Denklem nedir?

Cebirde ilk adımlarını atanlar elbette materyalin en düzenli sunumuna ihtiyaç duyarlar. Bu nedenle denklemin ne olduğuna dair yazımızda sadece tanımını vermekle kalmayıp aynı zamanda çeşitli sınıflandırmalarÖrneklerle denklemler.

Denklem nedir: genel kavramlar

Yani denklem, Latin harfiyle gösterilen, bilinmeyenle bir tür eşitliktir. burada Sayısal değer Doğru eşitliği elde etmemizi sağlayan belirli bir harfin köküne denklemin kökü denir. Bununla ilgili daha fazla bilgiyi makalemizde okuyabilirsiniz, ancak denklemlerin kendisi hakkında konuşmaya devam edeceğiz. Bir denklemin (veya değişkenlerin) argümanları bilinmemektedir ve bir denklemin çözümü, tüm köklerini veya köklerin yokluğunu bulmaktır.

Denklem türleri

Denklemler ikiye ayrılır büyük gruplar: cebirsel ve aşkın.

• Cebirsel bir denklem yalnızca cebirsel işlemler- 4 aritmetik, üstel alma ve doğal kök çıkarma.
• Aşkın bir denklem, kökü bulmak için cebirsel olmayan fonksiyonların kullanıldığı bir denklemdir: örneğin trigonometrik, logaritmik ve diğerleri.

Cebirsel denklemler arasında ayrıca şunlar bulunur:

• bütünler - her iki parça da bütünlerden oluşur cebirsel ifadeler bilinmeyenle ilgili olarak;
• kesirli - pay ve paydada tamsayı cebirsel ifadeler içeren;
• irrasyonel - cebirsel ifadeler burada kök işaretinin altındadır.

Ayrıca kesirli ve irrasyonel denklemler denklemlerin tamamını çözmeye indirgenebilir.

Aşkın denklemler ikiye ayrılır:

• Üstel denklemler, üs olarak bir değişken içeren denklemlerdir. Tek bir tabana veya üsse hareket ederek çözülürler. ortak çarpan parantezlerin ötesinde, çarpanlara ayırma ve diğer bazı yöntemlerle;
• logaritmik - logaritmalı denklemler, yani bilinmeyenlerin logaritmanın içinde olduğu denklemler. Bu tür denklemleri çözmek çok zordur (mesela çoğu cebirsel denklemin aksine), çünkü bu, katı bir denklem gerektirir. matematik eğitimi. Burada en önemli şey logaritmalı bir denklemden logaritmasız bir denkleme geçmek, yani denklemi basitleştirmektir (logaritmaları ortadan kaldırmanın bu yöntemine potansiyasyon denir). Elbette güçlendirin logaritmik denklem ancak aynı sayısal tabanlara sahip olmaları ve katsayıları olmaması durumunda mümkündür;
• trigonometrik denklemler, trigonometrik fonksiyonların işaretleri altındaki değişkenlere sahip denklemlerdir. Çözümleri öncelikle trigonometrik fonksiyonlara hakim olmayı gerektirir;
• karışık diferansiyel denklemler farklı türlere ait parçalarla (örneğin, parabolik ve eliptik parçalarla veya eliptik ve hiperbolik vb.).

Bilinmeyenlerin sayısına göre sınıflandırmaya gelince, her şey basittir: bir, iki, üç vb. bilinmeyenli denklemler ayırt edilir. Polinomun sol tarafındaki dereceye göre yapılan başka bir sınıflandırma da vardır. Buna dayanarak doğrusal, kare ve kübik denklemler. Doğrusal denklemlere sırasıyla 1. derece, ikinci dereceden - 2. ve kübik 3. denklemler de denilebilir. Şimdi bir grubun veya diğerinin denklemlerine örnekler verelim.

Farklı denklem türlerine örnekler

Cebirsel denklem örnekleri:

• balta + b= 0
• balta 3 + bx 2 + cx+ d= 0
• balta 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
  (a, 0'a eşit değildir)

Aşkın denklem örnekleri:

• çünkü x = x log x = x−5 2 x = logx+x 5 +40

Tam denklem örnekleri:

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

Kesirli denklemlere örnek:

• 15 x + — = 5x - 17 x

İrrasyonel denklemlere örnek:

• √2kf(x)=g(x)

Doğrusal denklem örnekleri:

• 2x+7=0 x - 3 = 2 - 4x 2x+3=5x+5 - 3x - 2

İkinci dereceden denklem örnekleri:

• x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

Kübik denklem örnekleri:

• x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

Üstel denklem örnekleri:

• 5 x+2 = 125 3 x 2 x = 8 x+3 3 2x +4 3 x -5 = 0

Logaritmik denklem örnekleri:

• günlük 2 x= 3 günlük 3 x= -1

Trigonometrik denklem örnekleri:

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

Karışık denklem örnekleri:

• log x (log 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

Denklemleri çözmek için bunu eklemek kalır çeşitli türler en çok farklı yöntemler. Hemen hemen her denklemi çözmek için sadece cebir bilgisine değil, aynı zamanda trigonometri bilgisine ve çoğu zaman çok derin bilgiye ihtiyacınız olacak.

Denklemler

Denklemler nasıl çözülür?

Bu bölümde en çok hatırlayacağız (veya kime bağlı olarak çalışacağız) temel denklemler. Peki denklem nedir? Konuşuyorum insan dili Bu, eşittir işaretinin ve bilinmeyenin olduğu bir tür matematiksel ifadedir. Genellikle harfle gösterilir "X". Denklemi çözün- bu, değiştirildiğinde x'in değerlerini bulmaktır. orijinal ifadesi bize doğru kimliği verecektir. Kimlik, kesinlikle yük taşımayan bir insanda bile şüphe uyandırmayan bir ifadedir, hatırlatayım. matematik bilgisi. 2=2, 0=0, ab=ab vb. gibi. Peki denklemler nasıl çözülür? Hadi çözelim.

