İrrasyonel trigonometrik denklemlerin çözümü. İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

1.1 İrrasyonel denklemler

İrrasyonel denklemler sıklıkla bulunur giriş sınavları matematikte, çünkü onların yardımıyla bu tür kavramların bilgisini teşhis etmek kolaydır eşdeğer dönüşümler, tanım alanı ve diğerleri. Çözüm yöntemleri irrasyonel denklemler, kural olarak, değiştirme olasılığına dayanmaktadır (bazı dönüşümler kullanılarak) ir rasyonel denklem Rasyonel, bu ya orijinal irrasyonel denklemin eşdeğeridir ya da onun sonucudur. Çoğu zaman denklemin her iki tarafı da aynı kuvvete yükseltilir. Her iki parça da içine yerleştirildiğinde eşdeğerlik ihlal edilmez tek derece. Aksi takdirde bulunan çözümlerin kontrol edilmesi veya denklemin her iki tarafının işaretinin değerlendirilmesi gerekir. Ancak irrasyonel denklemlerin çözümünde daha etkili olabilecek başka teknikler de var. Örneğin, yöntem trigonometrik ikame.

Örnek 1: Denklemi çözün

O zamandan beri. Bu nedenle koyabiliriz . Denklem şu şekli alacaktır

Nereye koyalım o zaman

.

.

Cevap: .

Cebirsel çözüm

O zamandan beri . Araç, , böylece modülü genişletebilirsiniz

.

Cevap: .

Bir denklemi cebirsel olarak çözmek, kimlik dönüşümlerini gerçekleştirme ve eşdeğer geçişleri yetkin bir şekilde ele alma konusunda iyi beceriler gerektirir. Ancak genel olarak her iki karar yöntemi de eşdeğerdir.

Örnek 2: Denklemi çözün

.

Trigonometrik ikame kullanarak çözüm

Denklemin tanım alanı, o halde koşula eşdeğer olan eşitsizlik tarafından verilmektedir. Bu nedenle koyabilirsiniz. Denklem şu şekli alacaktır

O zamandan beri. Dahili modülü açalım

Hadi koyalım , Daha sonra

.

Koşul iki değerle karşılanır ve .

.

.

Cevap: .

Cebirsel çözüm

.

Nüfusun birinci sisteminin denkleminin karesini alalım ve elde edelim

O zaman öyle olsun. Denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

Kontrol ederek bunun bir kök olduğunu tespit ediyoruz, ardından polinomu bir binoma bölerek denklemin sağ tarafının faktörlere ayrıştırılmasını elde ediyoruz

Değişkenden değişkene geçelim, şunu elde ederiz

.

Durum iki değeri karşıla

.

Bu değerleri orijinal denklemde yerine koyarsak bunun kök olduğunu buluruz.

Orijinal kümenin ikinci sisteminin denklemini benzer şekilde çözerek onun da bir kök olduğunu buluruz.

Cevap: .

Önceki örnekte cebirsel çözüm ile trigonometrik ikame kullanan çözüm eşdeğerse, o zaman bu durumda ikame yoluyla çözüm daha karlıdır. Cebir kullanarak bir denklemi çözerken, iki denklemden oluşan bir diziyi çözmeniz, yani bunun iki katının karesini almanız gerekir. Bu eşit olmayan dönüşümün ardından, ikame ile ortadan kaldırılabilecek, irrasyonel katsayılara sahip dördüncü dereceden iki denklem elde ederiz. Diğer bir zorluk ise bulunan çözümleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol etmektir.

Örnek 3: Denklemi çözün

.

Trigonometrik ikame kullanarak çözüm

O zamandan beri. Bilinmeyene ait negatif bir değerin soruna çözüm olamayacağını unutmayın. Aslında orijinal denklemi forma dönüştürelim

.

Denklemin sol tarafındaki parantez içindeki faktör pozitif, denklemin sağ tarafı da pozitif olduğundan denklemin sol tarafındaki faktör negatif olamaz. İşte bu yüzden, bu yüzden koyabilirsiniz Orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

O zamandan beri ve . Denklem şu şekli alacaktır

İzin vermek . Denklemden eşdeğer bir sisteme geçelim

.

Sayılar köklerdir ikinci dereceden denklem

.

Cebirsel çözüm Denklemin her iki tarafının karesini alalım

Değiştirmeyi tanıtalım , daha sonra denklem şu şekilde yazılacaktır:

İkinci kök gereksizdir, dolayısıyla denklemi düşünün

.

O zamandan beri.

Bu durumda cebirsel çözüm teknik olarak daha basit, ancak verilen çözümü trigonometrik ikame kullanarak düşünmek gerekir. Bunun nedeni, öncelikle, trigonometrik ikame kullanımının yalnızca ne zaman mümkün olduğu şeklindeki stereotipi yok eden ikamenin kendisinin standart olmayan doğasından kaynaklanmaktadır. Trigonometrik ikamenin de uygulama alanı bulduğu ortaya çıktı. İkincisi trigonometrik denklemi çözmek zordur bir denklem sistemine bir ikame getirilerek azaltılır. Belirli bir anlamda, bu değiştirme aynı zamanda standart dışı olarak da değerlendirilebilir ve buna aşinalık, teknik ve çözüm yöntemleri cephaneliğinizi zenginleştirmenize olanak tanır. trigonometrik denklemler.

Örnek 4: Denklemi çözün

.

