölüm yüzeyler. Normal bir bölüm için ana normal, yüzeyin normaliyle (işarete kadar) çakışır.

Yüzeydeki eğri normal bir kesit değilse, bu durumda ana normali yüzeyin normali ile belirli bir θ açısı oluşturur. Daha sonra eğrilik k eğrilikle ilgili eğri k N Meunier formülüne göre normal kesit (aynı teğet ile):

Normal birim vektörün koordinatları farklı yollar yüzey atamaları tabloda verilmiştir:

	Bir yüzey noktasında normal koordinatlar
örtülü atama
açık atama
parametrik spesifikasyon

Eğrilik

Yüzeyin belirli bir noktasında farklı yönler için normal kesitin farklı bir eğriliği elde edilir. normal eğrilik; Eğrinin ana normali yüzeye normalle aynı yöndeyse artı işareti, normallerin yönleri zıtsa eksi işareti atanır.

Genel olarak konuşursak, yüzeydeki her noktada iki tane vardır. dik yönler e 1 ve e 2, normal eğriliğin minimum olduğu ve maksimum değer; bu yönlere denir ana. Bunun istisnası, tüm yönlerdeki normal eğriliğin aynı olduğu durumdur (örneğin, bir kürenin yakınında veya bir elipsoit dönüşünün sonunda), o zaman bir noktadaki tüm yönler asaldır.

Negatif (sol), sıfır (orta) ve pozitif (sağ) eğriliğe sahip yüzeyler.

Ana yönlerdeki normal eğriliklere denir ana eğrilikler; onları κ 1 ve κ 2 olarak gösterelim. Boyut:

isminde Gauss eğriliği, tam eğrilik ya da sadece eğrilik yüzeyler. Terim de var eğrilik skaler eğrilik tensörünün evrişiminin sonucunu ima eder; bu durumda eğrilik skaleri Gauss eğriliğinden iki kat daha büyüktür.

Gauss eğriliği bir metrik yoluyla hesaplanabilir ve bu nedenle yüzeylerin içsel geometrisinin bir nesnesidir (temel eğriliklerin içsel geometriye ait olmadığını unutmayın). Yüzey noktalarını eğrilik işaretine göre sınıflandırabilirsiniz (şekle bakın). Düzlemin eğriliği sıfırdır. R yarıçaplı bir kürenin eğriliği her yerde eşittir. Ayrıca sabit negatif eğriliğe sahip bir yüzey de vardır - sözde küre.

Jeodezik çizgiler, jeodezik eğrilik

Yüzeydeki eğriye denir jeodezik çizgi veya sadece jeodezik, eğer tüm noktalarında eğrinin ana normali yüzeyin normaliyle çakışıyorsa. Örnek: Bir düzlemde, jeodezikler düz çizgiler ve düz çizgilerin parçalarıdır, bir küre üzerinde - büyük daireler ve bunların parçaları.

Eşdeğer tanım: Jeodezik bir çizginin ana normalinin oskülatör düzlem üzerine bir izdüşümü vardır. sıfır vektör. Eğri jeodezik değilse belirtilen projeksiyon sıfırdan farklıdır; uzunluğu denir jeodezik eğrilik k G yüzeydeki eğri. Bir ilişki var:

Nerede k- bu eğrinin eğriliği, k N- aynı teğet ile normal bölümünün eğriliği.

Jeodezik çizgiler iç geometriyi ifade eder. Başlıca özelliklerini listeleyelim.

• Başından sonuna kadar bu nokta Belirli bir yöndeki yüzeylerde tek ve tek bir jeodezik vardır.
• Yüzeyin yeterince küçük bir alanında, iki nokta her zaman bir jeodezik ile ve ayrıca yalnızca bir nokta ile bağlanabilir. Açıklama: Bir küre üzerinde zıt kutuplar birbirine bağlıdır sonsuz sayı meridyenler ve iki yakın nokta yalnızca bir segmentle bağlanamaz büyük daire ama aynı zamanda onun tamamlayıcısı tam daire böylece benzersizlik yalnızca küçükte görülür.
• Jeodezik en kısa yoldur. Daha doğrusu: küçük bir yüzey parçası üzerinde en kısa yol Verilen noktalar arasında bir jeodezik boyunca uzanır.

Kare

Yüzeyin bir diğer önemli özelliği ise kare aşağıdaki formülle hesaplanır:

Koordinatlarda şunu elde ederiz:

	açık atama	parametrik spesifikasyon
alan ifadesi

Bir yüzeyimiz olsun denklem tarafından verilen tür

Hadi tanıştıralım aşağıdaki tanım.

Tanım 1. Düz bir çizgiye, bir noktada yüzeye teğet denir.

yüzeyde bulunan ve noktadan geçen herhangi bir eğriye teğettir.

P noktasından geçtiği için sonsuz sayı Yüzeyde farklı eğriler varsa, genel olarak konuşursak, bu noktadan geçen yüzeye sonsuz sayıda teğet olacaktır.

