Įvadas.................................................. ...................................................... .......................... 2

I skyrius. Bendrieji teoriniai studijų aspektai algebrinė medžiaga pradinėje mokykloje................................................ ...................................................... .......................... 7

1.1 Patirtis diegiant algebros elementus pradinėse klasėse................................... 7

1.2 Psichologiniai pagrindai algebrinių sąvokų įvedimas

pradinėje mokykloje................................................ ...................................... 12

1.3 Algebrinių sąvokų kilmės problema ir jos reikšmė

mokomojo dalyko konstravimui.................................. .............. 20

2.1 Mokymasis pradinėje mokykloje atsižvelgiant į poreikius

vidurinė mokykla................................................ ...................................................... 33

2.1 Sąvokų palyginimas (kontrastavimas) matematikos pamokose.... 38

2.3 Bendras sudėties ir atimties, daugybos ir dalybos tyrimas 48

III skyrius. Algebrinės medžiagos studijavimo matematikos pamokose praktika pradinė mokykla Rylsko 4-oji vidurinė mokykla.................................. 55

3.1 Naudojimo pagrindimas naujoviškos technologijos(technologijos

didaktinių vienetų konsolidavimas)................................................. ...................... 55

3.2 Apie susipažinimo su algebrinėmis sąvokomis patirtį I klasėje.... 61

3.3 Mokymasis spręsti problemas, susijusias su kūnų judėjimu................................................. 72

Išvada................................................ .................................................. ...... .76

Bibliografija.......................................................................... 79

Įvadas

Bet kada moderni sistema bendrojo lavinimo matematika yra viena iš centrinės vietos, kas neabejotinai rodo šios žinių srities unikalumą.

Kas yra šiuolaikinė matematika? Kodėl to reikia? Tokius ir panašius klausimus vaikai dažnai užduoda mokytojams. Ir kiekvieną kartą atsakymas skirsis priklausomai nuo vaiko ir jo išsivystymo lygio švietimo poreikiai.

Dažnai sakoma, kad matematika yra šiuolaikinio mokslo kalba. Tačiau atrodo, kad šiame pareiškime yra didelis trūkumas. Matematikos kalba yra tokia plačiai paplitusi ir taip dažnai veiksminga kaip tik todėl, kad matematika negali būti sumažinta iki jos.

Puikus rusų matematikas A.N. Kolmogorovas rašė: „Matematika yra ne tik kalba, bet ir mąstymas. Matematika – tai daugelio žmonių tikslaus mąstymo įrankis susiekite vieną samprotavimą su kitu... Akivaizdus gamtos sudėtingumas su keistais jos dėsniais ir taisyklėmis, kurių kiekvienas leidžia labai skirtingai išsamus paaiškinimas, iš tikrųjų yra glaudžiai susiję. Tačiau jei nenorite naudotis matematika, tai šioje didžiulėje faktų įvairovėje nepamatysi, kad logika leidžia pereiti nuo vieno prie kito“ (p. 44).

Taigi matematika leidžia mums suformuoti tam tikras mąstymo formas, reikalingas mus supančio pasaulio tyrinėjimui.

Šiuo metu vis labiau pastebima disproporcija tarp mūsų gamtos pažinimo laipsnio ir mūsų supratimo apie žmogų, jo psichiką, mąstymo procesus. W. W. Sawyer knygoje „Matematikos preliudija“ (p. 7) pažymi: „Galime mokinius išmokyti spręsti daugybę problemų, tačiau tikras pasitenkinimas ateis tik tada, kai mokiniams galėsime suteikti ne tik žinių, bet ir lankstumo. proto“, kuris suteiktų jiems galimybę ateityje ne tik savarankiškai spręsti, bet ir kelti sau naujas užduotis.

Žinoma, čia yra tam tikros ribos, kurių nederėtų pamiršti: daug ką lemia įgimti gebėjimai ir talentas. Tačiau galime pastebėti visą aibę veiksnių, priklausančių nuo išsilavinimo ir auklėjimo. Dėl to nepaprastai svarbu teisingai įvertinti didžiulį neišnaudotą švietimo apskritai ir ypač matematikos ugdymo potencialą.

Pastaraisiais metais pastebima nuolatinė skverbimosi tendencija matematiniai metodai tokiuose moksluose kaip istorija, filologija, jau nekalbant apie kalbotyrą ir psichologiją. Todėl ratas žmonių, kurie savo vėlesniuose profesinę veiklą Galbūt jie taikys matematiką, plečiasi.

Mūsų švietimo sistema sukurta taip, kad daugeliui mokykla yra vienintelė galimybė gyvenime įsilieti į matematinę kultūrą ir įsisavinti matematikos vertybes.

Kokia matematikos įtaka apskritai ir mokyklinė matematika ypač švietimui kūrybinga asmenybė? Užduočių sprendimo meno mokymas matematikos pamokose suteikia mums itin palankią galimybę ugdyti tam tikrą mokinių mąstymą. Būtinybė mokslinę veiklą ugdo domėjimąsi raštais, moko įžvelgti žmogaus minties grožį ir harmoniją. Visa tai mūsų nuomone svarbiausias elementas bendroji kultūra. Matematikos kursas turi didelę įtaką formavimuisi įvairių formų mąstymas: loginis, erdvinis-geometrinis, algoritminis. Bet koks kūrybinis procesas prasideda hipotezės suformulavimu. Matematika, tinkamai organizuojanti mokymą, yra gera mokykla hipotezėms statyti ir tikrinti, moko palyginti įvairios hipotezės, rasti geriausią variantą, išsikelti naujus uždavinius, ieškoti jų sprendimo būdų. Be kita ko, ji ugdo ir metodinio darbo įprotį, be kurio neįsivaizduojamas joks kūrybinis procesas. Maksimaliai išnaudodama žmogaus mąstymo galimybes, matematika yra jos aukščiausias pasiekimas. Tai padeda žmogui suprasti save ir formuoti charakterį.

Tai yra šiek tiek didelis sąrašas priežastys, kodėl matematinės žinios turėtų tapti neatsiejama bendrosios kultūros dalimi ir privalomas elementas auginant ir auklėjant vaiką.

Matematikos kursas (be geometrijos) mūsų 10-metėje mokykloje iš tikrųjų yra padalintas į tris pagrindines dalis: aritmetika (I-V klasės), algebrą (VI - VIII klasės) ir analizės elementai (IX - X klasės). Kuo pagrįstas toks skirstymas?

Žinoma, kiekviena iš šių dalių turi savo specialią „technologiją“. Taigi aritmetikoje jis siejamas, pavyzdžiui, su atliktais skaičiavimais daugiaženkliai skaičiai, algebroje - su identiškos transformacijos, logaritmas, analizuojant – su diferencijavimu ir kt. Tačiau kokios yra gilesnės priežastys, susijusios su kiekvienos dalies konceptualiu turiniu?

Kitas klausimas susijęs su mokyklinės aritmetikos ir algebros atskyrimo pagrindu (t. y. pirma ir antra kurso dalys). Aritmetika apima natūraliųjų skaičių (teigiamų sveikųjų skaičių) ir trupmenų (pirminių ir dešimtainių) tyrimą. Tačiau speciali analizė rodo, kad šių skaičių derinimas viename mokykliniame dalyke yra neteisėtas.

Faktas yra tas, kad šie skaičiai atlieka skirtingas funkcijas: pirmasis yra susijęs su objektų skaičiavimu, antrasis su matavimo dydžiais. Ši aplinkybė yra labai svarbi norint suprasti faktą, kad trupmeniniai (racionalieji) skaičiai yra tik ypatingas realiųjų skaičių atvejis.

Kiekių matavimo požiūriu, kaip pažymėjo A. N. Kolmogorovo teigimu, „nėra tokio didelio skirtumo tarp racionalių ir neracionalių realiųjų skaičių jie nuo pat pradžių turėtų iš karto sukelti realius skaičius“ (), p. 9).

A.N. Kolmogorovas laikė pagrįstu tiek matematikos raidos istorijos požiūriu, tiek iš esmės A. Lebesgue siūlymą mokyme po natūraliųjų skaičių pereiti tiesiai prie realiųjų skaičių kilmės ir loginės prigimties. Tuo pačiu metu, kaip pažymėjo A. N. Kolmogorovo nuomone, „požiūris į racionaliųjų ir realiųjų skaičių konstravimą dydžių matavimo požiūriu yra ne mažiau mokslinis nei, pavyzdžiui, racionalių skaičių įvedimas „porų“ pavidalu pranašumas“ (p. 10).

Taigi yra reali galimybė natūraliųjų (sveikųjų) skaičių pagrindu iš karto suformuoja „bendriausią skaičiaus sampratą“ (A. Lebesgue terminologija), tikrojo skaičiaus sąvoką. Tačiau programos kūrimo požiūriu tai reiškia ne daugiau ar mažiau, kaip trupmenų aritmetikos pašalinimą jos mokyklinėje interpretacijoje. Perėjimas nuo sveikųjų prie realių skaičių yra perėjimas nuo aritmetikos prie „algebros“, prie analizės pagrindo sukūrimo.

Šios idėjos, išsakytos daugiau nei prieš 20 metų, aktualios ir šiandien. Ar įmanoma šia linkme pakeisti matematikos mokymo struktūrą pradinėje mokykloje? Kokie yra algebrazavimo privalumai ir trūkumai pradinis išsilavinimas matematika? Šio darbo tikslas – pabandyti pateikti atsakymus į užduodamus klausimus.

Norint pasiekti šį tikslą, reikia išspręsti šias užduotis:

Bendrųjų teorinių algebrinių dydžio ir skaičiaus sąvokų diegimo pradinėje mokykloje aspektų svarstymas. Ši užduotis iškelta pirmame darbo skyriuje;

Konkrečių metodų, kaip mokyti šias sąvokas pradinėje mokykloje, tyrimas. Čia visų pirma ketinama nagrinėti vadinamąją didaktinių vienetų išplėtimo teoriją (UDE), kuri bus aptarta toliau;

Parodykite nagrinėjamų nuostatų praktinį pritaikomumą mokyklos pamokos matematika pradinėje mokykloje (pamokas vedė autorė m vidurinę mokyklą Nr. 4 Rylsk). Tam skirtas trečiasis darbo skyrius.

Kalbant apie bibliografiją, skirtą šį klausimą, galima pastebėti šiuos dalykus. Nepaisant to, kad m pastaruoju metu bendras kiekis paskelbta metodinė literatūra matematikoje yra itin nereikšminga, rašant darbą informacijos netrūko. Iš tiesų, nuo 1960 m. (tuo metu, kai buvo iškelta problema) iki 1990 m. Mūsų šalyje yra išleista daugybė mokomosios, mokslinės ir metodinės literatūros, kuri vienaip ar kitaip paliečia algebrinių sąvokų diegimo matematikos kursuose problemą. pradinė mokykla. Be to, šie klausimai reguliariai rašomi specializuotuose periodiniuose leidiniuose. Taigi rašant darbą daugiausia buvo panaudotos publikacijos žurnaluose „Pedagogika“, „Matematikos mokymas mokykloje“ ir „Pradinė mokykla“.

I skyrius. Bendrieji teoriniai algebrinės medžiagos tyrimo pradinėje mokykloje aspektai 1.1 Patirtis diegiant algebros elementus pradinėje mokykloje

Akademinio dalyko turinys, kaip žinia, priklauso nuo daugelio veiksnių – nuo gyvenimo poreikių studentų žinioms, nuo atitinkamų mokslų lygio, nuo vaikų protinių ir fizinių amžiaus galimybių ir kt. Tinkamas šių veiksnių įvertinimas yra esminė sąlyga daugeliui efektyvus mokymasis moksleiviams, plečiant jų pažintinius gebėjimus. Tačiau kartais ši sąlyga dėl vienokių ar kitokių priežasčių neįvykdoma. Šiuo atveju mokymas neduoda norimo efekto vaikų įvaldymo rate reikalingų žinių ir jų intelekto vystymuisi.

Atrodo, kad šiuo metu kai kurių akademinių dalykų, ypač matematikos, mokymo programos neatitinka naujų gyvenimo reikalavimų, šiuolaikinių mokslų (pavyzdžiui, matematikos) išsivystymo lygio ir naujų duomenų. raidos psichologija ir logika. Ši aplinkybė lemia būtinybę visapusiškai teoriškai ir eksperimentiškai išbandyti galimus naujo ugdymo dalykų turinio projektus.

Fondas matematines žinias prasideda pradinėje mokykloje. Bet, deja, tiek patys matematikai, tiek metodininkai, psichologai labai mažai dėmesio skiria turiniui elementarioji matematika. Užtenka pasakyti, kad matematikos programa pradinėje mokykloje (I - IV klasės) savo pagrindiniais bruožais susiformavo prieš 50 - 60 metų ir natūraliai atspindi to meto matematinių, metodinių ir psichologinių idėjų sistemą.

Pasvarstykime būdingi bruožai valstybinis standartas matematikoje pradinėje mokykloje. Pagrindinis jo turinys yra sveikieji skaičiai ir operacijos su jais, tiriamos tam tikra seka. Pirmiausia tiriamos keturios operacijos 10 ir 20 ribose, po to - žodiniai skaičiavimai 100 ribose, žodiniai ir rašytiniai skaičiavimai 1000 ribose ir galiausiai milijonų ir milijardų ribose. IV klasėje tiriami kai kurie duomenų ir rezultatų ryšiai. aritmetinės operacijos, taip pat paprastosios trupmenos. Be to, programa apima studijas metrinės priemonės ir laiko matus, įsisavinant gebėjimą juos naudoti matavimui, kai kurių vizualinės geometrijos elementų išmanymas – stačiakampio ir kvadrato braižymas, atkarpų, stačiakampio ir kvadrato plotų matavimas, tūrių skaičiavimas.

Įgytas žinias ir įgūdžius studentai turi pritaikyti spręsdami uždavinius ir atlikdami nesudėtingus skaičiavimus. Viso kurso metu problemų sprendimas vykdomas lygiagrečiai su skaičių ir operacijų studijomis – tam skiriama pusė atitinkamo laiko. Problemų sprendimas padeda mokiniams suprasti specifinę reikšmę veiksmus, suprasti įvairius jų taikymo atvejus, nustatyti dydžių ryšį, įgyti pagrindinius analizės ir sintezės įgūdžius. Nuo I iki IV klasės vaikai sprendžia šiuos pagrindinius uždavinių tipus (paprastus ir sudėtinius): sumos ir liekanos radimas, sandauga ir koeficientas, duotų skaičių didinimas ir mažinimas, skirtumas ir daugkartinis palyginimas, paprastas trijų taisyklė, apie proporcingą padalijimą, ieškant nežinomojo pagal du skirtumus, apskaičiuojant aritmetinį vidurkį ir kai kurių kitų tipų uždavinius.

Vaikai, spręsdami problemas, susiduria su įvairaus pobūdžio kiekybinėmis priklausomybėmis. Tačiau labai būdinga, kad studentams problemas kyla po to, kai studijuoja skaičius; pagrindinis dalykas, kurio reikia sprendžiant, yra rasti skaitinį atsakymą. Vaikai su su dideliais sunkumais nustatyti kiekybinių santykių savybes konkrečiose, konkrečiose situacijose, kurios laikomos aritmetinėmis problemomis. Praktika rodo, kad manipuliavimas skaičiais dažnai pakeičia faktinę problemos sąlygų analizę realių dydžių priklausomybių požiūriu. Be to, vadovėliuose pateikiamos problemos neatspindi sistemos, kurioje „sudėtingesnės“ situacijos būtų siejamos su „gilesniais“ kiekybinių santykių klodais. To paties sunkumo problemų galima rasti ir vadovėlio pradžioje, ir pabaigoje. Skirtinguose skyriuose ir klasėje jie skiriasi pagal siužeto sudėtingumą (veiksmų skaičius didėja), skaičių eiliškumą (nuo dešimties iki milijardo), fizinių priklausomybių sudėtingumą (nuo paskirstymo problemų iki judėjimo). problemos) ir kitus parametrus. Juose silpnai ir neaiškiai pasireiškia tik vienas parametras – gilinimasis į pačią matematinių dėsnių sistemą. Todėl labai sunku nustatyti konkrečios problemos matematinio sudėtingumo kriterijų. Kodėl kyla problemų ieškant nežinomybės naudojant du skirtumus ir surandant aritmetinį vidurkį (III klasė) sunkesnės užduotys skirtumui ir daugkartiniam palyginimui (II klasė)? Metodika nepateikia įtikinamo ir logiško atsakymo į šį klausimą.

Taigi, studentai pradines klases negauna adekvačių, išsamių žinių apie kiekių priklausomybes ir bendrosios savybės ah kiekiai nei studijuojant skaičių teorijos elementus, nes mokykliniame kurse jie pirmiausia siejami su skaičiavimo technika, nei sprendžiant uždavinius, nes pastarieji neturi atitinkamos formos ir neturi reikiamos sistemos. Metodininkų bandymai tobulinti mokymo metodus, nors ir veda į dalinę sėkmę, bendros padėties nekeičia, nes juos iš anksto riboja priimto turinio rėmai.

Atrodo, kad priimtos aritmetinės programos kritinė analizė turėtų būti pagrįsta šiomis nuostatomis:

Skaičiaus sąvoka nėra tapati objektų kiekybinių charakteristikų sampratai;

Skaičius nėra pradinė kiekybinių santykių išraiškos forma.

Pateiksime šių nuostatų pagrindimą.

Gerai žinoma, kad šiuolaikinė matematika (ypač algebra) tiria kiekybinių santykių aspektus, kurie neturi skaitinio apvalkalo. Taip pat gerai žinoma, kad kai kurie kiekybiniai ryšiai yra gana išreiškiami be skaičių ir prieš skaičius, pavyzdžiui, segmentais, tūriais ir pan. (santykis „daugiau“, „mažiau“, „lygus“). Pirminio generolo pristatymas matematines sąvokas V šiuolaikinės gairės atliekama tokia simbolika, kuri nebūtinai reiškia objektų išraišką skaičiais. Taigi knygoje E.G. Gonino „Teorinėje aritmetikoje“ pagrindiniai matematiniai objektai nuo pat pradžių žymimi raidėmis ir specialūs ženklai(, p. 12 – 15). Būdinga tai, kad tam tikri skaičių tipai ir skaitinės priklausomybės pateikiami tik kaip pavyzdžiai, aibių savybių iliustracijos, o ne kaip vienintelės galimos ir unikalios esama forma posakius. Be to, pažymėtina, kad pateikta daug atskirų matematinių apibrėžimų iliustracijų grafinę formą, per segmentų, plotų santykį (, p. 14-19). Visos pagrindinės aibių ir dydžių savybės gali būti išvestos ir pagrįstos nenaudojant skaitinių sistemų; Be to, patys pastarieji gauna pagrindimą bendromis matematinėmis sąvokomis.

Savo ruožtu daugybė psichologų ir mokytojų pastebėjimų rodo, kad kiekybinės idėjos vaikams kyla dar gerokai anksčiau nei jie įgyja žinių apie skaičius ir kaip juos valdyti. Tiesa, pastebima tendencija šias idėjas priskirti prie „ikimatematinių darinių“ (tai gana natūralu tradiciniams metodams, kiekybines objekto charakteristikas identifikuojantiems su skaičiumi), tačiau tai nekeičia esminės jų funkcijos bendrame vaiko gyvenime. orientacija daiktų savybėse. O kartais atsitinka taip, kad šių tariamai „ikimatematinių darinių“ gylis vaiko matematinio mąstymo ugdymui yra reikšmingesnis nei kompiuterinių technologijų subtilybių išmanymas ir gebėjimas rasti grynai skaitines priklausomybes. Pažymėtina, kad akademikas A.N. Kolmogorovas, charakterizuodamas matematinio kūrybiškumo bruožus, ypač atkreipia dėmesį į tokią aplinkybę: „Daugelio matematinių atradimų pagrindas yra paprasta mintis: vizualinis. geometrinė konstrukcija, nauja elementarioji nelygybė ir kt. Jums tereikia tai tinkamai pritaikyti paprasta mintis išspręsti problemą, kuri iš pirmo žvilgsnio atrodo neprieinama“ (, p. 17).

Šiuo metu yra tinkamos įvairios idėjos dėl naujos programos struktūros ir kūrimo būdų. Į jos konstravimo darbus būtina įtraukti matematikus, psichologus, logikus, metodininkus. Tačiau atrodo, kad visi jo specifiniai variantai turi atitikti šiuos pagrindinius reikalavimus:

Pašalinti esamą atotrūkį tarp matematikos turinio pradinėse ir vidurinėse mokyklose;

Suteikti žinių apie pagrindinius objektyvaus pasaulio kiekybinių santykių dėsnius sistemą; šiuo atveju skaičių savybės, kaip ypatinga kiekio išreiškimo forma, turėtų tapti specialia, bet ne pagrindine programos dalimi;

Įskiepykite vaikams matematinio mąstymo metodus, o ne tik skaičiavimo įgūdžius: tai apima problemų sistemos, pagrįstos gilinimu į realių dydžių priklausomybių sritį (matematikos ryšį su fizika, chemija, biologija ir kitais mokslais, studijuojančiais konkrečius dalykus). kiekiai);

Ryžtingai supaprastinkite visus skaičiavimo būdus, sumažindami darbą, kurio negalima atlikti be atitinkamų lentelių, žinynų ir kitų pagalbinių (ypač elektroninių) priemonių.

Šių reikalavimų prasmė aiški: pradinėje mokykloje visiškai įmanoma dėstyti matematiką kaip mokslą apie kiekybinių santykių dėsnius, apie dydžių priklausomybes; skaičiavimo technika ir skaičių teorijos elementai turėtų tapti specialia ir privačia programos dalimi.

Nuo septintojo dešimtmečio pabaigos vykdomos naujos matematikos programos kūrimo ir eksperimentinio testavimo patirtis dabar leidžia kalbėti apie galimybę mokykloje nuo pirmos klasės įvesti sisteminį matematikos kursą, suteikiantį žinių apie kiekybinius ryšius ir priklausomybes. dydžių algebrine forma .

1.2 Psichologiniai algebrinių sąvokų diegimo pradinėje mokykloje pagrindai

Pastaruoju metu, modernizuojant programas, ypatingas dėmesys skiriamas tam, kad būtų klojami aikštiniai teoriniai mokyklos kurso pagrindai (ši tendencija ryškiai pasireiškia tiek pas mus, tiek užsienyje). Šios tendencijos įgyvendinimas mokymo srityje (ypač pradinėse klasėse, kaip pastebima, pavyzdžiui, Amerikos mokykloje) neišvengiamai sukels daug sunkūs klausimai priešais darželį ir ugdymo psichologija o prieš didaktiką, nes dabar beveik nėra tyrimų, atskleidžiančių aibės sąvokos reikšmės vaiko įsisavinimo ypatumus (priešingai nei labai visapusiškai ištirtas skaičiavimo ir skaičiaus asimiliavimas).

Loginiai ir psichologiniai tyrimai pastaraisiais metais(ypač J. Piaget darbas) atskleidė ryšį tarp kai kurių „mechanizmų“ vaikų mąstymas su bendromis matematinėmis sąvokomis. Žemiau konkrečiai aptariame šio ryšio ypatybes ir jų reikšmę matematikos, kaip ugdymo dalyko, konstravimui (kalbėsime apie teorinė pusė atveju, o ne apie kokią nors konkrečią programos versiją).

Natūralusis skaičius yra pamatinė koncepcija matematika per visą jos istoriją; ji vaidina labai svarbų vaidmenį visose gamybos, technologijų srityse, kasdienybė. Tai leidžia teoriniams matematikams skirti jam ypatingą vietą tarp kitų matematikos sąvokų. IN skirtingos formos pateikiami teiginiai, kad natūraliojo skaičiaus samprata yra pradinė stadija matematinė abstrakcija, kad tai yra daugelio matematinių disciplinų konstravimo pagrindas.

Matematikos kaip dalyko pradinių elementų pasirinkimas iš esmės juos įgyvendina bendrosios nuostatos. Daroma prielaida, kad susipažindamas su skaičiais vaikas kartu atranda ir pirminius kiekybinių santykių bruožus. Skaičiavimas ir skaičius yra viso tolesnio matematikos mokymosi mokykloje pagrindas.

Tačiau yra pagrindo manyti, kad šios nuostatos, nors ir pagrįstai išryškina ypatingą ir esminę skaičiaus reikšmę, kartu neadekvačiai išreiškia jo ryšį su kitomis matematinėmis sąvokomis, netiksliai įvertina skaičiaus vietą ir vaidmenį matematikos įsisavinimo procese. . Dėl šios aplinkybės ypač iškyla reikšmingų priimtų matematikos programų, metodų ir vadovėlių trūkumų. Būtina konkrečiai apsvarstyti tikrąjį skaičiaus sąvokos ryšį su kitomis sąvokomis.

Daugelis bendrųjų matematinių sąvokų, ypač lygiavertiškumo santykių ir tvarkos sąvokos, sistemingai nagrinėjamos matematikoje, nepaisant skaitinės formos. Šios sąvokos nepraranda savo savarankiško pobūdžio, galima apibūdinti ir studijuoti tam tikrą dalyką – skirtingą skaičių sistemos, kurių sąvokos pačios savaime neapima pirminių apibrėžimų reikšmės ir prasmės. Ir istorijoje matematikos mokslas bendrosios sąvokos išplėtotos būtent tiek, kiek „algebrinės operacijos“ garsus pavyzdys kurias numato keturios aritmetikos operacijos, pradėtos taikyti visiškai neskaitinio pobūdžio elementams.

Pastaruoju metu bandoma plėtoti vaiko supažindinimo su matematika mokymo metu etapą. Ši tendencija išreiškiama metodiniuose vadovuose, taip pat kai kuriuose eksperimentiniuose vadovėliuose. Taigi viename amerikietiškame vadovėlyje, skirtame mokyti 6–7 metų vaikus (), pirmuosiuose puslapiuose pateikiamos užduotys ir pratimai, specialiai mokantys vaikus nustatyti dalykinių grupių tapatumą. Vaikams parodoma aibių jungimo technika, supažindinama su atitinkama matematine simbolika. Darbas su skaičiais grindžiamas pagrindinėmis žiniomis apie aibes.

Konkrečių bandymų įgyvendinti šią tendenciją turinį galima vertinti įvairiai, tačiau jis pats, mūsų nuomone, yra gana teisėtas ir perspektyvus.

Iš pirmo žvilgsnio sąvokos „santykiai“, „struktūra“, „kompozicijos dėsniai“ ir kt. yra sudėtingos. matematiniai apibrėžimai, negali būti siejamas su formavimu matematinius vaizdus mažiems vaikams. Žinoma, visa tikroji ir abstrakti šių sąvokų reikšmė ir jų vieta aksiominė konstrukcija Matematika kaip mokslas yra jau gerai išvystytos ir matematikos „išmokytos“ galvos asimiliacijos objektas. Tačiau kai kurios šiomis sąvokomis fiksuotų dalykų savybės vienaip ar kitaip vaikui pasirodo gana anksti: tam yra specifinių psichologinių įrodymų.

Visų pirma, reikia turėti omenyje, kad nuo gimimo iki 7 - 10 metų vaikas vystosi ir vystosi. labai sudėtingos sistemos bendras idėjas apie mus supantį pasaulį ir padeda pamatus prasmingam ir esminiam mąstymui. Be to, remdamiesi gana siaura empirine medžiaga, vaikai išskiria bendrosios schemos orientacijos daiktų erdvės-laiko ir priežasties-pasekmės priklausomybėse. Šios diagramos tarnauja kaip tam tikras „koordinačių sistemos“ pagrindas, kuriame vaikas pradeda vis giliau įsisavinti. skirtingos savybėsįvairus pasaulis. Žinoma, šie bendrieji modeliai yra mažai suvokiami ir šiek tiek gali būti išreikšti paties vaiko abstrakčiojo sprendimo forma. Jie, vaizdžiai tariant, yra intuityvi vaiko elgesio organizavimo forma (nors, žinoma, jos vis labiau atsispindi vertinimuose).

IN paskutiniais dešimtmečiais Vaikų intelekto formavimosi ir bendrų idėjų apie tikrovę, laiką ir erdvę atsiradimo klausimus ypač intensyviai nagrinėjo žymus šveicarų psichologas J. Piaget su kolegomis. Kai kurie jo darbai turi tiesioginis ryšys vaiko matematinio mąstymo ugdymo problemas, todėl mums svarbu jas nagrinėti atsižvelgiant į dizaino klausimus. mokymo programa.

Viename iš jų naujausios knygos() J. Piaget pateikia eksperimentinius duomenis apie tokių elementorių atsiradimą ir susidarymą loginės struktūros, pavyzdžiui, klasifikavimas ir serialas. Klasifikavimas apima įtraukimo operacijos (pavyzdžiui, A + A" = B) ir atvirkštinės operacijos (B - A" = A) atlikimą. Seriacija – tai objektų rikiavimas į sistemines eilutes (pavyzdžiui, skirtingo ilgio lazdelės gali būti išdėstytos į eilę, kurių kiekvienas narys yra didesnis už visus ankstesnius ir mažesnis už visus vėlesnius).

Analizuodamas klasifikacijos formavimąsi, J. Piaget parodo, kaip iš jos originali forma, nuo „vaizdinio agregato“, pagrįsto tik erdviniu objektų artumu, sukūrimo vaikai pereina prie klasifikacijos, pagrįstos panašumo ryšiu („nevaizdiniai agregatai“), o tada prie sudėtingiausios formos – į klasių įtraukimas dėl sąvokos apimties ir turinio ryšio. Autorius konkrečiai svarsto klausimą, kaip formuoti klasifikaciją ne tik pagal vieną, bet ir pagal du ar tris kriterijus, ir apie tai, kaip ugdyti vaikų gebėjimą keisti klasifikavimo pagrindą pridedant naujų elementų. Autoriai randa panašius serialo formavimosi etapus.

Šiais tyrimais buvo siekiama labai konkretaus tikslo – nustatyti proto operatorių struktūrų formavimosi dėsningumus ir pirmiausia tokią konstitucinę savybę kaip grįžtamumas, t.y. proto gebėjimas judėti pirmyn ir atgal. Grįžtamumas atsiranda tada, kai „operacijos ir veiksmai gali vystytis dviem kryptimis, o vienos iš šių krypčių supratimas ipso facto [paties fakto dėka] lemia kitos supratimą“ (, p. 15).

Grįžtamumas, anot J. Piaget, reprezentuoja pagrindinį protui būdingą kompozicijos dėsnį. Jis turi dvi papildomas ir neredukuojamas formas: atvirkštinį (inversiją arba neigimą) ir abipusiškumą. Apsukimas įvyksta, pavyzdžiui, tuo atveju, kai objekto erdvinį judėjimą iš A į B galima atšaukti perkeliant objektą atgal iš B į A, o tai galiausiai prilygsta nulinei transformacijai (operacijos sandauga ir jos atvirkštinė vertė yra identiška operacija arba nulinė transformacija).

Abipusiškumas (arba kompensacija) apima atvejį, kai, pavyzdžiui, kai objektas perkeliamas iš A į B, objektas lieka B, bet vaikas pats juda iš A į B ir dauginasi. pradinė padėtis kai daiktas buvo prie jo kūno. Objekto judėjimas čia neatšaukiamas, bet kompensuojamas atitinkamu maišymu savo kūną- ir tai yra kitokia transformacijos forma nei pavertimas (, p. 16).

