Tiesioginė Furjė transformacija. Furjė transformacija

Panagrinėkime pagrindines Furjė transformacijos savybes.

Tiesiškumas. Pažvelkime į funkcijas ir
, turintis spektrus
Ir
:

(12)

Tada jų linijinio derinio spektras bus toks:

Laiko delsimas. Darome prielaidą, kad spektras žinomas
signalas

(14)

Apskaičiuokime laiko poslinkio signalo spektrą:
. Funkcijos argumentą pažymėkime kaip naują kintamąjį
, Tada
Ir

Supratome, kad signalas kurį laiką vėlavo veda prie spektro padauginimo iš
.

Mastelio keitimas. Darome prielaidą, kad spektras žinomas
signalas
kaip per
išreiškiamas signalo spektras
. Įveskite naują kintamąjį
, pakeičiame integracijos kintamasis
.

(16)

Padauginus iš
. Kaip ir ankstesniu atveju, darome prielaidą, kad spektras yra žinomas
signalas
. Raskime šio signalo spektrą, padaugintą iš
.

Taigi signalą padauginus iš
veda prie spektro poslinkio .

Išvestinis spektras. IN šiuo atveju Svarbiausias dalykas yra absoliutus funkcijos integravimas. Iš to, kad funkcijos modulio integralas turi būti ribojamas, išplaukia, kad begalybėje funkcija turi būti linkusi į nulį. Funkcijos išvestinės integralas imamas dalimis, gaunami neintegralo nariai lygūs nuliui, nes begalybėje funkcija linkusi į nulį.

(18)

Integralo spektras. Raskime signalo spektrą
. Be to, manysime, kad
ty signalas neturi pastovaus komponento. Šis reikalavimas būtinas, kad neintegralo nariai būtų lygūs nuliui, kai integralas paimamas dalimis.

(19)

Konvoliucijos teorema. Yra žinoma, kad
Ir
funkcijų spektrai
Ir
atitinkamai. Būtina išreikšti konvoliucijos spektrą
per
Ir
. Norėdami tai padaryti, vienos iš funkcijų Furjė integrale pakeičiame jį kintamuoju
, tada pakaitalą galima atlikti eksponente
. Dėl tokio pakeitimo bus dvigubas integralas lygus produktui du Furjė integralai.

(20)

Dviejų signalų konvoliucijos Furjė transformacija duoda šių signalų spektrų sandaugą.

Signalų kūrimas. Yra žinoma, kad
Ir
– funkcijų spektrai
Ir
atitinkamai. Būtina išreikšti gaminio spektrą
per spektrus
Ir
. Pavyzdžiui, pakeiskime Furjė integralą, o ne vieną iš signalų
, jo išraiška per atvirkštinę Furjė transformaciją, tada pakeičiame integravimo tvarką.

(21)

Signalų sandauginis spektras yra šių signalų spektrų konvoliucija.

Diskretaus signalo spektras

Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas atskiriems signalams, nes tai yra signalai, naudojami skaitmeniniam apdorojimui. Diskretus signalas, skirtingai nei nuolatinis signalas, yra skaičių seka, atitinkanti reikšmes nuolatinis signalas tam tikrais laiko momentais. Paprastai atskiras signalas gali būti laikomas nuolatiniu signalu, kuris tam tikru metu įgauna tam tikras reikšmes, o likusį laiką yra lygus nuliui. Taigi, pavyzdžiui, diskretiškas
signalas gali būti nurodytas kaip nuolatinio signalo sandauga
į periodiškai pasikartojančių stačiakampių impulsų seką
– laiko impulsai (1 pav.).

Ryžiai. 1. Signalo atranka.

(22)

Stačiakampiai impulsai turi trukmę , pasikartojimo laikotarpis :

(23)

Impulso amplitudė parenkama taip, kad impulso integralas per laikotarpį būtų lygus . Šiuo atveju laiko impulsai yra be matmenų. Išplėskime tokių impulsų seką į trigonometrinę eilutę:

(24)

Norėdami gauti momentinių signalų pavyzdžius
, būtina nukreipti impulso trukmę į nulį:
. Tokį laiko signalą vadinsime idealiu. Šiuo atveju plėtimosi koeficientai
Furjė serijoje visi bus lygūs 1.

(25)

Furjė serijos funkcijos išplėtimas turi lygiai tokią pačią formą:

(26)

Laiko signalo plėtimosi į trigonometrines eilutes koeficientai
:

(27)

Tada atskiras signalas atrodys taip:

Skaičiuodami diskrečiojo signalo Furjė transformaciją, sukeičiame sumavimo ir integravimo operacijas, o tada naudojame savybę δ - funkcijos:

Diskretaus signalo spektras yra periodinė funkcija. Panagrinėkime eksponentą atskirame termine
kaip dažnio funkcija. Jo pasikartojimo laikotarpis yra . Dauguma ilgas laikotarpis terminų pasikartojimai su skaičiais
, ir tai atitinkamai bus viso spektro pasikartojimo periodas. Tai yra spektras diskretiškas signalas turi pasikartojimo periodą, lygus dažniui kvantavimas
.

Surengkime kitą pasirodymą
. Dėl to,
yra funkcijų produktas
Ir
, diskretinio signalo spektras
apskaičiuojamas kaip nuolatinio signalo spektrų konvoliucija
ir laiko signalo spektras
.

(30)

Paskaičiuokime
, naudojant (25). Nes
periodinė funkcija, jos spektras yra diskretus.

Taigi, konvoliucija (30)

Iš (32) išraiškos matyti, kad diskrečiojo signalo spektras yra periodiškai pasikartojanti funkcija
.

Pats faktas, kad dėl atrankos atsiranda kokybiniai signalo spektro pokyčiai, rodo, kad pradinis signalas gali būti iškraipytas, nes jį visiškai lemia jo spektras. Tačiau, kita vertus, periodiškas to paties spektro kartojimas savaime nieko naujo į spektrą neįveda, todėl tam tikromis sąlygomis, žinant signalo reikšmes atskirais laiko momentais, galima rasti kokią reikšmę. šis signalas užėmė bet kuriuo kitu laiko momentu, ty gauti pradinį nuolatinį signalą. Tai yra Kotelnikovo teoremos prasmė, kuri nustato sąlygą kvantavimo dažniui pasirinkti pagal maksimalų dažnį signalo spektre.

Jei ši sąlyga pažeidžiama, po to, kai signalas suskaitmeninamas, periodiškai pasikartojantis spektras bus uždėtas (2 pav.). Gautas spektras atitiks kitą signalą.

Ryžiai. 2. Spektrinis persidengimas.

Šios transformacijos yra funkcinės, nes paverčia tam tikrą kintamojo funkciją į visiškai kitokią kintamojo funkciją ir atvirkščiai.

Furjė transformacijos turi tokią formą:

Integralinė lygtis (4.34) vadinama tiesiogine, o lygtis (4.35) – atvirkštine Furjė transformacija. Sutrumpinta šių lygčių rašymo forma

Furjė integralas ( tiesioginis konvertavimas Furjė) leidžia mums plėstis ne periodinė funkcija turintis savybę absoliučiai integruoti tam tikrose ribose, į begalinę harmonikų seką, sudarantį ištisinį dažnių spektrą diapazone nuo iki su be galo mažu dažnių intervalu tarp gretimų harmonikų (t. y. riboje).

