Matematinio modeliavimo sąvoka yra trumpa. Matematinis modeliavimas

4 PASKAITA

Matematinio modeliavimo apibrėžimas ir tikslas

Pagal modelis(iš lot. modulio - matas, pavyzdys, norma) suprasime tokį materialiai ar mintyse reprezentuojamą objektą, kuris pažinimo (tyrimo) procese pakeičia pirminį objektą, išsaugodamas kai kuriuos šiam tyrimui svarbius jam būdingus bruožus. Modelio kūrimo ir naudojimo procesas vadinamas modeliavimu.

Esmė matematinis modeliavimas (MM) susideda iš tiriamo objekto (proceso) pakeitimo tinkamu matematiniu modeliu ir tolesnio šio modelio savybių tyrimo naudojant analitinius metodus arba skaičiavimo eksperimentus.

Kartais naudingiau, užuot pateikus griežtus apibrėžimus, apibūdinti tam tikrą sąvoką terminais konkretus pavyzdys. Todėl aukščiau pateiktus MM apibrėžimus iliustruojame naudodami specifinio impulso skaičiavimo problemos pavyzdį. 60-ųjų pradžioje mokslininkai susidūrė su užduotimi sukurti raketų kurą, turintį didžiausią specifinį impulsą. Raketos varymo principas yra toks: skystas kuras ir oksidatorius iš raketų bakų tiekiami į variklį, kur jie sudeginami, o degimo produktai išleidžiami į atmosferą. Iš impulso išsaugojimo dėsnio išplaukia, kad šiuo atveju raketa judės dideliu greičiu.

Specifinis kuro impulsas yra gautas impulsas, padalytas iš kuro masės. Eksperimentų vykdymas buvo labai brangus ir dėl to buvo sistemingai sugadinta įranga. Paaiškėjo, kad paprasčiau ir pigiau apskaičiuoti idealių dujų termodinamines funkcijas, naudojant jas išeinančių dujų sudėtį ir plazmos temperatūrą, o vėliau specifinį impulsą. Tai yra, atlikti kuro degimo proceso MM.

Matematinio modeliavimo (MM) sąvoka šiandien yra viena iš labiausiai paplitusių mokslinėje literatūroje. Didžioji dauguma šiuolaikinių diplominių ir disertacinių darbų yra susiję su tinkamų kūrimu ir naudojimu matematiniai modeliai. Kompiuterinis MM šiandien yra neatskiriama dalis daugelis žmogaus veiklos sričių (mokslas, technologijos, ekonomika, sociologija ir kt.). Tai viena iš priežasčių, kodėl šiandien trūksta specialistų informacinių technologijų srityje.

Spartų matematinio modeliavimo augimą lemia spartus kompiuterinių technologijų tobulėjimas. Jei prieš 20 metų su skaitiniais skaičiavimais užsiimdavo tik nedidelė programuotojų dalis, tai dabar šiuolaikinių kompiuterių atminties talpa ir sparta leidžia spręsti matematinio modeliavimo uždavinius, prieinamus visiems specialistams, taip pat ir universiteto studentams.

Bet kurioje disciplinoje pirmiausia pateikiamas kokybinis reiškinių aprašymas. Ir tada – kiekybinis, suformuluotas dėsnių, nustatančių ryšius tarp, forma skirtingi kiekiai(lauko stiprumas, sklaidos intensyvumas, elektronų krūvis, ...) formoje matematines lygtis. Todėl galime teigti, kad kiekvienoje disciplinoje yra tiek mokslo, kiek jame yra matematikos, ir šis faktas leidžia sėkmingai išspręsti daugelį problemų naudojant matematinio modeliavimo metodus.

Šis kursas skirtas taikomosios matematikos specialybės studentams, baigiantiems magistro darbą vadovaujant įvairių sričių mokslininkams. Todėl šis kursas reikalingas ne tik kaip mokomoji medžiaga, bet ir kaip pasiruošimas diplominis darbas. Norėdami studijuoti šį kursą, mums reikės šių matematikos skyrių:

1. Matematinės fizikos lygtys (palenkimo mechanika, dujos ir hidrodinamika)

2. Tiesinė algebra (elastingumo teorija)

3. Skaliarinis ir vektoriniai laukai(lauko teorija)

4. Tikimybių teorija (kvantinė mechanika, statistinė fizika, fizikinė kinetika)

5. Specialios funkcijos.

6. Tenzorinė analizė (elastingumo teorija)

7. Matematinė analizė

MM gamtos mokslų, technologijų ir ekonomikos srityse

Pirmiausia panagrinėkime įvairias gamtos mokslų, technologijų ir ekonomikos dalis, kuriose naudojami matematiniai modeliai.

Gamtos mokslas

Fizika, nustatanti pagrindinius gamtos mokslų dėsnius, ilgą laiką buvo skirstoma į teorinę ir eksperimentinę. Teorinė fizika nagrinėja lygčių, apibūdinančių fizikinius reiškinius, išvedimą. Taigi teorinę fiziką taip pat galima laikyti viena iš matematinio modeliavimo sričių. (Atminkite, kad pirmosios fizikos knygos pavadinimas – I. Newtono „Matematiniai gamtos filosofijos principai“ gali būti išverstas į šiuolaikinė kalba kaip „Matematiniai gamtos mokslų modeliai.“) Remiantis gautais dėsniais, atliekami inžineriniai skaičiavimai, kurie atliekami įvairiuose institutuose, įmonėse, projektavimo biuruose. Šios organizacijos kuria šiuolaikinių, žinioms imlių produktų gamybos technologijas.

Viena iš plačiausių fizikos šakų yra klasikinė mechanika(kartais šis skyrius vadinamas teorine arba analitine mechanika). Šis skyrius teorinė fizika tiria kūnų judėjimą ir sąveiką. Skaičiavimai naudojant teorinės mechanikos formules yra būtini tiriant kūnų sukimąsi (inercijos momentų skaičiavimas, girostatai - prietaisai, laikantys sukimosi ašis stacionarias), analizuojant kūno judėjimą. beorė erdvė tt Viena iš teorinės mechanikos šakų vadinama stabilumo teorija ir yra daugelio matematinių modelių, apibūdinančių orlaivių, laivų ir raketų judėjimą, pagrindas. Praktinės mechanikos sekcijas - kursus „Mašinų ir mechanizmų teorija“, „Mašinų dalys“ studijuoja beveik visų technikos universitetai(įskaitant MGIU).

Elastingumo teorija– skyriaus dalis kontinuumo mechanika, kurioje daroma prielaida, kad elastingo kūno medžiaga yra vienalytė ir nuolat paskirstyta visame kūno tūryje, todėl mažiausias iš kūno išpjautas elementas turi tokias pačias fizines savybes kaip ir visas kūnas. Tamprumo teorijos taikymas - kursą „medžiagų stiprumas“ studijuoja visų technikos universitetų (įskaitant Maskvos valstybinį universitetą) studentai. Šis skyrius reikalingas visiems stiprumo skaičiavimams. Tai apima laivų, orlaivių, raketų korpusų stiprumo apskaičiavimą, pastatų plieninių ir gelžbetoninių konstrukcijų stiprumo skaičiavimą ir daug daugiau.

Dujos ir hidrodinamika, kaip ir elastingumo teorija, yra sekcijos dalis kontinuumo mechanika, nagrinėja skysčių ir dujų judėjimo dėsnius. Dujų ir hidrodinamikos lygtys būtinos analizuojant kūnų judėjimą skystose ir dujinėse terpėse (palydovai, povandeniniai laivai, raketos, sviediniai, automobiliai), skaičiuojant dujų nutekėjimą iš raketų ir orlaivių variklių purkštukų. Praktinis hidrodinamikos pritaikymas - hidraulika (stabdžiai, vairas,...)

Ankstesniuose mechanikos skyriuose buvo nagrinėjamas kūnų judėjimas makrokosmose, o makrokosmoso fizikiniai dėsniai netaikomi mikrokosme, kuriame juda medžiagos dalelės – protonai, neutronai, elektronai. Čia galioja visiškai kiti principai, o mikropasauliui apibūdinti tai būtina kvantinė mechanika. Pagrindinė lygtis, apibūdinanti mikrodalelių elgesį, yra Schrödingerio lygtis: . Čia yra Hamiltono operatorius (Hamiltono). Vienmatė dalelių judėjimo lygtis https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potential energy. Šios problemos sprendimas lygtis yra aibė savąsias reikšmes energija ir savosios funkcijos..gif" width="55" height="24 src=">– tikimybinis tankis. Kvantiniai mechaniniai skaičiavimai reikalingi kuriant naujas medžiagas (mikroschemas), kuriant lazerius, kuriant spektrinės analizės metodus ir kt.

Išspręskite daugybę problemų kinetika, apibūdinantis dalelių judėjimą ir sąveiką. Čia turime difuziją, šilumos perdavimą ir plazmos teoriją – ketvirtąją materijos būseną.

Statistinė fizika svarsto dalelių ansamblius, leidžia pasakyti apie ansamblio parametrus pagal atskirų dalelių savybes. Jei ansamblį sudaro dujų molekulės, tada išvestiniai metodai statistinė fizika ansamblio savybės yra dujinės būsenos lygtys, gerai žinomos iš vidurinės mokyklos: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=" >.gif" width ="16" height="17">-dujų molekulinė masė. K – Rydbergo konstanta. Statistiniai metodai Taip pat apskaičiuojamos metalų tirpalų, kristalų, elektronų savybės. Statistinės fizikos MM – teorinis pagrindas termodinamika, kuria grindžiamas variklių, šilumos tinklų ir stočių skaičiavimas.

Lauko teorija MM metodais aprašo vieną pagrindinių materijos formų – lauką. Šiuo atveju pagrindinis interesas yra elektromagnetiniai laukai. Elektromagnetinio lauko (elektrodinamikos) lygtis išvedė Maksvelas: , , . Čia ir https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - krūvio tankis, - srovės tankis. Elektrodinamikos lygtys grindžiamos sklidimo skaičiavimais elektromagnetinių bangų, reikalingų apibūdinti radijo bangų sklidimą (radijo, televizijos, korinio ryšio), ir paaiškinti radarų stočių veikimą.

Chemija gali būti pateikta dviem aspektais, išryškinant aprašomąją chemiją – cheminių veiksnių atradimą ir jų aprašymą – ir teorinę chemiją – teorijų, leidžiančių apibendrinti nustatytus veiksnius ir pateikti juos konkrečios sistemos pavidalu, kūrimą (L. Pauling ). Teorinė chemija dar vadinama fizikine chemija ir iš esmės yra fizikos šaka, tirianti medžiagas ir jų sąveiką. Todėl viskas, kas buvo pasakyta apie fiziką, visiškai tinka chemijai. Fizinės chemijos šakos bus termochemija, kuri studijuoja šiluminiai efektai reakcijos, cheminė kinetika (reakcijos greičiai), kvantinė chemija (molekulių sandara). Tuo pačiu metu chemijos problemos gali būti labai sudėtingos. Pavyzdžiui, kvantinės chemijos – atomų ir molekulių sandaros mokslo – problemoms spręsti naudojamos programos, kurios savo apimtimi prilygsta šalies oro gynybos programoms. Pavyzdžiui, norint aprašyti UCl4 molekulę, susidedančią iš 5 atomų branduolių ir +17*4) elektronų, reikia užrašyti judėjimo lygtį – dalines diferencialines lygtis.