Bir yüzeyin tekil ve sıradan noktaları kavramını tanıtalım

Bir noktada üç türevin tümü sıfıra eşitse veya bu türevlerden en az biri mevcut değilse, M noktasına yüzeyin tekil noktası denir. Bir noktada üç türevin tümü mevcutsa ve sürekliyse ve bunlardan en az biri sıfırdan farklıysa, o zaman M noktasına yüzeyin sıradan noktası denir.

Şimdi aşağıdaki teoremi formüle edebiliriz.

Teorem. Belirli bir yüzeye (1) normal P noktasındaki tüm teğet çizgiler aynı düzlemde yer alır.

Kanıt. Yüzeyin belirli bir P noktasından geçen yüzey üzerindeki belirli bir L çizgisini (Şekil 206) ele alalım. Söz konusu eğrinin parametrik denklemlerle verilebilmesine izin verin

Eğrinin teğeti yüzeye teğet olacaktır. Bu teğetin denklemleri şu şekildedir:

Denklem (1)'de (2) ifadeleri yerine konulursa, eğri (2) yüzey (1) üzerinde yer aldığından bu denklem t'ye göre özdeşliğe dönüşecektir. Bunu elde ederek farklılaştırıyoruz

Bu vektörün izdüşümleri şunlara bağlıdır: P noktasının koordinatları; P noktası sıradan olduğundan, P noktasındaki bu izdüşümlerin aynı anda kaybolmadığına ve dolayısıyla

P noktasından geçen ve yüzeyde uzanan bir eğriye teğet. Bu vektörün izdüşümleri, P noktasına karşılık gelen t parametresinin değerindeki denklemlere (2) dayanarak hesaplanır.

Haydi hesaplayalım nokta çarpım N vektörleri ve aynı isimdeki projeksiyonların çarpımlarının toplamına eşit olan:

(3) eşitliğine göre sağ taraftaki ifade sıfıra eşit olduğundan,

Son eşitlikten, LG vektörü ile P noktasındaki eğriye (2) teğet vektörün dik olduğu sonucu çıkar. Yukarıdaki mantık, P noktasından geçen ve yüzey üzerinde uzanan herhangi bir eğri (2) için geçerlidir. Sonuç olarak, P noktasındaki yüzeye her teğet aynı N vektörüne diktir ve bu nedenle tüm bu teğetler LG vektörüne dik aynı düzlemde yer alır. Teorem kanıtlandı.

Tanım 2. Verilen P noktasından geçen yüzeydeki çizgilere tüm teğet çizgilerin bulunduğu düzleme, P noktasındaki yüzeye teğet düzlem denir (Şekil 207).

Yüzeyin tekil noktalarında teğet bir düzlem olmayabileceğini unutmayın. Bu tür noktalarda yüzeye teğet doğrular aynı düzlemde bulunmayabilir. Örneğin konik bir yüzeyin tepe noktası tekil bir noktadır.

Bu noktada konik yüzeye teğetler aynı düzlemde yer almazlar (kendileri konik yüzey).

Sıradan bir noktada yüzeye (1) teğet olan düzlemin denklemini yazalım. Bu düzlem (4) vektörüne dik olduğundan denklemi şu şekildedir:

Yüzeyin denklemi şeklinde verilirse veya bu durumda teğet düzlemin denklemi şu şekli alır:

Yorum. Formül (6)'yı koyarsak, bu formül şu şekli alacaktır:

o sağ taraf temsil etmek tam diferansiyel işlevler Buradan, . Böylece, iki değişkenli bir fonksiyonun bağımsız değişkenler x ve y'nin artışlarına karşılık gelen bir noktadaki toplam diferansiyeli, bu fonksiyonun grafiği olan teğet düzlemin yüzeye uygulanmasının karşılık gelen artışına eşittir.

Tanım 3. Yüzeydeki (1) teğet düzleme dik bir noktadan çizilen düz çizgiye yüzeye normal denir (Şekil 207).

Teğet düzlemler geometride büyük rol oynar. Pratik açıdan teğet düzlemlerin yapımı önemliçünkü bunların varlığı, temas noktasında yüzeye normalin yönünü belirlememize olanak tanır. Bu görev yaygın olarak kullanılmaktadır. mühendislik uygulaması. Teğet düzlemler aynı zamanda eskizlerin oluşturulmasında da kullanılır. geometrik şekiller kapalı yüzeylerle sınırlıdır. Teorik olarak diferansiyel geometride, temas noktası bölgesindeki bir yüzeyin özelliklerini incelemek için bir yüzeye teğet olan düzlemler kullanılır.

Temel kavramlar ve tanımlar

Yüzeye teğet olan düzlem, kesen düzlemin sınırlayıcı konumu olarak düşünülmelidir (aynı zamanda kesenin sınırlayıcı konumu olarak da tanımlanan eğriye teğet olan çizgiye benzer şekilde).

Yüzeyin belirli bir noktasında yüzeye teğet olan bir düzlem, tüm düz çizgilerin (belirli bir noktadan yüzeye çizilen teğetler) kümesidir.

Diferansiyel geometride, sıradan bir noktada çizilen bir yüzeye tüm teğetlerin aynı düzlemde olduğu (aynı düzleme ait olduğu) kanıtlanmıştır.