Trigonometrik ikame kullanarak çözüm

Değişken herhangi bir gerçek değeri alabildiğinden, şunu koyarız: . Daha sonra

,

Çünkü .

Gerçekleştirilen dönüşümler dikkate alınarak orijinal denklem şu şekli alacaktır:

Denklemin her iki tarafını da 'ye böldüğümüz için, şunu elde ederiz:

İzin vermek , Daha sonra . Denklem şu şekli alacaktır

.

Oyuncu değişikliği göz önüne alındığında iki denklemden oluşan bir set elde ederiz

.

Kümenin her denklemini ayrı ayrı çözelim.

.

Bağımsız değişkenin herhangi bir değeri için sinüs değeri olamaz.

.

Çünkü ve orijinal denklemin sağ tarafı pozitiftir, o halde . Bundan şu sonuç çıkıyor .

Bu denklemin kökleri yoktur çünkü .

Yani orijinal denklemin tek bir kökü var

.

Cebirsel çözüm

Bu denklem orijinal denklemin her iki tarafının karesi alınarak kolayca sekizinci dereceden rasyonel bir denkleme "dönüştürülebilir". Ortaya çıkan rasyonel denklemin köklerini bulmak zordur ve yüksek derece görevle başa çıkma becerisi. Bu nedenle, daha az geleneksel olan başka bir çözüm yolunun bilinmesi tavsiye edilir. Örneğin, I. F. Sharygin tarafından önerilen oyuncu değişikliği.

Hadi koyalım , Daha sonra

Denklemin sağ tarafını dönüştürelim :

Dönüşümler dikkate alındığında denklem formu alacak

.

Değiştirmeyi tanıtalım o zaman

.

Bu nedenle ikinci kök gereksizdir ve .

Denklemi çözme fikri önceden bilinmiyorsa o zaman denklemin her iki tarafının karesini alarak standart çözümü çözmek sorunludur, çünkü sonuç, köklerini bulmak son derece zor olan sekizinci dereceden bir denklemdir. Trigonometrik ikame kullanan çözüm hantal görünüyor. Bir denklemin karşılıklı olduğunu fark etmezseniz denklemin köklerini bulmak zor olabilir. Bu denklemin çözümü cebir aparatı kullanılarak gerçekleşir, dolayısıyla önerilen çözümün birleştirilmiş çözüm olduğunu söyleyebiliriz. İçinde cebir ve trigonometriden gelen bilgiler tek bir amaç için, bir çözüm elde etmek için birlikte çalışır. Ayrıca bu denklemin çözümü iki durumun dikkatle değerlendirilmesini gerektirir. Yerine koyma yoluyla çözüm teknik olarak trigonometrik yer değiştirme kullanmaktan daha basit ve daha güzeldir. Öğrencilerin bu ikame yöntemini bilmeleri ve problemleri çözmek için kullanmaları tavsiye edilir.

Sorunları çözmek için trigonometrik ikame kullanımının bilinçli ve gerekçeli olması gerektiğini vurguluyoruz. Başka bir şekilde çözümün daha zor veya tamamen imkansız olduğu durumlarda ikame kullanılması tavsiye edilir. Öncekinden farklı olarak standart yöntem kullanılarak daha kolay ve daha hızlı çözülebilecek başka bir örnek verelim.

Gerçek sayılar. Yaklaşım gerçek sayılar ondalık kesirlerin sonlandırılması.

Gerçek veya gerçek sayı - matematiksel soyutlama geometrik ölçme ihtiyacından doğan ve fiziksel büyüklüklerçevredeki dünyanın yanı sıra köklerin çıkarılması, logaritmaların hesaplanması, cebirsel denklemlerin çözülmesi gibi işlemleri gerçekleştirmek. Eğer doğal sayılar sayma sürecinde ortaya çıktı, rasyonel olanlar - bir bütünün parçalarıyla çalışma ihtiyacından, o zaman gerçek sayıların ölçülmesi amaçlanıyor sürekli miktarlar. Böylece, söz konusu sayı stokunun genişlemesi, rasyonel sayılara ek olarak, aynı zamanda adı verilen diğer unsurları da içeren bir dizi gerçek sayıya yol açmıştır. irrasyonel sayılar .

Mutlak hata ve limiti.

Sayısal bir değer olsun ve sayısal değer Kendisine atanan , doğru kabul edilir, ardından yaklaşık değer hatası sayısal değer (hata) sayısal bir değerin kesin ve yaklaşık değeri arasındaki farkı anlamak: . Hata hem pozitif hem de negatif değerler alabilir. Miktar denir bilinen yaklaşım sayısal bir miktarın tam değerine - bunun yerine kullanılan herhangi bir sayı kesin değer. Hatanın en basit niceliksel ölçüsü mutlak hatadır. Mutlak hata yaklaşık değer, hakkında aşağıdakilerin bilindiği bir miktardır: Bağıl hata ve limiti.

Yaklaşımın kalitesi, kabul edilen ölçüm birimlerine ve miktar ölçeklerine önemli ölçüde bağlıdır, bu nedenle, göreceli hata kavramının tanıtıldığı bir miktarın hatasını ve değerini ilişkilendirmeniz önerilir. Göreceli hata yaklaşık değer, hakkında aşağıdakilerin bilindiği bir miktardır: . Göreceli hata genellikle yüzde olarak ifade edilir. Göreceli hataların kullanılması özellikle uygundur çünkü bunlar büyüklük ölçeğine ve ölçü birimlerine bağlı değildir.

