Pisagor teoreminin görsel bir kanıtı. Pisagor teoremini kanıtlama yöntemleri

Shapovalova L.A. (Egorlykskaya istasyonu, MBOU ESOSH No. 11)

1. Glazer G.I. Matematik tarihi okul VII – VIII notları, öğretmenler için el kitabı, - M: Eğitim, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. “Bir Matematik Ders Kitabının Sayfalarının Arkası” 5-6. sınıf öğrencileri için bir el kitabı. – M.: Eğitim, 1989.

3. Zenkevich I.G. "Matematik dersinin estetiği." – M.: Eğitim, 1981.

4. Litzman V. Pisagor Teoremi. – M., 1960.

5.Voloshinov A.V. "Pisagor". – M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Bir cebir ders kitabının sayfalarının arkasında." – M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "10. sınıfta geometri." – M., 1986.

8. Gazete “Matematik” 17/1996.

9. Gazete “Matematik” 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodsky M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Sorunların toplanması ilköğretim matematik" – M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematik El Kitabı". – M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Pisagor'un sayı ve büyüklük doktrini." – Novosibirsk, 1997.

13. " Gerçek sayılar. İrrasyonel ifadeler» 8. sınıf. Yayınevi Tomsk Üniversitesi. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometri" notları 7-9. – M.: Eğitim, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

bunda akademik yıl tanıştım ilginç teorem, eski çağlardan beri biliniyor:

"Bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan kare, dik kenarların üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşittir."

Bu ifadenin keşfi genellikle antik Yunan filozofu ve matematikçi Pisagor'a (MÖ 6. yüzyıl) atfedilir. Ancak eski el yazmalarının incelenmesi, bu ifadenin Pisagor'un doğumundan çok önce bilindiğini gösterdi.

Bu durumda neden Pisagor adıyla ilişkilendirildiğini merak ettim.

Konunun alaka düzeyi: Pisagor teoremi büyük önem: Geometride kelimenin tam anlamıyla her adımda kullanılır. Pisagor'un eserlerinin hala geçerli olduğuna inanıyorum, çünkü nereye bakarsak bakalım, onun büyük fikirlerinin meyvelerini görebiliriz. çeşitli endüstriler modern yaşam.

Araştırmamın amacı Pisagor'un kim olduğunu ve bu teoremle ne ilgisi olduğunu bulmaktı.

Teoremin tarihini inceleyerek şunu bulmaya karar verdim:

Bu teoremin başka kanıtları var mı?

Bu teoremin insanların hayatındaki önemi nedir?

Pisagor matematiğin gelişiminde nasıl bir rol oynadı?

Pisagor'un biyografisinden

Samoslu Pisagor büyük bir Yunan bilim adamıdır. Şöhreti adından geliyor Pisagor teoremi. Artık bu teoremin bilindiğini bilmemize rağmen antik Babil Pisagor'dan 1200 yıl önce ve Mısır'da ondan 2000 yıl önce kenarları 3, 4, 5 olan bir dik üçgen biliniyordu, biz ona hâlâ bu kadim bilim adamının adını veriyoruz.

Pisagor'un hayatı hakkında neredeyse hiçbir şey güvenilir bir şekilde bilinmemektedir, ancak çok sayıda efsane onun adıyla ilişkilendirilmektedir.

Pisagor M.Ö. 570 yılında Samos adasında doğmuştur.

Pisagor güzel bir görünüme sahipti, uzun bir sakalı vardı ve başında altın bir taç vardı. Pisagor bir isim değil, filozofun bir Yunan kehaneti gibi her zaman doğru ve ikna edici konuşması nedeniyle aldığı bir lakaptır. (Pisagor - “konuşarak ikna edici”).

MÖ 550 yılında Pisagor bir karar verir ve Mısır'a gider. Yani Pisagor'dan önce açılıyor bilinmeyen ülke ve bilinmeyen bir kültür. Pisagor bu ülkede çok şaşırdı ve şaşırdı ve Mısırlıların yaşamına ilişkin bazı gözlemlerden sonra Pisagor, rahipler sınıfı tarafından korunan bilgiye giden yolun dinden geçtiğini fark etti.

Pisagor, Mısır'da on bir yıl eğitim gördükten sonra memleketine gider ve bu yolda kendini Babil esaretinde bulur. Orada Mısır'dan daha gelişmiş olan Babil bilimiyle tanıştı. Babilliler doğrusal, kare ve bazı türdeki denklemlerin nasıl çözüleceğini biliyorlardı. kübik denklemler. Esaretten kaçtığı için memleketinde hüküm süren şiddet ve zulüm ortamı nedeniyle uzun süre kalamadı. Croton'a (kuzey İtalya'daki bir Yunan kolonisi) taşınmaya karar verdi.

Pisagor'un hayatındaki en görkemli dönem Croton'da başladı. Orada dini-ahlaksal bir kardeşlik veya sır gibi bir şey kurdu. manastır düzeniÜyeleri sözde Pisagor yaşam tarzını sürdürmek zorunda kaldı.

Pisagor ve Pisagorcular

Pisagor organize edildi Yunan kolonisi Apennine Yarımadası'nın güneyinde, daha sonra Pisagor Birliği olarak anılacak olan manastır tarikatı gibi dini ve ahlaki bir kardeşlik vardı. Birliğin üyelerinin belirli ilkelere bağlı kalması gerekiyordu: Birincisi, güzel ve görkemli için çabalamak, ikincisi faydalı olmak ve üçüncüsü yüksek zevk için çabalamak.

Pisagor'un öğrencilerine miras bıraktığı ahlaki ve etik kurallar sistemi, Antik Çağ, Orta Çağ ve Rönesans döneminde çok popüler olan Pisagorluların "Altın Ayetleri" nin kendine özgü ahlaki kurallarında derlendi.

Pisagor sınıf sistemi üç bölümden oluşuyordu:

Sayıların öğretilmesi - aritmetik,

Şekiller - geometri ile ilgili öğretiler,

Evrenin yapısıyla ilgili doktrinler - astronomi.

Pisagor'un kurduğu eğitim sistemi yüzyıllarca varlığını sürdürdü.

Pisagor okulu geometriye bir bilim niteliği kazandırmak için çok şey yaptı. Pisagor yönteminin temel özelliği geometri ile aritmetiğin birleşimiydi.

Pisagor oranlar ve ilerlemelerle ve muhtemelen rakamların benzerliğiyle çok uğraştı, çünkü problemi çözdüğüne inanılıyor: “Verilen iki rakamdan, verilerden birine eşit büyüklükte ve ikinciye benzer bir üçüncüyü oluşturun. ”

Pisagor ve öğrencileri çokgen, dost, mükemmel sayılar kavramını tanıttılar ve bunların özelliklerini incelediler. Pisagor bir hesaplama pratiği olarak aritmetikle ilgilenmiyordu ve gururla "aritmetiği tüccarın çıkarlarının üstünde tuttuğunu" ilan etti.

Pisagor Birliği'nin üyeleri Yunanistan'ın birçok şehrinde ikamet ediyordu.

Pisagorcular da kadınları toplumlarına kabul ettiler. Sendika yirmi yıldan fazla bir süre boyunca gelişti ve ardından üyelerine yönelik zulüm başladı, öğrencilerin çoğu öldürüldü.

Pisagor'un ölümüyle ilgili birçok farklı efsane vardı. Ancak Pisagor ve öğrencilerinin öğretileri yaşamaya devam etti.

Pisagor teoreminin yaratılış tarihinden

Bu teoremin Pisagor tarafından keşfedilmediği artık bilinmektedir. Ancak bazıları bunun tam kanıtını ilk verenin Pisagor olduğuna inanıyor, diğerleri ise onun bu değerini inkar ediyor. Bazıları Öklid'in Elementler kitabının ilk kitabında verdiği kanıtı Pisagor'a atfeder. Proclus ise Elementler'deki kanıtın Öklid'e ait olduğunu iddia ediyor. Gördüğümüz gibi matematik tarihi, Pisagor'un hayatı ve onun matematiksel faaliyetleri hakkında neredeyse hiçbir güvenilir spesifik veriyi korumamıştır.

