Bendrosios algebrinės medžiagos tyrimo metodikos charakteristikos. Algebrinės medžiagos mokymas pradinėje mokykloje

Įvadas.................................................. ...................................................... .............................. 2

I skyrius. Bendrieji teoriniai studijų aspektai algebrinė medžiaga pradinėje mokykloje................................................ ...................................................... .......................... 7

1.1 Patirtis diegiant algebros elementus pradinėje mokykloje................................................ 7

1.2 Psichologiniai algebrinių sąvokų įvedimo pagrindai

pradinėje mokykloje................................................ ...................................... 12

1.3 Algebrinių sąvokų kilmės problema ir jos reikšmė

statyti akademinis dalykas..................................................... 20

2.1 Mokymasis pradinėje mokykloje atsižvelgiant į poreikius

vidurinė mokykla................................................ ...................................................... 33

2.1 Sąvokų palyginimas (kontrastavimas) matematikos pamokose.... 38

2.3 Bendras sudėties ir atimties, daugybos ir dalybos tyrimas 48

III skyrius. Algebrinės medžiagos studijavimo praktika Rylsko 4-osios vidurinės mokyklos pradinėse klasėse matematikos pamokose................................. ...................... ...55

3.1 Naudojimo pagrindimas naujoviškų technologijų(technologijos

konsolidacija didaktiniai vienetai)..................................................... 55

3.2 Apie susipažinimo patirtį su algebrinės sąvokos pirmoje klasėje... 61

3.3 Mokymasis spręsti problemas, susijusias su kūnų judėjimu................................................. 72

Išvada................................................ .................................................. ...... .76

Bibliografija.......................................................................... 79

Bet kada moderni sistema bendrojo išsilavinimo matematika yra viena iš centrinės vietos, kas neabejotinai rodo šios žinių srities unikalumą.

Kas yra šiuolaikinė matematika? Kodėl to reikia? Tokius ir panašius klausimus vaikai dažnai užduoda mokytojams. Ir kiekvieną kartą atsakymas skirsis priklausomai nuo vaiko išsivystymo lygio ir jo ugdymosi poreikių.

Dažnai sakoma, kad matematika yra šiuolaikinio mokslo kalba. Tačiau atrodo, kad šiame pareiškime yra didelis trūkumas. Matematikos kalba yra tokia plačiai paplitusi ir taip dažnai veiksminga kaip tik todėl, kad matematika negali būti sumažinta iki jos.

Puikus rusų matematikas A.N. Kolmogorovas rašė: „Matematika yra ne tik kalba, bet ir mąstymas. Matematika – tai daugelio žmonių tikslaus mąstymo įrankis susiekite vieną samprotavimą su kitu... Akivaizdus gamtos sudėtingumas su keistais jos dėsniais ir taisyklėmis, kurių kiekvienas leidžia labai skirtingai išsamus paaiškinimas, iš tikrųjų yra glaudžiai susiję. Tačiau jei nenorite naudotis matematika, tai šioje didžiulėje faktų įvairovėje nepamatysi, kad logika leidžia pereiti nuo vieno prie kito“ (p. 44).

Taigi matematika leidžia mums suformuoti tam tikras mąstymo formas, reikalingas mus supančio pasaulio tyrinėjimui.

Šiuo metu vis labiau pastebima disproporcija tarp mūsų gamtos pažinimo laipsnio ir mūsų supratimo apie žmogų, jo psichiką, mąstymo procesus. W. W. Sawyer knygoje „Matematikos preliudija“ (p. 7) pažymi: „Galime mokinius išmokyti spręsti daugybę problemų, tačiau tikras pasitenkinimas ateis tik tada, kai mokiniams galėsime suteikti ne tik žinių, bet ir lankstumo. proto“, kuris suteiktų jiems galimybę ateityje ne tik savarankiškai spręsti, bet ir kelti sau naujas užduotis.

Žinoma, čia yra tam tikros ribos, kurių nederėtų pamiršti: daug ką lemia įgimti gebėjimai ir talentas. Tačiau galime pastebėti visą aibę veiksnių, priklausančių nuo išsilavinimo ir auklėjimo. Dėl to nepaprastai svarbu teisingai įvertinti didžiules neišnaudotas švietimo galimybes apskritai ir matematikos išsilavinimą ypač.

Pastaraisiais metais pastebima nuolatinė skverbimosi tendencija matematiniai metodai tokiuose moksluose kaip istorija, filologija, jau nekalbant apie kalbotyrą ir psichologiją. Todėl ratas žmonių, kurie savo vėlesniuose profesinę veiklą Galbūt jie taikys matematiką, plečiasi.

Mūsų švietimo sistema sukurta taip, kad daugeliui mokykla yra vienintelė galimybė gyvenime įsilieti į matematinę kultūrą ir įsisavinti matematikos vertybes.

Kokia matematikos įtaka apskritai ir mokyklinė matematika ypač švietimui kūrybinga asmenybė? Užduočių sprendimo meno mokymas matematikos pamokose suteikia mums itin palankią galimybę ugdyti tam tikrą mokinių mąstymą. Tyrimo poreikis ugdo domėjimąsi modeliais ir moko pamatyti žmogaus mąstymo grožį ir harmoniją. Visa tai mūsų nuomone svarbiausias elementas bendroji kultūra. Matematikos kursas turi didelę įtaką formavimuisi įvairių formų mąstymas: loginis, erdvinis-geometrinis, algoritminis. Bet koks kūrybinis procesas prasideda hipotezės suformulavimu. Matematika, tinkamai organizuojanti mokymą, yra gera mokykla hipotezėms statyti ir tikrinti, moko palyginti įvairios hipotezės, rasti geriausią variantą, išsikelti naujus uždavinius, ieškoti jų sprendimo būdų. Be kita ko, ji ugdo ir metodinio darbo įprotį, be kurio neįsivaizduojamas joks kūrybinis procesas. Maksimaliai išnaudodama žmogaus mąstymo galimybes, matematika yra jos aukščiausias pasiekimas. Tai padeda žmogui suprasti save ir formuoti charakterį.

Tai yra šiek tiek didelis sąrašas priežastys, kodėl matematinės žinios turėtų tapti neatsiejama bendrosios kultūros dalimi ir privalomas elementas auginant ir auklėjant vaiką.

Matematikos kursas (be geometrijos) mūsų 10-metėje mokykloje iš tikrųjų suskirstytas į tris pagrindines dalis: aritmetika (I-V klasės), algebrą (VI klasės VIII klasės) ir analizės elementai (IX - X klasės). Kuo pagrįstas toks skirstymas?

Žinoma, kiekviena iš šių dalių turi savo specialią „technologiją“. Taigi aritmetikoje jis siejamas, pavyzdžiui, su atliktais skaičiavimais daugiaženkliai skaičiai, algebroje - su identiškomis transformacijomis, logaritmais, analizėje - su diferencijavimu ir kt. Tačiau kokios yra gilesnės priežastys, susijusios su kiekvienos dalies konceptualiu turiniu?

Kitas klausimas susijęs su mokyklinės aritmetikos ir algebros atskyrimo pagrindu (t. y. pirma ir antra kurso dalys). Aritmetika apima natūraliųjų skaičių (teigiamų sveikųjų skaičių) ir trupmenų (pirminių ir dešimtainių) tyrimą. Tačiau speciali analizė rodo, kad šių skaičių derinimas viename mokykliniame dalyke yra neteisėtas.

Faktas yra tas, kad šie skaičiai atlieka skirtingas funkcijas: pirmasis yra susijęs su objektų skaičiavimu, antrasis su matavimo dydžiais. Ši aplinkybė yra labai svarbi norint suprasti faktą, kad trupmeniniai (racionalieji) skaičiai yra tik ypatingas realiųjų skaičių atvejis.

Kiekių matavimo požiūriu, kaip pažymėjo A. N. Kolmogorovo teigimu, „nėra tokio didelio skirtumo tarp racionalių ir neracionalių realiųjų skaičių jie nuo pat pradžių turėtų iš karto sukelti realius skaičius“ (), p. 9).

A.N. Kolmogorovas laikė pagrįstu tiek matematikos raidos istorijos požiūriu, tiek iš esmės A. Lebesgue siūlymą mokyme po natūraliųjų skaičių pereiti tiesiai prie realiųjų skaičių kilmės ir loginės prigimties. Tuo pačiu metu, kaip pažymėjo A. N. Kolmogorovo nuomone, „požiūris į racionaliųjų ir realiųjų skaičių konstravimą dydžių matavimo požiūriu yra ne mažiau mokslinis nei, pavyzdžiui, racionalių skaičių įvedimas „porų“ pavidalu pranašumas“ (p. 10).

Taigi yra reali galimybė natūraliųjų (sveikųjų) skaičių pagrindu iš karto suformuoja „bendriausią skaičiaus sampratą“ (A. Lebesgue terminologija), tikrojo skaičiaus sąvoką. Tačiau programos kūrimo požiūriu tai reiškia ne daugiau ar mažiau, kaip trupmenų aritmetikos pašalinimą jos mokyklinėje interpretacijoje. Perėjimas nuo sveikųjų prie realių skaičių yra perėjimas nuo aritmetikos prie „algebros“, prie analizės pagrindo sukūrimo.

Šios idėjos, išsakytos daugiau nei prieš 20 metų, aktualios ir šiandien. Ar įmanoma pakeisti matematikos mokymo struktūrą pradinėje mokykloje šia kryptimi? Kokie yra algebrazavimo privalumai ir trūkumai pradinis išsilavinimas matematika? Šio darbo tikslas – pabandyti pateikti atsakymus į užduodamus klausimus.

Norint pasiekti šį tikslą, reikia išspręsti šias užduotis:

Bendrųjų teorinių algebrinių dydžio ir skaičiaus sąvokų diegimo pradinėje mokykloje aspektų svarstymas. Ši užduotis iškelta pirmame darbo skyriuje;

Konkrečių metodų, kaip mokyti šias sąvokas pradinėje mokykloje, tyrimas. Čia visų pirma ketinama nagrinėti vadinamąją didaktinių vienetų išplėtimo teoriją (UDE), kuri bus aptarta toliau;

Parodykite nagrinėjamų nuostatų praktinį pritaikomumą mokyklos pamokos matematika pradinėje mokykloje (pamokas autorius vedė Rylsko 4-oje vidurinėje mokykloje). Tam skirtas trečiasis darbo skyrius.

Kalbant apie bibliografiją, skirtą šį klausimą, galima pastebėti šiuos dalykus. Nepaisant to, kad pastaruoju metu bendras kiekis paskelbta metodinė literatūra matematikoje yra itin nereikšminga, rašant darbą informacijos netrūko. Iš tiesų, nuo 1960 m. (tuo metu, kai buvo iškelta problema) iki 1990 m. pasirodė mūsų šalyje didžiulis skaičius mokomoji, mokslinė ir metodinė literatūra, vienokiu ar kitokiu laipsniu, liečianti algebrinių sąvokų įvedimo matematikos kursuose problemą. pradinė mokykla. Be to, šie klausimai reguliariai rašomi specializuotuose periodiniuose leidiniuose. Taigi rašant darbą daugiausia buvo panaudotos publikacijos žurnaluose „Pedagogika“, „Matematikos mokymas mokykloje“ ir „Pradinė mokykla“.

Akademinio dalyko turinys, kaip žinia, priklauso nuo daugelio veiksnių – nuo ​​gyvenimo poreikių studentų žinioms, nuo atitinkamų mokslų lygio, nuo vaikų protinių ir fizinių amžiaus galimybių ir kt. Teisingas šių veiksnių įvertinimas yra esminė sąlyga siekiant efektyviausio moksleivių ugdymo ir jų pažintinių gebėjimų plėtimo. Tačiau kartais ši sąlyga dėl vienokių ar kitokių priežasčių neįvykdoma. Šiuo atveju mokymas neduoda norimo efekto vaikų įvaldymo rate reikalingų žinių ir jų intelekto vystymuisi.

Atrodo, kad šiuo metu kai kurių akademinių dalykų, ypač matematikos, mokymo programos neatitinka naujų gyvenimo reikalavimų ir išsivystymo lygio. šiuolaikiniai mokslai(pavyzdžiui, matematika) ir naujus duomenis raidos psichologija ir logika. Ši aplinkybė lemia būtinybę visapusiškai teoriškai ir eksperimentiškai išbandyti galimus naujo ugdymo dalykų turinio projektus.

Fondas matematines žinias prasideda pradinėje mokykloje. Bet, deja, tiek patys matematikai, tiek metodininkai ir psichologai elementarios matematikos turiniui skiria labai mažai dėmesio. Užtenka pasakyti, kad matematikos programa pradinėje mokykloje (I - IV klasės) savo pagrindiniais bruožais susiformavo prieš 50 - 60 metų ir natūraliai atspindi to meto matematinių, metodinių ir psichologinių idėjų sistemą.

Pažvelkime į būdingus bruožus valstybinis standartas matematikoje pradinėje mokykloje. Pagrindinis jo turinys yra sveikieji skaičiai ir operacijos su jais, tiriamos tam tikra seka. Pirmiausia tiriamos keturios operacijos 10 ir 20 ribose, po to - žodiniai skaičiavimai 100 ribose, žodiniai ir rašytiniai skaičiavimai 1000 ribose ir galiausiai milijonų ir milijardų ribose. IV klasėje tiriami kai kurie duomenų ir rezultatų ryšiai. aritmetines operacijas, taip pat paprastosios trupmenos. Be to, programa apima studijas metrinės priemonės ir laiko matus, įsisavinant gebėjimą juos naudoti matavimui, kai kurių vizualinės geometrijos elementų išmanymas – stačiakampio ir kvadrato braižymas, atkarpų, stačiakampio ir kvadrato plotų matavimas, tūrių skaičiavimas.

Įgytas žinias ir įgūdžius studentai turi pritaikyti spręsdami uždavinius ir atlikdami nesudėtingus skaičiavimus. Viso kurso metu problemų sprendimas vykdomas lygiagrečiai su skaičių ir operacijų studijomis – tam skiriama pusė atitinkamo laiko. Problemų sprendimas padeda mokiniams suprasti konkrečią veiksmų reikšmę, suprasti įvairius jų taikymo atvejus, nustatyti dydžių ryšius, įgyti pagrindinių analizės ir sintezės įgūdžių. Nuo I iki IV klasės vaikai sprendžia šiuos pagrindinius uždavinių tipus (paprastus ir sudėtinius): sumos ir liekanos radimas, sandauga ir koeficientas, duotų skaičių didinimas ir mažinimas, skirtumas ir daugkartinis palyginimas, paprastas trijų taisyklė, įjungta proporcingas padalijimas, rasti nežinomąjį iš dviejų skirtumų, apskaičiuoti aritmetinį vidurkį ir kai kurių kitų tipų uždavinius.

SU skirtingų tipų vaikai spręsdami uždavinius susiduria su kiekių priklausomybėmis. Tačiau labai būdinga, kad studentams problemas kyla po to, kai studijuoja skaičius; pagrindinis dalykas, kurio reikia sprendžiant, yra rasti skaitinį atsakymą. Vaikams labai sunku nustatyti kiekybinių santykių ypatybes konkrečiose, konkrečiose situacijose, kurios paprastai laikomos aritmetiniai uždaviniai. Praktika rodo, kad manipuliavimas skaičiais dažnai pakeičia faktinę problemos sąlygų analizę realių dydžių priklausomybių požiūriu. Be to, vadovėliuose pateikiamos problemos neatspindi sistemos, kurioje „sudėtingesnės“ situacijos būtų siejamos su „gilesniais“ kiekybinių santykių klodais. To paties sunkumo problemų galima rasti ir vadovėlio pradžioje, ir pabaigoje. Jie keičiasi iš skyriaus į skyrių ir iš klasės į klasę pagal siužeto sudėtingumą (veiksmų skaičius didėja), pagal skaičių eilę (nuo dešimties iki milijardo), pagal sudėtingumą fizinės priklausomybės(nuo paskirstymo problemų iki judėjimo problemų) ir pagal kitus parametrus. Juose silpnai ir neaiškiai pasireiškia tik vienas parametras – gilinimasis į pačią matematinių dėsnių sistemą. Todėl labai sunku nustatyti kriterijų matematinis sunkumas viena ar kita užduotis. Kodėl kyla problemų ieškant nežinomybės naudojant du skirtumus ir surandant aritmetinį vidurkį (III klasė) sunkesnės užduotys skirtumui ir daugkartiniam palyginimui (II klasė)? Metodika nepateikia įtikinamo ir logiško atsakymo į šį klausimą.

Taigi pradinių klasių mokiniai negauna adekvačių, visaverčių žinių apie dydžių priklausomybes ir bendrąsias kiekio savybes nei studijuodami skaičių teorijos elementus, nes mokyklos kurse jie pirmiausia siejami su skaičiavimo technika, nei sprendžiant. problemų, nes pastarieji neturi tinkamos formos ir neturi reikiamos sistemos. Metodininkų bandymai tobulinti mokymo metodus, nors ir veda į dalinę sėkmę, bendros padėties nekeičia, nes juos iš anksto riboja priimto turinio rėmai.

Atrodo, kad priimtos aritmetinės programos kritinė analizė turėtų būti pagrįsta šiomis nuostatomis:

Skaičiaus sąvoka nėra tapati objektų kiekybinių charakteristikų sampratai;

Skaičius nėra pradinė kiekybinių santykių išraiškos forma.

Pateiksime šių nuostatų pagrindimą.

Gerai žinoma, kad šiuolaikinė matematika (ypač algebra) tiria kiekybinių santykių aspektus, kurie neturi skaitinio apvalkalo. Taip pat gerai žinoma, kad kai kurie kiekybiniai ryšiai yra gana išreiškiami be skaičių ir prieš skaičius, pavyzdžiui, segmentais, tūriais ir pan. (santykis „daugiau“, „mažiau“, „lygus“). Pradinių bendrųjų matematinių sąvokų pristatymas šiuolaikinės gairės atliekama tokia simbolika, kuri nebūtinai reiškia objektų išraišką skaičiais. Taigi knygoje E.G. Gonino „Teorinėje aritmetikoje“ pagrindiniai matematiniai objektai nuo pat pradžių žymimi raidėmis ir specialūs ženklai(, p. 12 – 15). Būdinga tai, kad tam tikri skaičių tipai ir skaitinės priklausomybės pateikiami tik kaip pavyzdžiai, aibių savybių iliustracijos, o ne kaip vienintelės galimos ir unikalios esama forma posakius. Be to, pažymėtina, kad pateikta daug atskirų matematinių apibrėžimų iliustracijų grafinę formą, per segmentų, plotų santykį (, p. 14-19). Visos pagrindinės aibių ir dydžių savybės gali būti išvestos ir pagrįstos nenaudojant skaitinių sistemų; Be to, patys pastarieji gauna pagrindimą bendromis matematinėmis sąvokomis.

Savo ruožtu daugybė psichologų ir mokytojų pastebėjimų rodo, kad kiekybinės idėjos vaikams kyla dar gerokai anksčiau nei jie įgyja žinių apie skaičius ir kaip juos valdyti. Tiesa, pastebima tendencija šias idėjas priskirti prie „ikimatematinių darinių“ (tai gana natūralu tradiciniams metodams, kiekybines objekto charakteristikas identifikuojantiems su skaičiumi), tačiau tai nekeičia esminės jų funkcijos bendrame vaiko gyvenime. orientacija daiktų savybėse. Ir kartais atsitinka, kad šių tariamai „ikimatematinių darinių“ gylis yra reikšmingesnis vaiko matematinio mąstymo ugdymui nei subtilybių išmanymas. kompiuterinės technologijos ir galimybė rasti grynai skaitines priklausomybes. Pažymėtina, kad akademikas A.N. Kolmogorovas, apibūdindamas matematinio kūrybiškumo bruožus, ypač atkreipia dėmesį į tokią aplinkybę: „Daugelio pagrindu matematiniai atradimai slypi paprasta mintis: vizualinė geometrinė konstrukcija, nauja elementari nelygybė ir kt. Jums tereikia tai tinkamai pritaikyti paprasta mintis išspręsti problemą, kuri iš pirmo žvilgsnio atrodo neprieinama“ (, p. 17).

Šiuo metu yra tinkamos įvairios idėjos dėl naujos programos struktūros ir kūrimo būdų. Į jos konstravimo darbus būtina įtraukti matematikus, psichologus, logikus, metodininkus. Tačiau atrodo, kad visi specifiniai variantai turi atitikti šiuos pagrindinius reikalavimus:

Pašalinti esamą atotrūkį tarp matematikos turinio pradinėse ir vidurinėse mokyklose;

Suteikti žinių apie pagrindinius objektyvaus pasaulio kiekybinių santykių dėsnius sistemą; šiuo atveju skaičių savybės, kaip ypatinga kiekio išreiškimo forma, turėtų tapti specialia, bet ne pagrindine programos dalimi;

Įskiepykite vaikams matematinio mąstymo metodus, o ne tik skaičiavimo įgūdžius: tai apima problemų sistemos, pagrįstos gilinimu į realių dydžių priklausomybių sritį (matematikos ryšį su fizika, chemija, biologija ir kitais mokslais, studijuojančiais konkrečius dalykus). kiekiai);

Ryžtingai supaprastinkite visus skaičiavimo būdus, sumažindami darbą, kurio negalima atlikti be atitinkamų lentelių, žinynų ir kitų pagalbinių (ypač elektroninių) priemonių.

Šių reikalavimų prasmė aiški: pradinėje mokykloje visiškai įmanoma dėstyti matematiką kaip mokslą apie kiekybinių santykių dėsnius, apie dydžių priklausomybes; skaičiavimo technika ir skaičių teorijos elementai turėtų tapti specialia ir privačia programos dalimi.

Nuo septintojo dešimtmečio pabaigos vykdomos naujos matematikos programos kūrimo ir eksperimentinio testavimo patirtis dabar leidžia kalbėti apie galimybę mokykloje nuo pirmos klasės įvesti sisteminį matematikos kursą, suteikiantį žinių apie kiekybinius ryšius ir priklausomybes. dydžių algebrine forma .

1.2 Psichologiniai algebrinių sąvokų diegimo pradinėje mokykloje pagrindai

Pastaruoju metu modernizuojant programas ypatinga prasmė suteikti aibės teorinį pagrindą mokyklos kursui (ši tendencija aiškiai pasireiškia tiek pas mus, tiek užsienyje). Šios tendencijos įgyvendinimas mokymo srityje (ypač pradinėse klasėse, kaip pastebima, pavyzdžiui, Amerikos mokykloje) neišvengiamai sukels daug sunkūs klausimai priešais darželį ir ugdymo psichologija o prieš didaktiką, nes dabar beveik nėra tyrimų, atskleidžiančių aibės sąvokos reikšmės vaiko įsisavinimo ypatumus (priešingai nei labai visapusiškai ištirtas skaičiavimo ir skaičiaus asimiliavimas).

Loginiai ir psichologiniai tyrimai pastaraisiais metais(ypač J. Piaget darbas) atskleidė ryšį tarp kai kurių „mechanizmų“ vaikų mąstymas su bendromis matematinėmis sąvokomis. Žemiau konkrečiai aptariame šio ryšio ypatybes ir jų reikšmę matematikos kaip ugdymo dalyko konstravimui (kalbėsime apie teorinė pusė atveju, o ne apie kokią nors konkrečią programos versiją).

Natūralusis skaičius per visą jos istoriją buvo pagrindinė matematikos sąvoka; ji vaidina labai svarbų vaidmenį visose gamybos, technologijų srityse, kasdienybė. Tai leidžia teoriniams matematikams jį priskirti ypatinga vieta tarp kitų matematikos sąvokų. IN skirtingos formos pateikiami teiginiai, kad natūraliojo skaičiaus samprata yra pradinė stadija matematinė abstrakcija, kad tai yra daugelio matematinių disciplinų konstravimo pagrindas.

Matematikos kaip dalyko pradinių elementų pasirinkimas iš esmės juos įgyvendina bendrosios nuostatos. Šiuo atveju daroma prielaida, kad susipažindamas su skaičiumi vaikas kartu atranda ir pats originalios savybės kiekybiniai santykiai. Skaičiavimas ir skaičius yra viso tolesnio matematikos mokymosi mokykloje pagrindas.

Tačiau yra pagrindo manyti, kad šios nuostatos, nors ir pagrįstai išryškina ypatingą ir esminę skaičiaus reikšmę, kartu neadekvačiai išreiškia jo ryšį su kitomis matematinėmis sąvokomis, netiksliai įvertina skaičiaus vietą ir vaidmenį matematikos įsisavinimo procese. . Dėl šios aplinkybės ypač iškyla reikšmingų priimtų matematikos programų, metodų ir vadovėlių trūkumų. Būtina konkrečiai apsvarstyti tikrąjį skaičiaus sąvokos ryšį su kitomis sąvokomis.

Daugelis bendrųjų matematinių sąvokų, ypač lygiavertiškumo santykių ir tvarkos sąvokos, sistemingai nagrinėjamos matematikoje, nepaisant skaitinės formos. Šios sąvokos nepraranda savo savarankiško pobūdžio, galima apibūdinti ir studijuoti tam tikrą dalyką – skirtingą skaičių sistemos, kurių sąvokos pačios savaime neapima pirminių apibrėžimų reikšmės ir prasmės. Ir istorijoje matematikos mokslas bendrosios sąvokos išplėtotos būtent tiek, kiek „algebrinės operacijos“ garsus pavyzdys kurias numato keturios aritmetikos operacijos, pradėtos taikyti visiškai neskaitinio pobūdžio elementams.

Pastaruoju metu bandoma plėtoti vaiko supažindinimo su matematika mokymo metu etapą. Ši tendencija išreiškiama metodiniuose vadovuose, taip pat kai kuriuose eksperimentiniuose vadovėliuose. Taigi viename amerikietiškame vadovėlyje, skirtame mokyti 6–7 metų vaikus (), pirmuosiuose puslapiuose pateikiamos užduotys ir pratimai, specialiai mokantys vaikus nustatyti dalykinių grupių tapatumą. Vaikams parodoma komplektų sujungimo technika ir atitinkama matematinė simbolika. Darbas su skaičiais pagrįstas pagrindinė informacija apie rinkinius.

Konkrečių bandymų įgyvendinti šią tendenciją turinį galima vertinti įvairiai, tačiau jis pats, mūsų nuomone, yra gana teisėtas ir perspektyvus.

Iš pirmo žvilgsnio sąvokos „požiūris“, „struktūra“, „kompozicijos dėsniai“ ir kt., turinčios sudėtingus matematinius apibrėžimus, negali būti siejamos su formavimu. matematinius vaizdus mažiems vaikams. Žinoma, visa tikroji ir abstrakti šių sąvokų reikšmė ir jų vieta aksiominė konstrukcija Matematika kaip mokslas yra jau gerai išvystytos ir matematikos „išmokytos“ galvos asimiliacijos objektas. Tačiau kai kurios šiomis sąvokomis fiksuotų dalykų savybės vienaip ar kitaip vaikui pasirodo gana anksti: tam yra specifinių psichologinių įrodymų.

Visų pirma, reikia turėti omenyje, kad nuo gimimo iki 7 - 10 metų vaikas vystosi ir vystosi. labai sudėtingos sistemos bendros idėjos apie mus supantį pasaulį ir padeda pamatus prasmingam bei objektyviam mąstymui. Be to, remdamiesi gana siaura empirine medžiaga, vaikai išskiria bendrosios schemos orientacijos daiktų erdvės-laiko ir priežasties-pasekmės priklausomybėse. Šios diagramos yra tam tikras „koordinačių sistemos“ pagrindas, kuriame vaikas pradeda vis labiau įsisavinti įvairias įvairaus pasaulio savybes. Žinoma, šie bendrieji modeliai yra mažai suvokiami ir šiek tiek gali būti išreikšti paties vaiko abstrakčiojo sprendimo forma. Jie, vaizdžiai tariant, yra intuityvi vaiko elgesio organizavimo forma (nors, žinoma, jos vis labiau atsispindi vertinimuose).

Pastaraisiais dešimtmečiais vaikų intelekto formavimosi ir jų bendrų idėjų apie tikrovę, laiką ir erdvę atsiradimo klausimus ypač intensyviai nagrinėjo garsus šveicarų psichologas J. Piaget ir jo kolegos. Kai kurie jo darbai turi tiesioginis ryšys vaiko matematinio mąstymo ugdymo problemas, todėl mums svarbu jas nagrinėti atsižvelgiant į dizaino klausimus. mokymo programa.

Viename iš jų naujausios knygos() J. Piaget pateikia eksperimentinius duomenis apie tokių elementorių atsiradimą ir formavimąsi vaikams (iki 12–14 metų). loginės struktūros, pavyzdžiui, klasifikavimas ir serialas. Klasifikavimas apima įtraukimo operacijos (pavyzdžiui, A + A" = B) ir atvirkštinės operacijos (B - A" = A) atlikimą. Seriacija – tai objektų rikiavimas į sistemines eilutes (pavyzdžiui, skirtingo ilgio lazdelės gali būti išdėstytos į eilę, kurių kiekvienas narys yra didesnis už visus ankstesnius ir mažesnis už visus vėlesnius).

Analizuodamas klasifikacijos formavimąsi, J. Piaget parodo, kaip nuo pradinės formos, nuo „vaizdinio agregato“, pagrįsto tik erdviniu objektų artumu, sukūrimo vaikai pereina prie klasifikacijos, pagrįstos panašumo ryšiu („ne- vaizdiniai agregatai“), o tada į pačią klasifikaciją. sudėtinga forma- į klasių įtraukimą, nulemtą sąvokos apimties ir turinio ryšio. Autorius konkrečiai svarsto klausimą, kaip formuoti klasifikaciją ne tik pagal vieną, bet ir pagal du ar tris kriterijus, ir apie tai, kaip ugdyti vaikų gebėjimą keisti klasifikavimo pagrindą pridedant naujų elementų. Autoriai randa panašius serialo formavimosi etapus.

Šiais tyrimais buvo siekiama labai konkretaus tikslo – identifikuoti proto operatorių struktūrų formavimosi dėsningumus ir pirmiausia tokią konstitucinę jų savybę kaip grįžtamumas, t.y. proto gebėjimas judėti pirmyn ir atgal. Grįžtamumas atsiranda tada, kai „operacijos ir veiksmai gali vystytis dviem kryptimis, o vienos iš šių krypčių supratimas ipso facto [paties fakto dėka] lemia kitos supratimą“ (, p. 15).

Grįžtamumas, anot J. Piaget, reprezentuoja pagrindinį protui būdingą kompozicijos dėsnį. Jis turi dvi papildomas ir neredukuojamas formas: atvirkštinį (inversiją arba neigimą) ir abipusiškumą. Apsukimas įvyksta, pavyzdžiui, tuo atveju, kai objekto erdvinį judėjimą iš A į B galima atšaukti perkeliant objektą atgal iš B į A, o tai galiausiai prilygsta nulinei transformacijai (operacijos sandauga ir jos atvirkštinė vertė yra identiška operacija arba nulinė transformacija).

Abipusiškumas (arba kompensacija) apima atvejį, kai, pavyzdžiui, kai objektas perkeliamas iš A į B, objektas lieka B, bet vaikas pats juda iš A į B ir atkuria pradinę padėtį, kai objektas buvo prieš jo kūną. . Objekto judėjimas čia neatšaukiamas, bet kompensuojamas atitinkamu judesiu savo kūną- ir tai yra kitokia transformacijos forma nei pavertimas (, p. 16).

J. Piaget savo darbuose parodė, kad šios transformacijos pirmiausia pasireiškia sensomotorinių grandinių pavidalu (nuo 10 iki 12 mėnesių). Palaipsnis sensorinių-motorinių grandinių derinimas, funkcinė simbolika ir kalbos ekranas lemia tai, kad per daugybę etapų cirkuliacija ir abipusiškumas tampa intelektinių veiksmų (operacijų) savybėmis ir yra susintetinami vienoje operatoriaus struktūroje (laikotarpyje nuo 7 iki 11 ir nuo 12 iki 15 metų). Dabar vaikas visus judesius gali derinti į vieną pagal dvi atskaitos sistemas iš karto – vieną mobilią, kitą stacionarią.

J. Piaget tuo tiki psichologiniai tyrimai aritmetinių ir geometrinių operacijų vystymas vaiko galvoje (ypač tų loginių operacijų, kurios jose atliekamos prielaidas) leidžia tiksliai susieti mąstymo operatorių struktūras su algebrinėmis, tvarkos struktūromis ir topologinėmis (, p. 13). Taigi algebrinė struktūra („grupė“) atitinka proto operatoriaus mechanizmus, kuriems taikoma viena iš grįžtamumo formų - inversija (neigimas). Grupėje yra keturi elementarios savybės: dviejų grupės elementų sandauga taip pat suteikia grupės elementą; tiesioginė operacija atitinka vieną ir tik vieną atvirkštinę operaciją; yra tapatybės operacija; nuoseklios kompozicijos yra asociatyvios. Intelektinių veiksmų kalba tai reiškia:

Dviejų veiksmų sistemų koordinavimas yra nauja schema, pridedama prie ankstesnių;

Operacija gali vystytis dviem kryptimis;

Grįžę į pradinį tašką randame jį nepakitusią;

Galite pasiekti tą patį tašką įvairiais būdais, o pats taškas lieka nepakitęs.

„Nepriklausomo“ vaiko vystymosi faktai (t. y. vystymasis, nepriklausomas nuo tiesioginė įtaka mokslus) rodo neatitikimą tarp geometrijos etapų ir formavimo etapų tvarkos geometrinės sąvokos vaike. Pastarosios apytiksliai atitinka pagrindinių grupių eilės tvarką, kur topologija yra pirmoje vietoje. Vaikas, anot J. Piaget, pirmiausia išsiugdo topologinę intuiciją, o vėliau jis orientuojasi projekcinių ir metrinių struktūrų kryptimi. Todėl ypač, kaip pastebi J. Piaget, per pirmuosius piešimo bandymus vaikas neskiria kvadratų, apskritimų, trikampių ir kitų metrinių figūrų, o puikiai skiria atviras ir uždaras figūras, padėtį „išorėje“ arba „viduje“. ” sienos, padalijimo ir artumo atžvilgiu (kol kas neskiriant atstumų) ir kt. (, p. 23).