Biologija

Matematika į biologiją iš tikrųjų atėjo tik XX amžiaus antroje pusėje. Pirmieji bandymai matematiškai apibūdinti biologinius procesus, susijusius su populiacijos dinamikos modeliais. Populiacija – tai tos pačios rūšies individų bendruomenė, užimanti tam tikrą Žemės erdvės plotą. Ši matematinės biologijos sritis, tirianti populiacijos dydžio pokyčius įvairiomis sąlygomis (konkuruojančių rūšių buvimas, plėšrūnai, ligos ir kt.), o vėliau tarnavo kaip matematinių bandymų poligonas, kuriame buvo „testuojami“ matematiniai modeliai. skirtingų sričių biologija. Įskaitant evoliucijos, mikrobiologijos, imunologijos ir kitų sričių, susijusių su ląstelių populiacijomis, modelius.
Pats pirmasis žinomas modelis, suformuluotas biologine formule, yra garsioji Fibonačio serija (kiekvienas paskesnis skaičius yra ankstesnių dviejų suma), kurią Leonardo iš Pizos citavo savo darbe XIII amžiuje. Tai skaičių serija, nusakanti kiekvieną mėnesį gimstančių triušių porų skaičių, jei triušiai pradeda veistis nuo antrojo mėnesio ir kiekvieną mėnesį užaugina porą triušių. Eilutė žymi skaičių seką: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

8, 13, …

Kitas pavyzdys yra jonų transmembraninių transportavimo procesų tyrimas ant dirbtinės dvisluoksnės membranos. Čia, norint ištirti porų, per kurias jonas pereina per membraną į ląstelę, susidarymo dėsnius, reikia sukurti modelio sistemą, kurią būtų galima tirti eksperimentiškai ir kuriai būtų galima gerai išplėtoti mokslo fizinį aprašymą. būti naudojamas.

Klasikinis MM pavyzdys taip pat yra Drosophila populiacija. Dar patogesnis modelis – virusai, kuriuos galima dauginti in vitro. Modeliavimo metodai biologijoje – tai dinaminių sistemų teorijos metodai, o priemonės – diferencialinės ir diferencialinės lygtys, kokybinės teorijos metodai. diferencialines lygtis, imitacinis modeliavimas.
Biologijos modeliavimo tikslai:
3. Sistemos elementų sąveikos mechanizmų išaiškinimas
4. Modelio parametrų identifikavimas ir patikrinimas naudojant eksperimentinius duomenis.
5. Sistemos (modelio) stabilumo įvertinimas.

6. Sistemos elgesio, veikiant įvairiems išoriniams poveikiams, prognozavimas, įvairūs valdymo būdai ir kt.
7. Optimalus sistemos valdymas pagal pasirinktą optimalumo kriterijų.

Technika

Pagerina technologijas didelis skaičius specialistais, kurie savo darbą grindžia rezultatais moksliniai tyrimai. Todėl MM technologijose yra tas pats, kas gamtos mokslų MM, kuris buvo aptartas aukščiau.

Ekonomika ir socialiniai procesai

Visuotinai pripažįstama, kad matematinis modeliavimas yra makroanalizės metodas ekonominiai procesai pirmą kartą panaudojo karaliaus Liudviko XV gydytojas dr. Francois Quesnay, kuris 1758 metais išleido veikalą „Ūkio lentelė“. Šis darbas buvo pirmasis bandymas kiekybiškai apibūdinti šalies ekonomiką. O knygoje 1838 m O. Cournot"Studijuoti matematinius principus turtų teorijos“ kiekybiniai metodai pirmą kartą buvo panaudoti konkurencijai produkto rinkoje analizuoti įvairiose rinkos situacijose.

Plačiai žinoma ir Malthuso populiacijos teorija, kurioje jis pasiūlė idėją: populiacijos augimas ne visada yra pageidautinas, o šis augimas yra greitesnis nei gyventojų aprūpinimo maistu augimas. Matematinis tokio proceso modelis yra gana paprastas: Tegul gyventojų skaičiaus augimas per laiką https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> būna lygus . ir – koeficientai, atsižvelgiant į vaisingumą ir mirtingumą (asm./metai).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumentiniai ir matematiniai metodai " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">matematiniai analizės metodai (pavyzdžiui, pastaraisiais dešimtmečiais, matematines teorijas buvo kuriami ir tiriami kultūros raida, matematiniai mobilizacijos modeliai, ciklinė sociokultūrinių procesų raida, liaudies ir valdžios sąveikos modelis, ginklavimosi lenktynių modelis ir kt.

Apskritai socialinių ir ekonominių procesų MM procesą galima suskirstyti į keturis etapus:

hipotezių sistemos formulavimas ir konceptualaus modelio sukūrimas; matematinio modelio kūrimas; modelio skaičiavimų rezultatų analizė, kuri apima jų palyginimą su praktika; naujų hipotezių formulavimas ir modelio patikslinimas, esant neatitikimams tarp skaičiavimo rezultatų ir praktinių duomenų.

Atkreipkite dėmesį, kad matematinio modeliavimo procesas paprastai yra ciklinis, nes net tiriant gana paprastus procesus retai pavyksta sukurti adekvatų matematinį modelį ir iš pirmo žingsnio parinkti tikslius jo parametrus.

Šiuo metu ekonomika vertinama kaip sudėtinga besivystančią sistemą, kurių kiekybiniam aprašymui naudojami įvairaus sudėtingumo dinaminiai matematiniai modeliai. Viena iš makroekonominės dinamikos tyrimų krypčių siejama su gana paprastų netiesinių modeliavimo modelių, atspindinčių įvairių posistemių – darbo rinkos, prekių rinkos, finansų sistemos, sąveiką, konstravimu ir analize. natūrali aplinka ir tt

Katastrofų teorija vystosi sėkmingai. Ši teorija nagrinėja klausimą, kokiomis sąlygomis pasikeitus netiesinės sistemos parametrams fazinės erdvės taškas, apibūdinantis sistemos būseną, pereina iš traukos srities į pradinę pusiausvyros padėtį į traukos sritį į kita pusiausvyros padėtis. Pastaroji labai svarbi ne tik techninių sistemų analizei, bet ir socialinių ekonominių procesų tvarumo suvokimui. Šiuo atžvilgiu išvados yra įdomios apie netiesinių valdymo modelių tyrimo svarbą. 1990 m. išleistoje knygoje „Katastrofų teorija“ jis ypač rašo: „... dabartinis pertvarkymas daugiausia paaiškinamas tuo, kad pradėjo veikti bent kai kurie mechanizmai. atsiliepimai(asmeninio sunaikinimo baimė).

(modelio parametrai)

Kuriant realių objektų ir reiškinių modelius dažnai tenka susidurti su informacijos trūkumu. Tiriamo objekto savybių pasiskirstymas, poveikio parametrai ir pradinė būsena yra žinomi su skirtingu neapibrėžtumo laipsniu. Kuriant modelį galimos šios neapibrėžtų parametrų apibūdinimo parinktys:

Matematinių modelių klasifikacija

(įgyvendinimo metodai)

MM įgyvendinimo metodus galima klasifikuoti pagal toliau pateiktą lentelę.

Kompiuteris tvirtai įsiliejo į mūsų gyvenimą ir praktiškai nėra žmogaus veiklos srities, kurioje kompiuteris nebūtų naudojamas. Kompiuteriai dabar plačiai naudojami kuriant ir tiriant naujas mašinas, naujus technologinius procesus ir ieškant jų optimalių variantų; sprendžiant ekonomines problemas, sprendžiant įvairių lygių planavimo ir gamybos valdymo problemas. Didelių objektų kūrimas raketų, orlaivių gamyboje, laivų statyboje, taip pat užtvankų, tiltų ir kt. projektavimas paprastai neįmanomas be kompiuterių.

Norėdami išspręsti problemą naudodami kompiuterį taikomų problemų, pirmiausia taikomas uždavinys turi būti „išverstas“ į formalią matematinę kalbą, t.y. realiam objektui, procesui ar sistemai turi būti sukurtas jo matematinis modelis.

Žodis „modelis“ kilęs iš lotyniško modus (kopija, vaizdas, kontūras). Modeliavimas – tai kokio nors objekto A pakeitimas kitu objektu B. Pakeistas objektas A vadinamas originaliu arba modeliuojančiu objektu, o pakaitalas B – modeliu. Kitaip tariant, modelis yra originalaus objekto pakaitalas, leidžiantis ištirti kai kurias originalo savybes.

Modeliavimo tikslas – gauti, apdoroti, pateikti ir naudoti informaciją apie objektus, kurie sąveikauja tarpusavyje ir išorine aplinka; o modelis čia veikia kaip priemonė suprasti objekto savybes ir elgesio modelius.

Matematinis modeliavimas yra priemonė tirti realų objektą, procesą ar sistemą, pakeičiant juos matematiniu modeliu, kuris yra patogesnis eksperimentiniai tyrimai naudojant kompiuterį.

Matematinis modeliavimas – tai realių procesų ir reiškinių matematinių modelių kūrimo ir tyrimo procesas. Visi natūralūs ir socialinis mokslas kurie naudoja matematinį aparatą iš esmės užsiima matematiniu modeliavimu: jie pakeičia tikras objektas jo modelį, o paskui išstudijuoti pastarąjį. Kaip ir bet kuris modeliavimas, matematinis modelis nevisiškai apibūdina tiriamą reiškinį, o klausimai apie tokiu būdu gautų rezultatų pritaikomumą yra labai prasmingi. Matematinis modelis yra supaprastintas tikrovės aprašymas naudojant matematines sąvokas.

Matematinis modelis išreiškia esmines objekto ar proceso savybes lygčių ir kitų matematinių priemonių kalba. Tiesą sakant, pati matematika savo egzistavimą skolinga tam, ką ji bando atspindėti, t.y. modelis savarankiškai konkrečia kalba supančio pasaulio modelius.

At matematinis modeliavimas objekto tyrimas atliekamas per matematikos kalba suformuluotą modelį tam tikrais matematiniais metodais.

Matematinio modeliavimo kelias mūsų laikais yra daug išsamesnis nei viso masto modeliavimas. Didžiulį postūmį matematinio modeliavimo raidai davė kompiuterių atsiradimas, nors pats metodas atsirado kartu su matematika prieš tūkstančius metų.

Matematinis modeliavimas ne visada reikalauja kompiuterio palaikymo. Kiekvienas specialistas, profesionaliai dirbantis su matematiniu modeliavimu, daro viską, kas įmanoma, kad analitiškai ištirtų modelį. Analitiniai sprendimai (t. y. pateikiami formulėmis, išreiškiančiomis tyrimo rezultatus per pirminius duomenis) dažniausiai yra patogesni ir informatyvesni nei skaitiniai. Tačiau analitinių metodų galimybės sudėtingoms matematinėms problemoms spręsti yra labai ribotos ir, kaip taisyklė, šie metodai yra daug sudėtingesni nei skaitiniai.

Matematinis modelis – tai apytikslis realių objektų, procesų ar sistemų atvaizdas, išreikštas matematiniais terminais ir išsaugantis esmines originalo savybes. Matematiniai modeliai kiekybine forma, naudojant loginius ir matematinius konstruktus, apibūdina pagrindines objekto, proceso ar sistemos savybes, jo parametrus, vidinius ir išorinius ryšius.

Visus modelius galima suskirstyti į dvi klases:

1. tikras,
2. tobulas.

Savo ruožtu tikrus modelius galima suskirstyti į:

1. pilno masto,
2. fizinis,
3. matematinės.

Idealūs modeliai gali būti suskirstyti į:

1. vizualinis,
2. ikoniškas,
3. matematinės.

Tikri pilno masto modeliai – tai realūs objektai, procesai ir sistemos, su kuriais atliekami moksliniai, techniniai ir pramoniniai eksperimentai.

Tikras fiziniai modeliai- tai modeliai, manekenai, dauginantys fizines savybes originalai (kinematinis, dinaminis, hidraulinis, terminis, elektrinis, apšvietimo modeliai).

Tikrieji matematiniai yra analoginiai, struktūriniai, geometriniai, grafiniai, skaitmeniniai ir kibernetiniai modeliai.

Idealūs vizualiniai modeliai yra diagramos, žemėlapiai, brėžiniai, grafikai, grafikai, analogai, struktūriniai ir geometriniai modeliai.

Idealūs ženklų modeliai yra simboliai, abėcėlė, programavimo kalbos, tvarkingas žymėjimas, topologinis žymėjimas, tinklo vaizdavimas.

Idealūs matematiniai modeliai yra analitiniai, funkciniai, modeliavimo ir kombinuoti modeliai.

Pirmiau pateiktoje klasifikacijoje kai kurie modeliai turi dvigubą interpretaciją (pavyzdžiui, analoginiai). Visi modeliai, išskyrus pilno masto, gali būti sujungti į vieną mentalinių modelių klasę, nes jie yra žmogaus abstraktaus mąstymo produktas.