Pisagor teoreminin tarihsel incelemesine şu şekilde başlıyoruz: Antik Çin. Burada özel ilgiçekiyor matematik kitabı Chupei. Bu makale şunu anlatıyor Pisagor üçgeni 3, 4 ve 5 numaralı taraflarla:

“Bir dik açı kendisini oluşturan parçalara ayrıştırılırsa, kenarlarının uçlarını birleştiren çizgi 5, taban 3 ve yükseklik 4 olduğunda olacaktır.”

Yapım yöntemlerini çoğaltmak çok kolaydır. 12 m uzunluğunda bir ip alalım ve ona 3 m mesafede renkli bir şerit bağlayalım. bir uçtan ve diğer uçtan 4 metre. Dik açı, 3 ila 4 metre uzunluğundaki kenarlar arasında çevrelenecektir.

Hindular arasında geometri kültle yakından bağlantılıydı. Hipotenüs teoreminin karesi muhtemelen MÖ 8. yüzyılda Hindistan'da zaten biliniyordu. Tamamen ritüel reçetelerin yanı sıra geometrik teolojik nitelikte çalışmalar da var. MÖ 4. veya 5. yüzyıla tarihlenen bu yazılarda, yapıyla karşılaşıyoruz. dik açı kenarları 15, 36, 39 olan bir üçgen kullanarak.

Orta Çağ'da, Pisagor teoremi mümkün olan en büyük olmasa da en azından iyi olanın sınırını belirliyordu. matematik bilgisi. Artık bazen okul çocukları tarafından örneğin bornoz giymiş bir profesöre veya silindir şapkalı bir adama dönüştürülen Pisagor teoreminin karakteristik çizimi, o günlerde matematiğin sembolü olarak sıklıkla kullanılıyordu.

Sonuç olarak, Pisagor teoreminin Yunanca, Latince ve Almanca'dan çevrilmiş çeşitli formülasyonlarını sunuyoruz.

Öklid teoremi şunu belirtir (literal çeviri):

“Bir dik üçgende, kenarın karesi dik açının üzerine uzanır kareye eşit Dik açıyı içeren kenarlardayım.”

Gördüğümüz gibi, içinde farklı ülkeler Ve farklı diller Tanıdık teoremin formülasyonunun farklı versiyonları vardır. Oluşturulma tarihi farklı zamanlar ve farklı dillerde, kanıtı da çeşitli seçeneklere sahip olan bir matematik yasasının özünü yansıtırlar.

Pisagor teoremini kanıtlamanın beş yolu

Antik Çin kanıtları

Eski bir Çin çizimi dört eşit parçayı gösteriyor dik üçgen a, b ve hipotenüs c bacakları, dış konturları a + b kenarlı bir kare oluşturacak ve iç kontur, hipotenüs üzerine inşa edilmiş c kenarlı bir kare oluşturacak şekilde düzenlenmiştir.

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Hardfield'ın Kanıtı (1882)

İki eşit dik üçgeni birinin ayağı diğerinin devamı olacak şekilde yerleştirelim.

Söz konusu yamuğun alanı, tabanların ve yüksekliğin toplamının yarısının ürünü olarak bulunur.

Öte yandan yamuğun alanı, ortaya çıkan üçgenlerin alanlarının toplamına eşittir:

Bu ifadeleri eşitlersek şunu elde ederiz:

Kanıt basit

Bu kanıt, ikizkenar dik üçgenin en basit durumunda elde edilir.

Muhtemelen teoremin başladığı yer burasıdır.

Aslında teoremin geçerliliğine ikna olmak için ikizkenar dik üçgenler mozaiğine bakmak yeterlidir.

Örneğin ABC üçgeni için: AC hipotenüsü üzerine kurulan kare 4 orijinal üçgen içerir, yanlara kurulan kareler ise iki orijinal üçgen içerir. Teorem kanıtlandı.

Antik Hinduların kanıtı

Kenarı (a + b) olan bir kare, Şekil 2'deki gibi parçalara bölünebilir. 12.a veya Şekil 12.a'daki gibi. 12, b. Her iki resimde de 1, 2, 3, 4 numaralı parçaların aynı olduğu açıktır. Ve eğer eşitleri eşit alanlardan çıkarırsanız, o zaman eşit kalacaklar, yani. c2 = a2 + b2.

Öklid'in kanıtı

İki bin yıl boyunca Pisagor teoreminin en yaygın kullanılan kanıtı Öklid'inkiydi. Ünlü kitabı “İlkeler”de yer almaktadır.

Öklid, BN yüksekliğini dik açının tepesinden hipotenüse indirdi ve devamının, hipotenüs üzerinde tamamlanan kareyi, alanları yanlarda oluşturulan karşılık gelen karelerin alanlarına eşit olan iki dikdörtgene böldüğünü kanıtladı.

Bu teoremi kanıtlamak için kullanılan çizime şaka amaçlı "Pisagor pantolonu" adı veriliyor. Uzun süre matematik biliminin sembollerinden biri olarak kabul edildi.

Pisagor teoreminin uygulanması

Pisagor teoreminin önemi, geometri teoremlerinin çoğunun ondan veya onun yardımıyla türetilebilmesi ve birçok problemin çözülebilmesidir. Bunun yanı sıra, pratik önemi Pisagor teoremi ve onun tersi teoremi, onların yardımıyla, parçaları ölçmeden parçaların uzunluklarını bulabilmenizdir. Bu, sanki düz bir çizgiden düzleme, düzlemden hacimsel uzaya ve ötesine giden yolu açar. Her şeyi keşfetme çabasında olan insanlık için Pisagor teoremi bu nedenle bu kadar önemlidir. daha fazla boyut ve bu boyutlarda teknolojiler yaratın.

Çözüm

Pisagor teoremi o kadar meşhurdur ki, onu duymamış birinin hayal etmesi zordur. Pisagor teoremini kanıtlamanın birkaç yolu olduğunu öğrendim. İnternetteki bilgiler de dahil olmak üzere bir dizi tarihi ve matematiksel kaynağı inceledim ve Pisagor teoreminin yalnızca tarihi açısından değil, aynı zamanda işgal ettiği konu açısından da ilginç olduğunu fark ettim. önemli yer hayatta ve bilimde. Bu, bu teoremin metninin çeşitli yorumlarıyla ve bu çalışmada benim tarafımdan verilen kanıtlama yollarıyla kanıtlanmaktadır.

Yani, Pisagor teoremi ana ve söylenebilir ki en önemli teoremlerden biridir. ana teorem geometri. Önemi, geometri teoremlerinin çoğunun ondan veya onun yardımıyla çıkarılabileceği gerçeğinde yatmaktadır. Pisagor teoremi de dikkat çekicidir çünkü kendi içinde hiç de açık değildir. Örneğin, özellikler ikizkenar üçgen doğrudan çizim üzerinde görülebilir. Ancak bir dik üçgene ne kadar bakarsanız bakın, kenarları arasında basit bir ilişki olduğunu asla göremezsiniz: c2 = a2 + b2. Bu nedenle, bunu kanıtlamak için sıklıkla görselleştirme kullanılır. Pisagor'un değeri, bu teoremin tam bir bilimsel kanıtını vermesiydi. Bu teoremin hafızasını tesadüfen korumadığı bilim insanının kişiliği de ilginçtir. Pisagor harika bir konuşmacı, öğretmen ve eğitimcidir, okulunun organizatörüdür, müzik ve sayıların, iyilik ve adaletin, bilgi ve adaletin uyumuna odaklanmıştır. sağlıklı görüntü hayat. Biz uzak torunlara örnek teşkil edebilir.

Bibliyografik bağlantı

Pisagor Teoreminin İspatı

Şekillerin eşit büyüklükte olması kavramının kullanımına dayalı ispatlar.

Bu durumda, belirli bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine inşa edilen bir karenin, yan taraflara inşa edilen karelerle aynı şekillerden "oluştuğunu" kanıtlayabiliriz. Ayrıca rakamların toplamlarının yeniden düzenlenmesini kullanan ve bir takım yeni fikirleri hesaba katan kanıtları da değerlendirebiliriz.