Furjė transformacijos metodas netinka nulinėms pradinėms (arba ribinėms) sąlygoms. Šis metodas gali būti naudojamas tik tada, kai ieškomos funkcijos turi Furjė vaizdą, ty absoliučiai integruojamoms laiko funkcijoms, kurios tenkina nelygybę

Dažniausiai valdymo teorijoje sutinkamos funkcijos yra vieneto žingsnio funkcija (1.44) ir sinusinės funkcijos sandauga vieneto funkcija(1,51). Furjė transformacija netaikoma nė vienai iš šių funkcijų, nes netenkinama sąlyga (4.38).

Šie trūkumai riboja Furjė transformacijos metodo naudojimą.

Norint taikyti Furjė integralą, reikia pasirinkti funkciją, kuri yra pakankamai artima tiriamajai, pavyzdžiui, žingsninei funkcijai galutinės vertės bet kartu tenkinanti sąlyga (4.38). Šią funkciją galima gauti padauginus

žingsnio funkcija, kur c yra gana mažas teigiama vertė. Naujai gauta pagalbinė funkcija

Nukreipę c į nulį ir pereinant prie ribos, galima pereiti nuo pagalbinės funkcijos prie pagrindinės. Be to, jei apsiribosime funkcijomis, identiškai lygus nuliui Be to, didelei funkcijų klasei sąlyga (4.38) bus teisinga ir mes galime rasti dažnių spektras funkcijos naudojant išraišką (4.34). Vietoj to pristatome naują žymėjimą, nes šis kiekis dabar taip pat priklauso nuo c:

Įdėjus surandame

Ši formulė sutampa su tiesiogine Laplaso transformacija (4.9).

Iš to išplaukia, kad Furjė transformacija gali būti laikoma ypatingas atvejis Laplasas transformuojasi.

Aukščiau aprašyti transformacijos metodai leidžia padaryti tokias išvadas:

1) integralinės diferencialinės lygtys pakeičiamos algebrinėmis lygtimis;

2) pašalinama integravimo konstantų nustatymo operacija, nes randant norimo dydžio vaizdą nuo pat pradžių atsižvelgiama į pradines sąlygas;

3) šaknų nustatymo operacija charakteristikos lygtis yra visiškai išsaugotas.

Patogiausias sprendimas praktines problemas yra Laplaso transformacijos metodas. Šiek tiek pakeista forma ji gali būti taikoma tiriant atskiras automatinio valdymo sistemas (žr. 7 skyrių).

Apsvarstykite galimybę išspręsti Laplaso transformacijos metodą diferencialinė lygtis malonus

Transformuokime šią diferencialinę lygtį naudodami tiesioginę Laplaso transformaciją (4.9) ir 1 bei 2 teoremas. algebrinė lygtis, įrašytas vaizdams:

kur yra visų terminų, kuriuose yra pradinės sąlygos, suma.

Iš čia galite rasti reikiamos funkcijos vaizdą

Prie nulio pradines sąlygas(4.41) ir (4.42) išraiškos supaprastintos:

Žinodami norimos funkcijos vaizdą, galite rasti originalą, pavyzdžiui, naudodami vaizdų lenteles.

Jei norimo kiekio vaizdas yra racionalus algebrinė trupmena, tada jie bando tai užrašyti kaip sumą paprastosios trupmenos Su pastovūs koeficientai. Kiekvienos iš šių paprastų trupmenų atvirkštinę konversiją galima gauti iš lentelių, o galutinė originalo išraiška pateikiama kaip atskirų rastų verčių suma. Norėdami nustatyti originalą, taip pat galite naudoti skilimo teoremą.

Jei Laplaso vaizdas yra racionali algebrinė formos trupmena

Šią seriją taip pat galima parašyti taip:

(2),
kur, k-tas kompleksas amplitudė.

Santykis tarp koeficientų (1) ir (3) išreiškiamas tokiomis formulėmis:

Atkreipkite dėmesį, kad visi šie trys Furjė serijos atvaizdai yra visiškai lygiaverčiai. Kartais dirbant su Furjė serijomis patogiau vietoj sinusų ir kosinusų naudoti įsivaizduojamo argumento eksponentus, tai yra naudoti Furjė transformaciją sudėtinga forma. Bet mums patogu naudoti formulę (1), kur Furjė eilutė pateikiama kaip kosinusų suma su atitinkamomis amplitudėmis ir fazėmis. Bet kuriuo atveju neteisinga sakyti, kad tikrojo signalo Furjė transformacija sukels sudėtingas harmonines amplitudes. Kaip Wiki teisingai sako: „Furjė transformacija (?) yra operacija, susiejanti vieną tikrojo kintamojo funkciją su kita funkcija, taip pat tikru kintamuoju“.

Iš viso:
Matematinis pagrindas spektrinė analizė signalai yra Furjė transformacija.

Furjė transformacija leidžia mums reprezentuoti nuolatinė funkcija f(x) (signalas), apibrėžtas intervale (0, T) kaip suma begalinis skaičius(begalinė serija) trigonometrinių funkcijų (sinuso ir (arba) kosinuso) su tam tikromis amplitudėmis ir fazėmis, taip pat atsižvelgiama į atkarpą (0, T). Tokia serija vadinama Furjė serija.

Pažymėkime dar keletą punktų, kuriuos reikia suprasti teisingas pritaikymas Furjė transformacijos signalų analizei. Jei atsižvelgsime į Furjė eilutes (sinusoidų sumą) visoje X ašyje, pamatysime, kad už segmento (0, T) funkcija Furjė serija periodiškai kartos mūsų funkciją.

Pavyzdžiui, 7 pav. diagramoje pradinė funkcija yra apibrėžta atkarpoje (-T\2, +T\2), o Furjė serija reiškia periodinę funkciją, apibrėžtą visoje x ašyje.

Taip atsitinka todėl, kad patys sinusoidai yra periodinės funkcijos, todėl jų suma bus periodinė.

7 pav. Neperiodinės pradinės funkcijos vaizdavimas Furjė serija

Taigi:

Mūsų pradinė funkcija yra ištisinė, neperiodinė, apibrėžta tam tikrame T ilgio segmente.
Šios funkcijos spektras yra diskretus, tai yra, jis pateikiamas kaip begalinė harmoninių komponentų serija - Furjė serija.
Tiesą sakant, Furjė eilutė apibrėžia tam tikrą periodinę funkciją, kuri sutampa su mūsų atkarpoje (0, T), tačiau mums šis periodiškumas nėra reikšmingas.

Harmoninių komponentų periodai yra atkarpos (0, T), kurioje apibrėžta pradinė funkcija f(x), reikšmės kartotiniai. Kitaip tariant, harmoniniai periodai yra signalo matavimo trukmės kartotiniai. Pavyzdžiui, Furjė serijos pirmosios harmonikos periodas yra lygus intervalui T, kuriame apibrėžiama funkcija f(x). Furjė serijos antrosios harmonikos periodas lygus intervalui T/2. Ir taip toliau (žr. 8 pav.).