Žaidimų teorijos elementai

IN bendras atvejisžaidimo sprendimas yra gana sudėtinga užduotis, o problemos sudėtingumas ir jai išspręsti reikalingų skaičiavimų kiekis smarkiai didėja didėjant . Tačiau šie sunkumai nėra esminio pobūdžio ir yra susiję tik su labai dideliu skaičiavimų kiekiu, kuris kai kuriais atvejais gali pasirodyti praktiškai neįmanomas. Pagrindinis sprendimo paieškos metodo aspektas išlieka bet kuriam ta pati.

Iliustruojame tai žaidimo pavyzdžiu. Pateikime geometrinę interpretaciją – jau erdvinę. Mūsų tris strategijas reprezentuos trys taškai plokštumoje ; pirmasis yra ištakoje (1 pav.). antrasis ir trečiasis – ant ašių Oi Ir Oi 1 atstumu nuo pradžios.

I-I, II-II ir III-III ašys brėžiamos per taškus statmenai plokštumai . I-I ašyje yra strategijos išmokos, II-II ir III-III ašyse yra strategijų išmokos. Kiekviena priešo strategija bus atstovaujama lėktuvu, kuris atsiskirs ašys I-I, II-II ir III-III, segmentai lygūs laimėjimui

su tinkama strategija ir strategija . Taip sukonstravę visas priešo strategijas, gauname plokštumų šeimą virš trikampio (2 pav.).

Šiai šeimai taip pat galite nustatyti apatinę išmokos ribą, kaip tai padarėme šiuo atveju, ir šioje riboje rasti tašką N su didžiausiu aukščiu plokštumoje. . Šis aukštis bus žaidimo kaina.

Strategijų dažnius optimalioje strategijoje lems koordinatės (x, y) taškai N, būtent:

Tačiau šis geometrinė konstrukcija net ir tuo atveju tai nėra lengva įgyvendinti ir reikalauja didelės išlaidos laiko ir vaizduotės pastangų. Bendruoju žaidimo atveju jis perkeliamas į - matmenų erdvė ir praranda aiškumą, nors geometrinės terminijos vartojimas daugeliu atvejų gali būti naudingas. Praktiškai sprendžiant žaidimus patogiau naudoti ne geometrines analogijas, o apskaičiuotus analitinius metodus, juolab kad uždaviniui išspręsti kompiuteriaišie metodai yra vieninteliai tinkami.

Visi šie metodai iš esmės yra susiję su problemos išsprendimu atliekant nuoseklius bandymus, tačiau suskirstę bandymų seką galite sukurti algoritmą, kuris padės rasti sprendimą ekonomiškiausiu būdu.

Čia trumpai apžvelgsime vieną žaidimų sprendimo skaičiavimo būdą - apie vadinamąjį metodą " linijinis programavimas».

Norėdami tai padaryti, pirmiausia duokite bendras nustatymas problemų ieškant žaidimo sprendimo. Tegul žaidimas bus duotas Tžaidėjų strategijos A Ir nžaidėjų strategijos IN ir pateikiama mokėjimo matrica

Reikia rasti žaidimo sprendimą, t.y. dvi optimalias mišrias žaidėjų A ir B strategijas

kur (kai kurie skaičiai ir gali būti lygūs nuliui).

Mūsų optimali strategija S*A turėtų mums duoti ne mažesnę naudą už bet kokį priešo elgesį ir lygią , už jo optimalų elgesį (strategija S*B).Panaši strategija S*B turėtų suteikti priešui nuostolių, ne didesnių kaip , už bet kokį mūsų elgesį ir lygų už mūsų optimalų elgesį (strategija S*A).

Žaidimo vertė šiuo atveju mums nežinoma; manysime, kad jis lygus kokiam nors teigiamam skaičiui. Taip tikėdami mes nepažeidžiame samprotavimo bendrumo; Kad jis būtų > 0, akivaizdu, kad pakanka, kad visi matricos elementai būtų neneigiami. Tai visada galima pasiekti pridedant pakankamai didelį teigiama vertė L šiuo atveju žaidimo kaina padidės L, tačiau sprendimas nepasikeis.

Pasirinkime optimalią strategiją S*A. Tada mūsų vidutinis atlyginimas pagal priešininko strategiją bus lygus:

Mūsų optimali strategija S*A turi savybę, kuri už bet kokį priešo elgesį suteikia naudos ne mažesnę kaip; todėl nė vienas skaičius negali būti mažesnis už . Gauname keletą sąlygų:

(1)

Nelygybes (1) padalinkime iš teigiamos reikšmės ir pažymėkime:

Tada sąlyga (1) bus parašyta kaip

(2)

kur - neneigiami skaičiai. Nes kiekiai tenkina sąlygą

Mes norime, kad mūsų garantuoti laimėjimai būtų kuo didesni; Akivaizdu, kad šiuo atveju dešinė lygybės (3) pusė įgauna minimalią reikšmę.

Taigi, žaidimo sprendimo paieškos problema kyla dėl šios matematinės problemos: nustatyti neneigiamus dydžius , tenkinant sąlygas (2), todėl jų suma

buvo minimalus.

Paprastai sprendžiant problemas, susijusias su kraštutinių verčių (maksimų ir minimumų) radimu, funkcija diferencijuojama ir išvestinės nustatomos lygiomis nuliui. Tačiau tokia technika šiuo atveju yra nenaudinga, nes funkcija Ф, kuri reikia minimizuoti, yra tiesinė, o jo išvestiniai visų argumentų atžvilgiu yra lygūs vienetui, t.y., niekur nedingsta. Vadinasi, funkcijos maksimumas pasiekiamas kažkur ant argumentų pokyčių diapazono ribos, kurią lemia argumentų ir sąlygų neneigiamumo reikalavimas (2). Kraštutinių verčių radimo naudojant diferencijavimą technika taip pat netinka tais atvejais, kai žaidimui išspręsti nustatoma maksimali apatinė (arba viršutinė) laimėjimo riba, kaip tai padarėme. Pavyzdžiui, jie tai padarė spręsdami žaidimus. Iš tikrųjų apatinę ribą sudaro tiesių atkarpos, o maksimumas pasiekiamas ne taške, kur išvestinė yra lygi nuliui (tokio taško iš viso nėra). bet intervalo ribose arba tiesių ruožų susikirtimo taške.

Norėdami išspręsti panašias užduotis, gana dažnai sutinkamas praktikoje, matematikoje buvo sukurtas specialus aparatas linijinis programavimas.

Linijinio programavimo problema suformuluota taip.

Pateikta tiesinių lygčių sistema:

(4)

Reikia rasti neneigiamas dydžių reikšmes, kurios tenkina sąlygas (4) ir tuo pačiu sumažinti duotą homogeniškumą. tiesinė funkcija kiekiai ( linijinė forma):

Nesunku suprasti, kad aukščiau pateikta žaidimo teorijos problema yra ypatingas linijinio programavimo problemos atvejis

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad sąlygos (2) nėra lygiavertės sąlygoms (4), nes jose vietoj lygybės ženklų yra nelygybės ženklai. Tačiau nelygybės ženklų lengva atsikratyti įvedus naujus neneigiamus kintamuosius ir rašymo sąlygas (2) formoje:

(5)

Forma Ф, kurią reikia sumažinti, yra lygi

Linijinis programavimo aparatas leidžia pasirinkti reikšmes naudojant santykinai nedidelį skaičių nuoseklių pavyzdžių , atitinkantys nurodytus reikalavimus. Siekiant didesnio aiškumo, mes parodysime, kaip šis aparatas naudojamas tiesiogiai konkrečių žaidimų sprendimo medžiagoje.

Turinys Matematinio modeliavimo dalykas. Modeliavimo pagrindai. Modelio samprata. Modeliavimo principas. Modeliavimas kaip mokslo žinių metodas. Modeliavimo etapai. 1 – 2 etapų charakteristikos. Modeliavimo etapai. 3 – 4 etapų charakteristikos. Modelių klasifikacija. Bendra apžvalga. Ekonominių ir matematinių modelių klasifikacija. Ekonominio ir matematinio modeliavimo etapai. Matematinis modelis. Linijinis programavimas. Linijinio programavimo uždavinio teiginys. Geometrinė interpretacija Ir grafinis sprendimas linijinio programavimo problemos. Paprastas metodas. Pradinio konstrukcija orientacinis planas. Paprastos lentelės. Referencinio plano optimalumo ženklas. Dvilypumo samprata. Dvigubų problemų konstravimas ir jų savybės. Transporto problema. Pradinio orientacinio plano kūrimas. Transporto problema. Potencialų metodas.

Turinys Grafų teorijos pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai. Dviženklio elementų išdėstymas. Fulkersono algoritmas. Suradimo problemų sprendimas trumpiausi keliai grafike. Maksimalaus srauto problema ir jos pritaikymai. Transporto problema tinklo nustatymuose. Elementai tinklo planavimas. Dinaminio programavimo principai, metodo skaičiavimo procedūra. Monte Karlo metodas. Metodo esmė. Problemų sprendimas Monte Karlo metodu. Matricinių žaidimų teorijos elementai. Suporuoti nulinės sumos matricos žaidimai. Matricinių žaidimų sprendimo būdai. Žaidimai su gamta. Sprendimo priėmimo kriterijai. Maple 7 paketas Bendra paketo apžvalga. Jo galimybės. Programos sąsaja, darbas su komandomis. Naudojant kintamuosius. Darbas su stalais.

Matematinio modeliavimo dalykas. Modeliavimo pagrindai Matematinis modeliavimas – tai reiškinių, procesų, sistemų ar objektų tyrimas, konstruojant ir tiriant jų modelius, o pastaraisiais nustatant ar išaiškinant naujai projektuojamų technologinių procesų, sistemų ir objektų charakteristikas bei racionalius konstravimo būdus. Matematinis modelis yra realaus pasaulio abstrakcija, kurioje tyrinėtojų santykiai yra įdomūs. tikri elementai pakeičiami tinkamais santykiais tarp matematinių kategorijų. Šie ryšiai dažniausiai pateikiami lygčių ir (ar) nelygybių, apibūdinančių modeliuojamo įrenginio funkcionavimą. tikroji sistema. Matematinių modelių konstravimo menas yra apjungti kuo daugiau trumpumo matematiniame aprašyme su pakankamu modelio atkūrimo tikslumu būtent tų analizuojamos tikrovės aspektų, kurie domina tyrėją. Modeliavimo meniu - kūrybinis procesas, reikalaujantis rimto pasiruošimo ir didelio informacijos kiekio apdorojimo, derinant darbo intensyvumo ir euristinius principus ir yra tikimybinio pobūdžio.

Modelio samprata. Modeliavimas kaip mokslo žinių metodas Modelis yra tam tikras supaprastintas realaus objekto, reiškinio ar proceso panašumas. Modelis – tai materialus arba mintyse įsivaizduojamas objektas, pakeičiantis pradinį objektą jo tyrimo tikslais, išsaugantis kai kurias tipines originalo savybes ir savybes, kurios yra svarbios šiam tyrimui. Gerai sukonstruotas modelis, kaip taisyklė, yra labiau prieinamas tyrimams nei realus objektas (pvz., šalies ekonomika, Saulės sistema ir pan.). Kita, ne mažiau svarbus susitikimas modelis yra toks, kad jo pagalba nustatomi reikšmingiausi veiksniai, formuojantys tam tikras objekto savybes. Modelis taip pat leidžia išmokti valdyti objektą, o tai svarbu tais atvejais, kai eksperimentuoti su objektu yra nepatogu, sunku arba neįmanoma (pavyzdžiui, kai eksperimentas trunka ilgai arba kai yra rizika, kad objektas bus įtrauktas į nepageidaujama arba negrįžtama būsena). Taigi, galime daryti išvadą, kad modelis yra būtinas tam, kad: suprastume, kaip konkretus objektas yra struktūrizuotas – kokia jo struktūra, pagrindinės savybės, vystymosi ir sąveikos su išoriniu pasauliu dėsniai; išmokti valdyti objektą ar procesą ir nustatyti geriausius valdymo metodus pagal nustatytus tikslus ir kriterijus (optimizavimas); Meniu numatyti tiesiogines ir netiesiogines įgyvendinimo pasekmes duotus metodus ir įtakos objektui, procesui formos.