İrrasyonel denklemler

Kök işareti altında bir değişken içeren denklemlere irrasyonel denir. İrrasyonel denklemleri çözerken ortaya çıkan çözümlerin doğrulanması gerekir, çünkü örneğin kareler alınırken yanlış bir eşitlik doğru bir eşitlik verebilir. Aslında, yanlış bir eşitliğin karesi alındığında doğru eşitlik 1 2 = (-1) 2, 1=1 olur. Bazen irrasyonel denklemleri eşdeğer geçişleri kullanarak çözmek daha uygundur.

Bu denklemin her iki tarafının karesini alalım; Dönüşümlerden sonra ikinci dereceden bir denklem elde ederiz; ve yerine koyalım.

Karmaşık sayılar. Karmaşık sayılar üzerinde işlemler.

Karmaşık sayılar, genellikle ile gösterilen gerçek sayılar kümesinin bir uzantısıdır. Herhangi bir karmaşık sayı resmi bir toplam olarak temsil edilebilir X + ben, Nerede X Ve sen- gerçek sayılar, Ben - hayali birim Karmaşık sayılar cebirsel olarak kapalı bir alan oluşturur; bu, derece polinomunun olduğu anlamına gelir. N karmaşık katsayılarla tam olarak N karmaşık kökler yani cebirin temel teoremi doğrudur. Yaygın kullanımının ana nedenlerinden biri de budur. karmaşık sayılar V matematiksel araştırma. Ek olarak, karmaşık sayıların kullanılması birçok şeyi rahat ve kompakt bir şekilde formüle etmemize olanak tanır. matematiksel modeller, kullanılan matematiksel fizik ve içinde doğa bilimleri- elektrik mühendisliği, hidrodinamik, haritacılık, kuantum mekaniği, salınım teorisi ve diğerleri.

Karşılaştırmak A + bi = C + di bu demek oluyor A = C Ve B = D(iki karmaşık sayı ancak ve ancak gerçek ve sanal kısımları eşitse eşittir).

Ek ( A + bi) + (C + di) = (A + C) + (B + D) Ben .

Çıkarma ( A + bi) − (C + di) = (A − C) + (B − D) Ben .

Çarpma

Sayısal işlev. Bir işlevi belirtme yöntemleri

Matematikte sayısal fonksiyon tanım alanları ve değerleri alt kümeler olan bir fonksiyondur sayı setleri- genellikle bir dizi gerçek sayı veya bir dizi karmaşık sayı.

Sözlü: İle doğal dil Igrek eşittir bütün kısım x'ten. Analitik: Kullanma analitik formül F (X) = X !

Grafik Grafik kullanma Bir fonksiyonun grafiğinin parçası.

Tablosal: Değer tablosu kullanma

Bir fonksiyonun temel özellikleri

1) Fonksiyon alanı ve fonksiyon aralığı . İşlev Etki Alanı X(değişken X), bunun için fonksiyon y = f(x) azimli.

Fonksiyon Aralığı sen, işlevin kabul ettiği. İÇİNDE ilköğretim matematik fonksiyonlar yalnızca reel sayılar kümesinde incelenir.2 ) Sıfır fonksiyonu) Fonksiyonun monotonluğu . Artan fonksiyon Azalan fonksiyon . Eşit işlev X f(-x) = f(x). Tek işlev- Tanım alanı orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için X f (-x) = - f (x. Fonksiyon çağrılır sınırlı sınırsız .7) Fonksiyonun periyodikliği. Fonksiyon f(x) - periyodik fonksiyonun süresi

Fonksiyon grafikleri. Fonksiyonu kullanarak grafiklerin en basit dönüşümleri

Bir fonksiyonun grafiği- apsisleri geçerli argüman değerleri olan bir dizi nokta X ve koordinatlar fonksiyonun karşılık gelen değerleridir sen .

Düz çizgi- takvim doğrusal fonksiyon y = balta + b. y fonksiyonu a > 0 için monoton olarak artar ve a için azalır< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabol- fonksiyon grafiği ikinci dereceden üç terimli y = eksen 2 + bx + c. Sahip olmak dikey eksen simetri. Eğer a > 0 ise minimumu vardır, eğer a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения balta 2 + bx +c =0

Hiperbol- fonksiyonun grafiği. a > O olduğunda I ve III çeyreklerinde yer alır;< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) veya y - x (a< 0).

Logaritmik fonksiyon y = log a x(bir > 0)

Trigonometrik fonksiyonlar. Trigonometrik fonksiyonları oluştururken kullandığımız radyan açıların ölçüsü. Daha sonra fonksiyon sen= günah X bir grafikle temsil edilir (Şekil 19). Bu eğri denir sinüzoid .

Bir fonksiyonun grafiği sen=çünkü XŞekil 2'de gösterilmiştir. 20; bu aynı zamanda grafiğin hareket ettirilmesinden kaynaklanan bir sinüs dalgasıdır sen= günah X eksen boyunca X/2'ye bırakıldı.

Fonksiyonların temel özellikleri. Fonksiyonların monotonluğu, düzgünlüğü, tuhaflığı, periyodikliği.

İşlev Alanı ve İşlev Alanı . İşlev Etki Alanı geçerli olanların kümesi mi gerçek değerler argüman X(değişken X), bunun için fonksiyon y = f(x) azimli.