Her türden denklem var (Şaşırdım, değil mi?). Ancak bunların sonsuz çeşitliliği yalnızca dört türe ayrılabilir.

4. Diğer.)

Geri kalan her şey, elbette, en önemlisi, evet...) Buna kübik, üstel, logaritmik, trigonometrik ve diğer her türlü şey dahildir. Onlarla uygun bölümlerde yakın işbirliği içinde çalışacağız.

Hemen söyleyeceğim ki bazen ilk denklemler üç tip seni o kadar aldatacaklar ki tanıyamazsın bile... Hiçbir şey. Onları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

Peki neden bu dört türe ihtiyacımız var? Ve sonra ne doğrusal denklemler bir şekilde çözüldü kare diğerleri, kesirli rasyoneller - üçüncü, A dinlenmek Hiç cesaret edemiyorlar! Hiç karar veremedikleri için değil, matematik konusunda yanılmışım.) Sadece kendilerine ait özel teknikleri ve yöntemleri var.

Ama herhangi biri için (tekrar ediyorum - için herhangi!) denklemler, çözüm için güvenilir ve hatasız bir temel sağlar. Her yerde ve her zaman çalışır. Bu temel - Kulağa korkutucu geliyor ama çok basit. Ve çok (Çok!)önemli.

Aslında denklemin çözümü tam da bu dönüşümlerden oluşuyor. %99 Sorunun cevabı: " Denklemler nasıl çözülür?" tam olarak bu dönüşümlerde yatıyor. İpucu açık mı?)

Denklemlerin özdeş dönüşümleri.

İÇİNDE herhangi bir denklem bilinmeyeni bulmak için dönüştürmeniz ve basitleştirmeniz gerekir orijinal örnek. Ve böylece değiştirirken dış görünüş Denklemin özü değişmedi. Bu tür dönüşümlere denir birebir aynı veya eşdeğer.

Bu dönüşümlerin geçerli olduğunu unutmayın özellikle denklemlere. Matematikte de kimlik dönüşümleri var ifade. Bu başka bir konudur.

Şimdi hepsini, hepsini, temellerini tekrarlayacağız kimlik dönüşümleri denklemler.

Temel çünkü uygulanabilirler herhangi denklemler - doğrusal, ikinci dereceden, kesirli, trigonometrik, üstel, logaritmik vb. ve benzeri.

İlk kimlik dönüşümü: herhangi bir denklemin her iki tarafına da ekleyebilir (çıkarabilirsiniz) herhangi(ancak bir ve aynı!) sayı veya ifade (bilinmeyen bir ifade dahil!). Bu denklemin özünü değiştirmez.

Bu arada sürekli bu dönüşümü kullandınız, bazı terimleri denklemin bir kısmından diğerine işaret değiştirerek aktardığınızı düşündünüz. Tip:

Durum tanıdıktır, ikisini sağa kaydırırız ve şunu elde ederiz:

Aslında sen götürüldü Denklemin her iki tarafından da iki çıkıyor. Sonuç aynı:

x+2 - 2 = 3 - 2

Terimlerin işaret değiştirerek sola ve sağa taşınması, ilk kimlik dönüşümünün kısaltılmış bir versiyonudur. Peki neden bu kadar derin bilgiye ihtiyacımız var? - sen sor. Denklemlerde hiçbir şey yok. Tanrı aşkına, katlan. Tabelayı değiştirmeyi unutmayın. Ancak eşitsizliklerde aktarım alışkanlığı çıkmaza yol açabilir...

İkinci kimlik dönüşümü: Denklemin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir) sıfır olmayan sayı veya ifade. Burada zaten anlaşılır bir sınırlama ortaya çıkıyor: sıfırla çarpmak aptalca ve bölmek tamamen imkansız. Bu, harika bir şeyi çözdüğünüzde kullandığınız dönüşümdür.

Apaçık X= 2. Nasıl buldunuz? Seçimle mi? Yoksa yeni mi aklına geldi? Seçmemek ve içgörüyü beklememek için, sadece olduğunuzu anlamalısınız. denklemin her iki tarafını da böldüm 5'e kadar. Sol tarafı (5x) bölerken, beş azaltılarak saf X elde edildi. Bu tam olarak ihtiyacımız olan şeydi. Ve (10)'un sağ tarafını beşe böldüğümüzde sonuç elbette iki olur.

Bu kadar.

Komik ama bu iki (sadece iki!) özdeş dönüşüm çözümün temelini oluşturuyor matematiğin tüm denklemleri. Vay! Ne ve nasıl örneklerine bakmak mantıklı, değil mi?)

Denklemlerin özdeş dönüşümlerine örnekler. Ana sorunlar.

İle başlayalım Birinci kimlik dönüşümü. Soldan sağa aktarın.

Gençler için bir örnek.)

Diyelim ki aşağıdaki denklemi çözmemiz gerekiyor:

3-2x=5-3x

Büyüyü hatırlayalım: "X'li - sola, X'siz - sağa!" Bu büyü, ilk kimlik dönüşümünü kullanma talimatıdır.) Sağda X'li hangi ifade var? 3x? Cevap yanlış! Sağımızda - 3x! Eksiüç x! Bu nedenle sola doğru hareket edildiğinde işaret artıya dönüşecektir. Ortaya çıkacak:

3-2x+3x=5

Yani X'ler bir yığın halinde toplandı. Hadi rakamlara geçelim. Solda üç var. Hangi işaretle? "Hiçbiri ile" cevabı kabul edilmez!) Üçün önünde aslında hiçbir şey çizilmez. Bu da şu anlama gelir: Üçten önce artı. Böylece matematikçiler kabul etti. Hiçbir şey yazılı değil, yani artı. Bu nedenle, Sağ Taraf Troyka devredilecek bir eksi ile.Şunu elde ederiz:

-2x+3x=5-3

Geriye sadece önemsiz şeyler kaldı. Solda - benzerlerini getirin, sağda - sayın. Cevap hemen geliyor:

Bu örnekte tek bir kimlik dönüşümü yeterliydi. İkinciye gerek yoktu. İyi tamam.)