Şek. Şekil 2 iki eşit kareyi göstermektedir. Her karenin kenar uzunluğu a + b'dir. Karelerin her biri kareler ve dik üçgenlerden oluşan parçalara bölünmüştür. Bacakları a, b olan bir dik üçgenin dörtlü alanı karenin alanından çıkarılırsa eşit alanların kalacağı açıktır, yani. c 2 = a 2 + b 2 . Ancak bu düşüncenin ait olduğu eski Hindular genellikle bunu yazmadılar, ancak

Çizime tek bir kelime eşlik etti: "Bak!" Pisagor'un da aynı kanıtı sunması oldukça olasıdır.

İlave kanıtlar.

Bu kanıtlar, bacaklar üzerine inşa edilmiş karelerin, hipotenüs üzerine inşa edilmiş bir karenin eklenebileceği rakamlara ayrıştırılmasına dayanmaktadır.

Einstein'ın kanıtı (Şekil 3), hipotenüs üzerine kurulu bir karenin 8 üçgene ayrıştırılmasına dayanmaktadır.

Burada: ABC, dik açısı C olan bir dik üçgendir; CİMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.

Bacaklar ve hipotenüs üzerine inşa edilen karelerin bölünmesiyle elde edilen üçgenlerin ikili eşitliğini bağımsız olarak kanıtlayın.

Şek. Şekil 4, Öklid'in Unsurları üzerine ortaçağ Bağdat yorumcusu el-Neyriziyah'nın bölünmesini kullanan Pisagor teoreminin kanıtını göstermektedir. Bu bölümde hipotenüs üzerine kurulan kare 3 üçgene ve 2 dörtgene bölünmüştür. Burada: ABC, dik açısı C olan bir dik üçgendir; DE = BF.

Bu bölümü kullanarak teoremi kanıtlayın.

El-Neyriziyah'ın deliline dayanarak, karelerin çiftlere ayrıştırılması daha gerçekleştirildi. eşit rakamlar(Şekil 5, burada ABC, C dik açısına sahip bir dik üçgendir).

· “Bıçaklı tekerlek” adı verilen kareleri eşit parçalara ayırma yönteminin bir başka kanıtı Şekil 2'de gösterilmektedir. 6. Burada: ABC, C dik açısına sahip bir dik üçgendir; O geniş bir kenar üzerine kurulu karenin merkezidir; O noktasından geçen noktalı çizgiler hipotenüse dik veya paraleldir.

· Karelerin bu ayrışımı ilginçtir çünkü ikili eşit dörtgenler paralel öteleme yoluyla birbirleri üzerine eşlenebilir. Pisagor teoreminin diğer birçok kanıtı, karelerin rakamlara ayrıştırılması kullanılarak sunulabilir.

Yapım yöntemiyle ispatlar.

Bu yöntemin özü, bacaklar üzerine kurulan karelere ve hipotenüs üzerine kurulan kareye eşit rakamların eklenmesiyle eşit rakamlar elde edilmesidir.

· Şek. Şekil 7, her zamanki Pisagor figürünü göstermektedir - yanlarında kareler bulunan bir ABC dik üçgeni. Bu şekle, orijinal dik üçgene eşit olan 1 ve 2 numaralı üçgenler eklenmiştir.

Pisagor teoreminin geçerliliği, AEDFPB ve ACBNMQ altıgenlerinin eşit büyüklükte olmasından kaynaklanmaktadır. Burada CÎEP, EP doğrusu AEDFPB altıgenini iki eşit boyutlu dörtgene böler; CM çizgisi ACBNMQ altıgenini iki eşit boyutlu dörtgene böler; Düzlemin A merkezi etrafında 90° döndürülmesi, dörtgen AEPB'yi dörtgen ACMQ'ya eşler.

· Şek. 8 Pisagor figürü kenarları bacaklar üzerine inşa edilen karelerin karşılık gelen kenarlarına paralel olan bir dikdörtgen şeklinde tamamlanmıştır. Bu dikdörtgeni üçgenlere ve dikdörtgenlere bölelim. Ortaya çıkan dikdörtgenden ilk önce tüm 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 çokgenlerini çıkarıyoruz ve hipotenüs üzerinde kurulu bir kare bırakıyoruz. Daha sonra aynı dikdörtgenden 5, 6, 7 numaralı dikdörtgenleri ve gölgeli dikdörtgenleri çıkarıyoruz, bacaklar üzerine inşa edilmiş kareler elde ediyoruz.

Şimdi birinci durumda çıkarılan rakamların ikinci durumda çıkarılan rakamlara eşit büyüklükte olduğunu kanıtlayalım.

· Pirinç. Şekil 9, Nassir-ed-Din (1594) tarafından verilen kanıtı göstermektedir. Burada: PCL – düz çizgi;

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;

dolayısıyla c 2 = a 2 + b 2 .

Pirinç. Şekil 11, Hoffmann tarafından önerilen daha orijinal bir başka kanıtı göstermektedir.

Burada: C dik açısına sahip ABC üçgeni; BF segmenti CB'ye dik ve ona eşittir, BE segmenti AB'ye dik ve ona eşittir, AD segmenti AC'ye dik ve ona eşittir; F, C, D noktaları aynı doğruya aittir; ABF=ECB olduğundan ADFB ve ACBE dörtgenlerinin boyutları eşittir; ADF ve ACE üçgenlerinin boyutları eşittir; her iki eşit dörtgenden ortak ABC üçgenini çıkarırsak, şunu elde ederiz:

Cebirsel ispat yöntemi.

· Pirinç. Şekil 12, büyük Hintli matematikçi Bhaskari'nin (Livati'nin ünlü yazarı, 12. yüzyıl) kanıtını göstermektedir. Çizime tek bir kelime eşlik ediyordu: BAKIN! Pisagor teoreminin kanıtları arasında cebirsel yöntemİlk sırada (belki de en eskisi) benzerlik kullanılarak yapılan ispat yer almaktadır.

· Bu delillerden Pisagor'a ait bir tanesini modern bir sunumla sunalım.

Şek. 13 ABC – dikdörtgen, C – dik açı, CM^AB, b1 – b kenarının hipotenüse izdüşümü, a1 – a bacağının hipotenüse izdüşümü, h – üçgenin hipotenüse çizilen yüksekliği.

DABC'nin DACM'ye benzemesi gerçeğinden şu sonuç çıkıyor:

b2 = cb1; (1)

DABC'nin DBCM'ye benzemesi gerçeğinden şu sonuç çıkıyor:

a 2 = yaklaşık 1. (2)

(1) ve (2) eşitliklerini terim terim toplayarak a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 elde ederiz.

Eğer Pisagor gerçekten böyle bir kanıt sunmuşsa, o zaman aynı zamanda bir takım önemli geometrik teoremlere de aşinaydı. modern tarihçiler matematikçiler bunu genellikle Öklid'e bağlarlar.

Moehlmann'ın kanıtı (Şekil 14).

Belirli bir dik üçgenin alanı, bir yandan diğerine eşittir; burada p, üçgenin yarı çevresidir, r, içine yazılan dairenin yarıçapıdır.

buradan c2=a2+b2 sonucu çıkar.

Garfield'ın kanıtı.

Şekil 15'te üç dik üçgen bir yamuk oluşturmaktadır. Bu nedenle bu şeklin alanı alan formülü kullanılarak bulunabilir. dikdörtgen yamuk veya üç üçgenin alanlarının toplamı olarak. İlk durumda bu alan şuna eşittir:

ikincisinde

Bu ifadeleri eşitleyerek Pisagor teoremini elde ederiz.

Pisagor teoreminin, açıklanan yöntemlerin her biri tarafından veya çeşitli yöntemlerin bir kombinasyonu kullanılarak gerçekleştirilen birçok kanıtı vardır. Çeşitli kanıt örneklerinin gözden geçirilmesinin sonunda, Öklid'in Unsurlarında atıfta bulunulan sekiz yöntemi gösteren daha fazla çizim sunuyoruz (Şekil 16 - 23). Bu çizimlerde Pisagor figürü düz çizgiyle, ek yapılar ise noktalı çizgiyle gösterilmiştir.