Panagrinėkime pagrindines J. Piaget suformuluotas nuostatas, susijusias su ugdymo turinio konstravimo klausimais. Visų pirma, J. Piaget tyrimai rodo, kad ikimokyklinio ir mokyklinė vaikystė Vaikas susikuria tokias operatyvines mąstymo struktūras, kurios leidžia įvertinti esmines daiktų klasių charakteristikas ir jų ryšius. Be to, jau konkrečių operacijų stadijoje (nuo 7 iki 8 metų) vaiko intelektas įgyja grįžtamumo savybę, kuri yra nepaprastai svarbi norint suprasti ugdymo dalykų, ypač matematikos, teorinį turinį.

Šie duomenys rodo, kad tradicinė psichologija o pedagogika nepakankamai atsižvelgė į tų vaiko psichikos raidos etapų, kurie siejami su laikotarpiu nuo 2 iki 7 ir nuo 7 iki 11 metų, sudėtingumą ir talpumą.

Atsižvelgdami į J. Piaget gautus rezultatus, galime padaryti keletą reikšmingų išvadų, susijusių su matematikos mokymo programos kūrimu. Visų pirma, faktiniai duomenys apie vaiko nuo 2 iki 11 metų intelekto formavimąsi rodo, kad šiuo metu jam ne tik „svetimos“ matematinėmis sąvokomis „santykis – struktūra“ aprašytų objektų savybės, bet pastarieji patys organiškai įsilieja į vaiko mąstymą.

Tradicinėse programose į tai neatsižvelgiama. Todėl jie nesuvokia daugelio galimybių, slypinčių vaiko intelektualinio vystymosi procese.

Šiuolaikinėje vaikų psichologijoje turima medžiaga leidžia teigiamai įvertinti bendrą idėją sukurti edukacinį dalyką, kuris būtų pagrįstas pradinių matematinių struktūrų sąvokomis. Žinoma, pakeliui yra didelių sunkumų, nes kol kas nėra tokio ugdymo dalyko konstravimo patirties. Visų pirma, vienas iš jų yra susijęs su amžiaus „slenksčio“, nuo kurio pradedama treniruotis, nustatymu nauja programa. Jei vadovausimės J. Piaget logika, tai, matyt, šių programų galima mokyti tik tada, kai vaikai jau turi visiškai susiformavusias operatorių struktūras (nuo 14 iki 15 metų). Bet jei manytume, kad tikra matematinis mąstymas vaikas formuojamas būtent procese, kurį J. Piaget įvardija kaip operatoriaus struktūrų lankstymo procesą, tada šios programos gali būti įdiegtos daug anksčiau (pavyzdžiui, nuo 7 iki 8 metų), kai vaikai pradeda formuoti specifines operacijas su aukščiausio lygio grįžtamumas. „Natūraliomis“ sąlygomis studijuojant pagal tradicines programas formalios operacijos gali susiformuoti tik sulaukus 13–15 metų. Bet ar galima „paspartinti“ jų formavimąsi anksčiau įvedant tokius mokomoji medžiaga, kurio asimiliacija reikalauja tiesioginės matematinių struktūrų analizės?

Panašu, kad tokių galimybių yra. Sulaukę 7 - 8 metų vaikai jau yra pakankamai susikūrę psichikos veiksmų planą, o mokantis pagal atitinkamą programą, kurioje „aiškiai“ pateikiamos matematinių struktūrų savybės ir vaikams suteikiamos priemonės jas analizuoti. galima greitai perkelti vaikus į „formalių“ operacijų lygį, nei per tą laiką, per kurį tai atliekama „nepriklausomo“ šių savybių atradimo metu.

Svarbu atsižvelgti į šią aplinkybę. Yra pagrindo manyti, kad mąstymo specifinių operacijų lygmeniu ypatumai, J. Piaget datuojami 7–11 metų amžiumi, patys neatsiejamai susiję su tradicinei pradinei mokyklai būdingomis mokymosi organizavimo formomis. Šie mokymai (tiek čia, tiek užsienyje) vyksta remiantis itin empiriniu turiniu, dažnai visai nesusijusiu su konceptualiu (teoriniu) požiūriu į objektą. Tokie mokymai palaiko ir stiprina vaikų mąstymą, pagrįstą išoriniu, tiesioginiu suvokimu, juntamais daiktų ženklais.

Taigi dabar yra įrodymų glaudus ryšys vaikų mąstymo struktūros ir bendrosios algebrinės struktūros, nors šio ryšio „mechanizmas“ toli gražu nėra aiškus ir beveik neištirtas. Šio ryšio buvimas atveria esmines galimybes (kol kas tik galimybes!) ugdomojo dalyko konstravimui, kuris vystosi pagal schemą „nuo paprastos konstrukcijos- į sudėtingas jų kombinacijas." Viena iš šių galimybių realizavimo sąlygų yra perėjimo prie mediuoto mąstymo ir jo amžiaus standartų tyrimas. Šis matematikos, kaip akademinio dalyko, konstravimo metodas pats savaime gali būti galingas svertas formuojant mokslą. tokio mąstymo, kuris paremtas gana tvirtu konceptualiu pagrindu, vaikai.

1.3 Algebrinių sąvokų kilmės problema ir jos reikšmė ugdymo dalyko konstravimui

Atskyrimas mokyklos kursas matematika algebrai ir aritmetikai, žinoma, sąlyginai. Perėjimas iš vieno į kitą vyksta palaipsniui. IN mokyklos praktikašio perėjimo prasmę užmaskuoja tai, kad trupmenų tyrimas faktiškai vyksta be plataus dydžių matavimo palaikymo – trupmenos pateikiamos kaip skaičių porų santykiai (nors dydžių matavimo svarba formaliai pripažįstama metodiniuose žinynuose). Išsamus trupmeninių skaičių įvedimas, pagrįstas dydžių matavimu, neišvengiamai veda prie tikrojo skaičiaus sampratos. Tačiau pastarasis dažniausiai neįvyksta, nes studentai ilgą laiką dirba su racionaliais skaičiais, todėl jų perėjimas prie „algebros“ vėluoja.

Kitaip tariant, mokyklinė algebra prasideda būtent tada, kai sudaromos sąlygos pereiti nuo sveikųjų prie realiųjų skaičių, į matavimo rezultatą išreikšti trupmena (paprastoji ir dešimtainė – baigtinė, o paskui begalinė).

Be to, pradinis žingsnis gali būti susipažinimas su matavimo operacija, galutinis rezultatas po kablelio ir tirti su jais susijusius veiksmus. Jei studentai jau žino šią matavimo rezultato įrašymo formą, tai yra būtina sąlyga norint „atsisakyti“ minties, kad skaičius gali būti išreikštas. begalinė trupmena. Ir šią prielaidą patartina sukurti jau pradinėje mokykloje.

Jei trupmeninio (racionalaus) skaičiaus sąvoka pašalinama iš mokyklinės aritmetikos, tada riba tarp jo ir „algebros“ eis sveikųjų ir realiųjų skaičių skirtumo linija. Būtent tai „supjausto“ matematikos kursą į dvi dalis. Tai ne paprastas skirtumas, o esminis šaltinių „dualizmas“ – skaičiavimas ir matavimas.

Vadovaujantis Lebesgue’o idėjomis dėl „bendros skaičiaus sampratos“, galima užtikrinti visišką matematikos mokymo vienybę, tačiau tik nuo to momento ir supažindinus vaikus su skaičiavimu ir sveikaisiais (natūraliais) skaičiais. Žinoma, šio išankstinio susipažinimo laikas gali skirtis (tradicinėse pradinių mokyklų programose jie aiškiai atidedami). praktiniai išmatavimai(taip yra programoje) - tačiau visa tai nepanaikina aritmetikos ir „algebros“, kaip mokomųjų dalykų, pagrindų skirtumų. Pradinių taškų „dualizmas“ taip pat neleidžia skyriams, susijusiems su dydžių matavimu ir perėjimu prie realių trupmenų, iš tikrųjų „įsišaknyti“ aritmetiniame kurse. Programų autoriai ir metodininkai siekia išlaikyti aritmetikos, kaip mokyklinio dalyko, stabilumą ir „grynumą“. Šis šaltinių skirtumas yra pagrindinė priežastis dėstyti matematiką pagal schemą - pirmiausia aritmetika (sveikasis skaičius), tada „algebra“ (realusis skaičius).

Ši schema atrodo gana natūrali ir nepajudinama, be to, ją pateisina ilgametė matematikos mokymo praktika. Tačiau yra aplinkybių, kurios loginiu-psichologiniu požiūriu reikalauja daugiau išsamią analizęšios griežtos mokymo schemos teisėtumą.

Faktas yra tas, kad, nepaisant visų šių skaičių skirtumų, jie nurodo būtent skaičius, t.y. į specialią kiekybinių santykių rodymo formą. Tai, kad sveikieji ir realieji skaičiai priklauso „skaičiams“, yra pagrindas daryti prielaidą apie pačius skaičiavimo ir matavimo skirtumus genetiniuose išvestiniuose: jie turi specialų ir vieną šaltinį, atitinkantį pačią skaičiaus formą. Šio vieningo skaičiavimo ir matavimo pagrindo ypatybių žinojimas leis aiškiau įsivaizduoti jų atsiradimo sąlygas, viena vertus, ir santykius, kita vertus.

Kur kreiptis norint rasti bendra šaknisšakotas skaičių medis? Atrodo, kad pirmiausia reikia išanalizuoti kiekybės sąvokos turinį. Tiesa, šis terminas iškart asocijuojasi su kita – dimensija. Tačiau tokio ryšio teisėtumas neatmeta tam tikro „dydžio“ reikšmės nepriklausomybės. Atsižvelgdami į šį aspektą galime padaryti išvadas, kurios, viena vertus, apjungia matavimą ir skaičiavimą, o kita vertus, manipuliavimą skaičiais su tam tikrais bendraisiais matematiniais ryšiais ir modeliais.

Taigi, kas yra „kiekis“ ir kuo jis naudingas kuriant pradines mokyklinės matematikos dalis?

IN bendram naudojimui terminas „didumas“ siejamas su sąvokomis „lygus“, „daugiau“, „mažiau“, kurios apibūdina įvairias savybes (ilgį ir tankį, temperatūrą ir baltumą). V.F. Kaganas kelia klausimą, kokių bendrų savybių turi šios sąvokos. Tai rodo, kad jie priklauso agregatams – aibėms vienarūšių objektų, kurio elementų palyginimas leidžia taikyti terminus „daugiau“, „lygus“, „mažiau“ (pvz., visų tiesių atkarpų, svorių, greičių ir kt. aibėms).

Objektų rinkinys paverčiamas dydžiu tik tada, kai nustatomi kriterijai, leidžiantys nustatyti bet kurio iš jos elementų A ir B atžvilgiu, ar A bus lygus B, didesnis už B ar mažesnis už B. Be to, bet kurie du elementai A ir B, vienas ir tik vienas iš santykių: A=B, A>B, A<В.

Šie sakiniai sudaro visišką disjunkciją (bent vienas galioja, bet kiekvienas neįtraukia visų kitų).

V.F. Kaganas išskiria šias aštuonias pagrindines sąvokų „lygus“, „daugiau“, „mažiau“ savybes: (, p. 17-31).

1) Bent vienas iš ryšių galioja: A=B, A>B, A<В.

2) Jei galioja santykis A = B, tai santykis A negalioja<В.

3) Jeigu galioja santykis A=B, tai santykis A>B negalioja.

4) Jei A=B ir B=C, tai A=C.

5) Jei A>B ir B>C, tai A>C.

6) Jei A<В и В<С, то А<С.

7) Lygybė yra grįžtamasis ryšys: iš santykio A=B visada seka santykis B=A.

8) Lygybė yra abipusis ryšys: kad ir koks būtų nagrinėjamos aibės elementas A, A = A.

Pirmieji trys sakiniai apibūdina pagrindinių santykių „=", ">, " disjunkciją.<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Šios išvadinės V.F. Kaganas aprašo aštuonių teoremų forma:

I. Santykis A>B neapima santykio B>A (A<В исключает В<А).

II. Jei A>B, tai B<А (если А<В, то В>A).

III. Jei A>B galioja, tai A negalioja.

IV. Jei A1=A2, A2=A3,..., An-1=A1, tai A1=An.

V. Jei A1>A2, A2>A3,..., An-1>An, tada A1>An.

VI. Jei A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Jei A=C ir B=C, tai A=B.

VIII. Jei yra lygybė arba nelygybė A=B, arba A>B, arba A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

jei A=B ir A=C, tai C=B;

jei A>B ir A=C, tai C>B ir pan.).

Palyginimo postulatai ir teoremos, nurodo V.F. Kagano teigimu, „išnaudotos visos tos sąvokų „lygus“, „daugiau“ ir „mažiau“ savybės, kurios matematikoje su jomis siejamos ir randamos, nepaisant atskirų aibės savybių, kurių elementams jas taikome. įvairūs ypatingi atvejai“ (, 31 ​​psl.).

Postulatuose ir teoremose nurodytos savybės gali apibūdinti ne tik tuos tiesioginius objektų požymius, kuriuos esame įpratę sieti su „lygus“, „daugiau“, „mažiau“, bet ir su daugeliu kitų požymių (pavyzdžiui, gali apibūdinti santykį). „protėvis - palikuonis“). Tai leidžia apibendrinti juos aprašant ir, pavyzdžiui, šių postulatų ir teoremų požiūriu apsvarstyti bet kokius tris santykių tipus „alfa“, „beta“, „gama“ (šiuo atveju tai galima nustatyti, ar šie santykiai tenkina postulatus bei teoremas ir kokiomis sąlygomis).

Šiuo požiūriu galima, pavyzdžiui, nagrinėti tokią daiktų savybę kaip kietumas (kietesnis, minkštesnis, vienodas kietumas), įvykių seka laike (sekantis, einantis, vienu metu) ir kt. Visais šiais atvejais santykiai „alfa“, „beta“, „gama“ turi savo specifinį aiškinimą. Užduotis, susijusi su tokio kūnų rinkinio, kuris turėtų šiuos ryšius, atranka, taip pat ženklų, pagal kuriuos būtų galima apibūdinti „alfa“, „beta“, „gama“, identifikavimas - tai užduotis nustatyti palyginimo kriterijus. tam tikrame kūnų rinkinyje (praktikoje kai kuriais atvejais tai nėra lengva išspręsti). „Nustatydami palyginimo kriterijus, daugumą paverčiame dydžiu“, – rašė V.F. Kaganas (, p. 41).

Į tikrus objektus galima žiūrėti iš skirtingų kriterijų perspektyvos. Taigi žmonių grupę galima laikyti pagal tokį kriterijų kaip kiekvieno jos nario gimimo momentų seka. Kitas kriterijus – santykinė padėtis, kurią užims šių žmonių galvos, jei jos bus pastatytos viena šalia kitos toje pačioje horizontalioje plokštumoje. Kiekvienu atveju grupė bus transformuota į kiekį, kuris turi atitinkamą pavadinimą – amžius, ūgis. Praktikoje kiekis dažniausiai žymi ne pačią elementų rinkinį, o naują sąvoką, įvestą siekiant atskirti palyginimo kriterijus (kiekybės pavadinimą). Taip atsiranda sąvokos „tūris“, „svoris“, „elektros įtampa“ ir kt. „Tuo pačiu metu matematikui reikšmė yra visiškai apibrėžta, kai nurodoma daug elementų ir palyginimo kriterijų“, – pažymėjo V.F. Kaganas (, p. 47).

Šis autorius svarbiausiu matematinio dydžio pavyzdžiu laiko natūralią skaičių seką. Tokio palyginimo kriterijaus, kaip skaičių užimama padėtis eilutėje (jie užima tą pačią vietą, seka ..., pirmesnė) požiūriu, ši serija atitinka postulatus ir todėl reiškia kiekį. Pagal atitinkamus palyginimo kriterijus trupmenų rinkinys taip pat paverčiamas kiekiu.

Tai, anot V.F. Kaganas, kiekybės teorijos turinys, kuris vaidina lemiamą vaidmenį visos matematikos pagrindu.

Dirbdami su dydžiais (patartina įrašyti jų individualias reikšmes raidėmis), galite atlikti sudėtingą transformacijų sistemą, nustatydami jų savybių priklausomybes, pereidami nuo lygybės prie nelygybės, atlikdami sudėjimą (ir atimtį) ir pridėdami. galite vadovautis komutacinėmis ir asociatyvinėmis savybėmis. Taigi, jei duotas santykis A = B, tada „sprendžiant“ uždavinius galite vadovautis santykiu B = A. Kitu atveju, jei yra ryšiai A>B, B=C, galime daryti išvadą, kad A>C. Kadangi a>b yra c, kad a=b+c, ​​tada galime rasti skirtumą tarp a ir b (a-b=c) ir kt. Visas šias transformacijas galima atlikti fiziniai kūnai ir kitus objektus, nustatant palyginimo kriterijus ir pasirinktų ryšių atitiktį palyginimo postulatams.

Aukščiau pateiktos medžiagos leidžia daryti išvadą, kad tiek natūralūs, tiek realieji skaičiai yra vienodai stipriai susiję su kiekiais ir kai kuriomis esminėmis jų savybėmis. Ar galima šias ir kitas savybes paversti objektu? specialus tyrimas vaikas dar prieš įvedant skaitinę dydžių ryšio apibūdinimo formą? Jie gali būti būtinos sąlygos vėliau išsamiai įvesti numerį ir jo numerį skirtingų tipų, ypač trupmenų propedeutikai, koordinačių sąvokoms, funkcijoms ir kitoms sąvokoms, kurios jau yra jaunesniųjų klasių.

Koks galėtų būti to turinys pradinė dalis? Tai įvadas į fiziniai objektai, jų palyginimo kriterijai, išryškinant kiekį kaip matematinio svarstymo dalyką, susipažinus su palyginimo metodais ir simbolinėmis jo rezultatų registravimo priemonėmis, su dydžių bendrųjų savybių analizės metodais. Šį turinį reikia išvystyti į gana išsamią mokymo programą ir, svarbiausia, susieti su tais vaiko veiksmais, per kuriuos jis gali įsisavinti šį turinį (žinoma, atitinkama forma). Tuo pačiu metu būtina eksperimentiškai nustatyti, ar 7 metų vaikai gali įsisavinti šią programą ir kokia yra jos įdiegimo galimybė vėlesniam matematikos mokymui pradinėse klasėse, siekiant priartinti aritmetiką ir pirminę algebrą. kartu.

Iki šiol mūsų samprotavimai buvo teorinio pobūdžio ir buvo skirti išsiaiškinti matematines prielaidas sukurti tokią pradinę kurso dalį, kuri supažindintų vaikus su pagrindinėmis algebrinėmis sąvokomis (iki specialus įvadas skaičiai).

Pagrindinės dydžius apibūdinančios savybės buvo aprašytos aukščiau. Natūralu, kad 7 metų vaikams nėra prasmės skaityti „paskaitas“ apie šias savybes. Reikėjo rasti tokią darbo formą vaikams su didaktinė medžiaga, per kurią jie, viena vertus, galėtų atpažinti šias savybes juos supančius daiktus, kita vertus, išmoktų jas užfiksuoti tam tikra simbolika ir atlikti elementarius matematinė analizė paskirstyti santykiai.

Šiuo atžvilgiu programoje, pirma, turėtų būti nurodyta tų dalyko savybių, kurias reikia įsisavinti, antra, didaktinės medžiagos aprašymas, trečia - ir tai yra pagrindinis dalykas psichologiniu požiūriu - savybės. tų veiksmų, kuriais vaikas identifikuoja tam tikras daikto savybes ir jas įvaldo. Šie „komponentai“ sudaro mokymo programą tikrąja to žodžio prasme.

Specifinės savybės Prasminga šią hipotetinę programą ir jos „komponentus“ pateikti aprašant patį mokymosi procesą ir jo rezultatus. Čia yra šios programos ir pagrindinių jos temų metmenys.

I tema. Objektų niveliavimas ir užbaigimas (pagal ilgį, tūrį, svorį, dalių sudėtį ir kitus parametrus).

Praktinės niveliavimo ir įgijimo užduotys. Požymių (kriterijų), pagal kuriuos galima sulyginti ar užbaigti tuos pačius objektus, nustatymas. Žodinis šių savybių žymėjimas („pagal ilgį, svorį“ ir kt.).

Šios užduotys sprendžiamos dirbant su didaktine medžiaga (strypais, svarmenimis ir kt.):

Pasirinkę tą patį elementą,

„To paties“ objekto atgaminimas (konstravimas) pagal pasirinktą (nurodytą) parametrą.

II tema. Objektų palyginimas ir jo rezultatų fiksavimas naudojant lygybės-nelygybės formulę.

1. Objektų palyginimo ir šio veiksmo rezultatų simbolinio įvardijimo užduotys.

2. Žodinis palyginimo rezultatų fiksavimas (terminai „daugiau“, „mažiau“, „lygus“). Rašytiniai ženklai ">", "<", "=".

3. Palyginimo rezultato nurodymas brėžiniu ("kopijavimas" ir tada "abstraktus" - linijos).

4. Lyginamų objektų žymėjimas raidėmis. Palyginimo rezultato įrašymas naudojant formules: A=B; A<Б, А>B.

Raidė kaip ženklas, fiksuojantis tiesiogiai duotą, konkrečią objekto vertę pagal pasirinktą parametrą (pagal svorį, tūrį ir pan.).

5. Neįmanoma nustatyti palyginimo rezultato naudojant skirtingas formules. Konkrečios formulės parinkimas duotam rezultatui (visiškas ryšių didesnis – mažesnis – lygus disjunkcija).

III tema. Lygybės ir nelygybės savybės.

1. Lygybės grįžtamumas ir refleksyvumas (jei A=B, tai B=A; A=A).

2. Ryšys tarp santykių „daugiau“ ir „mažiau“ nelygybėse lyginamų šalių „permutacijų“ metu (jei A>B, tai B<А и т.п.).

3. Tranzityvumas kaip lygybės ir nelygybės savybė:

jei A = B, jei A> B, jei A<Б,

a B = B, a B> B, a B<В,

tada A=B; tada A>B; tada A<В.

4. Perėjimas nuo darbo su dalykine didaktine medžiaga prie lygybės ir nelygybės savybių vertinimo esant tik pažodinėms formulėms. Sprendžiant įvairius uždavinius, kuriems reikia žinoti šias savybes (pavyzdžiui, spręsti uždavinius, susijusius su ryšių tipo ryšiu: atsižvelgiant į tai, kad A>B, ir B=C; išsiaiškinti ryšį tarp A ir C).

IV tema. Sudėjimo (atimties) operacija.

1. Objektų kitimo stebėjimai pagal vieną ar kitą parametrą (pagal tūrį, svorį, trukmę ir pan.). Didėjimo ir mažėjimo iliustracija su „+“ ir „-“ (pliuso ir minuso) ženklais.

2. Anksčiau nustatytos lygybės pažeidimas atitinkamai pakeičiant vieną ar kitą jos pusę. Perėjimas nuo lygybės prie nelygybės. Rašyti tokias formules:

jei A = B, jei A = B,

tada A+K>B; tada A-K<Б.

3. Perėjimo prie naujos lygybės būdai (jos „atstatymas“ pagal principą: „lygus“ pridėjus „lygus“, gaunamas „lygus“).

Darbas su tokiomis formulėmis kaip:

tada A+K>B,

bet A+K=B+K.

4. Įvairių problemų sprendimas, kai pereinant nuo lygybės prie nelygybės ir atgal reikia naudoti sudėjimą (atimtį).

V tema. Perėjimas nuo A tipo nelygybės<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Užduotys, kurioms reikalingas toks perėjimas. Poreikis nustatyti dydžio, kuriuo skiriasi lyginami objektai, vertę. Gebėjimas rašyti lygybę, kai konkreti šio kiekio reikšmė nežinoma. x (x) naudojimo būdas.

Rašyti tokias formules:

jei A<Б, если А>B,

tada A+x=B; tada A-x=B.

2. x reikšmės nustatymas. Šios reikšmės pakeitimas formulėje (įvadas į skliaustus). Įveskite formules

3. Spręsti uždavinius (įskaitant „siužetinį-tekstinį“), reikalaujantį atlikti nurodytas operacijas.

Tema Vl. Lygybių-nelygybių pridėjimas-atėmimas. Pakeitimas.

1. Lygybių-nelygybių pridėjimas-atėmimas:

jei A=B, jei A>B, jei A>B

ir M = D, ir K> E, ir B = G,

tada A+M=B+D; tada A+K>B+E; tada A+-B>C+-G.

2. Gebėjimas pavaizduoti kiekio reikšmę kaip kelių reikšmių sumą. Tipo pakeitimas:

3. Įvairių problemų sprendimas, reikalaujantis atsižvelgti į santykių ypatybes, su kuriomis vaikai susipažino darbo metu (daugeliui užduočių reikia vienu metu atsižvelgti į kelias savybes, sumanumo vertinant formulių reikšmę; problemų ir sprendimų aprašymai pateikiami žemiau ).

Tai programa, skirta 3,5 - 4 mėnesiams. pirmąjį pusmetį. Kaip rodo eksperimentinio mokymosi patirtis, tinkamai planuojant pamokas, tobulinant mokymo metodus ir geras pasirinkimas mokymo priemones visą programoje pateiktą medžiagą vaikai gali pilnai įsisavinti daugiau nei trumpalaikis(3 mėnesiams).

Kaip vyksta mūsų programa? Visų pirma, vaikai susipažįsta su skaičiaus gavimo metodu, kuris išreiškia objekto, kaip visumos, santykį (tą patį kiekį, kurį vaizduoja tęstinis arba atskiras objektas) su jo dalimi. Toks požiūris ir jo specifinę reikšmę yra pavaizduotas formule A/K = n, kur n yra bet koks sveikasis skaičius, dažniausiai išreiškiantis tikslų santykį su "vienu" (tik specialiai parinkus medžiagą arba skaičiuojant tik "kokybiškai" atskirus dalykus galima gauti visiškai tikslų sveikasis skaičius). Vaikai nuo pat pradžių yra „verčiami“ turėti omenyje, kad matuojant ar skaičiuojant gali susidaryti likutis, kurio buvimas turi būti specialiai nustatytas. Tai pirmas žingsnis į tolesnį darbą su trupmenomis.

Naudojant šią skaičių gavimo formą, nėra sunku priversti vaikus apibūdinti objektą tokia formule kaip A = 5k (jei santykis buvo lygus „5“). Kartu su pirmąja formule ji atveria galimybes specialiam priklausomybių tarp objekto, bazės (mato) ir skaičiavimo rezultato (matavimo) tyrimui, kuris taip pat yra propedeutinis perėjimas prie trupmeniniai skaičiai(ypač norint suprasti pagrindines trupmenų savybes).

Kita programos kūrimo kryptis, įgyvendinta jau pirmoje klasėje, yra pagrindinių kiekybės savybių (lygybės-nelygybės disjunkcija, tranzityvumas, invertibilumas) perkėlimas į skaičius (sveikuosius skaičius) ir sudėjimo operacija (komutatyvumas, asociatyvumas, monotoniškumas, nelygybės disjunkcija). atimties galimybė). Visų pirma, dirbant skaičių eilutė, vaikai gali greitai konvertuoti skaičių seką į reikšmę (pavyzdžiui, aiškiai įvertinti jų tranzityvumą atlikdami 3 tipo žymėjimus<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Susipažinimas su kai kuriomis vadinamosiomis „struktūrinėmis“ lygybės ypatybėmis leidžia vaikams skirtingai suprasti sudėjimo ir atimties ryšį. Taigi, pereinant nuo nelygybės prie lygybės, atliekamos šios transformacijos: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; raskite ryšį tarp kairės ir dešinės formulės pusių 8+1-4...6+3-2; esant nelygybei, perkelkite šią išraišką į lygybę (pirmiausia reikia įdėti ženklą „mažiau nei“, o tada pridėti „du“ kairėje pusėje).

Taigi skaičių eilučių traktavimas kaip kiekį leidžia lavinti sudėties ir atimties (o vėliau daugybos ir dalybos) įgūdžius nauju būdu.

Kaip žinia, mokantis matematikos 5 klasėje, nemaža laiko dalis skiriama kartoti tai, ką vaikai turėjo išmokti pradinėje mokykloje. Šis kartojimas beveik visuose esamuose vadovėliuose trunka 1,5 akademinio ketvirčio. Tokia situacija susiklostė neatsitiktinai. Jo priežastis – vidurinių mokyklų matematikos mokytojų nepasitenkinimas pradinių klasių abiturientų paruošimu. Kokia šios situacijos priežastis? Tuo tikslu buvo išanalizuoti penki šiandien žinomiausi pradinių klasių matematikos vadovėliai. Tai M.I. vadovėliai. Moro, I.I. Arginskaja, N.B. Istomina, L.G. Petersonas ir V.V. Davydova (, , , ,).

Šių vadovėlių analizė atskleidė keletą neigiamų aspektų, didesniu ar mažesniu mastu kiekviename iš jų ir neigiamai veikiančių tolesnį mokymąsi. Visų pirma, medžiagos įsisavinimas juose daugiausia grindžiamas įsiminimu. Ryškus to pavyzdys yra daugybos lentelės įsiminimas. Pradinėje mokykloje tam įsiminti skiriama daug pastangų ir laiko. Tačiau per vasaros atostogas vaikai ją pamiršta. Tokio greito užmaršimo priežastis – mokymasis atsitiktinai. Tyrimą atliko L.S. Vygotskis parodė, kad prasmingas įsiminimas yra daug veiksmingesnis nei mechaninis įsiminimas, o vėlesni eksperimentai įtikinamai įrodo, kad medžiaga patenka į ilgalaikę atmintį tik tada, kai ji prisimenama kaip šią medžiagą atitinkančio darbo rezultatas.

Metodas, kaip efektyviai įsisavinti daugybos lentelę, buvo rastas dar šeštajame dešimtmetyje. Ją sudaro tam tikros pratimų sistemos organizavimas, kurias atlikdami vaikai patys konstruoja daugybos lentelę. Tačiau šis metodas neįgyvendintas nė viename iš recenzuotų vadovėlių.

Kitas neigiamas momentas, turintis įtakos tolesniam mokymuisi, yra tai, kad daugeliu atvejų pradinių klasių matematikos vadovėliuose medžiagos pateikimas yra susistemintas taip, kad ateityje vaikai turės būti perkvalifikuoti, o tai, kaip žinome, yra daug sunkiau. nei mokymas. Kalbant apie algebrinės medžiagos tyrimą, pavyzdys būtų lygčių sprendimas pradinėje mokykloje. Visuose vadovėliuose lygčių sprendimas grindžiamas nežinomų veiksmų komponentų radimo taisyklėmis.

Tai kiek kitaip daroma tik vadovėlyje L.G. Peterson, kur, pavyzdžiui, daugybos ir padalijimo lygčių sprendimas yra pagrįstas lygties komponentų koreliavimu su stačiakampio kraštinėmis ir plotu ir galiausiai taip pat priklauso nuo taisyklių, tačiau tai yra taisyklės, kaip rasti kraštinę arba plotą. stačiakampis. Tuo tarpu nuo 6 klasės vaikai mokomi visiškai kitokio lygčių sprendimo principo, paremto identiškų transformacijų naudojimu. Šis iš naujo mokymosi poreikis lemia tai, kad lygčių sprendimas daugeliui vaikų yra gana sudėtingas uždavinys.

Analizuodami vadovėlius susidūrėme ir su tuo, kad juose pateikiant medžiagą dažnai būna iškraipomos sąvokos. Pavyzdžiui, daugelio apibrėžimų formuluotė pateikiama implikacijų forma, o iš matematinės logikos žinoma, kad bet koks apibrėžimas yra lygiavertiškumas. Kaip iliustraciją galime pateikti daugybos apibrėžimą iš I.I. vadovėlio. Arginskaya: „Jei visi sumos nariai yra lygūs vienas kitam, tada sudėjimą galima pakeisti kitu veiksmu - daugyba“. (Visi sumos nariai yra lygūs vieni kitiems. Todėl sudėtį galima pakeisti daugyba.) Kaip matote, tai yra gryna forma. Ši formuluotė ne tik neraštinga matematikos požiūriu, ji ne tik neteisingai formuoja vaikams supratimą apie tai, kas yra apibrėžimas, bet ir labai žalinga, nes ateityje, pavyzdžiui, konstruojant daugybos lentelę, vadovėlių autoriai naudoja sandaugos pakeitimą identiškų terminų suma, o pateikta formuluotė to neleidžia. Toks neteisingas darbas su teiginiais, parašytais implikacijos forma, formuoja vaikams neteisingą stereotipą, kuris bus sunkiai įveikiamas geometrijos pamokose, kai vaikai nepajus skirtumo tarp tiesioginio ir priešingo teiginio, tarp figūros ženklo ir jo nuosavybė. Labai dažnai pasitaiko klaida, kai sprendžiant uždavinius naudojama atvirkštinė teorema, nors buvo įrodyta tik tiesioginė teorema.

Kitas neteisingo sąvokos formavimo pavyzdys yra darbas su pažodiniu lygybės santykiu. Pavyzdžiui, skaičiaus dauginimo iš vieneto ir skaičiaus iš nulio taisyklės visuose vadovėliuose pateiktos raidžių forma: a x 1 = a, a x 0 = 0. Lygybės santykis, kaip žinoma, yra simetriškas, todėl toks. žymėjimas numato ne tik tai, kad padauginus iš 1 gaunamas tas pats skaičius, bet ir tai, kad bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip šio skaičiaus ir vieneto sandauga. Tačiau vadovėliuose po laiško įvedimo siūloma žodinė formuluotė kalba tik apie pirmąją galimybę. Pratimai šia tema taip pat skirti tik tam, kad būtų pratinamasi skaičiaus ir vieneto sandaugą pakeisti šiuo skaičiumi. Visa tai lemia ne tik tai, kad labai svarbus punktas netampa vaikų sąmonės objektu: sandauga gali būti užrašytas bet koks skaičius, kuris algebroje sukels atitinkamų sunkumų dirbant su daugianariais, bet ir faktas, kad vaikai iš esmės nemoka teisingai dirbti su lygybės santykiu. Pavyzdžiui, dirbdami su kvadratų skirtumo formule, vaikai, kaip taisyklė, susidoroja su kvadratų skirtumo faktoriaus užduotimi. Tačiau tos užduotys, kai reikia atlikti priešingą veiksmą, daugeliu atvejų sukelia sunkumų. Kitas ryškus šios idėjos pavyzdys yra darbas su daugybos paskirstymo dėsniu, palyginti su pridėjimu. Ir čia, nepaisant įstatymo raidžių rašymo, tiek jo žodinė formuluotė, tiek pratimų sistema tik lavina gebėjimą skliausteliuose. Dėl to bendro veiksnio išbraukimas iš skliaustų sukels didelių sunkumų ateityje.