Fonksiyon Aralığı tüm gerçek değerlerin kümesidir sen, işlevin kabul ettiği.

İlköğretim matematikte fonksiyonlar yalnızca reel sayılar kümesi üzerinde incelenir.2 ) Sıfır fonksiyonu- fonksiyonun değerinin sıfır olduğu argümanın değeri.3 ) Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları- fonksiyon değerlerinin yalnızca pozitif veya yalnızca negatif olduğu bu tür argüman değerleri kümeleri.4 ) Fonksiyonun monotonluğu .

Artan fonksiyon(bazı aralıklarla) - bunun için bir işlev daha yüksek değer bu aralıktaki argüman, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.

Azalan fonksiyon(belirli bir aralıkta) - bu aralıktaki argümanın daha büyük değerinin karşılık geldiği bir işlev daha düşük değer işlevler.5 ) Çift (tek) işlevi . Eşit işlev- Tanım alanı orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için X tanım alanından eşitlik f(-x) = f(x). Takvim eşit işlev ordinat eksenine göre simetriktir. Tek işlev- Tanım alanı orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için X tanım alanından eşitlik doğrudur f (-x) = - f (x). Takvim tek işlev orijine göre simetriktir.6 ) Sınırlı ve sınırsız işlevler. Fonksiyon çağrılır sınırlı, eğer |f (x) | olacak şekilde pozitif bir M sayısı varsa X'in tüm değerleri için ≤ M. Eğer böyle bir sayı yoksa fonksiyon sınırsız .7) Fonksiyonun periyodikliği. Fonksiyon f(x) - periyodik, eğer sıfırdan farklı bir T sayısı varsa, öyle ki, fonksiyonun tanım kümesindeki herhangi bir x için aşağıdakiler geçerli olur: f (x+T) = f (x). Bu en küçük sayı isminde fonksiyonun süresi. Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).

Periyodik fonksiyonlar. Bir fonksiyonun ana periyodunu bulma kuralları.

Periyodik fonksiyon- sıfır olmayan bir süre sonra değerlerini tekrarlayan, yani bağımsız değişkene sıfır olmayan sabit bir sayı (nokta) eklendiğinde değerini değiştirmeyen bir işlev. Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. Sadakatsiz tutara ilişkin açıklamalar periyodik fonksiyonlar: Karşılaştırılabilir (hatta temel) periyotlara sahip 2 fonksiyonun toplamı T 1 ve T 2, LCM periyoduna sahip bir fonksiyondur ( T 1 ,T 2). Ölçülemeyen (hatta temel) periyotlara sahip 2 sürekli fonksiyonun toplamı periyodik olmayan bir fonksiyondur. Periyodik fonksiyonlar yoktur bir sabite eşit, dönemleri kıyaslanamaz rakamlardır.

Güç fonksiyonlarının grafiklerinin çizilmesi.

Güç fonksiyonu. Bu fonksiyon: y = aksn, Nerede BİR- kalıcı. Şu tarihte: N= 1 elde ederiz doğru orantılılık : sen =balta; en N = 2 - kare parabol ; en N = 1 - ters orantı veya abartı. Dolayısıyla bu fonksiyonlar kuvvet fonksiyonunun özel durumlarıdır. Sıfırdan başka herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin 1 olduğunu biliyoruz. N= 0 güç fonksiyonu olur sabit değer: sen =A yani grafiği eksene paralel düz bir çizgidir X, kökeni hariç (lütfen nedenini açıklayın?). Bütün bu durumlar (ile A= 1) Şekil 13'te gösterilmektedir ( N 0) ve Şekil 14 ( N < 0). Negatif değerler X O zamandan bu yana bazı işlevler burada ele alınmamıştır:

Ters fonksiyon

Ters fonksiyon- bu fonksiyon tarafından ifade edilen bağımlılığı tersine çeviren bir fonksiyon. Aşağıdaki özdeşlikler karşılanırsa, bir işlev bir işlevin tersidir: herkes için herkes için

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti. Limitin temel özellikleri.

N'inci kök ve özellikleri.

Bir sayının n'inci kökü, n'inci kuvveti a'ya eşit olan bir sayıdır.

Tanım: Aritmetik kök a'nın n'inci kuvveti, n'inci kuvveti a'ya eşit olan, negatif olmayan bir sayıdır.

Köklerin temel özellikleri:

Rastgele bir gerçek üssü ve özellikleri olan bir kuvvet.

Pozitif bir sayı ve keyfi bir reel sayı verilsin. Sayıya kuvvet denir, sayı kuvvetinin tabanıdır ve sayı üssüdür.

Tanım gereği inanıyorlar:

Eğer ve - pozitif sayılar ve herhangi bir reel sayı ise bunlar geçerlidir aşağıdaki özellikler:

.

.

Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafikleri

Güç fonksiyonu karmaşık değişken F (z) = zn tamsayı üssü ile gerçek argümanın benzer bir fonksiyonunun analitik devamı kullanılarak belirlenir. Bu amaçla karmaşık sayıların üstel yazımı kullanılır. tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonu, çarpım gibi tüm karmaşık düzlemde analitiktir sonlu sayı kimlik eşleme örnekleri F (z) = z. Benzersizlik teoremine göre bu iki kriter, ortaya çıkan analitik sürekliliğin benzersizliği için yeterlidir. Bu tanımı kullanarak, karmaşık bir değişkenin güç fonksiyonunun gerçek emsalinden önemli farklılıklara sahip olduğu sonucuna hemen varabiliriz.