Yukarıda bahsedildiği gibi, eski Mısırlılar, 2000 yıldan fazla bir süre önce, dik açı oluşturmak için kenarları 3, 4, 5 olan bir üçgenin özelliklerini pratikte kullandılar, yani aslında Pisagor teoreminin tersi olan teoremi kullandılar. Bu teoremin üçgenlerin eşitliği kriterine (yani okulda çok erken yaşta tanıtılabilecek) dayanan bir kanıtını sunalım. O halde bırakın partiler ABC üçgeni(Şekil 24) ilişkiyle ilişkilidir

c2 = a2 + b2 . (3)

Bu üçgenin dik açılı olduğunu kanıtlayalım.

Uzunlukları a ve b bacaklarının uzunluklarına eşit olan iki bacak boyunca bir A1B1C1 dik üçgeni oluşturalım. verilen üçgen(Şekil 25).

Oluşturulan üçgenin hipotenüsünün uzunluğu c1'e eşit olsun. Oluşturulan üçgen dik açılı olduğundan Pisagor teoremine göre şunu elde ederiz: c 1 2 = a 2 + b 2. (4)

(3) ve (4) ilişkilerini karşılaştırarak şunu elde ederiz:

c 1 2 = c 2 veya c 1 = c.

Böylece verilen ve oluşturulan üçgenler eşittir, çünkü içlerinde sırasıyla üç tane vardır. eşit taraflar. C1 açısı dik olduğundan bu üçgenin C açısı da diktir.

Ayrıştırma yöntemiyle kanıt

Bacaklar ve hipotenüs üzerine inşa edilen karelerin, hipotenüs üzerine inşa edilen karenin her bir parçası, bacaklar üzerine inşa edilen karelerden birinin bir kısmına karşılık gelecek şekilde kesildiği Pisagor teoreminin bir dizi kanıtı vardır. Tüm bu durumlarda, ispatı anlamak için çizime bir bakış yeterlidir; Buradaki mantık, eski Hindu matematikçilerinin yazılarında yapıldığı gibi, tek bir kelimeyle sınırlandırılabilir: "Bak!". Bununla birlikte, aslında karşılık gelen tüm parçaların eşitliğini ispatlayana kadar ispatın tamamlanmış sayılamayacağına dikkat edilmelidir. Bunu yapmak neredeyse her zaman oldukça kolaydır, ancak yapılabilir (özellikle büyük miktarlar parçalar) oldukça fazla çalışma gerektirir.

Epstein'ın kanıtı

Epstein'ın ispatıyla başlayalım (Şekil 1); avantajı şu ki burada bileşenler ayrıştırmalar yalnızca üçgenleri içerir. Çizimi anlamak için, CD düz çizgisinin EF düz çizgisine dik olarak çizildiğine dikkat edin.

Üçgenlere ayrıştırma şekilde olduğundan daha görsel hale getirilebilir.

Nielsen'in kanıtı.

Şekilde yardımcı hatlar Nielsen'in önerisine göre değiştirilmiştir.

Boettcher'ın kanıtı.

Şekil çok net bir Bötcher ayrıştırmasını göstermektedir.

Perigal'in kanıtı.

Ders kitaplarında şekilde gösterilen ayrıştırmayla sıklıkla karşılaşılır (“bıçaklı tekerlek” olarak adlandırılan bu kanıt Perigal tarafından bulunmuştur). Büyük bacağın üzerine inşa edilen karenin O merkezi boyunca hipotenüse paralel ve dik düz çizgiler çiziyoruz. Şeklin parçalarının yazışmaları çizimden açıkça görülmektedir.

Gutheil'in kanıtı.

Şekilde gösterilen ayrışma Gutheil'den kaynaklanmaktadır; açık bir düzenleme ile karakterize edilir bireysel parçalar Bu, ikizkenar dik üçgen durumunun ne gibi basitleştirmeler gerektireceğini hemen görmenizi sağlar.

MS 9. yüzyıla ait kanıtlar

Daha önce, yalnızca bir tarafta hipotenüs üzerine inşa edilen bir karenin, diğer taraftan bacaklar üzerine inşa edilen karelerin eşit parçalardan oluştuğuna dair kanıtlar sunulmuştu. Bu tür ispatlara toplama yoluyla ispatlar ("toplam deliller") veya daha yaygın olarak ayrıştırma yoluyla ispatlar denir. Şimdiye kadar üçgenin karşılık gelen kenarlarına, yani üçgenin dışına inşa edilen karelerin olağan düzeninden ilerledik. Ancak birçok durumda karelerin farklı bir şekilde düzenlenmesi daha avantajlıdır.

Şekilde ayaklar üzerine kurulan kareler basamaklar halinde yan yana yerleştirilmiştir. Kanıtlarda görülen bu figürün MS 9. yüzyıldan daha geç bir döneme ait olmadığı görülüyor. Örneğin Hindular buna "gelin sandalyesi" adını verdiler. Bir kenarı olan bir kare oluşturma yöntemi hipotenüse eşit, çizimden açıkça anlaşılmaktadır. Genel bölüm Bacakların üzerine inşa edilmiş iki kare ve hipotenüs üzerine inşa edilmiş bir kare - düzensiz gölgeli beşgen 5. Buna 1 ve 2 numaralı üçgenleri ekleyerek, bacaklar üzerinde her iki kareyi de elde ederiz; 1 ve 2 numaralı üçgenleri eşit 3 ve 4 numaralı üçgenlerle değiştirirsek hipotenüs üzerine kurulmuş bir kare elde ederiz. Aşağıdaki resimler iki tane gösteriyor farklı yerler ilk şekilde verilene yakın.

Toplama yoluyla ispatlar

Kanıt bir.

Toplama yöntemiyle yapılan ispatların yanı sıra, toplama yöntemiyle ispat olarak da adlandırılan çıkarma yöntemiyle yapılan ispatlara da örnekler verebilirsiniz. Bu tür kanıtların genel fikri aşağıdaki gibidir.

ikiden eşit alanlar eşit parçaları çıkarmanız gerekir, böylece bir durumda bacaklar üzerinde inşa edilmiş iki kare, diğerinde ise hipotenüs üzerine inşa edilmiş bir kare kalır. Sonuçta, eğer eşitlik halindeyse

B-A=C ve B 1 -A 1 =C 1

A kısmı, A 1 parçasına eşit boyuttadır ve B kısmı, B 1 boyutuna eşittir, bu durumda C ve C 1 parçaları da boyut olarak eşittir.

Bu yöntemi bir örnekle açıklayalım. Şek. Her zamanki Pisagor şekline göre, 2 ve 3 numaralı üçgenler, orijinal 1 üçgenine eşit olacak şekilde yukarıya ve aşağıya iliştirilmiştir. DG düz çizgisi kesinlikle C'den geçecektir. Şimdi (bunu daha sonra kanıtlayacağız) DABGFE ve CAJKHB altıgenlerinin boyut olarak eşittir. İlkinden 1 ve 2 numaralı üçgenleri çıkarırsak, elimizde bacaklar üzerine inşa edilmiş kareler kalır, ikinci altıgenden çıkarırsak eşit üçgenler 1 ve 3'e göre hipotenüs üzerine kurulu bir kare olacak. Bundan, hipotenüs üzerine inşa edilen karenin, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşit olduğu sonucu çıkar.

Altıgenlerimizin boyutlarının eşit olduğunu kanıtlamaya devam ediyor. DG çizgisinin üst altıgeni eşit parçalara böldüğünü unutmayın; aynı şey CK düz çizgisi ve alt altıgen için de söylenebilir. DABGFE altıgeninin yarısı olan dörtgen DABG'yi A noktası etrafında saat yönünde 90 açıyla döndürelim; o zaman CAJKHB altıgeninin yarısı olan dörtgen CAJK ile çakışacaktır. Bu nedenle DABGFE ve CAJKHB altıgenlerinin boyutları eşittir.

Çıkarma yöntemini kullanan başka bir kanıt.