Gana dažnai pradinėje mokykloje, net ir teisingai suformulavus apibrėžimą ar taisyklę, mokymasis skatinamas pasikliaujant ne jais, o kažkuo visai kitu. Pavyzdžiui, studijuojant daugybos iš 2 lentelę, visi peržiūrėti vadovėliai parodo, kaip ją sudaryti. Vadovėlyje M.I. Moro padarė taip:

Taikydami šį darbo metodą vaikai labai greitai pastebės gautų skaičių serijų modelį.

Po 3-4 lygybių jie nustos dėti du ir pradės rašyti rezultatą pagal pastebėtą modelį. Taigi daugybos lentelės sudarymo metodas netaps jų sąmonės objektu, o tai lems trapią jos asimiliaciją.

Studijuojant medžiagą pradinėje mokykloje, remiamasi objektyviais veiksmais ir iliustraciniu aiškumu, o tai lemia empirinio mąstymo formavimąsi. Žinoma, be tokio matomumo pradinėje mokykloje vargu ar galima apsieiti. Bet tai turėtų būti tik kaip to ar kito fakto iliustracija, o ne kaip koncepcijos formavimo pagrindas. Iliustratyvaus aiškumo ir esminių veiksmų naudojimas vadovėliuose dažnai lemia, kad pati sąvoka yra „neryški“. Pavyzdžiui, matematikos metoduose 1–3 klasėms M.I. Moreau sako, kad vaikai turi skirstyti daiktus į krūvas arba nupiešti 30 pamokų. Tokie veiksmai praranda dalybos operacijos esmę kaip atvirkštinis daugybos veiksmas. Dėl to dalybos išmokstamos su didžiausiais sunkumais ir yra daug blogiau nei kitos aritmetinės operacijos.

Pradinėje mokykloje mokant matematikos apie kokių nors teiginių įrodymą nėra kalbos. Tuo tarpu prisiminus, kaip sunku bus mokyti įrodinėjimo vidurinėje mokykloje, tam reikia pradėti ruoštis jau pradinėse klasėse. Be to, tai galima padaryti naudojant medžiagą, kuri yra gana prieinama pradinių klasių mokiniams. Pavyzdžiui, tokia medžiaga gali būti skaičiaus padalijimo iš 1, nulio iš skaičiaus ir skaičiaus iš savęs taisyklės. Vaikai gana pajėgūs tai įrodyti naudodami dalybos apibrėžimą ir atitinkamas daugybos taisykles.

Pradinės mokyklos medžiaga taip pat leidžia atlikti algebros propedeutiką – dirbti su raidėmis ir raidžių išraiškomis. Dauguma vadovėlių vengia vartoti raides. Dėl to ketverius metus vaikai beveik vien dirba su skaičiais, po kurių, žinoma, labai sunku juos pripratinti prie darbo su raidėmis. Tačiau tokiam darbui teikti propedeutiką, jau pradinėje mokykloje išmokyti vaikus vietoj raidės į raidinę išraišką pakeisti skaičių. Tai buvo padaryta, pavyzdžiui, vadovėlyje L.G. Petersonas.

Kalbant apie matematikos mokymo pradinėse klasėse trūkumus, kurie trukdo mokytis toliau, būtina ypač pabrėžti tai, kad dažnai vadovėliuose medžiaga pateikiama nežiūrint, kaip ji veiks ateityje. Labai ryškus to pavyzdys yra mokymosi daugybos iš 10, 100, 1000 ir kt. Visuose apžvelgtuose vadovėliuose šios medžiagos pateikimas susistemintas taip, kad vaikų mintyse neišvengiamai susiformuotų taisyklė: „Norint skaičių padauginti iš 10, 100, 1000 ir t.t., reikia Dešinėje pusėje pridėti tiek nulių, kiek yra 10, 100, 1000 ir tt." Ši taisyklė yra viena iš tų, kurios labai gerai išmokstama pradinėje mokykloje. Dėl to dauginant dešimtaines trupmenas iš sveikų skaitmenų vienetų atsiranda daug klaidų. Net ir prisiminę naują taisyklę, vaikai, daugindami iš 10, dažnai automatiškai prideda nulį dešimtainio skaičiaus dešinėje. Be to, reikia pastebėti, kad dauginant natūralųjį skaičių ir dešimtainę trupmeną dauginant iš sveikų skaitmenų vienetų, iš esmės vyksta tas pats: kiekvienas skaičiaus skaitmuo atitinkamu skaitmenų skaičiumi pasislenka į dešinę. Todėl nėra prasmės mokyti vaikus dviejų atskirų ir visiškai formalių taisyklių. Daug naudingiau juos išmokyti bendro būdo, kaip elgtis sprendžiant panašias problemas.

2.1 Sąvokų palyginimas (kontrastavimas) matematikos pamokose

Dabartinė programa numato I klasėje studijuoti tik dvi pirmojo lygio operacijas – sudėtį ir atimtį. Pirmųjų studijų metų apribojimas tik dviem operacijomis iš esmės yra nukrypimas nuo to, kas jau buvo pasiekta vadovėliuose, buvusiuose prieš dabartinius: nei vienas mokytojas tada niekada nesiskundė, kad daugyba ir dalyba, tarkime, per 20, yra peržengiama. pirmokų gebėjimai . Atkreiptinas dėmesys ir į tai, kad kitų šalių mokyklose, kuriose mokslas pradedamas nuo 6 metų, pirmieji mokslo metai apima pirminį susipažinimą su visais keturiais aritmetikos veiksmais. Matematika visų pirma remiasi keturiais veiksmais, ir kuo anksčiau jie bus įtraukti į mokinio mąstymo praktiką, tuo stabilesnis ir patikimesnis bus tolesnis matematikos kurso vystymas.

Teisybės dėlei reikia pažymėti, kad pirmuosiuose M.I.I klasės vadovėlių versijose buvo pateikta daugybos ir dalybos. Tačiau nelaimingas atsitikimas sutrukdė: naujų programų autoriai atkakliai laikėsi vienos „naujovės“ - visų sudėjimo ir atėmimo atvejų aprėpties pirmoje klasėje per 100 (37+58 ir 95-58 ir kt.). Tačiau kadangi nebuvo pakankamai laiko tokiam išplėstiniam informacijos kiekiui ištirti, buvo nuspręsta daugybą ir dalybą visiškai perkelti į kitus studijų metus.

Taigi susižavėjimas programos linijiškumu, t. y. grynai kiekybiniu žinių išplėtimu (tie patys veiksmai, bet su didesniais skaičiais), atėmė laiką, kuris anksčiau buvo skirtas kokybiniam žinių gilinimui (visų keturių veiksmų studijoms). dvi dešimtys). Daugybos ir dalybos mokymasis jau pirmoje klasėje reiškia kokybinį mąstymo šuolį, nes leidžia įvaldyti kondensuotus mąstymo procesus.

Remiantis tradicijomis, sudėties ir atimties per 20 tyrimas buvo ypatinga tema. Šio metodo poreikis sisteminant žinias matomas net iš loginės klausimo analizės: faktas yra tas, kad visa lentelė, skirta pridėti vieną skaitmenį. skaičiai plėtojami per dvi dešimtis (0+1= 1, ...,9+9=18). Taigi skaičiai, esantys 20 viduje, sudaro pilną santykių sistemą savo vidiniuose ryšiuose; todėl „Dvidešimties“ kaip antrosios holistinės temos išsaugojimo tikslingumas yra aiškus (pirmoji tokia tema – veiksmai pirmajame dešimtyje).

Aptariamas atvejis kaip tik toks, kai koncentriškumas (antrojo dešimtuko kaip ypatingos temos išsaugojimas) pasirodo naudingesnis nei tiesiškumas (antrojo dešimtuko „ištirpimas“ į „šimto“ temą).

M.I. Moro vadovėlyje pirmojo dešimties tyrimas yra padalintas į dvi atskiras dalis: pirmiausia nagrinėjama pirmojo dešimties skaičių sudėtis, o kitoje temoje nagrinėjami veiksmai, skirti 10 pateikė P.M. Erdnieva, priešingai, atliko bendrą numeracijos, skaičių sudėties ir operacijų (sudėtis ir atimtis) tyrimą iš karto 10 vienoje dalyje. Taikant šį metodą, naudojamas monografinis skaičių tyrimas, būtent: nagrinėjamame skaičiuje (pavyzdžiui, 3) iš karto suprantama visa „pinigų matematika“: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3–2 = 1.

Jei pagal dabartines programas pirmam dešimtiui buvo skirta 70 valandų studijuoti, tai eksperimentinio mokymo atveju visa ši medžiaga buvo išstudijuota per 50 valandų (be programos buvo atsižvelgta į kai kurias papildomas sąvokas, kurių nebuvo stabilus vadovėlis, bet buvo struktūriškai susiję su pagrindine medžiaga).

Pradinio mokymo metodikoje ypatingo dėmesio reikalauja užduočių klasifikavimo ir jų tipų pavadinimų klausimas. Metodininkų kartos stengėsi racionalizuoti mokyklinių užduočių sistemą, sukurti efektyvius jų tipus ir atmainas, iki pat sėkmingų terminų parinkimo mokykloje skirtų užduočių pavadinimams. Žinoma, kad joms spręsti matematikos pamokose skiriama ne mažiau kaip pusė mokymo laiko. Mokyklos užduotis tikrai reikia sisteminti ir klasifikuoti. Kokią užduotį tirti, kada ją tirti, kokio tipo problemą tirti, susijusią su konkretaus skyriaus ištrauka – tai yra teisėtas metodikos ir pagrindinių programų turinio tyrimo objektas. Šios aplinkybės reikšmė akivaizdi iš matematikos metodologijos istorijos.

Autoriaus eksperimentinėse mokymo priemonėse ypatingas dėmesys skiriamas užduočių klasifikavimui ir mokymui konkrečioje klasėje reikalingų jų tipų ir atmainų paskirstymui. Šiuo metu klasikiniai uždavinių tipų pavadinimai (rasti sumą, nežinomą terminą ir pan.) dingo net iš stabilaus pirmos klasės vadovėlio turinio. Bandomajame vadovėlyje P.M. Erdnievo, šie vardai „veikia“: jie naudingi kaip didaktiniai etapai ne tik mokiniui, bet ir mokytojui. Pateiksime bandomojo matematikos vadovėlio pirmosios temos turinį, kuriam būdingas loginis sąvokų išsamumas.

Pirmieji dešimt

Lyginant sąvokas aukštesnis – žemesnis, kairysis – dešinysis, tarp, trumpesnis – ilgesnis, platesnis – siauresnis, storesnis – plonesnis, senesnis – jaunesnis, toliau – arčiau, lėčiau – greičiau, lengvesnis – sunkesnis, mažai – daug.

Monografinis pirmojo dešimtuko skaičių tyrimas: pavadinimas, žymėjimas, palyginimas, skaičių dėjimas į abakusą ir skaičių žymėjimas skaičių eilutėje; ženklai: lygus (=), nelygus (¹), didesnis nei (>), mažesnis nei (<).

Tiesios ir lenktos linijos; apskritimas ir ovalas.

Taškas, tiesė, atkarpa, jų žymėjimas raidėmis; atkarpos ilgio matavimas ir nurodyto ilgio atkarpų išdėstymas; žymėjimas, įvardijimas, konstravimas, lygių trikampių, lygių daugiakampių išpjovimas. Daugiakampio elementai: viršūnės, kraštinės, įstrižainės (žymimos raidėmis).

Monografinis skaičių tyrimas nagrinėjamame skaičiuje:

skaičių sudėtis, sudėjimas ir atėmimas.

Sudėjimo ir atimties komponentų pavadinimai.

Keturi sudėjimo ir atimties pavyzdžiai:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Deformuoti pavyzdžiai (su trūkstamais skaičiais ir ženklais):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Problemų sprendimas ieškant sumos ir sudėjimo, skirtumo, minuend ir subtrahend. Abipusiai atvirkštinių uždavinių kompiliavimas ir sprendimas.

Trys užduotys: skaičių padidinti ir sumažinti keliais vienetais ir palyginti skirtumus. Segmentų palyginimas pagal ilgį.

Komutacinis sudėjimo dėsnis. Sumos pokytis, priklausantis nuo vieno termino pasikeitimo. Sąlyga, kai suma nesikeičia. Paprasčiausios pažodinės išraiškos: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Raiškos uždavinių sudarymas ir sprendimas.

Tolesniame pristatyme apsvarstysime pagrindinius šios pradinės mokyklinės matematikos dalies pateikimo metodikos klausimus, turėdami omenyje, kad tolesnių skyrių pateikimo metodika daugeliu atžvilgių turėtų būti panaši į pirmosios temos medžiagos įsisavinimo procesą. .

Jau pirmose pamokose mokytojas turėtų išsikelti tikslą išmokyti mokinį vartoti sąvokų poras, kurių turinys atsiskleidžia atitinkamų sakinių su šiais žodžiais procese. (Pirma, mes įvaldome palyginimą kokybiniu lygiu, nenaudodami skaičių.)

Čia pateikiami dažniausiai pasitaikančių sąvokų porų, kurios turėtų būti naudojamos ne tik matematikos, bet ir kalbos raidos pamokose, pavyzdžiai:

Daugiau – mažiau, ilgesnis – trumpesnis, aukščiau – žemesnis, sunkesnis – lengvesnis, platesnis – siauresnis, storesnis – plonesnis, dešinėn – kairėn, toliau – arčiau, senesnis – jaunesnis, greičiau – lėčiau ir t.t.

Dirbant su tokiomis sąvokų poromis, svarbu naudoti ne tik vadovėlio iliustracijas, bet ir vaikų pastebėjimus; taigi, pavyzdžiui, pro klasės langą jie mato, kad anapus upės yra namas, ir sugalvoja tokias frazes: „Upė arčiau mokyklos nei namas, o namas toliau nuo mokyklos nei upė. .

Tegul mokinys pakaitomis laiko rankoje knygą ir sąsiuvinį. Mokytojas klausia: kas sunkesnis – knyga ar sąsiuvinis? Kuris lengvesnis? „Knyga sunkesnė už sąsiuvinį, o sąsiuvinis lengvesnis už knygą“.

Išstatę aukščiausią ir žemiausią klasės mokinį priešais klasę greta, iš karto sudarome dvi frazes: „Miša aukštesnė už Kolją, o Kolia žemesnė už Mišą“.

Atliekant šiuos pratimus, svarbu pasiekti, kad vienas sprendimas būtų gramatiškai teisingas pakeistas dvejopu: „Mūrinis namas yra aukštesnis už medinį, vadinasi, medinis namas yra žemesnis už akmeninį“.

Susipažinę su sąvoka „ilgesnis - trumpesnis“, galite parodyti objektų ilgio palyginimą, uždėdami vieną ant kito (kuris yra ilgesnis: rašiklis ar pieštukų dėklas?).

Aritmetikos ir kalbos raidos pamokose pravartu spręsti loginius uždavinius, kurių tikslas – išmokyti vartoti priešingas sąvokas: „Kas vyresnis: tėvas ar sūnus? Kas jaunesnis: tėvas ar sūnus? Kuris gimė pirmas? Kas vėliau?

„Palyginkite knygos ir portfelio plotį. Kas platesnis: knyga ar portfelis? Kas jau yra knyga ar portfelis? Kas sunkesnis: knyga ar portfelis?

Lyginimo proceso mokymas gali būti įdomesnis įvedant vadinamuosius matricinius (lentelės) pratimus. Ant lentos pastatyta keturių langelių lentelė ir paaiškinta sąvokų „stulpelis“ ir „eilutė“ reikšmė. Pristatome sąvokas „kairysis stulpelis“ ir „dešinysis stulpelis“, „viršutinė eilutė“ ir „apatinė eilutė“.

Kartu su mokiniais parodome (imituojame) šių sąvokų semantinę interpretaciją.

Parodykite stulpelį (vaikai judina ranką iš viršaus į apačią).

Parodykite kairįjį stulpelį, dešinįjį stulpelį (vaikai du kartus siūbuoja rankomis iš viršaus į apačią).

Parodykite liniją (pasukite ranką iš kairės į dešinę).

Rodyti viršutinę ir apatinę eilutę (dvi rankos mostelėjimas rodo viršutinę ir apatinę eilutę).

Būtina užtikrinti, kad mokiniai tiksliai nurodytų langelio padėtį: „viršutinis kairysis langelis“, „apatinis dešinysis langelis“ ir kt. Iš karto išsprendžiama atvirkštinė problema, būtent: mokytojas rodo į kurią nors lentelės (matricos) langelį. , mokinys suteikia atitinkamą šios ląstelės pavadinimą. Taigi, jei ląstelė yra nukreipta į tą, kuri yra viršutinės eilutės ir kairiojo stulpelio sankirtoje, tada studentas turėtų pavadinti: „Viršutinis kairysis langelis“. Tokie pratimai palaipsniui pripratina vaikus prie orientacijos erdvėje ir yra svarbūs vėliau studijuojant matematikos koordinačių metodą.

Darbas su skaičių eilėmis yra labai svarbus pirmosioms pradinės matematikos pamokoms.

Skaičių eilutės augimą patogu iliustruoti sudedant po vieną, judant į dešinę išilgai skaičių linijos.

Jei ženklas (+) yra susijęs su judėjimu išilgai skaičiaus linijos į dešinę po vieną, tai ženklas (-) yra susijęs su judėjimu atgal į kairę po vieną ir pan. (Todėl abu ženklus rodome vienu metu pamoka.)

Dirbdami su skaičių eilėmis pristatome šias sąvokas: skaičių serijos pradžia (skaičius nulis) reiškia kairįjį spindulio galą; Skaičius 1 atitinka vieneto segmentą, kuris turi būti pavaizduotas atskirai nuo skaičių serijos.

Tegul mokiniai dirba skaičių tiesėje per tris.

Parenkame bet kuriuos du gretimus skaičius, pavyzdžiui, 2 ir 3. Pereinant nuo skaičiaus 2 prie skaičiaus 3, vaikai samprotauja taip: „Po skaičiaus 2 seka skaičius 3“. Pereinant nuo 3 iki 2, jie sako:

„Skaičius 3 ateina prieš skaičių 2“ arba: „Skaičius 2 yra prieš skaičių 3“.

Šis metodas leidžia nustatyti nurodyto skaičiaus vietą tiek ankstesnių, tiek vėlesnių skaičių atžvilgiu; Dera iš karto atkreipti dėmesį į skaičiaus padėties reliatyvumą, pavyzdžiui: skaičius 3 vienu metu yra ir paskesnis (už skaičiaus 2), ir ankstesnis (prieš skaičių 4).

Nurodyti perėjimai išilgai skaičių serijos turi būti susieti su atitinkamomis aritmetinėmis operacijomis.

Pavyzdžiui, frazė „Po skaičiaus 2 seka skaičius 3“ simboliškai pavaizduota taip: 2 + 1 = 3; tačiau psichologiškai naudinga iškart po jo sukurti priešingą minčių ryšį, būtent: posakį „Prieš skaičių 3 ateina skaičius 2“ palaiko įrašas: 3 – 1 = 2.

Norint suprasti skaičiaus vietą skaičių serijoje, reikia užduoti suporuotus klausimus:

1. Po kokio skaičiaus seka skaičius 3? (Skaičius 3 yra po skaičiaus 2.) Prieš kokį skaičių yra skaičius 2? (Skaičius 2 yra prieš skaičių 3.)

2. Koks skaičius yra po skaičiaus 2? (Po skaičiaus 2 seka skaičius 3.) Koks skaičius yra prieš skaičių 3? (Prieš skaičių 3 yra skaičius 2.)

3. Tarp kokių skaičių yra skaičius 2? (Skaičius 2 yra tarp skaičiaus 1 ir skaičiaus 3.) Koks skaičius yra tarp skaičių 1 ir 3? (Tarp skaičių 1 ir 3 yra skaičius 2.)

Šiuose pratimuose matematinė informacija pateikiama funkciniais žodžiais: prieš, už, tarp.

Darbą su skaičių eilėmis patogu derinti lyginant skaičius pagal dydį, taip pat lyginant skaičių padėtį skaičių eilutėje. Palaipsniui plėtojami geometrinio pobūdžio sprendimų ryšiai: skaičius 4 yra skaičių eilutėje į dešinę nuo skaičiaus 3; tai reiškia, kad 4 yra didesnis nei 3. Ir atvirkščiai: skaičius 3 yra skaičių eilutėje į kairę nuo skaičiaus 4; tai reiškia, kad skaičius 3 yra mažesnis už skaičių 4. Taip užmezgamas ryšys tarp sąvokų porų: į dešinę - daugiau, į kairę - mažiau.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, matome būdingą integruoto žinių įsisavinimo bruožą: visas sąvokų rinkinys, susijęs su sudėjimu ir atėmimu, siūlomas kartu, jų nenutrūkstamais perėjimais (perkodavimais) vienas į kitą.

Pagrindinės skaitinių ryšių įsisavinimo priemonės mūsų vadovėlyje yra spalvotos juostos; Patogu juos palyginti pagal ilgį, nustatant, kiek langelių yra didesni ar mažesni už juos viršutinėje ar apatinėje juostoje. Kitaip tariant, „segmentų skirtumų palyginimo“ sąvokos neįvedame kaip specialios temos, o studentai su ja susipažįsta pačioje pirmojo dešimtuko skaičių tyrimo pradžioje. Pamokose, skirtose pirmojo dešimtuko studijoms, patogu naudoti spalvotas juostas, kurios leidžia atlikti pagrindinių užduočių tipų propedeutiką pirmojo etapo veiksmams.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

Tegul dvi spalvotos juostos, padalintos į langelius, yra viena ant kitos:

apatinėje - 3 ląstelės, viršutinėje - 2 ląstelės (žr. pav.).

Lygindamas langelių skaičių viršutinėje ir apatinėje juostose, mokytojas sudaro du tarpusavyje atvirkštinių veiksmų pavyzdžius (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), o šių pavyzdžių sprendiniai skaitomi poromis visais įmanomais būdais:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) pridėkite 1 prie 2 – gausite 3; a) iš 3 atimkite 1 – gausite 2;

b) padidinkite 2 1 – gausite 3; b) sumažinkite 3 iki 1 – gausite 2;

c) 3 yra daugiau nei 2 iš 1; c) 2 yra mažesnis nei 3 iš 1;

d) 2 taip 1 bus 3; d) 3 be 1 bus 2;

e) sudėkite skaičių 2 su skaičiumi 1 - e) atimkite skaičių 1 iš skaičiaus 3 -

pasirodo 3. pasirodo 2.

Mokytojas. Jei 2 padauginamas iš 1, kiek tai bus?

Studentas. Jei padidinsite 2 1, gausite 3.

Mokytojas. Dabar pasakykite man, ką reikia padaryti su skaičiumi 3, kad gautumėte 2?

Studentas. Sumažinkite 3 iki 1, kad gautumėte 2.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad šiame dialoge reikia metodiškai kompetentingai įgyvendinti opozicijos veiklą. ,

Vaikai pasitikintys porinių sąvokų (sudėti – atimti, didinti – mažinti, daugiau – mažiau, taip – ​​be, pridėti – atimti) prasmės įsisavinimas pasiekiamas naudojant jas vienoje pamokoje, remiantis tuo pačiu skaičių trigubu (pvz., 2 + 1 = =3, 3-1=2), remiantis vienu demonstravimu – lyginant dviejų strypų ilgius.

Tai yra esminis skirtumas tarp metodinės asimiliacijos vienetų konsolidavimo sistemos ir atskiro šių pagrindinių sąvokų tyrimo sistemos, kurioje kontrastingos matematikos sąvokos paprastai įvedamos atskirai į studentų kalbos praktiką.

Mokymosi patirtis rodo tuo pačiu metu priešingų sąvokų porų įvedimo pranašumus, pradedant nuo pat pirmųjų aritmetikos pamokų.

Pavyzdžiui, vienu metu naudojami trys veiksmažodžiai: „pridėti“ (pridėti 1 prie 2), „pridėti“ (pridėti skaičių 2 su skaičiumi 1), „padidinti“ (2 padidinti 1), kurie vaizduojami simboliškai. identiškai (2+1= 3), padeda vaikams išmokti šių žodžių panašumo ir artimumo prasme (panašiai samprotauti galima ir dėl žodžių „atimti“, „atimti“, „sumažinti“).

Lygiai taip pat skirtumų palyginimo esmė išmokstama pakartotinai naudojant lyginančias skaičių poras nuo pat mokymo pradžios, o kiekvienoje pamokos dialogo dalyje naudojamos visos galimos žodinės išspręsto pavyzdžio interpretacijos formos: „Kas yra didesnis: 2 ar 3? Kiek daugiau yra 3 nei 2? Kiek reikia pridėti prie 2, kad gautum 3? tt Gramatinių formų keitimas ir dažnas klausiamųjų formų vartojimas turi didelę reikšmę šių sąvokų prasmės įsisavinimui.

Ilgalaikiai bandymai parodė pirmųjų dešimties skaičių monografinio tyrimo pranašumus. Kiekvienas iš eilės einantis skaičius yra daugiašalėje analizėje, išvardijant visus galimus jo formavimo variantus; šio skaičiaus viduje atliekami visi įmanomi veiksmai, kartojama „visa turima matematika“, naudojamos visos priimtinos gramatinės skaičių santykio išraiškos formos. Žinoma, naudojant šią studijų sistemą, atsižvelgiant į vėlesnių skaičių aprėptį, kartojami anksčiau ištirti pavyzdžiai, tai yra, skaičių serijos išplečiamos nuolat kartojant anksčiau svarstytus skaičių derinius ir paprastų problemų atmainas. .

2.3 Bendras sudėties ir atimties, daugybos ir dalybos tyrimas

Elementariosios matematikos metodikoje šių dviejų operacijų pratimai dažniausiai nagrinėjami atskirai. Tuo tarpu atrodo, kad labiau pageidautina vienu metu tirti dvigubą operaciją „sudėtis – išskaidyti į terminus“.

Leiskite mokiniams išspręsti papildymo užduotį: „Pridėkite 1 pagaliuką prie trijų pagaliukų – gausite 4 pagaliukus“. Atlikus šią užduotį, iš karto reikia užduoti klausimą: „Iš kokių skaičių sudaro skaičius 4? 4 pagaliukai susideda iš 3 pagaliukų (vaikas suskaičiuoja 3 pagaliukus) ir 1 pagaliuko (atskiria dar 1 pagaliuką).

Pradinis pratimas gali būti skaičiaus skaidymas. Mokytojas klausia: „Iš kokių skaičių sudaro skaičius 5? (Skaičius 5 susideda iš 3 ir 2.) Ir iškart užduodamas klausimas apie tuos pačius skaičius: „Kiek gausite, jei pridėsite 2 prie 3? (Pridėkite 2 prie 3 – gausite 5.)

Tam pačiam tikslui pravartu pratinti skaityti pavyzdžius dviem kryptimis: 5+2=7. Pridėkite 2 prie 5, gausite 7 (skaitykite iš kairės į dešinę). 7 susideda iš 2 ir 5 terminų (skaitykite iš dešinės į kairę).

Naudinga žodinį opoziciją palydėti tokiais pratimais klasės abake, kurie leidžia pamatyti konkretų atitinkamų operacijų turinį. Skaičiavimai ant abacus yra būtini kaip priemonė vizualizuoti veiksmus su skaičiais, o skaičių dydis 10 ribose čia siejamas su kaulų, esančių ant vieno laido, ilgiu (šį ilgį studentas suvokia vizualiai). Neįmanoma sutikti su tokia „naujove“, kai dabartiniai vadovėliai ir programos visiškai atsisakė rusiškų abakų naudojimo pamokose.

Taigi, spręsdamas sudėjimo pavyzdį (5+2=7), mokinys iš pradžių suskaičiavo 5 akmenis ant abako, tada pridėjo prie jų 2 ir po to paskelbė sumą: „Pridėk 2 prie 5 – gausi 7“ gauto skaičiaus 7 pavadinimą, studentas nustato perskaičiuodamas naują sumą: „Vienas - du - trys - keturi - penki - šeši - septyni").

Studentas. Pridėkite 2 prie 5 ir gausite 7.

Mokytojas. Dabar parodykite, iš kokių terminų susideda skaičius 7.

Studentas (iš pradžių atskiria du kaulus į dešinę, tada kalba). Skaičius 7 sudarytas iš 2 ir 5.

Atliekant šiuos pratimus, nuo pat pradžių patartina vartoti sąvokas „pirmas terminas“ (5), „antras terminas“ (2), „suma“.

Siūlomos šios užduočių rūšys: a) dviejų terminų suma yra 7; rasti terminus; b) iš kokių komponentų susideda skaičius 7?; c) išskaidykite sumą 7 į 2 narius (į 3 narius). ir kt.

Norint įsisavinti tokią svarbią algebrinę sąvoką kaip komutacinis sudėjimo dėsnis, reikia atlikti įvairius pratimus, iš pradžių pagrįstus praktiniais manipuliacijomis su objektais.

Mokytojas. Paimkite 3 pagaliukus į kairę ranką ir 2 į dešinę. Kiek lazdelių yra iš viso?

Studentas. Iš viso yra 5 lazdelės.

Mokytojas. Kaip galiu apie tai daugiau pasakyti?

Studentas. Prie 3 pagaliukų pridėkite 2 pagaliukus – bus 5 pagaliukai.

Mokytojas. Sudarykite šį pavyzdį iš iškirptų skaičių. (Mokinys pateikia pavyzdį: 3+2=5.)

Mokytojas. Dabar pakeiskite lazdeles: perkelkite lazdeles kairėje rankoje į dešinę, o iš dešinės - į kairę. Kiek pagaliukų dabar yra abiejose rankose?

Studentas. Iš viso dviejose rankose buvo 5 pagaliukai, o dabar vėl 5 pagaliukai.

Mokytojas. Kodėl taip atsitiko?

Studentas. Nes nieko nepadėjome į šalį ir nepridėjome pagaliukų Kiek buvo, tiek ir liko.

Mokytojas. Sudarykite išspręstus pavyzdžius iš iškirptų skaičių.

Mokinys (atideda į šalį: 3+2=5, 2+3=5). Čia buvo skaičius 3, o dabar skaičius 2. Ir čia buvo skaičius 2, o dabar skaičius 3.

Mokytojas. Sukeitėme skaičius 2 ir 3, bet rezultatas liko toks pat:

5. (Pavyzdys sudarytas iš padalintų skaičių: 3+2=2+3.)

Komutacinės teisės taip pat išmokstama atliekant skaičių skaidymo į terminus pratybas.

Kada įvesti komutacinį sudėjimo dėsnį?

Pagrindinis papildymo mokymo tikslas – jau per pirmąjį dešimtuką – nuolat akcentuoti komutacinės dėsnio vaidmenį pratybose.

Tegul vaikai pirmiausia suskaičiuoja 6 pagaliukus; tada prie jų pridedame tris pagaliukus ir perskaičiuodami („septyni - aštuoni - devyni“) nustatome sumą: 6 taip 3 - bus 9. Būtina iš karto pasiūlyti naują pavyzdį: 3 + 6; naują sumą iš pradžių galima vėl nustatyti perskaičiuojant (t. y. pačiu primityviausiu būdu), tačiau palaipsniui ir tikslingai reikėtų suformuluoti sprendimo būdą aukštesniu kodu, t.y. logiškai, neperskaičiavus.

Jei 6 ir 3 bus 9 (atsakymas nustatomas perskaičiavus), tai 3 ir 6 (neperskaičiavus!) taip pat bus 9!

Trumpai tariant, komutacinė sudėties savybė turi būti įdiegta nuo pat skirtingų terminų pridėjimo pratimų pradžios, kad keturių pavyzdžių sprendinių sudarymas (tarimas) taptų įpročiu:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Keturių pavyzdžių sudarymas yra priemonė plėsti vaikams prieinamas žinias.

Matome, kad tokia svarbi sudėjimo operacijos savybė, kaip jos pakeičiamumas, neturėtų pasitaikyti retkarčiais, o tapti pagrindine logine priemone stiprinant teisingas skaitines asociacijas. Į pagrindinę papildymo savybę - terminų pakeičiamumą - reikia nuolat atsižvelgti, kai atmintyje kaupiasi nauji lentelės rezultatai.

Matome: sudėtingesnių skaičiavimo ar loginių operacijų ryšys grindžiamas panašiu elementariųjų operacijų poriniu ryšiu (artimumu), per kurį atliekama pora „sudėtingų“ operacijų. Kitaip tariant, aiški sudėtingų sąvokų priešprieša grindžiama numanoma (pasąmonės) paprastesnių sąvokų priešprieša.

Patartina pirminį daugybos ir dalybos tyrimą atlikti tokia trijų uždavinių ciklų seka (kiekviename cikle trys užduotys):

I ciklas: a, b) daugyba su pastoviu daugikliu ir dalyba iš turinio (kartu); c) padalijimas į lygias dalis.

II ciklas: a, b) skaičiaus mažėjimas ir padidėjimas kelis kartus (kartu); c) daugkartinis palyginimas.

III ciklas: a, b) vienos skaičiaus dalies ir skaičiaus suradimas pagal vienos jo dalies dydį (kartu); c) problemos sprendimas: „Kokia dalis yra vienas kito skaičius?

Šių problemų tyrimo metodinė sistema yra panaši į aukščiau aprašytą paprastų pirmojo etapo uždavinių (sudėties ir atimties) atveju.

Vienalaikis turinio daugybos ir dalybos tyrimas. Dviejose ar trijose pamokose (daugiau ne!), skirtose daugybai, aiškinamasi daugybos, kaip sugriuvusio lygiaverčių dėmenų sudėjimo, sąvokos reikšmė (dalybos veiksmas šiose pamokose dar neaptariamas). Šio laiko pakanka norint ištirti skaičiaus 2 daugybos iš vienaženklių skaičių lentelę.