Modeliavimo etapai 1 etapo charakteristikos I etapas. Problemos teiginys Užduotis pačia bendriausia prasme suprantama kaip tam tikra problema, kurią reikia išspręsti. Svarbiausia yra apibrėžti modeliavimo objektą ir suprasti, koks turėtų būti rezultatas. Atsižvelgiant į formuluotės pobūdį, visas problemas galima suskirstyti į dvi pagrindines grupes. Pirmajai grupei priskiriamos užduotys, kuriose reikia ištirti, kaip keičiasi objekto savybės jam veikiant. Tokia problemos formuluotė paprastai vadinama „kas bus, jei...“. Antroji problemų grupė turi tokią apibendrintą formuluotę: koks poveikis turi būti padarytas objektui, kad jo parametrai atitiktų tam tikrą duota sąlyga? Tokia problemos formuluotė dažnai vadinama „kaip padaryti, kad...“. Modeliavimo tikslus lemia modelio projektiniai parametrai. Dažniausiai tai yra atsakymo į klausimą, užduodamą formuluojant problemą, paieška. Toliau jie pereina prie objekto ar proceso aprašymo. Šiame etape nustatomi veiksniai, nuo kurių priklauso modelio elgsena. Modeliuojant skaičiuoklėse galima atsižvelgti tik į tuos parametrus, kurie turi kiekybines charakteristikas. Kartais problemą jau galima suformuluoti supaprastinta forma, joje aiškiai nustatomi tikslai ir apibrėžiami modelio parametrai, į kuriuos reikia atsižvelgti. Analizuojant objektą būtina atsakyti kitas klausimas: ar tiriamas objektas ar procesas gali būti laikomas vientisa visuma, ar tai sistema, susidedanti iš paprastesnių objektų? Jei tai yra viena visuma, galite pradėti kurti informacinį modelį. Jei tai sistema, turite pereiti prie ją sudarančių objektų analizės ir nustatyti ryšius tarp jų. Meniu

Modeliavimo etapai 2 etapo charakteristikos II etapas. Modelio kūrimas Remiantis objekto analizės rezultatais, a informacinis modelis. Jame detaliai aprašomos visos objekto savybės, jų parametrai, veiksmai ir santykiai. Toliau informacinis modelis turi būti išreikštas viena iš simbolinių formų. Atsižvelgiant į tai, kad dirbsime skaičiuoklės aplinkoje, informacinis modelis turi būti konvertuojamas į matematinį. Remiantis informacija ir matematiniais modeliais, lentelių pavidalu sudaromas kompiuterinis modelis, kuriame išskiriamos trys duomenų sritys: pradiniai duomenys, tarpiniai skaičiavimai, rezultatai. Pirminiai duomenys įvedami rankiniu būdu. Tiek tarpiniai, tiek galutiniai skaičiavimai atliekami pagal formules, parašytas pagal skaičiuoklių taisykles. Meniu

Modeliavimo etapai 3 etapo charakteristikos III etapas. Kompiuterinis eksperimentas Norint suteikti gyvybės naujiems dizaino patobulinimams, gamyboje įdiegti naujus techninius sprendimus ar išbandyti naujas idėjas, būtinas eksperimentas. Neseniai toks eksperimentas galėjo būti atliktas arba laboratorines sąlygas specialiai jam sukurtose instaliacijose arba in situ, t.y. ant tikro gaminio pavyzdžio, atliekant įvairius bandymus. Tam reikia daug materialinės išlaidos ir laikas. Į pagalbą atėjo kompiuteriniai modelių tyrimai. Atliekant kompiuterinį eksperimentą, tikrinamas modelių teisingumas. Modelio elgsena tiriama esant įvairiems objekto parametrams. Kiekvieną eksperimentą lydi rezultatų supratimas. Jeigu kompiuterinio eksperimento rezultatai prieštarauja sprendžiamos problemos reikšmei, tai klaidos reikia ieškoti neteisingai parinktame modelyje arba jos sprendimo algoritme ir būdu. Nustačius ir pašalinus klaidas, kompiuterinis eksperimentas kartojamas. Meniu

Modeliavimo etapai 4 etapo charakteristikos IV etapas. Modeliavimo rezultatų analizė Paskutinis modeliavimo etapas yra modelio analizė. Remdamiesi gautais skaičiavimo duomenimis, patikriname, ar skaičiavimai atitinka mūsų supratimą ir modeliavimo tikslus. Šiame etape nustatomos rekomendacijos, kaip tobulinti priimtą modelį ir, jei įmanoma, objektą ar procesą. Meniu

Modelių klasifikacija Klasifikacija pagal naudojimo sritį Švietimo: vaizdinės priemonės, įvairūs treniruokliai, mokymo programos. Patyrę: sumažintos arba padidintos tiriamo objekto kopijos tolimesniam tyrimui (laivo, automobilio, lėktuvo, hidroelektrinės modeliai). Kuriami moksliniai ir techniniai modeliai procesams ir reiškiniams tirti (stovas televizoriams testuoti; sinchrotronas – elektronų greitintuvas ir kt.). Žaidimai: kariniai, ekonominiai, sportiniai, verslo žaidimai. Imitacija: atspindi tikrovę skirtingais tikslumo laipsniais (naujo vaisto išbandymas atliekant daugybę eksperimentų su pelėmis; eksperimentai dėl naujų technologijų įdiegimo į gamybą). Klasifikacija atsižvelgiant į laiko faktorių Statinis modelis – objekto modelis in šiuo metu laiko. Dinaminis modelis leidžia matyti objekto pokyčius laikui bėgant. Meniu

Modelių klasifikacija Klasifikacija pagal vaizdavimo būdą Medžiaginis modelis – tai fizinis objekto panašumas. Jie atkuria originalo geometrines ir fizines savybes (paukščių iškamšos, gyvūnų manekenai, žmogaus kūno vidaus organai, geografinės ir istoriniai žemėlapiai, saulės sistemos schema). Informacinis modelis – informacijos rinkinys, apibūdinantis objekto, proceso, reiškinio savybes ir būsenas, taip pat santykį su išorinis pasaulis. Bet kuriame informaciniame modelyje yra tik esminė informacija apie objektą, atsižvelgiant į tikslą, kuriam jis sukurtas. To paties objekto informaciniai modeliai, skirti skirtingiems tikslams, gali būti visiškai skirtingi. Verbalinis modelis – informacinis modelis mentaliniame arba šnekamosios kalbos forma. Ženklų modelis – informacinis modelis, išreiškiamas specialiais ženklais, t.y., bet kokia formalia kalba. Ikoniniai modeliai – tai brėžiniai, tekstai, grafikai, diagramos, lentelės ir kt. Kompiuterinis modelis – tai modelis, įgyvendintas naudojant programinę aplinką. Prieš kuriant objekto (reiškinio, proceso) modelį, būtina nustatyti jo sudedamąsias dalis ir ryšius tarp jų (nubraižyti sistemos analizė) ir „išversti“ gautą struktūrą į tam tikrą iš anksto nustatytą formą – įforminti informaciją. Meniu formalizavimas yra atrankos ir vertimo procesas vidinė struktūra objektas, reiškinys ar procesas tam tikrame informacijos struktūra- forma.

Ekonominių ir matematinių modelių klasifikacija Ekonominiai ir matematiniai modeliai – tai valdomų ir reguliuojamų ekonominių procesų modeliai, kurie naudojami transformuojant ekonominę tikrovę. Modelių tinkamumą objektams modeliuoti lemia tyrimo rezultatų sutapimas su pastebėtais faktais. Praktika šiuo atveju reiškia realybę. Pagal paskirtį ekonominiai ir matematiniai modeliai skirstomi į Teorinius ir Analitinius taikomuosius ekonominius, o matematiniai modeliai skirstomi į visos šalies ūkio ir jos posistemių (sektorių, regionų ir kt.) modelius. Modeliai yra funkciniai ir struktūriniai. Modeliai gali būti aprašomieji arba normatyviniai. Aprašomieji modeliai atsako į klausimą: kaip tai vyksta ir kaip tai gali vystytis toliau? Norminiai modeliai atsako į klausimą: kaip tai turėtų būti? Tai yra, jie susiję su tikslinga veikla. Yra griežtai deterministiniai modeliai ir modeliai, kuriuose atsižvelgiama į atsitiktinumą ir neapibrėžtumą. Modeliai gali būti statiniai arba dinamiški. Remiantis nagrinėjamo laikotarpio trukme, išskiriami trumpalaikio (1-5 metų) ir ilgalaikio (10-15 ir daugiau metų) prognozavimo ir planavimo modeliai. Pats laikas tokiuose modeliuose gali keistis nuolat arba diskretiškai. Meniu modeliai gali būti linijiniai arba netiesiniai.

Ekonominio ir matematinio modeliavimo etapai. Inscenizacija ekonomine problema ir jo analizė. Svarbiausia yra nustatyti problemos esmę, padarytas prielaidas ir klausimus, į kuriuos reikia atsakyti. Etapas apima svarbiausių objekto savybių ir savybių išryškinimą, abstrahavimą nuo antraeilių. Jei reikia, hipotezių suformavimas, paaiškinantis objekto elgesį ir vystymąsi. Matematinio modelio konstravimas. Ekonominės problemos formalizavimo etapas. Klaidinga manyti, kad kuo daugiau faktų modelis atsižvelgia, tuo jis geresnis. Modelio sudėtingumo ir sudėtingumo keitimas apsunkina tyrimo procesą. Reikia atsižvelgti realias galimybes informacija ir matematinė pagalba. Būtina palyginti modeliavimo kainą su gaunamu efektu. Vienas iš svarbiausias savybes matematinis modelis yra potenciali galimybė juos panaudoti sprendžiant įvairias problemas. Meniu

Ekonominio ir matematinio modeliavimo etapai. Matematinė modelio analizė. Šio etapo tikslas – išsiaiškinti bendrosios savybės modeliai. Svarbiausia – įrodyti sprendimo egzistavimą. Pradinės informacijos rengimas Būtina atsižvelgti į tai, kiek laiko užtruks surinkimas reikalinga informacija, atsižvelgti į informacijos rengimo išlaidas. Rengimo procese plačiai taikomi tikimybių teorijos, teorinės ir matematinės statistikos metodai. Skaitinis sprendimas. Skaitmeninio uždavinio sprendimo algoritmų kūrimas, kompiuterinių programų sudarymas ir tiesioginiai skaičiavimai. Šiame etape sunkumų sukelia didelis ekonominių problemų matmuo ir poreikis apdoroti didelius informacijos kiekius. Meniu analizė skaitiniai rezultatai ir jų taikymas. Šiame etape kyla klausimas apie modeliavimo rezultatų teisingumą ir išsamumą, jų praktinio pritaikymo laipsnį.

Linijinis programavimas. Tai matematinio modeliavimo šaka, kurios visos priklausomybės yra tiesinės. Bet kurio linijinio programavimo uždavinio matematinis modelis yra Z= max(min) Meniu sąlygos neneigiamumui Xj ≥ 0

Pavyzdys: Gaminant gaminius u 1 ir u 2, naudojamos tekinimo ir frezavimo staklės, taip pat plienas ir spalvotieji metalai pagal technologinius standartus gaminio vienetui u 1, 300 ir 200 vnt. reikia atitinkamai tekinimo ir frezavimo įrangos (valandomis), o plieno ir spalvotųjų metalų – 10 ir 20 vienetų (kg.). gaminiui u pagaminti reikia atitinkamai 2, 400, 100, 70, 50 vienetų tų pačių išteklių. Dirbtuvėse yra 12400 ir 6800 valandų, 640 ir 840 kg. medžiaga. Pelnas iš pardavimo vienam gaminio vienetui u 1=6000 den. vienetų , u 2 = 16000 den. vienetų Būtina: apibendrinkite šaltinio duomenis į lentelę, patogią modeliui kurti. Sukurkite matematinį problemos modelį. Nustatyti gaminių gamybos planą, užtikrinti maksimalų pelną su sąlyga, kad turi būti pilnai išnaudotas frezavimo staklių darbo laikas.

Sprendimas: Tegul x1 yra produktų skaičius u 1, o x2 – produktų skaičius u 2, z – visas pelnas.