Daha büyük çocuklar için bir örnek.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Eşitlik kavramını, yani türlerinden biri olan sayısal eşitlikleri inceledikten sonra, başka bir önemli tür olan denklemlere geçebiliriz. Bu materyal çerçevesinde denklemin ne olduğunu ve kökünü açıklayacağız, temel tanımları formüle edeceğiz ve vereceğiz. çeşitli örnekler Denklemler ve köklerinin bulunması.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Denklem kavramı

Genellikle denklem kavramı en başta incelenir. okul kursu cebir. Daha sonra şu şekilde tanımlanır:

Tanım 1

Denklem ile eşitlik denir bilinmeyen numara, bulunması gereken.

Bilinmeyenleri küçük olarak belirlemek gelenekseldir Latin harfleriyle, örneğin t, r, m vb. ancak çoğunlukla x, y, z kullanılır. Başka bir deyişle denklem kayıt şekline göre belirlenir, yani eşitlik ancak şuna indirgendiğinde denklem olacaktır: belirli bir tür– bulunması gereken anlamı bir harf içermelidir.

En basit denklemlere bazı örnekler verelim. Bunlar x = 5, y = 6 vb. formdaki eşitliklerin yanı sıra aşağıdakileri içeren eşitlikler olabilir: Aritmetik işlemler, örneğin, x + 7 = 38, z - 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.

Parantez kavramı incelendikten sonra parantezli denklem kavramı ortaya çıkar. Bunlar arasında 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 vb. bulunur. Bulunması gereken harf birden çok kez görünebilir, ancak birkaç kez, örneğin örneğin x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 denkleminde. Ayrıca bilinmeyenler sadece solda değil aynı zamanda sağda veya her iki kısımda da bulunabilir, örneğin x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 veya 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Ayrıca öğrenciler tamsayılar, gerçel, rasyonel, rasyonel sayılar kavramlarını öğrendikten sonra doğal sayılar logaritmaların, köklerin ve kuvvetlerin yanı sıra tüm bu nesneleri içeren yeni denklemler ortaya çıkıyor. Bu tür ifadelerin örneklerine ayrı bir makale ayırdık.

Değişken kavramı ilk kez 7. sınıf müfredatında karşımıza çıkmaktadır. Bunlar alabileceğin mektuplar Farklı anlamlar(daha fazla ayrıntı için sayısal makaleye bakın, gerçek ifadeler ve değişkenli ifadeler). Bu kavrama dayanarak denklemi yeniden tanımlayabiliriz:

Tanım 2

Denklem değeri hesaplanması gereken bir değişkeni içeren bir eşitliktir.

Yani örneğin x + 3 = 6 x + 7 ifadesi x değişkenli bir denklemdir ve 3 y − 1 + y = 0 ifadesi y değişkenli bir denklemdir.

Bir denklemin birden fazla değişkeni olabilir, ancak iki veya daha fazlası olabilir. Bunlara sırasıyla iki, üç değişkenli vb. denklemler denir. Tanımını yazalım:

Tanım 3

İki (üç, dört veya daha fazla) değişkenli denklemler, karşılık gelen sayıda bilinmeyen içeren denklemlerdir.

Örneğin, 3, 7 x + 0, 6 = 1 biçimindeki bir eşitlik, tek değişkenli bir denklemdir ve x − z = 5, iki değişkenli x ve z'li bir denklemdir. Üç değişkenli bir denklem örneği x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 olabilir.

Denklemin kökü

Bir denklemden bahsettiğimizde hemen onun kök kavramını tanımlama ihtiyacı doğar. Ne anlama geldiğini açıklamaya çalışalım.

örnek 1

Bize tek değişken içeren belirli bir denklem veriliyor. Bunun yerine yerine koyarsak bilinmeyen mektup sayı olursa denklem sayısal bir eşitliğe dönüşür - doğru veya yanlış. Yani a + 1 = 5 denkleminde harfi 2 rakamıyla değiştirirsek eşitlik yanlış olur, 4 ise doğru eşitlik 4 + 1 = 5 olur.

Değişkenin gerçek eşitliğe dönüşeceği değerlerle daha çok ilgileniyoruz. Bunlara kökler veya çözümler denir. Tanımını yazalım.

Tanım 4

Denklemin kökü Belirli bir denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bir değişkenin değerini çağırırlar.

Kök aynı zamanda çözüm olarak da adlandırılabilir veya tam tersi - bu kavramların her ikisi de aynı anlama gelir.

Örnek 2

Bu tanımı netleştirmek için bir örnek verelim. Yukarıda a + 1 = 5 denklemini verdik. Tanıma göre kök bu durumda 4 olacaktır, çünkü harf yerine değiştirildiğinde doğru sayısal eşitliği verir ve yanlış 2 + 1 = 5 eşitliğine karşılık geldiğinden iki çözüm olmayacaktır.

Bir denklemin kaç kökü olabilir? Her denklemin bir kökü var mıdır? Bu soruları cevaplayalım.

Tek kökü olmayan denklemler de mevcuttur. Bir örnek 0 x = 5 olabilir. Sonsuz sayıda yerine koyabiliriz farklı sayılar, ancak hiçbiri bunu gerçek bir eşitliğe dönüştüremez çünkü 0 ile çarpmak her zaman 0 verir.

Birkaç kökü olan denklemler de vardır. Sonlu veya sonsuz olabilirler çok sayıda kökler

Örnek 3

Yani, x − 2 = 4 denkleminde yalnızca bir kök vardır - altı, x 2 = 9'da iki kök - üç ve eksi üç, x · (x − 1) · (x − 2) = 0'da üç kök - sıfır, bir ve iki, x=x denkleminde sonsuz sayıda kök var.