Yüzeye teğet düz bir çizginin nasıl çizileceğini öğrenelim. Yüzeyde belirtilen bir M noktasında (Şekil 203) β yüzeyine olan teğet, yüzeyle iki noktada (MM 1, MM 2, ..., MM n) kesişen sekant lj'nin sınırlayıcı konumunu temsil eder. kesişme noktaları çakışır (M ≡ M n , l n ≡ l M). Açıkçası (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, çünkü g ⊂ β. Yukarıdakilerden yola çıkarak aşağıdaki tanım şu şekildedir: bir yüzeye teğet, yüzeye ait herhangi bir eğriye teğet olan düz bir çizgidir.

Düzlem kesişen iki düz çizgiyle tanımlandığından, belirli bir noktada yüzeye teğet bir düzlem tanımlamak için bu noktadan yüzeye ait (tercihen şekli basit) iki rastgele çizgi çizmek ve bu noktaya teğetler oluşturmak yeterlidir. her biri bu çizgilerin kesiştiği noktada. Oluşturulan teğetler, teğet düzlemini benzersiz bir şekilde belirler. Belirli bir M noktasında β yüzeyine teğet olan bir α düzleminin çiziminin görsel bir temsili Şekil 2'de verilmiştir. 204. Bu şekil aynı zamanda β yüzeyine olan normal n'yi de göstermektedir.

Belirli bir noktada yüzeye normal, teğet düzleme dik olan ve teğet noktasından geçen düz bir çizgidir.

Yüzeyin normalden geçen bir düzlemle kesiştiği çizgiye yüzeyin normal kesiti denir. Yüzeyin türüne bağlı olarak teğet düzlemin yüzeyle bir veya daha fazla noktası (doğru) olabilir. Teğet çizgisi aynı zamanda yüzeyin düzlemle kesişme çizgisi de olabilir.

Yüzeyde yüzeye teğet çizmenin imkansız olduğu noktaların olduğu durumlar da vardır; bu tür noktalara tekil denir. Örnek olarak tekil noktalar meridyen ve eksen dik açıyla kesişmiyorsa, gövde yüzeyinin dönüş kenarına ait noktalar veya dönüş yüzeyi meridyeninin ekseni ile kesişme noktası belirtilebilir.

Dokunma türleri yüzey eğriliğinin doğasına bağlıdır.

Yüzey eğriliği

Yüzey eğriliği sorunları araştırıldı Fransız matematikçi F. Dupin (1784-1873), öneren görsel yol yüzeyin normal bölümlerinin eğriliklerindeki değişikliklerin görüntüleri.

Bunu yapmak için, M noktasında (Şekil 205, 206) söz konusu yüzeye teğet olan düzlemde, bu noktanın her iki tarafındaki normal bölümlere teğetlere bölümler yerleştirilir, köklere eşit bu bölümlerin karşılık gelen eğrilik yarıçaplarının değerlerinin karesi. Bir dizi nokta - bölümlerin uçları adı verilen bir eğriyi tanımlar Dupin'in göstergesi. Dupin göstergesini oluşturma algoritması (Şekil 205) yazılabilir:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

burada R eğrilik yarıçapıdır.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ An n) Dupin göstergesidir.

Bir yüzeyin Dupin göstergesi bir elips ise, M noktasına eliptik, yüzeye ise eliptik noktaları olan bir yüzey denir.(Şekil 206). Bu durumda teğet düzlemin yüzeyle yalnızca bir bağlantısı vardır. ortak nokta ve yüzeye ait olan ve söz konusu noktada kesişen tüm çizgiler teğet düzlemin bir tarafında bulunur. Eliptik noktalara sahip yüzeylerin örnekleri şunlardır: bir devrim paraboloidi, bir devrim elipsoidi, bir küre (bu durumda, Dupin göstergesi bir dairedir, vb.).

Gövde yüzeyine teğet bir düzlem çizerken, düzlem bu yüzeye düz bir generatrix boyunca değecektir. Bu doğru üzerindeki noktalara denir parabolik ve yüzey parabolik noktalara sahip bir yüzeydir. Bu durumda Dupin'in göstergesi iki paralel çizgidir (Şekil 207*).

Şek. Şekil 208, noktalardan oluşan bir yüzeyi göstermektedir.

* İkinci dereceden bir eğri - bir parabol - belirli koşullar altında iki gerçek paralel çizgiye, iki hayali paralel çizgiye ve iki çakışan çizgiye bölünebilir. Şek. 207 iki gerçek paralel çizgiyle uğraşıyoruz.

Herhangi bir teğet düzlem yüzeyle kesişir. Böyle bir yüzeye denir hiperbolik ve ona ait noktalar hiperbolik noktalar. Dupin'in Göstergesi bu durumda- abartı.

Tüm noktaları hiperbolik olan bir yüzey, bir eyer şekline sahiptir (eğik düzlem, tek tabakalı hiperboloit, içbükey dönüş yüzeyleri vb.).

Bir yüzeyin noktaları olabilir farklı türlerörneğin gövde yüzeyine yakın bir yerde (Şekil 209) M noktası eliptiktir; N noktası paraboliktir; K noktası hiperboliktir.