Linijinis programavimas. Tai yra įprasta arba išvestinė žymėjimo forma. Kintamieji Xj, kurie tenkina apribojimų sistemą ir neneigiamumo sąlygą, vadinami priimtinais. Tinkami kintamieji, paverčiantys tikslo funkciją į max arba min, vadinami optimaliais. Tokių problemų sprendimo būdai skirstomi į universalius ir specialiuosius. Universalus metodas naudojamas bet kokiam PLP išspręsti. Specialiuose metoduose atsižvelgiama į modelio ypatybes. Ypatinga ZLP ypatybė yra ta, kad maksimali (min) tikslo funkcija pasiekia regiono ribą priimtini sprendimai. PLP apima: optimalių technologijų pasirinkimo problemą; mišinio problema; pjovimo medžiagos problema; transporto problema; Meniu problema yra apie geriausią išteklių panaudojimą; užsakymo pateikimo problema;

Linijinio programavimo uždavinio teiginys Bet kuris ZLP parašytas naudojant matematinį modelį. Yra 3 įrašymo formos PAP meniu Bendrasis (nemokamas)

Tiesinio programavimo uždavinio teiginys Visos šios formos yra lygiavertės. Norint pereiti nuo max prie min (arba atvirkščiai), reikia pakeisti kiekvieno termino ženklus tikslinės funkcijos žymėjime. Norėdami formos nelygybę paversti formos nelygybe (ir atvirkščiai), reikia padauginti abi nelygybės puses iš -1. Meniu Kanoninis (pagrindinis) Norint nelygybę paversti lygybe (ir atvirkščiai), reikia pridėti arba iš kairės pusės atimti papildomą neneigiamą kintamąjį, jis vadinamas balanso kintamuoju. Rašant tikslo funkciją, jos koeficientas =0.

Pagal Sovetovo ir Jakovlevo vadovėlį: „modelis (lot. modulis – matas) yra originalaus objekto pakaitalas, užtikrinantis kai kurių originalo savybių tyrimą“. (p. 6) „Vieno objekto pakeitimas kitu, siekiant gauti informacijos apie svarbiausias pirminio objekto savybes naudojant modelio objektą, vadinamas modeliavimu“. (p. 6) „Matematiniu modeliavimu suprantame duoto realaus objekto atitikimo nustatymo procesą su tam tikru matematiniu objektu, vadinamu matematiniu modeliu, ir šio modelio tyrimą, leidžiantį gauti tikrojo charakteristikas. nagrinėjamas objektas. Matematinio modelio tipas priklauso ir nuo realaus objekto prigimties, ir nuo objekto tyrimo užduočių bei reikalingo šios problemos sprendimo patikimumo ir tikslumo.

Galiausiai glausčiausias matematinio modelio apibrėžimas: „Idėją išreiškianti lygtis."

Modelių klasifikacija

Formali modelių klasifikacija

Formali modelių klasifikacija grindžiama naudojamų matematinių priemonių klasifikacija. Dažnai konstruojami dichotomijų pavidalu. Pavyzdžiui, vienas iš populiariausių dichotomijų rinkinių:

ir taip toliau. Kiekvienas sukonstruotas modelis yra tiesinis arba netiesinis, deterministinis arba stochastinis,... Natūralu, kad galimi ir mišrūs tipai: koncentruoti vienu požiūriu (parametrų atžvilgiu), paskirstyti modeliai kitu ir t.t.

Klasifikacija pagal objekto vaizdavimo būdą

Kartu su formalia klasifikacija modeliai skiriasi tuo, kaip jie vaizduoja objektą:

• Struktūriniai arba funkciniai modeliai

Struktūriniai modeliai vaizduoja objektą kaip sistemą, turinčią savo struktūrą ir veikimo mechanizmą. Funkciniai modeliai nenaudoja tokių reprezentacijų ir atspindi tik išoriškai suvokiamą objekto elgesį (funkciją). Savo kraštutiniu požiūriu jie taip pat vadinami „juodosios dėžės“ modeliais.

Turinys ir formalūs modeliai

Beveik visi matematinio modeliavimo procesą aprašantys autoriai nurodo, kad pirmiausia sukuriama ypatinga ideali struktūra, turinio modelis. Čia nėra nusistovėjusios terminijos, o kiti autoriai šį idealų objektą vadina konceptualus modelis , spekuliacinis modelis arba premodelis. Šiuo atveju vadinama galutinė matematinė konstrukcija formalus modelis arba tiesiog matematinis modelis, gautas formalizavus duotą prasmingą modelį (pre-modelis). Prasmingo modelio konstravimas gali būti atliktas naudojant paruoštų idealizacijų rinkinį, kaip ir mechanikoje, kur idealios spyruoklės, standūs korpusai, idealios švytuoklės, elastingos terpės ir kt. konstrukciniai elementai prasmingam modeliavimui. Tačiau žinių srityse, kuriose nėra iki galo užbaigtų formalizuotų teorijų (fizikos, biologijos, ekonomikos, sociologijos, psichologijos ir daugumos kitų sričių pažangiausiose srityse), prasmingų modelių kūrimas tampa labai sunkesnis.

Modelių turinio klasifikacija

Jokia hipotezė moksle negali būti įrodyta kartą ir visiems laikams. Richardas Feynmanas tai labai aiškiai suformulavo:

„Mes visada turime galimybę paneigti teoriją, tačiau atkreipkite dėmesį, kad niekada negalime įrodyti, kad ji teisinga. Tarkime, kad iškėlėte sėkmingą hipotezę, apskaičiavote, kur ji veda, ir nustatėte, kad visos jos pasekmės patvirtinamos eksperimentiškai. Ar tai reiškia, kad jūsų teorija yra teisinga? Ne, tai tiesiog reiškia, kad jums nepavyko to paneigti.

Jei pastatytas pirmojo tipo modelis, tai reiškia, kad jis laikinai pripažįstamas tiesa ir galima susikoncentruoti ties kitomis problemomis. Tačiau tai negali būti tyrimo taškas, o tik laikina pauzė: pirmojo tipo modelio statusas gali būti tik laikinas.

2 tipas: Fenomenologinis modelis (elgiamės tarsi…)

Fenomenologinis modelis turi reiškinio apibūdinimo mechanizmą. Tačiau šis mechanizmas nėra pakankamai įtikinamas, negali būti pakankamai patvirtintas turimais duomenimis arba nelabai dera su esamomis teorijomis ir sukauptomis žiniomis apie objektą. Todėl fenomenologiniai modeliai turi laikinų sprendimų statusą. Manoma, kad atsakymas vis dar nežinomas ir reikia tęsti „tikrųjų mechanizmų“ paieškas. Peierls apima, pavyzdžiui, kalorijų modelį ir elementariųjų dalelių kvarko modelį kaip antrąjį tipą.

Modelio vaidmuo tyrime laikui bėgant gali keistis, gali atsitikti taip, kad nauji duomenys ir teorijos patvirtina fenomenologinius modelius ir jie tampa hipotezės statusu. Taip pat naujos žinios pamažu gali konfliktuoti su pirmojo tipo modeliais-hipotezėmis ir gali būti paverčiamos antruoju. Taigi kvarko modelis palaipsniui tampa hipoteze; atomizmas fizikoje atsirado kaip laikinas sprendimas, tačiau istorijos eigoje jis tapo pirmuoju tipu. Tačiau eterio modeliai perėjo iš 1 tipo į 2 tipą ir dabar yra už mokslo ribų.

Supaprastinimo idėja yra labai populiari kuriant modelius. Tačiau supaprastinimas būna įvairių formų. Peierlsas nustato trijų tipų modeliavimo supaprastinimus.

3 tipas: Aproksimacija (laikome ką nors labai didelio arba labai mažo)

Jeigu įmanoma sukonstruoti lygtis, apibūdinančias tiriamą sistemą, tai dar nereiškia, kad jas galima išspręsti net ir kompiuterio pagalba. Šiuo atveju įprastas metodas yra aproksimacijų naudojimas (3 tipo modeliai). Tarp jų tiesinio atsako modeliai. Lygtys pakeičiamos tiesinėmis. Standartinis pavyzdys yra Ohmo dėsnis.

Čia ateina 8 tipas, plačiai paplitęs biologinių sistemų matematiniuose modeliuose.

8 tipas: Funkcijų demonstravimas (svarbiausia parodyti vidinį galimybės nuoseklumą)

Tai taip pat yra minties eksperimentai su įsivaizduojamomis esybėmis, parodantys tai tariamas reiškinys atitinka pagrindiniai principai ir viduje nuoseklus. Tai yra pagrindinis skirtumas nuo 7 tipo modelių, kurie atskleidžia paslėptus prieštaravimus.

Vienas žinomiausių šių eksperimentų yra Lobačevskio geometrija (Lobačevskis ją pavadino „įsivaizduojama geometrija“). Kitas pavyzdys – masinė formaliai kinetinių cheminių ir biologinių virpesių modelių, autobangų ir kt. gamyba. Einšteino-Podolskio-Roseno paradoksas buvo sumanytas kaip 7 tipo modelis, siekiant parodyti kvantinės mechanikos nenuoseklumą. Visiškai neplanuotai jis galiausiai virto 8 tipo modeliu – informacijos kvantinės teleportacijos galimybės demonstravimu.

Pavyzdys

Pasvarstykime mechaninė sistema, susidedantis iš viename gale pritvirtintos spyruoklės ir masės m pritvirtintas prie laisvojo spyruoklės galo. Darysime prielaidą, kad apkrova gali judėti tik spyruoklės ašies kryptimi (pavyzdžiui, judėjimas vyksta išilgai strypo). Sukurkime matematinį šios sistemos modelį. Sistemos būseną apibūdinsime atstumu x nuo krovinio centro iki pusiausvyros padėties. Apibūdinkime spyruoklės ir apkrovos sąveiką Huko dėsnis (F = − kx ) ir tada naudokite antrąjį Niutono dėsnį, kad išreikštumėte jį diferencialinės lygties forma:

kur reiškia antrąjį vedinį x pagal laiką: .

Gauta lygtis apibūdina matematinį nagrinėjamojo modelį fizinę sistemą. Šis modelis vadinamas „harmoniniu osciliatoriumi“.

Pagal formalią klasifikaciją, šis modelis yra tiesinis, deterministinis, dinamiškas, koncentruotas, tęstinis. Jo kūrimo procese padarėme daug prielaidų (apie išorinių jėgų nebuvimą, trinties nebuvimą, nuokrypių mažumą ir pan.), kurių realybėje gali ir nepavykti.

Kalbant apie realybę, tai dažniausiai yra 4 tipo modelis supaprastinimas(„aiškumo dėlei praleisime kai kurias detales“), nes kai kurie esminiai universalūs bruožai (pavyzdžiui, išsklaidymas) yra praleisti. Apytiksliai (tarkim, nors apkrovos nuokrypis nuo pusiausvyros yra mažas, su maža trintimi, ne per ilgai ir esant tam tikroms kitoms sąlygoms), toks modelis gana gerai apibūdina tikrą mechaninę sistemą, nes atmesti veiksniai nežymus poveikis jo elgesiui. Tačiau modelis gali būti patobulintas, atsižvelgiant į kai kuriuos iš šių veiksnių. Taip bus sukurtas naujas modelis, kurio taikymo sritis bus platesnė (nors ir vėl ribota).

Tačiau tobulinant modelį jo matematinio tyrimo sudėtingumas gali gerokai padidėti ir modelis gali tapti praktiškai nenaudingas. Dažnai paprastesnis modelis leidžia geriau ir giliau ištirti realią sistemą nei sudėtingesnis (ir formaliai „teisingesnis“).

Jei pritaikysime modelį harmoninis osciliatorius objektams, nutolusiems nuo fizikos, jo esminis statusas gali skirtis. Pavyzdžiui, taikant šį modelį biologinės populiacijos, jis greičiausiai turėtų būti priskirtas 6 tipui analogija(„atsižvelgkime tik į kai kurias savybes“).