Şimdi denklemin köklerinin doğru şekilde nasıl yazılacağını açıklayalım. Eğer yoksa şunu yazarız: "Denklemin kökleri yoktur." Bu durumda boş küme ∅'un işaretini de belirtebilirsiniz. Kökler varsa, bunları virgülle ayırarak yazarız veya kümenin elemanları olarak belirtiriz ve bunları içine alırız. diş telleri. Yani, herhangi bir denklemin üç kökü varsa - 2, 1 ve 5, o zaman - 2, 1, 5 veya (- 2, 1, 5) yazarız.

Köklerin basit eşitlikler şeklinde yazılmasına izin verilir. Yani denklemdeki bilinmeyen y harfiyle gösteriliyorsa ve kökleri 2 ve 7 ise y = 2 ve y = 7 yazarız. Bazen harflere alt simgeler eklenir, örneğin x 1 = 3, x 2 = 5. Bu şekilde köklerin sayısını işaret etmiş oluyoruz. Denklemin sonsuz sayıda çözümü varsa, cevabı şu şekilde yazarız: sayısal aralık veya genel kabul görmüş gösterimleri kullanırız: doğal sayılar kümesi N ile, tam sayılar Z ile ve gerçek sayılar R ile gösterilir. Diyelim ki denklemin çözümünün herhangi bir tam sayı olacağını yazmamız gerekiyorsa x ∈ Z, birden dokuza kadar herhangi bir reel sayı ise y ∈ 1, 9 yazıyoruz.

Bir denklemin iki, üç veya daha fazla kökü varsa, kural olarak köklerden değil, denklemin çözümlerinden bahsederiz. Çok değişkenli bir denklemin çözümünün tanımını formüle edelim.

Tanım 5

İki, üç veya daha fazla değişkenli bir denklemin çözümü, verilen denklemi doğru sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenlerin iki, üç veya daha fazla değerinin bulunmasıdır.

Tanımı örneklerle açıklayalım.

Örnek 4

Diyelim ki iki değişkenli bir denklem olan x + y = 7 ifadesine sahibiz. Birincinin yerine bir, ikincinin yerine iki koyalım. Yanlış bir eşitlik elde edeceğiz, bu da bu değer çiftinin çözüm olmayacağı anlamına gelir verilen denklem. 3 ve 4 çiftini alırsak eşitlik doğru olur, bu da bir çözüm bulduğumuz anlamına gelir.

Bu tür denklemlerin kökleri olmayabilir veya sonsuz sayıda kökleri olabilir. İki, üç, dört veya daha fazla değeri yazmamız gerekiyorsa bunları virgülle ayırarak yazarız. parantez. Yani yukarıdaki örnekte cevap (3, 4) gibi görünecektir.

Pratikte çoğu zaman tek değişken içeren denklemlerle uğraşmak zorunda kalırsınız. Denklemlerin çözümüne ayrılan makalede bunları çözmek için kullanılan algoritmayı ayrıntılı olarak ele alacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Makalenin içeriği

DENKLEMLER. Denklem, iki cebirsel ifadenin eşitliğini ifade eden matematiksel bir ilişkidir. Herhangi biri için eşitlik doğruysa kabul edilebilir değerler içinde bilinmeyenler varsa buna kimlik denir; örneğin, formun bir ilişkisi ( X – 1) 2 = (X – 1)(X– 1) değişkenin tüm değerleri için gerçekleştirilir X. Özdeşliği belirtmek için, alışılagelmiş eşit işareti = yerine genellikle "aynı derecede eşit" anlamına gelen є işaretini yazarlar. Kimlikler cebirde polinomların çarpanlara ayrılması sırasında kullanılır (yukarıdaki örnekte olduğu gibi). Ayrıca trigonometride günah 2 gibi ilişkilerde bulunurlar. X+ çünkü 2 X= 1 ve içinde Genel dava görünüşte farklı iki matematiksel ifade arasındaki resmi ilişkiyi ifade eder.

Değişken içeren bir denklem ise X, tüm değerler için değil yalnızca belirli değerler için yürütülür X kimlik örneğinde olduğu gibi bu değerlerin belirlenmesi faydalı olabilir. X, bu denklemin geçerli olduğu durum. Bu tür değerler X denklemin kökleri veya çözümleri denir. Örneğin 5 sayısı 2 denkleminin köküdür X + 7= 17.

Denklemler güçlü bir çözüm aracı olarak hizmet eder pratik problemler. Tam dil matematik, bir kez belirtildiğinde gerçekleri ve ilişkileri basitçe ifade etmenize olanak tanır. sıradan dilde kafa karıştırıcı ve karmaşık görünebilir. Problemde sembollerle gösterilen bilinmeyen miktarlar, örneğin X problemi formüle ederek bulunabilir. matematik dili denklemler şeklinde. Denklem çözme yöntemleri esas olarak denklem teorisi adı verilen matematik dalının konusudur.

DENKLEM TÜRLERİ

Cebirsel denklemler.

Formun denklemleri fn= 0, burada fn– cebirsel denklemler adı verilen bir veya daha fazla değişkenli bir polinom. Bir polinom formun bir ifadesidir

fn = A 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +ј + a s x p y q ... v r,

Nerede X, sen,..., v değişkenlerdir ve Ben, J,..., R– üsler (tamsayılar) Negatif olmayan sayılar). Bir değişkenli bir polinom şu şekilde yazılır:

F(X) = A 0 xn + A 1 xn – 1 +... + BİR – 1X + BİR

veya özel bir durumda 3 X 4 – X 3 + 2X 2 + 4X– 1. Bir bilinmeyenli cebirsel denklem, aşağıdaki formdaki herhangi bir denklemdir F(X) = 0. Eğer A 0 Hayır. 0 o zaman N denklemin derecesi denir. Örneğin, 2 X+ 3 = 0 – birinci derecenin denklemi; birinci dereceden denklemlere doğrusal denir, çünkü fonksiyonun grafiği y = balta + b düz bir çizgiye benziyor. İkinci dereceden denklemlere ikinci dereceden, üçüncü dereceden denklemlere ise kübik denir. Daha yüksek dereceli denklemler de benzer adlara sahiptir.