Paprastai mokiniams rodomas sudėjimo pakeitimo daugyba įrašas: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Čia ryšys tarp sudėjimo ir daugybos eina sudėjimo-daugybos kryptimi. Tikslinga nedelsiant pasiūlyti studentams užduotį, skirtą pateikti grįžtamąjį ryšį formos „daugyba-sudėtis“ (lygios sąlygos): žiūrėdamas į šį įrašą, mokinys turėtų suprasti, kad skaičių 2 reikia kartoti kaip priedą tiek kartų, kiek pavyzdyje daugiklis rodo (2*4= 8).

Abiejų pratimų tipų derinys yra viena iš svarbių sąlygų, užtikrinančių sąmoningą sąvokos „dauginimas“, o tai reiškia sugriuvusį sudėjimą, įsisavinimą.

Trečioje pamokoje (arba ketvirtoje, priklausomai nuo klasės) kiekvienam iš žinomų daugybos atvejų pateikiamas atitinkamas padalijimo atvejis. Ateityje daugybą ir dalybą pravartu svarstyti tik kartu tose pačiose pamokose.

Įvedant dalybos sampratą, būtina prisiminti atitinkamus daugybos atvejus, kad, pradedant nuo jų, būtų sukurta naujo veiksmo, atvirkštinio daugybai, samprata.

Todėl sąvoka „daugyba“ įgauna turtingą turinį: ji yra ne tik vienodų terminų pridėjimo („sudėties apibendrinimas“) rezultatas, bet ir pagrindas, pradinis padalijimo momentas, kuris, savo ruožtu, reiškia. „sutraukta atimtis“, pakeičianti nuosekliąją „atimtį 2“:

Daugybos prasmė suvokiama ne tiek per patį dauginimą, kiek per nuolatinius perėjimus tarp daugybos ir dalybos, nes dalyba yra uždengta, „modifikuota“ daugyba. Tai paaiškina, kodėl vėliau naudinga visada tuo pačiu metu studijuoti daugybą ir dalybą (ir lentelę, ir nelentelę; ir žodžiu, ir raštu).

Pirmosios pamokos, skirtos tuo pat metu tirti daugybą ir padalijimą, turėtų būti skirtos pedantiškam pačių loginių operacijų apdorojimui, visapusiškai paremtam plačia praktine veikla renkant ir platinant įvairius objektus (kubelius, grybus, lazdeles ir kt.), bet detalių veiksmų seka turėtų išlikti ta pati.

Šio darbo rezultatas bus daugybos ir padalijimo lentelės, parašytos greta:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6:2=3,

2*4=8, 8:2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5 ir kt.

Taigi, daugybos lentelė sudaroma naudojant pastovų daugiklį, o padalijimo lentelė sudaroma naudojant pastovų daliklį.

Taip pat naudinga pasiūlyti mokiniams, suporuotiems su šia užduotimi, struktūriškai priešingą pratimą, kaip pereiti nuo dalybos prie lygių dalių atimties.

Kartojimo pratybose pravartu pasiūlyti tokio tipo užduotis: 14:2==.

Padalijimo į lygias dalis tyrimas. Išstudijavus arba kartu pakartojus skaičių 2 padauginus ir padalijus iš 2, vienoje iš pamokų pristatoma sąvoka „dalijimas į lygias dalis“ (trečias pirmo ciklo uždavinių tipas).

Apsvarstykite problemą: „Keturi mokiniai atsinešė 2 sąsiuvinius. Kiek sąsiuvinių atsinešei?"

Mokytojas paaiškina: paimkite 2 4 kartus - gausite 8. (Pasirodo įrašas: 2 * 4 = 8.) Kas parašys atvirkštinę problemą?

Ir mokytojų patirties, vedant matematikos pamokas šia tema, apibendrinimas. Kursinį darbą sudaro įvadas, du skyriai, išvados ir literatūros sąrašas. I skyrius. Metodiniai geometrinių figūrų ploto ir jo matavimo vienetų tyrimo matematikos pamokose pradinėje mokykloje ypatumai 1.1 Su amžiumi susiję jaunesnio amžiaus moksleivių raidos ypatumai geometrinių sąvokų formavimo etape...

Vis tiek neatskleidžia problemų. Kadangi užduočių transformavimo mokymo metodų klausimas buvo aprėptas mažiausiai, tai toliau jį nagrinėsime. II skyrius. Problemos transformacijos mokymo metodika. 2.1. Transformacijos uždaviniai matematikos pamokose pradinėje mokykloje. Kadangi specializuotos literatūros apie užduočių transformaciją yra labai mažai, nusprendėme atlikti mokytojų apklausą...

Mokantis naujos medžiagos, rekomenduojama pamoką susisteminti taip, kad darbas prasidėtų nuo įvairių demonstracijų, kurias veda mokytojas ar mokinys. Vaizdinių priemonių naudojimas matematikos pamokose studijuojant geometrinę medžiagą leidžia vaikams tvirtai ir sąmoningai įsisavinti visus programos klausimus. Matematikos kalba yra simbolių, sutartinių ženklų, piešinių, geometrinių...

8 paskaita. Algebrinės medžiagos tyrimo metodai.

7 paskaita. Daugiakampio perimetro samprata

1. Algebros elementų svarstymo metodika.

2. Skaitinės lygybės ir nelygybės.

3. Pasiruošimas susipažinti su kintamuoju. Raidžių simbolių elementai.

4. Nelygybės su kintamuoju.

5. Lygtis

1. Algebros elementų įvedimas į pradinį matematikos kursą leidžia nuo pat mokymo pradžios atlikti sistemingą darbą, kurio tikslas - ugdyti vaikams tokias svarbias matematines sąvokas kaip: išraiška, lygybė, nelygybė, lygtis. Susipažinimas su raidės kaip simbolio, žyminčio bet kurį skaičių iš vaikams žinomų skaičių lauko, naudojimu, sudaro sąlygas apibendrinti daugelį aritmetikos teorijos klausimų pradiniame kurse ir yra geras pasirengimas ateityje supažindinti vaikus su sąvokomis. funkcijų kintamasis. Ankstesnis susipažinimas su algebrinio uždavinių sprendimo metodo naudojimu leidžia rimtai patobulinti visą vaikų mokymo spręsti įvairius tekstinius uždavinius sistemą.

Užduotys: 1. Ugdyti mokinių gebėjimą skaityti, rašyti ir lyginti skaitines išraiškas.2. Supažindinti mokinius su veiksmų eilės skaitinėse išraiškose atlikimo taisyklėmis ir ugdyti gebėjimą pagal šias taisykles skaičiuoti posakių reikšmes.3. Ugdyti mokinių gebėjimą skaityti, rašyti raidžių posakius ir skaičiuoti jų reikšmes atsižvelgiant į raidžių reikšmes.4. Supažindinti studentus su I laipsnio lygtimis, kuriose yra pirmojo ir antrojo etapų veiksmai, ugdyti gebėjimus jas spręsti atrankos metodu, taip pat remiantis žiniomis apie m/y komponentų ryšį su aritmetinių operacijų rezultatas.

Pradinių klasių programoje numatyta supažindinti mokinius su raidžių simbolių vartojimu, spręsti I laipsnio elementarias lygtis su vienu nežinomuoju ir pritaikyti jas uždaviniams vienu veiksmu. Šie klausimai nagrinėjami glaudžiai susiję su aritmetine medžiaga, kuri prisideda prie skaičių ir aritmetinių veiksmų formavimo.

Nuo pirmųjų mokymo dienų pradedama kurti studentų lygybės samprata. Iš pradžių vaikai mokosi lyginti daugybę objektų, suvienodinti nelygias grupes, lygias grupes paversti nelygiomis. Jau studijuojant keliolika skaičių įvedami palyginimo pratimai. Pirma, jie atliekami su atrama ant objektų.

Išraiškos samprata formuojasi jaunesniems moksleiviams glaudžiai susijusi su aritmetinių veiksmų sąvokomis. Darbo su išraiškomis metodika apima du etapus. Ties 1 sudaroma paprasčiausių reiškinių sąvoka (suma, skirtumas, sandauga, dviejų skaičių koeficientas), o 2 - apie sudėtingas išraiškas (produkto ir skaičiaus suma, dviejų koeficientų skirtumas ir kt.) . Įvedami terminai „matematinė išraiška“ ir „matematinės išraiškos reikšmė“ (be apibrėžimų). Vienoje veikloje įrašęs kelis pavyzdžius, mokytojas informuoja, kad šie pavyzdžiai kitaip vadinami metamatematinėmis išraiškomis. Nagrinėjant aritmetinius veiksmus įtraukiami reiškinių lyginimo pratimai, jie skirstomi į 3 grupes. Darbo tvarkos taisyklių studijavimas. Šio etapo tikslas yra, remiantis praktiniais mokinių gebėjimais, atkreipti jų dėmesį į veiksmų atlikimo tvarką tokiais posakiais ir suformuluoti atitinkamą taisyklę. Mokiniai savarankiškai sprendžia mokytojo pasirinktus pavyzdžius ir paaiškina, kokia tvarka atliko veiksmus kiekviename pavyzdyje. Toliau jie patys suformuluoja išvadą arba skaito ją iš vadovėlio. Identiška išraiškos transformacija – tai duotos išraiškos pakeitimas kita, kurios reikšmė yra lygi nurodytos išraiškos reikšmei. Mokiniai atlieka tokias išraiškų transformacijas, remdamiesi aritmetinių operacijų savybėmis ir iš jų kylančiomis pasekmėmis (kaip pridėti sumą prie skaičiaus, kaip atimti skaičių iš sumos, kaip skaičių padauginti iš sandaugos ir kt.). ). Studijuodami kiekvieną savybę, mokiniai įsitikina, kad tam tikro tipo išraiškose veiksmai gali būti atliekami įvairiai, tačiau posakio reikšmė nekinta.

2. Skaitmeninės išraiškos nuo pat pradžių laikomos neatsiejamu ryšiu su skaitinėmis lygybėmis ir nelygybėmis. Skaitmeninės lygybės ir nelygybės skirstomos į „teisingas“ ir „neteisingas“. Užduotys: lyginti skaičius, lyginti aritmetines išraiškas, spręsti paprastas nelygybes su vienu nežinomuoju, pereiti nuo nelygybės prie lygybės ir nuo lygybės prie nelygybės

1. Pratimas, kuriuo siekiama išsiaiškinti mokinių žinias apie aritmetinius veiksmus ir jų taikymą. Supažindinant mokinius su aritmetiniais veiksmais, lyginamos 5+3 ir 5-3 formos išraiškos; 8*2 ir 8/2. Išraiškos pirmiausia palyginamos ieškant kiekvienos reikšmės ir lyginant gautus skaičius. Ateityje užduotis atliekama atsižvelgiant į tai, kad dviejų skaičių suma yra didesnė už jų skirtumą, o sandauga yra didesnė už jų dalinį; skaičiavimas naudojamas tik rezultatui patikrinti. Atliekamas 7+7+7 ir 7*3 formos posakių palyginimas, siekiant įtvirtinti mokinių žinias apie sudėties ir daugybos ryšį.

Lyginimo proceso metu mokiniai susipažįsta su aritmetinių operacijų atlikimo tvarka. Pirmiausia nagrinėjame posakius, kurių formos skliausteliuose yra 16 – (1+6).

2. Po to atsižvelgiama į veiksmų eiliškumą posakiuose be skliaustų, kuriuose yra vieno ir dviejų laipsnių veiksmai. Pildydami pavyzdžius mokiniai išmoksta šias reikšmes. Pirma, atsižvelgiama į veiksmų tvarką išraiškose, kuriose yra vieno lygio veiksmai, pavyzdžiui: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Tuo pačiu metu vaikai turi išmokti, kad jei išraiškose yra tik sudėtis ir atimtis arba tik daugyba ir padalijimą, tada jie vykdomi tokia tvarka, kokia yra parašyti. Toliau pateikiamos išraiškos, kuriose yra abiejų etapų veiksmai. Mokiniai informuojami, kad tokiose išraiškose pirmiausia reikia atlikti daugybos ir dalybos operacijas iš eilės, o po to sudėti ir atimti, pvz.: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Norint įtikinti mokinius, kad labai svarbu laikytis veiksmų tvarkos, naudinga juos atlikti ta pačia išraiška skirtinga seka ir palyginti rezultatus.

3. Pratybos, kurių metu mokiniai mokosi ir įtvirtina žinias apie aritmetinių veiksmų komponentų ir rezultatų ryšį. Οʜᴎ įtraukiami jau tiriant skaičius dešimt.

Šioje pratybų grupėje mokiniai susipažįsta su veiksmų rezultatų pasikeitimo atvejais, kai pasikeičia vienas iš komponentų. Lyginamos išraiškos, kuriose vienas iš terminų pakeistas (6+3 ir 6+4) arba sumažintas 8-2 ir 9-2 ir pan. Panašios užduotys įtraukiamos ir studijuojant lentelių daugybą bei dalybą ir atliekamos naudojant skaičiavimus (5*3 ir 6*3, 16:2 ir 18:2) ir kt. Ateityje galėsite palyginti šias išraiškas nesiremdami skaičiavimais.

Nagrinėjami pratimai yra glaudžiai susiję su programos medžiaga ir prisideda prie jos įsisavinimo. Be to, lygindami skaičius ir išraiškas, studentai gauna pirmąsias idėjas apie lygybę ir nelygybę.

Taigi 1-oje klasėje, kur dar nevartojami terminai „lygybė“ ir „nelygybė“, mokytojas, tikrindamas vaikų atliktų skaičiavimų teisingumą, gali užduoti klausimus tokia forma: „Kolya pridėjo aštuonis. šeši ir gavosi 15. Ar šis sprendimas teisingas ar neteisingas?“, arba pasiūlykite vaikams pratimų, kuriuose reikia patikrinti pateiktų pavyzdžių sprendimą, rasti teisingus įrašus ir pan. Panašiai, nagrinėjant 5 formos skaitines nelygybes<6,8>4 ir sudėtingesnių, mokytojas gali užduoti klausimą tokia forma: „Ar šie įrašai teisingi?“, o įvedęs nelygybę – „Ar šios nelygybės teisingos?

Nuo 1 klasės vaikai susipažįsta su skaitinių posakių transformacijomis, kurios atliekamos taikant studijuojamus aritmetikos teorijos elementus (numeraciją, veiksmų reikšmę ir kt.). Pavyzdžiui, remdamiesi žiniomis apie numeraciją ir skaičių vietinę reikšmę, mokiniai gali pateikti bet kurį skaičių kaip jo vietos dalių sumą. Šis įgūdis naudojamas svarstant išraiškos transformacijas, susijusias su daugelio skaičiavimo metodų išraiška.

Dėl tokių transformacijų jau pirmoje klasėje vaikai susiduria su lygybių „grandine“.

8 paskaita. Algebrinės medžiagos tyrimo metodai. - koncepcija ir rūšys. Kategorijos "Paskaita 8. Algebrinės medžiagos tyrimo metodai" klasifikacija ir ypatumai. 2017 m., 2018 m.

(8 valandos)

Planas:

1. Algebrinės medžiagos mokymosi pradinėse klasėse tikslai.

2. Pradinėje mokykloje nagrinėtos aritmetinių veiksmų savybės.

3. Skaitinių išraiškų ir veiksmų eilės taisyklių tyrimas:

Vienas užsakymas be skliaustų;

Ta pati tvarka su skliausteliais;

Išraiškos be skliaustų, įskaitant 4 aritmetines operacijas, su skliaustais.

4. Pradinėse klasėse tirtų skaitinių lygybių ir nelygybių analizė (dviejų skaičių, skaičiaus ir skaitinės išraiškos, dviejų skaitinių išraiškų palyginimas).

5. Abėcėlinių simbolių su kintamuoju įvedimas.

6. Lygčių tyrimo metodika:

a) pateikti lygties apibrėžimą (iš matematikos paskaitų ir iš matematikos vadovėlio pradinei mokyklai),

b) pabrėžti sąvokos apimtį ir turinį,

c) kokį metodą (abstraktų-dedukcinį ar konkretų-indukcinį) pristatysite šiai sąvokai? Apibūdinkite pagrindinius žingsnius dirbant su lygtimi.

Atlikite užduotis:

1. Paaiškinkite, kaip tikslinga naudoti nelygybes su kintamuoju pradinėse klasėse.

2. Paruoškite pamokai pranešimą apie funkcinės propedeutikos ugdymo galimybę mokiniuose (žaisdami, tirdami nelygybes).

3. Parinkite užduotis mokiniams, kad jie atliktų esmines ir neesmines sąvokos „lygtis“ savybes.

1. Abramova O.A., Moro M.I. Lygčių sprendimas // Pradinė mokykla. – 1983. – Nr.3. – 78-79 p.

2. Ymanbekova P. Vizualizacijos priemonės formuojant „lygybės“ ir „nelygybės“ sąvokas // Pradinė mokykla. – 1978. – Nr.11. – P. 38-40.

3. Shchadrova I.V. Apie veiksmų tvarką aritmetinėje išraiškoje // Pradinė mokykla. – 2000. – Nr.2. – 105-107 p.

4. Shikhaliev Kh.Sh. Vieningas požiūris į lygčių ir nelygybių sprendimą // Pradinė mokykla. – 1989. – Nr.8. – 83-86 p.

5. Nazarova I.N. Supažindinimas su funkcine priklausomybe mokant spręsti problemas // Pradinė mokykla. – 1989. – Nr.1. – 42-46 p.

6. Kuznecova V.I. Apie kai kurias tipines mokinių klaidas, susijusias su algebrinės propedeutikos klausimais // Pradinė mokykla. – 1974. – Nr.2. – P. 31.

Bendroji studijų metodikos charakteristika

algebrinė medžiaga

Algebrinės medžiagos įvedimas į pradinį matematikos kursą padeda parengti studentus mokytis pagrindinių šiuolaikinės matematikos sąvokų, pavyzdžiui, tokių kaip „kintamasis“, „lygtis“, „nelygybė“ ir kt., ir prisideda prie funkcinio mąstymo ugdymo. vaikams.

Pagrindinės temos sąvokos yra „išraiška“, „lygybė“, „nelygybė“, „lygtis“.

Sąvoka „lygtis“ įvedama studijuojant temą „Tūkstantis“, tačiau parengiamieji darbai, skirti supažindinti mokinius su lygtimis, prasideda 1 klasėje. Sąvokos „išraiška“, „išraiškos prasmė“, „lygybė“, „nelygybė“ įtrauktos į mokinių žodyną nuo 2 klasės. Pradinėje mokykloje sąvoka „nelygybės sprendimas“ neįvedama.

Skaitmeninės išraiškos

Matematikoje išraiška suprantama kaip konstanta, pagal tam tikras taisykles, matematinių simbolių seka, reiškianti skaičius ir operacijas su jais. Posakių pavyzdžiai: 7; 5 + 4; 5 (3+ V); 40: 5 + 6 ir kt.

7 formos išraiškos; 5 + 4; 10: 5 + 6; (5 + 3) 10 vadinamos skaitinėmis išraiškomis, priešingai nei 8 formos išraiškos A; (3 + V); 50: Į, vadinamos pažodinėmis arba kintamosiomis išraiškomis.

Temos tyrimo tikslai

2. Supažindinti studentus su skaičių operacijų atlikimo tvarkos taisyklėmis ir pagal jas ugdyti gebėjimą rasti skaitines išraiškų reikšmes.

3. Supažindinti mokinius su identiškomis reiškinių transformacijomis remiantis aritmetiniais veiksmais.

Pradinių klasių mokinių supažindinimo su skaitinės išraiškos sąvoka metodikoje galima išskirti tris etapus, kurie apima susipažinimą su posakiais, kurių sudėtyje yra:

Vienas aritmetinis veiksmas (I etapas);

Dvi ar daugiau vienos pakopos aritmetinių veiksmų (II pakopa);

Du ar daugiau skirtingų lygių aritmetinių veiksmų (III etapas).

Su paprasčiausiais posakiais – suma ir skirtumas – mokiniai supažindinami 1 klasėje (mokantis sudėjimo ir atimties per 10); su dviejų skaičių sandauga ir daliniu – II klasėje.

Jau studijuojant temą „Dešimt“, į mokinių žodyną įvedami aritmetinių veiksmų pavadinimai, terminai „pridėti“, „suma“, „minuend“, „subtranka“, „skirtumas“. Be terminijos, jie taip pat turi išmokti kai kurių matematinės simbolikos elementų, ypač veiksmų ženklų (pliusas, minusas); jie turi išmokti skaityti ir rašyti paprastas 5 + 4 formos matematines išraiškas (skaičių „penki“ ir „keturi“ suma); 7 – 2 (skirtumas tarp skaičių „septyni“ ir „du“).

Mokiniai pirmiausia supažindinami su terminu „suma“ skaičiaus, atsirandančio dėl sudėjimo operacijos, reikšme, o vėliau – išraiškos prasme. 10 – 7, 9 – 6 formos atėmimo technika ir kt. remiasi žiniomis apie sudėjimo ir atimties ryšį. Todėl būtina išmokyti vaikus pavaizduoti skaičių (sumažintą) kaip dviejų dėmenų sumą (10 yra skaičių 7 ir 3 suma; 9 yra skaičių 6 ir 3 suma).

Su posakiais, kuriuose yra dvi ar daugiau aritmetinių veiksmų, vaikai susipažįsta pirmaisiais ugdymo metais, kai įvaldo skaičiavimo metodus ± 2, ± 3, ± 1. Jie sprendžia 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1 formos pavyzdžius. , 2 + 2 + 2 ir tt Skaičiuodamas, pavyzdžiui, pirmosios išraiškos reikšmę, mokinys paaiškina: „Pridėkite vieną prie trijų, gausite keturis, pridėkite vieną prie keturių, gausite penkis“. Panašiai paaiškinamas ir 6 - 1 - 1 formos pavyzdžių sprendimas. Taigi pirmokai pamažu ruošiasi išvesti taisyklę apie veiksmų atlikimo eiliškumą posakiuose, kuriuose yra vieno lygio veiksmų, o tai yra. apibendrintas II klasėje.

I klasėje vaikai praktiškai įsisavins kitą veiksmų atlikimo eiliškumo taisyklę, ty veiksmų atlikimą 8 formos išraiškomis (4 + 2); (6–2) + 3 ir kt.

Apibendrinamos mokinių žinios apie veiksmų atlikimo tvarkos taisykles ir įvedama dar viena taisyklė apie veiksmų eiliškumą reiškiniuose, kurie neturi skliaustų ir kuriuose yra skirtingų lygių aritmetinės operacijos: sudėties, atimties, daugybos ir dalybos.

Susipažinus su nauja taisykle dėl veiksmų eiliškumo, darbus galima organizuoti įvairiai. Galite pakviesti vaikus perskaityti taisyklę iš vadovėlio ir pritaikyti ją skaičiuodami atitinkamų posakių reikšmes. Taip pat galite paprašyti mokinių paskaičiuoti, pavyzdžiui, reiškinio reikšmę 40 – 10: 2. Atsakymai gali būti skirtingi: vieniems reiškinio reikšmė bus lygi 15, kitiems – 35.

Po to mokytojas paaiškina: „Norėdami rasti reiškinio, kuriame nėra skliaustų ir kuriame yra sudėties, atimties, daugybos ir padalijimo veiksmai, reikšmę, pirmiausia turite atlikti eilės tvarka (iš kairės į dešinę) daugybos ir padalijimas, o tada (taip pat iš kairės į dešinę) sudėjimas ir atėmimas. Šioje išraiškoje pirmiausia turite padalyti 10 iš 2, o tada iš 40 atimti gautą rezultatą 5. Išraiškos reikšmė yra 35.

Pradinių klasių mokiniai iš tikrųjų susipažįsta su identiškomis posakių transformacijomis.

Identiška posakių transformacija – tai duoto posakio pakeitimas kitu, kurio reikšmė lygi duotajai reikšmei (pradinių klasių mokiniams terminas ir apibrėžimas neteikiami).

Su reiškinių transformacija mokiniai susiduria nuo 1 klasės, siedami su aritmetinių veiksmų savybių tyrimu. Pavyzdžiui, patogiai spręsdami formos 10 + (50 + 3) pavyzdžius, vaikai samprotauja taip: „Patogiau sudėti dešimtis su dešimtukais ir prie gauto rezultato 60 pridėti 3 vienetus. Užsirašysiu: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63.

Atlikdami užduotį, kurioje reikia baigti rašyti: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3 ..., vaikai paaiškina: „Kairėje skaičių 10 ir 7 suma padauginama. iš skaičiaus 3, dešinėje, pirmasis šios sumos narys 10 padauginamas iš skaičiaus 3; Kad „lygybės“ ženklas būtų išsaugotas, antrasis terminas 7 taip pat turi būti padaugintas iš skaičiaus 3 ir pridėti gautus produktus. Užrašysiu taip: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3.

Transformuodami posakius, mokiniai kartais padaro (10 + 4) · 3 = - 10 · 3 + 4 formos klaidas. Šio tipo klaidų priežastis siejama su neteisingu anksčiau įgytų žinių panaudojimu (šiuo atveju naudojant Skaičiaus pridėjimo prie sumos taisyklė sprendžiant pavyzdį, kai suma turi būti padauginta iš skaičiaus). Norėdami išvengti tokių klaidų, mokiniams galite pasiūlyti šias užduotis:

a) Palyginkite kairėje lygybių pusėje užrašytas išraiškas. Kuo jie panašūs ir kuo skiriasi? Paaiškinkite, kaip apskaičiavote jų vertes:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

b) Užpildykite tuščias vietas ir raskite rezultatą:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

c) Palyginkite posakius ir įdėkite tarp jų ženklą >,< или =:

(30 + 4) + 2 … 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 2 + 4 2.

d) Skaičiuodami patikrinkite, ar teisingos šios lygybės:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Pažodinės išraiškos

Pradinėse klasėse, glaudžiai susijusį su numeracijos ir aritmetinių operacijų studijomis, numatoma atlikti parengiamuosius darbus kintamojo reikšmei atskleisti. Šiuo tikslu matematikos vadovėliuose yra pratimų, kuriuose kintamasis nurodomas „langu“. Pavyzdžiui, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Čia svarbu paskatinti mokinius į „langą“ paeiliui pakeisti ne vieną, o kelis skaičius, kaskart tikrinant, ar įrašas teisingas.

Taigi, byloje р< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

Siekiant supaprastinti pradinių klasių matematikos programą ir užtikrinti jos prieinamumą, raidžių simboliai nenaudojami kaip aritmetinių žinių apibendrinimo priemonė. Visi raidžių žymėjimai pakeičiami žodinėmis formuluotėmis.

Pavyzdžiui, vietoj užduoties

Užduotis siūloma tokia forma: „Padidinkite skaičių 3 4 kartus; 5 kartus; 6 kartus; ..."

Lygybės ir nelygybės

Pradinių klasių mokinių supažindinimas su lygybėmis ir nelygybėmis apima šių problemų sprendimą:

Išmokti nustatyti ryšį „daugiau nei“, „mažiau nei“ arba „lygus“ tarp posakių ir užrašyti palyginimo rezultatus naudodami ženklą;

Idėjų apie skaitines lygybes ir nelygybes tarp jaunesnių moksleivių kūrimo metodika apima šiuos darbo etapus.

I etape, visų pirma mokyklos savaitę, pirmokai atlieka pratimus, kad palygintų objektų rinkinius. Čia labiausiai patartina naudoti „vienas su vienu“ susirašinėjimo užmezgimo techniką. Šiame etape palyginimo rezultatai dar nėra parašyti naudojant atitinkamus ryšio ženklus.

II etape mokiniai lygina skaičius, pirmiausia remdamiesi objektyviu aiškumu, o vėliau skaičių savybe natūralioje eilutėje, pagal kurią iš dviejų skirtingų skaičių vėliau skaičiuojant vadinamas didesnis skaičius, o mažesnis – vadinamas anksčiau. Taip užsimezgusius santykius vaikai fiksuoja atitinkamais ženklais. Pavyzdžiui, 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Taip pat galite palyginti vertes: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, nes decimetrų yra daugiau nei antrame. Be to, reikšmes pirmiausia galima išreikšti vieno matavimo vienetais ir tik tada palyginti: 45 cm > 43 cm.

Panašūs pratimai įvedami jau studijuojant sudėjimą ir atimtį per 10. Naudinga juos atlikti remiantis aiškumu, pvz.: mokiniai ant stalų išdėlioja keturis apskritimus kairėje ir keturis trikampius dešinėje. Pasirodo, figūrų yra vienodai – po keturias. Užrašykite lygybę: 4 = 4. Tada vaikai prie kairėje esančių figūrų prideda vieną apskritimą ir užrašo sumą 4 + 1. Kairėje yra daugiau figūrų nei dešinėje, vadinasi, 4 + 1 > 4.

Naudodami lygčių techniką, mokiniai pereina nuo nelygybės prie lygybės. Pavyzdžiui, ant spausdinimo drobės dedami 3 grybai ir 4 voveraitės. Kad grybų ir voveraičių būtų vienodai, galite: 1) įdėti vieną grybą (tada bus 3 grybai ir 3 voveraitės).

Ant spausdinimo drobės yra 5 lengvieji automobiliai ir 5 sunkvežimiai. Jei norite turėti daugiau automobilių nei kiti, galite: 1) pašalinti vieną (du, tris) automobilius (lengvąjį ar sunkvežimį) arba 2) pridėti vieną (du, tris) automobilius.

Pamažu, lygindami posakius, vaikai nuo pasikliavimo vizualizacija pereina prie savo reikšmių palyginimo. Šis metodas yra pagrindinis pradinėje mokykloje. Lygindami posakius, mokiniai taip pat gali remtis žiniomis apie: a) komponentų ryšį su aritmetinės operacijos rezultatu: 20 + 5 * 20 + 6 (skaičių 20 ir 5 suma rašoma kairėje, skaičių 20 ir 6 suma dešinėje Pirmieji šių sumų nariai yra vienodi, antrasis sumos narys kairėje yra mažesnis nei antrasis sumos narys dešinėje, o tai reiškia sumą kairėje. yra mažesnė už sumą dešinėje: 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); d) aritmetinių operacijų savybės: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (kairėje skaičių 5 ir 2 suma dauginama iš skaičiaus 3, dešinėje kiekvieno sandauga Addend pagal skaičių 3, tai reiškia, kad vietoj žvaigždutės galite dėti lygybės ženklą: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

Tokiais atvejais, norint patikrinti ženklo teisingumą, naudojami išraiškos reikšmių skaičiavimai. Norėdami įrašyti nelygybes su kintamuoju pradinėse klasėse, naudojamas „langas“: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Pirmuosius tokio tipo pratimus naudinga atlikti pagal skaičių eilutę, į kurią atsivertę mokiniai pastebi, kad skaičius 2 yra didesnis už vienetą ir nulį, todėl „lange“ (2 > ð) galima pakeisti skaičius 0 ir 1 (2 > 0, 2>1).

Kiti pratimai su langu atliekami panašiai.

Pagrindinis metodas nagrinėjant nelygybes su kintamuoju yra atrankos metodas.

Norint supaprastinti kintamojo reikšmes nelygybėse, siūloma jas pasirinkti iš konkrečios skaičių serijos. Pavyzdžiui, galite pasiūlyti užsirašyti tuos 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 serijų skaičius, kuriems tinka ð - 7.< 5.

Atlikdamas šią užduotį, mokinys gali samprotauti taip: „Pakeiskime skaičių 7 į „langą“: 7 minus 7 bus 0, 0 yra mažesnis nei 5, vadinasi, skaičius 7 tinka. Į „langą“ įdėkime skaičių 8:8 minus 7 ir gausime 1, 1 yra mažesnis už 5, vadinasi, tinka ir skaičius 8... Į „langą“ įdėkime skaičių 12: 12 minus 7 gauna 5, 5 yra mažesnis nei 5 – neteisingas, vadinasi, skaičius 12 netinka . Rašyti ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Lygtys

3 klasės pabaigoje vaikai susipažįsta su paprasčiausiomis formos lygtimis: X+8 =15; 5+X=12; X–9 =4; 13–X=6; X·7 =42; 4 · X=12; X:8 =7; 72:X=12.

Vaikas turėtų sugebėti išspręsti lygtis dviem būdais:

1) atrankos būdas (paprasčiausiais atvejais); 2) tokiu būdu, kuris pagrįstas nežinomų aritmetinių veiksmų komponentų radimo taisyklių taikymu. Štai pavyzdys, kaip įrašyti lygties sprendimą kartu su patikrinimu ir vaiko samprotavimais ją sprendžiant:

"Lygtyje X– 9 = 4 x stovi minuendo vietoje. Norėdami rasti nežinomą minuendą, prie skirtumo turite pridėti potraukį ( X=4+9.) Patikrinkime: iš 13 atimkite 9, gausime 4. Teisinga lygybė yra 4 = 4, vadinasi, lygtis išspręsta teisingai.

4 klasėje vaiką galima supažindinti su nesudėtingų uždavinių sprendimu sudarant lygtį.

Įvadas...2

I skyrius. Bendrieji teoriniai algebrinės medžiagos studijavimo pradinėje mokykloje aspektai... 7

1.1 Patirtis diegiant algebros elementus pradinėje mokykloje... 7

1.2 Psichologiniai algebrinių sąvokų įvedimo pagrindai

pradinėje mokykloje... 12

1.3 Algebrinių sąvokų kilmės problema ir jos reikšmė

mokomojo dalyko konstravimui... 20

2.1 Mokymasis pradinėje mokykloje atsižvelgiant į poreikius

vidurinė mokykla... 33

2.1 Sąvokų palyginimas (kontrastavimas) matematikos pamokose... 38

2.3 Bendras sudėties ir atimties, daugybos ir dalybos tyrimas 48

III skyrius. Algebrinės medžiagos studijavimo praktika Rylsko 4-osios vidurinės mokyklos pradinėse klasėse matematikos pamokose... 55

3.1 Naujoviškų technologijų (technologijų

didaktinių vienetų konsolidavimas)… 55

3.2 Apie supažindinimo su algebrinėmis sąvokomis patirtį pirmoje klasėje... 61

3.3 Mokymai spręsti su kūnų judėjimu susijusias problemas... 72

Išvada... 76

Bibliografija… 79

Bet kurioje šiuolaikinėje bendrojo lavinimo sistemoje matematika užima vieną iš centrinių vietų, o tai neabejotinai byloja apie šios žinių srities unikalumą.