Kieti ir minkšti modeliai

Harmoninis osciliatorius yra vadinamojo „kietojo“ modelio pavyzdys. Jis gaunamas stipriai idealizuojant realią fizinę sistemą. Norint išspręsti jo taikymo klausimą, būtina suprasti, kokie reikšmingi yra veiksniai, kurių nepaisėme. Kitaip tariant, reikia ištirti „minkštąjį“ modelį, kuris gaunamas nedideliu „kietojo“ trikdymu. Galima nustatyti pvz. sekančią lygtį:

Čia yra tam tikra funkcija, kuri gali atsižvelgti į trinties jėgą arba spyruoklės standumo koeficiento priklausomybę nuo jos tempimo laipsnio – koks nors mažas parametras. Aiškios funkcijos forma fŠiuo metu mums neįdomu. Jei įrodysime, kad minkštojo modelio elgsena iš esmės nesiskiria nuo kietojo (nepriklausomai nuo aiškaus trikdančių veiksnių tipo, jei jie yra pakankamai maži), problema bus sumažinta iki kietojo modelio tyrimo. Priešingu atveju reikės taikyti rezultatus, gautus tiriant standųjį modelį papildomų tyrimų. Pavyzdžiui, harmoninio osciliatoriaus lygties sprendimas yra formos funkcijos, tai yra pastovios amplitudės virpesiai. Ar iš to išplaukia, kad tikrasis osciliatorius svyruos neribotą laiką pastovia amplitude? Ne, nes atsižvelgiant į sistemą su savavališkai maža trintimi (visada esanti tikroje sistemoje), gauname slopintus svyravimus. Kokybiškai pasikeitė sistemos elgsena.

Jei sistema išlaiko savo kokybinį elgesį esant nedideliems trikdžiams, sakoma, kad ji yra struktūriškai stabili. Harmoninis osciliatorius yra struktūriškai nestabilios (nešiurkščios) sistemos pavyzdys. Tačiau šis modelis gali būti naudojamas tiriant procesus ribotą laiką.

Modelių universalumas

Svarbiausi matematiniai modeliai paprastai turi svarbią savybę universalumas: iš esmės skiriasi tikri reiškiniai galima apibūdinti tuo pačiu matematiniu modeliu. Pavyzdžiui, harmoninis osciliatorius apibūdina ne tik spyruoklės apkrovos elgesį, bet ir kitus svyravimo procesus, dažnai visai kitokio pobūdžio: mažus švytuoklės svyravimus, skysčio lygio svyravimus U- formos indas arba srovės stiprumo pokytis virpesių grandinė. Taigi, tirdami vieną matematinį modelį, iš karto tiriame visą jo aprašomų reiškinių klasę. Būtent šis dėsnių izomorfizmas, išreikštas matematiniais modeliais įvairiuose segmentuose mokslo žinių, įkvėpimas Ludwig von Bertalanffy sukurti „Bendrąją sistemų teoriją“.

Tiesioginės ir atvirkštinės matematinio modeliavimo problemos

Yra daug problemų, susijusių su matematiniu modeliavimu. Pirmiausia turite sugalvoti pagrindinę modeliuojamo objekto schemą, atkurti ją šio mokslo idealizacijų rėmuose. Taigi traukinio vagonas virsta plokščių ir sudėtingesnių kėbulų iš skirtingų medžiagų sistema, kiekviena medžiaga nurodoma kaip jos standartinis mechaninis idealizavimas (tankis, tamprumo moduliai, standartinės stiprumo charakteristikos), po to sudaromos lygtys, pakeliui kai kurios. detalės atmetamos kaip nesvarbios , atliekami skaičiavimai, lyginami su matavimais, tobulinamas modelis ir pan. Tačiau norint sukurti matematinio modeliavimo technologijas, naudinga šį procesą išardyti į pagrindinius jo komponentus.

Tradiciškai yra dvi pagrindinės problemų, susijusių su matematiniais modeliais, klasės: tiesioginė ir atvirkštinė.

Tiesioginė užduotis: modelio struktūra ir visi jo parametrai laikomi žinomais, pagrindinė užduotis – atlikti modelio tyrimą, siekiant išgauti naudingų žinių apie objektą. Kokią statinę apkrovą atlaikys tiltas? Kaip jis reaguos į dinamišką apkrovą (pavyzdžiui, į karių kuopos žygį ar į traukinio pravažiavimą skirtingu greičiu), kaip lėktuvas įveiks garso barjerą, ar subyrės nuo plazdėjimo - tai tipiški tiesioginės problemos pavyzdžiai. Norint nustatyti tinkamą tiesioginę problemą (užduoti teisingą klausimą), reikia specialių įgūdžių. Jei nebus užduodami teisingi klausimai, tiltas gali sugriūti, net jei buvo pastatytas geras jo elgesio modelis. Taigi 1879 metais Anglijoje sugriuvo metalinis tiltas per Tay upę, kurio projektuotojai pastatė tilto maketą, apskaičiavo, kad jis turi 20 kartų didesnį naudingosios apkrovos veikimo saugos koeficientą, tačiau nuolat pamiršo apie vėjus. pučia tose vietose. Ir po pusantrų metų sugriuvo.

Paprasčiausiu atveju (pavyzdžiui, viena generatoriaus lygtis) tiesioginė problema yra labai paprasta ir redukuojama iki aiškaus šios lygties sprendimo.

Atvirkštinė problema: žinoma daug galimų modelių, konkretus modelis turi būti parinktas pagal papildomus duomenis apie objektą. Dažniausiai modelio struktūra yra žinoma ir būtina kai kurias nustatyti nežinomi parametrai. Papildomą informaciją gali sudaryti papildomi empiriniai duomenys arba reikalavimai objektui ( dizaino problema). Papildomi duomenys gali būti gaunami nepriklausomai nuo atvirkštinės problemos sprendimo proceso ( pasyvus stebėjimas) arba būti eksperimento, specialiai suplanuoto sprendimo metu ( aktyvus stebėjimas).

Vienas iš pirmųjų meistriško atvirkštinės problemos sprendimo pavyzdžių, panaudojant visapusiškai turimus duomenis, buvo I. Niutono sukurtas metodas trinties jėgoms atstatyti iš stebimų slopintų virpesių.

Papildomi pavyzdžiai

Kur x s- „pusiausvyros“ populiacijos dydis, kai gimstamumą tiksliai kompensuoja mirtingumas. Populiacijos dydis tokiame modelyje linkęs į pusiausvyros vertę x s, ir šis elgesys yra struktūriškai stabilus.

Ši sistema turi pusiausvyros būseną, kai triušių ir lapių skaičius yra pastovus. Nukrypimas nuo šios būsenos sukelia triušių ir lapių skaičiaus svyravimus, panašius į harmoninio osciliatoriaus svyravimus. Kaip ir harmoninio osciliatoriaus atveju, šis elgesys nėra struktūriškai stabilus: nedidelis modelio pakeitimas (pavyzdžiui, atsižvelgiant į ribotus triušiams reikalingus išteklius) gali lemti kokybinius elgesio pokyčius. Pavyzdžiui, pusiausvyros būsena gali tapti stabili, o skaičių svyravimai išnyks. Galima ir priešinga situacija, kai bet koks nedidelis nukrypimas nuo pusiausvyros padėties sukels katastrofiškas pasekmes iki visiško vienos rūšies išnykimo. Volteros-Lotkos modelis neatsako į klausimą, kuris iš šių scenarijų yra realizuojamas: čia reikalingi papildomi tyrimai.

Pastabos

1. „Matematinis tikrovės vaizdavimas“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Apie filosofinius kibernetinio modeliavimo klausimus. M., Žinios, 1964 m.
3. Sovetovas B. Ya., Jakovlevas S. A., Sistemų modeliavimas: Proc. universitetams – 3 leid., pataisyta. ir papildomas - M.: Aukštesnis. mokykla, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskis A. A., Michailovas A. P. Matematinis modeliavimas. Idėjos. Metodai. Pavyzdžiai. . - 2-asis leidimas, pataisytas - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A.D., Matematinių modelių teorijos elementai. - 3 leidimas, red. - M.: KomKniga, 2007. - 192 su ISBN 978-5-484-00953-4
6. Vikižodynas: matematinis modelis
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlynas-Heidelbergas-Niujorkas, 2006. XII+562 p. ISBN 3-540-35885-4
9. „Teorija laikoma tiesine arba netiesine, priklausomai nuo to, koks matematinis aparatas – tiesinis ar netiesinis – ir kokius tiesinius ar netiesinius matematinius modelius ji naudoja. ...neneigiant pastarojo. Šiuolaikinis fizikas, jei jam tektų iš naujo sukurti tokios svarbios esybės, kaip netiesiškumas, apibrėžimą, greičiausiai elgtųsi kitaip ir, pirmenybę teikdamas netiesiškumui, kaip svarbesniam ir labiau paplitusiam iš dviejų priešingybių, tiesiškumą apibrėžtų kaip „netiesiškumą“. netiesiškumas“. Danilovas A., Netiesinės dinamikos paskaitos. Elementarus įvadas. Serija „Sinergija: nuo praeities iki ateities“. 2 leidimas. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. « Dinaminės sistemos, imituojamas baigtinis skaičiusįprastos diferencialinės lygtys vadinamos koncentruotomis arba taškinėmis sistemomis. Jie aprašomi naudojant baigtinių matmenų fazių erdvę ir pasižymi ribotu laisvės laipsnių skaičiumi. Ta pati sistema skirtingomis sąlygomis gali būti laikoma koncentruota arba paskirstyta. Paskirstytų sistemų matematiniai modeliai yra dalinės diferencialinės lygtys, integralinės lygtys arba įprastinės vėlavimo lygtys. Paskirstytos sistemos laisvės laipsnių skaičius yra begalinis, ir tai būtina begalinis skaičius duomenis, kad būtų galima nustatyti jo būklę“. Aniščenka V. S., Dinaminės sistemos, Soroso edukacinis žurnalas, 1997, Nr. 11, p. 77-84.
11. „Priklausomai nuo sistemoje S tiriamų procesų pobūdžio, visus modeliavimo tipus galima skirstyti į deterministinį ir stochastinį, statinį ir dinaminį, diskrečiąjį, tolydųjį ir diskrečiąjį-nepertraukiamąjį. Deterministinis modeliavimas atspindi deterministinius procesus, tai yra procesus, kuriuose daroma prielaida, kad nėra atsitiktinių įtakų; stochastinis modeliavimas rodo tikimybinius procesus ir įvykius. ... Statinis modeliavimas skirtas apibūdinti objekto elgesį bet kuriuo laiko momentu ir dinaminis modeliavimas atspindi objekto elgesį laikui bėgant. Diskretusis modeliavimas naudojamas apibūdinti procesus, kurie laikomi diskretiškais, atitinkamai, nuolatinis modeliavimas leidžia atspindėti nuolatinius procesus sistemose, o diskretusis-nepertraukiamas modeliavimas naudojamas tais atvejais, kai norima pabrėžti tiek diskrečių, tiek nuolatinių procesų buvimą. “ Sovetovas B. Ya., Jakovlevas S. A., Sistemų modeliavimas: Proc. universitetams – 3 leid., pataisyta. ir papildomas - M.: Aukštesnis. mokykla, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. Paprastai matematinis modelis atspindi modeliuojamo objekto struktūrą (įrenginį), šio objekto komponentų savybes ir ryšius, kurie yra esminiai tyrimo tikslams; toks modelis vadinamas struktūriniu. Jei modelis atspindi tik tai, kaip objektas funkcionuoja – pavyzdžiui, kaip jis reaguoja į išorinius poveikius – tada jis vadinamas funkciniu arba, perkeltine prasme, juodąja dėže. Galimi ir kombinuoti modeliai. Myshkis A.D., Matematinių modelių teorijos elementai. - 3 leidimas, red. - M.: KomKniga, 2007. - 192 su ISBN 978-5-484-00953-4
13. „Akivaizdus, ​​bet svarbiausias pradinis matematinio modelio konstravimo ar pasirinkimo etapas – neformaliomis diskusijomis paremtas kuo aiškesnis vaizdas apie modeliuojamą objektą ir jo prasmingo modelio išgryninimas. Šiame etape neturėtumėte gailėti laiko ir pastangų, nuo to labai priklauso viso tyrimo sėkmė. Ne kartą yra buvę, kad reikšmingas darbas, skirtas matematinei problemai spręsti, pasirodė esąs neefektyvus ar net iššvaistytas dėl nepakankamo dėmesio šiai reikalo pusei. Myshkis A.D., Matematinių modelių teorijos elementai. - 3 leidimas, red. - M.: KomKniga, 2007. - 192 su ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Sistemos konceptualaus modelio aprašymas.Šiame sistemos modelio kūrimo etape: a) koncepcinis modelis M aprašomas abstrakčiais terminais ir sąvokomis; b) modelio aprašymas pateikiamas naudojant standartines matematines schemas; c) galutinai priimamos hipotezės ir prielaidos; d) realių procesų aproksimavimo procedūros pasirinkimas konstruojant modelį yra pagrįstas. Sovetovas B. Ya., Jakovlevas S. A., Sistemų modeliavimas: Proc. universitetams – 3 leid., pataisyta. ir papildomas - M.: Aukštesnis. mokykla, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.