J. Piaget savo darbuose parodė, kad šios transformacijos pirmiausia pasireiškia sensomotorinių grandinių pavidalu (nuo 10 iki 12 mėnesių). Palaipsnis sensorinių-motorinių grandinių derinimas, funkcinė simbolika ir kalbos ekranas lemia tai, kad per daugybę etapų cirkuliacija ir abipusiškumas tampa intelektinių veiksmų (operacijų) savybėmis ir yra susintetinami vienoje operatoriaus struktūroje (laikotarpyje nuo 7 iki 11 ir nuo 12 iki 15 metų). Dabar vaikas visus judesius gali derinti į vieną pagal dvi atskaitos sistemas iš karto – vieną mobilią, kitą stacionarią.

J. Piaget tuo tiki psichologiniai tyrimai aritmetinių ir geometrinių operacijų vystymas vaiko galvoje (ypač tų loginės operacijos kurie juose vykdo prielaidas) leidžia tiksliai susieti mąstymo operatorių struktūras su algebrinėmis, tvarkos struktūromis ir topologinėmis (, p. 13). Taigi algebrinė struktūra („grupė“) atitinka proto operatoriaus mechanizmus, kuriems taikoma viena iš grįžtamumo formų - inversija (neigimas). Grupėje yra keturi elementarios savybės: dviejų grupės elementų sandauga taip pat suteikia grupės elementą; tiesioginė operacija atitinka vieną ir tik vieną atvirkštinę operaciją; yra tapatybės operacija; nuoseklios kompozicijos yra asociatyvios. Intelektinių veiksmų kalba tai reiškia:

Dviejų veiksmų sistemų koordinavimas yra nauja schema, pridedamas prie ankstesnių;

Operacija gali vystytis dviem kryptimis;

Grįžę į pradinį tašką randame jį nepakitusią;

Galite pasiekti tą patį tašką įvairiais būdais, o pats taškas lieka nepakitęs.

„Nepriklausomo“ vaiko vystymosi faktai (t. y. vystymasis, nepriklausomas nuo tiesioginė įtaka mokslus) rodo neatitikimą tarp geometrijos etapų ir formavimo etapų tvarkos geometrinės sąvokos vaike. Pastarosios apytiksliai atitinka pagrindinių grupių eilės tvarką, kur topologija yra pirmoje vietoje. Vaikas, anot J. Piaget, pirmiausia išsiugdo topologinę intuiciją, o vėliau jis orientuojasi projekcinių ir metrinių struktūrų kryptimi. Todėl ypač, kaip pastebi J. Piaget, per pirmuosius piešimo bandymus vaikas neskiria kvadratų, apskritimų, trikampių ir kitų metrinių figūrų, o puikiai skiria atviras ir uždaras figūras, padėtį „išorėje“ arba „viduje“. ” sienos, padalijimo ir artumo atžvilgiu (kol kas neskiriant atstumų) ir kt. (, p. 23).

Panagrinėkime pagrindines J. Piaget suformuluotas nuostatas, susijusias su ugdymo turinio konstravimo klausimais. Visų pirma, J. Piaget tyrimai rodo, kad ikimokyklinio ir mokyklinė vaikystė Vaikas susikuria tokias operatyvines mąstymo struktūras, kurios leidžia įvertinti esmines daiktų klasių charakteristikas ir jų ryšius. Be to, jau konkrečių operacijų stadijoje (nuo 7 iki 8 metų) vaiko intelektas įgyja grįžtamumo savybę, kuri yra nepaprastai svarbi norint suprasti ugdymo dalykų, ypač matematikos, teorinį turinį.

Šie duomenys rodo, kad tradicinė psichologija o pedagogika nepakankamai atsižvelgė į tų vaiko psichikos raidos etapų, kurie siejami su laikotarpiu nuo 2 iki 7 ir nuo 7 iki 11 metų, sudėtingumą ir talpumą.

Atsižvelgdami į J. Piaget gautus rezultatus, galime padaryti keletą reikšmingų išvadų, susijusių su matematikos mokymo programos kūrimu. Visų pirma faktiniai duomenys apie vaiko nuo 2 iki 11 metų intelekto formavimąsi leidžia manyti, kad šiuo metu jam ne tik „svetimos“ matematinėmis sąvokomis „santykių struktūra“ aprašytų daiktų savybės, bet pastarieji patys organiškai įsilieja į vaiko mąstymą.

Tradicinėse programose į tai neatsižvelgiama. Todėl jie nesuvokia daugelio šiame procese slypinčių galimybių. intelektualinis vystymasis vaikas.

Šiuolaikinėje vaikų psichologijoje turima medžiaga leidžia vertinti teigiamai bendra idėja tokio ugdymo dalyko konstravimas, kuris būtų paremtas pradinių matematinių struktūrų sampratomis. Žinoma, pakeliui yra didelių sunkumų, nes kol kas nėra tokio ugdymo dalyko konstravimo patirties. Visų pirma, vienas iš jų yra susijęs su amžiaus „slenksčio“, nuo kurio galima mokytis pagal naująją programą, nustatymu. Jei vadovausimės J. Piaget logika, tai, matyt, šių programų galima mokyti tik tada, kai vaikai jau turi visiškai susiformavusias operatorių struktūras (nuo 14 iki 15 metų). Bet jeigu darysime prielaidą, kad tikrasis vaiko matematinis mąstymas formuojasi būtent procese, kurį J. Piaget įvardija kaip operatoriaus struktūrų lankstymo procesą, tai šias programas galima diegti daug anksčiau (pavyzdžiui, nuo 7 iki 8 metų) , kai vaikai pradeda formuoti specifines operacijas su aukščiausiu grįžtamumo lygiu. „Natūraliomis“ sąlygomis, studijuojant pagal tradicines programas, formalios operacijos gali susiformuoti tik sulaukus 13–15 metų. Bet ar galima „paspartinti“ jų formavimąsi anksčiau įvedant tokius mokomoji medžiaga, kurio asimiliacija reikalauja tiesioginės matematinių struktūrų analizės?

Panašu, kad tokių galimybių yra. Sulaukę 7 - 8 metų vaikai jau yra pakankamai susikūrę psichikos veiksmų planą, o mokantis pagal atitinkamą programą, kurioje „aiškiai“ pateikiamos matematinių struktūrų savybės ir vaikams suteikiamos priemonės jas analizuoti. galima greitai perkelti vaikus į „formalių“ operacijų lygį, nei per tą laiką, per kurį tai atliekama „nepriklausomo“ šių savybių atradimo metu.

Svarbu atsižvelgti į šią aplinkybę. Yra pagrindo manyti, kad mąstymo specifinių operacijų lygmeniu ypatumai, J. Piaget datuojami 7–11 metų amžiumi, patys neatsiejamai susiję su tradicinei pradinei mokyklai būdingomis mokymosi organizavimo formomis. Šie mokymai (tiek čia, tiek užsienyje) vyksta remiantis itin empiriniu turiniu, dažnai visai nesusijusiu su konceptualiu (teoriniu) požiūriu į objektą. Tokie mokymai palaiko ir stiprina vaikų mąstymą, kuris remiasi išoriniu, tiesioginiu suvokimu, juntamais daiktų ženklais.

Taigi šiuo metu yra faktinių duomenų, rodančių glaudų ryšį tarp vaikų mąstymo struktūrų ir bendrųjų algebrinių struktūrų, nors šio ryšio „mechanizmas“ toli gražu nėra aiškus ir beveik neištirtas. Šio ryšio buvimas atveria esmines galimybes (kol kas tik galimybes!) ugdomojo dalyko konstravimui, kuris vystosi pagal schemą „nuo paprastos konstrukcijos- į sudėtingas jų kombinacijas." Viena iš šių galimybių realizavimo sąlygų yra perėjimo prie mediuoto mąstymo ir jo amžiaus standartų tyrimas. Šis matematikos, kaip akademinio dalyko, konstravimo metodas pats savaime gali būti galingas svertas formuojant mokslą. tokio mąstymo, kuris paremtas gana tvirtu konceptualiu pagrindu, vaikai.

1.3 Algebrinių sąvokų kilmės problema ir jos reikšmė ugdymo dalyko konstravimui

Atskyrimas mokyklos kursas matematika algebrai ir aritmetikai, žinoma, sąlyginai. Perėjimas iš vieno į kitą vyksta palaipsniui. IN mokyklos praktikašio perėjimo prasmę užmaskuoja tai, kad trupmenų tyrimas faktiškai vyksta be plataus dydžių matavimo palaikymo – trupmenos pateikiamos kaip skaičių porų santykiai (nors dydžių matavimo svarba formaliai pripažįstama metodiniuose žinynuose). Išsamus trupmeninių skaičių įvedimas, pagrįstas dydžių matavimu, neišvengiamai veda prie tikrojo skaičiaus sampratos. Tačiau pastarasis dažniausiai neįvyksta, nes studentai ilgą laiką dirba su racionaliais skaičiais, todėl jų perėjimas prie „algebros“ vėluoja.

Kitaip tariant, mokyklinė algebra prasideda būtent tada, kai sudaromos sąlygos pereiti nuo sveikųjų prie realiųjų skaičių, į matavimo rezultatą išreikšti trupmena (paprastoji ir dešimtainė – baigtinė, o paskui begalinė).

Be to, pradinis žingsnis gali būti susipažinimas su matavimo operacija, galutinis rezultatas po kablelio ir tirti su jais susijusius veiksmus. Jei studentai jau žino šią matavimo rezultato įrašymo formą, tai yra būtina sąlyga norint „atsisakyti“ minties, kad skaičius gali būti išreikštas. begalinė trupmena. Ir šią prielaidą patartina sukurti jau pradinėje mokykloje.

Jei trupmeninio (racionalaus) skaičiaus sąvoka išbraukiama iš mokyklinės aritmetikos kompetencijos, tai riba tarp jos ir „algebros“ eis sveikųjų ir realiųjų skaičių skirtumo linija. Būtent tai „supjausto“ matematikos kursą į dvi dalis. Tai ne paprastas skirtumas, o esminis šaltinių „dualizmas“ – skaičiavimas ir matavimas.

Vadovaujantis Lebesgue’o idėjomis dėl „bendros skaičiaus sampratos“, galima užtikrinti visišką matematikos mokymo vienybę, tačiau tik nuo to momento ir supažindinus vaikus su skaičiavimu ir sveikaisiais (natūraliais) skaičiais. Žinoma, šio išankstinio susipažinimo laikas gali skirtis (tradicinėse pradinių mokyklų programose jie aiškiai atidedami). praktiniai išmatavimai(taip yra programoje) - tačiau visa tai nepanaikina aritmetikos ir „algebros“, kaip mokomųjų dalykų, pagrindų skirtumų. Pradinių taškų „dualizmas“ taip pat neleidžia skyriams, susijusiems su dydžių matavimu ir perėjimu prie realių trupmenų, iš tikrųjų „įsišaknyti“ aritmetiniame kurse. Programų autoriai ir metodininkai siekia išlaikyti aritmetikos, kaip mokyklinio dalyko, stabilumą ir „grynumą“. Šis šaltinių skirtumas yra pagrindinė priežastis dėstyti matematiką pagal schemą - pirmiausia aritmetika (sveikasis skaičius), tada „algebra“ (realusis skaičius).

Ši schema atrodo gana natūrali ir nepajudinama, be to, ją pateisina ilgametė matematikos mokymo praktika. Tačiau yra logiškų aplinkybių psichologinis taškas požiūriai reikalauja nuodugnesnės šios griežtos mokymo schemos teisėtumo analizės.

Faktas yra tas, kad, nepaisant visų šių skaičių skirtumų, jie nurodo būtent skaičius, t.y. į specialią kiekybinių santykių rodymo formą. Tai, kad sveikieji ir realieji skaičiai priklauso „skaičiams“, yra pagrindas daryti prielaidą apie pačius skaičiavimo ir matavimo skirtumus genetiniuose išvestiniuose: jie turi specialų ir vieną šaltinį, atitinkantį pačią skaičiaus formą. Šio vieningo skaičiavimo ir matavimo pagrindo ypatybių žinojimas leis aiškiau įsivaizduoti jų atsiradimo sąlygas, viena vertus, ir santykius, kita vertus.

Kur kreiptis norint rasti bendra šaknisšakotas skaičių medis? Atrodo, kad pirmiausia reikia išanalizuoti kiekybės sąvokos turinį. Tiesa, šis terminas iškart asocijuojasi su kita – dimensija. Tačiau tokio ryšio teisėtumas neatmeta tam tikro „dydžio“ reikšmės nepriklausomybės. Atsižvelgdami į šį aspektą galime padaryti išvadas, kurios, viena vertus, apjungia matavimą ir skaičiavimą, o kita vertus, skaičių veikimą su tam tikrais bendraisiais matematiniais ryšiais ir modeliais.

Taigi, kas yra „kiekybė“ ir kuo ji svarbi kuriant pradines mokyklinės matematikos dalis?

Paprastai vartojamas terminas „didumas“ siejamas su sąvokomis „lygus“, „daugiau“, „mažiau“, kurios apibūdina įvairias savybes (ilgį ir tankį, temperatūrą ir baltumą). V.F. Kaganas kelia klausimą, kokių bendrų savybių turi šios sąvokos. Tai rodo, kad jie priklauso agregatams – aibėms vienarūšių objektų, kurio elementų palyginimas leidžia taikyti terminus „daugiau“, „lygus“, „mažiau“ (pavyzdžiui, visų tiesių atkarpų, svorių, greičių ir kt. aibėms).

Objektų rinkinys paverčiamas dydžiu tik tada, kai nustatomi kriterijai, leidžiantys nustatyti bet kurio iš jos elementų A ir B atžvilgiu, ar A bus lygus B, didesnis už B ar mažesnis už B. Be to, bet kurie du elementai A ir B, vienas ir tik vienas iš santykių: A=B, A>B, A<В.

Šie sakiniai sudaro visišką disjunkciją (bent vienas galioja, bet kiekvienas neįtraukia visų kitų).

V.F. Kaganas išskiria šias aštuonias pagrindines sąvokų „lygus“, „daugiau“, „mažiau“ savybes: (, p. 17-31).

1) Bent vienas iš ryšių galioja: A=B, A>B, A<В.

2) Jei galioja santykis A = B, tai santykis A negalioja<В.

3) Jei galioja santykis A=B, tai santykis A>B negalioja.

4) Jei A=B ir B=C, tai A=C.

5) Jei A>B ir B>C, tai A>C.

6) Jei A<В и В<С, то А<С.

7) Lygybė yra grįžtamasis ryšys: iš santykio A=B visada seka santykis B=A.

8) Lygybė yra abipusis ryšys: kad ir koks būtų nagrinėjamos aibės elementas A, A = A.

Pirmieji trys sakiniai apibūdina pagrindinių santykių „=", ">, " disjunkciją.<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Šios išvadinės V.F. Kaganas aprašo aštuonių teoremų forma:

I. Santykis A>B neapima santykio B>A (A<В исключает В<А).

II. Jei A>B, tai B<А (если А<В, то В>A).

III. Jei A>B galioja, tai A negalioja.

IV. Jei A1=A2, A2=A3,..., An-1=A1, tai A1=An.

V. Jei A1>A2, A2>A3,..., An-1>An, tada A1>An.

VI. Jei A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Jei A=C ir B=C, tai A=B.

VIII. Jei yra lygybė arba nelygybė A=B, arba A>B, arba A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

jei A=B ir A=C, tai C=B;

jei A>B ir A=C, tai C>B ir pan.).

Palyginimo postulatai ir teoremos, nurodo V.F. Kagano teigimu, „išnaudotos visos tos sąvokų „lygus“, „daugiau“ ir „mažiau“ savybės, kurios matematikoje su jomis siejamos ir randamos, nepaisant atskirų aibės savybių, kurių elementams jas taikome. įvairūs ypatingi atvejai“ (, 31 psl.).

Postulatuose ir teoremose nurodytos savybės gali apibūdinti ne tik tuos tiesioginius objektų požymius, kuriuos esame įpratę sieti su „lygus“, „daugiau“, „mažiau“, bet ir su daugeliu kitų požymių (pavyzdžiui, gali apibūdinti santykį). „protėvis - palikuonis“). Tai leidžia apibendrinti juos aprašant ir, pavyzdžiui, šių postulatų ir teoremų požiūriu apsvarstyti bet kokius tris santykių tipus „alfa“, „beta“, „gama“ (šiuo atveju tai galima nustatyti, ar šie santykiai tenkina postulatus bei teoremas ir kokiomis sąlygomis).

Šiuo požiūriu galima, pavyzdžiui, nagrinėti tokią daiktų savybę kaip kietumas (kietesnis, minkštesnis, vienodas kietumas), įvykių seka laike (sekantis, einantis, vienu metu) ir kt. Visais šiais atvejais santykiai „alfa“, „beta“, „gama“ turi savo specifinį aiškinimą. Užduotis, susijusi su tokio kūnų rinkinio, kuris turėtų šiuos ryšius, atranka, taip pat ženklų, pagal kuriuos būtų galima apibūdinti „alfa“, „beta“, „gama“, identifikavimas - tai užduotis nustatyti palyginimo kriterijus. tam tikrame kūnų rinkinyje (praktikoje kai kuriais atvejais tai nėra lengva išspręsti). „Nustatydami palyginimo kriterijus, daugumą paverčiame dydžiu“, – rašė V.F. Kaganas (, p. 41).

Į tikrus objektus galima žiūrėti iš skirtingų kriterijų perspektyvos. Taigi žmonių grupę galima laikyti pagal tokį kriterijų kaip kiekvieno jos nario gimimo momentų seka. Kitas kriterijus – santykinė padėtis, kurią užims šių žmonių galvos, jei jos bus pastatytos viena šalia kitos toje pačioje horizontalioje plokštumoje. Kiekvienu atveju grupė bus transformuota į kiekį, kuris turi atitinkamą pavadinimą – amžius, ūgis. Praktikoje kiekis dažniausiai žymi ne pačią elementų rinkinį, o naują sąvoką, įvestą siekiant atskirti palyginimo kriterijus (kiekybės pavadinimą). Taip atsiranda sąvokos „tūris“, „svoris“, „elektros įtampa“ ir kt. „Tuo pačiu metu matematikui reikšmė yra visiškai apibrėžta, kai nurodoma daug elementų ir palyginimo kriterijų“, – pažymėjo V.F. Kaganas (, p. 47).

Šis autorius svarbiausiu matematinio dydžio pavyzdžiu laiko natūralią skaičių seką. Tokio palyginimo kriterijaus, kaip skaičių užimama padėtis eilutėje (jie užima tą pačią vietą, seka ..., pirmesnė) požiūriu, ši serija atitinka postulatus ir todėl reiškia kiekį. Pagal atitinkamus palyginimo kriterijus trupmenų rinkinys taip pat paverčiamas kiekiu.

Tai, anot V.F. Kaganas, kiekybės teorijos turinys, kuris vaidina gyvybiškai svarbų vaidmenį visos matematikos pagrindu.

Dirbdami su dydžiais (patartina įrašyti jų individualias reikšmes raidėmis), galite atlikti sudėtingą transformacijų sistemą, nustatydami jų savybių priklausomybes, pereidami nuo lygybės prie nelygybės, atlikdami sudėjimą (ir atimtį) ir pridėdami. galite vadovautis komutacinėmis ir asociatyvinėmis savybėmis. Taigi, jei duotas santykis A = B, tada „sprendžiant“ uždavinius galima vadovautis santykiu B = A. Kitu atveju, jei yra ryšiai A>B, B=C, galime daryti išvadą, kad A>C. Kadangi a>b yra c, kad a=b+c, tada galime rasti skirtumą tarp a ir b (a-b=c) ir kt. Visas šias transformacijas galima atlikti fiziniai kūnai ir kitus objektus, nustatant palyginimo kriterijus ir pasirinktų ryšių atitiktį palyginimo postulatams.

Aukščiau pateiktos medžiagos leidžia daryti išvadą, kad tiek natūralūs, tiek realieji skaičiai yra vienodai stipriai susiję su kiekiais ir kai kuriomis esminėmis jų savybėmis. Ar galima šias ir kitas savybes paversti objektu? specialus tyrimas vaikas dar prieš įvedant skaitinę dydžių ryšio apibūdinimo formą? Jie gali būti prielaida vėliau detaliai pristatyti skaičių ir skirtingus jo tipus, ypač trupmenų propedeutikai, koordinačių sąvokoms, funkcijoms ir kitoms sąvokoms jau žemesnėse klasėse.

Koks galėtų būti to turinys pradinė dalis? Tai įvadas į fiziniai objektai, jų palyginimo kriterijai, išryškinant kiekį kaip matematinio svarstymo dalyką, susipažinus su palyginimo metodais ir simbolinėmis jo rezultatų registravimo priemonėmis, su dydžių bendrųjų savybių analizės metodais. Šį turinį reikia išvystyti į gana išsamią mokymo programą ir, svarbiausia, susieti su tais vaiko veiksmais, per kuriuos jis gali įsisavinti šį turinį (žinoma, atitinkama forma). Tuo pačiu metu būtina eksperimentiškai nustatyti, ar 7 metų vaikai gali įsisavinti šią programą ir kokia yra jos įdiegimo galimybė vėlesniam matematikos mokymui pradinėse klasėse, siekiant priartinti aritmetiką ir pirminę algebrą. kartu.

Iki šiol mūsų samprotavimai buvo teorinio pobūdžio ir buvo skirti išsiaiškinti matematines prielaidas sukurti tokią pradinę kurso dalį, kuri supažindintų vaikus su pagrindinėmis algebrinėmis sąvokomis (iki specialus įvadas skaičiai).

Pagrindinės dydžius apibūdinančios savybės buvo aprašytos aukščiau. Natūralu, kad 7 metų vaikams nėra prasmės skaityti „paskaitas“ apie šias savybes. Reikėjo rasti tokią darbo formą vaikams su didaktinė medžiaga, per kurią jie, viena vertus, galėtų atpažinti šias savybes juos supančius daiktus, kita vertus, išmoktų jas užfiksuoti tam tikra simbolika ir atlikti elementarius matematinė analizė paskirstyti santykiai.

Šiuo atžvilgiu programoje, pirma, turėtų būti nurodyta tų dalyko savybių, kurias reikia įsisavinti, antra, didaktinės medžiagos aprašymas, trečia - ir tai yra pagrindinis dalykas psichologiniu požiūriu - savybės. tų veiksmų, kuriais vaikas identifikuoja tam tikras daikto savybes ir jas įvaldo. Šie „komponentai“ sudaro mokymo programą tikrąja to žodžio prasme.

Specifinės savybės Prasminga šią hipotetinę programą ir jos „komponentus“ pateikti aprašant patį mokymosi procesą ir jo rezultatus. Čia yra šios programos ir pagrindinių jos temų metmenys.

I tema. Objektų niveliavimas ir užbaigimas (pagal ilgį, tūrį, svorį, dalių sudėtį ir kitus parametrus).

Praktinės problemos išlyginimui ir įsigijimui. Požymių (kriterijų), pagal kuriuos galima sulyginti ar užbaigti tuos pačius objektus, nustatymas. Žodinis šių savybių žymėjimas („pagal ilgį, svorį“ ir kt.).

Šios užduotys sprendžiamos dirbant su didaktine medžiaga (strypais, svarmenimis ir kt.):

Pasirinkę tą patį elementą,

„To paties“ objekto atgaminimas (konstravimas) pagal pasirinktą (nurodytą) parametrą.

II tema. Objektų palyginimas ir jo rezultatų fiksavimas naudojant lygybės-nelygybės formulę.

1. Objektų palyginimo ir šio veiksmo rezultatų simbolinio įvardijimo užduotys.

2. Žodinis palyginimo rezultatų fiksavimas (terminai „daugiau“, „mažiau“, „lygus“). Rašytiniai ženklai ">", "<", "=".

3. Palyginimo rezultato nurodymas su piešiniu ("kopijavimas" ir tada "abstraktus" - linijos).

4. Lyginamų objektų žymėjimas raidėmis. Palyginimo rezultato įrašymas naudojant formules: A=B; A<Б, А>B.

Raidė kaip ženklas, fiksuojantis tiesiogiai duotą, konkrečią objekto vertę pagal pasirinktą parametrą (pagal svorį, tūrį ir pan.).

5. Neįmanoma nustatyti palyginimo rezultato naudojant skirtingas formules. Konkrečios formulės parinkimas duotam rezultatui (visiškas santykių didesnis – mažesnis – lygus disjunkcija).

III tema. Lygybės ir nelygybės savybės.

1. Lygybės grįžtamumas ir refleksyvumas (jei A=B, tai B=A; A=A).

2. Ryšys tarp santykių „daugiau“ ir „mažiau“ nelygybėse lyginamų šalių „permutacijų“ metu (jei A>B, tai B<А и т.п.).

3. Tranzityvumas kaip lygybės ir nelygybės savybė:

jei A = B, jei A> B, jei A<Б,

a B = B, a B> B, a B<В,

tada A=B; tada A>B; tada A<В.

4. Perėjimas nuo darbo su dalykine didaktine medžiaga prie lygybės ir nelygybės savybių vertinimo esant tik pažodinėms formulėms. Sprendžiant įvairius uždavinius, kuriems reikia žinoti šias savybes (pavyzdžiui, spręsti uždavinius, susijusius su ryšių tipo ryšiu: atsižvelgiant į tai, kad A>B, ir B=C; išsiaiškinti ryšį tarp A ir C).

IV tema. Sudėjimo (atimties) operacija.

1. Objektų kitimo stebėjimai pagal vieną ar kitą parametrą (pagal tūrį, svorį, trukmę ir pan.). Didėjimo ir mažėjimo iliustracija su „+“ ir „-“ (pliuso ir minuso) ženklais.

2. Anksčiau nustatytos lygybės pažeidimas atitinkamai pakeičiant vieną ar kitą jos pusę. Perėjimas nuo lygybės prie nelygybės. Rašyti tokias formules:

jei A = B, jei A = B,

tada A+K>B; tada A-K<Б.

3. Perėjimo prie naujos lygybės būdai (jos „atstatymas“ pagal principą: „lygus“ pridėjus „lygus“, gaunamas „lygus“).

Darbas su tokiomis formulėmis kaip:

tada A+K>B,

bet A+K=B+K.

4. Įvairių problemų sprendimas, kai pereinant nuo lygybės prie nelygybės ir atgal reikia naudoti sudėjimą (atimtį).

V tema. Perėjimas nuo A tipo nelygybės<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Užduotys, kurioms reikalingas toks perėjimas. Poreikis nustatyti dydžio, kuriuo skiriasi lyginami objektai, vertę. Gebėjimas rašyti lygybę, kai konkreti šio kiekio reikšmė nežinoma. x (x) naudojimo būdas.

Rašyti tokias formules:

jei A<Б, если А>B,

tada A+x=B; tada A-x=B.

2. x reikšmės nustatymas. Šios reikšmės pakeitimas formulėje (įvadas į skliaustus). Įveskite formules

3. Spręsti uždavinius (įskaitant „siužetinį-tekstinį“), reikalaujantį atlikti nurodytas operacijas.

Tema Vl. Lygybių-nelygybių pridėjimas-atėmimas. Pakeitimas.

1. Lygybių-nelygybių pridėjimas-atėmimas:

jei A=B, jei A>B, jei A>B

ir M = D, ir K> E, ir B = G,

tada A+M=B+D; tada A+K>B+E; tada A+-B>C+-G.

2. Gebėjimas pavaizduoti kiekio reikšmę kaip kelių reikšmių sumą. Tipo pakeitimas:

3. Įvairių problemų sprendimas, reikalaujantis atsižvelgti į santykių, su kuriais vaikai susipažino darbo metu, ypatybes (daugeliui užduočių reikia vienu metu atsižvelgti į kelias savybes, sumanumo vertinant formulių reikšmę; problemų ir sprendimų aprašymai pateikiami žemiau ).

Tai programa, skirta 3,5 - 4 mėnesiams. pirmąjį pusmetį. Kaip rodo eksperimentinio mokymo patirtis, tinkamai suplanavus pamokas, tobulinant mokymo metodus ir sėkmingai pasirinkus didaktikos priemones, visą programoje pateiktą medžiagą vaikai gali pilnai įsisavinti per trumpesnį laiką (per 3 mėnesius). .

Kaip vyksta mūsų programa? Visų pirma, vaikai susipažįsta su skaičiaus gavimo metodu, kuris išreiškia objekto, kaip visumos, santykį (tą patį kiekį, kurį vaizduoja tęstinis arba atskiras objektas) su jo dalimi. Pats santykis ir jo specifinė reikšmė pavaizduota formule A/K = n, kur n yra bet koks sveikasis skaičius, dažniausiai išreiškiantis santykį iki artimiausio „vieneto“ (tik su specialiu medžiagos pasirinkimu arba skaičiuojant tik „kokybiškai“). atskirus dalykus galima gauti visiškai tikslų sveikąjį skaičių). Vaikai nuo pat pradžių yra „verčiami“ turėti omenyje, kad matuojant ar skaičiuojant gali susidaryti likutis, kurio buvimas turi būti specialiai nustatytas. Tai pirmas žingsnis į tolesnį darbą su trupmenomis.

Naudojant šią skaičių gavimo formą, nėra sunku priversti vaikus apibūdinti objektą tokia formule kaip A = 5k (jei santykis buvo lygus „5“). Kartu su pirmąja formule ji atveria galimybes specialiai ištirti priklausomybes tarp objekto, bazės (mato) ir skaičiavimo rezultato (matavimo), kuri taip pat tarnauja kaip propedeutika pereinant prie trupmeninių skaičių (ypač , kad suprastumėte pagrindinę trupmenos savybę).

Kita programos kūrimo kryptis, įgyvendinta jau pirmoje klasėje, yra pagrindinių kiekybės savybių (lygybės-nelygybės disjunkcija, tranzityvumas, invertibilumas) perkėlimas į skaičius (sveikuosius skaičius) ir sudėjimo operacija (komutatyvumas, asociatyvumas, monotoniškumas, nelygybės disjunkcija). atimties galimybė). Visų pirma, dirbdami su skaičių linija, vaikai gali greitai paversti skaičių seką į reikšmę (pavyzdžiui, aiškiai įvertinti jų tranzityvumą atlikdami 3 tipo žymėjimus<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Susipažinimas su kai kuriomis vadinamosiomis „struktūrinėmis“ lygybės ypatybėmis leidžia vaikams skirtingai suprasti sudėjimo ir atimties ryšį. Taigi, pereinant nuo nelygybės prie lygybės, atliekamos šios transformacijos: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; rasti ryšį tarp kairės ir dešinės formulės pusių 8+1-4...6+3-2; esant nelygybei, perkelkite šią išraišką į lygybę (pirmiausia reikia įdėti ženklą „mažiau nei“, o tada pridėti „du“ kairėje pusėje).

Taigi skaičių eilučių traktavimas kaip kiekį leidžia lavinti sudėties ir atimties (o vėliau daugybos ir dalybos) įgūdžius nauju būdu.