Diferansiyel geometri sırasında, K j = 1/ R j eğrilik değerlerinin (burada R j, söz konusu bölümün eğrilik yarıçapıdır) aşırı değerlere sahip olduğu normal bölümlerin ikide yer aldığı kanıtlanmıştır. karşılıklı dik düzlemler.

Bu tür eğrilikler K 1 = 1/R maks. K 2 = 1/R min temel olarak adlandırılır ve H = (K 1 + K 2)/2 ve K = K 1 K 2 değerleri sırasıyla yüzeyin ortalama eğriliği ve toplamdır (Gauss) söz konusu noktada yüzeyin eğriliği. Eliptik noktalar K > 0 için hiperbolik noktalar K

Monge diyagramında bir yüzeye teğet bir düzlem belirtme

Aşağıda, spesifik örnekler kullanarak eliptik (örnek 1), parabolik (örnek 2) ve hiperbolik (örnek 3) noktalara sahip bir yüzeye teğet bir düzlemin yapımını göstereceğiz.

ÖRNEK 1. Eliptik noktalara sahip β dönüş yüzeyine teğet bir α düzlemi oluşturun. Bu sorunu çözmek için iki seçeneği ele alalım: a) M noktası ∈ β ve b) M noktası ∉ β

Seçenek a (Şek. 210).

Teğet düzlemi, M noktasında β yüzeyinin paralel ve meridyenine çizilen iki t 1 ve t 2 teğet tarafından belirlenir.

T 1 teğetinin β yüzeyinin paralel h'sine izdüşümleri t" 1 ⊥ (S"M") ve t" 1 || olacaktır. x ekseni M noktasından geçen β yüzeyinin d meridyenine t"2 teğetinin yatay izdüşümü, meridyenin yatay izdüşümü ile çakışacaktır. Teğet t"2'nin önden izdüşümünü bulmak için meridyen düzlemi γ(γ) ∋ M) β yüzeyinin ekseni etrafında döndürülerek γ 1 konumuna aktarılır, düzleme paralelπ 2. Bu durumda, M → M 1 (M" 1, M" 1) noktası t" 2 rarr; t" 2 1 teğetinin izdüşümü (M" 1 S") ile belirlenir. Şimdi γ 1 düzlemini orijinal konumuna döndürürsek, o zaman S" noktası yerinde kalacaktır (dönme eksenine ait olarak) ve M" 1 → M" ve t" 2 teğetinin önden izdüşümü belirlenecek (M" S")

Bir M ∈ β noktasında kesişen iki t1 ve t2 teğeti, β yüzeyine teğet bir α düzlemini tanımlar.

Seçenek b (Şek. 211)

Yüzeye ait olmayan bir noktadan geçen bir yüzeye teğet bir düzlem oluşturmak için aşağıdaki düşüncelerden yola çıkılmalıdır: Eliptik noktalardan oluşan yüzeyin dışındaki bir nokta aracılığıyla yüzeye teğet birçok düzlem çizilebilir. Bu yüzeylerin zarfı konik bir yüzey olacaktır. Bu nedenle, eğer ek talimat yoksa, o zaman problemin birçok çözümü vardır ve bu durumda, belirli bir β yüzeyine teğet konik bir γ yüzeyinin çizilmesine indirgenir.

Şek. Şekil 211, β küresine teğet olan konik bir yüzeyin y yapısını göstermektedir. Konik yüzeye γ teğet olan herhangi bir α düzlemi, β yüzeyine teğet olacaktır.

γ yüzeyinin M" ve M" noktalarından izdüşümlerini oluşturmak için kürenin izdüşümleri olan h" ve f" dairelerine teğetler çizeriz. 1 (1" ve 1"), 2 (2" ve 2"), 3 (3" ve 3") ve 4 (4" ve 4") temas noktalarını işaretleyin. Bir dairenin yatay izdüşümü - konik yüzey ile kürenin teğetlik çizgisi [ 1"2"] içine yansıtılır. Bu dairenin üzerine izdüşüldüğü elipsin noktalarını bulmak için ön düzlem projeksiyonlarda kürenin paralelliklerini kullanacağız.

Şek. 211 bu şekilde tanımlanır ön projeksiyonlar E ve F noktaları (E" ve F"). Konik bir yüzeye sahip olan γ'ya teğet bir α düzlemi inşa ediyoruz. Grafiğin doğası ve sırası

Bunun için yapılması gereken yapılar aşağıdaki örnekte verilmiştir.

ÖRNEK 2 Parabolik noktalarla β yüzeyine teğet bir α düzlemi oluşturun

Örnek 1'de olduğu gibi iki çözümü ele alıyoruz: a) N ∈ β noktası; b) N noktası ∉ β

Seçenek a (Şek. 212).

Konik bir yüzey, parabolik noktalara sahip yüzeyleri ifade eder (bkz. Şekil 207). Konik bir yüzeye teğet olan bir düzlem, ona düz bir çizgi boyunca temas eder.