8 pav. Furjė serijos harmoninių komponentų periodai (dažniai) (čia T = 2?)

Atitinkamai harmoninių komponentų dažniai yra 1/T kartotiniai. Tai yra, harmoninių komponentų Fk dažniai lygūs Fk = k\T, kur k svyruoja nuo 0 iki?, pavyzdžiui, k = 0 F0 = 0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (esant nuliniam dažniui – pastovi dedamoji).

Tegul mūsų pradinė funkcija yra signalas, įrašytas per T=1 sek. Tada pirmosios harmonikos periodas bus lygus mūsų signalo trukmei T1=T=1 sek, o harmonikos dažnis bus 1 Hz. Antrosios harmonikos periodas bus lygus signalo trukmei, padalytai iš 2 (T2=T/2=0,5 sek), o dažnis bus 2 Hz. Trečiajai harmonikai T3=T/3 sek, o dažnis 3 Hz. Ir taip toliau.

Žingsnis tarp harmonikų šiuo atveju yra 1 Hz.

Taigi signalas, kurio trukmė yra 1 sekundė, gali būti išskaidomas į harmoninius komponentus (gaunamas spektras), kurio dažnio skiriamoji geba yra 1 Hz.
Norint padidinti skiriamąją gebą 2 kartus iki 0,5 Hz, matavimo trukmę reikia padidinti 2 kartus – iki 2 sekundžių. Signalas, trunkantis 10 sekundžių, gali būti suskaidytas į harmoninius komponentus (kad būtų gautas spektras), kurių dažnio skiriamoji geba yra 0,1 Hz. Kitų būdų padidinti dažnio skiriamąją gebą nėra.

Yra būdas dirbtinai padidinti signalo trukmę, pridedant nulius į mėginių masyvą. Tačiau tai nepadidina tikrosios dažnio skiriamosios gebos.

3. Diskretieji signalai ir diskretinė Furjė transformacija

Įprasta signalo matavimo ir skaitmeninimo schema yra tokia.

9 pav. Matavimo kanalo schema

Signalas iš matavimo keitiklio į ADC patenka per laikotarpį T. Signalo pavyzdžiai (sampling), gauti per laiką T, perduodami į kompiuterį ir išsaugomi atmintyje.

10 pav. Skaitmeninis signalas – N imčių gauta per laiką T

Kokie reikalavimai keliami signalo skaitmeninimo parametrams? Įrenginys, konvertuojantis įvestį analoginis signalasį atskirą kodą (skaitmeninį signalą) vadinamas analogo-skaitmeninio konverteriu (ADC, angl. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Vienas iš pagrindinių ADC parametrų yra maksimalus diskretizavimo dažnis (arba diskretizavimo dažnis, angl. sample rate) – nepertraukiamo laiko signalo atrankos dažnis jį atimant. Jis matuojamas hercais. ((Wiki))

Pagal Kotelnikovo teoremą, jei nuolatinis signalas turi spektrą, kurį riboja dažnis Fmax, tada jį galima visiškai ir nedviprasmiškai rekonstruoti iš jo atskirų mėginių, paimtų laiko intervalais. , t.y. su dažniu Fd? 2*Fmax, kur Fd yra diskretizavimo dažnis; Fmax – didžiausias signalo spektro dažnis. Kitaip tariant, signalo skaitmeninimo dažnis (ADC diskretizavimo dažnis) turi būti bent 2 kartus didesnis už maksimalų signalo, kurį norime išmatuoti, dažnį.

Kas atsitiks, jei imsime mėginius mažesniu dažniu, nei reikalauja Kotelnikovo teorema?

Tokiu atveju atsiranda „aliasing“ efektas (taip pat žinomas kaip stroboskopinis efektas, muaro efektas), kai aukšto dažnio signalas po skaitmeninimo virsta žemo dažnio signalu, kurio iš tikrųjų nėra. Fig. 5 raudona aukšto dažnio sinusinė banga yra tikras signalas. Mėlyna žemesnio dažnio sinusoidė yra fiktyvus signalas, atsirandantis dėl to, kad per diskretizavimo laiką spėja praeiti daugiau nei pusė aukšto dažnio signalo periodo.

Ryžiai. 11. Klaidingo žemo dažnio signalo atsiradimas esant nepakankamai dideliam atrankos dažniui

Siekiant išvengti slapyvardžio efekto, prieš ADC dedamas specialus anti-aliasing filtras – žemųjų dažnių filtras (filtras žemi dažniai), kuris perduoda dažnius, mažesnius nei pusė ADC diskretizavimo dažnio, ir dar daugiau aukšti dažniai dūriais.

Norint apskaičiuoti signalo spektrą iš jo diskrečiųjų imčių, naudojama diskretinė Furjė transformacija (DFT). Dar kartą pažymime, kad diskretinio signalo spektrą „pagal apibrėžimą“ riboja dažnis Fmax, kuris yra mažesnis nei pusė diskretizavimo dažnio Fd. Todėl diskretinio signalo spektras gali būti pavaizduotas baigtinio harmonikų skaičiaus suma, priešingai nei begalinė suma Furjė ištisinio signalo serijai, kurios spektras gali būti neribotas. Pagal Kotelnikovo teoremą maksimalus harmonikos dažnis turi būti toks, kad jai priklausytų bent dvi imtys, todėl harmonikų skaičius yra lygus pusei diskrečiojo signalo imčių skaičiaus. Tai yra, jei imtyje yra N imčių, tai harmonikų skaičius spektre bus lygus N/2.

Dabar panagrinėkime diskrečiąją Furjė transformaciją (DFT).

Palyginti su Furjė serijomis

Matome, kad jie sutampa, išskyrus tai, kad laikas DFT yra diskretiškas, o harmonikų skaičius ribojamas N/2 – puse mėginių skaičiaus.

DFT formulės rašomos bedimensiais sveikaisiais kintamaisiais k, s, kur k – signalų imčių skaičiai, s – spektrinių komponentų skaičiai.
Reikšmė s rodo visiškų harmoninių virpesių skaičių per laikotarpį T (signalo matavimo trukmę). Diskretus konvertavimas Furjė naudojamas harmonikų amplitudėms ir fazėms rasti skaitiniu metodu, t.y. "kompiuteryje"

Grįžtant prie pradžioje gautų rezultatų. Kaip minėta aukščiau, išplečiant neperiodinę funkciją (mūsų signalą) į Furjė eilutę, gauta Furjė serija iš tikrųjų atitinka periodinę funkciją su periodu T (12 pav.).