II skyrius. Metodinės rekomendacijos studijuojant algebrinę medžiagą pradinėje mokykloje 2.1 Mokymas pradinėje mokykloje vidurinės mokyklos poreikių požiūriu

Kaip žinia, mokantis matematikos 5 klasėje nemaža laiko dalis skiriama kartoti tai, ką vaikai turėjo išmokti pradinėje mokykloje. Šis kartojimas beveik visuose esamuose vadovėliuose trunka 1,5 akademinio ketvirčio. Tokia situacija susiklostė neatsitiktinai. Jo priežastis – vidurinių mokyklų matematikos mokytojų nepasitenkinimas pradinių klasių abiturientų paruošimu. Kokia šios situacijos priežastis? Tuo tikslu buvo išanalizuoti penki šiandien žinomiausi pradinių klasių matematikos vadovėliai. Tai M.I. vadovėliai. Moro, I.I. Arginskaja, N.B. Istomina, L.G. Petersonas ir V.V. Davydova (, , , ,).

Metodas, kaip efektyviai įsisavinti daugybos lentelę, buvo rastas dar šeštajame dešimtmetyje. Ją sudaro tam tikros pratimų sistemos organizavimas, kurias atlikdami vaikai patys konstruoja daugybos lentelę. Tačiau šis metodas neįgyvendintas nė viename iš recenzuotų vadovėlių.

Kitas neigiamas momentas, turintis įtakos tolesniam mokymuisi, yra tai, kad daugeliu atvejų pradinių klasių matematikos vadovėliuose medžiagos pateikimas yra susistemintas taip, kad ateityje vaikus teks perkvalifikuoti, o tai, kaip žinome, yra daug sunkiau nei mokymas. Kalbant apie algebrinės medžiagos tyrimą, pavyzdys būtų lygčių sprendimas pradinėje mokykloje. Visuose vadovėliuose lygčių sprendimas grindžiamas nežinomų veiksmų komponentų radimo taisyklėmis.

Tai daroma kiek kitaip tik L. G. vadovėlyje. Peterson, kur, pavyzdžiui, daugybos ir padalijimo lygčių sprendimas yra pagrįstas lygties komponentų koreliavimu su stačiakampio kraštinėmis ir plotu ir galiausiai taip pat priklauso nuo taisyklių, tačiau tai yra taisyklės, kaip rasti kraštinę arba plotą. stačiakampis. Tuo tarpu nuo 6 klasės vaikai mokomi visiškai kitokio lygčių sprendimo principo, paremto identiškų transformacijų naudojimu. Šis poreikis mokytis iš naujo lemia tai, kad lygčių sprendimas daugeliui vaikų yra gana sudėtingas uždavinys.

Analizuodami vadovėlius susidūrėme ir su tuo, kad juose pateikiant medžiagą dažnai būna iškraipomos sąvokos. Pavyzdžiui, daugelio apibrėžimų formuluotė pateikiama implikacijų forma, o iš matematinės logikos žinoma, kad bet koks apibrėžimas yra lygiavertiškumas. Kaip iliustraciją galime pateikti daugybos apibrėžimą iš I.I. vadovėlio. Arginskaya: „Jei visi sumos nariai yra lygūs vienas kitam, tada sudėjimą galima pakeisti kitu veiksmu - daugyba“. (Visi sumos nariai yra lygūs vieni kitiems. Todėl sudėtį galima pakeisti daugyba.) Kaip matote, tai yra gryna forma. Ši formuluotė ne tik neraštinga matematikos požiūriu, ji ne tik neteisingai formuoja vaikams supratimą apie tai, kas yra apibrėžimas, bet ir labai žalinga, nes ateityje, pavyzdžiui, konstruojant daugybos lentelę, vadovėlių autoriai naudoja sandaugos pakeitimą identiškų terminų suma, o pateikta formuluotė to neleidžia. Toks neteisingas darbas su teiginiais, parašytais implikacijos forma, formuoja vaikams neteisingą stereotipą, kuris bus sunkiai įveikiamas geometrijos pamokose, kai vaikai nepajus skirtumo tarp tiesioginio ir priešingo teiginio, tarp figūros ženklo ir jos nuosavybė. Labai dažnai pasitaiko klaida, kai sprendžiant uždavinius naudojama atvirkštinė teorema, nors buvo įrodyta tik tiesioginė teorema.

Kitas neteisingo sąvokos formavimo pavyzdys yra darbas su pažodiniu lygybės santykiu. Pavyzdžiui, skaičiaus dauginimo iš vieneto ir skaičiaus iš nulio taisyklės visuose vadovėliuose pateiktos raidžių forma: a x 1 = a, a x 0 = 0. Lygybės santykis, kaip žinoma, yra simetriškas, todėl toks. žymėjimas numato ne tik tai, kad padauginus iš 1 gaunamas tas pats skaičius, bet ir tai, kad bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip šio skaičiaus ir vieneto sandauga. Tačiau vadovėliuose po laiško įvedimo siūloma žodinė formuluotė kalba tik apie pirmąją galimybę. Pratimai šia tema taip pat skirti tik tam, kad būtų pratinamasi skaičiaus ir vieneto sandaugą pakeisti šiuo skaičiumi. Visa tai lemia ne tik tai, kad labai svarbus punktas netampa vaikų sąmonės objektu: sandauga gali būti užrašytas bet koks skaičius, kuris algebroje sukels atitinkamų sunkumų dirbant su daugianariais, bet ir tai, kad vaikai iš principo nemoka teisingai dirbti su lygybės santykiu. Pavyzdžiui, dirbdami su kvadratų skirtumo formule, vaikai, kaip taisyklė, susidoroja su kvadratų skirtumo faktoriaus užduotimi. Tačiau tos užduotys, kai reikia atlikti priešingą veiksmą, daugeliu atvejų sukelia sunkumų. Kitas ryškus šios idėjos pavyzdys yra darbas su daugybos paskirstymo dėsniu, palyginti su pridėjimu. Ir čia, nepaisant įstatymo raidžių rašymo, tiek jo žodinė formuluotė, tiek pratimų sistema tik lavina gebėjimą skliausteliuose. Dėl to bendro veiksnio išbraukimas iš skliaustų sukels didelių sunkumų ateityje.

Gana dažnai pradinėje mokykloje, net ir teisingai suformulavus apibrėžimą ar taisyklę, mokymasis skatinamas pasikliaujant ne jais, o kažkuo visai kitu. Pavyzdžiui, studijuojant daugybos iš 2 lentelę, visi peržiūrėti vadovėliai parodo, kaip ją sudaryti. Vadovėlyje M.I. Moro padarė taip:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Taikydami šį darbo metodą vaikai labai greitai pastebės gautų skaičių serijų modelį.

Po 3–4 lygybių jie nustos pridėti du ir pradės rašyti rezultatą pagal pastebėtą modelį. Taigi daugybos lentelės sudarymo metodas netaps jų sąmonės objektu, o tai lems trapią jos asimiliaciją.

Studijuojant medžiagą pradinėje mokykloje, remiamasi objektyviais veiksmais ir iliustraciniu aiškumu, o tai lemia empirinio mąstymo formavimąsi. Žinoma, be tokio matomumo pradinėje mokykloje vargu ar galima apsieiti. Bet tai turėtų būti tik kaip to ar kito fakto iliustracija, o ne kaip koncepcijos formavimo pagrindas. Iliustracinio aiškumo ir esminių veiksmų naudojimas vadovėliuose dažnai lemia, kad pati sąvoka yra „neryški“. Pavyzdžiui, matematikos metoduose 1–3 klasėms M.I. Moreau sako, kad vaikai turi skirstyti daiktus į krūvas arba nupiešti 30 pamokų. Tokie veiksmai praranda dalybos operacijos esmę kaip atvirkštinis daugybos veiksmas. Dėl to dalybos išmokstamos su didžiausiais sunkumais ir yra daug blogiau nei kitos aritmetinės operacijos.

Pradinėje mokykloje mokant matematikos apie kokių nors teiginių įrodymą nėra kalbos. Tuo tarpu prisiminus, kaip sunku bus mokyti įrodinėjimo vidurinėje mokykloje, tam reikia pradėti ruoštis jau pradinėse klasėse. Be to, tai galima padaryti naudojant medžiagą, kuri yra gana prieinama jaunesniems moksleiviams. Pavyzdžiui, tokia medžiaga gali būti skaičiaus padalijimo iš 1, nulio iš skaičiaus ir skaičiaus iš savęs taisyklės. Vaikai gana pajėgūs tai įrodyti naudodami dalybos apibrėžimą ir atitinkamas daugybos taisykles.

Kalbant apie matematikos mokymo pradinėse klasėse trūkumus, kurie trukdo mokytis toliau, būtina ypač pabrėžti tai, kad dažnai vadovėliuose medžiaga pateikiama nežiūrint, kaip ji veiks ateityje. Labai ryškus to pavyzdys yra mokymosi daugybos iš 10, 100, 1000 ir kt. Visuose apžvelgtuose vadovėliuose šios medžiagos pateikimas susistemintas taip, kad vaikų mintyse neišvengiamai susiformuotų taisyklė: „Norint skaičių padauginti iš 10, 100, 1000 ir t.t., reikia Dešinėje pusėje pridėti tiek nulių, kiek yra 10, 100, 1000 ir tt." Ši taisyklė yra viena iš tų, kurios labai gerai išmokstama pradinėje mokykloje. Dėl to dauginant dešimtaines trupmenas iš sveikų skaitmenų vienetų atsiranda daug klaidų. Net ir prisiminę naują taisyklę, vaikai, daugindami iš 10, dažnai automatiškai prideda nulį dešimtainio skaičiaus dešinėje. Be to, reikia pastebėti, kad dauginant natūralųjį skaičių ir dešimtainę trupmeną dauginant iš sveikų skaitmenų vienetų, iš esmės vyksta tas pats: kiekvienas skaičiaus skaitmuo atitinkamu skaitmenų skaičiumi pasislenka į dešinę. Todėl nėra prasmės mokyti vaikus dviejų atskirų ir visiškai formalių taisyklių. Daug naudingiau juos išmokyti bendro elgesio būdo sprendžiant panašias problemas.

2.1 Sąvokų palyginimas (kontrastavimas) matematikos pamokose

Dabartinė programa numato I klasėje studijuoti tik dvi pirmojo lygio operacijas – sudėtį ir atimtį. Pirmųjų studijų metų apribojimas tik dviem operacijomis iš esmės yra nukrypimas nuo to, kas jau buvo pasiekta vadovėliuose, buvusiuose prieš dabartinius: nei vienas mokytojas tada niekada nesiskundė, kad daugyba ir dalyba, tarkime, per 20, yra peržengiama. pirmokų gebėjimai . Atkreiptinas dėmesys ir į tai, kad kitų šalių mokyklose, kuriose mokslas pradedamas nuo 6 metų, pirmieji mokslo metai apima pirminį susipažinimą su visais keturiais aritmetikos veiksmais. Matematika visų pirma remiasi keturiais veiksmais, ir kuo anksčiau jie bus įtraukti į mokinio mąstymo praktiką, tuo stabilesnis ir patikimesnis bus tolesnis matematikos kurso vystymas.

Teisybės dėlei reikia pažymėti, kad pirmuosiuose M.I.I klasės vadovėlių versijose buvo pateikta daugybos ir dalybos. Tačiau nelaimingas atsitikimas sutrukdė: naujų programų autoriai atkakliai laikėsi vienos „naujovės“ - visų sudėjimo ir atėmimo atvejų aprėpties pirmoje klasėje per 100 (37+58 ir 95-58 ir kt.). Tačiau kadangi nebuvo pakankamai laiko tokiam išplėstiniam informacijos kiekiui ištirti, buvo nuspręsta daugybą ir dalybą visiškai perkelti į kitus studijų metus.

Taigi susižavėjimas programos linijiškumu, t. y. grynai kiekybiniu žinių išplėtimu (tie patys veiksmai, bet su didesniais skaičiais), atėmė laiką, kuris anksčiau buvo skirtas kokybiniam žinių gilinimui (visų keturių veiksmų studijoms). dvi dešimtys). Daugybos ir dalybos mokymasis jau pirmoje klasėje reiškia kokybinį mąstymo šuolį, nes leidžia įvaldyti kondensuotus mąstymo procesus.

Remiantis tradicijomis, sudėties ir atimties per 20 tyrimas buvo ypatinga tema. Šio metodo poreikis sisteminant žinias matomas net iš loginės klausimo analizės: faktas yra tas, kad visa lentelė, skirta pridėti vieną skaitmenį. skaičiai plėtojami per dvi dešimtis (0+1= 1, ...,9+9=18). Taigi skaičiai, esantys 20 viduje, sudaro pilną santykių sistemą savo vidiniuose ryšiuose; todėl „Dvidešimties“ kaip antrosios holistinės temos išsaugojimo tikslingumas yra aiškus (pirmoji tokia tema – veiksmai pirmajame dešimtyje).

Aptariamas atvejis kaip tik toks, kai koncentriškumas (antrojo dešimtuko kaip ypatingos temos išsaugojimas) pasirodo naudingesnis nei tiesiškumas (antrojo dešimtuko „ištirpimas“ į „šimto“ temą).

M.I. Moro vadovėlyje pirmojo dešimties tyrimas yra padalintas į dvi atskiras dalis: pirmiausia nagrinėjama pirmojo dešimties skaičių sudėtis, o kitoje temoje nagrinėjami veiksmai, skirti 10 pateikė P.M. Erdnieva, priešingai, atliko bendrą numeracijos, skaičių sudėties ir operacijų (sudėtis ir atimtis) tyrimą iš karto 10 vienoje dalyje. Taikant šį metodą, naudojamas monografinis skaičių tyrimas, būtent: nagrinėjamame skaičiuje (pavyzdžiui, 3) iš karto suprantama visa „pinigų matematika“: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3–2 = 1.

Jei pagal dabartines programas pirmam dešimtiui buvo skirta 70 valandų studijuoti, tai eksperimentinio mokymo atveju visa ši medžiaga buvo išstudijuota per 50 valandų (be programos buvo atsižvelgta į kai kurias papildomas sąvokas, kurių nebuvo stabilus vadovėlis, bet buvo struktūriškai susiję su pagrindine medžiaga).

Pradinio mokymo metodikoje ypatingo dėmesio reikalauja užduočių klasifikavimo ir jų tipų pavadinimų klausimas. Metodininkų kartos stengėsi racionalizuoti mokyklinių užduočių sistemą, sukurti efektyvius jų tipus ir atmainas, iki pat sėkmingų terminų parinkimo mokykloje skirtų užduočių pavadinimams. Žinoma, kad joms spręsti matematikos pamokose skiriama ne mažiau kaip pusė mokymo laiko. Mokyklos užduotis tikrai reikia sisteminti ir klasifikuoti. Kokias (tipas) problemas tirti, kada tirti, kokio tipo problemas tirti, susijusias su tam tikro skyriaus ištrauka – tai yra teisėtas metodikos ir pagrindinių programų turinio tyrimo objektas. Šios aplinkybės reikšmė akivaizdi iš matematikos metodologijos istorijos.

Autoriaus eksperimentinėse mokymo priemonėse ypatingas dėmesys skiriamas užduočių klasifikavimui ir mokymui konkrečioje klasėje reikalingų jų tipų ir atmainų paskirstymui. Šiuo metu klasikiniai uždavinių tipų pavadinimai (rasti sumą, nežinomą terminą ir pan.) dingo net iš stabilaus pirmos klasės vadovėlio turinio. Bandomajame vadovėlyje P.M. Erdnievo, šie vardai „veikia“: jie naudingi kaip didaktiniai etapai ne tik mokiniui, bet ir mokytojui. Pateiksime bandomojo matematikos vadovėlio pirmosios temos turinį, kuriam būdingas loginis sąvokų išsamumas.

Pirmieji dešimt

Lyginant sąvokas aukštesnis – žemesnis, kairysis – dešinysis, tarp, trumpesnis – ilgesnis, platesnis – siauresnis, storesnis – plonesnis, senesnis – jaunesnis, toliau – arčiau, lėčiau – greičiau, lengvesnis – sunkesnis, mažai – daug.

Monografinis pirmojo dešimtuko skaičių tyrimas: pavadinimas, žymėjimas, palyginimas, skaičių dėjimas į abakusą ir skaičių žymėjimas skaičių eilutėje; ženklai: lygus (=), nelygus (¹), didesnis nei (>), mažesnis nei (<).

Tiesios ir lenktos linijos; apskritimas ir ovalas.

Taškas, tiesė, atkarpa, jų žymėjimas raidėmis; atkarpos ilgio matavimas ir nurodyto ilgio atkarpų išdėstymas; žymėjimas, įvardijimas, konstravimas, lygių trikampių, lygių daugiakampių išpjovimas. Daugiakampio elementai: viršūnės, kraštinės, įstrižainės (žymimos raidėmis).

Monografinis skaičių tyrimas nagrinėjamame skaičiuje:

skaičių kompozicija, sudėjimas ir atėmimas.

Sudėjimo ir atimties komponentų pavadinimai.

Keturi sudėjimo ir atimties pavyzdžiai:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Deformuoti pavyzdžiai (su trūkstamais skaičiais ir ženklais):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Problemų sprendimas ieškant sumos ir sudėjimo, skirtumo, minuend ir subtrahend. Abipusiai atvirkštinių uždavinių kompiliavimas ir sprendimas.

Trys užduotys: skaičių padidinti ir sumažinti keliais vienetais ir palyginti skirtumus. Segmentų palyginimas pagal ilgį.

Komutacinis sudėjimo dėsnis. Sumos pokytis, priklausantis nuo vieno termino pasikeitimo. Sąlyga, kai suma nesikeičia. Paprasčiausios raidinės išraiškos: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Raiškos uždavinių sudarymas ir sprendimas.

Tolesniame pristatyme apsvarstysime pagrindinius šios pradinės mokyklinės matematikos dalies pateikimo metodikos klausimus, turėdami omenyje, kad tolesnių skyrių pateikimo metodika daugeliu atžvilgių turėtų būti panaši į pirmosios temos medžiagos įsisavinimo procesą. .

Jau pirmose pamokose mokytojas turėtų išsikelti tikslą išmokyti mokinį vartoti sąvokų poras, kurių turinys atsiskleidžia atitinkamų sakinių su šiais žodžiais procese. (Pirma, mes įvaldome palyginimą kokybiniu lygiu, nenaudodami skaičių.)

Čia pateikiami dažniausiai pasitaikančių sąvokų porų, kurios turėtų būti naudojamos ne tik matematikos, bet ir kalbos raidos pamokose, pavyzdžiai:

Daugiau – mažiau, ilgesnis – trumpesnis, aukščiau – žemesnis, sunkesnis – lengvesnis, platesnis – siauresnis, storesnis – plonesnis, dešinėn – kairėn, toliau – arčiau, senesnis – jaunesnis, greičiau – lėčiau ir t.t.

Dirbant su tokiomis sąvokų poromis, svarbu naudoti ne tik vadovėlio iliustracijas, bet ir vaikų pastebėjimus; taigi, pavyzdžiui, pro klasės langą jie mato, kad anapus upės yra namas, ir sugalvoja tokias frazes: „Upė arčiau mokyklos nei namas, o namas toliau nuo mokyklos nei upė. .

Tegul mokinys pakaitomis laiko rankoje knygą ir sąsiuvinį. Mokytojas klausia: kas sunkesnis – knyga ar sąsiuvinis? Kas lengviau? „Knyga sunkesnė už sąsiuvinį, o sąsiuvinis lengvesnis už knygą“.

Išstatę aukščiausią ir žemiausią klasės mokinį priešais klasę greta, iš karto sudarome dvi frazes: „Miša aukštesnė už Kolją, o Kolia žemesnė už Mišą“.

Atliekant šiuos pratimus, svarbu pasiekti, kad vienas sprendimas būtų gramatiškai teisingas pakeistas dvejopu: „Mūrinis namas yra aukštesnis už medinį, vadinasi, medinis namas yra žemesnis už akmeninį“.

Susipažinę su sąvoka „ilgesnis - trumpesnis“, galite parodyti objektų ilgio palyginimą, uždėdami vieną ant kito (kuris yra ilgesnis: rašiklis ar pieštukų dėklas?).

Aritmetikos ir kalbos raidos pamokose pravartu spręsti loginius uždavinius, kurių tikslas – išmokyti vartoti priešingas sąvokas: „Kas vyresnis: tėvas ar sūnus? Kas jaunesnis: tėvas ar sūnus? Kuris gimė pirmas? Kas vėliau?

„Palyginkite knygos ir portfelio plotį. Kas platesnis: knyga ar portfelis? Kas jau yra knyga ar portfelis? Kas sunkesnis: knyga ar portfelis?

Lyginimo proceso mokymas gali būti įdomesnis įvedant vadinamuosius matricinius (lentelės) pratimus. Ant lentos pastatyta keturių langelių lentelė ir paaiškinta sąvokų „stulpelis“ ir „eilutė“ reikšmė. Pristatome sąvokas „kairysis stulpelis“ ir „dešinysis stulpelis“, „viršutinė eilutė“ ir „apatinė eilutė“.

Kartu su mokiniais parodome (imituojame) šių sąvokų semantinę interpretaciją.

Parodykite stulpelį (vaikai judina ranką iš viršaus į apačią).

Parodykite kairįjį stulpelį, dešinįjį stulpelį (vaikai du kartus siūbuoja rankomis iš viršaus į apačią).

Parodykite liniją (pasukite ranką iš kairės į dešinę).

Rodyti viršutinę ir apatinę eilutę (dvi rankos mostelėjimas rodo viršutinę ir apatinę eilutę).

Būtina užtikrinti, kad mokiniai tiksliai nurodytų langelio padėtį: „viršutinis kairysis langelis“, „apatinis dešinysis langelis“ ir kt. Iš karto išsprendžiama atvirkštinė problema, būtent: mokytojas rodo į kurią nors lentelės (matricos) langelį. , mokinys suteikia atitinkamą šios ląstelės pavadinimą. Taigi, jei langelis yra nukreiptas į viršutinės eilutės ir kairiojo stulpelio sankirtoje esantį langelį, studentas turėtų pavadinti: „Viršutinis kairysis langelis“. Tokie pratimai palaipsniui pripratina vaikus prie orientacijos erdvėje ir yra svarbūs vėliau studijuojant matematikos koordinačių metodą.

Darbas su skaičių eilėmis yra labai svarbus pirmosioms pradinės matematikos pamokoms.

Skaičių eilutės augimą patogu iliustruoti sudedant po vieną, judant į dešinę išilgai skaičių linijos.

Jei ženklas (+) yra susijęs su judėjimu išilgai skaičiaus linijos į dešinę po vieną, tai ženklas (-) yra susijęs su judėjimu atgal į kairę po vieną ir pan. (Todėl abu ženklus rodome vienu metu pamoka.)

Dirbdami su skaičių eilėmis pristatome šias sąvokas: skaičių serijos pradžia (skaičius nulis) reiškia kairįjį spindulio galą; Skaičius 1 atitinka vieneto segmentą, kuris turi būti pavaizduotas atskirai nuo skaičių serijos.

Paprašykite mokinių dirbti su skaičių eilute per tris.

Parenkame bet kuriuos du gretimus skaičius, pavyzdžiui, 2 ir 3. Pereinant nuo skaičiaus 2 prie skaičiaus 3, vaikai samprotauja taip: „Po skaičiaus 2 seka skaičius 3“. Pereinant nuo 3 iki 2, jie sako:

„Skaičius 3 ateina prieš skaičių 2“ arba: „Skaičius 2 yra prieš skaičių 3“.

Šis metodas leidžia nustatyti nurodyto skaičiaus vietą tiek ankstesnių, tiek vėlesnių skaičių atžvilgiu; Dera iš karto atkreipti dėmesį į skaičiaus padėties reliatyvumą, pavyzdžiui: skaičius 3 vienu metu yra ir paskesnis (už skaičiaus 2), ir ankstesnis (prieš skaičių 4).

Nurodyti perėjimai išilgai skaičių serijos turi būti susieti su atitinkamomis aritmetinėmis operacijomis.

Pavyzdžiui, frazė „Po skaičiaus 2 seka skaičius 3“ simboliškai pavaizduota taip: 2 + 1 = 3; tačiau psichologiškai naudinga iškart po jo sukurti priešingą minčių ryšį, būtent: posakį „Prieš skaičių 3 ateina skaičius 2“ palaiko įrašas: 3 – 1 = 2.

Norint suprasti skaičiaus vietą skaičių serijoje, reikia užduoti suporuotus klausimus:

1. Po kokio skaičiaus seka skaičius 3? (Skaičius 3 yra po skaičiaus 2.) Prieš kokį skaičių yra skaičius 2? (Skaičius 2 yra prieš skaičių 3.)

2. Koks skaičius yra po skaičiaus 2? (Po skaičiaus 2 seka skaičius 3.) Koks skaičius yra prieš skaičių 3? (Prieš skaičių 3 yra skaičius 2.)

3. Tarp kokių skaičių yra skaičius 2? (Skaičius 2 yra tarp skaičiaus 1 ir skaičiaus 3.) Koks skaičius yra tarp skaičių 1 ir 3? (Tarp skaičių 1 ir 3 yra skaičius 2.)

Šiuose pratimuose matematinė informacija pateikiama funkciniais žodžiais: prieš, už, tarp.

Darbą su skaičių eilėmis patogu derinti lyginant skaičius pagal dydį, taip pat lyginant skaičių padėtį skaičių eilutėje. Palaipsniui plėtojami geometrinio pobūdžio sprendimų ryšiai: skaičius 4 yra skaičių eilutėje į dešinę nuo skaičiaus 3; tai reiškia, kad 4 yra didesnis nei 3. Ir atvirkščiai: skaičius 3 yra skaičių eilutėje į kairę nuo skaičiaus 4; tai reiškia, kad skaičius 3 yra mažesnis už skaičių 4. Taip užmezgamas ryšys tarp sąvokų porų: į dešinę - daugiau, į kairę - mažiau.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, matome būdingą integruoto žinių įsisavinimo bruožą: visas sąvokų rinkinys, susijęs su sudėjimu ir atėmimu, siūlomas kartu, jų nenutrūkstamais perėjimais (perkodavimais) vienas į kitą.

Pagrindinės skaitinių ryšių įsisavinimo priemonės mūsų vadovėlyje yra spalvotos juostos; Patogu juos palyginti pagal ilgį, nustatant, kiek langelių yra didesni ar mažesni už juos viršutinėje ar apatinėje juostoje. Kitaip tariant, „segmentų skirtumų palyginimo“ sąvokos neįvedame kaip specialios temos, o studentai su ja susipažįsta pačioje pirmojo dešimtuko skaičių tyrimo pradžioje. Pamokose, skirtose pirmojo dešimtuko studijoms, patogu naudoti spalvotas juostas, kurios leidžia atlikti pagrindinių užduočių tipų propedeutiką pirmojo etapo veiksmams.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

Tegul dvi spalvotos juostos, padalintos į langelius, yra viena ant kitos:

apatinėje - 3 ląstelės, viršutinėje - 2 ląstelės (žr. pav.).

Lygindamas langelių skaičių viršutinėje ir apatinėje juostose, mokytojas sudaro du tarpusavyje atvirkštinių veiksmų pavyzdžius (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), o šių pavyzdžių sprendiniai skaitomi poromis visais įmanomais būdais:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) pridėkite 1 prie 2 – gausite 3; a) iš 3 atimkite 1 – gausite 2;

b) padidinkite 2 1 – gausite 3; b) sumažinkite 3 iki 1 – gausite 2;

c) 3 yra daugiau nei 2 iš 1; c) 2 yra mažesnis nei 3 x 1;

d) 2 taip 1 bus 3; d) 3 be 1 bus 2;

e) sudėkite skaičių 2 su skaičiumi 1 - e) atimkite skaičių 1 iš skaičiaus 3 -

pasirodo 3. pasirodo 2.

Mokytojas. Jei 2 padauginamas iš 1, kiek tai bus?

Studentas. Jei padidinsite 2 1, gausite 3.

Mokytojas. Dabar pasakykite man, ką reikia padaryti su skaičiumi 3, kad gautumėte 2?

Studentas. Sumažinkite 3 iki 1, kad gautumėte 2.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad šiame dialoge reikia metodiškai kompetentingai įgyvendinti opozicijos veiklą. ,

Vaikai pasitikintys porinių sąvokų (sudėti – atimti, didinti – mažinti, daugiau – mažiau, taip – be, pridėti – atimti) prasmės įsisavinimas pasiekiamas naudojant jas vienoje pamokoje, remiantis tuo pačiu skaičių trigubu (pvz., 2 + 1 = =3, 3-1=2), remiantis vienu demonstravimu – lyginant dviejų strypų ilgius.

Tai yra esminis skirtumas tarp metodinės asimiliacijos vienetų konsolidavimo sistemos ir atskiro šių pagrindinių sąvokų tyrimo sistemos, kurioje kontrastingos matematikos sąvokos paprastai įvedamos atskirai į studentų kalbos praktiką.

Mokymosi patirtis rodo tuo pačiu metu priešingų sąvokų porų įvedimo pranašumus, pradedant nuo pat pirmųjų aritmetikos pamokų.

Pavyzdžiui, vienu metu naudojami trys veiksmažodžiai: „pridėti“ (pridėti 1 prie 2), „pridėti“ (pridėti skaičių 2 su skaičiumi 1), „padidinti“ (2 padidinti 1), kurie vaizduojami simboliškai. tas pats (2+1= 3), padeda vaikams išmokti šių žodžių panašumo ir artimumo prasme (panašiai samprotauti galima ir dėl žodžių „atimti“, „atimti“, „sumažinti“).

Lygiai taip pat skirtumų palyginimo esmė išmokstama pakartotinai naudojant lyginančias skaičių poras nuo pat mokymo pradžios, o kiekvienoje pamokos dialogo dalyje naudojamos visos galimos žodinės išspręsto pavyzdžio interpretacijos formos: „Kas yra didesnis: 2 ar 3? Kiek daugiau yra 3 nei 2? Kiek reikia pridėti prie 2, kad gautum 3? tt Gramatinių formų keitimas ir dažnas klausiamųjų formų vartojimas turi didelę reikšmę šių sąvokų prasmės įsisavinimui.

Ilgalaikiai bandymai parodė pirmųjų dešimties skaičių monografinio tyrimo pranašumus. Kiekvienas iš eilės einantis skaičius yra daugiašalėje analizėje, išvardijant visus galimus jo formavimo variantus; šio skaičiaus viduje atliekami visi įmanomi veiksmai, kartojama „visa turima matematika“, naudojamos visos priimtinos gramatinės skaičių santykio išraiškos formos. Žinoma, naudojant šią studijų sistemą, atsižvelgiant į vėlesnių skaičių aprėptį, kartojami anksčiau ištirti pavyzdžiai, tai yra, skaičių serijos išplečiamos nuolat kartojant anksčiau svarstytus skaičių derinius ir paprastų problemų atmainas. .

2.3 Bendras sudėties ir atimties, daugybos ir dalybos tyrimas

Elementariosios matematikos metodikoje šių dviejų operacijų pratimai dažniausiai nagrinėjami atskirai. Tuo tarpu atrodo, kad labiau pageidautina vienu metu tirti dvigubą operaciją „sudėtis – išskaidyti į terminus“.