Kas yra šiuolaikinė matematika? Kodėl to reikia? Tokius ir panašius klausimus vaikai dažnai užduoda mokytojams. Ir kiekvieną kartą atsakymas skirsis priklausomai nuo vaiko išsivystymo lygio ir jo ugdymosi poreikių.

Dažnai sakoma, kad matematika yra šiuolaikinio mokslo kalba. Tačiau atrodo, kad šiame pareiškime yra didelis trūkumas. Matematikos kalba yra tokia plačiai paplitusi ir taip dažnai veiksminga kaip tik todėl, kad matematika negali būti sumažinta iki jos.

Puikus rusų matematikas A.N. Kolmogorovas rašė: „Matematika nėra tik viena iš kalbų. Matematika yra kalba ir samprotavimai, tai tarsi kalba ir logika kartu. Matematika yra mąstymo įrankis. Jame yra daugelio žmonių tikslaus mąstymo rezultatai. Naudodami matematiką galite susieti vieną samprotavimą su kitu. <... Tačiau jei nenorite naudotis matematika, tai šioje didžiulėje faktų įvairovėje nepamatysi, kad logika leidžia pereiti nuo vieno prie kito“ (p. 44).

Taigi matematika leidžia mums suformuoti tam tikras mąstymo formas, reikalingas mus supančio pasaulio tyrinėjimui.

Šiuo metu vis labiau pastebima disproporcija tarp mūsų gamtos pažinimo laipsnio ir mūsų supratimo apie žmogų, jo psichiką, mąstymo procesus. W. W. Sawyer knygoje „Matematikos preliudija“ (p. 7) pažymi: „Galime mokinius išmokyti spręsti daugybę problemų, tačiau tikras pasitenkinimas ateis tik tada, kai mokiniams galėsime suteikti ne tik žinių, bet ir lankstumo. proto“, kuri suteiktų jiems galimybę ateityje ne tik savarankiškai spręsti, bet ir kelti sau naujas užduotis.

Žinoma, čia yra tam tikros ribos, kurių nederėtų pamiršti: daug ką lemia įgimti gebėjimai ir talentas. Tačiau galime pastebėti visą aibę veiksnių, priklausančių nuo išsilavinimo ir auklėjimo. Dėl to nepaprastai svarbu teisingai įvertinti didžiulį neišnaudotą švietimo apskritai ir ypač matematikos ugdymo potencialą.

Pastaraisiais metais pastebima nuolatinė tendencija, kad matematiniai metodai prasiskverbia į tokius mokslus kaip istorija, filologija, jau nekalbant apie kalbotyrą ir psichologiją. Todėl plečiasi ratas žmonių, galinčių panaudoti matematiką savo būsimoje profesinėje veikloje.

Mūsų švietimo sistema sukurta taip, kad daugeliui mokykla yra vienintelė galimybė gyvenime įsilieti į matematinę kultūrą ir įsisavinti matematikos vertybes.

Kokią įtaką kūrybingos asmenybės ugdymui turi matematika apskritai ir mokyklinė matematika konkrečiai? Užduočių sprendimo meno mokymas matematikos pamokose suteikia mums itin palankią galimybę ugdyti tam tikrą mokinių mąstymą. Tyrimo poreikis ugdo domėjimąsi modeliais ir moko pamatyti žmogaus mąstymo grožį ir harmoniją. Visa tai, mūsų nuomone, yra svarbiausias bendrosios kultūros elementas. Matematikos kursas turi didelę įtaką formuojant įvairias mąstymo formas: loginį, erdvinį-geometrinį, algoritminį. Bet koks kūrybinis procesas prasideda nuo hipotezės suformulavimo. Matematika, tinkamai organizuojant ugdymą, yra gera mokykla hipotezėms statyti ir tikrinti, moko lyginti įvairias hipotezes, rasti geriausią variantą, kelti naujas problemas ir ieškoti jų sprendimo būdų. Be kita ko, ji ugdo ir metodinio darbo įprotį, be kurio neįsivaizduojamas joks kūrybinis procesas. Maksimaliai išnaudodama žmogaus mąstymo galimybes, matematika yra didžiausias jos pasiekimas. Tai padeda žmogui suprasti save ir formuoti charakterį.

Tai mažas sąrašas priežasčių, kodėl matematinės žinios turėtų tapti neatsiejama bendrosios kultūros dalimi ir privalomu vaiko auklėjimo ir ugdymo elementu.

Matematikos kursas (be geometrijos) mūsų 10-metėje mokykloje iš tikrųjų suskirstytas į tris pagrindines dalis: aritmetiką (I-V klasės), algebrą (VI-VIII klasės) ir analizės elementus (IX-X klasės). Kuo pagrįstas toks skirstymas?

Žinoma, kiekviena iš šių dalių turi savo specialią „technologiją“. Taigi aritmetikoje jis siejamas, pavyzdžiui, su daugiaženkliais skaičiais atliktais skaičiavimais, algebroje – su identiškomis transformacijomis, logaritmavimu, analizėje – su diferencijavimu ir kt. Tačiau kokios yra gilesnės priežastys, susijusios su konceptualiu kiekvienos dalies turiniu?

Kitas klausimas susijęs su mokyklinės aritmetikos ir algebros atskyrimo pagrindu (t. y. pirma ir antra kurso dalys). Aritmetika apima natūraliųjų skaičių (teigiamų sveikųjų skaičių) ir trupmenų (pirminių ir dešimtainių) tyrimą. Tačiau speciali analizė rodo, kad šių tipų skaičių derinimas viename mokykliniame dalyke yra neteisėtas.

Faktas yra tas, kad šie skaičiai atlieka skirtingas funkcijas: pirmieji yra susiję su sąskaitą objektai, antrasis – su matuojant kiekius. Ši aplinkybė yra labai svarbi norint suprasti faktą, kad trupmeniniai (racionalieji) skaičiai yra tik ypatingas realiųjų skaičių atvejis.

Kiekių matavimo požiūriu, kaip pažymėjo A. N. Kolmogorovas, „nėra tokio didelio skirtumo tarp racionaliųjų ir neracionalių realiųjų skaičių. Dėl pedagoginių priežasčių jie ilgai užsilaiko racionaliuose skaičiuose, nes juos lengva rašyti trupmenomis; tačiau nuo pat pradžių jiems suteiktas vartosena turėtų iš karto vesti prie realių skaičių visu jų bendrumu“ (), p.

A.N. Kolmogorovas laikė pagrįstu tiek matematikos raidos istorijos požiūriu, tiek iš esmės A. Lebesgue siūlymą mokyme po natūraliųjų skaičių pereiti tiesiai prie realiųjų skaičių kilmės ir loginės prigimties. Tuo pačiu metu, kaip pažymėjo A. N. Kolmogorovas, „požiūris į racionaliųjų ir realiųjų skaičių konstravimą dydžių matavimo požiūriu yra ne mažiau mokslinis nei, pavyzdžiui, racionalių skaičių įvedimas „porų“ pavidalu. Mokyklai tai turi neabejotiną pranašumą“ (p. 10).

Taigi, yra reali galimybė, remiantis natūraliaisiais (sveikaisiais) skaičiais, iš karto suformuoti „bendriausią skaičiaus sampratą“ (A. Lebesgue terminologija), tikrojo skaičiaus sąvoką. Tačiau programos kūrimo požiūriu tai reiškia ne daugiau ar mažiau, kaip trupmenų aritmetikos pašalinimą jos mokyklinėje interpretacijoje. Perėjimas nuo sveikųjų skaičių prie realių skaičių yra perėjimas nuo aritmetikos prie „algebros“, prie analizės pagrindo sukūrimo.

Šios idėjos, išsakytos daugiau nei prieš 20 metų, aktualios ir šiandien. Ar įmanoma šia linkme pakeisti matematikos mokymo struktūrą pradinėje mokykloje? Kokie yra pradinio matematikos mokymo „algebrazavimo“ privalumai ir trūkumai? Šio darbo tikslas – pabandyti pateikti atsakymus į užduodamus klausimus.

Norint pasiekti šį tikslą, reikia išspręsti šias užduotis:

Bendrųjų teorinių algebrinių dydžio ir skaičiaus sąvokų diegimo pradinėje mokykloje aspektų svarstymas. Ši užduotis iškelta pirmame darbo skyriuje;

Konkrečių metodų, kaip mokyti šias sąvokas pradinėje mokykloje, tyrimas. Čia visų pirma ketinama nagrinėti vadinamąją didaktinių vienetų išplėtimo teoriją (UDE), kuri bus aptarta toliau;

Parodykite nagrinėjamų nuostatų praktinį pritaikomumą mokyklinėse matematikos pamokose pradinėse klasėse (pamokas autorius vedė Rylsko 4-oje vidurinėje mokykloje). Tam skirtas trečiasis darbo skyrius.

Kalbant apie šiam klausimui skirtą bibliografiją, galima atkreipti dėmesį į tai. Nepaisant to, kad pastaruoju metu bendras matematikos metodinės literatūros kiekis yra itin mažas, rašant darbą informacijos netrūko. Iš tiesų, nuo 1960 m. (tuo metu, kai buvo iškelta problema) iki 1990 m. Mūsų šalyje išleista didžiulė mokomosios, mokslinės ir metodinės literatūros, kuri vienaip ar kitaip paliečia algebrinių sąvokų diegimo matematikos kursuose pradinėms mokykloms problemą. Be to, šie klausimai reguliariai rašomi specializuotuose periodiniuose leidiniuose. Taigi rašant darbą daugiausia buvo panaudotos publikacijos žurnaluose „Pedagogika“, „Matematikos mokymas mokykloje“ ir „Pradinė mokykla“.

Iki šiol mūsų samprotavimai buvo teorinio pobūdžio ir buvo skirti išsiaiškinti matematines prielaidas sukurti tokią pradinę kurso dalį, kuri supažindintų vaikus su pagrindinėmis algebrinėmis sąvokomis (prieš specialų skaičių įvedimą).

Pagrindinės dydžius apibūdinančios savybės buvo aprašytos aukščiau. Natūralu, kad 7 metų vaikams nėra prasmės skaityti „paskaitas“ apie šias savybes. Reikėjo rasti tokią vaikų darbo formą su didaktine medžiaga, kurios pagalba jie galėtų, viena vertus, atpažinti šias aplinkinių daiktų savybes, kita vertus, išmokti jas užfiksuoti tam tikrais simboliais ir atlikti elementarią matematinę nustatytų ryšių analizė.

Šiuo atžvilgiu programoje, pirma, turėtų būti nurodyta tų dalyko savybių, kurias reikia įsisavinti, antra, didaktinės medžiagos aprašymas, trečia - ir tai yra pagrindinis dalykas psichologiniu požiūriu - savybės. tų veiksmų, kuriais vaikas identifikuoja tam tikras daikto savybes ir jas įvaldo. Šie „komponentai“ sudaro mokymo programą tikrąja to žodžio prasme.

Šios hipotetinės programos ir jos „dedamųjų“ ypatumus prasminga pateikti aprašant patį mokymosi procesą ir jo rezultatus. Čia yra šios programos ir pagrindinių jos temų metmenys.

I tema. Objektų niveliavimas ir užbaigimas (pagal ilgį, tūrį, svorį, dalių sudėtį ir kitus parametrus).

Praktinės niveliavimo ir įgijimo užduotys. Požymių (kriterijų), pagal kuriuos galima sulyginti ar užbaigti tuos pačius objektus, nustatymas. Žodinis šių savybių žymėjimas („pagal ilgį, svorį“ ir kt.).

Šios užduotys sprendžiamos dirbant su didaktine medžiaga (strypais, svarmenimis ir kt.):

- pasirinkimas"tas pats" elementas

- atkūrimas„to paties“ objekto (konstravimas) pagal pasirinktą (nurodytą) parametrą.

II tema. Objektų palyginimas ir jo rezultatų fiksavimas naudojant lygybės-nelygybės formulę.

1. Objektų palyginimo ir šio veiksmo rezultatų simbolinio įvardijimo užduotys.

2. Žodinis palyginimo rezultatų fiksavimas (terminai „daugiau“, „mažiau“, „lygus“). Rašyti simboliai ">", "<", "=".

3. Palyginimo rezultato su piešiniu žymėjimas ("kopijavimas" ir tada "abstraktus" - linijos).

4. Lyginamų objektų žymėjimas laiškus. Palyginimo rezultato įrašymas naudojant formules: A=B; A<Б, А>B.

Laiškas patinka ženklas, kuris fiksuoja tiesiogiai duotą konkrečią objekto vertę pagal pasirinktą parametrą (pagal svorį, tūrį ir pan.).

5. Neįmanoma nustatyti palyginimo rezultato naudojant skirtingas formules. Konkrečios formulės pasirinkimas duotam rezultatui (visiškas santykių disjunkcija daugiau – mažiau – lygus).

III tema. Lygybės ir nelygybės savybės.

1. Grįžtamumas ir refleksiškumas lygybė (jei A=B, tai B=A; A=A).

2. Santykių ryšys„daugiau“ ir „mažiau“ nelygybėse, kai lyginamų pusių „permutacijos“ (jei A>B, tai B<А и т.п.).

3. Tranzityvumas kaip lygybės ir nelygybės savybė:

jei A = B, jei A> B, jei A<Б,

a B = B, a B> B, a B<В,

tada A=B; tada A>B; tada A<В.

4. Perėjimas nuo darbo su dalykine didaktine medžiaga prie lygybės-nelygybės savybių vertinimo esant tik raidžių formulės. Sprendžiant įvairias problemas, kurioms reikia žinoti šias savybes (pavyzdžiui, sprendžiant problemas, susijusias su ryšių ryšiu, kaip: atsižvelgiant į tai A>B ir B=C; išsiaiškinti ryšį tarp A ir C).

IV tema. Sudėjimo (atimties) operacija.

1. Pastebėjimai pokyčius objektai pagal vieną ar kitą parametrą (pagal tūrį, svorį, pagal trukmę ir pan.). Didėjimo ir mažėjimo iliustracija su „+“ ir „-“ ženklais ( pliusas ir minusas).

2. Anksčiau nustatytos lygybės pažeidimas atitinkamai pakeičiant vieną ar kitą jos pusę. Perėjimas nuo lygybės prie nelygybės. Rašyti tokias formules:

jei A = B, jei A = B,

tada A+K>B; tada A-K<Б.

3. Perėjimo prie naujos lygybės būdai (jos „atstatymas“ pagal principą: „lygus“ pridėjus „lygus“, gaunamas „lygus“).

Darbas su tokiomis formulėmis kaip:

Jeigu A=B,

Tai A+K>B,

Bet A+K=B+K.

4. Įvairių problemų sprendimas, kai pereinant nuo lygybės prie nelygybės ir atgal reikia naudoti sudėjimą (atimtį).

V tema. Perėjimas nuo A tipo nelygybės<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Užduotys, kurioms reikalingas toks perėjimas. Poreikis nustatyti dydžio, kuriuo skiriasi lyginami objektai, vertę. Gebėjimas rašyti lygybę, kai konkreti šio kiekio reikšmė nežinoma. x (x) naudojimo būdas.

Rašyti tokias formules:

Jeigu A<Б, Jeigu A>B,

Tai A+x=B; Tai A-x = B.

2. x reikšmės nustatymas. Šios reikšmės pakeitimas formulėje (įvadas į skliaustus). Įveskite formules

3. Spręsti uždavinius (įskaitant „siužetinį-tekstinį“), reikalaujantį atlikti nurodytas operacijas.

Tema Vl. Lygybių-nelygybių pridėjimas-atėmimas. Pakeitimas.

1. Lygybių-nelygybių pridėjimas-atėmimas:

jei A=B, jei A>B, jei A>B

ir M = D, ir K> E, ir B = G,

tada A+M=B+D; tada A+K>B+E; tada A+-B>C+-G.

2. Galimybė pavaizduoti kiekio vertę suma kelios reikšmės. Tipo pakeitimas:

3. Įvairių problemų sprendimas, reikalaujantis atsižvelgti į santykių ypatybes, su kuriomis vaikai susipažino darbo metu (daugeliui užduočių reikia vienu metu atsižvelgti į kelias savybes, sumanumo vertinant formulių reikšmę; problemų ir sprendimų aprašymai pateikiami žemiau ).

Tai programa, skirta 3,5 - 4 mėnesiams. pirmąjį pusmetį. Kaip rodo eksperimentinio mokymo patirtis, tinkamai suplanavus pamokas, tobulinant mokymo metodus ir sėkmingai pasirinkus didaktikos priemones, visą programoje pateiktą medžiagą vaikai gali pilnai įsisavinti per trumpesnį laiką (per 3 mėnesius). .

Kaip vyksta mūsų programa? Pirmiausia vaikai susipažįsta su gavimo būdu numeriai, išreiškiantis objekto kaip visumos (to paties kiekio, kurį reprezentuoja tęstinis arba atskiras objektas) santykį su jo dalimi. Pats santykis ir jo specifinė reikšmė pavaizduota formule A/K = n, kur n yra bet koks sveikasis skaičius, dažniausiai išreiškiantis santykį iki artimiausio „vieneto“ (tik su specialiu medžiagos pasirinkimu arba skaičiuojant tik „kokybiškai“). atskirus dalykus galima gauti visiškai tikslų sveikąjį skaičių). Vaikai nuo pat pradžių yra „verčiami“ turėti omenyje, kad matuojant ar skaičiuojant gali susidaryti likutis, kurio buvimas turi būti specialiai nustatytas. Tai pirmas žingsnis į tolesnį darbą su trupmeninis numerį.

Naudojant šią skaičių gavimo formą, nėra sunku priversti vaikus apibūdinti objektą tokia formule kaip A = 5k (jei santykis buvo lygus „5“). Kartu su pirmąja formule ji atveria galimybes specialioms studijoms priklausomybės tarp objekto, pagrindo (mato) ir skaičiavimo rezultato (matavimo), kuris taip pat tarnauja kaip propedeutika pereinant prie trupmeninių skaičių (ypač norint suprasti pagrindinę trupmenos savybę).

Kita programos kūrimo kryptis, įgyvendinta jau pirmoje klasėje, yra pagrindinių kiekybės savybių (lygybės-nelygybės disjunkcija, tranzityvumas, invertibilumas) perkėlimas į skaičius (sveikuosius skaičius) ir sudėjimo operacija (komutatyvumas, asociatyvumas, monotoniškumas, nelygybės disjunkcija). atimties galimybė). Visų pirma, dirbant skaičių eilutė, vaikai gali greitai transformuoti skaičių seką į dydis(pavyzdžiui, aiškiai įvertinkite jų tranzityvumą atlikdami 3 tipo įrašus<5<8, одновременно связывая отношения «меньше-больше»: 5<8, но 5<3, и т.д.).

Susipažinimas su kai kuriomis vadinamosiomis „struktūrinėmis“ lygybės ypatybėmis leidžia vaikams skirtingai suprasti sudėjimo ir atimties ryšį. Taigi, pereinant nuo nelygybės prie lygybės, atliekamos šios transformacijos: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, duota 8+1=6+3 ir 4>2; rasti santykis tarp kairės ir dešinės formulės pusių ties 8+1-4...6+3-2; nelygybės atveju šią išraišką sumažinkite iki lygybė(pirmiausia turite įdėti ženklą „mažiau nei“, o tada pridėti „du“ kairėje pusėje).

Taigi skaičių eilučių traktavimas kaip kiekį leidžia lavinti sudėties ir atimties (o vėliau daugybos ir dalybos) įgūdžius nauju būdu.

II skyrius. Metodinės rekomendacijos studijuojant algebrinę medžiagą pradinėje mokykloje

2.1 Mokymas pradinėje mokykloje, atsižvelgiant į vidurinės mokyklos poreikius

Kaip žinia, mokantis matematikos 5 klasėje, nemaža laiko dalis skiriama kartoti tai, ką vaikai turėjo išmokti pradinėje mokykloje. Šis kartojimas beveik visuose esamuose vadovėliuose trunka 1,5 akademinio ketvirčio. Tokia situacija susiklostė neatsitiktinai. Jo priežastis – vidurinių mokyklų matematikos mokytojų nepasitenkinimas pradinių klasių abiturientų paruošimu. Kokia šios situacijos priežastis? Tuo tikslu buvo išanalizuoti penki šiandien žinomiausi pradinių klasių matematikos vadovėliai. Tai M.I. vadovėliai. Moro, I.I. Arginskaja, N.B. Istomina, L.G. Petersonas ir V.V. Davydova (, , , ,).

Šių vadovėlių analizė atskleidė keletą neigiamų aspektų, didesniu ar mažesniu mastu kiekviename iš jų ir neigiamai veikiančių tolesnį mokymąsi. Visų pirma, medžiagos įsisavinimas juose daugiausia grindžiamas įsiminimu. Ryškus to pavyzdys yra daugybos lentelės įsiminimas. Pradinėje mokykloje tam įsiminti skiriama daug pastangų ir laiko. Tačiau per vasaros atostogas vaikai ją pamiršta. Tokio greito užmaršimo priežastis – mokymasis atsitiktinai. Tyrimą atliko L.S. Vygotskis parodė, kad prasmingas įsiminimas yra daug veiksmingesnis nei mechaninis įsiminimas, o vėlesni eksperimentai įtikinamai įrodo, kad medžiaga patenka į ilgalaikę atmintį tik tada, kai ji prisimenama kaip šią medžiagą atitinkančio darbo rezultatas.

Metodas, kaip efektyviai įsisavinti daugybos lentelę, buvo rastas dar šeštajame dešimtmetyje. Ją sudaro tam tikros pratimų sistemos organizavimas, kurias atlikdami vaikai patys konstruoja daugybos lentelę. Tačiau šis metodas neįgyvendintas nė viename iš recenzuotų vadovėlių.

Kitas neigiamas momentas, turintis įtakos tolesniam mokymuisi, yra tai, kad daugeliu atvejų pradinių klasių matematikos vadovėliuose medžiagos pateikimas yra susistemintas taip, kad ateityje vaikai turės būti perkvalifikuoti, o tai, kaip žinome, yra daug sunkiau. nei mokymas. Kalbant apie algebrinės medžiagos tyrimą, pavyzdys būtų lygčių sprendimas pradinėje mokykloje. Visuose vadovėliuose lygčių sprendimas grindžiamas nežinomų veiksmų komponentų radimo taisyklėmis.

Tai kiek kitaip daroma tik vadovėlyje L.G. Peterson, kur, pavyzdžiui, daugybos ir padalijimo lygčių sprendimas yra pagrįstas lygties komponentų koreliavimu su stačiakampio kraštinėmis ir plotu ir galiausiai taip pat priklauso nuo taisyklių, tačiau tai yra taisyklės, kaip rasti kraštinę arba plotą. stačiakampis. Tuo tarpu nuo 6 klasės vaikai mokomi visiškai kitokio lygčių sprendimo principo, paremto identiškų transformacijų naudojimu. Šis iš naujo mokymosi poreikis lemia tai, kad lygčių sprendimas daugeliui vaikų yra gana sudėtingas uždavinys.

Analizuodami vadovėlius susidūrėme ir su tuo, kad juose pateikiant medžiagą dažnai būna iškraipomos sąvokos. Pavyzdžiui, daugelio apibrėžimų formuluotė pateikiama implikacijų forma, o iš matematinės logikos žinoma, kad bet koks apibrėžimas yra lygiavertiškumas. Kaip iliustraciją galime pateikti daugybos apibrėžimą iš I.I. vadovėlio. Arginskaya: „Jei visi sumos nariai yra lygūs vienas kitam, tada sudėjimą galima pakeisti kitu veiksmu - daugyba“. (Visi sumos nariai yra lygūs vieni kitiems. Todėl sudėtį galima pakeisti daugyba.) Kaip matote, tai yra gryna forma. Ši formuluotė ne tik neraštinga matematikos požiūriu, ji ne tik neteisingai formuoja vaikams supratimą apie tai, kas yra apibrėžimas, bet ir labai žalinga, nes ateityje, pavyzdžiui, konstruojant daugybos lentelę, vadovėlių autoriai naudoja sandaugos pakeitimą identiškų terminų suma, o pateikta formuluotė to neleidžia. Toks neteisingas darbas su teiginiais, parašytais implikacijos forma, formuoja vaikams neteisingą stereotipą, kuris bus sunkiai įveikiamas geometrijos pamokose, kai vaikai nepajus skirtumo tarp tiesioginio ir priešingo teiginio, tarp figūros ženklo ir jo nuosavybė. Labai dažnai pasitaiko klaida, kai sprendžiant uždavinius naudojama atvirkštinė teorema, nors buvo įrodyta tik tiesioginė teorema.

Kitas neteisingo sąvokos formavimo pavyzdys yra darbas su pažodiniu lygybės santykiu. Pavyzdžiui, skaičiaus dauginimo iš vieneto ir skaičiaus iš nulio taisyklės visuose vadovėliuose pateikiamos raidžių forma: A x 1 = A, A x 0 = 0. Lygybės santykis, kaip žinoma, yra simetriškas, todėl toks žymėjimas suteikia ne tik tai, kad padauginus iš 1 gaunamas tas pats skaičius, bet ir tai, kad bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip šio skaičiaus sandauga ir vienas. Tačiau vadovėliuose po laiško įvedimo siūloma žodinė formuluotė kalba tik apie pirmąją galimybę. Pratimai šia tema taip pat skirti tik tam, kad būtų pratinamasi skaičiaus ir vieneto sandaugą pakeisti šiuo skaičiumi. Visa tai lemia ne tik tai, kad labai svarbus punktas netampa vaikų sąmonės objektu: sandauga gali būti užrašytas bet koks skaičius, kuris algebroje sukels atitinkamų sunkumų dirbant su daugianariais, bet ir faktas, kad vaikai iš esmės nemoka teisingai dirbti su lygybės santykiu. Pavyzdžiui, dirbdami su kvadratų skirtumo formule, vaikai, kaip taisyklė, susidoroja su kvadratų skirtumo faktoriaus užduotimi. Tačiau tos užduotys, kai reikia atlikti priešingą veiksmą, daugeliu atvejų sukelia sunkumų. Kitas ryškus šios idėjos pavyzdys yra darbas su daugybos paskirstymo dėsniu, palyginti su pridėjimu. Ir čia, nepaisant įstatymo raidžių rašymo, tiek jo žodinė formuluotė, tiek pratimų sistema tik lavina gebėjimą skliausteliuose. Dėl to bendro veiksnio išbraukimas iš skliaustų sukels didelių sunkumų ateityje.

Gana dažnai pradinėje mokykloje, net ir teisingai suformulavus apibrėžimą ar taisyklę, mokymasis skatinamas pasikliaujant ne jais, o kažkuo visai kitu. Pavyzdžiui, studijuojant daugybos iš 2 lentelę, visi peržiūrėti vadovėliai parodo, kaip ją sudaryti. Vadovėlyje M.I. Moro padarė taip:

Taikydami šį darbo metodą vaikai labai greitai pastebės gautų skaičių serijų modelį.

Po 3-4 lygybių jie nustos dėti du ir pradės rašyti rezultatą pagal pastebėtą modelį. Taigi daugybos lentelės sudarymo metodas netaps jų sąmonės objektu, o tai lems trapią jos asimiliaciją.

Studijuojant medžiagą pradinėje mokykloje, remiamasi objektyviais veiksmais ir iliustraciniu aiškumu, o tai lemia empirinio mąstymo formavimąsi. Žinoma, be tokio matomumo pradinėje mokykloje vargu ar galima apsieiti. Bet tai turėtų būti tik kaip to ar kito fakto iliustracija, o ne kaip koncepcijos formavimo pagrindas. Iliustratyvaus aiškumo ir esminių veiksmų naudojimas vadovėliuose dažnai lemia, kad pati sąvoka yra „neryški“. Pavyzdžiui, matematikos metoduose 1–3 klasėms M.I. Moreau sako, kad vaikai turi skirstyti daiktus į krūvas arba nupiešti 30 pamokų. Tokie veiksmai praranda dalybos operacijos esmę kaip atvirkštinis daugybos veiksmas. Dėl to dalybos išmokstamos su didžiausiais sunkumais ir yra daug blogiau nei kitos aritmetinės operacijos.

Pradinėje mokykloje mokant matematikos apie kokių nors teiginių įrodymą nėra kalbos. Tuo tarpu prisiminus, kaip sunku bus mokyti įrodinėjimo vidurinėje mokykloje, tam reikia pradėti ruoštis jau pradinėse klasėse. Be to, tai galima padaryti naudojant medžiagą, kuri yra gana prieinama pradinių klasių mokiniams. Pavyzdžiui, tokia medžiaga gali būti skaičiaus padalijimo iš 1, nulio iš skaičiaus ir skaičiaus iš savęs taisyklės. Vaikai gana pajėgūs tai įrodyti naudodami dalybos apibrėžimą ir atitinkamas daugybos taisykles.

Pradinės mokyklos medžiaga taip pat leidžia atlikti algebros propedeutiką – dirbti su raidėmis ir raidžių išraiškomis. Dauguma vadovėlių vengia vartoti raides. Dėl to ketverius metus vaikai beveik vien dirba su skaičiais, po kurių, žinoma, labai sunku juos pripratinti prie darbo su raidėmis. Tačiau tokiam darbui teikti propedeutiką, jau pradinėje mokykloje išmokyti vaikus vietoj raidės į raidinę išraišką pakeisti skaičių. Tai buvo padaryta, pavyzdžiui, vadovėlyje L.G. Petersonas.

Kalbant apie matematikos mokymo pradinėse klasėse trūkumus, kurie trukdo mokytis toliau, būtina ypač pabrėžti tai, kad dažnai vadovėliuose medžiaga pateikiama nežiūrint, kaip ji veiks ateityje. Labai ryškus to pavyzdys yra mokymosi daugybos iš 10, 100, 1000 ir kt. Visuose apžvelgtuose vadovėliuose šios medžiagos pateikimas susistemintas taip, kad vaikų mintyse neišvengiamai susiformuotų taisyklė: „Norint skaičių padauginti iš 10, 100, 1000 ir t.t., reikia pridėti tiek nulių į dešinę, kiek yra 10, 100, 1000 ir kt. Ši taisyklė yra viena iš tų, kurios labai gerai išmokstama pradinėje mokykloje. Dėl to dauginant dešimtaines trupmenas iš sveikų skaitmenų vienetų atsiranda daug klaidų. Net ir prisiminę naują taisyklę, vaikai, daugindami iš 10, dažnai automatiškai prideda nulį dešimtainio skaičiaus dešinėje. Be to, reikia pastebėti, kad dauginant natūralųjį skaičių ir dešimtainę trupmeną dauginant iš sveikų skaitmenų vienetų, iš esmės vyksta tas pats: kiekvienas skaičiaus skaitmuo atitinkamu skaitmenų skaičiumi pasislenka į dešinę. Todėl nėra prasmės mokyti vaikus dviejų atskirų ir visiškai formalių taisyklių. Daug naudingiau juos išmokyti bendro būdo, kaip elgtis sprendžiant panašias problemas.

2.1 Sąvokų palyginimas (kontrastavimas) matematikos pamokose

Dabartinė programa numato I klasėje studijuoti tik dvi pirmojo lygio operacijas – sudėtį ir atimtį. Pirmųjų studijų metų apribojimas tik dviem operacijomis iš esmės yra nukrypimas nuo to, kas jau buvo pasiekta vadovėliuose, buvusiuose prieš dabartinius: nei vienas mokytojas tada niekada nesiskundė, kad daugyba ir dalyba, tarkime, per 20, yra peržengiama. pirmokų gebėjimai . Atkreiptinas dėmesys ir į tai, kad kitų šalių mokyklose, kuriose mokslas pradedamas nuo 6 metų, pirmieji mokslo metai apima pirminį susipažinimą su visais keturiais aritmetikos veiksmais. Matematika visų pirma remiasi keturiais veiksmais, ir kuo anksčiau jie bus įtraukti į mokinio mąstymo praktiką, tuo stabilesnis ir patikimesnis bus tolesnis matematikos kurso vystymas.

Teisybės dėlei reikia pažymėti, kad pirmuosiuose M.I.I klasės vadovėlių versijose buvo pateikta daugybos ir dalybos. Tačiau nelaimingas atsitikimas sutrukdė: naujų programų autoriai atkakliai laikėsi vienos „naujovės“ - visų sudėjimo ir atėmimo atvejų aprėpties pirmoje klasėje per 100 (37+58 ir 95-58 ir kt.). Tačiau kadangi nebuvo pakankamai laiko tokiam išplėstiniam informacijos kiekiui ištirti, buvo nuspręsta daugybą ir dalybą visiškai perkelti į kitus studijų metus.

Taigi susižavėjimas programos linijiškumu, t. y. grynai kiekybiniu žinių išplėtimu (tie patys veiksmai, bet su didesniais skaičiais), atėmė laiką, kuris anksčiau buvo skirtas kokybiniam žinių gilinimui (visų keturių veiksmų studijoms). dvi dešimtys). Daugybos ir dalybos mokymasis jau pirmoje klasėje reiškia kokybinį mąstymo šuolį, nes leidžia įvaldyti kondensuotus mąstymo procesus.

Remiantis tradicijomis, sudėties ir atimties per 20 tyrimas buvo ypatinga tema. Šio metodo poreikis sisteminant žinias matomas net iš loginės klausimo analizės: faktas yra tas, kad visa lentelė, skirta pridėti vieną skaitmenį. skaičiai plėtojami per dvi dešimtis (0+1= 1, ...,9+9=18). Taigi skaičiai, esantys 20 viduje, sudaro pilną santykių sistemą savo vidiniuose ryšiuose; todėl „Dvidešimties“ kaip antrosios holistinės temos išsaugojimo tikslingumas yra aiškus (pirmoji tokia tema – veiksmai pirmajame dešimtyje).

Aptariamas atvejis yra būtent tas, kai koncentriškumas(išlaikyti antrą dešimtuką kaip specialią temą) pasirodo naudingesnis nei tiesiškumas(antrojo dešimtuko „ištirpimas“ „Šimto“ temoje).

M.I. Moro vadovėlyje pirmojo dešimties tyrimas yra padalintas į dvi atskiras dalis: pirmiausia nagrinėjama pirmojo dešimties skaičių sudėtis, o kitoje temoje nagrinėjami veiksmai, skirti 10 pateikė P.M. Erdnieva, priešingai, atliko bendrą numeracijos, skaičių sudėties ir operacijų (sudėtis ir atimtis) tyrimą iš karto 10 vienoje dalyje. Taikant šį metodą, naudojamas monografinis skaičių tyrimas, būtent: nagrinėjamame skaičiuje (pavyzdžiui, 3) iš karto suprantama visa „pinigų matematika“: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3–2 = 1.