12 pav. Periodinė funkcija f(x) su periodu T0, su matavimo periodu T>T0

Kaip matyti 12 pav., funkcija f(x) yra periodinė su periodu T0. Tačiau dėl to, kad matavimo imties T trukmė nesutampa su funkcijos T0 periodu, funkcija, gauta kaip Furjė serija, taške T turi pertrūkį. Dėl to šios funkcijos spektre bus daug aukšto dažnio harmonikų. Jei matavimo imties T trukmė sutaptų su funkcijos T0 periodu, tai spektre, gautame po Furjė transformacijos, būtų tik pirmoji harmonika (sinusoidas, kurio periodas lygus atrankos trukmei), nes funkcija f(x) yra sinusoidas.

Kitaip tariant, DFT programa „nežino“, kad mūsų signalas yra „sinusoido gabalas“, bet bando pavaizduoti periodinę funkciją serijos pavidalu, kuri turi pertrūkį dėl atskirų gabalų nenuoseklumo. sinusoidas.

Dėl to spektre atsiranda harmonikų, kurios turėtų apibendrinti funkcijos formą, įskaitant šį nepertraukiamumą.

Taigi, norint gauti „teisingą“ signalo spektrą, kuris yra kelių sinusoidų su skirtingi laikotarpiai, būtina, kad signalo matavimo periode būtų sveikasis kiekvienos sinusoidės periodų skaičius. Praktiškai ši sąlyga gali būti įvykdyta pakankamai ilgai matuojant signalą.

13 pav. Pavarų dėžės kinematinės klaidos signalo funkcijos ir spektro pavyzdys

Trumpiau nuotrauka atrodys „blogiau“:

14 pav. Rotoriaus vibracijos signalo funkcijos ir spektro pavyzdys

Praktiškai gali būti sunku suprasti, kur yra „tikrieji komponentai“, o kur yra „artefaktai“, kuriuos sukelia ne keli komponentų periodai ir signalo atrankos trukmė arba signalo formos „šokimai ir lūžiai“. . Žinoma, žodžiai „tikrieji komponentai“ ir „artefaktai“ ne veltui rašomi kabutėse. Daugelio harmonikų buvimas spektro grafike nereiškia, kad mūsų signalas iš tikrųjų „sudaro“ iš jų. Tai tas pats, kas manyti, kad skaičius 7 „susideda“ iš skaičių 3 ir 4. Skaičius 7 gali būti pavaizduotas kaip skaičių 3 ir 4 suma – tai teisinga.

Taigi mūsų signalas... arba net ne „mūsų signalas“, o periodinė funkcija, sudaryta kartojant mūsų signalą (sampliavimas), gali būti pavaizduota kaip harmonikų (sinuso bangų) suma su tam tikromis amplitudėmis ir fazėmis. Tačiau daugeliu atvejų, kurie yra svarbūs praktikai (žr. aukščiau esančius paveikslus), spektre gautas harmonikas iš tiesų galima susieti su tikrais procesais, kurie turi cikliškas pobūdis ir reikšmingai prisideda prie signalo formos.

Kai kurie rezultatai

2. Signalas pavaizduotas rinkiniu tikrosios vertybės o jo spektras pavaizduotas realių verčių rinkiniu. Harmoniniai dažniai yra teigiami. Tai, kad matematikams patogiau vaizduoti spektrą sudėtinga forma naudojant neigiamus dažnius, nereiškia, kad „tai teisinga“ ir „tai reikia daryti visada“.

3. Signalas, išmatuotas per laiko intervalą T, nustatomas tik per laiko intervalą T. Kas vyko prieš mums pradedant matuoti signalą ir kas bus po to, mokslui nežinoma. O mūsų atveju tai neįdomu. Riboto laiko signalo DFT suteikia „tikrąjį“ spektrą ta prasme, kad tam tikromis sąlygomis jis leidžia apskaičiuoti jo komponentų amplitudę ir dažnį.

Naudotos medžiagos ir kitos naudingos medžiagos.

Furjė transformacija yra transformacija, susiejanti funkcijas su tam tikru realiu kintamuoju. Ši operacija atliekama kiekvieną kartą, kai suvokiame įvairių garsų. Ausis atlieka automatinį „skaičiavimą“, kurį mūsų sąmonė gali atlikti tik išstudijavusi atitinkamą skyrių aukštoji matematika. Žmonių klausos organas transformuojasi, todėl atsiranda garsas ( svyruojantis judesys sąlyginės dalelės elastinga terpė, kurios bangų pavidalu sklinda kietoje, skystoje ar dujinė aplinka) pateikiamas kaip skirtingo aukščio tonų garsumo lygio nuoseklių verčių spektras. Po to smegenys pasisuka šią informacijąį pažįstamą garsą.

Matematinė Furjė transformacija

Konversija garso bangos arba kiti svyravimo procesai (nuo šviesos spinduliuotės ir vandenyno potvynių iki žvaigždžių ar atoslūgių ciklų saulės aktyvumas) taip pat galima atlikti naudojant matematinius metodus. Taigi, naudodami šiuos metodus, galite išplėsti funkcijas reprezentuodami virpesių procesai sinusinių komponentų rinkinys, tai yra banguotos kreivės, kurios eina nuo minimumo iki maksimumo, tada grįžta į minimumą, pvz. jūros banga. Furjė transformacija yra transformacija, kurios funkcija apibūdina kiekvienos sinusoidės fazę arba amplitudę, atitinkančią tam tikrą dažnį. Fazė reiškia pradžios taškas kreivė, o amplitudė yra jos aukštis.

Furjė transformacija (pavyzdžiai pateikti nuotraukoje) yra labai galingas įrankis, naudojamas įvairiose mokslo srityse. IN kai kuriais atvejais jis naudojamas kaip priemonė gana sudėtingos lygtys, kuriuose aprašomi dinaminiai procesai, vykstantys veikiant šviesai, šilumai ar elektros energija. Kitais atvejais tai leidžia nustatyti įprastus komponentus sudėtinguose virpesių signaluose, kurių dėka galite teisingai interpretuoti įvairius eksperimentiniai stebėjimai chemijoje, medicinoje ir astronomijoje.

Istorinis fonas

Pirmasis asmuo, kuris panaudojo šį metodą, buvo prancūzų matematikas Jeanas Baptiste'as Furjė. Vėliau jo vardu pavadinta transformacija iš pradžių buvo naudojama šilumos laidumo mechanizmui apibūdinti. Fourier visą savo suaugusiojo gyvenimą tyrinėjo šilumos savybes. Jis įnešė didžiulį indėlį matematinė teorija nustatantis algebrinių lygčių šaknis. Fourier buvo analizės profesorius Politechnikos mokykla, Egiptologijos instituto sekretorius, buvo imperatoriškoje tarnyboje, kurioje pasižymėjo tiesiant kelią į Turiną (jo vadovaujant buvo nusausinta daugiau nei 80 tūkst. kvadratinių kilometrų maliarinių pelkių). Tačiau visa tai aktyvus darbas netrukdė mokslininkui mokytis matematinė analizė. 1802 m. jis išvedė lygtį, apibūdinančią šilumos sklidimą kietosios medžiagos. 1807 metais mokslininkas atrado sprendimo būdą duota lygtis, kuri vadinama Furjė transformacija.