Savo gerą darbą pateikti žinių bazei lengva. Naudokite žemiau esančią formą

Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.

Paskelbta http://www.allbest.ru/

1. Pagrindinės matematinio modeliavimo sąvokos

Sprendimas praktines problemas matematiniai metodai nuosekliai vykdomi formuluojant problemą (sukuriant matematinį modelį), pasirenkant gauto matematinio modelio tyrimo metodą ir analizuojant gautą matematinį rezultatą. Matematinė formuluotė problemos dažniausiai vaizduojamos geometrinių vaizdų, funkcijų, lygčių sistemų ir kt. Objekto (reiškinio) aprašymas gali būti vaizduojamas naudojant ištisines arba diskrečiąsias, deterministines arba stochastines ir kitas matematines formas.

Matematinio modeliavimo teorija užtikrina įvairių supančio pasaulio reiškinių atsiradimo dėsningumus arba sistemų ir prietaisų veikimą per juos. matematinis aprašymas ir modeliavimas be pilno masto bandymų. Šiuo atveju naudojamos matematikos nuostatos ir dėsniai, apibūdinantys imituojamus reiškinius, sistemas ar įrenginius tam tikru jų idealizacijos lygmeniu.

Matematinis modelis (MM) yra formalizuotas sistemos (arba operacijos) aprašymas tam tikra abstrakčia kalba, pavyzdžiui, matematinių ryšių rinkinio arba algoritminės diagramos pavidalu, t. y. matematinis aprašymas, suteikiantis modeliavimo sistemos veikimą. sistemos ar prietaisai, kurių lygis yra pakankamai artimas realiai jų veikimui, gautam atliekant visapusišką sistemų ar prietaisų bandymą. Bet kuris MM apibūdina realų objektą, reiškinį ar procesą tam tikru laipsniu priartindamas prie tikrovės. MM tipas priklauso ir nuo realaus objekto pobūdžio, ir nuo tyrimo tikslų.

Socialinių, ekonominių, biologinių ir fizinių reiškinių, objektų, sistemų ir įvairių prietaisų matematinis modeliavimas yra vienas iš esminės priemonėsįvairių sistemų ir prietaisų prigimties ir dizaino išmanymas. Yra žinomi modeliavimo efektyvaus panaudojimo pavyzdžiai kuriant branduolines technologijas, aviacijos ir kosmoso sistemas, prognozuojant atmosferos ir vandenyno reiškinius, orus ir kt.

Tačiau tokios rimtos modeliavimo sritys dažnai reikalauja superkompiuterių ir ilgų didelių mokslininkų komandų darbo, kad paruoštų duomenis modeliavimui ir jo derinimui. Tačiau šiuo atveju matematinis modeliavimas sudėtingos sistemos ir įrenginiai ne tik sutaupo pinigų tyrimams ir bandymams, bet ir gali pašalinti ekologines nelaimes – pavyzdžiui, tai leidžia atsisakyti branduolinės ir termobranduoliniai ginklai matematiniam modeliavimui arba aviacijos ir kosmoso sistemų bandymams prieš jų realius skrydžius.

Tuo tarpu matematinis modeliavimas paprastesnių uždavinių sprendimo lygmeniu, pavyzdžiui, iš mechanikos, elektrotechnikos, elektronikos, radiotechnikos ir daugelio kitų mokslo ir technologijų sričių, tapo prieinamas šiuolaikiniuose asmeniniuose kompiuteriuose. O naudojant apibendrintus modelius, tampa įmanoma imituoti gana sudėtingas sistemas, pavyzdžiui, telekomunikacijų sistemas ir tinklus, radarą ar radijo navigacijos sistemas.

Matematinio modeliavimo tikslas – matematiniais metodais analizuoti realius procesus (gamtoje ar technologijoje). Savo ruožtu tam reikia formalizuoti tiriamą MM procesą. Modelis gali būti matematinė išraiška, kuriame yra kintamųjų, kurių elgesys yra panašus į realios sistemos elgesį. Modelis gali apimti atsitiktinumo elementus, kuriuose atsižvelgiama į tikimybes galimus veiksmus du ar daugiau „žaidėjų“, kaip žaidimo teorijoje; arba gali būti tikrieji tarpusavyje sujungtų operacinės sistemos dalių kintamieji.

Matematinis modeliavimas, skirtas sistemų charakteristikoms tirti, gali būti skirstomas į analitinį, imitacinį ir kombinuotą. Savo ruožtu MM skirstomi į modeliavimo ir analitinius.

2. Matematinių modelių konstravimo ypatumai

Norint panaudoti kompiuterį sprendžiant taikomuosius uždavinius, pirmiausia taikomoji problema turi būti „išversta“ į formalią matematinę kalbą, t.y. Realiam objektui, procesui ar sistemai turi būti sukurtas jo matematinis modelis.

Matematiniai modeliai kiekybine forma, naudojant loginius ir matematinius konstruktus, apibūdina pagrindines objekto, proceso ar sistemos savybes, jo parametrus, vidinius ir išorinius ryšius.

Norėdami sukurti matematinį modelį, jums reikia:

Atidžiai išanalizuoti realų objektą ar procesą;

Pabrėžkite svarbiausias jo savybes ir savybes;

Apibrėžkite kintamuosius, t.y. parametrai, kurių reikšmės turi įtakos pagrindinėms objekto savybėms ir savybėms;

Apibūdinkite pagrindinių objekto, proceso ar sistemos savybių priklausomybę nuo kintamųjų reikšmių naudojant loginius-matematinius ryšius (lygtis, lygybes, nelygybes, logines-matematines konstrukcijas);

Išryškinti vidinius objekto, proceso ar sistemos ryšius naudojant apribojimus, lygtis, lygybes, nelygybes, logines ir matematines konstrukcijas;

Identifikuoti išorinius ryšius ir apibūdinti juos naudojant apribojimus, lygtis, lygybes, nelygybes, logines ir matematines konstrukcijas.

Matematinis modeliavimas, be objekto, proceso ar sistemos tyrimo ir matematinio jo aprašymo, taip pat apima:

Algoritmo, modeliuojančio objekto, proceso ar sistemos elgesį, sukūrimas;

Modelio ir objekto, proceso ar sistemos adekvatumo tikrinimas remiantis skaičiavimo ir pilno masto eksperimentais;

Modelio koregavimas;

Naudojant modelį.

Matematinis tiriamų procesų ir sistemų aprašymas priklauso nuo:

Realaus proceso ar sistemos pobūdis yra sudarytas remiantis fizikos, chemijos, mechanikos, termodinamikos, hidrodinamikos, elektrotechnikos, plastiškumo teorijos, elastingumo teorijos ir kt.

Reikalingas realių procesų ir sistemų tyrimo ir tyrimo patikimumas ir tikslumas.

Matematinio modelio pasirinkimo etape nustatomi: objekto, proceso ar sistemos tiesiškumas ir netiesiškumas, dinamiškumas arba statiškumas, stacionarumas arba nestacionarumas, taip pat tiriamo objekto ar proceso determinizmo laipsnis. Taikant matematinį modeliavimą, sąmoningai abstrahuojama nuo specifinės fizinės objektų, procesų ar sistemų prigimties ir daugiausia dėmesio skiriama kiekybinių dydžių, apibūdinančių šiuos procesus, priklausomybių tyrimui.

Matematinis modelis niekada nėra visiškai identiškas nagrinėjamam objektui, procesui ar sistemai. Remiantis supaprastinimu ir idealizavimu, tai yra apytikslis objekto aprašymas. Todėl modelio analizės rezultatai yra apytiksliai. Jų tikslumą lemia modelio ir objekto adekvatumo (atitikties) laipsnis.

Matematinio modelio konstravimas dažniausiai prasideda paprasčiausio, grubiausio nagrinėjamo objekto, proceso ar sistemos matematinį modelio sukūrimu ir analize. Ateityje, jei reikia, modelis yra tobulinamas ir jo atitikimas objektui yra išsamesnis. Paimkime paprastą pavyzdį. Būtina nustatyti stalo paviršiaus plotą. Paprastai tai atliekama išmatuojant jo ilgį ir plotį, o tada padauginant gautus skaičius. Ši elementari procedūra iš tikrųjų reiškia štai ką: realus objektas (lentelės paviršius) pakeičiamas abstraktiu matematiniu modeliu – stačiakampiu. Stačiakampiui priskiriami matmenys, gauti išmatavus stalo paviršiaus ilgį ir plotį, o tokio stačiakampio plotas apytiksliai imamas reikiamu stalo plotu.

Tačiau stačiakampis stalo modelis yra paprasčiausias ir grubiausias modelis. Jei į problemą žiūrite rimčiau, prieš naudodami stačiakampį modelį lentelės plotui nustatyti, šį modelį reikia patikrinti. Patikra gali būti atliekama taip: išmatuokite ilgį priešingos pusės lentelę, taip pat jos įstrižainių ilgius ir palyginkite juos tarpusavyje. Jei, esant reikiamam tikslumo laipsniui, priešingų kraštinių ir įstrižainių ilgiai poromis yra lygūs, tada lentelės paviršių tikrai galima laikyti stačiakampiu. Priešingu atveju stačiakampis modelis turės būti atmestas ir pakeistas bendru keturkampiu modeliu. Esant didesniam tikslumo reikalavimui, gali tekti dar labiau patobulinti modelį, pavyzdžiui, atsižvelgti į stalo kampų apvalinimą.

Su šiuo paprastas pavyzdys buvo parodyta, kad matematinis modelis nėra vienareikšmiškai nulemtas tiriamo objekto, proceso ar sistemos. Tai pačiai lentelei galime pritaikyti arba stačiakampį, arba sudėtingesnį bendrojo keturkampio modelį, arba keturkampį su užapvalintais kampais. Vieno ar kito modelio pasirinkimą lemia tikslumo reikalavimas. Didėjant tikslumui, modelis turi būti sudėtingas, atsižvelgiant į vis naujas tiriamo objekto, proceso ar sistemos ypatybes.

Panagrinėkime kitą pavyzdį: švaistiklio mechanizmo judėjimo tyrimas (4 pav.).

Norint atlikti šio mechanizmo kinematinę analizę, visų pirma būtina sukurti jo kinematinį modelį. Tam: pakeičiame mechanizmą jo kinematine diagrama, kur visos grandys pakeičiamos standžiomis jungtimis Šia diagrama išvedame mechanizmo judėjimo lygtį, išskiriant greičių ir pagreičio lygtis 1 ir 2 eilės diferencialinės lygtys.

Parašykime šias lygtis:

kur C 0 yra kraštutinė dešinė slankiklio C padėtis:

r- spindulys AB švaistiklis;

l- ilgiošvaistiklis BC;

švaistiklio kampas;

Gautos transcendentinės lygtys yra matematinis plokščio ašinio švaistiklio mechanizmo judėjimo modelis, pagrįstas šiomis supaprastinančiomis prielaidomis: mūsų nedomino struktūrinės formos ir masių, įtrauktų į kūnų mechanizmą, vietą ir visus mechanizmo kūnus pakeitėme tiesiais segmentais. Tiesą sakant, visos mechanizmo jungtys turi masę ir gana sudėtinga forma. Pavyzdžiui, švaistiklis yra sudėtinga surenkama jungtis, kurios forma ir matmenys, be abejo, turės įtakos mechanizmo judėjimui sudarant matematinį atitinkamo mechanizmo judėjimo modelį, mes taip pat neatsižvelgėme atsižvelgti į mechanizme esančių kūnų elastingumą, t.y. visos grandys buvo laikomos abstrakčiais absoliučiai standžiais kūnais. Tiesą sakant, visi kūnai, įtraukti į mechanizmą, yra elastingi kūnai. Mechanizmui judant jie kažkaip deformuojasi, gali net atsirasti elastingų virpesių. Visa tai, žinoma, turės įtakos ir mechanizmo judėjimui, neatsižvelgėme į jungčių gamybos klaidą, kinematinių porų A, B, C tarpus ir kt.