1) belirli bir N noktasından bir SN üreteci (S"N" ve S"N") çizin;

2) generatrisin (SN) d kılavuzuyla kesişme noktasını işaretleyin: (SN) ∩ d = A;

3) aynı zamanda A noktasındaki t'den d'ye teğete de çarpacaktır.

Generatrix (SA) ve onu kesen teğet, belirli bir N* noktasında konik yüzeye β teğet olan α düzlemini tanımlar.

β konik yüzeyine teğet olan ve N noktasından geçen bir α düzlemini çizmek için

* β yüzeyi parabolik noktalardan oluştuğu için (S tepe noktası hariç), ona teğet olan α düzleminin ortak noktası bir N noktası değil, düz bir çizgi (SN) olacaktır.

hasat verilen yüzey, gerekli:

1) belirli bir N noktasından ve β konik yüzeyinin S tepe noktasından düz bir çizgi çizin a (a" ve a") ;

2) bu H a düz çizgisinin yatay izini belirleyin;

3) H a aracılığıyla h 0β eğrisinin t" 1 ve t" 2 teğetlerini çizin - yatay iz konik yüzey;

4) A (A" ve A") ve B (B" ve B") teğet noktalarını S (S" ve S") konik yüzeyinin tepe noktasına bağlayın.

Kesişen t 1, (AS) ve t 2, (BS) çizgileri istenen teğet düzlemleri α 1 ve α 2'yi belirler

ÖRNEK 3. Hiperbolik noktalarla β yüzeyine teğet bir α düzlemi oluşturun.

K noktası (Şekil 214) kürenin yüzeyinde bulunur ( iç yüzey halkalar).

Teğet düzlem α'nın konumunu belirlemek için aşağıdakiler gereklidir:

1) β h(h", h") yüzeyine K noktasından geçen bir paralel çizin;

2) K" noktasından bir t" 1 (t" 1 ≡ h") teğeti çizin;

3) meridyen bölümüne teğetin çıkıntılarının yönlerini belirlemek için, γ düzlemini K noktasından ve yüzeyin ekseninden çizmek gerekir, yatay çıkıntı t" 2 h 0γ ile çakışacaktır; oluşturmak için t" 2 teğetinin önden izdüşümü, ilk olarak γ düzlemini dönme yüzeyinin ekseni etrafında γ 1 || konumuna çevirerek çeviririz. π 2. Bu durumda, γ düzlemine göre meridyen kesiti, önden projeksiyonun sol anahat yayı - yarım daire g" ile aynı hizada olacaktır.

Meridyen kesit eğrisine ait olan K (K", K") noktası, K 1 (K" 1, K" 1) konumuna hareket edecektir. K" 1 aracılığıyla t" 2 1 teğetinin γ 1 || düzlemiyle birleştirilmiş önden projeksiyonunu çizeriz. π 2 konumunu ve kesişme noktasını S" 1 dönme ekseninin ön izdüşümü ile işaretleyin. γ 1 düzlemini orijinal konumuna, K" 1 → K" noktasına (S" 1 ≡ S" noktası) döndürüyoruz t"2 teğetinin ön izdüşümü K" ve S" noktaları tarafından belirlenir.

T1 ve t2 teğetleri, l eğrisi boyunca β yüzeyiyle kesişen arzu edilen teğet düzlemi α'yı tanımlar.

ÖRNEK 4. K noktasında β yüzeyine teğet bir α düzlemi oluşturun. K noktası, tek yapraklı bir devrim hiperboloitinin yüzeyinde bulunur (Şekil 215).

Bu problem, önceki örnekte kullanılan algoritma takip edilerek çözülebilir, ancak tek sayfalık bir devrim hiperboloidinin yüzeyinin şu şekilde olduğu dikkate alınır: yönetilen yüzey iki ailesi olan doğrusal jeneratörler ve bir ailenin jeneratörlerinin her biri, başka bir ailenin tüm jeneratörleriyle kesişir (bkz. § 32, Şekil 138). Bu yüzeyin her noktasından kesişen iki düz çizgi çizilebilir - jeneratörler, bunlar aynı anda tek yapraklı bir hiperboloit devriminin yüzeyine teğet olacaktır.

Bu teğetler teğet düzlemi tanımlar, yani tek yapraklı bir hiperboloidin yüzeyine teğet olan düzlem, bu yüzeyi iki g1 ve g2 düz çizgisi boyunca keser. Bu çizgilerin izdüşümlerini oluşturmak için, K noktasının yatay izdüşümünü ve t" 1 ve t" 2 teğetlerini yataya taşımak yeterlidir.

d"2 dairesinin uzun izdüşümü - tek yapraklı bir hiperboloitin yüzeyinin boğazı; t"1 ve t"2'nin biriyle ve yönlendirici yüzeyler d1 ile kesiştiği 1" ve 2 noktalarını belirleyin. 1" ve 2"'den 1" ve 2"'yi buluruz, bunlar K" ile birlikte gerekli çizgilerin önden izdüşümlerini belirler.

Bir yüzey, koordinatları aşağıdaki koşulları karşılayan noktalar kümesi olarak tanımlanır. belirli bir tür denklemler:

Eğer fonksiyon F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) bir noktada sürekliyse ve en az biri yok olmayan sürekli kısmi türevleri varsa, bu noktanın komşuluğunda denklem (1) ile verilen yüzey şöyle olacaktır: Ev.