Jei pagal dabartines programas pirmam dešimtiui buvo skirta 70 valandų studijuoti, tai eksperimentinio mokymo atveju visa ši medžiaga buvo išstudijuota per 50 valandų (be programos buvo atsižvelgta į kai kurias papildomas sąvokas, kurių nebuvo stabilus vadovėlis, bet buvo struktūriškai susiję su pagrindine medžiaga).

Pradinio mokymo metodikoje ypatingo dėmesio reikalauja užduočių klasifikavimo ir jų tipų pavadinimų klausimas. Metodininkų kartos stengėsi racionalizuoti mokyklinių užduočių sistemą, sukurti efektyvius jų tipus ir atmainas, iki pat sėkmingų terminų parinkimo mokykloje skirtų užduočių pavadinimams. Žinoma, kad joms spręsti matematikos pamokose skiriama ne mažiau kaip pusė mokymo laiko. Mokyklos užduotis tikrai reikia sisteminti ir klasifikuoti. Kokią užduotį tirti, kada ją tirti, kokio tipo problemą tirti, susijusią su konkretaus skyriaus ištrauka – tai yra teisėtas metodikos ir pagrindinių programų turinio tyrimo objektas. Šios aplinkybės reikšmė akivaizdi iš matematikos metodologijos istorijos.

Autoriaus eksperimentinėse mokymo priemonėse ypatingas dėmesys skiriamas užduočių klasifikavimui ir mokymui konkrečioje klasėje reikalingų jų tipų ir atmainų paskirstymui. Šiuo metu klasikiniai uždavinių tipų pavadinimai (rasti sumą, nežinomą terminą ir pan.) dingo net iš stabilaus pirmos klasės vadovėlio turinio. Bandomajame vadovėlyje P.M. Erdnievo, šie vardai „veikia“: jie naudingi kaip didaktiniai etapai ne tik mokiniui, bet ir mokytojui. Pateiksime bandomojo matematikos vadovėlio pirmosios temos turinį, kuriam būdingas loginis sąvokų išsamumas.

Pirmieji dešimt

Lyginant sąvokas aukštesnis – žemesnis, kairysis – dešinysis, tarp, trumpesnis – ilgesnis, platesnis – siauresnis, storesnis – plonesnis, senesnis – jaunesnis, toliau – arčiau, lėčiau – greičiau, lengvesnis – sunkesnis, mažai – daug.

Monografinis pirmojo dešimtuko skaičių tyrimas: pavadinimas, žymėjimas, palyginimas, skaičių dėjimas į abakusą ir skaičių žymėjimas skaičių eilutėje; ženklai: lygus (=), nelygus (¹), didesnis nei (>), mažesnis nei (<).

Tiesios ir lenktos linijos; apskritimas ir ovalas.

Taškas, tiesė, atkarpa, jų žymėjimas raidėmis; atkarpos ilgio matavimas ir nurodyto ilgio atkarpų išdėstymas; žymėjimas, įvardijimas, konstravimas, lygių trikampių, lygių daugiakampių išpjovimas. Daugiakampio elementai: viršūnės, kraštinės, įstrižainės (žymimos raidėmis).

Monografinis skaičių tyrimas nagrinėjamame skaičiuje:

skaičių sudėtis, sudėjimas ir atėmimas.

Sudėjimo ir atimties komponentų pavadinimai.

Keturi sudėjimo ir atimties pavyzdžiai:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Deformuoti pavyzdžiai (su trūkstamais skaičiais ir ženklais):

X + 5 = 7; 6 – X = 4;6 = 3A2.

Problemų sprendimas ieškant sumos ir sudėjimo, skirtumo, minuend ir subtrahend. Abipusiai atvirkštinių uždavinių kompiliavimas ir sprendimas.

Trys užduotys: skaičių padidinti ir sumažinti keliais vienetais ir palyginti skirtumus. Segmentų palyginimas pagal ilgį.

Komutacinis sudėjimo dėsnis. Sumos pokytis, priklausantis nuo vieno termino pasikeitimo. Sąlyga, kai suma nesikeičia. Paprasčiausios raidžių išraiškos: a + b = b + a, a + 0 = a, a –a = 0.

Raiškos uždavinių sudarymas ir sprendimas.

Tolesniame pristatyme apsvarstysime pagrindinius šios pradinės mokyklinės matematikos dalies pateikimo metodikos klausimus, turėdami omenyje, kad tolesnių skyrių pateikimo metodika daugeliu atžvilgių turėtų būti panaši į pirmosios temos medžiagos įsisavinimo procesą. .

Jau pirmose pamokose mokytojas turėtų išsikelti tikslą išmokyti mokinį vartoti sąvokų poras, kurių turinys atsiskleidžia atitinkamų sakinių su šiais žodžiais procese. (Pirma, mes įvaldome palyginimą kokybiniu lygiu, nenaudodami skaičių.)

Čia pateikiami dažniausiai pasitaikančių sąvokų porų, kurios turėtų būti naudojamos ne tik matematikos, bet ir kalbos raidos pamokose, pavyzdžiai:

Daugiau – mažiau, ilgesnis – trumpesnis, aukščiau – žemesnis, sunkesnis – lengvesnis, platesnis – siauresnis, storesnis – plonesnis, dešinėn – kairėn, toliau – arčiau, senesnis – jaunesnis, greičiau – lėčiau ir t.t.

Dirbant su tokiomis sąvokų poromis, svarbu naudoti ne tik vadovėlio iliustracijas, bet ir vaikų pastebėjimus; taigi, pavyzdžiui, pro klasės langą jie mato, kad anapus upės yra namas, ir sugalvoja tokias frazes: „Upė arčiau mokyklos nei namas, o namas toliau nuo mokyklos nei upė. .

Tegul mokinys pakaitomis laiko rankoje knygą ir sąsiuvinį. Mokytojas klausia: kas sunkesnis – knyga ar sąsiuvinis? Kuris lengvesnis? "Knyga sunkesnis sąsiuvinius ir sąsiuvinius lengviau knygos“.

Išstatę aukščiausią ir žemiausią klasės mokinį priešais klasę greta, iš karto sudarome dvi frazes: „Miša aukštesnė už Kolją, o Kolia žemesnė už Mišą“.

Atliekant šiuos pratimus, svarbu pasiekti, kad vienas sprendimas būtų gramatiškai teisingas pakeistas dvejopu: „Mūrinis namas yra aukštesnis už medinį, vadinasi, medinis namas yra žemesnis už akmeninį“.

Susipažinę su sąvoka „ilgesnis - trumpesnis“, galite parodyti objektų ilgio palyginimą, uždėdami vieną ant kito (kuris yra ilgesnis: rašiklis ar pieštukų dėklas?).

Aritmetikos ir kalbos raidos pamokose pravartu spręsti loginius uždavinius, kurių tikslas – išmokyti vartoti priešingas sąvokas: „Kas vyresnis: tėvas ar sūnus? Kas jaunesnis: tėvas ar sūnus? Kuris gimė pirmas? Kas vėliau?

„Palyginkite knygos ir portfelio plotį. Kas platesnis: knyga ar portfelis? Kas jau yra knyga ar portfelis? Kas sunkesnis: knyga ar portfelis?

Lyginimo proceso mokymas gali būti įdomesnis įvedant vadinamuosius matricinius (lentelės) pratimus. Ant lentos pastatyta keturių langelių lentelė ir paaiškinta sąvokų „stulpelis“ ir „eilutė“ reikšmė. Pristatome sąvokas „kairysis stulpelis“ ir „dešinysis stulpelis“, „viršutinė eilutė“ ir „apatinė eilutė“.

Kartu su mokiniais parodome (imituojame) šių sąvokų semantinę interpretaciją.

Parodykite stulpelį (vaikai judina ranką iš viršaus į apačią).

Parodykite kairįjį stulpelį, dešinįjį stulpelį (vaikai du kartus siūbuoja rankomis iš viršaus į apačią).

Parodykite liniją (pasukite ranką iš kairės į dešinę).

Rodyti viršutinę ir apatinę eilutę (dvi rankos mostelėjimas rodo viršutinę ir apatinę eilutę).

Būtina užtikrinti, kad mokiniai tiksliai nurodytų langelio padėtį: „viršutinis kairysis langelis“, „apatinis dešinysis langelis“ ir kt. Iš karto išsprendžiama atvirkštinė problema, būtent: mokytojas rodo į kurią nors lentelės (matricos) langelį. , mokinys suteikia atitinkamą šios ląstelės pavadinimą. Taigi, jei ląstelė yra nukreipta į tą, kuri yra viršutinės eilutės ir kairiojo stulpelio sankirtoje, tada studentas turėtų pavadinti: „Viršutinis kairysis langelis“. Tokie pratimai palaipsniui pripratina vaikus prie orientacijos erdvėje ir yra svarbūs vėliau studijuojant matematikos koordinačių metodą.

Darbas su skaičių eilėmis yra labai svarbus pirmosioms pradinės matematikos pamokoms.

Skaičių eilutės augimą patogu iliustruoti sudedant po vieną, judant į dešinę išilgai skaičių linijos.

Jei ženklas (+) yra susijęs su judėjimu išilgai skaičiaus linijos į dešinę po vieną, tai ženklas (-) yra susijęs su judėjimu atgal į kairę po vieną ir pan. (Todėl abu ženklus rodome vienu metu pamoka.)

Dirbdami su skaičių eilėmis pristatome šias sąvokas: skaičių serijos pradžia (skaičius nulis) reiškia kairįjį spindulio galą; Skaičius 1 atitinka vieneto segmentą, kuris turi būti pavaizduotas atskirai nuo skaičių serijos.

Tegul mokiniai dirba skaičių tiesėje per tris.

Parenkame bet kuriuos du gretimus skaičius, pavyzdžiui, 2 ir 3. Pereinant nuo skaičiaus 2 prie skaičiaus 3, vaikai samprotauja taip: „Po skaičiaus 2 seka skaičius 3“. Pereinant nuo 3 iki 2, jie sako:

„Skaičius 3 ateina prieš skaičių 2“ arba: „Skaičius 2 yra prieš skaičių 3“.

Šis metodas leidžia nustatyti nurodyto skaičiaus vietą tiek ankstesnių, tiek vėlesnių skaičių atžvilgiu; Dera iš karto atkreipti dėmesį į skaičiaus padėties reliatyvumą, pavyzdžiui: skaičius 3 vienu metu yra ir paskesnis (už skaičiaus 2), ir ankstesnis (prieš skaičių 4).

Nurodyti perėjimai išilgai skaičių serijos turi būti susieti su atitinkamomis aritmetinėmis operacijomis.

Pavyzdžiui, frazė „Po skaičiaus 2 seka skaičius 3“ simboliškai pavaizduota taip: 2 + 1 = 3; tačiau psichologiškai naudinga iškart po jo sukurti priešingą minčių ryšį, būtent: posakį „Prieš skaičių 3 ateina skaičius 2“ palaiko įrašas: 3 – 1 = 2.

Norint suprasti skaičiaus vietą skaičių serijoje, reikia užduoti suporuotus klausimus:

1. Po kokio skaičiaus seka skaičius 3? (Skaičius 3 seka skaičių 2.) Prieš Ant kokio skaičiaus yra skaičius 2? (Skaičius 2 yra prieš skaičių 3.)

2. Koks skaičius seka už numeris 2? (Po skaičiaus 2 seka skaičius 3.) Kuris skaičius ateina prieš numeris 3? (Prieš skaičių 3 yra skaičius 2.)

3. Tarp Kokie skaičiai yra skaičius 2? (Skaičius 2 yra tarp skaičiaus 1 ir skaičiaus 3.) Koks skaičius yra tarp skaičių 1 ir 3? (Tarp skaičių 1 ir 3 yra skaičius 2.)

Šiuose pratimuose matematinė informacija pateikiama funkciniais žodžiais: prieš, už, tarp.

Darbą su skaičių eilėmis patogu derinti lyginant skaičius pagal dydį, taip pat lyginant skaičių padėtį skaičių eilutėje. Palaipsniui plėtojami geometrinio pobūdžio sprendimų ryšiai: skaičius 4 yra skaičių eilutėje į dešinę nuo skaičiaus 3; tai reiškia, kad 4 yra didesnis nei 3. Ir atvirkščiai: skaičius 3 yra skaičių eilutėje į kairę nuo skaičiaus 4; tai reiškia, kad skaičius 3 yra mažesnis už skaičių 4. Taip užmezgamas ryšys tarp sąvokų porų: į dešinę - daugiau, į kairę - mažiau.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, matome būdingą integruoto žinių įsisavinimo bruožą: visas sąvokų rinkinys, susijęs su sudėjimu ir atėmimu, siūlomas kartu, jų nenutrūkstamais perėjimais (perkodavimais) vienas į kitą.

Pagrindinės skaitinių ryšių įsisavinimo priemonės mūsų vadovėlyje yra spalvotos juostos; Patogu juos palyginti pagal ilgį, nustatant, kiek langelių yra didesni ar mažesni už juos viršutinėje ar apatinėje juostoje. Kitaip tariant, „segmentų skirtumų palyginimo“ sąvokos neįvedame kaip specialios temos, o studentai su ja susipažįsta pačioje pirmojo dešimtuko skaičių tyrimo pradžioje. Pamokose, skirtose pirmojo dešimtuko studijoms, patogu naudoti spalvotas juostas, kurios leidžia atlikti pagrindinių užduočių tipų propedeutiką pirmojo etapo veiksmams.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

Tegul dvi spalvotos juostos, padalintos į langelius, yra viena ant kitos:

apatinėje - 3 ląstelės, viršutinėje - 2 ląstelės (žr. pav.).

Lygindamas langelių skaičių viršutinėje ir apatinėje juostose, mokytojas sudaro du tarpusavyje atvirkštinių veiksmų pavyzdžius (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), o šių pavyzdžių sprendiniai skaitomi poromis visais įmanomais būdais:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) pridėkite 1 prie 2 – gausite 3; a) iš 3 atimkite 1 – gausite 2;

b) padidinkite 2 1 – gausite 3; b) sumažinkite 3 iki 1 – gausite 2;

c) 3 yra daugiau nei 2 iš 1; c) 2 yra mažesnis nei 3 iš 1;

d) 2 taip 1 bus 3; d) 3 be 1 bus 2;

e) sudėkite skaičių 2 su skaičiumi 1 - e) atimkite skaičių 1 iš skaičiaus 3 -

pasirodo 3. pasirodo 2.

Mokytojas. Jei 2 padauginamas iš 1, kiek tai bus?

Studentas. Jei padidinsite 2 1, gausite 3.

Mokytojas. Dabar pasakykite man, ką reikia padaryti su skaičiumi 3, kad gautumėte 2?

Studentas. Sumažinkite 3 iki 1, kad gautumėte 2.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad šiame dialoge reikia metodiškai kompetentingai įgyvendinti opozicijos veiklą. ,

Vaikai pasitikintys porinių sąvokų (sudėti – atimti, didinti – mažinti, daugiau – mažiau, taip – ​​be, pridėti – atimti) prasmės įsisavinimas pasiekiamas naudojant jas vienoje pamokoje, remiantis tuo pačiu skaičių trigubu (pvz., 2 + 1 = =3, 3-1=2), remiantis vienu demonstravimu – lyginant dviejų strypų ilgius.

Tai yra esminis skirtumas tarp metodinės asimiliacijos vienetų konsolidavimo sistemos ir atskiro šių pagrindinių sąvokų tyrimo sistemos, kurioje kontrastingos matematikos sąvokos paprastai įvedamos atskirai į studentų kalbos praktiką.

Mokymosi patirtis rodo tuo pačiu metu priešingų sąvokų porų įvedimo pranašumus, pradedant nuo pat pirmųjų aritmetikos pamokų.

Pavyzdžiui, vienu metu naudojami trys veiksmažodžiai: „pridėti“ (pridėti 1 prie 2), „pridėti“ (pridėti skaičių 2 su skaičiumi 1), „padidinti“ (2 padidinti 1), kurie vaizduojami simboliškai. identiškai (2+1= 3), padeda vaikams išmokti šių žodžių panašumo ir artimumo prasme (panašiai samprotauti galima ir dėl žodžių „atimti“, „atimti“, „sumažinti“).

Lygiai taip pat skirtumų palyginimo esmė išmokstama pakartotinai naudojant lyginančias skaičių poras nuo pat mokymo pradžios, o kiekvienoje pamokos dialogo dalyje naudojamos visos galimos žodinės išspręsto pavyzdžio interpretacijos formos: „Kas yra didesnis: 2 ar 3? Kiek daugiau yra 3 nei 2? Kiek reikia pridėti prie 2, kad gautum 3? tt Gramatinių formų keitimas ir dažnas klausiamųjų formų vartojimas turi didelę reikšmę šių sąvokų prasmės įsisavinimui.

Daugelį metų trukę bandymai parodė naudą monografinis tyrimas pirmojo dešimtuko numeriai. Kiekvienas iš eilės einantis skaičius yra daugiašalėje analizėje, išvardijant visus galimus jo formavimo variantus; šio skaičiaus viduje atliekami visi įmanomi veiksmai, kartojama „visa turima matematika“, naudojamos visos priimtinos gramatinės skaičių santykio išraiškos formos. Žinoma, naudojant šią studijų sistemą, atsižvelgiant į vėlesnių skaičių aprėptį, kartojami anksčiau ištirti pavyzdžiai, tai yra, skaičių serijos išplečiamos nuolat kartojant anksčiau svarstytus skaičių derinius ir paprastų problemų atmainas. .

2.3 Bendras sudėties ir atimties, daugybos ir dalybos tyrimas

Elementariosios matematikos metodikoje šių dviejų operacijų pratimai dažniausiai nagrinėjami atskirai. Tuo tarpu atrodo, kad labiau pageidautina vienu metu tirti dvigubą operaciją „sudėtis – išskaidyti į terminus“.

Leiskite mokiniams išspręsti papildymo užduotį: „Pridėkite 1 pagaliuką prie trijų pagaliukų – gausite 4 pagaliukus“. Atlikus šią užduotį, iškart reikėtų užduoti klausimą: „Iš kokių skaičių susideda iš numeris 4? 4 pagaliukai susideda iš 3 pagaliukų (vaikas suskaičiuoja 3 pagaliukus) ir 1 pagaliuko (atskiria dar 1 pagaliuką).

Pradinis pratimas gali būti skaičiaus skaidymas. Mokytojas klausia: „Iš kokių skaičių sudaro skaičius 5? (Skaičius 5 susideda iš 3 ir 2.) Ir iškart užduodamas klausimas apie tuos pačius skaičius: „Kiek gausite, jei pridėsite 2 prie 3? (Pridėkite 2 prie 3 – gausite 5.)

Tam pačiam tikslui pravartu pratinti skaityti pavyzdžius dviem kryptimis: 5+2=7. Pridėkite 2 prie 5, gausite 7 (skaitykite iš kairės į dešinę). 7 susideda iš 2 ir 5 terminų (skaitykite iš dešinės į kairę).

Naudinga žodinį opoziciją palydėti tokiais pratimais klasės abake, kurie leidžia pamatyti konkretų atitinkamų operacijų turinį. Skaičiavimai ant abacus yra būtini kaip priemonė vizualizuoti veiksmus su skaičiais, o skaičių dydis 10 ribose čia siejamas su kaulų, esančių ant vieno laido, ilgiu (šį ilgį studentas suvokia vizualiai). Neįmanoma sutikti su tokia „naujove“, kai dabartiniai vadovėliai ir programos visiškai atsisakė rusiškų abakų naudojimo pamokose.

Taigi, spręsdamas sudėjimo pavyzdį (5+2=7), mokinys iš pradžių suskaičiavo 5 akmenis ant abako, tada pridėjo prie jų 2 ir po to paskelbė sumą: „Pridėk 2 prie 5 – gausi 7“ gauto skaičiaus 7 pavadinimą, studentas nustato perskaičiuodamas naują sumą: „Vienas - du - trys - keturi - penki - šeši - septyni").

Studentas. Pridėkite 2 prie 5 ir gausite 7.

Mokytojas. Dabar parodykite, iš kokių terminų susideda skaičius 7.

Studentas(iš pradžių atskiria du kaulus į dešinę, tada kalba). Skaičius 7 sudarytas iš 2 ir 5.

Atliekant šiuos pratimus, nuo pat pradžių patartina vartoti sąvokas „pirmas terminas“ (5), „antras terminas“ (2), „suma“.

Siūlomos šios užduočių rūšys: a) dviejų terminų suma yra 7; rasti terminus; b) iš kokių komponentų susideda skaičius 7?; c) išskaidykite sumą 7 į 2 narius (į 3 narius). ir kt.

Norint įsisavinti tokią svarbią algebrinę sąvoką kaip komutacinis sudėjimo dėsnis, reikia atlikti įvairius pratimus, iš pradžių pagrįstus praktiniais manipuliacijomis su objektais.

Mokytojas. Paimkite 3 pagaliukus į kairę ranką ir 2 į dešinę. Kiek lazdelių yra iš viso?

Studentas. Iš viso yra 5 lazdelės.

Mokytojas. Kaip galiu apie tai daugiau pasakyti?

Studentas. Prie 3 pagaliukų pridėkite 2 pagaliukus – bus 5 pagaliukai.

Mokytojas. Sudarykite šį pavyzdį iš iškirptų skaičių. (Mokinys pateikia pavyzdį: 3+2=5.)

Mokytojas. Dabar pakeiskite lazdeles: perkelkite lazdeles kairėje rankoje į dešinę, o iš dešinės - į kairę. Kiek pagaliukų dabar yra abiejose rankose?

Studentas. Iš viso dviejose rankose buvo 5 pagaliukai, o dabar vėl 5 pagaliukai.

Mokytojas. Kodėl taip atsitiko?

Studentas. Nes nieko nepadėjome į šalį ir nepridėjome pagaliukų Kiek buvo, tiek ir liko.

Mokytojas. Sudarykite išspręstus pavyzdžius iš iškirptų skaičių.

Studentas(atideda į šalį: 3+2=5, 2+3=5). Čia buvo skaičius 3, o dabar skaičius 2. Ir čia buvo skaičius 2, o dabar skaičius 3.

Mokytojas. Sukeitėme skaičius 2 ir 3, bet rezultatas liko toks pat:

5. (Pavyzdys sudarytas iš padalintų skaičių: 3+2=2+3.)

Komutacinės teisės taip pat išmokstama atliekant skaičių skaidymo į terminus pratybas.

Kada įvesti komutacinį sudėjimo dėsnį?

Pagrindinis papildymo mokymo tikslas – jau per pirmąjį dešimtuką – nuolat akcentuoti komutacinės dėsnio vaidmenį pratybose.

Tegul vaikai pirmiausia suskaičiuoja 6 pagaliukus; tada prie jų pridedame tris pagaliukus ir perskaičiuodami („septyni - aštuoni - devyni“) nustatome sumą: 6 taip 3 - bus 9. Būtina iš karto pasiūlyti naują pavyzdį: 3 + 6; naują sumą iš pradžių galima vėl nustatyti perskaičiuojant (t. y. pačiu primityviausiu būdu), tačiau palaipsniui ir tikslingai reikėtų suformuluoti sprendimo būdą aukštesniu kodu, t.y. logiškai, neperskaičiavus.

Jei 6 ir 3 bus 9 (atsakymas nustatomas perskaičiavus), tai 3 ir 6 (neperskaičiavus!) taip pat bus 9!

Trumpai tariant, komutacinė sudėties savybė turi būti įdiegta nuo pat skirtingų terminų pridėjimo pratimų pradžios, kad keturių pavyzdžių sprendinių sudarymas (tarimas) taptų įpročiu:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Keturių pavyzdžių sudarymas yra priemonė plėsti vaikams prieinamas žinias.

Matome, kad tokia svarbi sudėjimo operacijos savybė, kaip jos pakeičiamumas, neturėtų pasitaikyti retkarčiais, o tapti pagrindine logine priemone stiprinant teisingas skaitines asociacijas. Į pagrindinę papildymo savybę - terminų pakeičiamumą - reikia nuolat atsižvelgti, kai atmintyje kaupiasi nauji lentelės rezultatai.

Matome: sudėtingesnių skaičiavimo ar loginių operacijų ryšys grindžiamas panašiu elementariųjų operacijų poriniu ryšiu (artimumu), per kurį atliekama pora „sudėtingų“ operacijų. Kitaip tariant, aiški sudėtingų sąvokų priešprieša grindžiama numanoma (pasąmonės) paprastesnių sąvokų priešprieša.

Patartina pirminį daugybos ir dalybos tyrimą atlikti tokia trijų uždavinių ciklų seka (kiekviename cikle trys užduotys):

I ciklas: a, b) daugyba su pastoviu daugikliu ir dalyba iš turinio (kartu); c) padalijimas į lygias dalis.

II ciklas: a, b) skaičiaus mažėjimas ir padidėjimas kelis kartus (kartu); c) daugkartinis palyginimas.

III ciklas: a, b) vienos skaičiaus dalies ir skaičiaus suradimas pagal vienos jo dalies dydį (kartu); c) problemos sprendimas: „Kokia dalis yra vienas kito skaičius?

Šių problemų tyrimo metodinė sistema yra panaši į aukščiau aprašytą paprastų pirmojo etapo uždavinių (sudėties ir atimties) atveju.

Vienalaikis turinio daugybos ir dalybos tyrimas. Dviejose ar trijose pamokose (daugiau ne!), skirtose daugybai, aiškinamasi daugybos, kaip sugriuvusio lygiaverčių dėmenų sudėjimo, sąvokos reikšmė (dalybos veiksmas šiose pamokose dar neaptariamas). Šio laiko pakanka norint ištirti skaičiaus 2 daugybos iš vienaženklių skaičių lentelę.

Paprastai mokiniams rodomas sudėjimo pakeitimo daugyba įrašas: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Čia ryšys tarp sudėjimo ir daugybos eina sudėjimo-daugybos kryptimi. Tikslinga nedelsiant pasiūlyti studentams užduotį, skirtą pateikti grįžtamąjį ryšį formos „daugyba-sudėtis“ (lygios sąlygos): žiūrėdamas į šį įrašą, mokinys turėtų suprasti, kad skaičių 2 reikia kartoti kaip priedą tiek kartų, kiek pavyzdyje daugiklis rodo (2*4= 8).

Abiejų pratimų tipų derinys yra viena iš svarbių sąlygų, užtikrinančių sąmoningą sąvokos „dauginimas“, o tai reiškia sugriuvusį sudėjimą, įsisavinimą.

Trečioje pamokoje (arba ketvirtoje, priklausomai nuo klasės) kiekvienam iš žinomų daugybos atvejų pateikiamas atitinkamas padalijimo atvejis. Ateityje daugybą ir dalybą pravartu svarstyti tik kartu tose pačiose pamokose.

Įvedant dalybos sampratą, būtina prisiminti atitinkamus daugybos atvejus, kad, pradedant nuo jų, būtų sukurta naujo veiksmo, atvirkštinio daugybai, samprata.

Todėl sąvoka „daugyba“ įgauna turtingą turinį: ji yra ne tik vienodų terminų pridėjimo („sudėties apibendrinimas“) rezultatas, bet ir pagrindas, pradinis padalijimo momentas, kuris, savo ruožtu, reiškia. „sutraukta atimtis“, pakeičianti nuosekliąją „atimtį 2“:

Daugybos prasmė suvokiama ne tiek per patį dauginimą, kiek per nuolatinius perėjimus tarp daugybos ir dalybos, nes dalyba yra uždengta, „modifikuota“ daugyba. Tai paaiškina, kodėl vėliau naudinga visada tuo pačiu metu studijuoti daugybą ir dalybą (ir lentelę, ir nelentelę; ir žodžiu, ir raštu).

Pirmosios pamokos, skirtos tuo pat metu tirti daugybą ir padalijimą, turėtų būti skirtos pedantiškam pačių loginių operacijų apdorojimui, visapusiškai paremtam plačia praktine veikla renkant ir platinant įvairius objektus (kubelius, grybus, lazdeles ir kt.), bet detalių veiksmų seka turėtų išlikti ta pati.

Šio darbo rezultatas bus daugybos ir padalijimo lentelės, parašytos greta:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6:2=3,

2*4=8, 8:2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5 ir kt.

Taigi, daugybos lentelė sudaroma naudojant pastovų daugiklį, o padalijimo lentelė sudaroma naudojant pastovų daliklį.

Taip pat naudinga pasiūlyti mokiniams, suporuotiems su šia užduotimi, struktūriškai priešingą pratimą, kaip pereiti nuo dalybos prie lygių dalių atimties.

Kartojimo pratybose pravartu pasiūlyti tokio tipo užduotis: 14:2==.

Padalijimo į lygias dalis tyrimas. Išstudijavus arba kartu pakartojus skaičių 2 padauginus ir padalijus iš 2, vienoje iš pamokų pristatoma sąvoka „dalijimas į lygias dalis“ (trečias pirmo ciklo uždavinių tipas).

Apsvarstykite problemą: „Keturi mokiniai atsinešė 2 sąsiuvinius. Kiek sąsiuvinių atsinešei?"

Mokytojas paaiškina: paimkite 2 4 kartus - gausite 8. (Pasirodo įrašas: 2 * 4 = 8.) Kas parašys atvirkštinę problemą?

Darydami daugybą rinkome sąsiuvinius. Ką mes darome, kai dalijame iš dviejų?

8 sąsiuviniai kiekvienam mokiniui išdalino po 2 sąsiuvinius – tai yra 4 (sąsiuvinių užteko 4 mokiniams).

Pasirodo įrašas:

po 2t *4 = 8 t.; 8t.: 2t = 4 (studentai).

Iš pradžių reikia naudoti išsamią skaičių žymėjimą su pavadinimais (dividentu, dalikliu ir koeficientu).

Dabar sukurkime trečią problemą: „8 sąsiuvinius reikia išdalyti po lygiai keturiems mokiniams. Kiek sąsiuvinių gaus kiekvienas žmogus?

Iš pradžių padalijimas į lygias dalis taip pat turėtų būti parodytas faktiškai manipuliuojant objektais.

Todėl sąvoka „daugyba“ įgauna turtingą turinį: ji yra ne tik vienodų terminų pridėjimo („sudėties apibendrinimas“) rezultatas, bet ir pagrindas, pradinis padalijimo momentas, kuris, savo ruožtu, reiškia. sutraukta atimtis, pakeičianti nuosekliąją „atimtį iš 2“.

Šiuo metu susidarė gana palankios sąlygos radikaliai tobulinti matematikos ugdymo organizavimą pradinėje mokykloje:

1) pradinė mokykla iš trimetės pertvarkyta į keturmetę;

2) matematikos studijoms per pirmuosius ketverius metus skiriama 700 valandų, t.y., beveik 40% viso šiam dalykui skirto laiko visai vidurinei mokyklai;

3) kasmet pradinių klasių mokytojais dirba vis daugiau aukštąjį išsilavinimą turinčių asmenų;

4) išaugo galimybė geriau aprūpinti mokytojus ir moksleivius edukacinėmis ir vaizdinėmis priemonėmis, daugelis jų yra spalvotos.

Nereikia įrodinėti lemiamo pradinio matematikos mokymo vaidmens ugdant mokinio intelektą apskritai. Per pirmuosius ketverius mokymosi metus mokinio įgytų pagrindinių asociacijų turtas, jei tai daroma teisingai, tampa pagrindine sąlyga savarankiškam žinių plėtrai vėlesniais metais. Jei ši pradinių idėjų ir sąvokų, minčių, pagrindinių loginių technikų atsarga yra neišsami, nelanksti ir nuskurdinta, tada, pereidami į vidurinę mokyklą, moksleiviai nuolat patirs sunkumų, nepaisant to, kas juos mokys toliau ar kokius vadovėlius mokysis. iš.

Kaip žinia, pradinės mokyklos mūsų ir kitose šalyse veikia jau daugelį amžių, o visuotinis vidurinis ugdymas įgyvendinamas vos kelis dešimtmečius. Iš to matyti, kad pradinio ugdymo teorija ir praktika yra daug turtingesnė savo geromis tradicijomis nei ugdymas aukštosiose mokyklose.

Brangių metodinių atradimų ir apibendrinimų apie pradinį matematikos mokymą padarė L. N. Tolstojus, K. D. Ušinskis, S. I. Šohoras-Trockis, V. Latyševas ir kiti metodininkai. Reikšmingi rezultatai pastaraisiais dešimtmečiais gauti naudojant elementariosios matematikos metodus L. V. Zankovo, A. S. Pchelko laboratorijose, taip pat didaktinių vienetų konsolidacijos tyrimuose.

Tuo tarpu dabartinė mokymo padėtis pradinėse mokyklose yra tokia, kad pastaraisiais metais mokytojų įsisavintus efektyvius jo tobulinimo būdus netikėtai aplenkė naujausios laidos ir vadovėliai. Rimtas dabartinių programų trūkumas yra viduriniosios klasės programų tęstinumo trūkumas.

Pavyzdžiui, pradinių klasių programose nebuvo išspręsta daugelio svarbių sąvokų propedeutikos problema, kuri anksčiau buvo sėkmingai įgyvendinta pradinėje mokykloje. Tokia propedeutika nepasiteisino dėl programų priverstinio tradicinės medžiagos tempimo, kuris anksčiau buvo įsisavinamas daug greičiau ir produktyviau. Dabartinė ketverių metų mokyklos programa tapo mažiau informatyvi nei prieš tai buvusi trejų metų mokyklos programa.

Pagrįstai įvertinus turimus mokslo rezultatus, gautus per pastaruosius 20 metų pradinio ugdymo metodais įvairiose kūrybinėse komandose, dabar yra visos galimybės pasiekti „mokymosi su aistra“ pradinėje mokykloje.

Visų pirma, mokinių supažindinimas su pagrindinėmis algebrinėmis sąvokomis neabejotinai turės teigiamos įtakos mokinių įsisavinimui susijusių žinių vidurinėje mokykloje.

Atrodo, kad atėmus iš jaunesnio mokinio prieinamas ir reikalingas žinias, jam bus padaryta žala, kurios vėliau niekada nebus galima atlyginti.