Çıkarma yöntemini kullanan başka bir ispata bakalım. Pisagor teoreminin tanıdık çizimini, kenarlarının yönleri üçgenin bacaklarının yönleriyle çakışan dikdörtgen bir çerçeveye yerleştirelim. Dikdörtgen birkaç üçgene, dikdörtgene ve kareye bölünürken şeklin bazı bölümlerine şekilde gösterildiği gibi devam edelim. Önce dikdörtgenin birkaç parçasını çıkaralım, böylece yalnızca hipotenüs üzerine kurulu kare kalsın. Bu parçalar aşağıdaki gibidir:

1. üçgenler 1, 2, 3, 4;

2. dikdörtgen 5;

3. dikdörtgen 6 ve kare 8;

4. dikdörtgen 7 ve kare 9;

Daha sonra dikdörtgenin parçalarını atıyoruz, böylece sadece katataların üzerine inşa edilen kareler kalıyor. Bu parçalar şöyle olacaktır:

1. dikdörtgenler 6 ve 7;

2. dikdörtgen 5;

3. dikdörtgen 1 (gölgeli);

4. dikdörtgen 2 (gölgeli);

Tek yapmamız gereken, alınan parçaların boyutlarının eşit olduğunu göstermek. Şekillerin dizilişi nedeniyle bunu görmek kolaydır. Şekilden şunu açıkça görüyoruz:

1. Dikdörtgen 5'in boyutu kendisine eşittir;

2. dört üçgen 1,2,3,4, boyut olarak iki dikdörtgen 6 ve 7'ye eşittir;

3. dikdörtgen 6 ve kare 8 birlikte ele alındığında dikdörtgen 1'e (gölgeli) eşit boyuttadır;

4. dikdörtgen 7, kare 9 ile birlikte dikdörtgen 2'ye (gölgeli) eşit boyuttadır;

Kanıt tamamlandı.

Diğer kanıtlar

Öklid'in kanıtı

Bu kanıt Öklid tarafından Elementler adlı eserinde verilmiştir. Proclus'a (Bizans) göre Euclid'in kendisi tarafından icat edilmiştir. Öklid'in kanıtı, Elementler kitabının ilk kitabının 47. cümlesinde verilmiştir.

Karşılık gelen kareler ABC dik üçgeninin hipotenüsü ve bacakları üzerine inşa edilmiştir ve BJLD dikdörtgeninin ABFH karesine ve ICEL dikdörtgeninin ACCC karesine eşit olduğu kanıtlanmıştır. O zaman bacaklardaki karelerin toplamı hipotenüs üzerindeki kareye eşit olacaktır.

Aslında ABD ve BFC üçgenlerinin iki kenarı ve aralarındaki açı eşittir:

FB = AB, BC = BD

PFBC = d + PABC = PABD

SABD = 1/2 S BJLD,

ABD üçgeni ve BJLD dikdörtgeninden beri ortak zemin BD ve toplam yükseklik LD. Aynı şekilde

(BF-ortak taban, AB-ortak yükseklik). Dolayısıyla bunu göz önünde bulundurarak

Benzer şekilde VSK ve ACE üçgenlerinin eşitliği kullanılarak şunu kanıtlanır:

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,

Q.E.D.

Hawkins'in kanıtı.

Doğası gereği hesaplamaya dayalı olan ancak öncekilerin hepsinden çok farklı olan bir kanıt daha verelim. 1909'da İngiliz Hawkins tarafından yayımlandı; daha önce bilinip bilinmediğini söylemek zor.

ABC dik üçgenini C dik açısıyla 90° döndürün, böylece A "CB" konumunu alır. A"B" hipotenüsünü A" noktasından geçerek D noktasında AB çizgisiyle kesişene kadar uzatalım. B"D parçası B"AB üçgeninin yüksekliği olacaktır. Şimdi gölgeli A"AB"B dörtgenini ele alalım. İki ikizkenar üçgen CAA" ve SVV"ye (veya iki A"B"A ve A"B"B üçgenine) ayrıştırılabilir.

Pisagor 100 boğayı kurban etti. Karikatürler Kanıt teoremler Pisagor... hipotenüs toplamına eşit bacak kareleri ( Teorem Pisagor).Kanıt:1. BJLD dikdörtgeninin eşit olduğunu kanıtlayalım...

Tarihe dönecek olursak, Pisagor teoremi Pisagor'un adını taşısa da onu keşfeden o değildir. Çünkü özel özellikler dikdörtgen dikdörtgen bilim adamları ondan çok daha erken çalışmaya başladılar. Ancak iki açıklama var. Birincisi Pisagor'un teoremi kanıtladığını söylüyor. İkincisi, buna göre o değil. Şu anda bu görüşlerden hangisinin doğru olduğunu doğrulamak mümkün değil ama ne yazık ki Pisagor'un bir kanıtı varsa bile günümüze ulaşamamıştır. Ayrıca Öklid'in yaptığı ispatın Pisagor tarafından yapıldığı ve Öklid'in bunu kamuoyuna açıkladığı yönünde bir görüş de vardır.
Şüphesiz Mısır'da firavunların hükümdarlığı döneminde dik üçgenle ilgili sorular ortaya çıktı. Babil tarihine de katıldı. Bundan şu sonuca varabiliriz bu teorem, eski çağlardan beri ilgi uyandırmıştır. Bugüne kadar 367 farklı delil var. Başka hiçbir teoremin övünemeyeceği bir şey.

Not: Laboratuar mobilyası arıyorsanız veya sadece çeker ocak satın almak istiyorsanız (http://www.labmet.ru/shkafy-vytyazhnye.html). Bu bağlantıyı takip edin ve ihtiyacınız olan her şeyi satın alın. Kalite garantili!

Ana kanıtlara bakalım.

1 Pisagor teoreminin kanıtı.

Buna inanılıyor kolay yol. Düzenli üçgenler kullanır.

eğer bir ikizkenar dikdörtgeni alırsak ABC üçgeni AC hipotenüsünden 4 benzer üçgen içeren bir kare oluşturabiliriz. AB ve BC bacakları kullanılarak aynı üçgenden iki tane daha içeren kareler oluşturulur.

2 Pisagor teoreminin kanıtı.

Hem cebiri hem de geometriyi birleştirir. Bir abc dik üçgeni çizin. Ve 2 kare, a+b ayaklarının iki uzunluğuna eşittir. Daha sonra Şekil 2, 3'teki gibi bir yapı yapacağız. Sonuç olarak kenarları a ve b olan iki kare elde ediyoruz. İkinci kare 4 üçgen içerir, böylece c hipotenüsüne eşit bir kare oluşturur. ne merak ediyorum toplam alanŞekil 2'deki kareler 2, 3 birbirine eşittir.
Her şeyi elde ettiğimiz bir formülde özetlemek. a 2 +b 2 = (a+b) 2 - 4 * 1/2 * a * b. Parantezleri açtığımızda a 2 +b 2 = a 2 +b 2 elde ederiz. Şekil 3'ün alanı S = c 2 veya a 2 + b 2 = c 2.h.t.d olarak hesaplanır.


3 Pisagor teoreminin ispatı.

12. yüzyılda eski Hindistan'da bulunan kanıtlar.

Bir karenin içerisine 4 adet üçgen (dikdörtgen) oluşturalım. Hipotenüs c tarafı olacak, üçgenin bacakları a ve b olacak. Büyük karelerin alanını hesaplıyoruz - S=c 2 ve iç
(a-b) 2 2 +4 * 1/2 * a * b. Buradan c 2 = (a-b) 2 2+ 4 * 1/2 * a * b ve dolayısıyla c 2 = a 2 + b 2 sonucunu çıkarıyoruz.

4 Pisagor teoreminin ispatı.

Geometriye dayalı olarak buna Garfield Yöntemi denir. Bir ABC dik üçgeni oluşturarak BC2 = AC2 + AB2 olduğunun kanıtını bulacağız. AB kenarına eşit bir CD düz çizgisi oluşturarak AC ayağına devam edelim. Düz çizgiyi AD'ye dik olan E açısını birleştirerek ED'yi elde ederiz. AC ve ED direkt hatları birbirine eşittir.