Šilumos laidumo analizė

Mokslininkas matematiniu metodu apibūdino šilumos laidumo mechanizmą. Patogus pavyzdys, kai skaičiuojant nėra sunkumų, yra šiluminės energijos sklidimas geležinis žiedas, viena dalis panardinta į ugnį. Norėdamas atlikti eksperimentus, Furjė dalį šio žiedo įkaitino iki raudonumo ir įkasė į smulkų smėlį. Po to jis matavo temperatūrą priešingoje jo dalyje. Iš pradžių šilumos pasiskirstymas yra netolygus: dalis žiedo yra šalta, o kita - karšta, tarp šių zonų galima stebėti staigų temperatūros gradientą. Tačiau šilumai pasklidus per visą metalo paviršių, jis tampa vienodesnis. Taip, greitai šis procesasįgauna sinusoidės formą. Pirma, grafikas sklandžiai didėja ir lygiai taip pat sklandžiai mažėja, tiksliai pagal kosinuso arba sinuso funkcijos kitimo dėsnius. Banga palaipsniui išsilygina ir dėl to temperatūra tampa vienoda visame žiedo paviršiuje.

Šio metodo autorius pasiūlė, kad pradinis netaisyklingas pasiskirstymas gali būti visiškai suskaidytas į keletą elementariųjų sinusoidų. Kiekvienas iš jų turės savo fazę (pradinę padėtį) ir savo temperatūros maksimumą. Tokiu atveju kiekvienas toks komponentas keičiasi nuo minimumo iki maksimalaus ir atgal pilnas apsisukimas aplink žiedą sveikasis skaičius kartų. Komponentas, turintis vieną periodą, buvo vadinamas pagrindine harmonika, o reikšmė su dviem ar daugiau periodų buvo vadinama antruoju ir pan. Taigi, matematinė funkcija, kuris apibūdina temperatūros maksimumą, fazę arba padėtį, vadinamas pasiskirstymo funkcijos Furjė transformacija. Mokslininkas sujungė vieną komponentą, kurį sunku matematinis aprašymas, į lengvai naudojamą įrankį – kosinuso ir sinuso serijas, kurios kartu suteikia pirminį pasiskirstymą.

Analizės esmė

Taikymas šią analizę transformuoti šilumos plitimą per kietą objektą, turintį žiedo formą, matematikas samprotavo, kad padidinus sinusinio komponento periodus, jis greitai susilpnėtų. Tai aiškiai matyti pagrindinėje ir antrojoje harmonikoje. Pastarojoje temperatūra maksimalią aukštį pasiekia du kartus ir minimalios vertės vienu pravažiavimu, o pirmuoju – tik vieną kartą. Pasirodo, šilumos įveiktas atstumas antrojoje harmonikoje bus perpus mažesnis nei pagrindinėje. Be to, antrosios nuolydis taip pat bus dvigubai statesnis nei pirmojo. Vadinasi, kadangi intensyvesnis šilumos srautas nukeliauja dvigubai trumpesnį atstumą, ši harmonika, priklausomai nuo laiko, nyks keturis kartus greičiau nei pagrindinė. Vėlesniuose šis procesas vyks dar greičiau. Matematikas manė, kad šis metodas leidžia apskaičiuoti pradinio temperatūros pasiskirstymo laikui bėgant procesą.

Iššūkis amžininkams

Furjė transformacijos algoritmas tapo iššūkiu teoriniai pagrindai to meto matematikai. Devynioliktojo amžiaus pradžioje žymiausi mokslininkai, įskaitant Lagrandžą, Laplasą, Puasoną, Legendrą ir Biotą, nepriėmė jo teiginio, kad pradinis temperatūros pasiskirstymas yra suskaidytas į komponentus pagrindinės harmonikos ir aukštesnių dažnių pavidalu. Tačiau Mokslų akademija negalėjo ignoruoti matematiko gautų rezultatų ir skyrė jam premiją už šilumos laidumo dėsnių teoriją, taip pat palyginusi su fiziniai eksperimentai. Furjė metodu pagrindinis prieštaravimas kilo dėl to, kad nepertraukiamoji funkcija yra vaizduojama kelių tolydių sinusoidinių funkcijų suma. Juk jie apibūdina tiesių ir lenktų linijų laužymą. Mokslininko amžininkai niekada nesusidūrė panaši situacija, Kada nepertraukiamos funkcijos buvo aprašyti ištisinių, tokių kaip kvadratinis, tiesinis, sinusinis arba eksponentinis, deriniu. Jei matematikas buvo teisus savo teiginiuose, tai begalinės serijos suma trigonometrinė funkcija turėtų būti sumažintas iki tikslaus laipsniško. Tuo metu toks pareiškimas atrodė absurdiškas. Tačiau, nepaisant abejonių, kai kurie tyrinėtojai (pavyzdžiui, Claude'as Navieras, Sophie Germain) išplėtė savo tyrimų apimtį ir peržengė šiluminės energijos pasiskirstymo analizę. Tuo tarpu matematikus ir toliau kankino klausimas, ar kelių sinusoidinių funkcijų suma gali būti sumažinta iki tikslaus nenuoseklios funkcijos.

200 metų istorija

Ši teorija vystėsi per du šimtmečius ir šiandien pagaliau susiformavo. Jo pagalba erdvinės arba laiko funkcijos skirstomos į sinusoidinius komponentus, kurie turi savo dažnį, fazę ir amplitudę. Ši transformacija gaunama dviem skirtingais matematiniais metodais. Pirmasis iš jų naudojamas tuo atveju, kai pradinė funkcija yra ištisinė, o antrasis, kai ją reprezentuoja daug atskirų individualių pakeitimų. Jei išraiška gaunama iš reikšmių, kurios apibrėžiamos atskirais intervalais, tada ją galima suskirstyti į keletą sinusoidinių išraiškų su diskrečiu dažniu - nuo žemiausio, o po to du, tris kartus ir tt virš pagrindinio. Ši suma paprastai vadinama Furjė eilute. Jeigu pradinė išraiška Pateikus kiekvieno realaus skaičiaus reikšmę, jis gali būti suskaidytas į kelias visų galimų dažnių sinusoidines formas. Paprastai jis vadinamas Furjė integralu, o sprendimas reiškia integralines funkcijos transformacijas. Nepriklausomai nuo to, kaip gaunamas konvertavimas, kiekvienam dažniui turi būti nurodyti du skaičiai: amplitudė ir dažnis. Šios vertės išreiškiamos kaip vieninga teorija sudėtingų kintamųjų išraiškos kartu su Furjė transformacija leido atlikti skaičiavimus konstruojant įvairius elektros grandinės, analizė mechaninės vibracijos, tiriant bangų sklidimo mechanizmą ir kt.