Aşkın denklemler.

Logaritmik, üstel veya gibi aşkın fonksiyonlar içeren denklemler trigonometrik fonksiyon, aşkın denir. Bir örnek aşağıdaki denklemler olabilir:

burada log 10 tabanına göre logaritmiktir.

Diferansiyel denklemler.

Bir veya daha fazla fonksiyon ve bunların türevlerini veya diferansiyellerini içeren denklemlere verilen addır. Diferansiyel denklemlerin doğa yasalarını doğru bir şekilde formüle etmede son derece değerli bir araç olduğu kanıtlanmıştır.

İntegral denklemler.

İntegral işareti altında bilinmeyen bir fonksiyon içeren denklemler, örneğin, F (S) = t k (s, t) F(T) dt, Nerede F(S) Ve k(S,T) verilir ve F(T) bulunması gerekiyor.

Diophant denklemleri.

Diofant denklemi denir cebirsel denklemçözümü tamsayılarda aranan, tamsayı katsayılı iki veya daha fazla bilinmeyenli veya rasyonel sayılar. Örneğin, denklem 3 X – 5sen= 1'in bir çözümü var X = 7, sen= 4; genel olarak çözümleri formun tam sayılarıdır X = 7 + 5N, sen = 4 + 3N.

CEBİRSEL DENKLEM ÇÖZME

Yukarıdaki denklem türlerinin tümü için ortak yöntemlerçözümü yok. Ancak birçok durumda, özellikle belirli bir türdeki cebirsel denklemler için yeterli tam teori onların kararları.

Doğrusal denklemler.

Bu basit denklemler, bilinmeyenin değerinin hemen görülebileceği eşdeğer bir denkleme indirgenerek çözülür. Örneğin, denklem X+ 2 = 7 eşdeğer denkleme indirgenebilir X= 5, sağ ve sol taraftan 2 sayısını çıkararak bulunur. Karıştırma adımları basit denklem, Örneğin, X+ 2 = 7'nin eşdeğeri dört aksiyomun kullanımına dayanmaktadır.

1. Eğer eşit değerler aynı sayı kadar artarsa ​​sonuçlar eşit olacaktır.

2. Eşit miktarlardan aynı sayıyı çıkarırsanız sonuçlar eşit olur.

3. Eşit değerler aynı sayıyla çarpılırsa sonuçlar eşit olur.

4. Eşit miktarlar aynı sayıya bölünürse sonuçlar eşit olur.

Örneğin, denklem 2'yi çözmek için X+ 5 = 15, aksiyom 2'yi kullanacağız ve 5 sayısını sağ ve sol taraftan çıkaracağız, sonuçta 2 eşdeğer denklemi elde edeceğiz X= 10. Daha sonra aksiyom 4'ü kullanırız ve ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da 2'ye böleriz, bunun sonucunda orijinal denklem forma indirgenir. X= 5, istenen çözüm budur.

İkinci dereceden denklemler.

Genel çözümler ikinci dereceden denklem balta 2 + bx + c= 0 formülü kullanılarak elde edilebilir

Dolayısıyla, belirli bir durumda çakışabilecek iki çözüm vardır.

Diğer cebirsel denklemler.

İkinci dereceden denklem çözme formülüne benzer açık formüller yalnızca üçüncü ve dördüncü derecedeki denklemler için yazılabilir. Ancak bu formüller karmaşıktır ve her zaman kökleri kolayca bulmaya yardımcı olmaz. Beşinci derece veya daha yüksek denklemlere gelince, onlar için, N. Abel'in 1824'te kanıtladığı gibi, bunu belirtmek imkansızdır. Genel formül, denklemin köklerini, radikalleri kullanan katsayıları aracılığıyla ifade eder. Bazı özel durumlarda denklemler daha yüksek dereceler bunları çarpanlarına ayırarak kolayca çözülebilir Sol Taraf yani bunu faktörlere ayırıyoruz.

Örneğin, denklem X 3 + 1 = 0 çarpanlara ayrılmış biçimde yazılabilir ( X + 1)(X 2 – X+ 1) = 0. Faktörlerin her birini sıfıra eşitleyerek çözümler buluruz:

Yani kökler eşittir X= –1, yani sadece 3 kök.

Denklem çarpanlara ayrılamıyorsa yaklaşık çözümler kullanılmalıdır. Yaklaşık çözümler bulmanın ana yöntemleri Horner, Newton ve Greffe tarafından geliştirildi. Ancak her durumda bir çözümün var olduğuna dair güçlü bir güven vardır: cebirsel denklem N-inci derece tam olarak N kökler

Doğrusal denklem sistemleri.

İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem şu şekilde yazılabilir:

Denklem, tüm matematiğin temel kavramlarından biridir. Hem okul hem de yüksek öğrenim. Bunu çözmek mantıklı, değil mi? Üstelik bu çok basit bir kavramdır. Aşağıda kendiniz görün. :) Peki denklem nedir?

Bu kelimenin “eşit”, “eşitlik” kelimeleri ile aynı kökten gelmesi sanırım kimsede bir itiraz uyandırmıyor.

Denklem iki matematiksel ifadeler, "=" (eşittir) işaretiyle bağlanır.

Ama... sadece herhangi biri değil. Ve içinde (en az birinin) bulunduğu bilinmeyen miktar. Veya başka bir şekilde, değişken değer. Veya kısaca "değişken". Genellikle harfle gösterilir "X".