Bu, formunun bir fonksiyonudur. Aşağıdaki durumlar dikkate alınır:

A). Eğer öyleyse. Daha sonra , ; sayı çift ise fonksiyon çifttir (yani herkesin önünde); eğer sayı tekse, o zaman fonksiyon da tektir (yani herkesin önünde).

Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafikleri

Üstel fonksiyon - matematiksel fonksiyon.

Gerçek durumda, derecenin temeli bazı negatif olmayan değerlerdir. gerçek sayı ve fonksiyon argümanı gerçek bir üs.

Teorik olarak karmaşık işlevler Bağımsız değişken ve üssün isteğe bağlı bir karmaşık sayı olabildiği durumlarda daha genel bir durum dikkate alınır.

tam olarak genel görünüm - sen v 1695 yılında Leibniz tarafından ortaya atılan

E sayısının derecenin temeli olarak hareket ettiği durum özellikle dikkate değerdir. Böyle bir fonksiyona üstel (gerçek veya karmaşık) denir.

Özellikler ; ; .

Üstel denklemler.

Doğrudan üstel denklemlere geçelim. Karar vermek için üstel denklemşu teoremi kullanmak gerekir: Üsler eşit ve tabanlar eşit, pozitif ve birden farklı ise üsleri eşittir. Bu teoremi kanıtlayalım: a>1 ve a x =a y olsun.

Bu durumda x=y olduğunu kanıtlayalım. Kanıtlanması gerekenin tam tersini varsayalım. x>y veya x olduğunu varsayalım.<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х evet. Bu sonuçların her ikisi de teoremin koşullarıyla çelişmektedir. Dolayısıyla x = y'nin kanıtlanması gerekiyordu.

Tanım 1. Belirli bir çizgiye dik, belirli bir çizgiye dik olan ve uçlarından biri kesişme noktasında bulunan bir çizgi parçasıdır. Belirli bir çizgi üzerinde bulunan bir parçanın ucuna dikin tabanı denir.

Tanım 2. Belirli bir noktadan belirli bir doğruya çizilen eğime doğru parçası denir bu nokta Bir dikmenin tabanı olmayan bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın, aynı noktadan belirli bir doğruya düşürülmesi. AB, α düzlemine diktir.

AC - eğik, CB - projeksiyon.

C eğik tabandır, B ise dik tabandır.

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı.

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı Düz bir çizgi ile bu çizginin bu düzleme izdüşümü arasındaki herhangi bir açıya denir.

Dihedral açı.

Dihedral açı- mekansal geometrik şekil bir düz çizgiden çıkan iki yarım düzlemin yanı sıra bu yarım düzlemlerle sınırlı uzayın bir kısmından oluşur. Yarım düzlemler denir kenarlar dihedral açı ve bunların ortak düz çizgisi kenar. Dihedral açılar ölçülür doğrusal açı yani bir dihedral açının, kenarına dik bir düzlemle kesişmesiyle oluşan açı. Her çokyüzlü, düzenli veya düzensiz, dışbükey veya içbükey olsun, her kenarda bir dihedral açıya sahiptir.

İki düzlemin dikliği.

DÜZLEMLERİN DİKLİK İŞARETİ.

Bir düzlem başka bir düzleme dik bir çizgiden geçiyorsa bu düzlemler diktir.

Belediye eğitim kurumu

"Kuedino Ortaokulu No. 2"

İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

Tamamlayan: Olga Egorova,

Danışman:

Öğretmen

matematik,

en yüksek yeterlilik

giriiş....……………………………………………………………………………………… 3

Bölüm 1. İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri…………………………………6

1.1 C şıkkındaki irrasyonel denklemlerin çözümü……….….….…………………21

Bölüm 2. Bireysel görevler…………………………………………….....………...24

Cevaplar………………………………………………………………………………………….25

Referans Listesi…….…………………………………………………………………….26

giriiş

Alınan matematik eğitimi ortaokul, öyle temel bileşen genel eğitim Ve genel kültür modern adam. Modern insanı çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. A son başarılar fizik, mühendislik ve bilgi teknolojisinde gelecekte de durumun aynı kalacağına şüphe yok. Bu nedenle birçok kişinin kararı pratik problemler bir karara varmak çeşitli türlerçözmeyi öğrenmeniz gereken denklemler. Bu türlerden biri irrasyonel denklemlerdir.

İrrasyonel denklemler

Bilinmeyen (veya rasyonel) içeren bir denklem cebirsel ifade bilinmeyenden) radikal işareti altında, adı verilen irrasyonel denklem. İlköğretim matematikte irrasyonel denklemlerin çözümleri gerçel sayılar kümesinde bulunur.