Leiskite mokiniams išspręsti papildymo užduotį: „Pridėkite 1 pagaliuką prie trijų pagaliukų – gausite 4 pagaliukus“. Atlikus šią užduotį, iškart reikia užduoti klausimą: „Iš kokių skaičių sudaro skaičius 4? 4 pagaliukai susideda iš 3 pagaliukų (vaikas suskaičiuoja 3 pagaliukus) ir 1 pagaliuko (atskiria dar 1 pagaliuką).

Pradinis pratimas gali būti skaičiaus skaidymas. Mokytojas klausia: „Iš kokių skaičių sudaro skaičius 5? (Skaičius 5 susideda iš 3 ir 2.) Ir iškart užduodamas klausimas apie tuos pačius skaičius: „Kiek gausite, jei pridėsite 2 prie 3? (Pridėkite 2 prie 3 – gausite 5.)

Tam pačiam tikslui pravartu pratinti skaityti pavyzdžius dviem kryptimis: 5+2=7. Pridėkite 2 prie 5, gausite 7 (skaitykite iš kairės į dešinę). 7 susideda iš 2 ir 5 terminų (skaitykite iš dešinės į kairę).

Naudinga žodinį opoziciją palydėti tokiais pratimais klasės abake, kurie leidžia pamatyti konkretų atitinkamų operacijų turinį. Skaičiavimai ant abacus yra būtini kaip priemonė vizualizuoti veiksmus su skaičiais, o skaičių dydis 10 ribose čia siejamas su kaulų, esančių ant vieno laido, ilgiu (šį ilgį studentas suvokia vizualiai). Neįmanoma sutikti su tokia „naujove“, kai dabartiniai vadovėliai ir programos visiškai atsisakė rusiškų abakų naudojimo pamokose.

Taigi, spręsdamas sudėjimo pavyzdį (5+2=7), mokinys iš pradžių suskaičiavo 5 akmenis ant abako, tada pridėjo prie jų 2 ir po to paskelbė sumą: „Pridėk 2 prie 5 – gausi 7“ gauto skaičiaus 7 pavadinimą, studentas nustato perskaičiuodamas naują sumą: „Vienas - du - trys - keturi - penki - šeši - septyni").

Studentas. Pridėkite 2 prie 5 ir gausite 7.

Mokytojas. Dabar parodykite, iš kokių terminų susideda skaičius 7.

Studentas (iš pradžių atskiria du kaulus į dešinę, tada kalba). Skaičius 7 susideda iš 2 ir 5.

Atliekant šiuos pratimus, patartina nuo pat pradžių vartoti sąvokas „pirmas terminas“ (5), „antras terminas“ (2), „suma“.

Siūlomos šios užduočių rūšys: a) dviejų terminų suma yra 7; rasti terminus; b) iš kokių komponentų susideda skaičius 7?; c) išskaidykite sumą 7 į 2 narius (į 3 narius). ir kt.

Norint įsisavinti tokią svarbią algebrinę sąvoką kaip komutacinis sudėjimo dėsnis, reikia atlikti įvairius pratimus, iš pradžių pagrįstus praktiniais manipuliacijomis su objektais.

Mokytojas. Paimkite 3 pagaliukus į kairę ranką ir 2 į dešinę. Kiek lazdelių yra iš viso?

Studentas. Iš viso yra 5 lazdelės.

Mokytojas. Kaip galiu apie tai daugiau pasakyti?

Studentas. Prie 3 pagaliukų pridėkite 2 pagaliukus – bus 5 pagaliukai.

Mokytojas. Sudarykite šį pavyzdį iš iškirptų skaičių. (Mokinys pateikia pavyzdį: 3+2=5.)

Mokytojas. Dabar pakeiskite lazdeles: perkelkite lazdeles kairėje rankoje į dešinę, o iš dešinės - į kairę. Kiek pagaliukų dabar yra abiejose rankose?

Studentas. Iš viso dviejose rankose buvo 5 pagaliukai, o dabar vėl 5 pagaliukai.

Mokytojas. Kodėl taip atsitiko?

Studentas. Nes nieko nepadėjome į šalį ir nepridėjome pagaliukų Kiek buvo, tiek liko.

Mokytojas. Sudarykite išspręstus pavyzdžius iš iškirptų skaičių.

Mokinys (atideda į šalį: 3+2=5, 2+3=5). Čia buvo skaičius 3, o dabar skaičius 2. Ir čia buvo skaičius 2, o dabar skaičius 3.

Mokytojas. Sukeitėme skaičius 2 ir 3, bet rezultatas liko toks pat:

5. (Pavyzdys sudarytas iš padalintų skaičių: 3+2=2+3.)

Komutacinės teisės taip pat išmokstama atliekant skaičių skaidymo į terminus pratybas.

Kada įvesti komutacinį sudėjimo dėsnį?

Pagrindinis papildymo mokymo tikslas – jau per pirmąjį dešimtuką – nuolat akcentuoti komutacinės dėsnio vaidmenį pratybose.

Tegul vaikai pirmiausia suskaičiuoja 6 pagaliukus; tada prie jų pridedame tris pagaliukus ir perskaičiuodami („septyni - aštuoni - devyni“) nustatome sumą: 6 taip 3 - bus 9. Būtina iš karto pasiūlyti naują pavyzdį: 3 + 6; naują sumą iš pradžių galima vėl nustatyti perskaičiuojant (t. y. pačiu primityviausiu būdu), tačiau palaipsniui ir tikslingai reikėtų suformuluoti sprendimo būdą aukštesniu kodu, t.y. logiškai, neperskaičiavus.

Jei 6 ir 3 bus 9 (atsakymas nustatomas perskaičiavus), tai 3 ir 6 (neperskaičiavus!) taip pat bus 9!

Trumpai tariant, komutacinė sudėties savybė turi būti įdiegta nuo pat skirtingų terminų pridėjimo pratimų pradžios, kad keturių pavyzdžių sprendinių sudarymas (tarimas) taptų įpročiu:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Keturių pavyzdžių sudarymas yra priemonė plėsti vaikams prieinamas žinias.

Matome, kad tokia svarbi sudėjimo operacijos savybė, kaip jos pakeičiamumas, neturėtų pasitaikyti retkarčiais, o tapti pagrindine logine priemone stiprinant teisingas skaitines asociacijas. Į pagrindinę papildymo savybę - terminų pakeičiamumą - reikia nuolat atsižvelgti, kai atmintyje kaupiasi nauji lentelės rezultatai.

Matome: sudėtingesnių skaičiavimo ar loginių operacijų ryšys grindžiamas panašiu elementariųjų operacijų poriniu ryšiu (artimumu), per kurį atliekama pora „sudėtingų“ operacijų. Kitaip tariant, aiški sudėtingų sąvokų priešprieša grindžiama numanoma (pasąmonės) paprastesnių sąvokų priešprieša.

Patartina pirminį daugybos ir dalybos tyrimą atlikti tokia trijų uždavinių ciklų seka (kiekviename cikle trys užduotys):

I ciklas: a, b) daugyba su pastoviu daugikliu ir dalyba iš turinio (kartu); c) padalijimas į lygias dalis.

II ciklas: a, b) skaičiaus mažėjimas ir padidėjimas kelis kartus (kartu); c) daugkartinis palyginimas.

III ciklas: a, b) vienos skaičiaus dalies ir skaičiaus radimas pagal vienos jo dalies dydį (kartu); c) problemos sprendimas: „Kokia dalis yra vienas kito skaičius?

Šių problemų tyrimo metodinė sistema yra panaši į aukščiau aprašytą paprastų pirmojo etapo uždavinių (sudėties ir atimties) atveju.

Vienalaikis turinio daugybos ir dalybos tyrimas. Dviejose ar trijose pamokose (ne daugiau!), skirtose daugybai, išsiaiškinta daugybos, kaip sugriuvusio lygiaverčių dėmenų priedėlio, sąvokos reikšmė (dalybos veiksmas šiose pamokose dar neaptariamas). Šio laiko pakanka norint ištirti skaičiaus 2 daugybos iš vienaženklių skaičių lentelę.

Paprastai mokiniams rodomas sudėjimo pakeitimo daugyba įrašas: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Čia ryšys tarp sudėjimo ir daugybos eina sudėjimo-daugybos kryptimi. Tikslinga nedelsiant pasiūlyti studentams užduotį, skirtą pateikti grįžtamąjį ryšį formos „daugyba-sudėtis“ (lygių terminų): žiūrėdamas į šį įrašą, mokinys turėtų suprasti, kad skaičius 2 turi būti kartojamas kaip terminas tiek kartų, kiek koeficientas pavyzdyje rodo (2*4= 8).

Abiejų pratimų tipų derinys yra viena iš svarbių sąlygų, užtikrinančių sąmoningą sąvokos „dauginimas“, o tai reiškia sugriuvusį sudėjimą, įsisavinimą.

Trečioje pamokoje (arba ketvirtoje, priklausomai nuo klasės) kiekvienam iš žinomų daugybos atvejų pateikiamas atitinkamas padalijimo atvejis. Ateityje daugybą ir dalybą pravartu svarstyti tik kartu tose pačiose pamokose.

Įvedant dalybos sampratą, būtina prisiminti atitinkamus daugybos atvejus, kad, pradedant nuo jų, būtų sukurta naujo veiksmo, atvirkštinio daugybai, samprata.

Todėl sąvoka „daugyba“ įgauna turtingą turinį: ji yra ne tik vienodų terminų pridėjimo („sudėties apibendrinimas“) rezultatas, bet ir pagrindas, pradinis padalijimo momentas, kuris, savo ruožtu, reiškia. „sutraukta atimtis“, pakeičianti nuosekliąją „atimtį 2“:

Daugybos prasmė suvokiama ne tiek per patį dauginimą, kiek per nuolatinius perėjimus tarp daugybos ir dalybos, nes dalyba yra uždengta, „modifikuota“ daugyba. Tai paaiškina, kodėl vėliau naudinga visada tuo pačiu metu studijuoti daugybą ir dalybą (ir lentelę, ir nelentelę; ir žodžiu, ir raštu).

Pirmosios pamokos, skirtos tuo pat metu tirti daugybą ir padalijimą, turėtų būti skirtos pedantiškam pačių loginių operacijų apdorojimui, visapusiškai paremtam plačia praktine veikla renkant ir platinant įvairius objektus (kubelius, grybus, lazdeles ir kt.), bet detalių veiksmų seka turėtų išlikti ta pati.

Šio darbo rezultatas bus daugybos ir padalijimo lentelės, parašytos greta:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6:2=3,

2*4=8, 8:2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5 ir kt.

Taigi, daugybos lentelė sudaroma naudojant pastovų daugiklį, o padalijimo lentelė sudaroma naudojant pastovų daliklį.

Taip pat naudinga pasiūlyti mokiniams, suporuotiems su šia užduotimi, struktūriškai priešingą pratimą, kaip pereiti nuo dalybos prie lygių dalių atimties.

Kartojimo pratybose pravartu pasiūlyti tokio tipo užduotis: 14:2==.

Padalijimo į lygias dalis tyrimas. Išstudijavus arba kartu pakartojus skaičių 2 padauginus ir padalijus iš 2, vienoje iš pamokų pristatoma sąvoka „dalijimas į lygias dalis“ (trečias pirmo ciklo uždavinių tipas).

Apsvarstykite problemą: „Keturi mokiniai atsinešė 2 sąsiuvinius. Kiek sąsiuvinių atsinešei?"

Mokytojas paaiškina: paimkite 2 4 kartus - gausite 8. (Pasirodo įrašas: 2 * 4 = 8.) Kas parašys atvirkštinę problemą?

Ir mokytojų patirties, vedant matematikos pamokas šia tema, apibendrinimas. Kursinį darbą sudaro įvadas, du skyriai, išvados ir literatūros sąrašas. I skyrius. Metodiniai geometrinių figūrų ploto ir jo matavimo vienetų tyrimo matematikos pamokose pradinėje mokykloje ypatumai 1.1 Su amžiumi susiję jaunesnio amžiaus moksleivių raidos ypatumai geometrinių sąvokų formavimo etape...

Vis tiek neatskleidžia problemų. Kadangi užduočių transformavimo mokymo metodų klausimas buvo aprėptas mažiausiai, tai toliau jį nagrinėsime. II skyrius. Problemos transformacijos mokymo metodika. 2.1. Transformacijos uždaviniai matematikos pamokose pradinėje mokykloje. Kadangi specializuotos literatūros apie užduočių transformaciją yra labai mažai, nusprendėme atlikti mokytojų apklausą...

Mokantis naujos medžiagos, rekomenduojama pamoką susisteminti taip, kad darbas prasidėtų nuo įvairių demonstracijų, kurias veda mokytojas ar mokinys. Vaizdinių priemonių naudojimas matematikos pamokose studijuojant geometrinę medžiagą leidžia vaikams tvirtai ir sąmoningai įsisavinti visus programos klausimus. Matematikos kalba yra simbolių, sutartinių ženklų, piešinių, geometrinių...

9.3.1. „Monominio“ sąvokos įvedimo ir gebėjimo rasti jo skaitinę reikšmę ugdymo metodika.

Pagrindinės žinios apima algebrinės išraiškos sąvokas, algebrinių reiškinių sandaugą, daugiklį (skaitinį ir abėcėlinį); į įgūdžius – algebrinės išraiškos įrašymas jos elementais, išryškinant duotosios algebrinės išraiškos elementus.

Žinios atnaujinamos per pratybas.

1. Iš šio rinkinio pasirinkite algebrines išraiškas, kurios yra kelių veiksnių sandaugos: a) 5 a 2 b; b) (7 ab 2 + nuo 2):(5m 2 n); c) 8; d) 5 a 6 bb 4 a; d) ; f) g)

Nurodyta sąlyga tenkinama algebrinėmis išraiškomis: 5 a 2 b; 8; 5a 6 bb 4 a; ; Greičiausiai mokiniai neįvardins 8 tarp privalomų algebrinių reiškinių; ; nors kai kurie gali atspėti, ką galima pavaizduoti kaip s. Paėmę keletą algebrinių išraiškų, turėtumėte išmokti atskirti jų skaitinį veiksnį, raidžių veiksnius ir pagal šias algebrines išraiškas rašyti naujas išraiškas.

2. Sukurkite naują algebrinę išraišką naudodami 3 išraiškas a 2 b Ir A. Galimi mokinių atsakymai: 3 a 2 b+ A; 3a 2 b– A; 3a 2 b A; 3a 2 b: A.

3. Kurios iš šių išraiškų yra vienanariai: a) 5 a 3 bсab 4; b) A; c) d) 3 4 e) 7 ab 2:n; e) – 5 a 6 b su 2; e) – a 3; g) h) – mnx. Įvardykite monomijų skaitinius ir abėcėlinius veiksnius.

4. Užrašykite keletą algebrinių reiškinių, kurios yra monomijos.

5. Užrašykite kelis vienatūrius, kurie skiriasi tik savo skaitiniu koeficientu.

6. Užpildykite tuščias vietas: a) 12 a 3 b 4= 2A… b 2; b) – 24 m 2 b 7 p 6= 24bp …

7. Vietoj žodinės formuluotės užrašykite algebrines išraiškas: a) dvigubą skaičių sandaugą A Ir b; b) skaičiaus kvadrato sandaugą trigubai A ir skaičiai b.

8. Paaiškinkite posakius: a) 2 A b; b) A 5b.

Pavyzdžiui, išraiška A 5b galima paaiškinti taip: 1) skaičių sandauga A, 5 ir b;2) skaičių sandauga A ir 5 b;3) stačiakampio su kraštinėmis plotas A ir 5 b.

7 ir 8 tipų pratimai taip pat padeda įsisavinti žodinių uždavinių sprendimo naudojant lygtis metodą, nes žodinių formuluočių vertimas į skaičių ir raidžių kalbą bei žodinis algebrinių posakių aiškinimas yra svarbūs uždavinių sprendimo naudojant lygtis metodo komponentai.

9. Raskite monomio skaitinę reikšmę: 1) 5 mnx adresu m= 3, n= ; x=8; 2) (– 0,25)A b adresu A=12; b=8. Atliekant tokius pratimus, specialieji studentai turėtų būti atkreipiami į poreikį naudoti aritmetinių operacijų savybes ir dėsnius skaičiavimams racionalizuoti.

Pratimų organizavimas gali būti įvairus: sprendimas prie lentos, savarankiškas sprendimas, komentuojamas sprendimas, vienu metu pratybų vykdymas lentoje, įtraukiant silpnus mokinius ir savarankiškas stiprių mokinių darbas ir kt.

Atlikdami namų darbus, galite naudoti pratimus, skirtus skaičiams rašyti standartine forma, o tai bus motyvas kitoje pamokoje pristatyti standartinės monomilo formos sąvoką.

9.3.2. Žinių apibendrinimas ir sisteminimas tema: „Progresai“.

Pagrindinių žinių atgaminimas ir taisymas gali būti atliekamas atliekant pratimus, užpildyti lentelę, po kurios aptariami rezultatai.

Atkreipkite dėmesį, kad aritmetinės ir geometrinės progresijos yra pavyzdys, kaip studijuoti medžiagą panašiose situacijose, todėl kontrasto ir palyginimo metodai turėtų užimti svarbią vietą sisteminant žinias apie progresijas. Pagrindinių klausimų aptarimas grindžiamas progreso skirtumų ir bendrumų priežasčių nustatymu.

Klausimai diskusijai.

A). Įvardykite bendras ir skirtingas aritmetinių ir geometrinių progresijų apibrėžimų struktūras.

B). Apibrėžkite be galo mažėjančią geometrinę progresiją.

IN). Kaip vadinama be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma? Užsirašykite jo formulę.

G). Kaip įrodyti, kad tam tikra seka yra aritmetinė (geometrinė) progresija?

D). Rodyklėmis parodykite sąsajas tarp nurodytų apibrėžimų ir formulių (7 pav.):

a	a n = a n -1 + d	A 1 , A 2 , … …	a n = a l +d(n–1)
		a n, d

	a n = (a n -1 + a n +1)	Aritmetinės progresijos ženklas	S n = (a 1 + a 2) n

3. Užrašykite visus temos „Geometrinė progresija“ apibrėžimus ir formules ir nurodykite jų tarpusavio priklausomybes.

2 ir 3 pratimus mokiniai gali paprašyti atlikti savarankiškai, o po to rezultatus aptars visi klasės mokiniai. 2 pratimą galite atlikti kolektyviai, o 3 pratimą pasiūlyti kaip savarankišką darbą.

Tolesni apibendrinamosios pamokos etapai įgyvendinami per pratybas, kurių įgyvendinimui reikia išanalizuoti ir panaudoti pagrindinius faktus, vedančius prie naujų sąsajų ir ryšių tarp tiriamų sąvokų ir teoremų.

4. Tarp skaičių 4 ir 9 įterpkite teigiamą skaičių, kad gautumėte tris iš eilės geometrinės progresijos narius. Suformuluokite ir išspręskite panašią problemą, susijusią su aritmetine progresija.

5. Apibrėžkite skaičius 1, 2, 3 Ir a 4, Jei 1, 2, 3 yra nuoseklūs geometrinės progresijos nariai ir a 1, a 3 Ir a 4– aritmetinė progresija ir 1 + 4= 14, a 2 + a 3 = 12.

7. Ar trys teigiami skaičiai vienu metu gali būti trys iš eilės aritmetinės ir geometrinės progresijos nariai?

8. Ar galima teigti, kad aritmetinė ir geometrinė progresija yra funkcijos? Jei taip, kokios tai funkcijos?

9. Yra žinoma, kad a n = 2n+1 – aritmetinė progresija. Kokie yra šios progresijos ir tiesinės funkcijos grafikų panašumai ir skirtumai? f(X) = 2x+1?

10. Ar galima nurodyti sekas, kurios yra
tiek aritmetines, tiek geometrines progresijas?

Pratimų atlikimo formos gali būti įvairios: pratimų atlikimas prie lentos, komentuojami sprendimai ir kt. Kai kuriuos iš pateiktų pratimų mokiniai gali atlikti savarankiškai, o jų įgyvendinimas gali būti atliekamas priklausomai nuo mokinių gebėjimų, naudojant korteles, kuriose yra trūkstamų eilučių, arba jų vykdymo instrukcijas. Akivaizdu, kad kuo žemesnės studento galimybės, tuo platesnis jam turėtų būti rekomendacijų (įgyvendinimo instrukcijų) rinkinys.

9.3.3. Žinių, įgūdžių ir gebėjimų tikrinimas, vertinimas ir koregavimas tema: „Racionaliųjų skaičių daugyba ir dalyba“.

Mokinių faktinės medžiagos žinių ir gebėjimo paaiškinti pagrindinių sąvokų esmę patikrinimas atliekamas pokalbio metu, po kurio atliekamos pratybos.

Klausimai pokalbiui

1. Suformuluokite dviejų skaičių, turinčių vienodus ženklus, dauginimo taisyklę. Pateikite pavyzdžių.

2. Suformuluokite dviejų skaičių su skirtingais ženklais padauginimo taisyklę. Pateikite pavyzdžių.

3. Kokia kelių skaičių sandauga, jei vienas iš jų lygus nuliui? Kokiomis sąlygomis a b = 0?

4. Kam lygi gaminys? A(-1)? Pateikite pavyzdžių.

5. Kaip pasikeis gaminys, kai pasikeis vieno iš veiksnių ženklas?

6. Suformuluokite komutacinį daugybos dėsnį.

7. Kaip formuluojamas asociatyvinis daugybos dėsnis?

8. Raidėmis užrašykite komutacinius ir asociatyvinius daugybos dėsnius.

9. Kaip rasti trijų ir keturių racionaliųjų skaičių sandaugą?

10. Mokinys, atlikdamas sandaugos 0,25 15 15 (–4) pratimą, naudojo tokią veiksmų seką: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Kokie dėsniai ar jis vartojo?

11. Kuris algebrinės išraiškos veiksnys vadinamas koeficientu?

12. Kaip rasti sandaugos, turinčios kelis abėcėlės ir skaitinius veiksnius, koeficientą?

13. Koks yra išraiškos koeficientas: a; – a; ab; – ab?

14. Suformuluokite daugybos skirstymo dėsnį. Užrašykite jį raidėmis.

15. Kokie algebrinės sumos nariai vadinami panašiais?

16. Paaiškinkite, ką reiškia įvesti panašius terminus.

17. Paaiškinkite, kokiais dėsniais atliekamas panašių terminų redukcija 5.2 išraiškoje. y – 8a – 4,8y – 2A.

18. Kokia yra racionaliųjų skaičių dalijimo tais pačiais ženklais taisyklė?

19. Kokia yra racionaliųjų skaičių skirstymo skirtingais ženklais taisyklė?

20. Kokiu atveju dviejų racionaliųjų skaičių koeficientas lygus nuliui?

21. Kokia tvarka atliekamos jungtinės operacijos su racionaliais skaičiais?

Kai kurie klausimai gali būti kolektyvinės diskusijos objektu, kiti – mokinių tarpusavio kontrolės lapų objektas, pagal kai kuriuos klausimus galima atlikti matematinį diktantą ir pan.

Tolesnė pratimų serija skirta stebėti, įvertinti ir koreguoti mokinių įgūdžius. Galimos įvairios pratybų atlikimo formos: savarankiškas sprendimas, lydimas mokinių savikontrolės, komentuojamas sprendimas, pratimų atlikimas lentoje, apklausa žodžiu ir kt. Ši serija apima dvi pratimų grupes. Pirmoji grupė nereikalauja rekonstrukcinio protinės veiklos pobūdžio, antrosios grupės įgyvendinimas apima žinių ir įgūdžių atkūrimą tiriama tema.

1. Kuri iš šių lygybių yra teisinga:

1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;

3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?

Pasirinkite teisingą atsakymą.

Atsakymas: 1); 2); 3); 4); nėra tikros lygybės.

2. Neatlikę skaičiavimų nustatykite, kuris produktas yra teigiamas:

1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);

3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).

Atsakymas: 1); 2); 3); 4).

3. Nurodykite vienodus koeficientus turinčias išraiškas:

1) 9ac ir 3 x(4y); 2) (–3) (–8cb) ir 4 X 6y;

3) abc ir 2.75 xy; 4) 3,15abc ir 0,001 abc.

4. Kuriame iš posakių yra panašių terminų:

1) 7A– 12ab+ 14; 2) – 0,5xy + 2,7kh – 0,5;

3) 3Su – 2,7khus – ;4) 72ab – ab + 241?

Nurodykite teisingą atsakymą.

Atsakymas: 1); 2); 4); Nėra posakių su panašiais terminais.

5. Nurodykite teisingas lygybes: : (–18.2

3. Iš skaičių pasirinkite didžiausią ir mažiausią skaičių
A,A 2 ,A 3 ,A 4 , A 5 , A 6 , A 7 val A = – 5, A = 3.

4. Supaprastinkite posakį:

1) – X(y – 4) – 2(xy– 3) – 3X; 2) a(b+ 3) – 3(2 – ab) + a.

Pateiktas užduočių rinkinys ir jų seka apima visus žinių įgijimo lygius. Viso užduočių komplekso atlikimas atitinka kokybišką žinių ir įgūdžių įgijimą ir gali būti įvertintas „puikiai“. Žinių ir įgūdžių įsisavinimas jų taikymo lygmeniu situacijose, kuriose nereikia atkurti žinių ir įgūdžių, atitinka pirmosios grupės pratimus. Teisingi atsakymai į klausimus apibūdina žinių įsisavinimą reprodukcijos lygmenyje. Įvertinimas „patenkinamai“ gali būti skiriamas mokiniui, kuris atliko daugumą pirmosios grupės pratimų. „Geras“ įvertinimas atitinka teisingai atliktus daugumą pirmosios ir antrosios grupių pratimų.

Užduotys

1. Pasirinkite konkrečią temą korekcinės ir lavinamosios algebros kursui vidurinėje mokykloje. Išstudijuokite atitinkamas programos ir vadovėlio dalis. Nustatyti temos tyrimo metodinius ypatumus. Sukurti temos mokymo metodų fragmentus. Paruoškite kortelių rinkinį mokinių žinioms koreguoti.

2. Lankykite keletą algebros pamokų vienoje iš specialiųjų (pataisos) VII tipo įstaigų jūsų regione. Atlikti vienos pamokos analizę ugdomosios, korekcinės ir ugdomosios, ugdomosios ir praktinės krypties požiūriu.

3. Vienas iš matematikos mokymo tikslų – matematinės kultūros formavimas. Skaičiavimo kultūra yra vienas iš matematinės kultūros komponentų. Pasiūlykite savo „kompiuterinės kultūros“ sąvokos interpretaciją. Kuriuose matematikos mokymo specialiųjų mokinių etapuose, kokio turinio mokant, galima ir tikslinga kelti tikslą „suformuoti skaičiavimo kultūrą“? Pateikite konkretų pavyzdį su atitinkama užduočių sistema. Sudarykite literatūros sąrašą apie skaičiaus sampratos kūrimą užklasiniam skaitymui specialiesiems mokiniams. Nurodykite, kuriose klasėse jis gali būti naudojamas.

10 SKYRIUS. PASIRINKTI KOREKCINĖS IR LAIDOMOS MOKYMO GEOMETRIJOS METODŲ KLAUSIMAI pradinėje mokykloje.

(8 valandos)

Planas:

1. Algebrinės medžiagos mokymosi pradinėse klasėse tikslai.

2. Pradinėje mokykloje nagrinėtos aritmetinių veiksmų savybės.

3. Skaitinių išraiškų ir veiksmų eilės taisyklių tyrimas:

Vienas užsakymas be skliaustų;

Ta pati tvarka su skliausteliais;

Išraiškos be skliaustų, įskaitant 4 aritmetines operacijas, su skliaustais.

4. Pradinėse klasėse tirtų skaitinių lygybių ir nelygybių analizė (dviejų skaičių, skaičiaus ir skaitinės išraiškos, dviejų skaitinių išraiškų palyginimas).

5. Abėcėlinių simbolių su kintamuoju įvedimas.

6. Lygčių tyrimo metodika:

a) pateikti lygties apibrėžimą (iš matematikos paskaitų ir iš matematikos vadovėlio pradinei mokyklai),

b) pabrėžti sąvokos apimtį ir turinį,

c) kokį metodą (abstraktų-dedukcinį ar konkretų-indukcinį) pristatysite šiai sąvokai? Apibūdinkite pagrindinius žingsnius dirbant su lygtimi.

Atlikite užduotis:

1. Paaiškinkite, kaip tikslinga naudoti nelygybes su kintamuoju pradinėse klasėse.

2. Paruoškite pamokai pranešimą apie funkcinės propedeutikos ugdymo galimybę mokiniuose (žaisdami, tirdami nelygybes).

3. Parinkite užduotis mokiniams, kad jie atliktų esmines ir neesmines sąvokos „lygtis“ savybes.

1. Abramova O.A., Moro M.I. Lygčių sprendimas // Pradinė mokykla. – 1983. – Nr.3. – 78-79 p.

2. Ymanbekova P. Vizualizacijos priemonės formuojant „lygybės“ ir „nelygybės“ sąvokas // Pradinė mokykla. – 1978. – Nr.11. – P. 38-40.

3. Shchadrova I.V. Apie veiksmų tvarką aritmetinėje išraiškoje // Pradinė mokykla. – 2000. – Nr.2. – 105-107 p.

4. Shikhaliev Kh.Sh. Vieningas požiūris į lygčių ir nelygybių sprendimą // Pradinė mokykla. – 1989. – Nr.8. – 83-86 p.

5. Nazarova I.N. Supažindinimas su funkcine priklausomybe mokant spręsti problemas // Pradinė mokykla. – 1989. – Nr.1. – 42-46 p.

6. Kuznecova V.I. Apie kai kurias tipines mokinių klaidas, susijusias su algebrinės propedeutikos klausimais // Pradinė mokykla. – 1974. – Nr.2. – P. 31.

Bendroji studijų metodikos charakteristika

algebrinė medžiaga

Algebrinės medžiagos įvedimas į pradinį matematikos kursą padeda parengti studentus mokytis pagrindinių šiuolaikinės matematikos sąvokų, pavyzdžiui, tokių kaip „kintamasis“, „lygtis“, „nelygybė“ ir kt., ir prisideda prie funkcinio mąstymo ugdymo. vaikams.

Pagrindinės temos sąvokos yra „išraiška“, „lygybė“, „nelygybė“, „lygtis“.

Sąvoka „lygtis“ įvedama studijuojant temą „Tūkstantis“, tačiau parengiamieji darbai, skirti supažindinti mokinius su lygtimis, prasideda 1 klasėje. Sąvokos „išraiška“, „išraiškos prasmė“, „lygybė“, „nelygybė“ įtrauktos į mokinių žodyną nuo 2 klasės. Pradinėje mokykloje sąvoka „nelygybės sprendimas“ neįvedama.

Skaitmeninės išraiškos

Matematikoje išraiška suprantama kaip konstanta, pagal tam tikras taisykles, matematinių simbolių seka, reiškianti skaičius ir operacijas su jais. Posakių pavyzdžiai: 7; 5 + 4; 5 (3+ V); 40: 5 + 6 ir kt.