Bir noktada ve en az biri kaybolmayan sürekli kısmi türevleri varsa, o zaman bu noktanın komşuluğunda denklem (1) ile tanımlanan yüzey olacaktır. doğru yüzey yüzey tanımlanabilir belirtmenin örtülü yolu, eğer değişkenlerden biri, örneğin z, diğerleri cinsinden ifade edilebiliyorsa:

Daha kesin olarak Basit yüzey kavramı birim karenin iç kısmının homeomorfik haritalanmasının (yani bire bir ve karşılıklı olarak sürekli haritalamanın) görüntüsüdür. Bu tanıma analitik bir ifade verilebilir.

İç noktalarının koordinatları 0 eşitsizliklerini sağlayan u ve v dikdörtgen koordinat sistemine sahip bir düzlem üzerinde bir kare verilsin.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

iç noktalar 0 eşitsizliklerini karşılayanÖrnek Basit yüzey kavramı basit yüzey

bir yarım küredir. Kürenin tamamı değil Basit yüzey kavramı. Bu durum yüzey kavramının daha da genelleştirilmesini gerektirmektedir. Ev .

Her noktasının bir komşuluğu olan uzayın bir alt kümesi

, isminde

Diferansiyel geometride yüzey

Metrik yüzeyin şeklini benzersiz bir şekilde belirlemez. Örneğin, buna göre parametrelendirilmiş bir helikoid ve bir katenoidin metrikleri çakışır, yani bölgeleri arasında tüm uzunlukları (izometri) koruyan bir yazışma vardır. İzometrik dönüşümler altında korunan özelliklere denir katenoid yüzeyler. İç geometri, yüzeyin uzaydaki konumuna bağlı değildir ve gerilme veya sıkıştırma olmaksızın büküldüğünde (örneğin, bir silindir bir koni şeklinde büküldüğünde) değişmez.

Metrik katsayılar E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) sadece tüm eğrilerin uzunluklarını değil aynı zamanda genel olarak yüzey içindeki tüm ölçümlerin sonuçlarını da (açılar, alanlar, eğrilik vb.) belirler. Bu nedenle yalnızca metriğe bağlı olan her şey iç geometriyi ifade eder.

yüzeyler. İç geometri, yüzeyin uzaydaki konumuna bağlı değildir ve gerilme veya sıkıştırma olmaksızın büküldüğünde (örneğin, bir silindir bir koni şeklinde büküldüğünde) değişmez.

Metrik katsayılar sadece tüm eğrilerin uzunluklarını değil aynı zamanda genel olarak yüzey içindeki tüm ölçümlerin (açı, alan, eğrilik vb.) sonuçlarını da belirler. Bu nedenle yalnızca metriğe bağlı olan her şey iç geometriyi ifade eder.

Normal ve normal bölüm Yüzey noktalarındaki normal vektörler- belirli bir noktada teğet düzleme dik birim vektör:

, teğet düzleme dik

[ r sen ′ , r v ′ ] | normal bölüm yüzeyler. Normal bir bölüm için ana normal, yüzeyin normaliyle (işarete kadar) çakışır.

(\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))) Belirli bir noktada yüzey normalini içeren bir düzlem tarafından bir yüzeyin kesiti, belirli bir eğri olarak adlandırılan belirli bir eğri oluşturur. Yüzeydeki eğri normal bir kesit değilse, bu durumda ana normali yüzeyin normali ile belirli bir açı oluşturur. θ (\displaystyle \theta). Daha sonra eğrilik k (\displaystyle k) eğrilikle ilgili eğri

Meunier formülüne göre normal kesit (aynı teğet ile):

Burada D (y , z) D (u , v) = |.

y sen ′ y v ′ z sen ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = |.

Eğrilik

Yüzeyin belirli bir noktasında farklı yönler için normal kesitin farklı bir eğriliği elde edilir. normal eğrilik; Eğrinin ana normali yüzeye normalle aynı yöndeyse artı işareti, normallerin yönleri zıtsa eksi işareti atanır.

z sen ′ z v ′ x sen ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x sen ′ x v ′ y sen ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))) Tüm türevler noktada alınır ana. Bunun istisnası, tüm yönlerdeki normal eğriliğin aynı olduğu durumdur (örneğin, bir kürenin yakınında veya bir elipsoit dönüşünün sonunda), o zaman bir noktadaki tüm yönler asaldır.

Negatif (sol), sıfır (orta) ve pozitif (sağ) eğriliğe sahip yüzeyler.

Ana yönlerdeki normal eğriliklere denir ana eğrilikler(x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))) Genel olarak konuşursak, bir yüzeyin her noktasında birbirine dik iki yön vardır. x sen ′ x v ′ y sen ′ y v ′ | e 1 (\displaystyle e_(1)) Ve

normal eğriliğin minimum ve maksimum değerleri aldığı; bu yönlere denir eğrilik skaler eğrilik tensörünün evrişiminin sonucunu ima eder; bu durumda eğrilik skaleri Gauss eğriliğinden iki kat daha büyüktür.