Furjė transformacija šiandien

Šiais laikais šio proceso tyrimas daugiausia susijęs su atradimu veiksmingi metodai perėjimas iš funkcijos į jos transformuotą formą ir atgal. Šis sprendimas vadinamas tiesiogine ir atvirkštine Furjė transformacija. Ką tai reiškia? Norėdami atlikti tiesioginę Furjė transformaciją, galite naudoti matematinius metodus, taip pat galite naudoti analitinius. Nepaisant to, kad naudojant juos praktiškai kyla tam tikrų sunkumų, dauguma integralų jau buvo rasti ir įtraukti į matematinius žinynus. Naudojant skaitmeniniai metodai Galite apskaičiuoti išraiškas, kurių forma pagrįsta eksperimentiniais duomenimis, arba funkcijas, kurių integralai neįtraukti į lenteles ir kuriuos sunku pateikti analitine forma.

Prieš pasirodymą kompiuterinės technologijos tokių transformacijų skaičiavimai buvo labai varginantys ir reikalaujantys rankinio vykdymo didelis kiekis aritmetinės operacijos, kurios priklausė nuo aprašančių taškų skaičiaus bangos funkcija. Kad būtų lengviau atlikti skaičiavimus, šiandien yra specialių programų, kurios leidžia įdiegti naujas. Taigi 1965 m. James Cooley ir John Tukey sukūrė programinė įranga, kuris tapo žinomas kaip " greitas konvertavimas Furjė". Tai leidžia sutaupyti skaičiavimo laiką sumažinant daugybos skaičių analizuojant kreivę. Greitasis Furjė transformacijos metodas pagrįstas kreivės padalijimu į daugybę vienodų imties verčių. Atitinkamai, padauginimų skaičius sumažinamas perpus, tuo pačiu sumažinant taškų skaičių.

Furjė transformacijos taikymas

Šis procesas taikomas įvairiose mokslo srityse: fizikoje, signalų apdorojime, kombinatorikoje, tikimybių teorijoje, kriptografijoje, statistikoje, okeanologijoje, optikoje, akustikoje, geometrijoje ir kt. Turtingos jo taikymo galimybės yra pagrįstos daugeliu naudingų savybių, kurios vadinamos „Furjė transformacijos savybėmis“. Pažiūrėkime į juos.

1. Funkcijos transformacija yra tiesinis operatorius ir, tinkamai normalizavus, yra vienetinis. Šis turtasžinoma kaip Parsevalio teorema, arba in bendras atvejis Plancherelio teorema arba Pontriagino dualizmas.

2. Transformacija yra grįžtama. Be to, atvirkštinis rezultatas turi beveik tokią pačią formą kaip ir tiesioginis sprendimas.

3. Sinusoidinis pagrindinės išraiškos yra jų pačių diferencijuotos funkcijos. Tai reiškia, kad toks vaizdavimas su pastoviu koeficientu keičiasi į įprastus algebrinius.

4. Pagal konvoliucijos teoremą, šis procesas sudėtingą veiksmą paverčia elementariuoju daugyba.

5. Diskrečiąją Furjė transformaciją galima greitai apskaičiuoti kompiuteryje naudojant „greitąjį“ metodą.

Furjė transformacijos atmainos

1. Dažniausiai šis terminas naudojamas žymėti nuolatinė transformacija, pateikiant bet kokią kvadratiškai integruojamą išraišką kaip komplekso sumą parodomosios išraiškos su specifiniais kampiniais dažniais ir amplitudėmis. Šio tipo turi keletą skirtingų formų, kurios gali skirtis pastoviais koeficientais. Tęstinis metodas apima konvertavimo lentelę, kurią galima rasti matematinėse žinynuose. Apibendrintas atvejis yra trupmeninis konvertavimas, kurios pagalba šis procesas gali būti padidintas iki reikiamos realios galios.

2. Tęstinis metodas yra apibendrinimas ankstyvosios technikos Furjė eilutės, apibrėžtos įvairioms periodinėms funkcijoms arba išraiškoms, kurios egzistuoja ribotame regione ir vaizduoja jas kaip sinusoidų serijas.

3. Diskretinė Furjė transformacija. Šis metodas naudojamas kompiuterinėse technologijose moksliniams skaičiavimams ir skaitmeniniam signalų apdorojimui. Norint atlikti tokio tipo skaičiavimus, reikia turėti funkcijas, kurios apibrėžia atskirus taškus diskrečioje aibėje, periodiškai arba ribotos zonos vietoj tęstiniai integralai Furjė. Signalo transformacija šiuo atveju vaizduojama kaip sinusoidų suma. Tuo pačiu metu „greito“ metodo naudojimas leidžia naudoti diskretiški sprendimai atlikti bet kokias praktines užduotis.

4. Langinė Furjė transformacija yra apibendrinta forma klasikinis metodas. Skirtingai nei standartinis sprendimas, kai naudojamas kuris perima visą tam tikro kintamojo egzistavimo diapazoną, čia ypatingas susidomėjimas reiškia tik vietinį dažnio pasiskirstymą, jei išsaugomas pradinis kintamasis (laikas).

5. 2D transformacija Furjė. Šis metodas naudojamas darbui su dvimačiais duomenų masyvais. Tokiu atveju transformacija pirmiausia atliekama viena kryptimi, o paskui kita.

Išvada

Šiandien Furjė metodas yra tvirtai įsitvirtinęs įvairiose mokslo srityse. Pavyzdžiui, 1962 m. DNR dvigubos spiralės forma buvo atrasta naudojant Furjė analizę kartu su pastarąja, sutelkiant dėmesį į DNR skaidulų kristalus, dėl to vaizdas, gautas difrakcuojant spinduliuotę, buvo užfiksuotas juostoje. Šiame paveikslėlyje buvo pateikta informacija apie amplitudės reikšmę naudojant Furjė transformaciją į tam tikrą kristalų struktūrą. Fazės duomenys buvo gauti lyginant DNR difrakcijos žemėlapį su žemėlapiais, gautais analizuojant panašius cheminės struktūros. Dėl to biologai atkūrė kristalų struktūra- originali funkcija.

Furjė transformacijos vaidina didžiulį vaidmenį tyrime kosminė erdvė, fizikai puslaidininkinės medžiagos plazma, mikrobangų akustika, okeanografija, radarai, seismologija ir medicininiai tyrimai.