7 formos išraiškos; 5 + 4; 10: 5 + 6; (5 + 3) 10 vadinamos skaitinėmis išraiškomis, priešingai nei 8 formos išraiškos A; (3 + V); 50: Į, vadinamos pažodinėmis arba kintamosiomis išraiškomis.

Temos tyrimo tikslai

2. Supažindinti studentus su skaičių operacijų atlikimo tvarkos taisyklėmis ir pagal jas ugdyti gebėjimą rasti skaitines išraiškų reikšmes.

3. Supažindinti mokinius su identiškomis reiškinių transformacijomis remiantis aritmetiniais veiksmais.

Pradinių klasių mokinių supažindinimo su skaitinės išraiškos sąvoka metodikoje galima išskirti tris etapus, kurie apima susipažinimą su posakiais, kurių sudėtyje yra:

Vienas aritmetinis veiksmas (I etapas);

Dvi ar daugiau vienos pakopos aritmetinių veiksmų (II pakopa);

Du ar daugiau skirtingų lygių aritmetinių veiksmų (III etapas).

Su paprasčiausiais posakiais – suma ir skirtumas – mokiniai supažindinami 1 klasėje (mokantis sudėjimo ir atimties per 10); su dviejų skaičių sandauga ir daliniu – II klasėje.

Jau studijuojant temą „Dešimt“, į mokinių žodyną įvedami aritmetinių veiksmų pavadinimai, terminai „pridėti“, „suma“, „minuend“, „subtranka“, „skirtumas“. Be terminijos, jie taip pat turi išmokti kai kurių matematinės simbolikos elementų, ypač veiksmų ženklų (pliusas, minusas); jie turi išmokti skaityti ir rašyti paprastas 5 + 4 formos matematines išraiškas (skaičių „penki“ ir „keturi“ suma); 7 – 2 (skirtumas tarp skaičių „septyni“ ir „du“).

Mokiniai pirmiausia supažindinami su terminu „suma“ skaičiaus, atsirandančio dėl sudėjimo operacijos, reikšme, o vėliau – išraiškos prasme. 10 – 7, 9 – 6 formos atėmimo technika ir kt. remiasi žiniomis apie sudėjimo ir atimties ryšį. Todėl būtina išmokyti vaikus pavaizduoti skaičių (sumažintą) kaip dviejų dėmenų sumą (10 yra skaičių 7 ir 3 suma; 9 yra skaičių 6 ir 3 suma).

Su posakiais, kuriuose yra dvi ar daugiau aritmetinių veiksmų, vaikai susipažįsta pirmaisiais ugdymo metais, kai įvaldo skaičiavimo metodus ± 2, ± 3, ± 1. Jie sprendžia 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1 formos pavyzdžius. , 2 + 2 + 2 ir tt Skaičiuodamas, pavyzdžiui, pirmosios išraiškos reikšmę, mokinys paaiškina: „Pridėkite vieną prie trijų, gausite keturis, pridėkite vieną prie keturių, gausite penkis“. Panašiai paaiškinamas ir 6 - 1 - 1 formos pavyzdžių sprendimas. Taigi pirmokai pamažu ruošiasi išvesti taisyklę apie veiksmų atlikimo eiliškumą posakiuose, kuriuose yra vieno lygio veiksmų, o tai yra. apibendrintas II klasėje.

Pirmoje klasėje vaikai praktiškai įsisavins kitą veiksmų atlikimo eiliškumo taisyklę, ty veiksmų atlikimą 8 formos išraiškomis (4 + 2); (6–2) + 3 ir kt.

Apibendrinamos mokinių žinios apie veiksmų atlikimo tvarkos taisykles ir įvedama dar viena taisyklė apie veiksmų eiliškumą reiškiniuose, kurie neturi skliaustų ir kuriuose yra skirtingų lygių aritmetinės operacijos: sudėties, atimties, daugybos ir dalybos.

Susipažinus su nauja taisykle dėl veiksmų eiliškumo, darbus galima organizuoti įvairiai. Galite pakviesti vaikus perskaityti taisyklę iš vadovėlio ir pritaikyti ją skaičiuodami atitinkamų posakių reikšmes. Taip pat galite paprašyti mokinių paskaičiuoti, pavyzdžiui, reiškinio reikšmę 40 – 10: 2. Atsakymai gali būti skirtingi: vieniems reiškinio reikšmė bus lygi 15, kitiems – 35.

Po to mokytojas paaiškina: „Norėdami rasti reiškinio, kuriame nėra skliaustų ir kuriame yra sudėties, atimties, daugybos ir padalijimo veiksmai, reikšmę, pirmiausia turite atlikti eilės tvarka (iš kairės į dešinę) daugybos ir padalijimas, o tada (taip pat iš kairės į dešinę) sudėjimas ir atėmimas. Šioje išraiškoje pirmiausia turite padalyti 10 iš 2, o tada iš 40 atimti gautą rezultatą 5. Išraiškos reikšmė yra 35.

Pradinių klasių mokiniai iš tikrųjų susipažįsta su identiškomis posakių transformacijomis.

Identiška posakių transformacija – tai duoto posakio pakeitimas kitu, kurio reikšmė lygi duotajai reikšmei (pradinių klasių mokiniams terminas ir apibrėžimas neteikiami).

Su reiškinių transformacija mokiniai susiduria nuo 1 klasės, siedami su aritmetinių veiksmų savybių tyrimu. Pavyzdžiui, patogiai spręsdami formos 10 + (50 + 3) pavyzdžius, vaikai samprotauja taip: „Patogiau sudėti dešimtis su dešimtukais ir prie gauto rezultato 60 pridėti 3 vienetus. Užsirašysiu: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63.

Atlikdami užduotį, kurioje reikia baigti rašyti: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3 ..., vaikai paaiškina: „Kairėje skaičių 10 ir 7 suma padauginama. iš skaičiaus 3, dešinėje, pirmasis šios sumos narys 10 padauginamas iš skaičiaus 3; Kad „lygybės“ ženklas būtų išsaugotas, antrasis terminas 7 taip pat turi būti padaugintas iš skaičiaus 3 ir pridėti gautus produktus. Užrašysiu taip: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3.

Transformuodami posakius, mokiniai kartais padaro (10 + 4) · 3 = - 10 · 3 + 4 formos klaidas. Šio tipo klaidų priežastis siejama su neteisingu anksčiau įgytų žinių panaudojimu (šiuo atveju naudojant Skaičiaus pridėjimo prie sumos taisyklė sprendžiant pavyzdį, kai suma turi būti padauginta iš skaičiaus). Norėdami išvengti tokių klaidų, galite pasiūlyti studentams šias užduotis:

a) Palyginkite kairėje lygybių pusėje užrašytas išraiškas. Kuo jie panašūs ir kuo skiriasi? Paaiškinkite, kaip apskaičiavote jų vertes:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

b) Užpildykite tuščias vietas ir raskite rezultatą:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

c) Palyginkite posakius ir įdėkite tarp jų ženklą >,< или =:

(30 + 4) + 2 … 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 2 + 4 2.

d) Skaičiuodami patikrinkite, ar teisingos šios lygybės:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Pažodinės išraiškos

Pradinėse klasėse, glaudžiai susijusį su numeracijos ir aritmetinių operacijų studijomis, numatoma atlikti parengiamuosius darbus kintamojo reikšmei atskleisti. Šiuo tikslu matematikos vadovėliuose yra pratimų, kuriuose kintamasis nurodomas „langu“. Pavyzdžiui, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Čia svarbu paskatinti mokinius į „langą“ paeiliui pakeisti ne vieną, o kelis skaičius, kaskart tikrinant, ar įrašas teisingas.

Taigi, byloje р< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

Siekiant supaprastinti pradinių klasių matematikos programą ir užtikrinti jos prieinamumą, raidžių simboliai nenaudojami kaip aritmetinių žinių apibendrinimo priemonė. Visi raidžių žymėjimai pakeičiami žodinėmis formuluotėmis.

Pavyzdžiui, vietoj užduoties

Užduotis siūloma tokia forma: „Padidinkite skaičių 3 4 kartus; 5 kartus; 6 kartus; ..."

Lygybės ir nelygybės

Pradinių klasių mokinių supažindinimas su lygybėmis ir nelygybėmis apima šių problemų sprendimą:

Išmokyti nustatyti ryšį „daugiau nei“, „mažiau nei“ arba „lygus“ tarp posakių ir užrašyti palyginimo rezultatus ženklu;

Idėjų apie skaitines lygybes ir nelygybes tarp jaunesnių moksleivių kūrimo metodika apima šiuos darbo etapus.

I etape, visų pirma mokyklos savaitę, pirmokai atlieka pratimus, kad palygintų objektų rinkinius. Čia labiausiai patartina naudoti „vienas su vienu“ susirašinėjimo užmezgimo techniką. Šiame etape palyginimo rezultatai dar nėra parašyti naudojant atitinkamus ryšio ženklus.

II etape mokiniai lygina skaičius, pirmiausia remdamiesi objektyviu aiškumu, o vėliau skaičių savybe natūralioje eilutėje, pagal kurią iš dviejų skirtingų skaičių vėliau skaičiuojant vadinamas didesnis skaičius, o mažesnis – vadinamas anksčiau. Taip užsimezgusius santykius vaikai fiksuoja atitinkamais ženklais. Pavyzdžiui, 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Taip pat galite palyginti vertes: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, nes decimetrų yra daugiau nei antrame. Be to, reikšmes pirmiausia galima išreikšti vieno matavimo vienetais ir tik tada palyginti: 45 cm > 43 cm.

Panašūs pratimai įvedami jau studijuojant sudėjimą ir atimtį per 10. Naudinga juos atlikti remiantis aiškumu, pvz.: mokiniai ant stalų išdėlioja keturis apskritimus kairėje ir keturis trikampius dešinėje. Pasirodo, figūrų yra vienodai – po keturias. Užrašykite lygybę: 4 = 4. Tada vaikai prie kairėje esančių figūrų prideda vieną apskritimą ir užrašo sumą 4 + 1. Kairėje yra daugiau figūrų nei dešinėje, vadinasi, 4 + 1 > 4.

Naudodami lygčių techniką, mokiniai pereina nuo nelygybės prie lygybės. Pavyzdžiui, ant spausdinimo drobės dedami 3 grybai ir 4 voveraitės. Norėdami turėti vienodą grybų ir voveraičių skaičių, galite: 1) įdėti vieną grybą (tada bus 3 grybai ir 3 voveraitės).

Ant spausdinimo drobės yra 5 lengvieji automobiliai ir 5 sunkvežimiai. Jei norite turėti daugiau automobilių nei kiti, galite: 1) pašalinti vieną (du, tris) automobilius (lengvąjį ar sunkvežimį) arba 2) pridėti vieną (du, tris) automobilius.

Pamažu, lygindami posakius, vaikai nuo pasikliavimo vizualizacija pereina prie savo reikšmių palyginimo. Šis metodas yra pagrindinis pradinėje mokykloje. Lygindami posakius, mokiniai taip pat gali remtis žiniomis apie: a) komponentų ryšį su aritmetinės operacijos rezultatu: 20 + 5 * 20 + 6 (skaičių 20 ir 5 suma rašoma kairėje, skaičių 20 ir 6 suma dešinėje Pirmieji šių sumų nariai yra vienodi, antrasis sumos narys kairėje yra mažesnis nei antrasis sumos narys dešinėje, o tai reiškia sumą kairėje. yra mažesnė už sumą dešinėje: 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); d) aritmetinių operacijų savybės: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (kairėje skaičių 5 ir 2 suma dauginama iš skaičiaus 3, dešinėje kiekvieno sandauga Addend pagal skaičių 3, tai reiškia, kad vietoj žvaigždutės galite dėti lygybės ženklą: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

Tokiais atvejais, norint patikrinti ženklo teisingumą, naudojami išraiškos reikšmių skaičiavimai. Norėdami įrašyti nelygybes su kintamuoju pradinėse klasėse, naudojamas „langas“: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Pirmuosius tokio tipo pratimus naudinga atlikti pagal skaičių eilutę, į kurią atsivertę mokiniai pastebi, kad skaičius 2 yra didesnis už vienetą ir nulį, todėl „lange“ (2 > ð) galima pakeisti skaičius 0 ir 1 (2 > 0, 2>1).

Kiti pratimai su langu atliekami panašiai.

Pagrindinis metodas nagrinėjant nelygybes su kintamuoju yra atrankos metodas.

Norint supaprastinti kintamojo reikšmes nelygybėse, siūloma jas pasirinkti iš konkrečios skaičių serijos. Pavyzdžiui, galite pasiūlyti užsirašyti tuos 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 serijų skaičius, kuriems tinka ð - 7.< 5.

Atlikdamas šią užduotį, mokinys gali samprotauti taip: „Pakeiskime skaičių 7 į „langą“: 7 minus 7 bus 0, 0 yra mažesnis nei 5, vadinasi, skaičius 7 tinka. Į „langą“ įdėkime skaičių 8:8 minus 7 ir gausime 1, 1 yra mažesnis už 5, vadinasi, tinka ir skaičius 8... Į „langą“ įdėkime skaičių 12: 12 minus 7 gauna 5, 5 yra mažesnis nei 5 – neteisingas, vadinasi, skaičius 12 netinka . Rašyti ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Lygtys

3 klasės pabaigoje vaikai susipažįsta su paprasčiausiomis formos lygtimis: X+8 =15; 5+X=12; X–9 =4; 13–X=6; X·7 =42; 4 · X=12; X:8 =7; 72:X=12.

Vaikas turėtų sugebėti išspręsti lygtis dviem būdais:

1) atrankos būdas (paprasčiausiais atvejais); 2) tokiu būdu, kuris pagrįstas nežinomų aritmetinių veiksmų komponentų radimo taisyklių taikymu. Štai pavyzdys, kaip įrašyti lygties sprendimą kartu su patikrinimu ir vaiko samprotavimais ją sprendžiant:

X – 9 = 4 X = 4 + 9 X = 13

13 – 9 = 4 4 = 4

"Lygtyje X– 9 = 4 x stovi minuendo vietoje. Norėdami rasti nežinomą minuendą, prie skirtumo turite pridėti potraukį ( X=4+9.) Patikrinkime: iš 13 atimkite 9, gausime 4. Teisinga lygybė yra 4 = 4, vadinasi, lygtis išspręsta teisingai.

4 klasėje vaiką galima supažindinti su nesudėtingų uždavinių sprendimu sudarant lygtį.

„Algebrinės medžiagos studijavimas pradinėje mokykloje“

Atlieka aukščiausios kategorijos mokytoja Averyakova N.N.

Įvadas.

1 skyrius. Bendrieji teoriniai algebrinės medžiagos mokymosi pradinėje mokykloje aspektai.

1.1 Patirtis diegiant algebros elementus pradinėje mokykloje.

1.2. Psichologinis algebrinių sąvokų diegimo pradinėje mokykloje pagrindas.

1.3. Algebrinių sąvokų atsiradimo problema ir reikšmė ugdymo dalyko konstravimui.

2.1. Mokymas pradinėje mokykloje vidurinės mokyklos poreikių požiūriu.

2.2. Sąvokų palyginimas (kontrastavimas) matematikos pamokose.

2.3. Bendras sudėties ir atimties, daugybos ir dalybos tyrimas.

3 skyrius. Algebrinės medžiagos tyrimo matematikos pamokose 72 mokyklos pradinėse klasėse tiriamasis darbas.

3.1. Naujoviškų technologijų (UDE technologijos) naudojimo pagrindimas.

3.2. Apie susipažinimo su algebrinėmis sąvokomis patirtį.

3.3.Matematikos mokymosi rezultatų diagnostika.

Išvada.

Bibliografinis sąrašas.

Įvadas

Bet kurioje šiuolaikinėje bendrojo lavinimo sistemoje matematika užima vieną iš centrinių vietų, o tai neabejotinai byloja apie šios žinių srities unikalumą.

Dažnai sakoma, kad matematika yra šiuolaikinio mokslo kalba. Tačiau atrodo, kad šis teiginys turi didelį trūkumą. Matematikos kalba yra tokia plačiai paplitusi ir taip dažnai veiksminga kaip tik todėl, kad matematika negali būti sumažinta iki jos.

Išskirtinis rusų matematikas A.N. Kolmogorovas rašė: „Matematika nėra tik viena iš kalbų. Matematika yra kalba ir samprotavimai, tai tarsi kalba ir logika kartu. Matematika yra mąstymo įrankis. Jame yra daugelio žmonių tikslaus mąstymo rezultatai. Matematikos pagalba galima susieti vieną samprotavimą su kitu... Akivaizdus gamtos sudėtingumas su keistais jos dėsniais ir taisyklėmis, kurių kiekvienas turi labai išsamų atskirą paaiškinimą, iš tikrųjų yra glaudžiai susiję. Tačiau jei nenorite naudotis matematika, tai šioje didžiulėje faktų įvairovėje nepamatysi, kad logika leidžia pereiti nuo vieno prie kito (p. 44 – (12)).

Taigi matematika leidžia mums suformuoti tam tikras mąstymo formas, reikalingas mus supančio pasaulio tyrinėjimui.

Mūsų švietimo sistema sukurta taip, kad daugeliui mokykla yra vienintelė galimybė įsilieti į matematinę kultūrą ir įsisavinti matematikos vertybes.

Kokią įtaką kūrybingos asmenybės ugdymui turi matematika apskritai ir mokyklinė matematika konkrečiai? Užduočių sprendimo meno mokymas matematikos pamokose suteikia mums itin palankią galimybę ugdyti tam tikrą mokinių mąstymą. Tyrimo veiklos poreikis ugdo domėjimąsi modeliais ir moko pamatyti žmogaus minties grožį ir harmoniją. Visa tai yra esminis bendrosios kultūros elementas. Matematikos kursas turi didelę įtaką formuojant įvairias mąstymo formas: loginį, erdvinį-geometrinį, algoritminį. Bet koks kūrybinis procesas prasideda nuo hipotezės suformulavimo. Matematika, tinkamai organizuojant ugdymą, yra gera mokykla hipotezėms statyti ir tikrinti, moko lyginti įvairias hipotezes, rasti geriausią variantą, kelti naujas problemas ir ieškoti jų sprendimo būdų. Maksimaliai išnaudodama žmogaus mąstymo galimybes, matematika yra aukščiausias pasiekimas.

Matematikos kursas (be geometrijos) faktiškai suskirstytas į 3 pagrindines dalis: aritmetika (1-5 kl.), algebra (6 kl.), analizės elementus (9-11 kl.). Kiekviena dalis turi savo specialią „technologiją“. Taigi aritmetikoje jis siejamas, pavyzdžiui, su daugiaženkliais skaičiais atliktais skaičiavimais, algebroje – su identiškomis transformacijomis, logaritmavimu, analizėje – su diferencijavimu. Tačiau kokios yra gilesnės priežastys, susijusios su kiekvienos dalies konceptualiu turiniu? Kitas klausimas susijęs su mokyklinės aritmetikos ir algebros atskyrimo pagrindu. Aritmetika apima natūraliųjų skaičių (teigiamų sveikųjų skaičių) ir trupmenų (pirminių ir dešimtainių) tyrimą. Tačiau speciali analizė rodo, kad šių tipų skaičių derinimas viename mokykliniame dalyke yra neteisėtas. Faktas yra tas, kad šie skaičiai atlieka skirtingas funkcijas: pirmasis yra susijęs su objektų skaičiavimu, antrasis su matavimo dydžiais. Kiekių matavimo požiūriu, kaip pažymėjo A. N. Kolmogorovas, „nėra tokio didelio skirtumo tarp racionalių ir neracionalių realiųjų skaičių. Pedagoginiais sumetimais būtina pasilikti ties racionaliais skaičiais, nes juos lengva užrašyti trupmenomis, tačiau nuo pat pradžių jiems duota vartosena turėtų iš karto vesti prie realiųjų skaičių visu jų bendrumu“ (12). -9 p.). Taigi, yra reali galimybė, remiantis natūraliaisiais (sveikaisiais) skaičiais, iš karto suformuoti „bendriausią skaičiaus sampratą“ (A. Lebesgue terminologija), tikrojo skaičiaus sąvoką. Tačiau programos kūrimo požiūriu tai reiškia ne daugiau ar mažiau, kaip trupmenų aritmetikos pašalinimą jos mokyklinėje interpretacijoje. Perėjimas nuo sveikųjų skaičių prie realiųjų skaičių yra perėjimas nuo aritmetikos prie algebros, prie analizės pagrindo sukūrimo. Šios idėjos, išsakytos daugiau nei prieš 30 metų, aktualios ir šiandien. Ar įmanoma šia linkme pakeisti matematikos mokymo struktūrą pradinėje mokykloje? Kokie yra algebrazavimo privalumai ir trūkumai pradiniame matematikos ugdyme? Šio darbo tikslas – pabandyti atsakyti į pateiktus klausimus.

Norint pasiekti šį tikslą, reikia išspręsti šias užduotis:

Bendrųjų teorinių algebrinių dydžio ir skaičiaus sąvokų diegimo pradinėje mokykloje aspektų svarstymas;

Konkrečių metodų, skirtų šių sąvokų mokymui pradinėje mokykloje, tyrimas;

Parodyti svarstomų nuostatų praktinį pritaikomumą pradinėje mokykloje per matematikos pamokas 72-oje vidurinėje mokykloje mokytoja N. N. Averyakova.

1 SKYRIUS. BENDRIEJI TEORINIAI ALGEBRINĖS MEDŽIAGOS MOKYMOSI PRADINĖJE MOKYKLOJE ASPEKTAI.

PATIRTIS DIEGANT ALGEBROS ELEMENTUS PRADINĖJE MOKYKLOJE.

Akademinio dalyko turinys priklauso nuo daugelio veiksnių – nuo gyvenimo poreikių studentų žinioms, nuo atitinkamų mokslų lygio, nuo protinių ir fizinių su amžiumi susijusių vaikų galimybių. Teisingas šių veiksnių įvertinimas yra esminė sąlyga siekiant efektyviausio moksleivių ugdymo ir jų pažintinių gebėjimų plėtimo. Tačiau kartais ši sąlyga neįvykdoma dėl kelių priežasčių. Panašu, kad šiuo metu kai kurių akademinių dalykų mokymo programos, t.sk. matematika, neatitinka naujų gyvenimo reikalavimų, šiuolaikinių mokslų lygio ir naujų raidos psichologijos bei logikos duomenų. Ši aplinkybė sąlygoja galimų naujo ugdymo dalykų turinio projektų teorinio ir eksperimentinio testavimo poreikį. Matematikos įgūdžių pamatai klojami pradinėje mokykloje. Bet, deja, tiek patys matematikai, tiek metodininkai ir psichologai elementarios matematikos turiniui skiria labai mažai dėmesio. Užtenka pasakyti, kad matematikos programa pradinėje mokykloje (1-4) savo pagrindiniais bruožais susiformavo prieš 50-60 metų ir natūraliai atspindi to meto matematinių, metodinių ir psichologinių idėjų sistemą.

Panagrinėkime būdingus valstybinio matematikos standarto bruožus. Pagrindinis jo turinys yra sveikieji skaičiai ir operacijos su jais, tiriamos tam tikra seka. Be to, programa apima metrinių matų ir laiko matų tyrimą, gebėjimą juos naudoti matavimams, kai kurių vizualinės geometrijos elementų išmanymą - stačiakampio, kvadrato piešimą, atkarpų, plotų matavimą, tūrių skaičiavimą. Įgytas žinias ir įgūdžius studentai turi pritaikyti spręsdami uždavinius ir atlikdami nesudėtingus skaičiavimus. Viso kurso metu problemų sprendimas vykdomas lygiagrečiai su skaičių ir operacijų studijomis – tam skiriama pusė atitinkamo laiko. Problemų sprendimas padeda mokiniams suprasti konkrečią veiksmo reikšmę, suprasti įvairius jų taikymo atvejus, nustatyti dydžių ryšius, įgyti pagrindinių analizės ir sintezės įgūdžių. Nuo 1 iki 4 klasių vaikai sprendžia šiuos pagrindinius uždavinių tipus (paprastus ir sudėtinius): sumos ir liekanos radimas, sandauga ir koeficientas, duotų skaičių didinimas ir mažinimas, skirtumas ir daugkartinis palyginimas, paprasta triguba taisyklė, proporcingas padalijimas, nežinoma iš dviejų skirtumų ir kitų problemų. Vaikai, spręsdami problemas, susiduria su įvairaus pobūdžio kiekybinėmis priklausomybėmis. Tačiau gana paprastai, mokiniai pradeda problemų po to, kai studijuoja skaičius; Pagrindinis dalykas, kurio reikia sprendžiant, yra rasti skaitinį atsakymą. Vaikams labai sunku nustatyti kiekybinių santykių ypatybes konkrečiose, konkrečiose situacijose, kurios dažniausiai laikomos aritmetinėmis problemomis. Praktika rodo, kad manipuliavimas skaičiais dažnai pakeičia faktinę problemos sąlygų analizę realių dydžių priklausomybių požiūriu. Be to, vadovėliuose pateikiamos problemos neatspindi sistemų, kuriose „sudėtingesnės“ situacijos būtų susietos su „gilesniais“ kiekybinių santykių klodais. To paties sunkumo problemų galima rasti ir vadovėlio pradžioje, ir pabaigoje. Jie keičiasi iš skyriaus į skyrių ir iš klasės į klasę, atsižvelgiant į siužeto sudėtingumą (veiksmų skaičius didėja), skaičių eilę (nuo dešimties iki milijardo), fizinių priklausomybių sudėtingumą (nuo paskirstymo problemų iki judėjimo). problemos) ir kitus parametrus. Juose silpnai ir neaiškiai pasireiškia tik vienas parametras – gilinimasis į pačią matematinių dėsnių sistemą. Todėl labai sunku nustatyti konkrečios problemos matematinio sudėtingumo kriterijų. Kodėl užduotys ieškant nežinomojo iš dviejų skirtumų ir išsiaiškinant aritmetinį vidurkį yra sunkesnės nei skirtumų ir daugkartinio palyginimo uždaviniai? Technika neatsako į šį klausimą.

Taigi pradinių klasių mokiniai negauna adekvačių, visaverčių žinių apie dydžių priklausomybes ir bendrąsias kiekio savybes nei studijuodami skaičių teorijos elementus, nes mokyklos kurse jie pirmiausia siejami su skaičiavimo technika, nei sprendžiant. problemų, nes pastarieji neturi tinkamos formos ir neturi reikiamos sistemos. Metodininkų bandymai tobulinti mokymo metodus, nors ir veda į dalinę sėkmę, bendros padėties nekeičia, nes juos iš anksto riboja priimto turinio rėmai.

Atrodo, kad priimtos aritmetinės programos kritinė analizė turėtų būti pagrįsta šiomis nuostatomis:

Skaičiaus sąvoka nėra tapati objektų kiekybinių charakteristikų sampratai;

Skaičius nėra pradinė kiekybinių santykių išraiškos forma.

Pateiksime šių nuostatų pagrindimą. Gerai žinoma, kad šiuolaikinė matematika (ypač algebra) tiria kiekybinių santykių aspektus, kurie neturi skaitinio apvalkalo. Taip pat gerai žinoma, kad kai kurie kiekybiniai ryšiai yra gana išreiškiami be skaičių ir prieš skaičius, pavyzdžiui, atkarpomis, tūriais ir pan. (santykis „daugiau“, „mažiau“, „lygus“). Pradinės matematinės sąvokos šiuolaikiniuose vadovuose pateikiamos tokia simbolika, kuri nebūtinai reiškia objektų išraišką skaičiais. Taigi E. G. Gonino knygoje „Teorinė aritmetika“ pagrindiniai matematiniai objektai nuo pat pradžių žymimi raidėmis ir specialiais ženklais. Būdinga, kad tam tikri skaičių tipai ir skaitinės priklausomybės pateikiami tik kaip pavyzdžiai, aibių savybių iliustracijos, o ne kaip vienintelė galima ir vienintelė jų raiškos forma. Pažymėtina, kad daugelis atskirų matematinių apibrėžimų iliustracijų pateikiamos grafine forma, per segmentų ir sričių santykį. Visos pagrindinės aibių ir dydžių savybės gali būti išvestos ir pagrįstos nenaudojant skaitinių sistemų; Be to, patys pastarieji gauna pagrindimą bendromis matematinėmis sąvokomis.

Savo ruožtu daugybė psichologų ir mokytojų pastebėjimų rodo, kad kiekybinės idėjos vaikams kyla dar gerokai anksčiau nei jie įgyja žinių apie skaičius ir kaip juos valdyti. Tiesa, pastebima tendencija šias idėjas priskirti prie „ikimatematinių darinių“ (tai gana natūralu tradiciniams metodams, kurie kiekybines objekto charakteristikas identifikuoja su skaičiumi), tačiau tai nekeičia esminės funkcijos bendrame vaiko gyvenime. orientacija daiktų savybėse. O kartais atsitinka taip, kad šių tariamai „ikimatematinių darinių“ gylis yra reikšmingesnis vaiko matematinio mąstymo ugdymui nei kompiuterinių technologijų įmantrybės ir gebėjimas rasti grynai skaitines priklausomybes. Pastebėtina, kad akademikas A. N. Kolmogorovas, apibūdindamas matematinio kūrybiškumo bruožus, ypač pažymi tokią aplinkybę: „Daugelio matematinių atradimų pagrindas yra kokia nors paprasta idėja: vizualinė geometrinė konstrukcija, nauja elementari nelygybė ir kt. Jums tereikia tinkamai pritaikyti šią paprastą idėją, kad išspręstumėte problemą, kuri iš pirmo žvilgsnio atrodo neprieinama (12-p.17).

Šiuo metu yra tinkamos įvairios idėjos dėl naujos programos struktūros ir kūrimo būdų. Į jos konstravimo darbus būtina įtraukti matematikus, psichologus, logikus, metodininkus. Tačiau atrodo, kad visose konkrečiose parinktyse ji turi atitikti šiuos reikalavimus:

Pašalinti esamą atotrūkį tarp matematikos turinio pradinėse ir vidurinėse mokyklose;

Suteikti žinių apie pagrindinius objektyvaus pasaulio kiekybinių santykių dėsnius sistemą; šiuo atveju skaičių, kaip specialios dydžio išraiškos formos, savybės turėtų tapti specialia, bet ne pagrindine programos dalimi;

Įdiekite vaikams matematinio mąstymo metodus, o ne tik skaičiavimo įgūdžius: tai apima problemų sistemos kūrimą, pagrįstą gilinantis į realių dydžių priklausomybių sritį (matematikos ryšį su fizika, chemija, biologija ir kitais mokslais, tiriančiais konkrečius dydžius). );

Ryžtingai supaprastinkite visus skaičiavimo būdus, sumažindami darbą, kurio negalima atlikti be atitinkamų lentelių, žinynų ir kitų pagalbinių įrankių.

Šių reikalavimų prasmė aiški: pradinėje mokykloje galima dėstyti matematiką kaip mokslą apie kiekybinių santykių dėsnius, apie dydžių priklausomybes; skaičiavimo technika ir skaičių teorijos elementai turėtų tapti specialia ir privačia programos dalimi. Nuo 1960 m. pabaigos vykdoma naujos matematikos programos kūrimo ir jos eksperimentinio testavimo patirtis leidžia kalbėti apie galimybę į mokyklą nuo 1 klasės įvesti sisteminį matematikos kursą, suteikiantį žinių apie kiekybines žinias. dydžių ryšiai ir priklausomybės algebrine forma.