; hadi onları belirleyelim κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))κ 2 (\displaystyle \kappa _(2))

. Boyut: K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2)) x sen ′ x v ′ y sen ′ y v ′ | Gauss eğriliği, toplam eğrilik veya basitçe yüzey eğriliği denir. Terim de var tek değişkenli bir fonksiyonun grafiğine çizilir ve bu nedenle hiçbir zorluk ortaya çıkmamalıdır.

Temel sorularla başlayalım: Teğet düzlem NEDİR ve normal NEDİR? Birçok insan bu kavramları sezgi düzeyinde anlıyor. En çok basit model Akla gelen, üzerinde ince, düz bir karton parçası bulunan bir toptur. Karton küreye mümkün olduğu kadar yakın konumlandırılır ve küreye tek bir noktada temas eder. Ayrıca temas noktasında dik bir şekilde yukarıya doğru yapışan bir iğne ile sabitlenir.

Teorik olarak teğet düzlemin oldukça ustaca bir tanımı vardır. Ücretsiz bir hayal edin yüzey ve ona ait olan nokta. Açıkçası, bu noktadan çok şey geçiyor uzaysal çizgiler, bu yüzeye ait olanlar. Kimin hangi dernekleri var? =) ...şahsen ben bir ahtapot hayal ettim. Bu tür her satırın olduğunu varsayalım. uzaysal teğet noktada.

Tanım 1: teğet düzlem bir noktada yüzeye - bu uçak belirli bir yüzeye ait olan ve noktadan geçen tüm eğrilerin teğetlerini içeren.

Tanım 2: Yüzey noktalarındaki normal vektörler bir noktada yüzeye - bu dümdüz teğet düzleme dik belirli bir noktadan geçen.

Basit ve zarif. Bu arada, malzemenin basitliğinden can sıkıntısından ölmemeniz için, biraz sonra sizinle çeşitli tanımları KESİNLİKLE unutmanıza olanak tanıyan zarif bir sırrı paylaşacağım.

Çalışma formülleri ve çözüm algoritması ile doğrudan şu adreste tanışacağız: spesifik örnek. Problemlerin büyük çoğunluğunda hem teğet düzlem denklemini hem de normal denklemi oluşturmak gerekir:

Örnek 1

Çözüm:eğer yüzey denklemle veriliyorsa (yani dolaylı olarak), daha sonra belirli bir yüzeye teğet düzlemin bir noktada denklemi şu şekilde bulunabilir: aşağıdaki formül:

Özel dikkat Olağandışı kısmi türevlere dikkat çekiyorum - onların karıştırılmamalıİle örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun kısmi türevleri (yüzey örtülü olarak belirtilmesine rağmen). Bu türevleri bulurken, kişiye rehberlik edilmelidir. Üç değişkenli bir fonksiyonun türevini alma kuralları yani herhangi bir değişkene göre türev alırken diğer iki harf sabit kabul edilir:

Yazar kasadan çıkmadan kısmi türevi şu noktada buluyoruz:

Aynı şekilde:

Bu, izin verilmediği takdirde bir hatanın sürekli olarak ortaya çıktığı kararın en tatsız anıydı. Ancak var etkili teknik sınıfta bahsettiğimi kontrol et Yönlü türev ve gradyan.

Tüm "içerikler" bulundu ve artık daha fazla basitleştirmeyle dikkatli bir ikame meselesi:

– genel denklemİstenilen teğet düzlem.

Çözümün bu aşamasını da kontrol etmenizi şiddetle tavsiye ederim. Öncelikle teğet noktanın koordinatlarının bulunan denklemi gerçekten karşıladığından emin olmanız gerekir:

- gerçek eşitlik.

Şimdi katsayıları “kaldırıyoruz” genel denklem düzlemleri bulun ve karşılık gelen değerlerle çakışma veya orantı açısından kontrol edin. Bu durumda orantılıdırlar. Hatırladığınız gibi analitik geometri kursu, - Bu normal vektör teğet düzlem ve o da kılavuz vektör normal düz çizgi. Hadi oluşturalım kanonik denklemler nokta ve yön vektörüne göre normaller:

Prensip olarak paydalar ikiye kadar azaltılabilir ancak buna özel bir ihtiyaç yoktur.

Cevap:

Denklemleri bazı harflerle belirtmek yasak değil ama yine neden? Burada neyin ne olduğu zaten son derece açık.

Aşağıdaki iki örnek içindir bağımsız karar. Küçük bir “matematiksel tekerleme”:

Örnek 2

Teğet düzlemin ve bu noktada yüzeye normalin denklemlerini bulun.

Ve teknik açıdan ilginç bir görev:

Örnek 3

Bir noktada yüzeye dik ve teğet düzlem için denklemler yazın

Bu noktada.

Sadece kafanızın karışması değil, aynı zamanda kayıt sırasında zorluklarla karşılaşma ihtimaliniz de var doğrunun kanonik denklemleri. Ve normal denklemler, muhtemelen anladığınız gibi, genellikle bu biçimde yazılır. Her ne kadar bazı nüansların unutulması veya göz ardı edilmesi nedeniyle parametrik form fazlasıyla kabul edilebilirdir.