Herhangi bir irrasyonel denklem, temel cebirsel işlemler (çarpma, bölme, denklemin her iki tarafını da bir tamsayı kuvvetine yükseltme) kullanılarak rasyonel bir cebirsel denkleme indirgenebilir. Ortaya çıkan rasyonel cebirsel denklemin orijinal irrasyonel denklemle eşdeğer olmayabileceği, yani orijinal irrasyonel denklemin kökleri olmayacak "ekstra" kökler içerebileceği akılda tutulmalıdır. Bu nedenle, ortaya çıkan rasyonelin köklerini bulduktan sonra cebirsel denklem için rasyonel denklemin tüm köklerinin irrasyonel denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

İÇİNDE genel durum Herhangi bir irrasyonel denklemi çözmek için herhangi bir evrensel yöntemi belirtmek zordur, çünkü orijinal irrasyonel denklemin dönüşümleri sonucunda sonucun sadece kökleri arasında kökleri olacak bazı rasyonel cebirsel denklem olmaması arzu edilir. verilen irrasyonel denklemin, ancak mümkün olduğu kadar az polinomdan oluşan rasyonel bir cebirsel denklem. Mümkün olan en küçük derecedeki polinomlardan oluşan rasyonel cebirsel denklemi elde etme arzusu oldukça doğaldır, çünkü rasyonel bir cebirsel denklemin tüm köklerini kendi içinde bulmak oldukça zor olabilir. zor görev bunu ancak çok sınırlı sayıda durumda tamamen çözebiliriz.

İrrasyonel denklem türleri

Çift dereceli irrasyonel denklemleri çözmek her zaman daha fazla sorun tek dereceli irrasyonel denklemleri çözmekten daha iyidir. Tek dereceli irrasyonel denklemleri çözerken OD değişmez. Bu nedenle aşağıda derecesi çift olan irrasyonel denklemleri ele alacağız. İki tür irrasyonel denklem vardır:

2..

Bunlardan ilkini ele alalım.

ODZ denklemleri: f(x)≥ 0. ODZ'DE sol taraf denklem her zaman negatif değildir - bu nedenle bir çözüm yalnızca şu durumlarda mevcut olabilir: G(X)≥ 0. Bu durumda denklemin her iki tarafı da negatif değildir ve üs alma işlemi 2 N eşdeğer bir denklem verir. bunu anladık

Bu durumda şuna dikkat edelim. ODZ otomatik olarak gerçekleştirilir ve bunu yazmanıza gerek yoktur, ancak koşulG(x) ≥ 0 kontrol edilmelidir.

Not: Bu çok önemli durum denklik. Öncelikle öğrenciyi araştırma zorunluluğundan kurtarır ve çözümler bulduktan sonra f(x) ≥ 0 koşulunu (köklü ifadenin negatif olmaması) kontrol eder. İkinci olarak, durumun kontrol edilmesine odaklanırG(x) ≥ 0 – sağ tarafın negatif olmaması. Sonuçta, kareyi aldıktan sonra denklem çözülür yani iki denklem aynı anda çözülür (ancak sayısal eksenin farklı aralıklarında!):

1. - nerede G(X)≥ 0 ve

2. - burada g(x) ≤ 0.

Bu arada, okul dışı ODZ bulma alışkanlığı olan pek çok kişi, bu tür denklemleri çözerken tam tersi davranıyor:

a) Çözümleri bulduktan sonra f(x) ≥ 0 (otomatik olarak karşılanan) koşulunu kontrol ederek aritmetik hatalar yapıp yanlış sonuç elde ederler;

b) koşulu göz ardı edinG(x) ≥ 0 - ve yine cevabın yanlış olduğu ortaya çıkabilir.

Not: Eşdeğerlik koşulu, ODZ'yi bulmanın çözümle ilgili olduğu trigonometrik denklemleri çözerken özellikle kullanışlıdır. trigonometrik eşitsizlikler trigonometrik denklemleri çözmekten çok daha zordur. Trigonometrik denklemlerde eşit koşulları kontrol etme G(X)≥ 0'ı yapmak her zaman kolay değildir.

İkinci tür irrasyonel denklemleri ele alalım.

. Denklem verilsin . ODZ'si:

ODZ'de her iki taraf da negatif değildir ve karesi alma eşdeğer denklemi verir F(x) =G(X). Bu nedenle ODZ'de veya

Bu çözüm yöntemiyle işlevlerden birinin olumsuz olmadığını kontrol etmek yeterlidir - daha basit olanı seçebilirsiniz.

Bölüm 1. İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

1 yöntem. Denklemin her iki tarafını sırayla karşılık gelen değere yükselterek radikallerden kurtulmak doğal derece

İrrasyonel denklemlerin çözümünde en sık kullanılan yöntem, denklemin her iki tarafının uygun doğal kuvvete art arda yükseltilmesiyle radikallerin ortadan kaldırılması yöntemidir. Denklemin her iki tarafı da tek kuvvete yükseltildiğinde ortaya çıkan denklemin orijinal denkleme eşdeğer olduğu ve denklemin her iki tarafı da çift kuvvete yükseltildiğinde ortaya çıkan denklemin genel olarak şu şekilde olacağı unutulmamalıdır: konuşursak, orijinal denkleme eşdeğer olmamalıdır. Bu, denklemin her iki tarafının da herhangi bir çift kuvvete yükseltilmesiyle kolayca doğrulanabilir. Bu işlemin sonucu denklemdir çözüm kümesi, çözüm kümelerinin birleşimi olan: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Ancak Bu dezavantaja rağmen, irrasyonel bir denklemi rasyonel bir denkleme indirgemek için en yaygın prosedür, denklemin her iki tarafını da bir miktar (çoğunlukla çift) kuvvete yükseltme prosedürüdür.

Denklemi çözün:

Nerede - bazı polinomlar. Gerçek sayılar kümesindeki kök çıkarma işleminin tanımı nedeniyle bilinmeyenlerin izin verilen değerleri https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" height = "21">..gif " width = "243" height = "28 src = ">.