Kanıt için bu eylemin, bu ifadeleri eşitlemek için iki yöntem de kullanacağız.
ABED çokgeninin alanını bulun. AB=CD, AC=ED, BC=CE olduğuna göre S ABED = 2*1/2 (AB*AC)+ 1/2 BC 2.
ABCD'nin yamuk olduğunu görüyoruz. Bu S ABCD = (DE+AB)*1/2AD anlamına gelir.
Bu yöntemleri birlikte hayal edelim ve eşitleyelim:
AB*AC+ 1/2 BC 2 = (DE+AB)*1/2(AC+CD).
AB*AC +1/2ВС 2 = 1/2(AB+AC) 2'yi basitleştirelim.
Parantezleri açtığımızda şunu elde ederiz: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC+2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2.
Sonuç: BC 2 = AC 2 + AB 2. vesaire.

Bunlar Pisagor teoremini kanıtlamanın tüm yolları değildir, ancak ana olanlar öyledir.

Etrafında ve çevresinde

Her şeyden önce, bütünlüğü sağlamak adına, bana göre en zarif ve açık olan Pisagor teoreminin kanıtını burada sunmak istiyorum. Yukarıdaki resim iki özdeş kareyi göstermektedir: sol ve sağ. Şekilden, gölgeli şekillerin alanlarının sol ve sağda eşit olduğu görülebilir, çünkü büyük karelerin her birinde gölgeli 4 özdeş dik üçgen vardır. Bu, sol ve sağdaki gölgesiz (beyaz) alanların da eşit olduğu anlamına gelir. İlk durumda gölgelenmemiş şeklin alanının eşit olduğunu ve ikinci durumda gölgelenmemiş bölgenin alanının eşit olduğunu not ediyoruz. Böylece, . Teorem kanıtlandı!

Bu numaralar nasıl aranır? Onlara üçgen diyemezsiniz çünkü dört sayı bir üçgen oluşturamaz. Ve burada! Maviden gelen bir cıvata gibi

Bu kadar dörtlü sayılar olduğuna göre, bu sayılara yansıyan aynı özelliklere sahip geometrik bir nesnenin de olması gerekir!

Şimdi geriye kalan tek şey bu özellik için bir geometrik nesne seçmektir ve her şey yerine oturacaktır! Elbette bu varsayım tamamen varsayımsaldı ve hiçbir dayanağı yoktu. Peki ya durum böyleyse!

Nesnelerin seçimi başladı. Yıldızlar, çokgenler, düzgün, düzensiz, dik açılı vb. Yine hiçbir şey uymuyor. Ne yapalım? Ve şu anda Sherlock ikinci liderliğini elde ediyor.

Boyutunu artırmamız lazım! Üç, düzlemdeki bir üçgene karşılık geldiğinden, dört, üç boyutlu bir şeye karşılık gelir!

Ah hayır! Yine çok fazla seçenek var! Ve üç boyutta çok çok daha fazla çeşit var geometrik cisimler. Hepsini geçmeye çalışın! Ama o kadar da kötü değil. Ayrıca dik açı ve başka ipuçları da var! Elimizde ne var? Mısır dörtlü sayıları (Mısırlı olsalar bile, onlara bir şey denilmelidir), bir dik açı (veya açılar) ve belirli bir açı üç boyutlu nesne. Kesinti işe yaradı! Ve... Bilinçli okuyucuların bunu zaten anladıklarına inanıyorum. hakkında konuşuyoruz Köşelerinden birinde üç açının da dik olduğu piramitler hakkında. Hatta onları arayabilirsin dikdörtgen piramitler dik üçgene benzer.

Yeni teorem

Resimde tepesi başlangıçta olan bir piramit gösterilmektedir dikdörtgen koordinatlar(piramit yan yatmış gibi görünüyor). Piramit, orijinden itibaren çizilen üç karşılıklı dik vektörden oluşur. koordinat eksenleri. Yani her biri yan kenar Piramit, orijinde dik açı olan dik bir üçgendir. Vektörlerin uçları kesme düzlemini tanımlar ve piramidin taban yüzünü oluşturur.

Teorem

Olsun dikdörtgen piramit Bacak yüzlerinin alanlarının -'ye eşit olduğu ve hipotenüs yüzünün alanının - olduğu, karşılıklı olarak dik üç vektörden oluşan. Daha sonra

Alternatif formülasyon: Köşelerden birinde tüm düzlem açılarının dik olduğu dört yüzlü bir piramit için, yan yüzlerin alanlarının karelerinin toplamı, taban alanının karesine eşittir.

Elbette, eğer alışılagelmiş Pisagor teoremi üçgenlerin kenarlarının uzunlukları için formüle ediliyorsa, bizim teoremimiz de piramidin kenarlarının alanları için formüle edilir. Biraz vektör cebiri biliyorsanız, bu teoremi üç boyutta kanıtlamak çok kolaydır.

Kanıt

Alanları vektörlerin uzunlukları cinsinden ifade edelim.

Nerede .

Alanı, vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanının yarısı kadar hayal edelim ve

Bilindiği üzere vektör çarpımı iki vektör, uzunluğu sayısal olarak bu vektörler üzerine oluşturulan paralelkenarın alanına eşit olan bir vektördür.
Bu yüzden

Böylece,

Q.E.D!

Elbette, profesyonel olarak araştırma yapan biri olarak bu, hayatımda birden fazla kez oldu. Ancak bu an en parlak ve en akılda kalıcı olanıydı. Bir kaşifin tüm duygularını, duygularını ve deneyimlerini yaşadım. Bir düşüncenin doğuşundan, bir fikrin kristalleşmesine, kanıtların keşfedilmesine - fikirlerimin arkadaşlarım, tanıdıklarım ve o zamanlar bana göründüğü gibi tüm dünya arasında tamamen yanlış anlaşılmasına ve hatta reddedilmesine kadar. Benzersizdi! Galileo, Copernicus, Newton, Schrödinger, Bohr, Einstein ve daha birçok kaşifin yerinde olduğumu hissettim.

Sonsöz

Hayatta her şeyin çok daha basit ve daha sıradan olduğu ortaya çıktı. Geç kaldım... Ama ne kadar! Henüz 18 yaşındayım! Korkunç uzun süreli işkenceler altında Google bana bu teoremin 1996'da yayınlandığını itiraf etti!

Texas Press tarafından yayınlanan makale teknik üniversite. Profesyonel matematikçiler olan yazarlar, terminolojiyi tanıttılar (bu arada, bu benimkiyle büyük ölçüde örtüşüyor) ve ayrıca birden büyük herhangi bir boyuttaki bir uzay için geçerli olan genelleştirilmiş bir teoremi kanıtladılar. 3'ten büyük boyutlarda ne olur? Her şey çok basit: Yüzler ve alanlar yerine hiper yüzeyler ve çok boyutlu hacimler olacak. Ve elbette ifade aynı kalacak: Yan yüzlerin hacimlerinin karelerinin toplamı, tabanın hacminin karesine eşittir - sadece yüzlerin sayısı daha büyük olacak ve her birinin hacmi daha büyük olacaktır. bunların sayısı üreten vektörlerin çarpımının yarısına eşit olacaktır. Hayal etmek neredeyse imkansız! Felsefecilerin dediği gibi insan ancak düşünebilir!

Şaşırtıcı bir şekilde böyle bir teoremin zaten bilindiğini öğrendiğimde hiç üzülmedim. Ruhumun derinliklerinde bir yerlerde, ilk olmamamın oldukça muhtemel olduğundan şüphelendim ve buna her zaman hazırlıklı olmam gerektiğini anladım. Ancak edindiğim duygusal deneyim içimde bir araştırmacı kıvılcımı yaktı ve eminim ki bu artık asla sönmeyecek!

Not:

Bilgili bir okuyucu yorumlarda bir bağlantı gönderdi
De Gois'in teoremi

Wikipedia'dan alıntı

1783'te teorem Paris Bilimler Akademisi'ne sunuldu. Fransız matematikçi J.-P. de Gois, ancak daha önce René Descartes ve ondan önce muhtemelen 1622'de onu ilk keşfeden Johann Fulgaber tarafından biliniyordu. Daha fazla genel görünüm teorem, Charles Tinsault (Fransız) tarafından 1774'te Paris Bilimler Akademisi'ne sunulan bir raporda formüle edildi.

Yani 18 yıl değil, en azından birkaç yüzyıl geciktim!