Örnek örnekler Dersin sonunda çözümlerin sonuçlandırılması.

Yüzeyin herhangi bir noktasında teğet bir düzlem var mı? İÇİNDE genel durum Tabii ki değil. Klasik örnek- Bu konik yüzey ve nokta - bu noktadaki teğetler doğrudan konik bir yüzey oluşturur ve elbette aynı düzlemde yer almaz. Analitik olarak bir şeyin yanlış olduğunu doğrulamak kolaydır: .

Sorunların bir başka kaynağı da gerçektir. yokluk bir noktadaki herhangi bir kısmi türev. Ancak bu, belirli bir noktada tek bir teğet düzlemin olmadığı anlamına gelmez.

Ama pratikten çok popüler bilimdi önemli bilgi ve acil konulara dönüyoruz:

Bir noktada teğet düzlem ve normal için denklemler nasıl yazılır,
yüzey açık bir fonksiyonla belirtilmişse?

Bunu dolaylı olarak yeniden yazalım:

Aynı prensipleri kullanarak kısmi türevleri de buluyoruz:

Böylece teğet düzlem formülü şuna dönüştürülür: aşağıdaki denklem:

Ve buna göre, kanonik denklemler normaller:

Tahmin edebileceğiniz gibi, - bunlar zaten "gerçek" iki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri eskiden “z” harfiyle gösterdiğimiz noktada 100500 defa bulundu.

Lütfen bu makalede, gerekirse diğer her şeyi türetmenin kolay olduğu ilk formülü hatırlamanın yeterli olduğunu unutmayın. (elbette sahip olmak temel seviye hazırlık). Ders çalışırken kullanılması gereken yaklaşım budur kesin bilimler, yani Asgari bilgiden azami sonuç ve sonuçları “çıkarmaya” çalışmalıyız. “Düşünme” ve mevcut bilgi yardımcı olacaktır! Bu prensip aynı zamanda faydalıdır çünkü yüksek olasılık tasarruf edecek kritik durumçok az şey bildiğin zaman.

Birkaç örnekle “değiştirilmiş” formülleri çözelim:

Örnek 4

Teğet düzlem ve yüzeye normal için denklemler yazın noktada.

Burada notasyonlarda hafif bir örtüşme var - şimdi harf düzlemdeki bir noktayı gösteriyor, ama ne yapabilirsiniz - o kadar popüler bir mektup ki...

Çözüm: İstenilen teğet düzlemin denklemini aşağıdaki formülü kullanarak oluşturalım:

Fonksiyonun değerini şu noktada hesaplayalım:

Haydi hesaplayalım 1. dereceden kısmi türevler Bu noktada:

Böylece:

dikkatli olun, acele etmeyin:

Bu noktada normalin kanonik denklemlerini yazalım:

Cevap:

VE son örnek bağımsız çözüm için:

Örnek 5

Teğet düzlemin ve bu noktadaki yüzeye normalin denklemlerini yazın.

Son - çünkü neredeyse tüm teknik noktaları açıkladım ve eklenecek özel bir şey yok. Bu görevde önerilen işlevler bile sıkıcı ve monotondur - pratikte bir "polinom" ile karşılaşmanız neredeyse garantidir ve bu anlamda üslü Örnek 2 bir "kara koyun" gibi görünür. Bu arada denklemle tanımlanan bir yüzeyle karşılaşma ihtimaliniz çok daha yüksek ve bu da fonksiyonun yazıda ikinci sırada yer almasının bir başka nedeni.

Ve son olarak, vaat edilen sır: Peki, sıkışık tanımlardan nasıl kaçınılır? (Elbette bir öğrencinin sınavdan önce hararetli bir şekilde bir şeyler tıkıştırdığı durumu kastetmiyorum)

Herhangi bir kavram/olgu/nesnenin tanımı öncelikle şu soruya cevap verir: sonraki soru: BU NEDİR? (kim/böyle/böyle/bunlar). Bilinçli olarak cevap vermek bu soru, yansıtmaya çalışmalısın önemli işaretler, kesinlikle belirli bir kavramın/olgusun/nesnenin tanımlanması. Evet, ilk başta biraz dilin bağlı, yanlış ve gereksiz olduğu ortaya çıkıyor (öğretmen sizi düzeltecektir =)), ancak zamanla oldukça düzgün bilimsel konuşma gelişiyor.

En soyut nesneler üzerinde pratik yapın, örneğin şu soruyu yanıtlayın: Cheburashka kimdir? O kadar basit değil ;-) Bu " masal karakteri büyük kulaklı, gözlü ve kahverengi kürklü" mü? Tanımdan çok uzak; bu özelliklere sahip karakterlerin var olduğunu asla bilemezsiniz... Ancak bu tanıma çok daha yakın: “Cheburashka, yazar Eduard Uspensky tarafından 1966'da icat edilen bir karakterdir ve ... (ana liste) ayırt edici özellikler)» . Ne kadar iyi başladığına dikkat edin