Pradinio matematikos mokymo praktikai itin svarbi viena pamoka (vieno vadovėlio puslapio erdvėje) tarpusavyje atvirkštinių uždavinių derinimo technika. Todėl atrodo visiškai būtina naudoti tradicinius pagrindinių užduočių tipų pavadinimus, palyginti vienas su kitu: jei vienodų terminų kartojimas veikia kaip daugyba, tai jų atvirkštinės problemos (dalijimas į lygias dalis ir padalijimas pagal turinį) turėtų būti naudojamos. vadovėlius, planuojant ir vedant pamokas. Esamose programose nerandame įprastų sąvokų: sumos radimo uždaviniai, skaičių iš dviejų sumų radimas, redukavimas iki vieneto, proporcingas padalijimas ir kt. Ši situacija jokiu būdu nėra programų pranašumas.

Psichologas J. Piaget nustatė pamatinį operacijų grįžtamumo dėsnį, su kuriuo siejama metodinė „atvirkštinės problemos“ samprata. Visų pirma, bet kokia informacija, kurią suvokia žmogus, toliau cirkuliuoja pasąmonėje (nesąmoninga forma) 20-30 minučių. Taigi, jei padauginus 172 iš 43 gauname tarpinį sandaugą 688, tai tas pats skaičius lengviausiai pasireiškia (atnaujinamas) sprendžiant atvirkštinę dalijimo iš „kampo“ uždavinį (7396:172). Atrodo, kad minčių jungtis „daugyba – padalijimas“ čia slenka du kartus.

Tai psichofiziologinis ankstesnio algebrinių elementų įdiegimo pradinėje mokykloje pranašumų paaiškinimas, gautas praktikoje. Šią išvadą patvirtina ir autorės asmeninė mokymo patirtis Rylsko 4-osios vidurinės mokyklos pradinėse klasėse matematikos pamokose.

1. Aktualios problemos mokant matematikos pradinėje mokykloje. / Red. M.I. Moreau, A.M. Išpūstas. – M.: Pedagogika, 1977. – 262 p.

2. Arginskaya I.I., Ivanovskaya E.A. Matematika: Vadovėlis keturmetės pradinės mokyklos 3 klasei. – Samara: red. Namas „Fedorov“, 2000. – 192 p.

3. Bantova M.A., Beltyukova G.V. Matematikos mokymo metodai pradinėje mokykloje. – M.: Pedagogika, 1984. – 301 p.

4. Gonin E.G. Teorinė aritmetika. – M.: Uchpedgiz, 1961. – 171 p.

5. Davydovas V.V. Matematika, 3 klasė: Vadovėlis 4 metų pradinei mokyklai. – M.: Leidybos centras „Akademija“, 1998. – 212 p.

6. Davydovas V.V. Psichinis vystymasis pradinio mokyklinio amžiaus. / Red. A.V. Petrovskis. – M.: Pedagogika, 1973. – 167 p.

7. Zakas A.Z. Jaunesnių moksleivių protinių gebėjimų ugdymas. – M.: Vagrius, 1994.

8. Istomina N.B. Matematikos mokymo metodai pradinėje mokykloje. – M.: Leidybos centras „Akademija“, 1998. – 288 p.

9. Istomina N.B., Nefedova I.B. Matematika, 3 klasė: Vadovėlis 4 metų pradinei mokyklai. – Smolenskas: leidykla „Asociacija XXI amžius“, 2001. – 196 p.

10. Kaganas V.F. Apie matematinių sąvokų savybes. – M.: Nauka, 1984. – 144 p.

11. Kogalovsky S. R., Shmeleva E. A., Gerasimova O. V. Kelias į koncepciją. Ivanovas, 1998. - 208 p.

12. Kolmogorovas A.N. Apie matematiko profesiją. M.: Maskvos valstybinio universiteto leidykla, 1959. – 134 p.

13. Moysenko A. V. Mokyklinio matematinio ugdymo samprata. Knygoje. Apsisprendimo mokykla. Antras žingsnis. M.: UAB „Polytext“. 1994. 392-422 p.

14. Moro M.I. ir kt.: Vadovėlis trimetės pradinės mokyklos 3 klasei ir keturmetės pradinės mokyklos 4 klasei. / Red. Kalyagina Yu.M. – M.: Išsilavinimas, 1997. – 240 p.

15. Moro M.I., Pyshkalo A.M. Matematikos mokymo metodai 1-3 klasėse. – M.: Pedagogika, 1978. – 312 p.

16. Peterson L.G. Matematika, 3 klasė. 1, 2 dalys. Vadovėlis 4 metų pradinei mokyklai. – M.: „Balasas“, 2001 m.

17. Piaget J. Rinktiniai psichologiniai kūriniai. – SP-b: leidykla „Petras“, 1999 m.

18. Polya D. Matematinis atradimas. M.: Nauka, 1976. - 448 p.

19. Sergeenko A.V. Matematikos mokymas užsienyje. – M.: red. Centras "Akademija", 1995. - 197 p.

20. Sawyer W. W. Preliudija į matematiką. M.: Išsilavinimas, 1972. - 192 p.

21. Testovas V. A. Matematikos mokymo strategija. M.: GShB, 1999. - 304 p.

22. Chuprikova N.I. Psichinis vystymasis ir mokymasis. Psichologiniai raidos ugdymo pagrindai. – M.: Almateya, 1995. – 244 p.

23. Erdniev P.M., Erdniev B.P. Matematika: bandomasis vadovėlis keturmetės pradinės mokyklos 3 klasei. – M.: Pedagogika, 1999. – 232 p.

24. Erdniev P.M., Erdniev B.P. Matematikos mokymo pradinėje mokykloje teorija ir metodai. – M.: Pedagogika, 1988. – 208 p.

25. Erdniev P.M., Erdniev B.P. Didaktinių vienetų konsolidavimas mokant matematikos – M.: Pedagogika, 1986. – 197 p.

26. Archangelskis A.V. Apie matematikos esmę ir pagrindines matematines struktūras // Gamtos mokslų istorija ir metodika (Maskva) - 1986. - Nr. 32. - P.14-29.

27. Breitngam E.K. Matematikos mokymas pagal į besimokantįjį orientuotą ugdymo modelį. // Pedagogika. – 2000. - Nr.10. – P. 45-48.

28. Vološkina M.I. Jaunesniųjų klasių mokinių pažintinės veiklos aktyvinimas matematikos pamokose. // Pradinė mokykla. – 1992. - Nr 9/10. – 15-18 p.

29. Galperin P.Ya., Georgiev L.S. Pradinių matematinių sąvokų formavimo klausimu. Pranešimai I - V. // RSFSR Pedagogikos mokslų akademijos ataskaitos, 1960, Nr. 1, 3, 4-6.

30. Doronina I.M. UDE metodikos taikymas matematikos pamokose trečioje klasėje. // Pradinė mokykla. – 1999. - Nr.11. – P. 29-30.

31. Matematinio ugdymo samprata (12-metėje mokykloje) // Matematika mokykloje. - 2000- Nr.2. - P.13-18.

32. Martynova O.A. Iš matematikos mokymo patirties naudojant UDE sistemą. // Pradinė mokykla. – 1993. - ; 4. – 29-31 p.

33. Pentegova G.A. Loginio mąstymo ugdymas matematikos pamokose. // Pradinė mokykla. – 2000. - Nr.11. – P. 74-77.

34. Ukurčiova T.A. Protinių operacijų rezervų atnaujinimas mokant matematikos. // Pradinė mokykla. – 1999. – Nr.11. – P. 17-18.

35. Shatunovsky Ya Matematika kaip menas ir jos vaidmuo bendrame ugdyme. // Matematika mokykloje. – 2001. - Nr.3. – P. 6-11.

36. Šikova R.N. Problemų, susijusių su judėjimu viena kryptimi, sprendimas. // Pradinė mokykla. – 2000. - Nr.12. – P. 48-52.

37. Elkoninas D.B. Psichologiniai tyrimai pradinėje mokykloje. // Tarybinė pedagogika. – 1961. - Nr.9. – P. 22-31.

38. Erdnijevas P.M. Integruotos žinios kaip džiaugsmingo mokymosi sąlyga. // Pradinė mokykla. – 1999. - Nr.11. – P. 4-11.

Savo gerą darbą pateikti žinių bazei lengva. Naudokite žemiau esančią formą

Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.

Paskelbta http://www.allbest.ru/

ĮVADAS

IŠVADA

NUORODOS

Įvadas

Bet kurioje šiuolaikinėje bendrojo lavinimo sistemoje matematika užima vieną iš centrinių vietų, o tai neabejotinai byloja apie šios žinių srities unikalumą.

Kas yra šiuolaikinė matematika? Kodėl to reikia? Tokius ir panašius klausimus vaikai dažnai užduoda mokytojams. Ir kiekvieną kartą atsakymas skirsis priklausomai nuo vaiko išsivystymo lygio ir jo ugdymosi poreikių.

Dažnai sakoma, kad matematika yra šiuolaikinio mokslo kalba. Tačiau atrodo, kad šiame pareiškime yra didelis trūkumas. Matematikos kalba yra tokia plačiai paplitusi ir taip dažnai veiksminga kaip tik todėl, kad matematika negali būti sumažinta iki jos.

Puikus rusų matematikas A.N. Kolmogorovas rašė: „Matematika yra ne tik kalba, bet ir mąstymas. Matematika – tai daugelio žmonių tikslaus mąstymo įrankis Susiekite vieną samprotavimą su kitu Akivaizdus gamtos sudėtingumas su jos keistais dėsniais ir taisyklėmis, kurių kiekvienas leidžia pateikti atskirą labai išsamų paaiškinimą, iš tikrųjų yra glaudžiai susiję. Tačiau jei nenorite naudoti matematikos, tada šioje didžiulėje įvairovėje faktų nepamatysi, kad logika leidžia pereiti nuo vieno prie kito.

Taigi matematika leidžia mums suformuoti tam tikras mąstymo formas, reikalingas mus supančio pasaulio tyrinėjimui.

Kokią įtaką kūrybingos asmenybės ugdymui turi matematika apskritai ir mokyklinė matematika konkrečiai? Užduočių sprendimo meno mokymas matematikos pamokose suteikia mums itin palankią galimybę ugdyti tam tikrą mokinių mąstymą. Tyrimo poreikis ugdo domėjimąsi modeliais ir moko pamatyti žmogaus mąstymo grožį ir harmoniją. Visa tai, mūsų nuomone, yra svarbiausias bendrosios kultūros elementas. Matematikos kursas turi didelę įtaką formuojant įvairias mąstymo formas: loginį, erdvinį-geometrinį, algoritminį. Bet koks kūrybinis procesas prasideda nuo hipotezės suformulavimo. Matematika, tinkamai organizuojant ugdymą, yra gera mokykla hipotezėms statyti ir tikrinti, moko lyginti įvairias hipotezes, rasti geriausią variantą, kelti naujas problemas ir ieškoti jų sprendimo būdų. Be kita ko, ji ugdo ir metodinio darbo įprotį, be kurio neįsivaizduojamas joks kūrybinis procesas. Maksimaliai išnaudodama žmogaus mąstymo galimybes, matematika yra didžiausias jos pasiekimas. Tai padeda žmogui suprasti save ir formuoti charakterį. Tai mažas sąrašas priežasčių, kodėl matematinės žinios turėtų tapti neatsiejama bendrosios kultūros dalimi ir privalomu vaiko auklėjimo ir ugdymo elementu. Matematikos kursas (be geometrijos) mūsų 10-metėje mokykloje iš tikrųjų suskirstytas į tris pagrindines dalis: aritmetiką (I-V klasės), algebrą (VI-VIII klasės) ir analizės elementus (IX-X klasės). Kuo pagrįstas toks skirstymas? Žinoma, kiekviena iš šių dalių turi savo specialią „technologiją“.

Taigi aritmetikoje jis siejamas, pavyzdžiui, su daugiaženkliais skaičiais atliktais skaičiavimais, algebroje – su identiškomis transformacijomis, logaritmavimu, analizėje – su diferencijavimu ir kt. Tačiau kokios yra gilesnės priežastys, susijusios su konceptualiu kiekvienos dalies turiniu? Kitas klausimas susijęs su mokyklinės aritmetikos ir algebros atskyrimo pagrindu (t. y. pirma ir antra kurso dalys). Aritmetika apima natūraliųjų skaičių (teigiamų sveikųjų skaičių) ir trupmenų (pirminių ir dešimtainių) tyrimą. Tačiau speciali analizė rodo, kad šių tipų skaičių derinimas viename mokykliniame dalyke yra neteisėtas.

Faktas yra tas, kad šie skaičiai atlieka skirtingas funkcijas: pirmasis yra susijęs su objektų skaičiavimu, antrasis su matavimo dydžiais. Ši aplinkybė yra labai svarbi norint suprasti faktą, kad trupmeniniai (racionalieji) skaičiai yra tik ypatingas realiųjų skaičių atvejis.

Kiekių matavimo požiūriu, kaip pažymėjo A. N. Kolmogorovo teigimu, „nėra tokio didelio skirtumo tarp racionalių ir neracionalių realiųjų skaičių jie nuo pat pradžių turėtų iš karto sukelti realius skaičius."

A.N. Kolmogorovas laikė pagrįstu tiek matematikos raidos istorijos požiūriu, tiek iš esmės A. Lebesgue siūlymą mokyme po natūraliųjų skaičių pereiti tiesiai prie realiųjų skaičių kilmės ir loginės prigimties. Tuo pačiu metu, kaip pažymėjo A. N. Kolmogorovo nuomone, „požiūris į racionaliųjų ir realiųjų skaičių konstravimą dydžių matavimo požiūriu yra ne mažiau mokslinis nei, pavyzdžiui, racionalių skaičių įvedimas „porų“ pavidalu pranašumas“ (.

Taigi, yra reali galimybė, remiantis natūraliaisiais (sveikaisiais) skaičiais, iš karto suformuoti „bendriausią skaičiaus sampratą“ (A. Lebesgue terminologija), tikrojo skaičiaus sąvoką. Tačiau programos kūrimo požiūriu tai reiškia ne daugiau ar mažiau, kaip trupmenų aritmetikos pašalinimą jos mokyklinėje interpretacijoje. Perėjimas nuo sveikųjų prie realių skaičių yra perėjimas nuo aritmetikos prie „algebros“, prie analizės pagrindo sukūrimo. Šios idėjos, išsakytos daugiau nei prieš 20 metų, aktualios ir šiandien.

1. Bendrieji teoriniai algebrinės medžiagos mokymosi pradinėje mokykloje aspektai

algebrinės mokyklos palyginimo matematika

1.1 Patirtis diegiant algebros elementus pradinėje mokykloje

Akademinio dalyko turinys, kaip žinia, priklauso nuo daugelio veiksnių – nuo ​​gyvenimo poreikių studentų žinioms, nuo atitinkamų mokslų lygio, nuo vaikų protinių ir fizinių amžiaus galimybių ir kt. Teisingas šių veiksnių įvertinimas yra esminė sąlyga siekiant efektyviausio moksleivių ugdymo ir jų pažintinių gebėjimų plėtimo. Tačiau kartais ši sąlyga dėl vienokių ar kitokių priežasčių neįvykdoma. Šiuo atveju mokymas neduoda norimo efekto tiek vaikams įgyjant reikiamų žinių, tiek lavinant jų intelektą.

Atrodo, kad šiuo metu kai kurių akademinių dalykų, ypač matematikos, mokymo programos neatitinka naujų gyvenimo reikalavimų, šiuolaikinių mokslų (pavyzdžiui, matematikos) išsivystymo lygio ir naujų raidos psichologijos bei logikos duomenų. Ši aplinkybė lemia būtinybę visapusiškai teoriškai ir eksperimentiškai išbandyti galimus naujo ugdymo dalykų turinio projektus.

Matematinių žinių pamatai klojami pradinėje mokykloje. Bet, deja, tiek patys matematikai, tiek metodininkai ir psichologai elementarios matematikos turiniui skiria labai mažai dėmesio. Užtenka pasakyti, kad matematikos programa pradinėje mokykloje (I - IV klasės) savo pagrindiniais bruožais susiformavo prieš 50 - 60 metų ir natūraliai atspindi to meto matematinių, metodinių ir psichologinių idėjų sistemą.

Panagrinėkime būdingus valstybinio matematikos standarto pradinėje mokykloje bruožus. Pagrindinis jo turinys yra sveikieji skaičiai ir operacijos su jais, tiriamos tam tikra seka. Pirmiausia tiriamos keturios operacijos 10 ir 20 ribose, po to - žodiniai skaičiavimai 100 ribose, žodiniai ir rašytiniai skaičiavimai 1000 ribose ir galiausiai milijonų ir milijardų ribose. IV klasėje tiriami kai kurie duomenų ir aritmetinių operacijų rezultatų ryšiai, taip pat paprastosios trupmenos. Be to, programa apima metrinių matų ir laiko matavimų tyrimą, gebėjimą juos naudoti matavimams, kai kurių vizualinės geometrijos elementų išmanymą - stačiakampio ir kvadrato piešimą, segmentų, stačiakampio ir kvadrato plotų matavimą, skaičiuojant apimtis.

Įgytas žinias ir įgūdžius studentai turi pritaikyti spręsdami uždavinius ir atlikdami nesudėtingus skaičiavimus. Viso kurso metu problemų sprendimas vykdomas lygiagrečiai su skaičių ir operacijų studijomis – tam skiriama pusė atitinkamo laiko. Problemų sprendimas padeda mokiniams suprasti konkrečią veiksmų reikšmę, suprasti įvairius jų taikymo atvejus, nustatyti dydžių ryšius, įgyti pagrindinių analizės ir sintezės įgūdžių.

Nuo I iki IV klasių vaikai sprendžia šiuos pagrindinius uždavinių tipus (paprastus ir sudėtinius): sumos ir liekanos radimas, sandauga ir koeficientas, duotų skaičių didinimas ir mažinimas, skirtumas ir daugkartinis palyginimas, paprasta triguba taisyklė, proporcingas padalijimas, suradimas nežinomas dėl dviejų skirtumų, skaičiuojant aritmetinį vidurkį ir kai kurių kitų tipų uždavinius.

Vaikai, spręsdami problemas, susiduria su įvairiomis kiekybinėmis priklausomybėmis. Tačiau labai būdinga, kad studentams problemas kyla po to, kai studijuoja skaičius; pagrindinis dalykas, kurio reikia sprendžiant, yra rasti skaitinį atsakymą. Vaikams labai sunku nustatyti kiekybinių santykių ypatybes konkrečiose, konkrečiose situacijose, kurios dažniausiai laikomos aritmetinėmis problemomis. Praktika rodo, kad manipuliavimas skaičiais dažnai pakeičia faktinę problemos sąlygų analizę realių dydžių priklausomybių požiūriu. Be to, vadovėliuose pateikiamos problemos neatspindi sistemos, kurioje „sudėtingesnės“ situacijos būtų siejamos su „gilesniais“ kiekybinių santykių klodais. To paties sunkumo problemų galima rasti ir vadovėlio pradžioje, ir pabaigoje. Skirtinguose skyriuose ir klasėje jie skiriasi pagal siužeto sudėtingumą (veiksmų skaičius didėja), skaičių eiliškumą (nuo dešimties iki milijardo), fizinių priklausomybių sudėtingumą (nuo paskirstymo problemų iki judėjimo). problemos) ir kitus parametrus. Juose silpnai ir neaiškiai pasireiškia tik vienas parametras – gilinimasis į pačią matematinių dėsnių sistemą. Todėl labai sunku nustatyti konkrečios problemos matematinio sudėtingumo kriterijų. Kodėl užduotys rasti nežinomąjį iš dviejų skirtumų ir sužinoti aritmetinį vidurkį (III laipsnis) yra sunkesnės nei skirtumo ir daugybinio palyginimo (II laipsnis) uždaviniai? Metodika nepateikia įtikinamo ir logiško atsakymo į šį klausimą.

Taigi pradinių klasių mokiniai negauna adekvačių, visaverčių žinių apie dydžių priklausomybes ir bendrąsias kiekio savybes nei studijuodami skaičių teorijos elementus, nes mokyklos kurse jie pirmiausia siejami su skaičiavimo technika, nei sprendžiant. problemų, nes pastarieji neturi tinkamos formos ir neturi reikiamos sistemos. Metodininkų bandymai tobulinti mokymo metodus, nors ir veda į dalinę sėkmę, bendros padėties nekeičia, nes juos iš anksto riboja priimto turinio rėmai.

Atrodo, kad priimtos aritmetinės programos kritinė analizė turėtų būti pagrįsta šiomis nuostatomis:

Skaičiaus sąvoka nėra tapati objektų kiekybinių charakteristikų sampratai;

Skaičius nėra pradinė kiekybinių santykių forma.

Pateiksime šių nuostatų pagrindimą. Gerai žinoma, kad šiuolaikinė matematika (ypač algebra) tiria kiekybinių santykių aspektus, kurie neturi skaitinio apvalkalo. Taip pat gerai žinoma, kad kai kurie kiekybiniai ryšiai yra gana išreiškiami be skaičių ir prieš skaičius, pavyzdžiui, segmentais, tūriais ir pan. (santykis „daugiau“, „mažiau“, „lygus“). Originalios bendrosios matematikos sąvokos šiuolaikiniuose vadovuose pateikiamos tokia simbolika, kuri nebūtinai reiškia objektų išraišką skaičiais. Taigi knygoje E.G. Gonino „Teorinėje aritmetikoje“ pagrindiniai matematiniai objektai nuo pat pradžių žymimi raidėmis ir specialiais ženklais.

Būdinga, kad tam tikri skaičių tipai ir skaitinės priklausomybės pateikiami tik kaip pavyzdžiai, aibių savybių iliustracijos, o ne kaip vienintelė galima ir vienintelė jų raiškos forma. Be to, pažymėtina, kad daugelis atskirų matematinių apibrėžimų iliustracijų pateikiamos grafine forma, per segmentų, sričių santykį. Visos pagrindinės aibių ir dydžių savybės gali būti išvestos ir pagrįstos nenaudojant skaitinių sistemų; Be to, patys pastarieji gauna pagrindimą bendromis matematinėmis sąvokomis.

Savo ruožtu daugybė psichologų ir mokytojų pastebėjimų rodo, kad kiekybinės idėjos vaikams kyla dar gerokai anksčiau nei jie įgyja žinių apie skaičius ir kaip juos valdyti. Tiesa, pastebima tendencija šias idėjas priskirti prie „ikimatematinių darinių“ (tai gana natūralu tradiciniams metodams, kiekybines objekto charakteristikas identifikuojantiems su skaičiumi), tačiau tai nekeičia esminės jų funkcijos vaiko gyvenime. bendra orientacija į daiktų savybes. O kartais atsitinka taip, kad šių tariamai „ikimatematinių darinių“ gylis vaiko matematinio mąstymo ugdymui yra reikšmingesnis nei kompiuterinių technologijų subtilybių išmanymas ir gebėjimas rasti grynai skaitines priklausomybes. Pažymėtina, kad akademikas A.N. Kolmogorovas, charakterizuodamas matematinio kūrybiškumo ypatybes, ypač atkreipia dėmesį į tokią aplinkybę: „Daugelio matematinių atradimų pagrindas yra kokia nors paprasta idėja: vizualinė geometrinė konstrukcija, nauja elementarioji nelygybė ir t.t. Tereikia šią paprastą idėją tinkamai pritaikyti. problemos sprendimas, kuris iš pirmo žvilgsnio atrodo neprieinamas“.

Šiuo metu yra tinkamos įvairios idėjos dėl naujos programos struktūros ir kūrimo būdų. Į jos konstravimo darbus būtina įtraukti matematikus, psichologus, logikus, metodininkus. Tačiau atrodo, kad visi specifiniai variantai turi atitikti šiuos pagrindinius reikalavimus:

Pašalinti esamą atotrūkį tarp matematikos turinio pradinėse ir vidurinėse mokyklose;

Suteikti žinių apie pagrindinius objektyvaus pasaulio kiekybinių santykių dėsnius sistemą; šiuo atveju skaičių savybės, kaip ypatinga kiekio išreiškimo forma, turėtų tapti specialia, bet ne pagrindine programos dalimi;

Įskiepykite vaikams matematinio mąstymo metodus, o ne tik skaičiavimo įgūdžius: tai apima problemų sistemos, pagrįstos gilinimu į realių dydžių priklausomybių sritį (matematikos ryšį su fizika, chemija, biologija ir kitais mokslais, studijuojančiais konkrečius dalykus). kiekiai);

Ryžtingai supaprastinkite visus skaičiavimo būdus, sumažindami darbą, kurio negalima atlikti be atitinkamų lentelių, žinynų ir kitų pagalbinių (ypač elektroninių) priemonių.

Šių reikalavimų prasmė aiški: pradinėje mokykloje visiškai įmanoma dėstyti matematiką kaip mokslą apie kiekybinių santykių dėsnius, apie dydžių priklausomybes; skaičiavimo technika ir skaičių teorijos elementai turėtų tapti specialia ir privačia programos dalimi.

Nuo septintojo dešimtmečio pabaigos vykdomos naujos matematikos programos kūrimo ir eksperimentinio testavimo patirtis dabar leidžia kalbėti apie galimybę mokykloje nuo pirmos klasės įvesti sisteminį matematikos kursą, suteikiantį žinių apie kiekybinius ryšius ir priklausomybes. dydžių algebrine forma .

1.2 Algebrinių sąvokų kilmės problema ir jos reikšmė ugdymo dalyko konstravimui

Mokyklinio matematikos kurso skirstymas į algebrą ir aritmetiką, žinoma, yra sąlyginis. Perėjimas iš vieno į kitą vyksta palaipsniui. Mokyklos praktikoje šio perėjimo prasmė slepiama tuo, kad trupmenų tyrimas faktiškai vyksta be plačios paramos dydžių matavimui – trupmenos pateikiamos kaip skaičių porų santykiai (nors formaliai dydžių matavimo svarba pripažįstama metodiniuose vadovuose). ). Išsamus trupmeninių skaičių įvedimas, pagrįstas dydžių matavimu, neišvengiamai veda prie tikrojo skaičiaus sampratos. Tačiau pastarasis dažniausiai neįvyksta, nes studentai ilgą laiką dirba su racionaliais skaičiais, todėl jų perėjimas prie „algebros“ vėluoja.

Kitaip tariant, mokyklinė algebra prasideda būtent tada, kai sudaromos sąlygos pereiti nuo sveikųjų prie realiųjų skaičių, į matavimo rezultatą išreikšti trupmena (paprastoji ir dešimtainė – baigtinė, o paskui begalinė). Be to, išeities taškas gali būti susipažinimas su matavimo operacija, baigtinių dešimtainių trupmenų gavimas ir mokymasis, kaip jas valdyti. Jei studentai jau žino šią matavimo rezultato rašymo formą, tai yra būtina sąlyga norint „atsisakyti“ minties, kad skaičius taip pat gali būti išreikštas kaip begalinė trupmena. Ir šią prielaidą patartina sukurti jau pradinėje mokykloje.

Jei trupmeninio (racionalaus) skaičiaus sąvoka pašalinama iš mokyklinės aritmetikos, tada riba tarp jo ir „algebros“ eis sveikųjų ir realiųjų skaičių skirtumo linija. Būtent tai „supjausto“ matematikos kursą į dvi dalis. Tai ne paprastas skirtumas, o esminis šaltinių „dualizmas“ – skaičiavimas ir matavimas.

Vadovaujantis Lebesgue’o idėjomis dėl „bendros skaičiaus sampratos“, galima užtikrinti visišką matematikos mokymo vienybę, tačiau tik nuo to momento ir supažindinus vaikus su skaičiavimu ir sveikaisiais (natūraliais) skaičiais. Žinoma, šio išankstinio supažindinimo laikas gali skirtis (tradicinėse pradinių mokyklų programose jie aiškiai atidedami praktinių matavimų elementai gali būti įtraukti net į elementariosios aritmetikos kursą (kuris vyksta programoje)); visa tai nepanaikina aritmetikos ir „algebros“, kaip mokomųjų dalykų, pagrindų skirtumų. Pradinių taškų „dualizmas“ taip pat neleidžia skyriams, susijusiems su dydžių matavimu ir perėjimu prie realių trupmenų, iš tikrųjų „įsišaknyti“ aritmetiniame kurse. Programų autoriai ir metodininkai siekia išlaikyti aritmetikos, kaip mokyklinio dalyko, stabilumą ir „grynumą“. Šis šaltinių skirtumas yra pagrindinė priežastis dėstyti matematiką pagal schemą - pirmiausia aritmetika (sveikasis skaičius), tada „algebra“ (realusis skaičius).

Ši schema atrodo gana natūrali ir nepajudinama, be to, ją pateisina ilgametė matematikos mokymo praktika. Tačiau yra aplinkybių, kurios loginiu ir psichologiniu požiūriu reikalauja nuodugnesnės šios griežtos mokymo schemos teisėtumo analizės.

Faktas yra tas, kad, nepaisant visų šių skaičių skirtumų, jie nurodo būtent skaičius, t.y. į specialią kiekybinių santykių rodymo formą. Tai, kad sveikieji ir realieji skaičiai priklauso „skaičiams“, yra pagrindas daryti prielaidą apie pačius skaičiavimo ir matavimo skirtumus genetiniuose išvestiniuose: jie turi specialų ir vieną šaltinį, atitinkantį pačią skaičiaus formą.

Šio vieningo skaičiavimo ir matavimo pagrindo ypatybių žinojimas leis aiškiau įsivaizduoti jų atsiradimo sąlygas, viena vertus, ir santykius, kita vertus.

Į ką turėtume kreiptis, kad rastume bendrą šakojančio skaičių medžio šaknį? Atrodo, kad pirmiausia reikia išanalizuoti kiekybės sąvokos turinį. Tiesa, šis terminas iškart asocijuojasi su kita – dimensija. Tačiau tokio ryšio teisėtumas neatmeta tam tikro „dydžio“ reikšmės nepriklausomybės. Atsižvelgdami į šį aspektą galime padaryti išvadas, kurios, viena vertus, apjungia matavimą ir skaičiavimą, o kita vertus, skaičių veikimą su tam tikrais bendraisiais matematiniais ryšiais ir modeliais.

Taigi, kas yra „kiekis“ ir kuo jis naudingas kuriant pradines mokyklinės matematikos dalis? Paprastai vartojamas terminas „didumas“ siejamas su sąvokomis „lygus“, „daugiau“, „mažiau“, kurios apibūdina įvairias savybes (ilgį ir tankį, temperatūrą ir baltumą). V.F. Kaganas kelia klausimą, kokių bendrų savybių turi šios sąvokos. Tai rodo, kad jie yra susiję su agregatais - vienarūšių objektų rinkiniais, kurių elementų palyginimas leidžia taikyti terminus „daugiau“, „lygus“, „mažiau“ (pavyzdžiui, visų tiesių atkarpų, svorių agregatams, greičiai ir kt.).

Objektų rinkinys paverčiamas dydžiu tik tada, kai nustatomi kriterijai, leidžiantys nustatyti bet kurio iš jos elementų A ir B atžvilgiu, ar A bus lygus B, didesnis už B ar mažesnis už B. Be to, bet kurie du elementai A ir B, vienas ir tik vienas iš santykių: A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kaganas nustato šias aštuonias pagrindines sąvokų „lygus“, „didesnis“, „mažiau“ savybes: .

1) Bent vienas iš ryšių galioja: A=B, A>B, A<В.

2) Jei galioja santykis A = B, tai santykis A negalioja<В.

3) Jeigu galioja santykis A=B, tai santykis A>B negalioja.

4) Jei A=B ir B=C, tai A=C.

5) Jei A>B ir B>C, tai A>C.

6) Jei A<В и В<С, то А<С.

7) Lygybė yra grįžtamasis ryšys: iš santykio A=B visada seka santykis B=A.

8) Lygybė yra abipusis ryšys: kad ir koks būtų nagrinėjamos aibės elementas A, A = A.

Pirmieji trys sakiniai apibūdina pagrindinių santykių „=", ">, " disjunkciją.<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

trys elementai A, B ir C. Tolesni sakiniai nuo 7 iki 8 apibūdina tik lygybę – jos grįžtamumą ir pasikartojimą (arba refleksyvumą). V.F.Kaganas šias aštuonias pagrindines nuostatas vadina palyginimo postulatais, kurių pagrindu galima išvesti nemažai kitų kiekybės savybių.

Šios išvadinės V.F. Kaganas aprašo aštuonių teoremų forma:

I. Santykis A>B neapima santykio B>A (A<В исключает В<А).

II. Jei A>B, tai B<А (если А<В, то В>A).

III. Jei A>B galioja, tai A negalioja.

IV. Jei A1=A2, A2=A3,..., An-1=A1, tai A1=An.

V. Jei A1>A2, A2>A3,..., An-1>An, tada A1>An.

VI. Jei A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Jei A=C ir B=C, tai A=B.

VIII. Jei yra lygybė arba nelygybė A=B, arba A>B, arba A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B ir A=C, tada C>B ir pan.).

Palyginimo postulatai ir teoremos, nurodo V.F. Kagano teigimu, „išnaudotos visos tos sąvokų „lygus“, „daugiau“ ir „mažiau“ savybės, kurios matematikoje su jomis siejamos ir randamos, nepaisant atskirų aibės savybių, kurių elementams jas taikome. įvairūs ypatingi atvejai“.

Postulatuose ir teoremose nurodytos savybės gali apibūdinti ne tik tuos tiesioginius objektų požymius, kuriuos esame įpratę sieti su „lygus“, „daugiau“, „mažiau“, bet ir su daugeliu kitų požymių (pavyzdžiui, gali apibūdinti santykį). „protėvis - palikuonis“). Tai leidžia apibendrinti juos aprašant ir, pavyzdžiui, šių postulatų ir teoremų požiūriu apsvarstyti bet kokius tris santykių tipus „alfa“, „beta“, „gama“ (šiuo atveju tai galima nustatyti, ar šie santykiai tenkina postulatus bei teoremas ir kokiomis sąlygomis).