Viena iš galingiausių problemų tyrimo priemonių matematinė fizika yra integralinių transformacijų metodas. Tegul funkcija f(x) pateikiama intervale (a, 6), baigtiniame arba begaliniame. Funkcijos f(x) integralinė transformacija yra funkcija, kur K(x, w) yra funkcija, fiksuota tam tikrai transformacijai, vadinama transformacijos branduoliu (manoma, kad integralas (*) egzistuoja savo netinkama prasmė). §1. Furjė integralas Bet kuri funkcija f(x), kuri intervale [-f, I] tenkina išplėtimo į Furjė eilutę sąlygas, šiame intervale gali būti pavaizduota trigonometrine serija a* ir 6′ serijos (. 1) nustatomi pagal Eilerio-Furjė formules: Furjė transformacija Furjė integralas Sudėtinga forma integralas Furjė transformacija Kosinuso ir sinuso transformacijos Amplitudės ir fazės spektrai Savybės Taikymas Dešinėje lygybės (1) pusėje esančią eilutę galima parašyti kitokia forma. Šiuo tikslu iš formulių (2) įvedame į jį koeficientų a" ir op reikšmes, po integralų ženklais dedame cos ^ x ir sin x (tai įmanoma, nes integravimo kintamasis yra m) O) ir naudokite skirtumo kosinuso formulę. Turėsime Jei funkcija /(g) iš pradžių buvo apibrėžta intervale skaičių ašis, didesnis nei atkarpa [-1,1] (pavyzdžiui, visoje ašyje), tada išplėtimas (3) atkurs šios funkcijos reikšmes tik atkarpoje [-1,1] ir tęsis per visą skaitinė ašis kaip periodinė funkcija su periodu 21 (1 pav.). Todėl, jei funkcija f(x) (paprastai kalbant, neperiodinė) apibrėžta visoje skaičių eilutėje, formulėje (3) galima bandyti pereiti prie ribos ties I +oo. Šiuo atveju natūralu reikalauti, kad būtų įvykdytos šios sąlygos: 1. f(x) atitinka Furjė serijos skaidomumo sąlygas bet kuriuo paskutinis segmentas ašis Ox\ 2. Funkcija f(x) yra absoliučiai integruojama visoje skaičių ašyje. Kai tenkinama 2 sąlyga, pirmasis lygybės (3) narys yra lygus nuliui kaip I -* +oo. Tiesą sakant, pabandykime nustatyti, į ką (3) dešinėje pusėje esanti suma virsta riboje ties I +oo. Tarkime, tada suma dešinėje (3) pusėje įgauna formą Dėl absoliuti konvergencija integralas, ši didelė I suma mažai skiriasi nuo kintamojo £, sudarytos iš pokyčio intervalo (0, +oo), integralios sumos. Todėl natūralu tikėtis, kad suma (5) bus eiti į integralą Kita vertus, iš formulės ( 3) gauname lygybę (7) formulės galiojimo pakankamą sąlygą išreiškia tokia teorema. 1 teorema. Jei funkcija f(x) yra absoliučiai integruojama visoje realiųjų skaičių tiesėje ir kartu su jos išvestine bet kuriame intervale [a, 6] turi baigtinį skaičių pirmos rūšies nenutrūkstamumo taškų, tada galioja lygybė : Be to, bet kuriame xq taške, kuris yra 1-ojo tipo nutrūkimo taško funkcija f(x), integralo reikšmė dešinėje (7) pusėje yra lygi formulei (7), vadinama Furjė integralo formule, o jo dešinėje esantis integralas vadinamas Furjė integralu. Jeigu naudosime skirtumo kosinuso formulę, tai (7) formulę galima parašyti forma Funkcijos a(ξ), b(ζ) yra 2m periodinės funkcijos atitinkamų Furjė koeficientų an ir bn analogai. , tačiau pastarieji yra apibrėžti diskrečiųjų vertybių n, o a(0> BUT yra apibrėžti nuolatinės vertės£ G (-oo, +oo). Sudėtinga Furjė integralo forma Darant prielaidą, kad /(x) yra absoliučiai integruota visoje Ox ašyje, apsvarstykite integralą Šis integralas tolygiai konverguoja, nes ir todėl reiškia ištisinę ir, be abejo, nelyginę funkciją Bet tada Kita vertus, integralas yra lygi funkcija kintamasis todėl todėl integrali formulė Furjė gali būti parašytas taip: Padauginkite lygybę iš įsivaizduojamas vienetas i ir pridėkite prie lygybės (10). Mes gauname iš kur, remiantis Eilerio formule, turėsime Tai sudėtinga Furjė integralo forma. Čia išorinė integracija virš £ suprantama Koši pagrindinės reikšmės prasme: §2. Furjė transformacija. Kosinuso ir sinuso Furjė transformacijos Tegul funkcija f(x) yra sklandžiai bet kuriame baigtiniame Ox ašies atkarpoje ir absoliučiai integruojama visoje ašyje. Apibrėžimas. Funkcija, iš kurios pagal Eilerio formulę turėsime, vadinama funkcijos /(r) Furjė transformacija (spektrinė funkcija). Tai yra integrali funkcijos f(r) transformacija intervale (-oo,+oo) naudojant Furjė integralo formulę, tai yra vadinamoji atvirkštinė Furjė transformacija, kuri suteikia perėjimą iš F. (t) iki f(x). Kartais tiesioginė Furjė transformacija apibrėžiama taip: Tada atvirkštinė Furjė transformacija apibrėžiama formule Funkcijos /(x) Furjė transformacija taip pat apibrėžiama taip: FUJR TRANSFORMAS Furjė integralas Integralo Furjė transformacijos kompleksinė forma Kosinusas ir sinusas transformuoja Amplitudės ir fazės spektrai Savybės Taikymas Tada, savo ruožtu, Šiuo atveju faktoriaus ^ padėtis yra gana savavališka: jis gali būti įtrauktas arba į formulę (1"), arba į formulę (2"). 1 pavyzdys. Raskite funkcijos Furjė transformaciją -4 Turime Ši lygybė leidžia diferencijuoti £ atžvilgiu po integralo ženklu (integralas, gautas diferencijavus, tolygiai konverguoja, kai ( priklauso bet kuriam baigtiniam segmentui): Integruodami dalimis, turėsime Neintegralinis terminas išnyksta, ir mes gauname iš kur (C yra integracijos konstanta (4), randame C = F(0). Yra žinoma, kad ypač dėl) gauname tą 2 pavyzdį (kodemetoriaus išleidimas per kopropileną). Panagrinėkime funkciją 4 Funkcijos F(ξ) spektrams gauname Vadinasi (2 pav.). Funkcijos f(x) absoliutaus integravimo visoje skaičių eilutėje sąlyga yra labai griežta. Tai neįtraukia, pavyzdžiui, tokių elementarios funkcijos, as) = ​​cos x, f(x) = e1, kuriai Furjė transformacija (čia nagrinėjama klasikine forma) neegzistuoja. Furjė transformaciją turi tik tos funkcijos, kurios greitai pasiekia nulį kaip |x|. -+ +oo (kaip 1 ir 2 pavyzdžiuose). 2.1. Kosinuso ir sinuso Furjė transformacijos Naudodami kosinuso ir skirtumo formulę Furjė integralo formulę perrašome tokia forma: Tegul f(x) yra lyginė funkcija. Tada gauname lygybę (5). Nelyginio f(x) atveju gauname panašiai, jei f(x) pateikta tik (0, -foo), tada formulė (6) išplečia f(x) į visą. Jaučio ašis lyginiu būdu, o formulė (7) – nelyginė. (7) Apibrėžimas. Funkcija vadinama Furjė kosinuso transformacija f(x). Iš (6) matyti, kad lyginei funkcijai f(x) Tai reiškia, kad f(x), savo ruožtu, yra Fc(£) kosinuso transformacija. Kitaip tariant, funkcijos / ir Fc yra abipusės kosinuso transformacijos. Apibrėžimas. Funkcija vadinama f(x) Furjė sinuso transformacija. Iš (7) gauname, kad nelyginė funkcija f(x) t.y. f ir Fs yra abipusės sinusinės transformacijos. 