Denklem 1'in her iki tarafının da karesi alındığından, denklem 2'nin tüm köklerinin orijinal denklemin çözümü olmayacağı ortaya çıkabilir; köklerin kontrol edilmesi gereklidir.

Denklemi çözün:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Denklemin her iki tarafını da küplersek, şunu elde ederiz:

Şunu göz önünde bulundurarak https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Son denklemin, genel olarak konuşursak, kökleri olmayan kökleri olabilir. denklem ).

Bu denklemin her iki tarafının küpünü alırız: . Denklemi x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 biçiminde yeniden yazıyoruz. Kontrol ederek x1 = 0'ın denklemin yabancı bir kökü olduğunu (-2 ≠ 1) ve x2 = 1'in orijinal denklemi sağladığını tespit ediyoruz. denklem.

Cevap: x = 1.

Yöntem 2. Yenisiyle değiştirme bitişik sistem koşullar

Eşit sıralı radikaller içeren irrasyonel denklemleri çözerken, cevaplarda tanımlanması her zaman kolay olmayan yabancı kökler görünebilir. İrrasyonel denklemleri çözerken, yabancı kökleri tanımlamayı ve atmayı kolaylaştırmak için, bunun yerini hemen bitişik koşullar sistemi alır. Sistemdeki ek eşitsizlikler aslında çözülmekte olan denklemin ODZ'sini hesaba katar. ODZ'yi ayrı olarak bulabilir ve daha sonra hesaba katabilirsiniz, ancak karışık koşul sistemlerinin kullanılması tercih edilir: denklemi çözme sürecinde bir şeyi unutma veya dikkate almama tehlikesi daha azdır. Bu nedenle bazı durumlarda karma sistemlere geçiş yönteminin kullanılması daha akılcı olmaktadır.

Denklemi çözün:

Cevap: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Bu denklem sisteme eşdeğerdir

Cevap: Denklemin çözümü yoktur.

Yöntem 3. N'inci kök özelliklerini kullanma

İrrasyonel denklemleri çözerken n'inci kökün özellikleri kullanılır. Aritmetik kök N- bu arasından dereceler A negatif olmayan bir numarayı aramak N- gücü eşit olan ben A. Eğer N - eşit( 2n), bu durumda a ≥ 0 olur, aksi halde kök mevcut değildir. Eğer N - garip( 2 n+1), o zaman a herhangi bir olur ve = - ..gif" width="45" height="19"> Sonra:

2.

3.

4.

5.

Bu formüllerden herhangi birini resmi olarak uygularken (belirtilen kısıtlamaları dikkate almadan), sol ve ODZ'nin akılda tutulması gerekir. doğru parçalar her biri farklı olabilir. Örneğin, ifade şununla tanımlanır: f ≥ 0 Ve g ≥ 0 ve ifade sanki f ≥ 0 Ve g ≥ 0 ve ile f ≤ 0 Ve g ≤ 0.

1-5 arasındaki formüllerin her biri için (belirtilen kısıtlamalar dikkate alınmadan), sağ tarafındaki ODZ, sol taraftaki ODZ'den daha geniş olabilir. Buradan, denklemin 1-5 formüllerinin "soldan sağa" (yazıldıkları şekliyle) resmi kullanımıyla dönüşümlerinin, orijinal denklemin sonucu olan bir denkleme yol açtığı sonucu çıkar. Bu durumda, orijinal denklemin yabancı kökleri ortaya çıkabilir, bu nedenle doğrulama, orijinal denklemin çözümünde zorunlu bir adımdır.

Denklemlerin 1-5 formüllerinin "sağdan sola" resmi kullanımıyla dönüşümleri kabul edilemez, çünkü orijinal denklemin OD'sini ve dolayısıyla kök kaybını yargılamak mümkündür.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width = "247" height = "61 src = ">,

bu orijinal olanın bir sonucudur. Bu denklemi çözmek bir dizi denklemi çözmeye indirgenir .

Bu kümenin ilk denkleminden https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width=89" height=27"> ifadesini bulduğumuz yerden buluyoruz. bu denklem yalnızca (-1) ve (-2) sayıları olabilir. Bulunan her iki kökün de bu denklemi sağladığını kontrol edin.

Cevap: -1,-2.

Denklemi çözün: .

Çözüm: kimliklere göre ilk terimi ile değiştirin. İkinin toplamı olarak unutmayın Negatif olmayan sayılar sol taraf. Modülü “kaldırın” ve benzer terimleri getirdikten sonra denklemi çözün. O zamandan beri denklemi elde ettik. O zamandan beri , ardından https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" genişlik = "145" yükseklik = "21 src = ">

Cevap: x = 4,25.

Yöntem 4 Yeni değişkenlerin tanıtılması

İrrasyonel denklemleri çözmenin bir başka örneği, daha basit bir irrasyonel denklemin veya rasyonel bir denklemin elde edildiği yeni değişkenlerin tanıtılması yöntemidir.

İrrasyonel denklemleri, denklemi sonucuyla değiştirerek (ardından kökleri kontrol ederek) çözmek şu şekilde yapılabilir:

1. Orijinal denklemin ODZ'sini bulun.

2. Denklemden sonuca gidin.

3. Ortaya çıkan denklemin köklerini bulun.

4. Bulunan köklerin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edin.

Çek aşağıdaki gibidir:

A) Bulunan her kökün orijinal denkleme ait olup olmadığı kontrol edilir. ODZ'ye ait olmayan kökler orijinal denklemin dışındadır.