Šiuo požiūriu galima, pavyzdžiui, nagrinėti tokią daiktų savybę kaip kietumas (kietesnis, minkštesnis, vienodas kietumas), įvykių seka laike (sekantis, einantis, vienu metu) ir kt. Visais šiais atvejais santykiai „alfa“, „beta“, „gama“ turi savo specifinį aiškinimą. Užduotis, susijusi su tokio kūnų rinkinio, kuris turėtų šiuos ryšius, atranka, taip pat ženklų, pagal kuriuos būtų galima apibūdinti „alfa“, „beta“, „gama“, identifikavimas - tai užduotis nustatyti palyginimo kriterijus. tam tikrame kūnų rinkinyje (praktikoje kai kuriais atvejais tai nėra lengva išspręsti). „Nustatydami palyginimo kriterijus, daugumą paverčiame dydžiu“, – rašė V.F. Kaganas. Į tikrus objektus galima žiūrėti iš skirtingų kriterijų perspektyvos. Taigi žmonių grupę galima laikyti pagal tokį kriterijų kaip kiekvieno jos nario gimimo momentų seka. Kitas kriterijus – santykinė padėtis, kurią užims šių žmonių galvos, jei jos bus pastatytos viena šalia kitos toje pačioje horizontalioje plokštumoje. Kiekvienu atveju grupė bus transformuota į kiekį, kuris turi atitinkamą pavadinimą – amžius, ūgis. Praktikoje kiekis dažniausiai žymi ne pačią elementų rinkinį, o naują sąvoką, įvestą siekiant atskirti palyginimo kriterijus (kiekybės pavadinimą). Taip atsiranda sąvokos „tūris“, „svoris“, „elektros įtampa“ ir kt. „Tuo pačiu metu matematikui reikšmė yra visiškai apibrėžta, kai nurodoma daug elementų ir palyginimo kriterijų“, – pažymėjo V.F. Kaganas.

Šis autorius svarbiausiu matematinio dydžio pavyzdžiu laiko natūralią skaičių seką. Tokio palyginimo kriterijaus, kaip skaičių užimama padėtis eilutėje (jie užima tą pačią vietą, seka ..., pirmesnė) požiūriu, ši serija atitinka postulatus ir todėl reiškia kiekį. Pagal atitinkamus palyginimo kriterijus trupmenų rinkinys taip pat paverčiamas kiekiu. Tai, anot V.F. Kaganas, kiekybės teorijos turinys, kuris vaidina lemiamą vaidmenį visos matematikos pagrindu.

Dirbdami su dydžiais (patartina įrašyti jų individualias reikšmes raidėmis), galite atlikti sudėtingą transformacijų sistemą, nustatydami jų savybių priklausomybes, pereidami nuo lygybės prie nelygybės, atlikdami sudėjimą (ir atimtį) ir pridėdami. galite vadovautis komutacinėmis ir asociatyvinėmis savybėmis. Taigi, jei duotas santykis A = B, tada „sprendžiant“ uždavinius galite vadovautis santykiu B = A. Kitu atveju, jei yra ryšiai A>B, B=C, galime daryti išvadą, kad A>C. Kadangi a>b yra c, kad a=b+c, ​​tada galime rasti skirtumą tarp a ir b (a-b=c) ir kt.

Visos šios transformacijos gali būti atliekamos fiziniuose kūnuose ir kituose objektuose, nustačius palyginimo kriterijus ir pasirinktų santykių atitikimą palyginimo postulatams.

Aukščiau pateiktos medžiagos leidžia daryti išvadą, kad tiek natūralūs, tiek realieji skaičiai yra vienodai stipriai susiję su kiekiais ir kai kuriomis esminėmis jų savybėmis. Ar galima šias ir kitas ypatybes paversti specialiu vaiko tyrimo objektu dar prieš įvedant skaitinę kiekių santykio apibūdinimo formą? Jie gali pasitarnauti kaip prielaida vėlesniam išsamiam skaičiaus ir skirtingų jo tipų įvedimui, ypač trupmenų propedeutikai, koordinačių sąvokoms, funkcijoms ir kitoms sąvokoms jau jaunesniosiose klasėse.

Koks galėtų būti šios pradinės dalies turinys? Tai pažintis su fiziniais objektais, jų palyginimo kriterijais, kiekio išryškinimas kaip matematinio svarstymo dalyko, susipažinimas su palyginimo metodais ir simbolinėmis jo rezultatų fiksavimo priemonėmis, su bendrųjų dydžių savybių analizės metodais. Šį turinį reikia išvystyti į gana išsamią mokymo programą ir, svarbiausia, susieti su tais vaiko veiksmais, per kuriuos jis gali įsisavinti šį turinį (žinoma, atitinkama forma). Tuo pačiu metu būtina eksperimentiškai nustatyti, ar 7 metų vaikai gali įsisavinti šią programą ir kokia yra jos įdiegimo galimybė vėlesniam matematikos mokymui pradinėse klasėse, siekiant priartinti aritmetiką ir pirminę algebrą. kartu.

Iki šiol mūsų samprotavimai buvo teorinio pobūdžio ir buvo skirti išsiaiškinti matematines prielaidas sukurti tokią pradinę kurso dalį, kuri supažindintų vaikus su pagrindinėmis algebrinėmis sąvokomis (prieš specialų skaičių įvedimą). Pagrindinės dydžius apibūdinančios savybės buvo aprašytos aukščiau. Natūralu, kad 7 metų vaikams nėra prasmės skaityti „paskaitas“ apie šias savybes.

Reikėjo rasti tokią vaikų darbo formą su didaktine medžiaga, kurios pagalba jie galėtų, viena vertus, atpažinti šias aplinkinių daiktų savybes, kita vertus, išmokti jas užfiksuoti tam tikrais simboliais ir atlikti elementarią matematinę nustatytų ryšių analizė.

Šiuo atžvilgiu programoje, pirma, turėtų būti nurodyta tų dalyko savybių, kurias reikia įsisavinti, antra, didaktinės medžiagos aprašymas, trečia - ir tai yra pagrindinis dalykas psichologiniu požiūriu - savybės. tų veiksmų, kuriais vaikas identifikuoja tam tikras daikto savybes ir jas įvaldo. Šie „komponentai“ sudaro mokymo programą tikrąja to žodžio prasme. Šios hipotetinės programos ir jos „dedamųjų“ ypatumus prasminga pateikti aprašant patį mokymosi procesą ir jo rezultatus.

Čia yra šios programos ir pagrindinių jos temų metmenys.

I tema. Objektų niveliavimas ir užbaigimas (pagal ilgį, tūrį, svorį, dalių sudėtį ir kitus parametrus).

Praktinės niveliavimo ir įgijimo užduotys. Požymių (kriterijų), pagal kuriuos galima sulyginti ar užbaigti tuos pačius objektus, nustatymas. Žodinis šių savybių žymėjimas („pagal ilgį, svorį“ ir kt.).

Šios užduotys sprendžiamos dirbant su didaktine medžiaga (strypais, svarmenimis ir kt.):

Pasirinkę tą patį elementą,

„To paties“ objekto atgaminimas (konstravimas) pagal pasirinktą (nurodytą) parametrą.

II tema. Objektų palyginimas ir jo rezultatų fiksavimas naudojant lygybės-nelygybės formulę.

1. Objektų palyginimo ir šio veiksmo rezultatų simbolinio įvardijimo užduotys.

2. Žodinis palyginimo rezultatų fiksavimas (terminai „daugiau“, „mažiau“, „lygus“). Rašyti simboliai ">", "<", "=".

3. Palyginimo rezultato nurodymas brėžiniu ("kopijavimas" ir tada "abstraktus" - linijos).

4. Lyginamų objektų žymėjimas raidėmis. Palyginimo rezultato įrašymas naudojant formules: A=B; A<Б, А>B. Raidė kaip ženklas, fiksuojantis tiesiogiai duotą konkrečią objekto vertę pagal pasirinktą parametrą (pagal svorį, tūrį ir pan.).

5. Neįmanoma nustatyti palyginimo rezultato naudojant skirtingas formules. Konkrečios formulės parinkimas duotam rezultatui (visiškas ryšių didesnis – mažesnis – lygus disjunkcija).

III tema. Lygybės ir nelygybės savybės.

1. Lygybės grįžtamumas ir refleksyvumas (jei A=B, tai B=A; A=A).

2. Ryšys tarp santykių „daugiau“ ir „mažiau“ nelygybėse lyginamų šalių „permutacijų“ metu (jei A>B, tai B<А и т.п.).

3. Tranzityvumas kaip lygybės ir nelygybės savybė:

jei A = B, jei A> B, jei A<Б,

a B = B, a B> B, a B<В,

tada A=B; tada A>B; tada A<В.

4. Perėjimas nuo darbo su dalykine didaktine medžiaga prie lygybės ir nelygybės savybių vertinimo esant tik pažodinėms formulėms. Sprendžiant įvairius uždavinius, kuriems reikia žinoti šias savybes (pavyzdžiui, spręsti uždavinius, susijusius su ryšių tipo ryšiu: atsižvelgiant į tai, kad A>B, ir B=C; išsiaiškinti ryšį tarp A ir C).

IV tema. Sudėjimo (atimties) operacija.

1. Objektų kitimo stebėjimai pagal vieną ar kitą parametrą (pagal tūrį, svorį, trukmę ir pan.). Didėjimo ir mažėjimo iliustracija su „+“ ir „-“ (pliuso ir minuso) ženklais.

2. Anksčiau nustatytos lygybės pažeidimas atitinkamai pakeičiant vieną ar kitą jos pusę. Perėjimas nuo lygybės prie nelygybės. Rašyti tokias formules:

jei A = B, jei A = B,

tada A+K>B; tada A-K<Б.

3. Perėjimo į naują lygybę būdai (jos „atstatymas“ pagal principą:

pridedant „lygus“ prie „lygus“, gaunamas „lygus“).

Darbas su tokiomis formulėmis kaip:

tada A+K>B, bet A+K=B+K.

4. Įvairių problemų sprendimas, kai pereinant nuo lygybės prie nelygybės ir atgal reikia naudoti sudėjimą (atimtį).

V tema. Perėjimas nuo A tipo nelygybės<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Užduotys, kurioms reikalingas toks perėjimas. Poreikis nustatyti dydžio, kuriuo skiriasi lyginami objektai, vertę. Gebėjimas rašyti lygybę, kai konkreti šio kiekio reikšmė nežinoma. x (x) naudojimo būdas.

Rašyti tokias formules:

jei A<Б, если А>B,

tada A+x=B; tada A-x=B.

2. x reikšmės nustatymas. Šios reikšmės pakeitimas formulėje (įvadas į skliaustus). Įveskite formules

3. Spręsti uždavinius (įskaitant „siužetinį-tekstinį“), reikalaujantį atlikti nurodytas operacijas.

Tema Vl. Lygybių-nelygybių pridėjimas-atėmimas. Pakeitimas.

1. Lygybių-nelygybių pridėjimas-atėmimas:

jei A=B, jei A>B, jei A>B

ir M=D, ir K>E, ir B=G, tada A+M=B+D; tada A+K>B+E; tada A+-B>C+-G.

2. Gebėjimas pavaizduoti kiekio reikšmę kaip kelių reikšmių sumą. Tipo pakeitimas:

3. Įvairių problemų sprendimas, reikalaujantis atsižvelgti į santykių ypatybes, su kuriomis vaikai susipažino darbo metu (daugeliui užduočių reikia vienu metu atsižvelgti į kelias savybes, sumanumo vertinant formulių reikšmę; problemų ir sprendimų aprašymai pateikiami žemiau ).

Tai programa, skirta 3,5 - 4 mėnesiams. pirmąjį pusmetį. Kaip rodo eksperimentinio mokymo patirtis, tinkamai suplanavus pamokas, tobulinant mokymo metodus ir sėkmingai pasirinkus didaktikos priemones, visą programoje pateiktą medžiagą vaikai gali pilnai įsisavinti per trumpesnį laiką (per 3 mėnesius). . Kaip vyksta mūsų programa? Visų pirma, vaikai susipažįsta su skaičiaus gavimo metodu, kuris išreiškia objekto, kaip visumos, santykį (tą patį kiekį, kurį vaizduoja tęstinis arba atskiras objektas) su jo dalimi. Pats šis santykis ir jo specifinė reikšmė pavaizduota formule A/K = n, kur n yra bet koks sveikasis skaičius, dažniausiai išreiškiantis santykį iki artimiausio „vieneto“ (tik su specialiu medžiagos parinkimu arba skaičiuojant tik „kokybiškai“). atskirus dalykus galima gauti visiškai tikslų sveikąjį skaičių). Vaikai nuo pat pradžių yra „verčiami“ turėti omenyje, kad matuojant ar skaičiuojant gali susidaryti likutis, kurio buvimas turi būti specialiai nustatytas. Tai pirmas žingsnis į tolesnį darbą su trupmenomis. Naudojant šią skaičių gavimo formą, nėra sunku priversti vaikus apibūdinti objektą tokia formule kaip A = 5k (jei santykis buvo lygus „5“). Kartu su pirmąja formule ji atveria galimybes specialiai ištirti priklausomybes tarp objekto, bazės (mato) ir skaičiavimo rezultato (matavimo), kuri taip pat tarnauja kaip propedeutika pereinant prie trupmeninių skaičių (ypač , kad suprastumėte pagrindinę trupmenos savybę). Kita programos kūrimo kryptis, įgyvendinta jau pirmoje klasėje, yra pagrindinių kiekybės savybių (lygybės-nelygybės disjunkcija, tranzityvumas, invertibilumas) perkėlimas į skaičius (sveikuosius skaičius) ir sudėjimo operacija (komutatyvumas, asociatyvumas, monotoniškumas, nelygybės disjunkcija). atimties galimybė). Visų pirma, dirbdami su skaičių linija, vaikai gali greitai konvertuoti skaičių sekas į dydžius (pavyzdžiui, aiškiai įvertinti jų tranzityvumą atlikdami 3 tipo žymėjimus<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

Susipažinimas su kai kuriomis vadinamosiomis „struktūrinėmis“ lygybės ypatybėmis leidžia vaikams skirtingai suprasti sudėjimo ir atimties ryšį. Taigi, pereinant nuo nelygybės prie lygybės, atliekamos šios transformacijos: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; raskite ryšį tarp kairės ir dešinės formulės pusių 8+1-4...6+3-2; esant nelygybei, perkelkite šią išraišką į lygybę (pirmiausia reikia įdėti ženklą „mažiau nei“, o tada pridėti „du“ kairėje pusėje).

Taigi skaičių eilučių traktavimas kaip kiekį leidžia lavinti sudėties ir atimties (o vėliau daugybos ir dalybos) įgūdžius nauju būdu.

2.1 Mokymas pradinėje mokykloje, atsižvelgiant į vidurinės mokyklos poreikius

Kaip žinia, mokantis matematikos 5 klasėje, nemaža laiko dalis skiriama kartoti tai, ką vaikai turėjo išmokti pradinėje mokykloje. Šis kartojimas beveik visuose esamuose vadovėliuose trunka 1,5 akademinio ketvirčio. Tokia situacija susiklostė neatsitiktinai. Jo priežastis – vidurinių mokyklų matematikos mokytojų nepasitenkinimas pradinių klasių abiturientų paruošimu. Kokia šios situacijos priežastis? Tuo tikslu buvo išanalizuoti penki šiandien žinomiausi pradinių klasių matematikos vadovėliai. Tai M.I. vadovėliai. Moro, I.I. Arginskaja, N.B. Istomina, L.G. Petersonas, , , .

Šių vadovėlių analizė atskleidė keletą neigiamų aspektų, didesniu ar mažesniu mastu kiekviename iš jų ir neigiamai veikiančių tolesnį mokymąsi. Visų pirma, medžiagos įsisavinimas juose daugiausia grindžiamas įsiminimu. Ryškus to pavyzdys yra daugybos lentelės įsiminimas. Pradinėje mokykloje tam įsiminti skiriama daug pastangų ir laiko. Tačiau per vasaros atostogas vaikai ją pamiršta. Tokio greito užmaršimo priežastis – mokymasis atsitiktinai. Tyrimą atliko L.S. Vygotskis parodė, kad prasmingas įsiminimas yra daug veiksmingesnis nei mechaninis įsiminimas, o vėlesni eksperimentai įtikinamai įrodo, kad medžiaga patenka į ilgalaikę atmintį tik tada, kai ji prisimenama kaip šią medžiagą atitinkančio darbo rezultatas.

Metodas, kaip efektyviai įsisavinti daugybos lentelę, buvo rastas dar šeštajame dešimtmetyje. Ją sudaro tam tikros pratimų sistemos organizavimas, kurias atlikdami vaikai patys konstruoja daugybos lentelę. Tačiau šis metodas neįgyvendintas nė viename iš recenzuotų vadovėlių.

Kitas neigiamas momentas, turintis įtakos tolesniam mokymuisi, yra tai, kad daugeliu atvejų pradinių klasių matematikos vadovėliuose medžiagos pateikimas yra susistemintas taip, kad ateityje vaikai turės būti perkvalifikuoti, o tai, kaip žinome, yra daug sunkiau. nei mokymas. Kalbant apie algebrinės medžiagos tyrimą, pavyzdys būtų lygčių sprendimas pradinėje mokykloje. Visuose vadovėliuose lygčių sprendimas grindžiamas nežinomų veiksmų komponentų radimo taisyklėmis.

Tai kiek kitaip daroma tik vadovėlyje L.G. Peterson, kur, pavyzdžiui, daugybos ir padalijimo lygčių sprendimas yra pagrįstas lygties komponentų koreliavimu su stačiakampio kraštinėmis ir plotu ir galiausiai taip pat priklauso nuo taisyklių, tačiau tai yra taisyklės, kaip rasti kraštinę arba plotą. stačiakampis. Tuo tarpu nuo 6 klasės vaikai mokomi visiškai kitokio lygčių sprendimo principo, paremto identiškų transformacijų naudojimu. Šis iš naujo mokymosi poreikis lemia tai, kad lygčių sprendimas daugeliui vaikų yra gana sudėtingas uždavinys.

Analizuodami vadovėlius susidūrėme ir su tuo, kad juose pateikiant medžiagą dažnai būna iškraipomos sąvokos. Pavyzdžiui, daugelio apibrėžimų formuluotė pateikiama implikacijų forma, o iš matematinės logikos žinoma, kad bet koks apibrėžimas yra lygiavertiškumas. Kaip iliustraciją galime pateikti daugybos apibrėžimą iš I.I. vadovėlio. Arginskaya: „Jei visi sumos nariai yra lygūs vienas kitam, tada sudėjimą galima pakeisti kitu veiksmu - daugyba“. (Visi sumos nariai yra lygūs vieni kitiems. Todėl sudėtį galima pakeisti daugyba.) Kaip matote, tai yra gryna forma. Ši formuluotė ne tik neraštinga matematikos požiūriu, ji ne tik neteisingai formuoja vaikams supratimą apie tai, kas yra apibrėžimas, bet ir labai žalinga, nes ateityje, pavyzdžiui, konstruojant daugybos lentelę, vadovėlių autoriai naudoja sandaugos pakeitimą identiškų terminų suma, o pateikta formuluotė to neleidžia. Toks neteisingas darbas su teiginiais, parašytais implikacijos forma, formuoja vaikams neteisingą stereotipą, kuris bus sunkiai įveikiamas geometrijos pamokose, kai vaikai nepajus skirtumo tarp tiesioginio ir priešingo teiginio, tarp figūros ženklo ir jo nuosavybė. Labai dažnai pasitaiko klaida, kai sprendžiant uždavinius naudojama atvirkštinė teorema, nors buvo įrodyta tik tiesioginė teorema.

Kitas neteisingo sąvokos formavimo pavyzdys yra darbas su pažodiniu lygybės santykiu. Pavyzdžiui, skaičiaus dauginimo iš vieneto ir skaičiaus iš nulio taisyklės visuose vadovėliuose pateiktos raidžių forma: a x 1 = a, a x 0 = 0. Lygybės santykis, kaip žinoma, yra simetriškas, todėl toks. žymėjimas numato ne tik tai, kad padauginus iš 1 gaunamas tas pats skaičius, bet ir tai, kad bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip šio skaičiaus ir vieneto sandauga. Tačiau vadovėliuose po laiško įvedimo siūloma žodinė formuluotė kalba tik apie pirmąją galimybę.

Pratimai šia tema taip pat skirti tik tam, kad būtų pratinamasi skaičiaus ir vieneto sandaugą pakeisti šiuo skaičiumi. Visa tai lemia ne tik tai, kad labai svarbus punktas netampa vaikų sąmonės objektu: sandauga gali būti užrašytas bet koks skaičius, kuris algebroje sukels atitinkamų sunkumų dirbant su daugianariais, bet ir faktas, kad vaikai iš esmės nemoka teisingai dirbti su lygybės santykiu. Pavyzdžiui, dirbdami su kvadratų skirtumo formule, vaikai, kaip taisyklė, susidoroja su kvadratų skirtumo faktoriaus užduotimi. Tačiau tos užduotys, kai reikia atlikti priešingą veiksmą, daugeliu atvejų sukelia sunkumų. Kitas ryškus šios idėjos pavyzdys yra darbas su daugybos paskirstymo dėsniu, palyginti su pridėjimu. Ir čia, nepaisant įstatymo raidžių rašymo, tiek jo žodinė formuluotė, tiek pratimų sistema tik lavina gebėjimą skliausteliuose. Dėl to bendro veiksnio išbraukimas iš skliaustų sukels didelių sunkumų ateityje.

Gana dažnai pradinėje mokykloje, net ir teisingai suformulavus apibrėžimą ar taisyklę, mokymasis skatinamas pasikliaujant ne jais, o kažkuo visai kitu. Pavyzdžiui, studijuojant daugybos iš 2 lentelę, visi peržiūrėti vadovėliai parodo, kaip ją sudaryti. Vadovėlyje M.I. Moro padarė taip:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Taikydami šį darbo metodą vaikai labai greitai pastebės gautų skaičių serijų modelį.

Po 3-4 lygybių jie nustos dėti du ir pradės rašyti rezultatą pagal pastebėtą modelį. Taigi daugybos lentelės sudarymo metodas netaps jų sąmonės objektu, o tai lems trapią jos asimiliaciją.

Studijuojant medžiagą pradinėje mokykloje, remiamasi objektyviais veiksmais ir iliustraciniu aiškumu, o tai lemia empirinio mąstymo formavimąsi. Žinoma, be tokio matomumo pradinėje mokykloje vargu ar galima apsieiti. Bet tai turėtų būti tik kaip to ar kito fakto iliustracija, o ne kaip koncepcijos formavimo pagrindas.

Iliustratyvaus aiškumo ir esminių veiksmų naudojimas vadovėliuose dažnai lemia, kad pati sąvoka yra „neryški“. Pavyzdžiui, matematikos metoduose 1-3 klasėms M.I. Moreau sako, kad vaikai turi skirstyti daiktus į krūvas arba nupiešti 30 pamokų. Tokie veiksmai praranda dalybos operacijos esmę kaip atvirkštinis daugybos veiksmas. Dėl to dalybos išmokstamos su didžiausiais sunkumais ir yra daug blogiau nei kitos aritmetinės operacijos.

Pradinėje mokykloje mokant matematikos apie kokių nors teiginių įrodymą nėra kalbos. Tuo tarpu prisiminus, kaip sunku bus mokyti įrodinėjimo vidurinėje mokykloje, tam reikia pradėti ruoštis jau pradinėse klasėse. Be to, tai galima padaryti naudojant medžiagą, kuri yra gana prieinama pradinių klasių mokiniams. Pavyzdžiui, tokia medžiaga gali būti skaičiaus padalijimo iš 1, nulio iš skaičiaus ir skaičiaus iš savęs taisyklės. Vaikai gana pajėgūs tai įrodyti naudodami dalybos apibrėžimą ir atitinkamas daugybos taisykles.

Pradinės mokyklos medžiaga taip pat leidžia atlikti algebros propedeutiką – dirbti su raidėmis ir raidžių išraiškomis. Dauguma vadovėlių vengia vartoti raides. Dėl to ketverius metus vaikai beveik vien dirba su skaičiais, po kurių, žinoma, labai sunku juos pripratinti prie darbo su raidėmis.

Tačiau tokiam darbui teikti propedeutiką, jau pradinėje mokykloje išmokyti vaikus vietoj raidės į raidinę išraišką pakeisti skaičių. Tai buvo padaryta, pavyzdžiui, vadovėlyje L.G. Petersonas.

Kalbant apie matematikos mokymo pradinėse klasėse trūkumus, kurie trukdo mokytis toliau, būtina ypač pabrėžti tai, kad dažnai vadovėliuose medžiaga pateikiama nežiūrint, kaip ji veiks ateityje. Labai ryškus to pavyzdys yra mokymosi daugybos iš 10, 100, 1000 ir kt. Visuose apžvelgtuose vadovėliuose šios medžiagos pateikimas susistemintas taip, kad vaikų mintyse neišvengiamai susiformuotų taisyklė: „Norint skaičių padauginti iš 10, 100, 1000 ir t.t., reikia Dešinėje pusėje pridėti tiek nulių, kiek yra 10, 100, 1000 ir tt." Ši taisyklė yra viena iš tų, kurios labai gerai išmokstama pradinėje mokykloje. Dėl to dauginant dešimtaines trupmenas iš sveikų skaitmenų vienetų atsiranda daug klaidų. Net ir prisiminę naują taisyklę, vaikai, daugindami iš 10, dažnai automatiškai prideda nulį dešinėje kablelio pusėje.

Be to, reikia pastebėti, kad dauginant natūralųjį skaičių ir dešimtainę trupmeną dauginant iš sveikų skaitmenų vienetų, iš esmės vyksta tas pats: kiekvienas skaičiaus skaitmuo atitinkamu skaitmenų skaičiumi pasislenka į dešinę. Todėl nėra prasmės mokyti vaikus dviejų atskirų ir visiškai formalių taisyklių. Daug naudingiau juos išmokyti bendro būdo, kaip elgtis sprendžiant panašias problemas.

2.2 Sąvokų palyginimas (kontrastavimas) matematikos pamokose

Dabartinė programa numato mokytis pirmoje klasėje tik dvi pirmojo lygio operacijas – sudėtį ir atimtį. Pirmųjų studijų metų apribojimas tik dviem operacijomis iš esmės yra nukrypimas nuo to, kas jau buvo pasiekta vadovėliuose, buvusiuose prieš dabartinius: nei vienas mokytojas tada niekada nesiskundė, kad daugyba ir dalyba, tarkime, per 20, yra peržengiama. pirmokų gebėjimai . Atkreiptinas dėmesys ir į tai, kad kitų šalių mokyklose, kuriose mokslas pradedamas nuo 6 metų, pirmieji mokslo metai apima pirminį susipažinimą su visais keturiais aritmetikos veiksmais.

Matematika visų pirma remiasi keturiais veiksmais, ir kuo anksčiau jie bus įtraukti į mokinio mąstymo praktiką, tuo stabilesnis ir patikimesnis bus tolesnis matematikos kurso vystymas.

Teisybės dėlei reikia pažymėti, kad pirmosiose M.I.Moro vadovėlių I klasei versijose buvo numatyta daugyba ir dalyba. Tačiau sutrukdė nelaimingas atsitikimas: naujų programų autoriai atkakliai laikėsi vieno „naujo dalyko“ - visų sudėjimo ir atėmimo atvejų aprėpties pirmoje klasėje 100 ribose (37+58 ir 95-58 ir kt.) . Tačiau kadangi nebuvo pakankamai laiko tokiam išplėstiniam informacijos kiekiui ištirti, buvo nuspręsta daugybą ir dalybą visiškai perkelti į kitus studijų metus.

Taigi susižavėjimas programos linijiškumu, t. y. grynai kiekybiniu žinių išplėtimu (tie patys veiksmai, bet su didesniais skaičiais), atėmė laiką, kuris anksčiau buvo skirtas kokybiniam žinių gilinimui (visų keturių veiksmų studijoms). dvi dešimtys). Daugybos ir dalybos mokymasis jau pirmoje klasėje reiškia kokybinį mąstymo šuolį, nes leidžia įvaldyti kondensuotus mąstymo procesus.

Remiantis tradicijomis, sudėties ir atimties per 20 tyrimas buvo ypatinga tema. Šio metodo poreikis sisteminant žinias matomas net iš loginės klausimo analizės: faktas yra tas, kad visa lentelė, skirta pridėti vieną skaitmenį. skaičiai plėtojami per dvi dešimtis (0+1= 1, ...,9+9=18). Taigi skaičiai, esantys 20 viduje, sudaro pilną santykių sistemą savo vidiniuose ryšiuose; todėl „Dvidešimties“ kaip antrosios vientisos temos išsaugojimo tikslingumas yra aiškus (pirmoji tokia tema – veiksmai pirmajame dešimtyje).

Aptariamas atvejis kaip tik toks, kai koncentriškumas (antrojo dešimtuko kaip ypatingos temos išsaugojimas) pasirodo naudingesnis nei tiesiškumas (antrojo dešimtuko „ištirpimas“ į „šimto“ temą).

M.I. Moro vadovėlyje pirmojo dešimties tyrimas suskirstytas į dvi atskiras dalis: pirmiausia nagrinėjama pirmojo dešimties skaičių sudėtis, o kitoje temoje nagrinėjami veiksmai per 10. Eksperimentiniame vadovėlyje P.M. Erdnieva, priešingai, atliko bendrą numeracijos, skaičių sudėties ir operacijų (sudėtis ir atimtis) tyrimą iš karto 10 vienoje dalyje. Taikant šį metodą, naudojamas monografinis skaičių tyrimas, būtent: nagrinėjamame skaičiuje (pavyzdžiui, 3) iš karto suprantama visa „pinigų matematika“: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3-2 = 1.

Jei pagal dabartines programas pirmam dešimtiui buvo skirta 70 valandų studijuoti, tai eksperimentinio mokymo atveju visa ši medžiaga buvo išstudijuota per 50 valandų (be programos buvo atsižvelgta į kai kurias papildomas sąvokas, kurių nebuvo stabilus vadovėlis, bet buvo struktūriškai susiję su pagrindine medžiaga).

Pradinio mokymo metodikoje ypatingo dėmesio reikalauja užduočių klasifikavimo ir jų tipų pavadinimų klausimas. Metodininkų kartos stengėsi racionalizuoti mokyklinių užduočių sistemą, sukurti efektyvius jų tipus ir atmainas, iki pat sėkmingų terminų parinkimo mokykloje skirtų užduočių pavadinimams. Žinoma, kad joms spręsti matematikos pamokose skiriama ne mažiau kaip pusė mokymo laiko. Mokyklos užduotis tikrai reikia sisteminti ir klasifikuoti. Kokio tipo (tipo) užduotis studijuoti, kada studijuoti, kokio tipo problemas, susijusias su konkretaus skyriaus ištrauka, tirti yra teisėtas metodikos ir pagrindinių programų turinio tyrimo objektas. Šios aplinkybės reikšmė akivaizdi iš matematikos metodologijos istorijos.

Išvada

Šiuo metu susidarė gana palankios sąlygos radikaliai tobulinti matematikos ugdymo organizavimą pradinėje mokykloje:

1) pradinė mokykla iš trimetės pertvarkyta į keturmetę;

Panašūs dokumentai

Laikinųjų vaizdų formavimo ypatumai matematikos pamokose pradinėje mokykloje. Pradinėje mokykloje tirtų dydžių charakteristikos. Susipažinimas su laikinųjų vaizdų formavimo metodika edukacinio komplekso „Rusijos mokykla“ pradiniame matematikos kurse.

baigiamasis darbas, pridėtas 2011-12-16


Informatikos ir matematikos integravimas kaip pagrindinė mokymosi efektyvumo didinimo kryptis. Programinės įrangos taikymo interaktyvioms pamokoms metodika. Mokomosios medžiagos pasirinkimas matematikos ir informatikos e-mokymuisi aukštojoje mokykloje.

baigiamasis darbas, pridėtas 2013-04-08


Aktyvaus mokymosi metodų idėja, jų taikymo pradinėje mokykloje ypatumai. Aktyvių matematikos mokymo metodų klasifikacija pradinėje mokykloje įvairiais pagrindais. Interaktyvūs matematikos mokymo metodai ir jų privalumai.

kursinis darbas, pridėtas 2015-02-12


Tikimybinės-statistinės (stochastinės) tiesės tyrimo matematikos kurse pagrindinėje mokykloje metodika. Mokinių suvokimo apie medžiagą analizė: susidomėjimo laipsnis; prieinamumo lygis; sunkumai studijuojant šią medžiagą; asimiliacijos kokybė.

baigiamasis darbas, pridėtas 2008-05-28


Interaktyvaus mokymosi pradinėje mokykloje esmė ir tikslai. Interaktyvaus jaunesniųjų klasių mokinių mokymo matematikos pamokose metodų ir technikų rinkinio įgyvendinimas. Visuotinių mokinių ugdymo veiksmų formavimosi lygio dinamikos nustatymas.

baigiamasis darbas, pridėtas 2015-02-17


Darbo su užduotimi procesas. Problemų tipai, įgūdžiai ir gebėjimų jas spręsti lygiai. Problemos transformavimo mokymo metodika. Darbo su užduotimi etapai. Užduočių transformacijos samprata. Mokymo ir uždavinių transformavimo metodai matematikos pamokose pradinėje mokykloje.

baigiamasis darbas, pridėtas 2008-11-06


Tiriamųjų užduočių panaudojimo matematikos pamokose kaip jaunesniųjų moksleivių protinės veiklos ugdymo priemonės metodai; lavinamųjų pratimų sisteminimas ir testavimas, jų naudojimo pradinėje mokykloje rekomendacijos.

kursinis darbas, pridėtas 2013-02-15


Matematikos mokymosi pradinėje mokykloje ypatumai pagal federalinį valstybinį pradinio bendrojo ugdymo standartą. Kurso turinys. Pagrindinių matematinių sąvokų analizė. Individualaus požiūrio esmė didaktikoje.

kursinis darbas, pridėtas 2016.09.29


Matematika yra vienas abstraktiausių mokslų, studijuojamų pradinėje mokykloje. Supažindinimas su istorinės medžiagos panaudojimo matematikos pamokose ypatumais 4 klasėje. Pagrindinių moksleivių pažintinės veiklos ugdymo problemų analizė.

baigiamasis darbas, pridėtas 2015-10-07


Psichologinių ir pedagoginių loginių problemų tyrimo pradinėje mokykloje pagrindų svarstymas. Loginio mąstymo ugdymo ypatumai matematikos pamokose pradinėje mokykloje, atsižvelgiant į federalinio valstybinio švietimo standarto reikalavimus.