1.2. PSICHOLOGINIS ALGEBRINIŲ SĄVOKŲ DIEGIMO PAGRINDINĖJE MOKYKLOJE PAGRINDAS.

Pastaruoju metu, modernizuojant programas, ypatingas dėmesys skiriamas tam, kad būtų klojami aibė teoriniai mokyklos kurso pagrindai (ši tendencija pasireiškia tiek pas mus, tiek užsienyje). Šios tendencijos įgyvendinimas mokyme (ypač pradinėse klasėse, kaip pastebima, pavyzdžiui, amerikietiškoje mokykloje) neišvengiamai iškels daug sunkių klausimų vaikų ir ugdymo psichologijai bei didaktikai, nes dabar studijų beveik nėra. atskleidžiantys vaiko aibės reikšmės įsisavinimo ypatybes (skirtingai nuo labai visapusiškai ištirto skaičiavimo ir skaičių įsisavinimo).

Pastarųjų metų loginiai ir psichologiniai tyrimai (ypač J. Piaget darbai) atskleidė ryšį tarp kai kurių vaikų mąstymo mechanizmų ir bendrųjų matematinių sampratų. Toliau konkrečiai aptariame šio ryšio ypatybes ir jų reikšmę matematikos, kaip mokomojo dalyko, konstravimui (kalbame apie teorinę dalyko pusę, o ne apie kokią nors konkrečią programos versiją).

Natūralusis skaičius per visą jos istoriją buvo pagrindinė matematikos sąvoka; jis vaidina labai svarbų vaidmenį visose gamybos, technologijų ir kasdienio gyvenimo srityse. Tai leidžia teoriniams matematikams skirti jam ypatingą vietą tarp kitų matematikos sąvokų. Įvairiomis formomis pateikiami teiginiai, kad natūraliojo skaičiaus sąvoka yra pradinė matematinės abstrakcijos stadija, kad ji yra daugumos matematinių disciplinų konstravimo pagrindas.

Matematikos kaip akademinio dalyko pradinių elementų pasirinkimas iš esmės įgyvendina šias bendrąsias nuostatas. Šiuo atveju daroma prielaida, kad susipažindamas su skaičiais vaikas kartu atranda ir pirminius kiekybinių santykių bruožus. Skaičiavimas ir skaičius yra viso tolesnio matematikos mokymosi mokykloje pagrindas.

Daugelis bendrųjų matematinių sąvokų, ypač lygiavertiškumo santykių ir tvarkos sąvokos, sistemingai nagrinėjamos matematikoje, nepaisant skaitinės formos. Šios sąvokos nepraranda savarankiško pobūdžio, jais remiantis galima apibūdinti ir studijuoti konkretų dalyką – įvairias skaitines sistemas, sąvokas, kurios savaime neapima pirminių apibrėžimų reikšmės ir prasmės. Be to, matematikos mokslo istorijoje bendrosios sąvokos išsivystė būtent tiek, kad „algebrinės operacijos“, kurių gerai žinomas pavyzdys yra keturios aritmetikos operacijos, buvo pradėtos taikyti visiškai neskaitinio pobūdžio elementams.

Pastaruoju metu bandoma praplėsti vaiko supažindinimo su matematika mokymo metu etapą. Ši tendencija išreiškiama metodiniuose vadovuose, taip pat kai kuriuose eksperimentiniuose vadovėliuose. Taigi viename amerikietiškame vadovėlyje, skirtame 6-7 metų vaikams mokyti, pirmuose puslapiuose pateikiamos užduotys ir pratimai, kurie specialiai moko vaikus nustatyti dalykų grupių tapatumą. Vaikams parodoma aibių jungimo technika, supažindinama su atitinkama matematine simbolika. Darbas su skaičiais grindžiamas pagrindinėmis žiniomis apie aibes. Konkrečių bandymų įgyvendinti šią tendenciją turinį galima vertinti įvairiai, tačiau jis pats yra gana teisėtas ir perspektyvus.

Iš pirmo žvilgsnio „santykių“, „struktūros“, „kompozicijos dėsnių“ ir kitų esamų sudėtingų matematinių apibrėžimų sąvokos negali būti siejamos su mažų vaikų matematinių sąvokų formavimu. Žinoma, visa tikroji ir abstrakti šių sąvokų prasmė ir jų vieta matematikos, kaip mokslo, aksiominėje struktūroje yra asimiliacijos objektas jau gerai išvystytai ir matematikos „apmokytai“ galvai. Tačiau kai kurios šiomis sąvokomis fiksuotų daiktų savybės vienaip ar kitaip vaikui pasirodo gana anksti: tam yra specifinių psichologinių duomenų.

Visų pirma, reikia turėti omenyje, kad nuo gimimo iki 7-10 metų vaikas vysto ir vysto sudėtingas bendrų idėjų apie jį supantį pasaulį sistemas ir padeda prasmingam bei objektyviam mąstymui. Be to, remdamiesi santykinai siaura empirine medžiaga, vaikai nustato bendrus orientacijos modelius, susijusius su daiktų priklausomybėmis erdvėje-laikiniame ir priežasties-pasekmėse. Šios diagramos yra tam tikras „koordinačių sistemos“ pagrindas, kuriame vaikas pradeda vis labiau įsisavinti įvairias įvairaus pasaulio savybes. Žinoma, šios bendros schemos yra mažai realizuojamos ir maža dalimi jas gali išreikšti pats vaikas abstraktaus sprendimo forma. Jie, vaizdžiai tariant, yra intuityvi vaiko elgesio organizavimo forma (nors, žinoma, jos vis labiau atsispindi vertinimuose).

Pastaraisiais dešimtmečiais vaikų intelekto formavimosi ir jų bendrų idėjų apie tikrovę, laiką ir erdvę atsiradimo klausimus ypač intensyviai nagrinėjo garsus šveicarų psichologas J. Piaget ir jo kolegos. Kai kurie jo darbai yra tiesiogiai susiję su vaiko matematinio mąstymo ugdymo problemomis, todėl mums svarbu juos nagrinėti ugdymo turinio rengimo klausimais.

Vienoje naujausių savo knygų (17) J. Piaget pateikia eksperimentinius duomenis apie tokių elementarių loginių struktūrų kaip klasifikavimas ir serialas atsiradimą ir formavimąsi vaikams (iki 12-14 metų). Klasifikavimas apima įtraukimo operacijos (pavyzdžiui, A+A1=B) ir atvirkštinės operacijos (B-A1=A) atlikimą. serialas – tai objektų rikiavimas į sistemines eilutes (pavyzdžiui, skirtingo ilgio pagaliukai gali būti išdėstyti iš eilės, kurių kiekvienas narys yra didesnis už visus ankstesnius ir mažesnis už visus vėlesnius).

Analizuodamas klasifikacijos formavimąsi, J. Piaget parodo, kaip nuo pradinės formos, nuo „vaizdinio agregato“, pagrįsto tik erdviniu objektų artumu, sukūrimo vaikai pereina prie klasifikacijos, pagrįstos panašumo santykiu („ne- vaizdiniai agregatai), o tada į sudėtingiausią formą - į klasių įtraukimą, nulemtą sąvokos apimties ir turinio ryšio. Autorius konkrečiai svarsto klausimą, kaip sudaryti klasifikaciją ne tik pagal vieną, bet ir pagal dvi ar tris požymius, taip pat apie tai, kaip ugdyti vaikų gebėjimą keisti klasifikavimo pagrindą pridedant naujų elementų.

Šiais tyrimais buvo siekiama labai konkretaus tikslo – nustatyti proto operatorių struktūrų formavimosi dėsningumus ir pirmiausia tokią konstitucinę savybę kaip grįžtamumas, t.y. proto gebėjimas judėti pirmyn ir atgal. Grįžtamumas atsiranda tada, kai „operacijos ir veiksmai gali vystytis dviem kryptimis, o vienos iš šių krypčių supratimas lemia ipso facto (dėl paties fakto) kitos supratimą (17-p. 15).

Grįžtamumas, anot J. Piaget, reprezentuoja pagrindinį protui būdingą kompozicijos dėsnį. Jis turi dvi papildomas ir neredukuojamas formas:apvertimas (inversija arba neigimas) ir abipusiškumas. Apsukimas įvyksta, pavyzdžiui, tuo atveju, kai objekto erdvinį judėjimą iš A į B galima atšaukti perkeliant objektą atgal iš B į A, o tai galiausiai prilygsta nulinei transformacijai (operacijos sandauga ir jos atvirkštinė vertė yra identiška operacija arba nulinė transformacija).

Abipusiškumas (arba kompensacija) apima atvejį, kai, pavyzdžiui, kai objektas perkeliamas iš A į B, objektas lieka B, bet vaikas pats juda iš A į B ir atkuria pradinę padėtį, kai objektas buvo prieš jo kūną. . Objekto judėjimas čia nebuvo anuliuotas, o kompensuojamas atitinkamu jo paties kūno judėjimu – ir tai jau kitokia transformacijos forma nei cirkuliacija (17-p. 16). J. Piaget mano, kad psichologinis aritmetinių ir geometrinių operacijų raidos vaiko galvoje tyrimas (ypač tų loginių operacijų, kurios jose atlieka išankstines sąlygas) leidžia tiksliai susieti mąstymo operatorių struktūras su algebrinėmis struktūromis, tvarka. struktūros ir topologinės (17-p. 17) . Taigi algebrinė struktūra („grupė“) atitinka proto operatoriaus mechanizmus, kuriems taikoma viena iš grįžtamumo formų - inversija (neigimas). Grupė turi keturias elementarias savybes: dviejų grupės elementų sandauga taip pat suteikia grupės elementą; tiesioginė operacija atitinka vieną ir tik vieną atvirkštinę operaciją; yra tapatybės operacija; nuoseklios kompozicijos yra asociatyvios. Intelektinių veiksmų kalba tai reiškia:

Dviejų veiksmų sistemų koordinavimas yra nauja schema, pridedama prie ankstesnių;

Operacija gali vystytis dviem kryptimis;

Grįžę į pradinį tašką randame jį nepakitusią;

Vieną ir tą patį tašką galima pasiekti įvairiais būdais, o pats taškas laikomas nepakitusiu.

Panagrinėkime pagrindines J. Piaget suformuluotas nuostatas, susijusias su ugdymo turinio konstravimo klausimais. Visų pirma, J. Piaget tyrimas rodo, kad ikimokyklinio ir mokyklinio vaikystės laikotarpiu vaikui susiformuoja tokios operacinės mąstymo struktūros, leidžiančios įvertinti esmines daiktų klasių ir jų padėties charakteristikas. Be to, jau konkrečių operacijų stadijoje (nuo 7 metų) vaiko intelektas įgyja grįžtamumo savybę, o tai nepaprastai svarbu norint suprasti ugdymo dalykų, ypač matematikos, teorinį turinį. Šie duomenys rodo, kad tradicinė psichologija ir pedagogika nepakankamai atsižvelgė į tų vaiko psichikos raidos etapų, kurie siejami su laikotarpiu nuo 2 iki 7 ir nuo 7 iki 11 metų, sudėtingumą ir talpumą. Atsižvelgiant į Piaget gautus rezultatus, galime padaryti keletą reikšmingų išvadų, susijusių su matematikos mokymo programos kūrimu. Visų pirma, faktiniai duomenys apie vaiko nuo 2 iki 11 metų intelekto formavimąsi leidžia manyti, kad šiuo metu jam ne tik matematinėmis sąvokomis „struktūra-santykis“ aprašytos objektų savybės nėra „svetimos“, bet ir. jie patys organiškai įsilieja į vaiko mąstymą.

Tradicinėse programose į tai neatsižvelgiama. Todėl jie nesuvokia daugelio galimybių, slypinčių vaiko intelektualinio vystymosi procese. Sulaukę 7 metų vaikai jau yra pakankamai susikūrę protinių veiksmų planą, o mokant atitinkamos programos, kurioje „aiškiai“ pateikiamos matematinių struktūrų savybės ir vaikams suteikiamos priemonės jas analizuoti, galima greitai. perkelkite vaikus į „oficialių“ operacijų lygmenį nei per tą laiką, per kurį tai atliekama „nepriklausomo“ šių savybių atradimo metu. Svarbu atsižvelgti į šią aplinkybę. Yra pagrindo manyti, kad mąstymo specifinių operacijų lygmeniu ypatumai, J. Piaget datuojami 7-11 metų amžiumi, patys neatsiejamai susiję su tradicinei pradinei mokyklai būdingomis mokymosi organizavimo formomis.

Taigi šiuo metu yra faktinių duomenų, rodančių glaudų ryšį tarp vaikų mąstymo struktūrų ir bendrųjų algebrinių struktūrų. Šio ryšio buvimas atveria esmines galimybes kurti mokomąjį dalyką, kuris vystosi pagal schemą „nuo paprastų struktūrų iki sudėtingų derinių“. Šis metodas gali būti galingas svertas ugdant vaikų mąstymą, pagrįstą gana tvirtu konceptualiu pagrindu.

1.3 ALGEBRINIŲ SĄVOKŲ KILMĖS PROBLEMA IR JOS SVARBA UGDYMO DALYKO STATYBAI.

Mokyklinio matematikos kurso skirstymas į algebrą ir aritmetiką yra sąlyginis. Perėjimas vyksta palaipsniui. Viena iš pagrindinių pradinio kurso sąvokų yra natūraliojo skaičiaus sąvoka. Ji aiškinama kaip ekvivalentinių aibių klasės kiekybinė charakteristika. Koncepcija atskleidžiama konkrečiu pagrindu, naudojant rinkinį ir matuojant dydžius. Būtina išanalizuoti sąvokos „kiekis“ turinį. Tiesa, su šiuo terminu siejamas dar vienas terminas – „matmenys“. Paprastai vartojamas terminas kiekis siejamas su sąvokomis „lygus“, „daugiau“, „mažiau“, kurios apibūdina daugybę savybių. Objektų rinkinys paverčiamas dydžiu tik tada, kai nustatomi kriterijai, leidžiantys bet kurio jo elemento A ir B atžvilgiu nustatyti, ar A bus lygus B, didesnis už B ar mažesnis už B. bet kuriems dviem elementams A ir B galioja vienas ir tik vienas ryšys: A=B, A B, A B.

V.F. Koganas nustato šias aštuonias pagrindines sąvokų „lygus“, „daugiau“, „mažiau“ savybes.

1) bent vienas iš ryšių galioja: A=B, A B, A B;

2) jei galioja santykis A=B, tai santykis A B negalioja;

3) jei A=B galioja, tai santykis A B negalioja;

4) jei A=B ir B=C, tai A=C;

5) jei A yra B, o B yra C, tai A yra C;

6) jei A C ir B C, tai A C;

7) lygybė yra grįžtamasis ryšys: A=B B=A;

8) lygybė yra abipusis ryšys: kad ir koks būtų nagrinėjamos aibės elementas A, A = A.

„Nustatydami palyginimo kriterijus, daugumą paverčiame dydžiu“, – rašė V. F. Koganas. Praktikoje kiekis dažniausiai žymi ne patį elementų rinkinį, o naują sąvoką, įvedamą norint atskirti palyginimo kriterijus (kiekio pavadinimas. Taip atsiranda sąvokos „tūris“, „svoris“, „ilgis“ ir kt.). „Tuo pačiu metu matematikui vertė yra visiškai apibrėžta, kai nurodoma daug elementų ir palyginimo kriterijų“, - pažymėjo V. F.

Šis autorius svarbiausiu matematinio dydžio pavyzdžiu laiko natūralią skaičių seką. Tokio palyginimo kriterijaus, kaip skaičių užimama vieta eilutėje (užima vieną vietą, seka ..., prieš ...) požiūriu, ši serija atitinka postulatus ir todėl reiškia kiekį. Dirbdami su kiekiais (patartina įrašyti atskiras reikšmes raidėmis), galite atlikti sudėtingą transformacijų sistemą, nustatydami jų savybių priklausomybę, pereidami nuo lygybės prie nelygybės, atlikdami sudėjimą ir atimtį. Natūralūs ir realieji skaičiai yra vienodai stipriai susiję su dydžiais ir kai kuriomis esminėmis jų savybėmis. Ar galima šias ir kitas ypatybes paversti specialiu vaiko tyrimo objektu dar prieš įvedant skaitinę kiekių santykio apibūdinimo formą? Jie gali būti prielaida vėliau detaliai pristatyti skaičių ir skirtingus jo tipus, ypač trupmenų propedeutikai, koordinačių sąvokoms, funkcijoms ir kitoms sąvokoms jau žemesnėse klasėse. Koks galėtų būti šios pradinės dalies turinys? Tai pažintis su fiziniais objektais, jų palyginimo kriterijais, kiekio išryškinimas kaip matematinio svarstymo dalyko, susipažinimas su palyginimo metodais ir simbolinėmis jo rezultatų fiksavimo priemonėmis, su bendrųjų dydžių savybių analizės metodais. Reikalinga pradinė kurso dalis, kuri supažindintų vaikus su pagrindinėmis algebrinėmis sąvokomis (prieš įvedant skaičius). Kokios yra pagrindinės tokios programos temos?

1 tema. Objektų niveliavimas ir užbaigimas (pagal ilgį, tūrį, svorį, dalių sudėtį ir kitus parametrus).

2 tema. Objektų palyginimas ir jo rezultatų fiksavimas naudojant lygybės-nelygybės formulę.

Objektų palyginimo ir šio veiksmo rezultatų simbolinio įvardijimo užduotys;

Žodinis palyginimo rezultatų užrašymas (terminai „daugiau“, „mažiau“, „lygus“).

Rašytiniai ženklai

Palyginimo rezultatų iliustravimas paveikslėliu;

Lyginamų objektų žymėjimas raidėmis.

3 tema. Lygybės ir nelygybės savybės.

4 tema. Sudėjimo (atimties) operacija.

5 tema. Perėjimas nuo A B tipo nelygybės prie lygybės per sudėjimo (atimties) operaciją.

6 tema. Lygybių sudėjimas ir atėmimas – nelygybės.

Tinkamai suplanavus pamokas, tobulinant mokymo metodus ir sėkmingai pasirinkus mokymo priemones, šią medžiagą galima pilnai įsisavinti per tris mėnesius.

Toliau vaikai susipažįsta su būdais gauti skaičių, išreiškiantį objekto kaip visumos ir jo dalies santykį. Yra eilutė, kuri jau yra įdiegta 1 klasėje - perkeliant pagrindines kiekio savybes ir sudėjimo operaciją į skaičius (sveikuosius skaičius). Visų pirma, dirbdami su skaičių eilute, vaikai gali greitai paversti skaičių seką į reikšmę. Taigi skaičių eilučių traktavimas kaip kiekį leidžia nauju būdu suformuoti pačius sudėjimo ir atimties, o vėliau daugybos ir dalybos įgūdžius.

2.1. MOKYMAS PAGRINDINĖJE MOKYKLOJE VIDURINĖS MOKYKLOS POREIKIŲ POŽIŪRIU.

Kaip žinia, mokantis matematikos 5 klasėje nemaža laiko dalis skiriama kartoti tai, ką vaikai turėjo išmokti pradinėje mokykloje. Šis kartojimas beveik visuose vadovėliuose užtrunka pusantro akademinio ketvirčio. Vidurinių mokyklų matematikos mokytojai nepatenkinti pradinių klasių abiturientų pasirengimu. Kokia šios situacijos priežastis? Šiuo tikslu buvo analizuojami šiandien žinomiausi pradinių klasių matematikos vadovėliai: tai autorių M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Petersonas, V.V.Geidmanas.

Šių vadovėlių analizė atskleidė keletą neigiamų aspektų, didesniu ar mažesniu mastu kiekviename iš jų ir neigiamai veikiančių tolesnį mokymąsi. Visų pirma, medžiagos įsisavinimas juose daugiausia grindžiamas įsiminimu. Ryškus to pavyzdys yra daugybos lentelės įsiminimas. Pradinėje mokykloje tam įsiminti skiriama daug pastangų ir laiko. Tačiau per vasaros atostogas vaikai tai pamiršta. Tokio greito užmaršimo priežastis – mokymasis atsitiktinai. Tyrimą atliko L.S. Vygotskis parodė, kad prasmingas įsiminimas yra daug veiksmingesnis nei mechaninis įsiminimas, o atlikti eksperimentai įtikinamai įrodo, kad medžiaga patenka į ilgalaikę atmintį tik tada, kai ji prisimenama kaip šią medžiagą atitinkančio darbo rezultatas. Studijuojant medžiagą pradinėje mokykloje, remiamasi objektyviais veiksmais ir iliustraciniu aiškumu, o tai lemia empirinio mąstymo formavimąsi. Žinoma, vargu ar galima visiškai apsieiti be tokios vizualizacijos pradinėje mokykloje, tačiau ji turėtų pasitarnauti tik kaip to ar kito fakto iliustracija, o ne kaip koncepcijos formavimo pagrindas. Iliustratyvaus aiškumo ir esminių veiksmų naudojimas vadovėliuose dažnai lemia tai, kad pati sąvoka yra „neryški“. Pavyzdžiui, M.I Moreau matematikos metodu sakoma, kad vaikai turi dalyti daiktus į krūvas arba nupiešti 30 pamokų. Atliekant tokius veiksmus, dalybos operacijos esmė prarandama, nes atvirkštinis daugybos veiksmas, atsirandantis dėl dalybos, išmokstamas sunkiausiai ir daug blogiau nei kitos aritmetinės operacijos.

Pradinėje mokykloje mokant matematikos niekur nekalbama apie kokių nors teiginių įrodinėjimą. Tuo tarpu prisiminus, kaip sunku bus mokyti įrodinėjimo vidurinėje mokykloje, tam reikia pradėti ruoštis jau pradinėse klasėse. Be to, tai galima padaryti naudojant medžiagą, kuri yra gana prieinama pradinių klasių mokiniams. Pavyzdžiui, tokia medžiaga gali būti taisyklė, kai skaičius dalinamas iš 1, nulis iš skaičiaus ir skaičius iš savęs. Vaikai gana pajėgūs tai įrodyti naudodami dalybos apibrėžimą ir atitinkamas daugybos taisykles.

Pradinės mokyklos medžiaga taip pat leidžia atlikti algebros propedeutiką – dirbti su raidėmis ir raidžių išraiškomis. Dauguma vadovėlių vengia vartoti raides. Dėl to ketverius metus vaikai beveik vien dirba su skaičiais, po kurių, žinoma, labai sunku priprasti prie darbo su raidėmis. tačiau tokiam darbui galima teikti propedeutiką, jau pradinėje mokykloje išmokyti vaikus raidės išraiškoje vietoj raidės pakeisti skaičių. Tai nuostabiai padaryta, pavyzdžiui, L.G. Petersono vadovėlyje. Nuo 1 klasės abėcėlės simboliai įvedami kartu su skaičiais, o kai kuriais atvejais ir prieš juos. Prie visų taisyklių ir išvadų pridedama raidinė išraiška. Pavyzdžiui, 16 pamoka (1 klasė, 2 dalis) tema „Nulis“ supažindina vaikus su nulio atėmimu iš skaičiaus ir skaičiaus iš savęs atėmimo, o baigiama tokiu užrašu: a -0 = a a-a = 0

30 pamokoje tema „Lyginimo uždaviniai“ 1 klasėje dirbama su palyginimo pratimais formos: a*a-3 c+4*c+5 c+0* c-0 d-1*d-2

Šie pratimai verčia vaiką susimąstyti ir ieškoti pasirinkto sprendimo įrodymų.

2.2. SĄVOKŲ LYGINIMAS (KONTRASTAMAS) MATEMATIKOS PAMOKĖSE.

Dabartinė programa numato 1 klasėje studijuoti tik dvi pirmojo etapo operacijas: sudėtį ir atimtį. Pirmųjų studijų metų apribojimas tik dviem veiksmais iš esmės yra nukrypimas nuo to, kas jau buvo pasiekta vadovėliuose, buvusiuose prieš dabartinius: tada nė vienas mokytojas nesiskundė, kad daugyba ir dalyba, tarkime, per 20, yra ne tik pirmokų gebėjimai. Atkreiptinas dėmesys ir į tai, kad kitų šalių mokyklose, kuriose mokslas pradedamas nuo 6 metų, pirmieji mokslo metai apima pirminį susipažinimą su visomis keturiomis matematikos operacijomis. Matematika visų pirma remiasi keturiais veiksmais, ir kuo anksčiau jie bus įtraukti į mokinio mąstymo praktiką, tuo stabilesnis ir patikimesnis bus tolesnis matematikos kurso vystymas.

Pirmosiose M.I Moro vadovėlio 1 klasei versijose buvo pateikta daugyba ir dalyba. Tačiau autoriai atkakliai laikėsi vienos „naujovės“ – visų sudėjimo ir atėmimo atvejų 100 ribose aprėptis 1-oje klasėje. Tačiau kadangi nebuvo pakankamai laiko išnagrinėti tokią išplėstą informacijos apimtį, buvo nuspręsta perkelti daugybos ir dalybos iki kitų studijų metų. Taigi, susižavėjimas programos linijiškumu, t.y. Grynai kiekybinis žinių išplėtimas (tie patys veiksmai, bet didesni skaičiai) atėmė laiką, kuris anksčiau buvo skirtas kokybiniam žinių gilinimui (visų keturių veiksmų per dvi dešimtis tyrimas). Daugybos ir dalybos mokymasis jau 1 klasėje reiškia kokybinį mąstymo šuolį, nes leidžia įvaldyti kondensuotus mąstymo procesus.

Remiantis tradicijomis, sudėjimo ir atimties per 20 tyrimas buvo ypatinga tema. Šio metodo poreikis sisteminti žinias matomas net iš loginės klausimo analizės: faktas yra tas, kad visa viena sudėjimo lentelė. skaitmenų skaičius išplečiamas per dvi dešimtis (0+1= 1… 9+9=18). Taigi skaičiai, esantys 20 viduje, sudaro pilną santykių sistemą savo vidiniuose ryšiuose; taigi tikslinga išsaugoti „20“ antros holistinės temos pavidalu (pirmoji tokia tema – veiksmai pirmajame dešimtyje). Aptariamas atvejis kaip tik toks, kai koncentriškumas (išsaugoti antrąjį dešimtuką kaip specialią temą) pasirodo naudingesnis nei tiesiškumas (antrojo dešimtuko ištirpinimas „šimto“ temoje).

M. I. Moro vadovėlyje pirmojo dešimties tyrimas suskirstytas į dvi atskiras dalis: pirmiausia nagrinėjama pirmojo dešimtuko skaičių sudėtis, o kitoje temoje nagrinėjami veiksmai dešimtyje. Yra eksperimentinių vadovėlių, kuriuose bendras skaičių ir veiksmų kompozicijos numeracijos tyrimas atliekamas per 10 iš karto viename skyriuje (Erdniev P.M.).

Pirmose pamokose mokytojas turėtų išsikelti tikslą išmokyti mokinį vartoti sąvokų poras, kurių turinys atsiskleidžia sudarant atitinkamus sakinius su šiais žodžiais: daugiau - mažiau, ilgiau - trumpiau, aukštesnis - žemesnis, sunkesnis - lengvesnis, storesnis - plonesnis, dešinėn - kairėn , toliau - arčiau ir kt. Dirbant su sąvokų poromis, svarbu pasitelkti vaikų pastebėjimus. Lyginimo proceso mokymas gali būti įdomesnis, įvedant vadinamuosius stalo pratimus. Čia paaiškinama sąvokų „stulpelis“ ir „eilutė“ reikšmė. Supažindinama su kairiojo stulpelio ir dešiniojo stulpelio, viršutinės ir apatinės eilutės sąvoka. Kartu su vaikais parodome šių sąvokų semantinę interpretaciją. Tokie pratimai palaipsniui pripratina vaikus prie orientacijos erdvėje ir yra svarbūs vėliau studijuojant matematikos koordinačių metodą. Pirmosioms pamokoms labai svarbu dirbti su skaičių serijomis. Skaičių eilutės augimą patogu iliustruoti sudedant po vieną, judant į dešinę išilgai skaičių linijos. Jei (+) ženklas yra susijęs su judėjimu išilgai skaičių linijos į dešinę vienu, tada (-) ženklas yra susijęs su judėjimu į kairę po vieną. (Todėl per vieną pamoką rodome abu ženklus vienu metu). Dirbdami su skaičių eilėmis, pristatome šias sąvokas: skaičių serijos pradžia (skaičius nulis) reiškia kairįjį spindulio galą; Skaičius 1 atitinka vieneto segmentą, kuris turi būti pavaizduotas atskirai nuo skaičių serijos. Vaikai dirba trijų ribose su skaičių spinduliu. Mes pasirenkame du gretimus skaičius 2 ir 3. Pereidami nuo 2 skaičiaus prie skaičiaus 3, vaikai samprotauja taip: „Po skaičiaus 2 seka skaičius 3“. Pereinant nuo skaičiaus 3 prie skaičiaus 2, jie sako: „Prieš skaičių 3 ateina skaičius 2“ arba „Skaičius 2 ateina prieš skaičių 3“. Šis metodas leidžia nustatyti nurodyto skaičiaus vietą tiek ankstesnių, tiek vėlesnių skaičių atžvilgiu; Dera iš karto atkreipti dėmesį į skaičiaus padėties reliatyvumą, pavyzdžiui, skaičius 3 vienu metu yra ir paskesnis (už skaičiaus 2), ir ankstesnis (prieš skaičių 4). Nurodyti perėjimai išilgai skaičių serijos turi būti susieti su atitinkamomis aritmetinėmis operacijomis. Pavyzdžiui, frazė „Po skaičiaus 2 seka skaičius 3“ simboliškai pavaizduota taip: 2+1=3; tačiau psichologiškai naudinga sukurti priešingą ryšį: „Prieš skaičių 3 yra skaičius 2“ ir įrašas: 3-1=2. Norint suprasti skaičiaus vietą skaičių serijoje, reikia užduoti suporuotus klausimus:

1) Po kokio skaičiaus seka skaičius 3? Prieš kokį skaičių yra skaičius 2?

2) koks skaičius yra po skaičiaus 2? Koks skaičius yra prieš skaičių 3? ir kt.

Darbą su skaičių eilėmis patogu derinti lyginant skaičius pagal dydį, taip pat lyginant skaičių padėtį skaičių eilutėje. Palaipsniui plėtojami geometrinio pobūdžio sprendimų ryšiai: skaičius 4 yra skaičių eilutėje į dešinę nuo skaičiaus 3; reiškia, kad 4 yra didesnis nei 3. Ir atvirkščiai: skaičius 3 yra kairėje nuo skaičiaus 4, o tai reiškia, kad skaičius 3 yra mažesnis už skaičių 4. Tai sukuria ryšį tarp sąvokų porų: dešinėje yra daugiau, į kairę yra mažiau.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, matome integruoto žinių įsisavinimo bruožą: visas sąvokų rinkinys, susijęs su sudėjimu ir atėmimu, siūlomas kartu, nuolat pereinant viena į kitą. Mokymosi patirtis rodo naudą, kai vienu metu, pradedant nuo pirmųjų pamokų, pateikiamos viena kitai priešingos sąvokos. Taigi, pavyzdžiui, vienu metu vartojami trys veiksmažodžiai: „pridėti (pridėti nuo 1 prie 2), „pridėti“ (pridėti skaičių 2 su skaičiumi 1), kurie pavaizduoti simboliškai identiškai (2 + 1 = 3), padeda vaikams. išmokti šių žodžių panašumo ir artumo pagal reikšmę (panašiai samprotauti galima ir dėl žodžių „atimti“, „atimti“, „sumažinti“.