Taigi svarbu dar kartą pabrėžti, kad kuo didesni reikalavimai uždavinio sprendimo rezultatų tikslumui, tuo didesnis poreikis konstruojant matematinį modelį atsižvelgti į tiriamo objekto, proceso ar sistemos ypatybes. Tačiau čia svarbu sustoti laiku, nes sudėtingas matematinis modelis gali virsti sunkiai išsprendžiama problema.

Modelį lengviausia sudaryti, kai gerai žinomi dėsniai, lemiantys objekto, proceso ar sistemos elgesį ir savybes, ir yra didelis praktinės patirties jų programos.Daugiau sunki situacija atsiranda, kai mūsų žinios apie tiriamą objektą, procesą ar sistemą yra nepakankamos. Šiuo atveju, konstruojant matematinį modelį, reikia daryti papildomas prielaidas, kurios yra hipotezių prigimtyje, toks modelis vadinamas hipotetiniu. Išvados, gautos ištyrus tokį hipotetinį modelį, yra sąlyginės. Norint patikrinti išvadas, reikia palyginti modelio tyrimo kompiuteriu rezultatus su pilno masto eksperimento rezultatais. Taigi klausimas dėl tam tikro matematinio modelio pritaikymo nagrinėjamam objektui, procesui ar sistemai tirti nėra matematinis klausimas ir negali būti sprendžiamas matematiniais metodais.

Pagrindinis tiesos kriterijus – eksperimentas, praktika savaime. plačiąja prasmešis žodis.

Matematinio modelio konstravimas taikomuosiuose uždaviniuose yra vienas sudėtingiausių ir svarbiausių darbo etapų. Patirtis rodo, kad daugeliu atvejų tinkamo modelio pasirinkimas reiškia, kad problema bus išspręsta daugiau nei per pusę. Šio etapo sunkumas yra tas, kad jam reikia matematinių ir specialių žinių derinio. Todėl labai svarbu, kad matematikai, spręsdami taikomuosius uždavinius, turėtų specialių žinių apie objektą, o jų partneriai, specialistai – tam tikrą matematinę kultūrą, savo srities tyrimų patirtį, kompiuterių ir programavimo išmanymą.

3. Apibendrintas matematinis modelis

Matematinis modelis apibūdina ryšį tarp pradinių duomenų ir norimų dydžių Apibendrinto matematinio modelio elementai (1 pav.):

· įvesties duomenų (kintamųjų) rinkinys X,Y; X yra kintamųjų kintamųjų rinkinys; Y – nepriklausomi kintamieji (konstantos);

· matematinis operatorius L, kuris apibrėžia operacijas su šiais duomenimis; turint omenyje visą sistemą matematines operacijas, apibūdinantys skaitinius arba loginius ryšius tarp įvesties ir išvesties duomenų rinkinių (kintamųjų);

· išvesties duomenų (kintamųjų) rinkinys G(X,Y); yra kriterinių funkcijų rinkinys, įskaitant (jei reikia) tikslinę funkciją.

Matematinis modelis yra matematinis projektuojamo objekto analogas. Jo tinkamumo objektui laipsnį lemia projektavimo problemos sprendimų formulavimas ir teisingumas.

Įvairių parametrų (kintamųjų) rinkinys X sudaro kintamų parametrų erdvę R x (paieškos erdvę), kuri yra metrika, kurios matmuo n, lygus skaičiui kintamieji parametrai.

Nepriklausomų kintamųjų Y aibė sudaro įvesties duomenų R y metrinę erdvę. Tuo atveju, kai kiekvienas erdvės R y komponentas yra nurodytas diapazonu galimas vertes, nepriklausomų kintamųjų rinkinys susietas su tam tikra ribota erdvės R y poerdve.

Nepriklausomų kintamųjų Y aibė lemia objekto veikimo aplinką, t.y. išorinės sąlygos, kuriomis suprojektuotas objektas veiks:

Objekto techniniai parametrai, kurie projektavimo metu negali keistis;

Fiziniai aplinkos, su kuria sąveikauja dizaino objektas, trikdžiai;

Taktiniai parametrai, kuriuos turi pasiekti projektavimo objektas.

Nagrinėjamo apibendrinto modelio išvesties duomenys sudaro metrinę kriterijų rodiklių R G erdvę.

Matematinio modelio panaudojimo kompiuterinio projektavimo sistemoje schema parodyta 2 pav.

4. Reikalavimai Į matematinės modeliai

matematinio modelio uždavinio rezultatas

Pagrindiniai MO reikalavimai yra adekvatumo, tikslumo ir efektyvumo reikalavimai.

1. Adekvatumas – galimybė parodyti nurodytas objekto savybes su ne didesne nei nurodyta paklaida.

2. Tikslumas – vertinamas pagal realaus objekto parametrų verčių ir matematiniais modeliais apskaičiuotų verčių sutapimo laipsnį.

3. Universalumas – apibūdina realaus objekto savybių vaizdavimo modelyje išsamumą.

4. Ekonomiškumas – dažniausiai pasižymi būtinomis kompiuterio atminties ir laiko sąnaudomis. Kartais jis įvertinamas pagal operacijų skaičių, reikalingą vienai prieigai prie modelio.

Viena vertus, universalumo, tikslumo, adekvatumo ir, kita vertus, efektyvumo reikalavimai yra prieštaringi. Tai lemia daugybės modelių, besiskiriančių tam tikromis savybėmis, veikimą.

5. Matematinio modelio gavimo metodai

1. Objekto savybių, kurios turi atsispindėti modelyje, pasirinkimas. Pasirinkimas grindžiamas galimų modelio pritaikymų analize ir lemia MM universalumo laipsnį.

2. Pradinės informacijos apie pasirinktas objekto savybes rinkimas. Informacijos šaltiniai gali būti: modelį kuriančio inžinieriaus patirtis ir žinios; mokslinė ir techninė literatūra, pirmiausia informacinė literatūra; prototipų aprašymai – turimi MM elementams, kurie savo savybėmis yra panašūs į tiriamą objektą; eksperimentinio parametrų matavimo rezultatai ir kt.

3. MM struktūros sintezė. MM struktūra -- bendras vaizdas matematiniai modelio ryšiai be specifikacijos skaitinės reikšmės juose pasirodančius parametrus. Modelio struktūra gali būti pateikta ir grafine forma, pavyzdžiui, lygiavertės diagramos ar grafiko pavidalu. Struktūrų sintezė yra pati svarbiausia ir sunkiausiai įforminama operacija.

4. MM parametrų skaitinių verčių apskaičiavimas. Ši problema keliama kaip tam tikros struktūros modelio paklaidos sumažinimo problema.

5. MM tikslumo ir adekvatumo įvertinimas. Norint įvertinti tikslumą, reikia naudoti vertes, kurios nebuvo naudojamos sprendžiant problemą.

6. Funkcinio MM diegimas kompiuteryje reiškia lygčių sprendimo skaitinio metodo pasirinkimą ir lygčių transformaciją pagal pasirinkto metodo ypatybes. Galutinis transformacijų tikslas yra gauti veikiančią analizės programą elementarių veiksmų (aritmetinių ir loginės operacijos), įgyvendinama kompiuterio komandomis. Nurodytas originalaus MM transformacijas į elementarių veiksmų seką kompiuteris atlieka automatiškai, naudodamas specialias inžinieriaus – CAD kūrėjo sukurtas programas. CAD vartotojo inžinieriui tereikia nurodyti, kurią iš galimų programų jis nori naudoti. MM transformacijų, susijusių su įvairiais hierarchiniais lygiais, procesas pavaizduotas 3 pav.

3 pav. PDE matematinių modelių transformacijos procesas – dalinės diferencialinės lygtys; ODE -- įprastos diferencialinės lygtys; AU – algebrinės lygtys; LEA -- tiesinės algebrinės lygtys; 1...12 -- abipusiai nukreipti kintamųjų diskretizacijos būdai MM

7. Vartotojo inžinierius nustato pradinę informaciją apie analizuojamą objektą ir apie atliekamas projektavimo procedūras jam patogia programinės įrangos paketo kalba, orientuota į problemą. 1 atšaka 5.1 paveiksle atitinka problemos, susijusios su mikro lygiu kaip ribine problema, formulavimą, dažniausiai PDE forma. Skaitiniai PDE sprendimo metodai yra pagrįsti kintamųjų diskretizavimu ir problemos algebrazavimu.

Diskretizavimas apima nuolatinių kintamųjų pakeitimą baigtinis rinkinys jų reikšmės tyrimui nurodytais erdviniais ir laiko intervalais; algebrazavimas – pakeičiant išvestines algebriniais santykiais.

6. Matematinių modelių naudojimas

Šiuolaikinių kompiuterių skaičiavimo galia kartu su visų sistemos resursų suteikimu vartotojui, interaktyvaus režimo galimybe sprendžiant problemą ir analizuojant rezultatus, leidžia iki minimumo sumažinti laiką, reikalingą problemai išspręsti.

Sudarydamas matematinį modelį, tyrėjas privalo:

· ištirti tiriamo objekto savybes;

· gebėjimas atskirti pagrindines daikto savybes nuo antrinių;

· įvertinti padarytas prielaidas.

Modelis apibūdina ryšį tarp pradinių duomenų ir norimų dydžių. Veiksmų, kuriuos reikia atlikti norint pereiti nuo pradinių duomenų prie norimų reikšmių, seka vadinama algoritmu.

Problemos sprendimo algoritmas siejamas su skaitinio metodo pasirinkimu. Priklausomai nuo matematinio modelio vaizdavimo formos (algebrinė ar diferencialinė forma), naudojami įvairūs skaitiniai metodai.

Paskelbta Allbest.ru

Panašūs dokumentai

Pagrindinės matematinio modeliavimo sampratos, gamybos planavimo uždavinių ir transporto problemų modelių kūrimo etapų charakteristikos; analitinis ir programinis požiūris į jų sprendimą. Simplex metodas linijinio programavimo uždaviniams spręsti.

kursinis darbas, pridėtas 2011-12-11


MathCAD sistemos taikymas sprendžiant taikomąsias techninio pobūdžio problemas. Pagrindinės matematinio modeliavimo priemonės. Diferencialinių lygčių sprendimas. MathCad sistemos naudojimas elektros grandinių matematiniams modeliams įgyvendinti.

kursinis darbas, pridėtas 2016-11-17


„Diferencialinės lygties“ sąvokos esmė. Pagrindiniai matematinio modeliavimo etapai. Problemos, vedančios į diferencialinių lygčių sprendimą. Paieškos problemų sprendimas. Švytuoklinių laikrodžių tikslumas. Rutulio judėjimo dėsnio nustatymo uždavinio sprendimas.

kursinis darbas, pridėtas 2013-12-06


Aktualios matematinio modeliavimo problemos biologijoje tyrimas. Modifikuoto Lotka-Volterra modelio plėšrūnų konkurencijos dėl grobio tyrimas. Pradinės sistemos linearizavimas. Netiesinių diferencialinių lygčių sistemos sprendimas.

testas, pridėtas 2016-04-20


Pagrindinės matematinio modeliavimo teorijos nuostatos. Matematinio modelio struktūra. Tiesinės ir netiesinės deformacijos procesai kietose medžiagose. Sudėtingos konfigūracijos krūvos matematinio modelio tyrimo taikant baigtinių elementų metodą metodika.

kursinis darbas, pridėtas 2014-01-21


Matematinio tiesinio ir netiesinio programavimo uždavinių samprata ir tipai. Dinaminis programavimas, problemų sprendimas naudojant Excel skaičiuoklę. Dinaminės programavimo problemos renkantis optimalų investicijų paskirstymą.

kursinis darbas, pridėtas 2010-05-21


Matematikos pasirenkamųjų užsiėmimų bendroji charakteristika, pagrindinės įgyvendinimo formos ir būdai. Pasirenkamojo kurso kalendorinio-teminio plano sudarymas