3 pavyzdys (stačiakampis impulsas). Tegul f(t) yra lyginė funkcija, apibrėžta taip: (3 pav.). Gautu rezultatu apskaičiuokime integralą. Pagal formulę (9) gauname 3 pav. 0 0 Taške t = 0 funkcija f(t) yra tolydi ir lygi vienybei. Todėl iš (12") gauname 2.2. Furjė integralo amplitudės ir fazių spektrai Tegul periodinė funkcija /(x), kurios periodas yra 2m, bus išplėsta į Furjė eilutę. Šią lygybę galima parašyti tokia forma, kur yra svyravimo amplitudė su dažniu n, yra fazė Šiame kelyje mes pasiekiame periodinės funkcijos amplitudės ir fazės spektro sąvokas ), tam tikromis sąlygomis pasirodo, kad ją galima pavaizduoti Furjė integralu, kuris išplečia šią funkciją visais dažniais (išplėtimas per nuolatinį dažnių spektrą). Spektrinė funkcija , arba spektrinis tankis Furjė integralas vadinamas išraiška (vadinama tiesiogine funkcijos f Furjė transformacija, o funkcija Ф«) = -аggSfc) yra funkcijos f(«) fazių spektras. Amplitudės spektras A(ξ) yra dažnio ζ įtakos funkcijai f(x) matas. 4 pavyzdys. Raskite funkcijos 4 amplitudės ir fazės spektrus Raskite spektrinę funkciją Iš čia Šių funkcijų grafikai pavaizduoti pav. 4. §3. Furjė transformacijos savybės 1. Tiesiškumas. Jei ir G(0) yra atitinkamai funkcijų f(x) ir d(x) Furjė transformacijos, tai bet kuriai konstantai a ir p funkcijos a f(x) + p d(x) Furjė transformacija bus funkcija a Naudodamiesi integralo tiesiškumo savybe, turime Taigi Furjė transformacija yra linijinis operatorius. Pažymėdami tai mes rašysime. Jei F(ξ) yra funkcijos f(x) Furjė transformacija, kuri yra absoliučiai integruojama visoje realioje ašyje, tai F(()) yra ribojama visoms ašis – funkcijos f(x) Furjė transformacija Tegul f(x) yra Furjė transformacijos tolerancijos funkcija. Funkcija fh(x) = f (z-h) vadinama funkcijos f(x) poslinkiu. Naudodami Furjė transformacijos apibrėžimą, parodykite, kad funkcija f(z) turi Furjė transformaciją F(0> h -). realus skaičius . Parodykite, kad 3. Furjė transformacijos ir diferenciacijos operacijos. Tegul absoliučiai integruojama funkcija f(x) turi išvestinę f"(x), kuri taip pat yra absoliučiai integruojama visoje Ox ašyje, todėl f(x) linkusi į nulį kaip |x| -» +oo. Atsižvelgiant į f" (x) sklandi funkcija , rašome Integruojant dalimis, išeinantis integralo terminas išnyks (kadangi, ir gauname Taigi funkcijos f(x) diferenciacija atitinka jos Furjė vaizdo ^Π/] dauginimą iš koeficiento Jei funkcija f(x) turi sklandžius absoliučiai neapibrėžiamus išvestinius iki eilės m imtinai ir visos jos, kaip ir pati funkcija f(x), yra linkusios į nulį, tada, integruojant dalimis reikiamą skaičių kartų, gauname Furjė transformaciją yra labai naudingas būtent todėl, kad diferenciacijos operaciją pakeičia daugybos iš reikšmės operacija ir taip supaprastina tam tikrų tipų diferencialinių lygčių integravimo problemą. Kadangi absoliučiai integruojamos funkcijos Furjė transformacija f^k\x) yra ribojama funkcija (2 savybė), tada iš (2) santykio gauname tokį įvertinimą: Furjė integralas Furjė transformacijos kompleksinė forma kosinuso ir sinuso transformacijos Amplitudės ir fazės spektrai Savybės Taikymas Iš šio įvertinimo matyti: nei. f(x) turi absoliučiai integruojamas išvestines, tuo greičiau jos Furjė transformacija linkusi į nulį. komentuoti. Sąlyga yra gana natūrali, nes įprasta Furjė integralų teorija nagrinėja procesus, kurie viena ar kita prasme turi pradžią ir pabaigą, bet nesitęsia neribotą laiką maždaug tokiu pat intensyvumu. 4. Ryšys tarp funkcijos f(x) mažėjimo greičio kaip |z| -» -f oo ir jo ketverto transformacijos sklandumas. Tarkime, kad ne tik f(x), bet ir jo sandauga xf(x) yra absoliučiai integruojama funkcija visoje Ox ašyje. Tada Furjė transformacija) bus diferencijuojama funkcija. Iš tiesų, formali diferenciacija integrando parametro £ atžvilgiu veda į integralą, kuris yra absoliučiai ir tolygiai konverguojantis parametro atžvilgiu, todėl diferencijavimas yra įmanomas, t. argumentas x pereina po Furjė transformacijos į operaciją t . Jei kartu su funkcija f(x) funkcijos yra absoliučiai integruojamos visoje Ox ašyje, tada diferenciacijos procesą galima tęsti. Gauname, kad funkcija turi išvestinių iki m eilės imtinai, ir Taigi kuo greičiau funkcija f(x) mažėja, tuo funkcija tampa sklandesnė 2 teorema (apie grąžtą). Tegu yra atitinkamai funkcijų f,(x) ir f2(x) Furjė transformacijos. Tada kur dvigubas integralas susilieja absoliučiai dešinėje pusėje. Įdėkime - x. Tada turėsime arba, keičiant integravimo tvarką, Funkcija vadinama funkcijų konvoliucija ir žymima simboliu Formulė (1) dabar gali būti užrašoma taip: Tai rodo, kad funkcijų f konvoliucijos Furjė transformacija \(x) ir f2(x) yra lygūs y/2x, padaugintam iš sujungiamųjų funkcijų Furjė transformacijų sandaugos. Lengva montuoti šias savybes konvoliucija: 1) tiesiškumas: 2) komutaciškumas: §4. Furjė transformacijos taikymai 1. Tegul P(^) yra tiesinė diferencialinis operatorius eilės m su pastoviais koeficientais, Naudodami funkcijos y(x) išvestinių Furjė transformacijos formulę, randame " Apsvarstykite diferencialinę lygtį, kur P yra diferencialinis operatorius, pateiktas aukščiau. Tarkime, kad norimas sprendimas y(x) turi Furjė transformaciją y (O. ir funkcija f (x) turi transformaciją /(£) Pritaikius Furjė transformaciją (1) lygčiai, vietoj diferencialo gauname algebrinę lygtį ašyje, palyginti su kur taip kad formaliai kur simbolis žymi atvirkštinę Furjė transformaciją Pagrindinis šio metodo pritaikymo apribojimas yra susijęs su toliau pateiktomis lygybėmis su pastoviais koeficientais, kuriose yra eL*, eaz cos fix, eax sin рх formos funkcijos. integruojamas į -oo ašį.< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и