Bir değişken olabilir, birden fazla olabilir. İÇİNDE okul matematik ile denklemler bir değişken. Şimdilik tek değişkenli denklemleri de ele alacağız. İki veya daha fazla değişkenle - özel derslerde.

Bir denklemi çözmek ne anlama gelir?

Denklemde yer alan değişken şunları alabilir: herhangi Matematiksel olarak kabul edilebilir değerler. Bu yüzden değişkendir. :) Değişkenin bazı değerleri için doğru sayısal eşitlik elde edilirken diğerleri için değildir.

İşte burada:

Bir denklemi çözmek, bir değişkenin bu tür TÜM değerlerini bulmak anlamına gelir; orijinal denklemin doğru bir eşitlik olduğu ortaya çıkıyor. Veya daha bilimsel olarak gerçek kimlik. Veya değişkenin bu tür değerlerinin olmadığını kanıtlayın.

Ne oldu gerçek eşitlik mi? Bu, derin matematik bilgisine kesinlikle sahip olmayan bir kişi için bile şüphe götürmez bir eşitliktir. Örneğin, 5=5, 0=0, -10=-10. Ve benzeri. :)

Değiştirilmesi aynı şeyi sağlayan değişkenin değerleri gerçek eşitlik, çok güzel ve bilimsel olarak adlandırılıyor - denklemin kökleri.

Bir kök olabileceği gibi birden fazla da olabilir. Ya da belki sonsuz sayıda kök- aralığın tamamı veya hatta sayı satırının tamamı –∞ önce +∞ . Evet, bu da olur! Herşeyden özel denklem bağlı olmak.)

Ve aynı zamanda şu da oluyor yasaktır Bize gerçek eşitliği verecek X'leri bulun. Prensip olarak imkansızdır. Belirli nedenlerden dolayı. Böyle bir X yok...

Bu gibi durumlarda genellikle denklemin olduğu söylenir. kökleri yoktur.

Denklemler ne içindir?

Soru komik. Yaşam için! Okulda kural olarak çözmek için denklemlere ihtiyaç vardır kelime problemleri . Size hatırlatmama izin verin, bunlar iş için, ilgi için ve daha birçokları için görevlerdir.

Ve yetişkin hayatı Denklemler olmasaydı en yaygın olanları bile yanıtlamak imkânsız olurdu, ancak hayati önem taşıyor önemli sorular günlük yaşam: yarın havanın nasıl olacağı, binanın verilen yüke dayanıp dayanamayacağı. Veya bir asansör. Veya bir uçak. Roket nereye çarpacak... Ve artık aramızda hava tahmincileri, mühendisler, muhasebeciler, ekonomistler, programcılar olmayacaktı... Gereksiz olarak. İlham veriyor mu?)

Bu neden böyle? Ancak denklemler neredeyse her şeyi tanımladığı için insanoğlunun bildiği doğal olaylar ve süreçler. Yüksekliğe bağlı olarak hava basıncı ve sıcaklığının değişmesi, yasa evrensel yerçekimi, Bakteriyel büyüme, radyoaktif bozunma, kimyasal reaksiyonlar, elektrik, arz ve talep – hepsinin merkezinde matematiksel denklemler! Basit, karmaşık - her türlü. Olgu veya durum ne olursa olsun denklem böyledir.)

O halde şunu hatırlayalım:

Denklemler, çok çeşitli uygulamalı problemleri çözmek için çok güçlü ve çok yönlü bir araçtır.

Ne tür denklemler var?

Matematikte sayısız denklem vardır. En farklı şekiller. Ancak tüm denklem çeşitleri yalnızca 4 kategoriye ayrılabilir:

1. ,

2. ,

3. (veya kesirli rasyonel),

4. Diğerleri.

Farklı denklem kategorileri gerektirir ve farklı yaklaşımçözümlerine: doğrusal denklemler bir şekilde, ikinci dereceden denklemler başka bir şekilde, kesirli denklemler üçüncü bir şekilde, trigonometrik, logaritmik, üstel ve diğerleri de kendi yöntemleriyle çözülür.

Elbette daha başka denklemler de var, evet…) Bunlar hem irrasyonel hem de trigonometrik , ve , ve ve diğer birçok denklem. Ve hatta diferansiyel denklemler(öğrenciler için), bilinmeyenin rolünün bir sayı tarafından değil, işlev. Veya bir işlevler ailesi bile. :)

İlgili derslerde tüm bu denklem türlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Ve burada - temel teknikler ve kurallar.

Bu kurallara denir - Denklemlerin aynı (veya eşdeğer) dönüşümleri . Sadece iki tane var. Ve onların etrafından dolaşmanın hiçbir yolu yok. Öyleyse tanışalım!

Denklemler nasıl çözülür? Denklemlerin özdeş (eşdeğer) dönüşümleri.

Çözüm herhangi Denklem, içinde yer alan ifadelerin adım adım dönüştürülmesinden oluşur. Ama sadece herhangi bir dönüşüm değil, öyle ki adım adım tüm denklemin özü değişmedi. Her dönüşümden sonra denklemin değişeceği ve sonuçta orijinalinden tamamen farklı olacağı gerçeğine rağmen.

Matematikte bu tür dönüşümlere denir eş değer veya birebir aynı. Bunlardan oldukça fazla var, ancak tüm özdeş denklem dönüşümleri arasında biri öne çıkıyor iki temel. Bu derste bunlar tartışılacaktır. Evet evet sadece iki tane! Ama – son derece önemli! Ve her biri özel ilgiyi hak ediyor.

Bu iki özdeş dönüşümün şu veya bu sırayla uygulanması, matematiksel denklemlerin %99'unun çözümünde başarıyı garanti eder. Cazip, değil mi?

O zaman devam et!

İlk kimlik dönüşümü:

Denklemin her iki tarafına herhangi bir (ama aynı!) sayı veya ifadeyi (değişkenli olanlar dahil) ekleyebilir (veya çıkarabilirsiniz). Bu denklemin özünü değiştirmeyecektir.