Ilgalaikiai bandymai parodė pirmųjų dešimties skaičių monografinio tyrimo pranašumus. Kiekvienas iš eilės einantis skaičius yra daugiašalėje analizėje, išvardijant visus galimus jo formavimo variantus; šio skaičiaus viduje atliekami visi įmanomi veiksmai, kartojama „visa matematika“, naudojamos visos priimtinos gramatinės skaičių santykio išraiškos formos. Žinoma, naudojant šią studijų sistemą, ryšium su vėlesnių skaičių aprėpimu, kartojami anksčiau tyrinėti pavyzdžiai, t.y. skaičių eilučių išplėtimas vykdomas nuolat kartojant anksčiau aptartas skaičių kombinacijas ir paprastų uždavinių atmainas.

2.3. BENDRAS SUDĖJIMO IR ATĖMIMO, DALYBOS IR DALYVIMO TYRIMAS.

Elementariosios matematikos metodikoje šių dviejų operacijų pratimai dažniausiai nagrinėjami atskirai. Tačiau labiau pageidautina vienu metu tirti dvigubą operaciją „sudėtis-skirstymas į terminus“. Tokį darbą galima sukonstruoti taip. Leiskite vaikams išspręsti papildymo užduotį: „Pridėkite 1 pagaliuką prie 3 pagaliukų ir gausite 4 pagaliukus“. Po to iškart užduodame klausimą: „Iš kokių skaičių sudaro skaičius 4? 4 pagaliukai susideda iš 3 pagaliukų (vaikas suskaičiuoja 3 pagaliukus) ir 1 pagaliuko (atskiria dar 1 pagaliuką). Pradinis pratimas gali būti skaičiaus skaidymas. Mokytojas užduoda klausimą: „Iš kokių skaičių sudaro skaičius 5 (skaičius 5 susideda iš 3 ir 2). Ir iškart užduodamas klausimas apie tuos pačius skaičius: „Kiek gausite, jei pridėsite 2 prie 3? Tam pačiam tikslui pravartu pratinti skaityti pavyzdžius dviem kryptimis: 5+2=7. Pridėkite du prie penkių ir gausite septynis. (skaitykite iš kairės į dešinę) 7 susideda iš 2 ir 5 terminų. Naudinga žodinį opoziciją palydėti tokiais pratimais klasės abake, kurie leidžia pamatyti konkretų atitinkamų operacijų turinį. Skaičiavimas ant abakus yra nepakeičiamas kaip priemonė vizualizuoti veiksmus su skaičiais, o skaičiaus reikšmė 10 ribose čia siejama su kaulų aibės ilgiu ant vieno laido (šį ilgį studentas suvokia vizualiai. Taigi, kai spręsdamas sudėjimo pavyzdį (5+2=7), mokinys, pirmiausia suskaičiuotas pagal tai, kad abake yra 5 akmenys, po to prie jų pridėjo 2 ir po to paskelbė sumą: „Pridėk 2 prie 5 – gausi 7“ ( gauto skaičiaus 7 pavadinimą nustato mokinys, perskaičiuodamas naują aibę: 1-2-3-4-5-6- 7).

Mokinys: Pridėkite 2 prie 5 ir gausite 7.

Mokytojas: Parodykite man, iš kokių terminų susideda skaičius 7?

Mokinys atskiria 2 kaulus į dešinę. Skaičius 7 yra 2 ir 5. Atliekant šiuos pratimus, patartina nuo pat pradžių vartoti sąvokas „pirmasis terminas“ (5), „antras terminas“ (2), „suma“ (7). Siūlomos šių tipų užduotys:

a) dviejų narių suma lygi 7, raskite juos;

c) iš kokių terminų susideda skaičius 7?

c) išskaidykite sumą 7 į 2 narius, 3 ir kt.

Norint įsisavinti tokią svarbią algebrinę sąvoką kaip komutacinis sudėjimo dėsnis, reikia atlikti įvairius pratimus, iš pradžių pagrįstus praktiniais manipuliacijomis su objektais.

Mokytojas: Paimkite 3 pagaliukus į kairę ranką ir 2 į dešinę. Kiek lazdelių yra iš viso?

Studentas: Iš viso yra 5 pagaliukai.

Mokytojas: Kaip aš galiu apie tai daugiau pasakyti?

Mokinys: Pridėkite 2 į 2 pagaliukus – bus 5 pagaliukai.

Mokytojas: Sudarykite šį pavyzdį naudodami iškirptus skaičius. (mokinys daro pavyzdį iš skaičių).

Mokytojas: Dabar pakeiskite lazdeles: iš kairės į dešinę ir iš dešinės į kairę. Kiek pagaliukų dabar yra abiejose rankose?

Studentas: Dviejose rankose buvo tik 5, o dabar vėl 5.

Mokytojas: Kodėl taip atsitiko?

Studentas: Nes niekur nepadėjome ir nepridėjome pagaliukų. Kiek buvo, tiek ir lieka.

Komutacinės teisės taip pat išmokstama atliekant skaičių skaidymo į terminus pratybas. Kada įvesti perkėlimo įstatymą? Pagrindinis papildymo mokymo tikslas, jau per pirmąjį dešimtuką, yra nuolat pabrėžti komutacinės dėsnio vaidmenį pratybose. Leiskite vaikams suskaičiuoti 6 pagaliukus, tada pridėkite prie jų 3 pagaliukus ir perskaičiavę (septyni-aštuoni-devyni) nustatykite sumą: 6 ir 3 bus 9. Iš karto siūlome naują pavyzdį: 3+6: gali būti nauja suma. nustatytas perskaičiavimo būdu, tačiau palaipsniui ir kryptingai turėtų būti formuojamas sprendimo būdas aukštesniame kode, t.y. logiškai, be perskaičiavimo. Jei 6 taip 3 yra 9 (atsakymas perskaičiuotas), tai 3 taip 6 (neperskaičiavus) yra 9.

Šį metodą L.G. Peterson pristato jau 13 pamokoje, kai vaikai sprendžia keturis posakius raidžių simboliais (T+K=F K+T=F F-T=K F-K=T), o vėliau – skaitine forma: 2+1=3 1+. 2=3 3-2=1 3-1+2.

Keturių pavyzdžių sudarymas yra priemonė plėsti vaikams prieinamas žinias. Matome, kad sudėjimo operacijos apibūdinimas neturėtų vykti sporadiškai, o tapti pagrindine logine priemone stiprinant teisingas skaitines asociacijas. Į pagrindinę papildymo savybę - terminų mobilumą - reikia nuolat atsižvelgti, kai atmintyje kaupiasi nauji lentelės rezultatai. Matome: sudėtingesnių skaičiavimo ar loginių operacijų, kuriomis atliekama pora „sudėtingų operacijų“, ryšį. Eksplicitinė sudėtingų sąvokų priešprieša pagrįsta paprastesnių sąvokų numanoma priešprieša.

Pradinį daugybos ir dalybos tyrimą patartina atlikti tokia seka, susidedančia iš trijų uždavinių ciklų (3 užduotys kiekviename cikle):

1 a), b) daugyba su pastoviu daugikliu ir dalyba iš turinio (kartu); c) padalijimas į lygias dalis.

2 a), b) skaičiaus mažinimas ir didinimas kelis kartus (kartu), c) daugkartinis palyginimas;

3 a), b) vienos skaičiaus dalies ir skaičiaus radimas pagal vienos jo dalies dydį (kartu) c) uždavinio „Kokia dalis yra vienas kito skaičius? Vienalaikis turinio daugybos ir dalybos tyrimas. 2-3 pamokose, skirtose daugybai, aiškinamasi daugybos, kaip sutrumpinto lygiaverčių terminų pridėjimo, sąvokos reikšmė. Paprastai mokiniams rodomas įrašas apie sudėties pakeitimą daugyba: 2+2+2+2=8 2*4=8 Čia pateikiamas ryšys tarp sudėties ir daugybos. Būtų tikslinga iš karto pasiūlyti pratimą, skirtą „daugybos-sudėties“ grįžtamajam ryšiui sukelti. Žvelgdamas į šį įrašą, mokinys turėtų suprasti, kad skaičius 2 turi būti kartojamas kaip priedas tiek kartų, kiek rodo pavyzdyje pateiktas daugiklis 2*4=8. Abiejų rūšių pratimų derinys yra viena iš svarbių sąlygų, užtikrinančių sąmoningą „daugybos“ sąvokos įsisavinimą. Labai svarbu kiekvienam iš atitinkamų daugybos atvejų parodyti atitinkamą padalijimo atvejį. Ateityje pravartu svarstyti daugybos ir dalybos klausimus kartu.

Įvedant padalijimo sąvoką, būtina prisiminti atitinkamus daugybos atvejus, kad remiantis jais būtų sukurta naujo veiksmo, atvirkštinio daugybai, samprata. Todėl sąvoka „daugyba“ įgauna turtingą turinį, ji yra ne tik vienodų terminų pridėjimo („sudėties apibendrinimas“) rezultatas, bet ir pagrindas, pradinis padalijimo momentas, kuris, savo ruožtu, reiškia „sutraukta atimtis“, pakeičianti nuosekliąją „atimtį 2“ Daugybos prasmė suvokiama ne tiek per patį dauginimą, kiek per nuolatinius perėjimus tarp daugybos ir dalybos, nes dalyba yra užmaskuotas, „pakeistas“ dauginimas. Visos praktinės veiklos palaikomos loginės operacijos turi būti gerai apgalvotos. Darbo rezultatas bus daugybos ir padalijimo lentelės:

Pagal 2*2=4 4:iš 2=2

2*3=6 6: 2=3 kiekvienas

2*4=8 8: 2=4 kiekvienas ir t.t.

Daugybos lentelė sudaroma naudojant pastovų koeficientą 1, o padalijimo lentelė sudaroma naudojant pastovų daliklį. Su dalybos į lygias dalis studija įvedama po daugybos ir dalybos iš 2 tyrimo. Pateikiama užduotis: „Keturi mokiniai atsinešė 2 sąsiuvinius. Kiek sąsiuvinių atsinešei?" Atlikdami praktinę veiklą renkame sąsiuvinius (imkite po 2 sąsiuvinius 4 kartus). Sukurkime atvirkštinę problemą: „Išdalinti 8 sąsiuviniai, kiekvienam mokiniui išdalinti 2 sąsiuviniai“. Rezultatas yra 4. Įrašas rodomas 2t.*4=8t., 8t.: 2t.=4t. Iš pradžių pravartu smulkiai užsirašyti vardus. Dabar sudarome 3-ią užduotį: „4 mokiniams po lygiai turi būti išdalinti 8 sąsiuviniai. Kiek sąsiuvinių gaus kiekvienas žmogus? Iš pradžių padalijimas į lygias dalis taip pat turėtų būti parodytas ant objektų. Todėl sąvoka „daugyba“ įgauna turtingą turinį: ji yra ne tik vienodų terminų pridėjimo („sudėties apibendrinimas“) rezultatas, bet ir pagrindas, pradinis padalijimo momentas, kuris savo ruožtu reiškia sutrumpintą. atimti, pakeičiant nuoseklųjį „atimtį iš 2“. Šiuo atveju labai sėkmingai buvo sukonstruotas L.G. Petersono ir N.B. į mokymą taikant veiklos metodą diegiama nauja sąvoka, t.y. vaikai patys „atranda“ jos turinį, o mokytojas vadovauja jų tiriamajai veiklai ir supažindina su visuotinai priimta terminija ir simboliais. Pirmiausia vaikai pakartoja daugybos reikšmę ir iš paveikslėlio sudaro sandaugą 2*4=8. Mokytis dalybos veiksmų skatina kasdienė praktinė vaikų veikla. Mokytojas klausia, ar gyvenime yra tekę ką nors padalinti po lygiai, ir siūlo užduotį: „Reikia keturiems žmonėms po lygiai padalinti 36 saldainius. Kiek turėčiau duoti kiekvienam? sunkumai, kylantys atsakant į problemos klausimą, skatina tyrinėti dalykinius modelius. Kiekvienas žmogus ant savo stalų turi paruoštus 36 daiktus (mygtukus, figūrėles, žetonus ir kt.). Jie išdėliojami į 4 vienodo dydžio krūvas ir kt. Mokytojas parodo įrašą _ - padalinkite į lygias dalis - tai reiškia, kad kiekvienoje dalyje reikia rasti objektų skaičių. Atlikdami pratimų seriją, vaikai daro išvadą, kad dalybos operacija yra atvirkštinė daugybos operacija. Riešutus dalijant iš 4 gauname skaičių 2, kurį padauginus iš 4 gauname 8. 8:4=2 2*4=8. Apie ženklą vaikams galima pasakyti, kad jis matematikoje naudojamas sakiniams, kurie išreiškia tą patį dalyką, žymėti (lygiavertis sakinys). Atlikdami konsolidavimo pratimus vaikai piešia piešinius, braižo atramos schemas.

Pamokos pabaigoje padaroma išvada ir garsiai ištariama ir išplečiama iki bendro padalijimo atvejo - norint padalyti skaičių a iš skaičiaus b, reikia pasirinkti skaičių c, kurį padauginus iš b, suteikia:

A:B=C C*B=A ir sudaromas pagalbinis kontūras. Svarbu perteikti vaikams, kad matematinės išraiškos ir formulės leidžia nustatyti bendrus modelius ir nustatyti iš pirmo žvilgsnio visiškai skirtingų reiškinių analogiją. Šio fakto suvokimas padės mokiniams toliau suprasti matematinių apibendrinimų tinkamumą, matematikos vaidmenį ir vietą mokslų sistemoje.

3 SKYRIUS. ALGEBRINĖS MEDŽIAGOS TYRIMO DARBAS MATEMATIKOS PAMOKOS 72 vidurinės mokyklos PRADINĖSE KLASĖSE IŠGILINANT ATSKIRŲ DALYKŲ TYRIMUS.

3.1. INOVATYVIŲ TECHNOLOGIJŲ (UDE TECHNOLOGIJŲ) NAUDOJIMO PAGRINDAS.

Savo darbe sėkmingai naudoju didaktinių vienetų didinimo technologiją (UDE), kurią sukūrė P.T.Erdnievas. Mokslinę „didaktinio vieneto“ koncepciją autorius iškėlė daugiau nei prieš 30 metų. Jo sukurta didaktinių vienetų konsolidavimo pradinėje mokykloje sistema suteikia moksleiviams kūrybinės edukacinės informacijos kūrimo algoritmą. Ši technologija yra aktuali ir perspektyvi, nes turi tolimų veiksmų galią, ugdo vaikui intelekto bruožus, prisideda prie aktyvios asmenybės formavimosi.

P.M. Erdnijevas nurodo keturis pagrindinius didaktinių vienetų padidinimo būdus:

1) bendras ir vienalaikis tarpusavyje susijusių veiksmų ir operacijų tyrimas;

2) deformuotų pratimų naudojimas;

3) plačiai paplitęs atvirkštinės problemos metodas;

4)kūrybinių užduočių proporcijos didinimas.

Kiekvienas iš metodų prisideda prie mąstymo atsargų aktualizavimo. Pirmasis būdas – kartu tirti tarpusavyje susijusius veiksmus, operacijas – sudėtį – atimtį, daugybą – padalijimą. Pirmoje klasėje, studijuodami pirmąjį dešimtuką, vaikai susipažįsta su formos pavyzdžiais: 3+4=7 taikant didaktinių vienetų didinimo technologiją, supažindinu su komutacinės sudėties savybe: 4+3=7 atsakymas yra tas pats, įrašas yra tokia forma: 3+4= 7

Vaikams siūlau atimties pavyzdžius, o užrašas atrodo taip: 7 -3=4

4=3. Žinios apibendrinamos ir sujungiamos, o įrašai sujungiami. Panašiai galite sukurti daugybos ir dalybos darbą. Pavyzdžiui: 8+8+8+8+8=40 8*5=40 5*8=40 40:5=8 40:8=5

Vaikai mokosi atskirti priešingas sąvokas ir operacijas, tuo pat metu studijuodami susijusius veiksmus. „Nerviniai įpročiai“, anot K. D. Ušinskio, yra fiksuojami žmoguje ne atskirai, o poromis, eilėmis, eilėmis, grupėmis. Toks medžiagos pristatymas sudaro sąlygas ugdyti vaikų savarankiškumą ir iniciatyvumą.

Antrasis didaktinių vienetų didinimo būdas – deformuotų pratimų metodas, kai reikalingas ne vienas elementas, o keli elementai. Pavyzdžiui, pirmoje klasėje galite pasiūlyti užduotį, kurioje reikia nustatyti veiksmo ženklą ir nežinomą komponentą: 8 = 2. Tokiais pavyzdžiais mokinys, remdamasis palyginimu, pirmiausia pasirenka veiksmo ženklą ir tada suranda trūkstamą komponentą. Spręsdamas tokį pavyzdį, vaikas motyvuoja taip: 8 2, o tai reiškia, kad minuso ženklas 8 susideda iš 2 ir 6, o tai reiškia, kad pavyzdys yra 8-6 = 2. Taip suaktyvinamas dėmesys ir ugdomas mokinių mąstymas, pagrįstas loginių grandinių sprendimu.

Trečiasis didaktinių vienetų padidinimo būdas – išspręsti tiesioginę problemą ir paversti ją atvirkštine ir panašia. Pradinėje mokykloje uždavinių sprendimas turi esminę reikšmę mokinių mąstymo ugdymui: spręsdami vaikai susipažįsta su kiekių priklausomybe, su įvairiais gyvenimo aspektais, išmoksta mąstyti, samprotauti, lyginti. Mokant spręsti problemas, būtina mokyti vaikus kurti atvirkštines problemas. Kiekvienas metodas remiasi didžiuoju gyvosios gamtos informacijos dėsniu – grįžtamojo ryšio dėsniu. Dirbant su užduotimis, naudinga naudoti, kai užduočių serijoje sekanti nuo ankstesnės skiriasi tik vienu elementu. Tokiu atveju lengviau pereiti nuo vienos problemos prie kitos, o informacija, gauta sprendžiant ankstesnę problemą, padeda rasti tolesnių problemų sprendimus. Ši technika ypač naudinga silpniems ir lėtiems vaikams. Pavyzdžiui, uždavinys rasti sumą, sukurkime atvirkštines jos problemas. „Tėvas davė Mašai 11 obuolių, o mama dar 5 obuolius. Kiek obuolių iš viso davė Mašos tėvai?

Atliekame klausimų analizę: „Kas yra žinoma problema? Ką reikia žinoti? Trumpai užrašykite užduotį. Kaip sužinoti, kiek obuolių Mašos tėvai davė? (12+5=17)
Atvirkštinės problemos sudarymas, kur nežinomasis yra tėvo duotas obuolių skaičius. „Tėvas davė kelis obuolius, o mama dar 5 obuolius. Iš viso dabar Maša turi 17 obuolių. Kiek obuolių davė Mašos tėvas?
Galite sukurti kitą atvirkštinę problemą, kur nežinomas bus obuolių skaičius, kurį Maša davė jos mama. „Tėvas davė Mašai 12 obuolių, o mama pridėjo dar keletą obuolių. Iš viso dabar Maša turi 17 obuolių. Kiek obuolių davė Mašos mama? (17-12=5). Sąsiuviniuose trumpai užsirašome visas 3 užduotis. Tarpusavyje susijusios užduotys susilieja į susijusių užduočių grupę kaip didelis asimiliacijos vienetas ir sudaro tris užduotis. Taigi pagrindinė didaktinių vienetų didinimo sistemos technologinė naujovė yra užduočių, kurioms studentas praktikuojasi savarankiškai kurdamas atvirkštines problemas, remdamasis tiesioginės problemos sąlygų analize, nustatant loginę grandinę, buvimas.

Ketvirtasis konsolidavimo būdas – kūrybinių užduočių dalies didinimas. Pavyzdžiui, užduotis pateikiama su „langu“: +7-50=20. Vaikai atsakymo ieško naudodami atrankos metodą, bet jūs galite išspręsti šią užduotį samprotuodami pagal rodyklę, naudodami atvirkštinį veiksmą: 20+59-7=63. Reikalingas skaičius – 63. Kūrybinės užduotys turi būti kiekvienoje pamokoje. Tokių pratimų pagalba vaikas pripranta prie savarankiško minties tęsimo, prie sprendimo pertvarkos, o tai ateityje turi lemiamos reikšmės formuojant aktyvų, kūrybingą žmogaus protą, tokį vertingą savo pasireiškimu. bet kurioje darbo srityje.

3.2 APIE ALGEBRINIŲ SĄVOKŲ PATIRTĮ.

Jau 1 klasėje mokau vaikus savarankiškai nustatyti ženklus, pagal kuriuos jie gali palyginti tam tikrus objektus. Mokytojas parodo vaikams 2 skirtingų spalvų svarelius. „Pagal kokius kriterijus jie gali būti lyginami? Vaikai atsako: „Galima lyginti pagal svorį, ūgį, dugną“. Ką galime pasakyti – jie nevienodi (svoriu, ūgiu). Kaip tai tiksliau išreikšti – juodas svoris sunkesnis, didesnis, storesnis? Ką reiškia sunkesnis? - Sunkesnis, daugiau svorio. Panašus darbas su pagrindiniais klausimais atliekamas atsižvelgiant į kitas charakteristikas. Kartu su mokytoju nustatome, kad „sunkesnis“ reiškia didesnį svorį, „ilgesnis“ – ilgesnį (ūgį, ūgį) ir pan. Šio darbo išvada buvo išsiaiškinti, kad jei galite rasti ženklą, pagal kurį objektai yra lyginami, tada jie bus lygūs arba nelygūs. Tai galima parašyti specialiais ženklais „=“ ir „=“. L.G.Petersonas labai sėkmingai lygina šias sąvokas, ir tik tada išsiaiškinami ženklai – mažiau ar daugiau. Vaikai labai noriai sprendžia šias nelygybes. Taip pat atliekame atvirkštines užduotis – skirtingi objektai parenkami naudojant ženklus „mažiau nei“ arba „daugiau nei“. Tokiu atveju iš karto iškyla unikali užduotis - apibrėžiant sąvokas „iš kairės į dešinę“ - 5 yra mažiau nei 10. Be to, sėkmingai galima rašyti ne tik skaičiais, bet ir skirtingomis figūromis bei linijomis. Šiuo laikotarpiu šiuo pagrindu įvedama įrašymo raidinė forma. Dirbant su įvairiomis užduotimis, būtina duoti vaikams supratimą, kad pačios raidės neužrašo palyginimo rezultato, jas jungiančio ženklo. Ir apie šį rezultatą kalba tik visa formulė – 2 ar daugiau objektų svorio, ilgio palyginimas.

Darbas šia tema yra nepaprastai svarbus plėtojant visą pradinį matematikos skyrių, nes jis iš esmės yra susijęs su santykių sistemos, identifikuojančios kiekius kaip tolesnių transformacijų pagrindu, sukūrimu vaiko veikloje. Pažodinės formulės, pakeičiančios daugybę preliminaraus įrašymo metodų, pirmą kartą šiuos santykius paverčia abstrakcija, nes pačios raidės žymi bet kokias konkrečias bet kokių konkrečių dydžių reikšmes, o visa formulė yra bet koks galimas lygybės ar nelygybės santykis. šias vertybes. Dabar, pasikliaudami formulėmis, galite ištirti savo pasirinktų santykių savybes, paversdami juos specialiu analizės objektu.

MATEMATIKOS MOKYMO REZULTATŲ DIAGNOSTIKA.

Diagnostikos reikšmė didelė, nes jos pagalba nustatoma, ar vaiko pasiekimai atitinka privalomus mokymosi rezultatams keliamus reikalavimus. Išanalizavę rezultatus galime padaryti išvadas, kokie pokyčiai vyksta su vaiku mokymosi procese, kodėl nebuvo galima mokyti, į ką nebuvo atsižvelgta, kaip koreguoti mokymosi procesą, kokios pagalbos reikia mokiniui. . Testai gali būti naudojami kaip diagnostikos priemonė. Kiekvienai turinio eilutei, vadovaujantis privalomu minimaliu pradinio ugdymo turiniu, sudaromos testų užduotys, tokie testai taip pat plačiai pristatomi jau parengtuose spausdintiniuose leidiniuose. Jie padeda nustatyti mokymosi spragas. Mano klasėje, tiriant algebros elementus, buvo nustatytos šios problemos:

Kai kurie studentai susiduria su tam tikrais sunkumais spręsdami raidžių išraiškas (rasti raidės išraiškos skaitinę reikšmę, atsižvelgiant į pateiktas į jį įtrauktų raidžių reikšmes);

Sprendžiant lygtis, daromos klaidos naudojant nežinomų komponentų radimo taisykles (priklausomybė tarp sudėties, atimties, daugybos ir dalybos komponentų);

Kai kurie vaikai tikrindami lygties šaknis neskaičiuoja kairės lygties pusės, o automatiškai deda lygybės ženklą;

Esant sudėtingesnei X+10=30-7 arba X+(45-17)=40 formos lygčių struktūrai, transformuojant ir supaprastinant lygtį dalis vaikų praranda kintamąjį, užsiima aritmetiniais skaičiavimais.

Gavęs testo duomenis ir išanalizavęs rezultatus, susidarau sau darbo planą spragoms ir trūkumams ištaisyti.

Testo pavyzdys mokinių žinioms patikrinti.

Pridėkite prie 10 9, 5, 8, 4, 7, 0.
Kortelėje užrašykite numerį: 8+5 17-9

8+2+ 17-7-

Atspėk, koks skaičius turi būti užrašytas ant kortelės:

3, 6, 9, 12, * A(13), B(15), C(18), G(kitas skaičius)

Kortelėje užrašykite skaičių, kad lygybė būtų teisinga:

9=17-* A(6), B(15), C(4), G (kitas skaičius)

. 8+7=19-* A(3), B(15), C(4), G(kitas skaičius).

6 Nurodykite teisingas lygybes:

A) 12+1=11 B)14-5=9 C)17+3=20 D)20-1=9 E)18+2=20 F)8-5=13 H)6+9=15

7. Išdėstykite reiškinius mažėjančia jų reikšmių tvarka: A)7-5 B)7+6 C)3+7

8. Kokie skaičiai gali pakeisti *?

1) 12 1* A(0, 1, 2) B(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) C(0, 1)

9. Kur yra teisinga veiksmų tvarka? A) 12-3+7 B) 19-9-5+3

10.Užrašykite skaitines išraiškas ir raskite reikšmes: iš skaičiaus 12 atimkite skaičių 3 ir 5 sumą

A) (3+5)-12 B) 12-3+5 C) 12-(3+5) D) kitas atsakymas:

Šis testas parodo, kuris iš vaikų nėra aiškiai įsisavinęs antrojo dešimties skaičių numeravimo. Tai vaikai, surinkę mažiau nei 18 balų. Su jais reikia atlikti korekcinį darbą, kuris apima visus įmanomus įgytų žinių panaudojimo atvejus, kai vaikai gana gerai orientuojasi panašius pratimus. Sudaromas darbo su šių vaikų tėvais planas ir konsultuojama tiems tėvams, kuriems to reikia. Atliekant baigiamąją diagnostiką patikrinamos visos 1 klasės studijų kurso žinios. Atlieku su jais kitą darbą, kad patikrinčiau jų meistriškumą sudėti ir atimti skaičius per 20, o po to 100. Vaikai turėtų mokėti atlikti veiksmus naudodami išmoktus metodus: rasti nežinomą sudėties ir atimties komponentą, palyginti skaičius ir skaitinius. išraiškas, mokėti rasti atvirkštinį veiksmą . Kalbant apie kitų autorių programas, galima pastebėti, kad ankstyvas algebrinės medžiagos įvedimas yra gana priimtinas visiems vaikams. Dirbdamas pagal skirtingas programas ir studijuodamas skirtingų matematikos autorių mokymo metodus, naudoju visus man reikalingus elementus iš bet kurio vadovėlio, kad pamoka būtų efektyvesnė ir produktyvesnė. Į kiekvieną matematikos pamoką įtraukiami įdomūs pratimai, lavinantys mąstymą, logiką, mokantys mąstyti, sugalvoti, derinti. Mano vaikų mėgstamiausias dalykas yra matematika. Spausdintų sąsiuvinių ir atrankos testų naudojimas padeda nustatyti žinių spragas.

Studijuojant visas matematikos turinio sritis, nuolat stebimi mokymosi rezultatai, atliekama mokymo diagnostika. Vaikai nuolat atlieka tarpinius ir testus, todėl lengva stebėti mokinių pažangą.

Pradinėje mokykloje be pažymių (1-2 kl.) algebrinės medžiagos žinių ugdymui naudoju šiuos lygius ir kriterijus: aukštas lygis (20-25 balai) - šiame lygyje vaikas sąmoningai įvaldo išstudijuota medžiaga, įsisavintos temos sąvokos, gali savarankiškai dirbti su tema, užduotis atlieka be klaidų;

vidutinis lygis (14-9 balai) - tema įsisavinta, gali atsakyti į netiesioginius klausimus, teisingai atsakyti į temą vedamų klausimų pagalba, padaro 1-2 klaidas, jas suranda ir taiso savarankiškai;

žemas lygis (mažiau nei 14 balų) - daugumoje užduočių daro klaidų, ne visada teisingai atsako į tiesioginį mokytojo klausimą, būtini korekciniai pratimai ir papildomas individualus darbas.

Taip pat, atlikdamas diagnostinį darbą, atlieku testo rezultatų analizę po elementą: klaidas ir jų atsiradimo priežastis. Sprendžiant lygtis (ieškant skaičiaus, kurio pakeitimas lygtį paverčia teisinga skaitine lygybe), galimos ir atsiranda šios klaidos:

Renkantis aritmetinį veiksmą ieškant nežinomo komponento (tokios klaidos priežastis – nesugebėjimas nustatyti komponentų ryšio arba šios medžiagos nežinojimas);

Skaičiavimo klaidos (sudėties, atimties, daugybos ir dalybos algoritmų naudojimo priežastys; detali analizė kažkuriame algoritmo etape nebuvo atlikta).

Sprendžiant pažodines išraiškas su nurodytomis į jį įtrauktų raidžių reikšmėmis, daromos šios klaidos:

Naudojant algoritmus (specifinius skaičiavimo metodus);

Konkrečiai pasirinkus tam tikrą raidės reikšmę (neatsargumas, neatlikta tam tikros raidės atitikimo tam tikram skaičiui analizė).

Lygindami skaičius ir skaitines išraiškas jie daro klaidų:

Formuluojant daugiau ir mažiau ženklų (priežastis – konkrečių sąvokų nežinojimas, neanalizuota skaičių bitinė ir klasinė kompozicija, natūraliųjų skaičių numeracijos, skaičių vietos reikšmės nežinojimas);

Aritmetiniuose skaičiavimuose.