Kaynaklar

Okuyucular yorumlarda birkaçını belirtti yararlı bağlantılar. İşte bunlar ve diğer bazı bağlantılar:

Yüzde yüz emin olabileceğiniz bir şey varsa o da, hipotenüsün karesinin ne olduğu sorulduğunda her yetişkinin cesurca şu cevabı vereceğidir: "Bacakların karelerinin toplamı." Bu teorem herkesin zihnine sağlam bir şekilde yerleşmiştir. eğitimli kişi, ancak tek yapmanız gereken birinden bunu kanıtlamasını istemektir ve zorluklar ortaya çıkabilir. Öyleyse hatırlayalım ve düşünelim farklı yollar Pisagor teoreminin kanıtı.

Kısa biyografi

Pisagor teoremi neredeyse herkese tanıdık geliyor, ancak bazı nedenlerden dolayı onu dünyaya getiren kişinin biyografisi o kadar popüler değil. Bu düzeltilebilir. Bu nedenle Pisagor teoremini ispatlamanın farklı yollarını incelemeden önce onun kişiliğini kısaca tanımanız gerekir.

Pisagor - filozof, matematikçi, düşünür Bugün onun biyografisini bu büyük adamın anısına gelişen efsanelerden ayırmak çok zor. Ancak takipçilerinin eserlerinden anlaşıldığı üzere Samoslu Pisagor, Samos adasında doğmuştur. Babası sıradan bir taş kesiciydi ama annesi soylu bir aileden geliyordu.

Efsaneye bakılırsa, Pisagor'un doğumu, onuruna çocuğun adının verildiği Pythia adlı bir kadın tarafından tahmin edildi. Tahminine göre doğan çocuğun insanlığa pek çok fayda ve iyilik getirmesi gerekiyordu. O da tam olarak bunu yaptı.

Teoremin doğuşu

Pisagor gençliğinde ünlü Mısırlı bilgelerle tanışmak için Mısır'a taşındı. Onlarla tanıştıktan sonra eğitim almasına izin verildi ve burada Mısır felsefesinin, matematiğinin ve tıbbının tüm büyük başarılarını öğrendi.

Pisagor'un piramitlerin görkeminden ve güzelliğinden ilham aldığı ve kendi piramitlerini yarattığı yer muhtemelen Mısır'dı. büyük teori. Bu okuyucuları şok edebilir, ancak modern tarihçiler Pisagor'un teorisini kanıtlamadığına inanıyor. Ancak bilgisini yalnızca daha sonra gerekli tüm matematiksel hesaplamaları tamamlayan takipçilerine aktardı.

Öyle olsa bile, bugün bu teoremi kanıtlamanın tek bir yöntemi değil, aynı anda birkaç yöntemi biliniyor. Bugün, eski Yunanlıların hesaplamalarını tam olarak nasıl yaptıklarını ancak tahmin edebiliyoruz, bu yüzden burada Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarına bakacağız.

Pisagor teoremi

Herhangi bir hesaplamaya başlamadan önce hangi teoriyi kanıtlamak istediğinizi bulmanız gerekir. Pisagor teoremi şu şekildedir: "Açılardan biri 90° olan bir üçgende, kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir."

Pisagor teoremini kanıtlamanın toplam 15 farklı yolu vardır. Bu kadar yeter büyük sayı O halde en popüler olanlarına dikkat edelim.

Birinci yöntem

Öncelikle bize verilenleri tanımlayalım. Bu veriler aynı zamanda Pisagor teoremini kanıtlamanın diğer yöntemleri için de geçerli olacaktır, bu nedenle mevcut tüm gösterimleri hemen hatırlamaya değer.

Diyelim ki bize bacakları a, b ve hipotenüsü c'ye eşit olan bir dik üçgen veriliyor. İlk ispat yöntemi, dik bir üçgenden bir kare çizmeniz gerektiği gerçeğine dayanmaktadır.

Bunu yapmak için, a uzunluğundaki bacağa b ayağına eşit bir parça eklemeniz gerekir; bunun tersi de geçerlidir. Bu, karenin iki eşit tarafıyla sonuçlanmalıdır. Geriye kalan tek şey iki paralel çizgi çizmek ve kare hazır.

Ortaya çıkan şeklin içinde, kenarı orijinal üçgenin hipotenüsüne eşit olan başka bir kare çizmeniz gerekir. Bunu yapmak için, ас ve св köşelerinden iki tane çizmeniz gerekir. segmente paralel eşit Böylece karenin üç kenarını elde ederiz, bunlardan biri orijinal dik üçgenin hipotenüsüdür. Geriye kalan tek şey dördüncü segmenti çizmek.

Ortaya çıkan şekle dayanarak dış karenin alanının (a + b) 2 olduğu sonucuna varabiliriz. Şeklin içine baktığınızda iç kareye ek olarak dört dik üçgenin daha olduğunu görebilirsiniz. Her birinin alanı 0,5av'dır.

Dolayısıyla alan şuna eşittir: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Dolayısıyla (a+c) 2 =2ab+c 2

Ve dolayısıyla c 2 =a 2 +b 2

Teorem kanıtlandı.

İkinci yöntem: benzer üçgenler

Pisagor teoremini kanıtlamak için kullanılan bu formül, geometri bölümündeki bir ifadeye dayanarak türetilmiştir. benzer üçgenler. Bir dik üçgenin bacağının, hipotenüsüyle ve hipotenüsün 90°'lik açının tepesinden çıkan bölümüyle orantılı ortalama olduğunu belirtir.

İlk veriler aynı kalıyor, o yüzden hemen kanıtla başlayalım. Hadi gerçekleştirelim kenara dik AB segmenti CD'si. Yukarıdaki ifadeye göre üçgenlerin kenarları eşittir:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Pisagor teoreminin nasıl ispatlanacağı sorusunu cevaplamak için her iki eşitsizliğin karesi alınarak ispatın tamamlanması gerekir.

AC 2 = AB * AD ve CB 2 = AB * DV

Şimdi ortaya çıkan eşitsizlikleri toplamanız gerekiyor.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), burada AD + DV = AB

Şu ortaya çıkıyor:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

Ve bu nedenle:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Pisagor teoreminin kanıtı ve çeşitli yollarçözümleri bu soruna çok yönlü bir yaklaşım gerektiriyor. Ancak bu seçenek en basitlerinden biridir.

Başka bir hesaplama yöntemi

Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarının açıklaması, siz bunu kendiniz uygulamaya başlayana kadar hiçbir şey ifade etmeyebilir. Birçok yöntem yalnızca matematiksel hesaplamalar, aynı zamanda orijinal üçgenden yeni figürlerin inşası.

İÇİNDE bu durumda BC kenarından başka bir dik üçgen VSD'yi tamamlamak gerekiyor. Böylece artık ortak kenarı BC olan iki üçgen var.

Bölge olduğunu bilmek benzer rakamlar benzer doğrusal boyutlarının kareleri kadar bir orana sahipse, o zaman:

Savs * c 2 - Savd * in 2 = Savd * a 2 - S vsd * a 2

Savs *(2'den 2'ye) = a 2 *(S avd -S vsd)

2'den 2'ye =a 2

c 2 =a 2 +b 2

8. sınıf için Pisagor teoremini kanıtlamanın çeşitli yöntemlerinden bu seçenek pek uygun olmadığından, aşağıdaki yöntemi kullanabilirsiniz.

Pisagor Teoremini kanıtlamanın en kolay yolu. Yorumlar

Tarihçilere göre bu yöntem ilk olarak 19. yüzyılda teoremi ispatlamak için kullanıldı. Antik Yunanistan. Kesinlikle herhangi bir hesaplama gerektirmediği için en basit olanıdır. Resmi doğru çizerseniz a 2 + b 2 = c 2 ifadesinin kanıtı açıkça görülecektir.

Koşullar bu yöntemöncekinden biraz farklı olacaktır. Teoremi kanıtlamak için ABC dik üçgeninin ikizkenar olduğunu varsayalım.

AC hipotenüsünü karenin kenarı olarak alıp üç kenarını çiziyoruz. Ayrıca ortaya çıkan kareye iki çapraz çizgi çizmek gerekiyor. Böylece içinde dört ikizkenar üçgen elde edersiniz.