Bu dönüşümü her yere uyguluyorsunuz, safça bazı terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktardığınızı, işaret değiştirdiğinizi sanıyorsunuz. :)

Örneğin şu harika denklem:

Burada düşünecek bir şey yok, üçünü sağa kaydırıp eksiyi artıya çeviriyoruz:

Peki gerçekte neler oluyor? Ama gerçekte sen... Denklemin her iki tarafına üç ekleyin!

İşte neler oluyor:

Ve sonuç aynı:

Bu kadar. Solda saf bir X kalır (aslında bunu başarmaya çalışıyoruz) ve sağda - ne olursa olsun. Ama en önemli şey üç eklemenin her iki parçaya da tüm denklemin özü değişmedi!

Gerçek şu ki, terimlerin bir parçadan diğerine olağan şekilde işaret değişikliği ile aktarılması basitçe Kısaltılmış versiyonİlk kimlik dönüşümü.

Peki neden bu kadar derine inmemiz gerekiyor? Denklemlere gerek yok. Sakin ol ve endişelenme. İşaretleri değiştirmeyi unutmayın.) Ama eşitsizliklerde aktarım alışkanlığı biraz cesaret kırıcı olabiliyor evet...

Bu ilk özdeş dönüşümdü. İkinciye geçelim.

İkinci kimlik dönüşümü:

Denklemin her iki tarafı da sıfır olmayan aynı sayı veya ifadeyle çarpılabilir (bölünebilir).

Gerçekten tüyler ürpertici bir şeyi çözerken sürekli olarak bu özdeş dönüşümü kullanırız:

Burada herkes şunu açıkça anlıyor: x=3. Bu cevaba nasıl ulaştınız? Aldın mı? Tahmin ettin mi?

Seçmemek ve tahmin etmemek için (biz matematikçiyiz, falcı değiliz), sadece olduğunuzu anlamalısınız. denklemin her iki tarafını da böldüm dört için. Bizi rahatsız eden de bu.

Bunun gibi:

Bu bölme çubuğu dörde bölündüğü anlamına gelir. Her iki parça bizim denklemimiz. Kesirler sayesinde bu prosedür şöyle görünür:

Solda, dörtler başarılı bir şekilde azaltılarak X içeride bırakılıyor. muhteşem izolasyon. Ve sağda 12'yi 4'e böldüğümüzde sonuç elbette üç oluyor. :)

Ve hepsi bu.)

Kulağa inanılmaz geliyor ama bu ikisi (sadece iki!) basit dönüşümler kararın temelini oluşturmak tüm matematik denklemleri! Evet evet tam olarak herkes, hiç abartmıyorum! Okulda doğrusal ve ikinci dereceden, üniversitede diferansiyele kadar.)

Peki, denklemlerin aynı dönüşümlerine çalışırken bakalım mı?

Denklem çözümlerine özdeşlik dönüşümlerinin uygulanması.

İle başlayalım Birinci kimlik dönüşümü. Sola ve sağa aktarın.

Yeni başlayanlar için örnek:

1 – x = 3 – 2x

Bu karmaşık bir konu değil. Bu . Doğrudan büyüye göre çalışıyoruz: "X'ler solda, X'ler sağda değil."

Bu mantra evrensel talimatlarİlk kimlik dönüşümünün uygulanması üzerine. O halde denkleme bakalım. Sağda X'in olduğu terim hangisidir? Ne? 2 kere? Hayır!) Sağımızda -2 kere (eksi iki x)! Bu nedenle sol tarafa taşındığında eksi şu şekilde değişecektir: artı:

1 – x +2x = 3

İşin yarısı bitti, X'ler solda toplandı. Geriye kalan tek şey sağdaki tüm sayıları toplamak. Denklemin sol tarafında bir tane var. Yine soru şu: Hangi işaretle? “Hiçbir şey yok” cevabı işe yaramıyor.) Solda 1'den önce gerçekten hiçbir şey yazmıyor. Bu da onun önünde bir işaret olduğu anlamına geliyor "artı". Matematikte işler böyle yürüyor: Hiçbir şey yazılmıyor, bu da bir artı olduğu anlamına geliyor.)

Ve bu nedenle biri sağa doğru hareket edecek bir eksi ile:

-x + 2x = 3 - 1

Neredeyse hepsi bu. Solda benzerlerini sunuyoruz, sağda ise sayıyoruz. Ve şunu elde ederiz:

x = 2

Tamamen ilkel bir denklemdi.

Şimdi lise öğrencileri için daha havalı bir örnek:

Denklemi çözün:

Denklem. Ne olmuş? Kimin umurunda? Neyse, ilk adım temel kimlik dönüşümünü yapmaktır ("X'ler solda......"). Bunu yapmak için X'li terim (yani, - kayıt 3 X) sola doğru hareket ettirin. İşaret değişikliği ile:

A sayısal ifade (kayıt 3 4 ) sağa ilerle. Ayrıca işaret değişikliğiyle elbette:

Bu kadar. Sağda saf formül var. Kiminle arkadaş olursa, kafasındaki denklemi tamamlayacak ve şunu elde edecek:

x=3

Ne? Sinüs ister misin? Lütfen, işte sinüsler:

Ve yeniden hepsi aynı!İlk özdeş dönüşümü gerçekleştiriyoruz - aktarıyoruz günah X sola (eksi ile) ve -0,25 sağa (artı ile) hareket ettirin:

En basitini aldık trigonometrik denklem(bilenler için) çözülmesi de zor olmayan sinüs ile.

İlkinin ne kadar evrensel olduğunu gördün mü? eşdeğer dönüşüm! Her yerde ve her yerde bulunur ve bundan kaçış yoktur... Bu yüzden bunu otomatik olarak ve hatasız yapabilmek çok önemlidir.