Surandant sudėtinės skaitinės išraiškos reikšmę, daromos klaidos:

Veiksmų tvarka,

Neteisingai užfiksuoti veiksmo komponentai (klaidų priežastis – nepavyko nustatyti pirminės išraiškos struktūros ir atitinkamai pritaikyti reikiamą taisyklę, nežinojo veiksmų atlikimo algoritmo). Atidžiai analizuodamas žinių, gebėjimų, įgūdžių stebėsenos rezultatus, mokytojas nustato veiklos spragas ir klaidas, todėl galima teisingai planuoti tolesnį darbą siekiant pašalinti mokymo trūkumus.

Žemiau pateikiami sekcijų ir atliktų patikrų testų ir diagnostikos pavyzdžiai.

Bandymo numeris

Išugdyti įgūdžiai ir gebėjimai

10-11

Rezultatas yra 20 100 ribose.

Sudėjimo ir atimties lentelė.

Skaitinės išraiškos reikšmės radimas 2-4 žingsniais.

Skaitykite, rašykite, palyginkite per 100.

Sudėjimo ir atimties operacijų pavadinimas ir žymėjimas.

Problemų sprendimas 1-2 žingsniais.

Gebėjimas lyginti ir klasifikuoti.

Erdvinės reprezentacijos.

Kiekių išmanymas.

Pagrindinių įgūdžių formavimo ir matematinio tobulėjimo lygis.

Galutinės diagnostikos rezultatai 1 klasei

10-11

lygiu

Antonovas A.

Batraeva D.

Bašlovkinas D.

Belova V.

Bobileva E.

Gabrielianas G.

Gasnikova M.

Goroško A.

Guzaeva E.

Dvugroševa M.

Kondratjevas D.

Konstantinovas I.

Kopylovas V.

Michailova V.

Michailova I.

Morozova A.

Podgornas I.

Razinas N.

Romanovas D.

Sinitsyna K.

Suleymanovas R.

Sulioznovas A.

Teplyakova Yu.

Frolovas D.

Širshaeva K.

Trumpas

Vidutinis

Aukštas

Vidutinis

Aukštas

Trumpas

Aukštas

Vidutinis

Aukštas

Trumpas

Vidutinis

Aukštas

Vidutinis

vidutinis

Atminties išsivystymo lygio patikrinimas

klausos

vizualinis

variklis

Vizualinis-garsinis

Antonovas A.

Batraeva D.

Bašlovkinas D.

Belova V.

Bobileva E.

Gabrielianas G.

Gasnikova M.

Goroško A.

Guzaeva E.

Dvugroševa M.

Kondratjevas D.

Konstantinovas I.

Kopylovas V.

Michailova V.

Michailova I.

Morozova A.

Podgornas I.

Razinas N.

Romanovas D.

Sinitsyna K.

Suleymanovas R.

Sulioznovas A.

Teplyakova Yu.

Frolovas D.

Širshaeva K.

0,4 vidurkio

0,2 žemas

0,6 vidurkio

0,8 vidurkis

1 aukštas

0,7 vidurkio

1 aukštas

0,5 žemas

1 aukštas

0,9 vidurkis

1 aukštas

0,4 žemas

0,7 vidurkio

1 aukštas

0,7 vidurkio

1 aukštas

0,7 vidurkio

0,6 vidurkio

0,4 žemas

0,3 žemas

0,8 vidurkio

0,9 vidurkis

1 aukštas

0,6 vidurkio

1 aukštas

0,4 žemas

1 aukštas

0,4 žemas

0,9 vidurkis

1 aukštas

0,8 vidurkis

0,9 vidurkis

0,8 vidurkis

0,8 vidurkio

0,4 žemas

1 aukštas

0,9 vidurkis

1 aukštas

0,8 vidurkis

1 aukštas

0,5 žemas

0,8 vidurkis

0,7 vidurkio

1 aukštas

0,9 vidurkis

0,8 vidurkis

1 aukštas

0,8 vidurkis

0,5 žemas

0,7 vidurkio

0,4 žemas

0,9 vidurkis

aukštas

0,8 vidurkio

0,9 vidurkis

aukštas

aukštas

0,5 žemas

aukštas

aukštas

aukštas

aukštas

aukštas

aukštas

0,4 žemas

0,9 vidurkis

aukštas

aukštas

0,8 vidurkio

0,9 vidurkis

0,8 vidurkio

0,5 vidurkio

С=а:N С – atminties koeficientas, esant С=1 – optimalus variantas – aukštas lygis

C=0,7 +/-0,2 - vidutinis lygis, C - mažesnis nei 0,5 - žemas išsivystymo lygis

IŠVADA

Šiuo metu susidarė gana palankios sąlygos radikaliai tobulinti matematikos ugdymo organizavimą pradinėje mokykloje:

pradinė mokykla iš trimetės pertvarkyta į keturmetę;
matematikos studijoms pirmuosius ketverius metus skiriamos valandos, t.y. 40% viso laiko, skirto šiam dalykui vidurinėje mokykloje?
Kasmet pradinių klasių mokytojais dirba vis daugiau aukštąjį išsilavinimą turinčių asmenų;
Išaugo galimybės geriau aprūpinti mokytojus ir moksleivius edukacinėmis ir vaizdinėmis priemonėmis, dauguma jų gaminamos spalvotos.

Nereikia įrodinėti lemiamo pradinio matematikos mokymo vaidmens ugdant mokinio intelektą apskritai. Įvairių asociacijų turtas, kurį studentas įgyja per pirmuosius ketverius studijų metus, jei tai daroma teisingai, tampa pagrindine tolesnių metų savarankiško žinių plėtimosi sąlyga. Jei ši pradinių idėjų ir sąvokų, minčių, pagrindinių loginių technikų atsarga yra neišsami, nelanksti ir nuskurdinta, tada, pereidami į vidurinę mokyklą, moksleiviai nuolat patirs sunkumų, nepaisant to, kas juos mokys toliau ar kokius vadovėlius mokysis. iš.

Kaip žinia, mūsų ir kitose šalyse pradinės mokyklos veikia jau daugelį šimtmečių, todėl pradinio ugdymo teorija ir praktika yra daug turtingesnė tradicijomis nei ugdymas aukštosiose mokyklose.

Brangių metodinių atradimų ir apibendrinimų apie pradinį matematikos mokymą padarė L.N.Tolstojus, V.A.Latyševas ir kiti metodininkai. Reikšmingi rezultatai pastaraisiais dešimtmečiais buvo gauti taikant elementariosios matematikos metodus L. V. Zankovo, A. S. Pchelko, taip pat didaktinių vienetų konsolidavimo tyrimuose.

Pagrįstai įvertinus turimus mokslo rezultatus, gautus per pastaruosius 20 metų pradinio ugdymo metodais įvairiose kūrybinėse komandose, dabar yra visos galimybės pasiekti „mokymosi su aistra“ pradinėje mokykloje. Visų pirma, pagrindinių algebrinių sąvokų supažindinimas su mokiniais neabejotinai turės teigiamos įtakos mokiniams įgyti atitinkamų žinių vidurinėje mokykloje.

BIBLIOGRAFINIS SĄRAŠAS

Aktualios problemos mokant matematikos pradinėje mokykloje./Red. M.I.Moro, A.M.Pyskalo. -M.: Pedagogika, 1977 m.
I.I. Arginskaja, E.A. Matematika: Vadovėlis keturmetės pradinės mokyklos 1,2,3,4 klasėms - Samara: leidykla. namas „Fedorov“, 2000 m.
M.A.Bantova, G.V.Beltjukova. Matematikos mokymo metodai pradinėse klasėse - M.: Pedagogika, 1984 m.
P.M. Erdnijevas. Integruotos žinios kaip džiugaus mokymosi sąlyga./ Pradinė mokykla - 1999 Nr. 11, p. 4-11.
V. V. Davydovas. Psichikos raida pradinio mokyklinio amžiaus./ Red. A.V. Petrovskis - M.: Pedagogika, 1973 m.
A.Z.Zak. Jaunesnių moksleivių protinių gebėjimų ugdymas.
I. M. Doronina. UDE metodikos naudojimas matematikos pamokose. //Pradinė mokykla.-2000, Nr.11, p.29-30.
N.B. Istomina. Matematikos mokymo metodai pradinėje mokykloje - M.: Leidybos centras „Akademija“, 1998 m.
M.I. Vološkina. Jaunesniųjų klasių mokinių pažintinės veiklos aktyvinimas matematikos pamokose.//Pradinė mokykla-1992 Nr.10.
V.F.Koganas. Apie matematinių sąvokų savybes. -M. : Mokslas, 1984.
G.A.Pentegova. Loginio mąstymo ugdymas matematikos pamokose. //Pradinė mokykla.-2000.-Nr.
A.N. Kolmogorovas. Apie matematiko profesiją. M.-Pedagogika. 1962 m.
M.I.Moro, A.M.Pyskalo. Matematikos mokymo metodai pradinėje mokykloje - M. Pedagogika, 1980 m.
L.G. Petersonas. Matematikos 1-4 klasės - Metodinės rekomendacijos mokytojams - M.: „Ballas“, 2005 m.
Ugdymo proceso rezultatų diagnostika 4-metėje pradinėje mokykloje: Ugdomasis ir metodinis vadovas / Red. Kalinina N.V. / Uljanovskas: UIPKPRO, 2002 m.
Savarankiškas ir bandomasis darbas pradinei mokyklai (-4). M. - „Ballas“, 2005 m.
J. Piaget. Pasirinkti psichologiniai kūriniai. SP-b.: Leidykla "Petras", 1999 m.
A.V. Sergeenko. Matematikos dėstymas užsienyje - M.: Akademija, 1998 m.
Stoilova L.P. Matematika. M. – Akademija, 2000 m.
W.W. Sawyer Prelude to Mathematics, M.-Prosveshchenie.1982.
Testai: 1, 2, 3, 4 klasės: edukacinis ir metodinis vadovas / L. M. Khokhlova, M. N. Bystrova ir kt., M .: Bustard, 2004.

Mus supa objektai. Nuo pirmųjų vaiko dienų mokykloje mes tyrinėjame mus supantį pasaulį, taip pat ir matematikos pamokose.

Vadovėlis 1 klasė. 1 dalis. Ką mes matome? Mes tiriame objektus. Kokia yra objekto sąvoka? (tai yra esminių objekto savybių rinkinys)

Pradinėse klasėse daugelis matematinių sąvokų pirmiausia išmokstamos paviršutiniškai ir neaiškiai. Pirmosios pažinties metu moksleiviai sužino tik kai kurias sąvokų savybes ir turi labai siaurą supratimą apie jų apimtį. Ir tai yra natūralu. Ne visas sąvokas lengva suvokti. Tačiau neabejotina, kad mokytojo supratimas ir savalaikis tam tikrų matematinių sąvokų apibrėžimų naudojimas yra viena iš sąlygų, kad mokiniai galėtų įgyti tvirtų žinių apie šias sąvokas.

Įsisavindami mokslo žinias, pradinių klasių mokiniai susiduria su įvairių tipų sąvokomis. Mokinio nesugebėjimas atskirti sąvokų lemia jų neadekvačią asimiliaciją.

Koncepcija- tai yra sprendimų, minčių rinkinys, kuriame kažkas teigiama apie skiriamuosius tiriamo objekto bruožus. Ką turime omenyje sakydami sąvokos apimtį? (objektų rinkinys, žymimas tuo pačiu terminu)

Taigi, „Rusijos mokyklos“ mokymo programa grindžiama tuo, kad pagrindinės matematikos pradinio kurso sąvokos yra „skaičių“ ir „kietybių“ sąvokos, lygiagrečiai nagrinėjama algebrinė ir geometrinė medžiaga, o tekstiniai uždaviniai. išspręsta.

Pradinėje mokykloje pradedame duoti pirmuosius sąvokų apibrėžimus: linijos atkarpa, kvadratas, spindulys ir kt. Koks yra sąvokos apibrėžimas? (loginė operacija, atskleidžianti sąvokos turinį)

Pagal apimtį matematinės sąvokos skirstomos į individualiąsias ir bendrąsias. Jei sąvokos apimtis apima tik vieną objektą, ji vadinama vienaskaita.

Pavienių sąvokų pavyzdžiai: „mažiausias dviženklis skaičius“, „skaičius 5“, „kvadratas, kurio kraštinės ilgis 10 cm“, „apskritimas, kurio spindulys 5 cm“.

Bendroji sąvoka atspindi tam tikro objektų rinkinio savybes. Tokių sąvokų tūris visada bus didesnis nei vieno elemento tūris.

Bendrųjų sąvokų pavyzdžiai: „dviženklių skaičių aibė“, „trikampiai“, „lygtys“, „nelygybės“, „skaičių kartotiniai 5“, „matematikos vadovėliai pradinei mokyklai“.

Mokant pradinukus dažniausiai kontekstiniai ir ostenziniai sąvokų apibrėžimai.

Bet kuri teksto ištrauka, kad ir koks būtų kontekstas, kurioje atsiranda mus dominanti sąvoka, tam tikra prasme yra jos numanomas apibrėžimas. Kontekstas sujungia sąvoką su kitomis sąvokomis ir taip atskleidžia jos turinį.

Pavyzdžiui, dirbdami su vaikais, vartokite tokius posakius kaip „rasti posakio reikšmę“, „palyginkite posakių 5 + a ir (a - 3) × 2 reikšmę, jei a = 7“, „skaitykite posakius, kurie yra sumos“, „skaitykite išraiškas ir tada skaitykite lygtis“, mes išplečiame „matematinės išraiškos“ sąvoką kaip įrašą, kurį sudaro skaičiai arba kintamieji ir veiksmo ženklai.

Beveik visi apibrėžimai, su kuriais susiduriame kasdieniame gyvenime, yra kontekstiniai apibrėžimai. Išgirdę nežinomą žodį, pagal viską, kas buvo pasakyta, bandome nustatyti jo reikšmę patys.

Panašiai atsitinka ir mokant jaunesnius mokinius. Daugelis matematikos sąvokų pradinėje mokykloje apibrėžiamos per kontekstą. Tai, pavyzdžiui, tokios sąvokos kaip „didelis - mažas“, „bet koks“, „bet koks“, „vienas“, „daug“, „skaičius“, „aritmetinis veiksmas“, „lygtis“, „užduotis“ ir kt. .d.

Kontekstinės apibrėžimai iš esmės lieka neišsamūs ir neišsamūs. Jie naudojami dėl jaunesnių moksleivių nepasirengimo įsisavinti visą, o ypač mokslinį, apibrėžimą.

Ostenziniai apibrėžimai yra apibrėžimai demonstruojant. Jie primena įprastus kontekstinius apibrėžimus, tačiau kontekstas čia yra ne kokio nors teksto ištrauka, o situacija, kurioje atsiduria sąvokos paskirtas objektas.

Pavyzdžiui, mokytojas parodo kvadratą (piešinį ar popierinį modelį) ir sako: „Žiūrėk, tai kvadratas“. Tai tipiškas ostenzinis apibrėžimas.

Pradinėje mokykloje ostenziniai apibrėžimai vartojami svarstant tokias sąvokas kaip „raudona (balta, juoda ir kt.) spalva“, „kairė - dešinė“, „iš kairės į dešinę“, „skaičius“, „priešesnis ir sekantis skaičius“, „ ženklai“ aritmetiniai veiksmai“, „lyginamieji ženklai“, „trikampis“, „keturkampis“, „kubas“ ir kt.

Remiantis ostenzine žodžių reikšmių asimiliacija, į vaiko žodyną galima įvesti naujų žodžių ir frazių žodinę reikšmę. Ostensyvūs apibrėžimai – ir tik jie – jungia žodžius su daiktais.

Atminkite, kad pradinėse klasėse priimtini apibrėžimai, pvz., „Vartosime žodį „pentagonas“, kad reikštume daugiakampį su penkiomis kraštinėmis. Tai yra vadinamasis „nominalus apibrėžimas“.

Kokią struktūrą turi koncepcija? (apibrėžta sąvoka = bendrinis + specifinis) Pateikite pavyzdį. Šios formulės pasekmė yra matematinės medžiagos studijavimas pradinėje mokykloje. Pavyzdžiui, apsvarstykite sąvokas „kvadratas“ ir „stačiakampis“. Sąvokos „kvadratas“ taikymo sritis yra sąvokos „stačiakampis“ apimties dalis. Todėl pirmasis vadinamas rūšiniu, o antrasis - bendriniu. Genties ir rūšies santykiuose reikėtų skirti artimiausios genties sąvoką ir sekančius bendrinius etapus.

Pavyzdžiui, tipui „kvadratas“ artimiausia gentis bus „stačiakampis“, stačiakampiui artimiausia gentis bus „lygiagretainė“, „lygiagrečiai“ - „keturkampis“, „keturkampiui“ - „daugiakampis“, o „daugiakampis“ - „plokščia figūra“.

Pradinėse klasėse su kiekviena sąvoka pirmą kartą supažindinama vizualiai, stebint konkrečius objektus ar atliekant praktinę veiklą (pavyzdžiui, juos skaičiuojant). Mokytojas remiasi vaikų žiniomis ir patirtimi, kurias jie įgijo ikimokykliniame amžiuje. Susipažinimas su matematinėmis sąvokomis fiksuojamas naudojant terminą arba terminą ir simbolį.

Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas skaičiaus sąvokai.

Skaičius yra kiekybiškai įvertinamo kiekio (ilgio, svorio, tūrio ir kt.) ir šiam vertinimui naudojamo standarto santykis. Akivaizdu, kad skaičius priklauso ir nuo išmatuojamo kiekio, ir nuo standarto. Kuo didesnė išmatuota vertė, tuo didesnis skaičius bus su tuo pačiu standartu. Priešingai, kuo didesnis standartas (matas), tuo mažesnis skaičius bus vertinant tą pačią reikšmę. Todėl studentai nuo pat pradžių turi suprasti, kad skaičių palyginimas pagal dydį gali būti atliekamas tik tada, kai už jų yra tas pats standartas. Tiesą sakant, jei, pavyzdžiui, penki gaunami matuojant ilgį centimetrais, o trys gaunami matuojant metrais, tai trys reiškia didesnę reikšmę nei penki. Jei mokiniai nesupranta santykinės skaičių prigimties, jiems taip pat bus didelių sunkumų mokantis skaičių sistemos.

Natūralusis skaičius yra laikoma bendra ekvivalentinių baigtinių aibių klasės savybe. Pirmosios idėjos apie skaičių yra susijusios su kiekybinėmis objektų savybėmis.

(Daugelis – kai kurių objektų rinkinys, ekvivalentas = lygus skaičiumi)

Rinkinio kiekybinės charakteristikos yra realizuojama studentų, nustatydami netuščios baigtinės aibės elementų ir natūraliųjų skaičių eilutės atkarpos atitikmenį vienas su vienu. Šis vienas su vienu atitikimas vadinamas baigtinės aibės elementų skaičiavimu. Šiuo atveju netuščių baigtinių aibių kiekybinė charakteristika išreiškiama tokiais santykiais kaip „daugiau“, „mažiau“, „lygus“, žymima atitinkamais simboliais.

Remiantis objektų vizualizavimo naudojimu, nustatoma, pavyzdžiui, kad apskritimų skaičius yra didesnis nei kvadratų, o kvadratų yra mažiau nei apskritimų.

4, todėl 5 b 4, 4 m 5

Skaičius „nulis“ pradžioje. mokykla laikoma tuščios komplektacijos, paremtos praktine veikla su įvairiais daiktais, savybė. Šiuo tikslu brėžiniai, tokie kaip:

. . .

. .

Arba remiantis aritmetinės operacijos rezultatu, nagrinėjant formos pavyzdžius: 3-1=2, 2-1=1, 1-1=0.

Neneigiami sveikieji skaičiai pradinės mokyklos matematikos kurse nagrinėjami pagal koncentraciją: „Skaičiai nuo 0 iki 10“, „Skaičiai nuo 10 iki 100“, „Skaičiai nuo 100 iki 1000“, „Skaičiai, didesni nei 1000“.

Pagrindinės kiekvienos koncentracijos sąvokos yra žodinė ir rašytinė numeracija.

Žodinė numeracija- kiekvieno iš gyvenimo praktikoje sutinkamų skaičių įvardijimo būdas, naudojant skaitinius žodžius: vienas, devyni, šimtas du ir kt.

Rašytinė numeracija- kiekvieno iš gyvenimo praktikoje sutinkamų skaičių rašymo būdas naudojant skaičius: 1, 2, 3...9, 0, remiantis skaičių vietos vertės principu (kiekvienas skaičius, priklausomai nuo jo užimamos vietos skaičių įraše , turi savo specifinę reikšmę). Pavyzdžiui, rašant skaičių 999, skaičius 9, esantis pirmoje vietoje iš dešinės į kairę, reiškia 9 šio skaičiaus vienetus. Ta pati figūra, stovinti antroje vietoje iš dešinės į kairę, reiškia, kad skaičiuje yra 9 dešimtukai ir pan.

Aritmetiniai veiksmai +, -, x, : nagrinėjami n.s. aibių teoriniu pagrindu.

Papildymas neneigiami sveikieji skaičiai yra susiję su baigtinių porų disjunktinių aibių jungimo operacija.

Atimtis Natūralūs skaičiai vizualiai laikomi baigtinės aibės dalies, kuri yra šios aibės poaibis, pašalinimas.

Daugyba neneigiami sveikieji skaičiai laikomi elementų skaičiumi lygių porų disjunktinių aibių sąjungoje.

Padalinys aibių teoriniu požiūriu jis siejamas su baigtinės aibės padalijimu į lygias porines disjunktinius poaibius. Su jo pagalba išsprendžiamos dvi padalijimo problemos: rasti elementų skaičių kiekviename skaidinio pogrupyje (padalijimas į lygias dalis) (pvz.: 15 obuolių buvo 3 lėkštėse. Kiek obuolių yra kiekvienoje lėkštėje?) ir rasti tokių pogrupių skaičius (skirstymas pagal turinį) (pavyzdys: lėkštėse buvo 15 obuolių. Kiekvienoje lėkštėje buvo po 5 obuolius. Kiek lėkščių buvo ant stalo?).

Mokinių idėjų apie skaičių ir dešimtainę skaičių sistemą formavimasis glaudžiai susijęs su dydžių tyrimu.

Didumas- tai tam tikra objektų ar reiškinių rinkinio savybė.

Didumas- tai objektų ar reiškinių savybė, leidžianti palyginti ir identifikuoti objektų poras, turinčias šią savybę vienodai arba nevienodai.

N.S. atsižvelgiama į tokius kiekius kaip ilgis, plotas, laikas, tūris, masė.

Ilgis– dydis, apibūdinantis kūnų ar jų dalių ilgį, atstumą ir judėjimą tam tikra linija. Atkarpos arba tiesios linijos ilgis- tai atstumas tarp jo galų, matuojamas tam tikru segmentu, imamu ilgio matavimo vienetu.

Kvadratas– dydis, apibūdinantis geometrines figūras plokštumoje ir nustatomas pagal vienetinių kvadratų, užpildančių plokščią figūrą, skaičių, t.y. kvadratai, kurių kraštinė lygi vienam ilgio vienetui. Išmatuokite figūros plotą- reiškia nustatyti, kiek joje yra kvadratinių ilgio vienetų (kv. cm, kv. dm, kv. m ir kt.).

Tūris, talpa yra geometrinius kūnus charakterizuojantis dydis, kuris paprasčiausiais atvejais nustatomas pagal vienetinių kubelių, telpančių į kūną, skaičių, t.y. kubeliai, kurių briauna lygi vieneto ilgiui. Kūnai gali būti vienodi (t. y. vienodo dydžio kūnai) ir skirtingo tūrio.

Svoris yra fizikinis dydis, kuris yra viena iš pagrindinių materijos charakteristikų, lemiančių jos inercines ir gravitacines savybes. Kūno masių palyginimas, veiksmai su jais sumažinami iki palyginimo ir veiksmų su skaitinėmis masių reikšmėmis su tuo pačiu masės matavimo vienetu.

Laikas– dydis, apibūdinantis nuoseklų reiškinių ir materijos būsenų kaitą, egzistavimo trukmę. Kalendorius- dienų, mėnesių, metų skaičiavimo sistema. Matematikoje laikas laikomas skaliariniu dydžiu (dydžiu, kurio kiekviena reikšmė gali būti išreikšta vienu realiu skaičiumi), nes laiko intervalai turi savybių, panašių į ilgio, ploto, masės savybes. Laiko intervalus, kaip ir kitus skaliarinius dydžius, galima lyginti, sudėti, atimti, padauginti ir padalyti iš teigiamo tikrojo skaičiaus. Tarp tos pačios rūšies dydžių yra ryšiai: „daugiau“, „mažiau“, „lygus“.

Trupmenų ir dydžių sąvokos pristatomos vizualiai. Dalintis laikoma viena iš lygių visumos dalių. Frakcija apibrėžiamas kaip natūraliųjų skaičių pora ( a, n), apibūdinanti vienodų lygių dalių aibę A; pirmasis A parodo kiek n- x“ trupmenoje yra A ir ji vadinama trupmenos skaitikliu, antrąja n –Į kiek lygių dalių padalintas vienetas, vadinamas trupmenos vardikliu.

Lygiagrečiai su aritmetine medžiaga ir dydžių tyrimu, nagrinėjama teorinė medžiaga: sudėties ir daugybos komutacinė savybė (komutacinė); kombinacinė daugybos ir sudėjimo savybė (asociatyvinė), skirstymo savybė dėl sumos ir skirtumo; skirstymo savybė dėl sumos ir skirtumo; skirstomoji daugybos savybė sudėjimo ir atimties atžvilgiu – laikoma sumos (skirtumo) dauginimo iš skaičiaus taisyklėmis (a+b) x c = a x c+b x c. Be to, atsižvelgiama į komponentų ir aritmetinės operacijos rezultato priklausomybę. Vėliau, remiantis šia priklausomybe, svarstomas lygčių sprendimas.

Mokyklos praktikoje daugelis mokytojų verčia mokinius įsiminti sąvokų apibrėžimus ir reikalauja žinoti jų pagrindines įrodomas savybes. Tačiau tokių mokymų rezultatai dažniausiai būna nereikšmingi. Taip nutinka todėl, kad dauguma mokinių, taikydami mokykloje išmoktas sąvokas, remiasi nereikšmingais ženklais, o esminius sąvokų ženklus mokiniai suvokia ir atgamina tik atsakydami į klausimus, reikalaujančius apibrėžti sąvoką. Dažnai studentai tiksliai atkuria sąvokas, tai yra, atranda žinias apie esminius jų bruožus, bet negali šių žinių pritaikyti praktikoje, pasikliauja tais atsitiktiniais ypatumais, nustatytais per tiesioginę patirtį. Sąvokų įsisavinimo procesas gali būti kontroliuojamas ir formuojamas su nurodytomis savybėmis.

Išsamiau pakalbėkime apie laipsnišką sąvokų formavimą.

Atlikę nuo penkių iki aštuonių užduočių su tikrais objektais ar modeliais, mokiniai be jokio įsiminimo prisimena ir sąvokos ypatybes, ir veiksmo taisyklę. Tada veiksmas verčiamas į išorinės kalbos formą, kai užduotys pateikiamos raštu, o sąvokų, taisyklių, nurodymų ženklus mokiniai įvardija arba užrašo iš atminties. Šiame etape studentai gali dirbti poromis, pakaitomis atlikti atlikėjo arba kontrolieriaus vaidmenį.

Tuo atveju, kai veiksmas lengvai ir teisingai atliekamas išorine kalbos forma, jis gali būti perkeltas į vidinę formą. Užduotis pateikiama raštu, o mokinys atkuria charakteristikas, jas patikrina, o gautus rezultatus lygina su taisykle tyliai. Mokinys vis tiek gauna nurodymus, pvz., „Įvardink pirmąjį ženklą sau“, „Patikrinkite, ar jis egzistuoja“ ir kt. Pirmiausia patikrinamas kiekvienos operacijos teisingumas ir galutinis atsakymas. Palaipsniui kontrolė vykdoma tik pagal galutinį rezultatą ir atliekama pagal poreikį.

Jei veiksmas atliekamas teisingai, tada jis perkeliamas į psichinę stadiją: pats mokinys veiksmą ir atlieka, ir kontroliuoja. Mokymo programa šiame etape numato, kad mokinys gali kontroliuoti tik galutinį veiksmo produktą; besimokantysis gauna grįžtamąjį ryšį, jei kyla sunkumų ar neaiškumų dėl rezultato teisingumo. Vykdymo procesas dabar yra paslėptas, veiksmas tapo visiškai mentalinis, idealus, bet jo turinys yra žinomas mokytojui, nes jis pats jį pastatė ir pats transformavo iš išorinio, materialaus veiksmo.

Taigi veiksmas palaipsniui virsta forma. Veiksmo pavertimą bendrumu užtikrina ypatinga užduočių atranka. Šiuo atveju atsižvelgiama ir į konkrečią, ir į bendrąją orientacinio veiksmo pagrindo loginę dalį.

Norint apibendrinti konkrečią dalį, susijusią su būtinų ir pakankamų požymių sistemos naudojimu, atpažinti pateikiami visi tipiniai objektų tipai, susiję su tam tikra sąvoka. Taigi, formuojant kampo sampratą, svarbu, kad mokiniai dirbtų su kampais, kurie skiriasi dydžiu (nuo 0° iki 360° ir daugiau), padėtimi erdvėje ir kt. Be to, svarbu paimti objektus, kurie turi tik tam tikros sąvokos požymius, bet jai nepriklauso.

Apibendrinant atpažinimo veiksmo loginę dalį, analizei pateikiami visi pagrindiniai atvejai, kuriuos numato sąvokos sumavimo loginė taisyklė, t.y. užduotys su teigiamais, neigiamais ir neaiškiais atsakymais. Taip pat galite įtraukti užduotis su perteklinėmis sąlygomis. Būdinga tai, kad mokymo praktikoje paprastai pateikiamos tik vieno tipo užduotys: su pakankamu sąlygų rinkiniu ir teigiamu atsakymu. Dėl to studentai atpažinimo operacijos išmoksta nepakankamai apibendrinta forma, o tai natūraliai apriboja jo taikymo sritį. Problemos, susijusios su perteklinėmis, neapibrėžtomis sąlygomis, leidžia mokinius išmokyti ne tik aptikti tam tikrus požymius objektuose, bet ir nustatyti jų pakankamumą užduočiai išspręsti. Pastaroji gyvenimo praktikoje dažnai pasirodo kaip savarankiška problema.

Veiksmo transformacija pagal kitas dvi savybes pasiekiama kartojant to paties tipo užduotis. Patartina tai padaryti, kaip nurodyta, tik paskutiniuose etapuose. Visuose kituose etapuose pateikiamas tik tiek užduočių, kurios užtikrina veiksmo įsisavinimą tam tikra forma. Neįmanoma atidėti veiksmo pereinamosiose formose, nes tai lems jo automatizavimą šioje formoje, o tai neleidžia veiksmui perkelti į naują, vėlesnę formą.

Pamokos apie algebrinės sąvokos įvedimą fragmentas. Algebrinės medžiagos tyrimo metodai

Įvadas