Ayrıca AB ve CB bacaklarına bir kare çizmeniz ve her birine birer çapraz düz çizgi çizmeniz gerekir. İlk çizgiyi A köşesinden, ikincisini C noktasından çiziyoruz.

Şimdi ortaya çıkan çizime dikkatlice bakmanız gerekiyor. AC hipotenüsünde orijinal üçgene eşit dört üçgen olduğundan ve yanlarda iki tane olduğundan, bu, bu teoremin doğruluğunu gösterir.

Bu arada, Pisagor teoremini kanıtlamanın bu yöntemi sayesinde, ünlü ifade: « Pisagor pantolonu her yönde eşit."

J. Garfield'ın kanıtı

James Garfield, Amerika Birleşik Devletleri'nin yirminci Başkanıdır. Amerika Birleşik Devletleri'nin hükümdarı olarak tarihe damgasını vurmasının yanı sıra, aynı zamanda yetenekli bir otodidakttı.

Kariyerinin başında düzenli bir öğretmendi. devlet okulu, ancak kısa süre sonra en yükseklerden birinin yöneticisi oldu eğitim kurumları. Kendini geliştirme arzusu ona şunları sunmasına izin verdi: yeni teori Pisagor teoreminin kanıtı. Teorem ve çözümünün bir örneği aşağıdaki gibidir.

Öncelikle bir kağıda iki dik üçgen çizmeniz gerekir, böylece bunlardan birinin bacağı ikincinin devamı olur. Bu üçgenlerin köşelerinin sonuçta bir yamuk oluşturacak şekilde bağlanması gerekir.

Bildiğiniz gibi bir yamuğun alanı, tabanları ile yüksekliğinin toplamının yarısının çarpımına eşittir.

S=a+b/2 * (a+b)

Ortaya çıkan yamuğu üç üçgenden oluşan bir şekil olarak düşünürsek, alanı şu şekilde bulunabilir:

S=av/2 *2 + s2/2

Şimdi iki orijinal ifadeyi eşitlememiz gerekiyor

2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

c 2 =a 2 +b 2

Pisagor teoremi ve bunu kanıtlama yöntemleri hakkında birden fazla cilt yazılabilir. öğretim yardımı. Ancak bu bilginin pratikte uygulanamamasının bir anlamı var mı?

Pisagor teoreminin pratik uygulaması

Ne yazık ki, modern okul programları Bu teoremin yalnızca geometrik problemler. Mezunlar, bilgi ve becerilerini pratikte nasıl uygulayabileceklerini bilmeden yakında okuldan ayrılacaklar.

Aslında Pisagor teoremini kullanın günlük yaşam herkes yapabilir. Ve sadece içinde değil mesleki faaliyetler, aynı zamanda sıradan ev işlerinde de. Pisagor teoreminin ve onu kanıtlama yöntemlerinin son derece gerekli olabileceği birkaç durumu ele alalım.

Teorem ve astronomi arasındaki ilişki

Kağıt üzerindeki yıldızların ve üçgenlerin nasıl bağlanabileceği anlaşılıyor. Aslında astronomi bilimsel alan Pisagor teoremini kapsamlı bir şekilde kullanan.

Örneğin, hareketi düşünün ışık huzmesi uzayda. Işığın her iki yönde de aynı hızla hareket ettiği bilinmektedir. Işık ışınının hareket ettiği yörüngeye AB diyelim ben. Ve ışığın A noktasından B noktasına gitmesi için gereken sürenin yarısı diyelim T. Ve ışının hızı - C. Şu ortaya çıkıyor: c*t=l

Aynı ışına başka bir düzlemden, örneğin v hızıyla hareket eden bir uzay gemisinden bakarsanız, cisimleri bu şekilde gözlemlerken hızları değişecektir. Bu durumda duran elemanlar bile v hızıyla ters yönde hareket etmeye başlayacaktır.

Diyelim ki çizgi roman sağa doğru seyrediyor. Daha sonra ışının aralarında koştuğu A ve B noktaları sola doğru hareket etmeye başlayacaktır. Üstelik ışın A noktasından B noktasına hareket ettiğinde A noktasının hareket etme zamanı vardır ve buna göre ışık zaten ulaşacaktır. yeni nokta C. A noktasının hareket ettiği mesafenin yarısını bulmak için, astarın hızını kirişin seyahat süresinin (t") yarısıyla çarpmanız gerekir.

Ve bir ışık ışınının bu süre zarfında ne kadar uzağa gidebileceğini bulmak için yolun yarısını yeni bir s harfiyle işaretlemeniz ve aşağıdaki ifadeyi elde etmeniz gerekir:

C ve B ışık noktalarının yanı sıra uzay astarının bir ikizkenar üçgenin köşeleri olduğunu hayal edersek, A noktasından astara kadar olan bölüm onu ​​iki dik üçgene bölecektir. Dolayısıyla Pisagor teoremi sayesinde bir ışık ışınının gidebileceği mesafeyi bulabilirsiniz.

Bu örnek elbette en başarılısı değil, çünkü sadece birkaçı bunu pratikte deneyecek kadar şanslı olacak. Bu nedenle, bu teoremin daha sıradan uygulamalarını ele alalım.

Mobil sinyal iletim aralığı

Akıllı telefonların varlığı olmadan modern yaşam artık düşünülemez. Ancak aboneleri İnternet üzerinden bağlayamasalardı çok işe yarar mıydı? mobil iletişim?!

Mobil iletişimin kalitesi doğrudan mobil operatörün anteninin bulunduğu yüksekliğe bağlıdır. Bir telefonun mobil baz istasyonundan ne kadar uzakta sinyal alabileceğini hesaplamak için Pisagor teoremini uygulayabilirsiniz.

Diyelim ki sabit bir kulenin 200 kilometrelik bir yarıçap içinde sinyal dağıtabilmesi için yaklaşık yüksekliğini bulmanız gerekiyor.

AB (kule yüksekliği) = x;

BC (sinyal iletim yarıçapı) = 200 km;

İşletim Sistemi (yarıçap küre) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Pisagor teoremini uygulayarak şunu buluruz: minimum yükseklik kulenin 2,3 kilometre uzunluğunda olması gerekiyor.

Günlük yaşamda Pisagor teoremi

Garip bir şekilde Pisagor teoremi, örneğin bir gardırobun yüksekliğini belirlemek gibi günlük konularda bile yararlı olabilir. İlk bakışta böyle bir uygulamaya gerek yok karmaşık hesaplamalar, çünkü bir mezura kullanarak kolayca ölçüm yapabilirsiniz. Ancak birçok kişi, tüm ölçümlerin gereğinden fazla doğru yapılması durumunda montaj sürecinde neden bazı sorunların ortaya çıktığını merak ediyor.

Gerçek şu ki gardırop monte edilmiş yatay konum ve ancak o zaman kaldırılıp duvara monte edilir. Bu nedenle yapının kaldırılması işlemi sırasında dolabın yan tarafının hem odanın yüksekliği boyunca hem de çapraz olarak serbestçe hareket etmesi gerekir.

800 mm derinliğinde bir gardırop olduğunu varsayalım. Zeminden tavana mesafe - 2600 mm. Deneyimli bir mobilya üreticisi, dolabın yüksekliğinin odanın yüksekliğinden 126 mm daha az olması gerektiğini söyleyecektir. Peki neden tam olarak 126 mm? Bir örneğe bakalım.

İdeal dolap boyutlarıyla Pisagor teoreminin işleyişini kontrol edelim:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - her şey uyuyor.

Diyelim ki dolabın yüksekliği 2474 mm değil 2505 mm. Daha sonra:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Bu nedenle bu dolap bu odaya kuruluma uygun değildir. Çünkü onu dik konuma kaldırmak gövdesine zarar verebilir.

Belki de Pisagor teoremini farklı bilim adamları tarafından kanıtlamanın farklı yollarını göz önünde bulundurarak, bunun fazlasıyla doğru olduğu sonucuna varabiliriz. Artık aldığınız bilgileri günlük yaşamınızda kullanabilir ve tüm hesaplamaların yalnızca yararlı değil aynı zamanda doğru olacağından da tamamen emin olabilirsiniz.