Aslında burada yalnızca bir hata yapabilirsiniz: Aktarırken işareti değiştirmeyi unutmak. Bu her zaman olan bir şey. Kimse dikkati iptal etmedi, evet...)

Peki oyunlarımıza devam edelim mi? Şimdi eğlenelim ikinci dönüşüm!)

Denklemi çözün:

7x=28

Dürüst olmak gerekirse havalı adam.) Tamam, bunlar duygular...

Bakıyoruz ve düşünüyoruz: Bu denklemde bizi durduran ne? Ne, ne... Evet, yedi kişi yolda! Ondan kurtulmak güzel olurdu. Evet, orijinal denklemi bozmamak için.)

Ama nasıl? Sağa hareket et? Ah... Dur! Hayır.) X ile Yedi çarpma işlemi bağlı. Katsayı, görüyorsunuz.) Onu X'ten koparıp sağa taşıyamazsınız. Bütün ifade bu 7x tam olarak - lütfen (soru - neden?). Ama yedisi ayrı ayrı – mümkün değil.

Çarpma/bölmeyi hatırlamanın zamanı geldi! Cevapta saf X'e ihtiyacımız var, değil mi? Ve yedi bir engeldir. Yani sol tarafı yediye bölüyoruz. X'i katsayıdan "temizliyoruz". Bu yüzden biz gerekli. Ama o zaman sağ tarafın da yediye bölünmesi gerekir: bu zaten matematik gereklilikler. Orada ne olursa olsun yoluna girecek. Ama örnek güzel. Denedim.) 28, 7'ye tam olarak bölünebilir. 4 alırsınız.

Cevap: x=4

Veya bu denklem:

Bizi burada durduran ne? Kesir 1/6 değil mi? Öyleyse bundan kurtulalım. Denklem için güvenli.) Nasıl? Siz de aynısını yapabilirsiniz; her iki parçayı da aynı 1/6'ya bölebilirsiniz. Ancak bu akılda pek uygun değil. Bazılarının kafası karışacak...

Ama biz sadece bölmekle kalmıyoruz, aynı zamanda nasıl çoğalacağımızı da biliyoruz!) genç sınıfları, hangi işlemi yaptıktan sonra kesir kayboluyor mu? Sağ! Kesirimiz kaybolduğunda çarpma işlemi paydasına eşit (veya katları) bir sayı ile. O halde denklemimizin her iki tarafını da 6 ile çarpalım. Solda yine saf bir X elde edeceksiniz, ancak sağ tarafı 6 ile çarpmak en zor iş değil.)

İşte bu kadar.) Çarpma Her iki parça Gerekli sayının denklemi, ara hesaplamaları atlayarak kesirlerden hemen kurtulmanıza olanak tanır; bu arada, kolayca hata yapabilirsiniz. Daha kısa yol - daha az hata!

Şimdi zaman makinesine ve liseye dönelim:

Denklemi çözün:

X'e ulaşmak ve böylece bu harikayı çözmek için trigonometrik denklem , ilk önce solda herhangi bir katsayı olmadan saf kosinüs bulmamız gerekiyor. Ama ikili araya giriyor. :) Yani sol tarafın tamamını 2'ye bölüyoruz:

Ama o zaman sağ tarafın da ikiye bölünmesi gerekecek: MATEMATİK için bu gerekli. Bölmek:

Sağ tarafta anladım tablo değeri kosinüs. Ve şimdi tatlı ruh için denklem çözüldü.)

Bütün bilgelik budur. Gördüğünüz gibi denklemlerin özdeş dönüşümleri yararlı bir şeydir. Ve aynı zamanda en zoru değil. Transfer ve çarpma/bölme. Ancak herkes ilk seferde ve hatasız başaramaz, ah, herkes değil... Burada iki temel sorun var.

Birinci sorun (deneyimsizler için):

Bazen bir öğrenci denklemleri basitleştirmenin teker teker ve tamamen yapılacağını düşünür. yerleşik kural. Ve bu kuralı bir türlü kavrayamıyor ve anlayamıyor: Bazı örneklerde çarpma (veya bölme) ile başlıyor, bazılarında ise aktarma ile başlıyor. Yaklaşık üç kez aktarıyorlar ve asla çoğaltmıyorlar...

Mesela şöyle bir şey Doğrusal Denklem:

10x + 5 = 5x – 20

Nereden başlamalı? Aktarımla başlayabilirsiniz:

10x – 5x = -20 – 5

Veya önce her iki parçayı da beşe bölüp sonra aktarabilirsiniz. O zaman sayılar hemen basitleşecek:

Görüldüğü gibi şu şekilde karar vermek mümkün. Ve bu ilkel bir örnekte! Bu deneyimsiz öğrenciler için bir soruyu gündeme getiriyor: "Hangisi doğru?"

Her bakımdan doğru! Hangisi sizin için daha uygunsa. :) Burada evrensel bir tarif yok ve olamaz. Matematik size iki tür denklem dönüşümü seçeneği sunar. Ve bu dönüşümlerin sırası yalnızca şuna bağlıdır: orijinal denklem karar vericinin kişisel tercihleri ​​ve alışkanlıklarının yanı sıra.

İkinci sorun (herkes için... yani... neredeyse):

Hesaplamalardaki hatalar. Dönüşümlerde sürekli olarak parantezleri çarpmanız gerekir. İfadeleri parantez içine alın ve parantez açın. Kesirleri çarpın ve bölün. Derecelerle çalışın... Kısacası, temel matematik işlemlerinin tamamı mevcuttur. Tüm sonuçlarıyla birlikte...

Bu sorunların her ikisi de yalnızca tek bir yöntemle ortadan kaldırılabilir: pratik.Şüpheler ve hatalar ortadan kalkar. Örnekler basitleşiyor, görevler kolaylaşıyor. Ve sonuçta size komut veren matematik değil, matematiğe komut veren sizsiniz. :)