B) Orijinal denklemin ODZ'sinde yer alan her kök için, sahip olup olmadıkları kontrol edilir. aynı işaretler Orijinal denklemin çözülmesi sürecinde ortaya çıkan denklemlerin her birinin sol ve sağ tarafları eşit bir kuvvete yükseltilir. Herhangi bir denklemin parçalarının eşit güce yükseltildiği kökler farklı işaretler, orijinal denklemin dışındadır.

C) yalnızca orijinal denklemin ODZ'sine ait olan ve orijinal denklemin çözülmesi sürecinde ortaya çıkan ve eşit bir güce yükseltilen denklemlerin her iki tarafının da aynı işaretlere sahip olduğu kökler, doğrudan ikame ile kontrol edilir. orijinal denklem.

Belirtilen doğrulama yöntemine sahip bu çözüm yöntemi, son denklemin bulunan köklerinin her birinin doğrudan orijinal denklemle değiştirilmesi durumunda hantal hesaplamaların önlenmesine olanak tanır.

İrrasyonel denklemi çözün:

.

Birçok kabul edilebilir değerler bu denklem:

Koyduktan sonra ikameden sonra denklemi elde ederiz

veya eşdeğer denklem

açısından ikinci dereceden bir denklem olarak düşünülebilir. Bu denklemi çözersek şunu elde ederiz:

.

Dolayısıyla orijinal irrasyonel denklemin çözüm kümesi, aşağıdaki iki denklemin çözüm kümelerinin birleşimidir:

, .

Bu denklemlerin her birinin her iki tarafını da küp haline getirerek iki rasyonel cebirsel denklem elde ederiz:

, .

Bu denklemleri çözerek, bu irrasyonel denklemin tek bir kökü x = 2 olduğunu buluruz (tüm dönüşümler eşdeğer olduğu için doğrulama gerekmez).

Cevap: x = 2.

İrrasyonel denklemi çözün:

2x2 + 5x – 2 = t olsun. Daha sonra orijinal denklem şu şekli alacaktır: . Ortaya çıkan denklemin her iki tarafının karesi alınarak ve benzer üyeler, öncekinin sonucu olan bir denklem elde ederiz. Ondan buluyoruz t=16.

Bilinmeyen x'e dönersek, orijinal denklemin bir sonucu olan 2x2 + 5x – 2 = 16 denklemini elde ederiz. Kontrol ederek x1 = 2 ve x2 = - 9/2 köklerinin orijinal denklemin kökleri olduğuna ikna olduk.

Cevap: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 yöntem. Denklemin özdeş dönüşümü

İrrasyonel denklemleri çözerken, denklemin her iki tarafını da doğal kuvvete yükselterek, irrasyonel denklemin çözümünü rasyonel bir cebirsel denklemin çözümüne indirgemeye çalışarak denklemi çözmeye başlamamalısınız. Öncelikle denklemin çözümünü önemli ölçüde basitleştirebilecek özdeş bir dönüşüm yapmanın mümkün olup olmadığını görmemiz gerekiyor.

Denklemi çözün:

Bu denklem için kabul edilebilir değerler kümesi: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Bu denklemi 'ye bölelim.

.

Şunu elde ederiz:

a = 0 olduğunda denklemin çözümleri olmayacaktır; denklem şu şekilde yazılabilir:

çünkü bu denklemin çözümü yok X, sete ait Denklemin izin verilen değerleri, denklemin sol tarafındaki ifade pozitiftir;

Denklemin bir çözümü olduğunda

Denklemin kabul edilebilir çözüm kümesinin koşul tarafından belirlendiğini hesaba katarsak, sonunda şunu elde ederiz:

Bu irrasyonel denklemi çözerken https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> denklemin çözümü şu şekilde olacaktır. Diğer tüm değerler için X Denklemin çözümü yoktur.

ÖRNEK 10:

İrrasyonel denklemi çözün: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" genişlik = "381" yükseklik = "51">

Sistemin ikinci dereceden denkleminin çözümü iki kök verir: x1 = 1 ve x2 = 4. Ortaya çıkan köklerden ilki sistemin eşitsizliğini sağlamaz, dolayısıyla x = 4 olur.

Notlar

1) Aynı dönüşümleri gerçekleştirmek, kontrol etmeden yapmanıza olanak sağlar.

2) x – 3 ≥0 eşitsizliği şunu ifade eder: özdeş dönüşümler ve denklemin tanım alanına değil.

3) Denklemin sol tarafında azalan fonksiyon, sağ tarafında ise artan fonksiyon bulunmaktadır. Azalan ve artan fonksiyonların tanım alanlarının kesişimindeki grafikleri birden fazla olamaz. ortak nokta. Açıkçası bizim durumumuzda x = 4 grafiklerin kesişme noktasının apsisidir.

Cevap: x = 4.

6 yöntemi. Denklemleri Çözmek İçin Fonksiyonlar Tanım Kümesini Kullanmak

Bu yöntem, https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> işlevlerini içeren denklemleri çözerken ve alan tanımlarını bulurken en etkilidir. (F)..gif" genişlik = "53" yükseklik = "21"> .gif" width = "88" height = "21 src = ">, ardından aralığın sonlarında denklemin doğru olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir;< 0, а b >0 ise aralıklarla kontrol edilmesi gerekir (bir;0) Ve . E(y)'deki en küçük tam sayı 3'tür.