Fourier serisi bile periyodik fonksiyon Periyodu 2p olan f(x) yalnızca kosinüs terimlerini içerir (yani sinüs terimlerini içermez) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

katsayılar nerede Fourier serisi,

Sinüslerde Fourier serisinin açılımı

Periyodu 2p olan tek bir periyodik fonksiyon f(x)'in Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serisi

Eğer bir fonksiyon sadece 0'dan 2p'ye değil de 0'dan p'ye kadar bir aralık için tanımlanmışsa, sadece sinüs veya sadece kosinüs cinsinden bir seriye genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir yakın Fourier Açık yarım döngü.

Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Fourier Açık yarım döngü İle kosinüs f(x)'in 0 ila p aralığında fonksiyonları varsa, o zaman çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x = 0 ila x = p aralığına dayanan f(x) = x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Eğer dikkate alınan aralığın dışında elde edilen sonucu varsayarsak üçgen şekli 2p'lik bir periyot ile periyodiktir, o zaman son grafik şöyle görünür, göster. incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer almanız gerekiyorsa ayrışma Fourier Açık yarım döngü İle sinüsler f(x) fonksiyonlarının 0 ila p aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=p aralığına dayanan f(x) =x fonksiyonu verilmiştir. Çünkü Tek işlev Orijine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi CD çizgisini oluşturuyoruz.

Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2p periyotlu periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.

Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve krank mekanizmalarının stresi, yer değiştirmesi, hızı ve ivmesi ve akustik dalgalar- bunlar tipiktir pratik örnekler Periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarına uygulanması.

Fourier serisi açılımı, hepsinin sahip olduğu varsayımına dayanmaktadır. pratik önemi-π ≤x≤ π aralığındaki fonksiyonlar, yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebilir (bir seri, terimlerinin oluşturduğu kısmi toplamlar dizisi yakınsaksa, yakınsak kabul edilir):

sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani

-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

a o , a n ve b n katsayılarına denir Fourier katsayıları ve bulunabilirlerse seri (1) çağrılır Fourier yakınında, fonksiyona karşılık gelen f(x). Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik,

Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.

Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x+α 2) denir ikinci harmonik ve benzeri.

Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıüyeler. Ancak birçok durumda pratik problemler yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.

Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.

Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.

Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.

Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Çünkü yeni özellik 2π periyoduyla periyodiktir, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).

f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.

Çift ve tek fonksiyonlar.

y=f(x) fonksiyonunu söylüyorlar eşit, eğer x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) ise. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyona iki örnek: y=x2 ve y=cosx.

y=f(x) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar garip, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) ise. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.

Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serileri.

Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir Yarım döngüde Fourier yakınında.

Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Kosinüslere göre yarım döngü Fourier f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer almanız gerekiyorsa Fourier yarım döngü sinüs genişlemesi f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, CD çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Keyfi bir aralık için Fourier serileri.

Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.

Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.

-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. Eğer u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:

(Entegral sınırları, L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)

L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.

u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; V Yarım çevrimde Fourier serisi.

0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:

Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.

Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ve akustik dalgalar, periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarında kullanımının tipik pratik örnekleridir.

Fourier serisi açılımı, -π ≤x≤ π aralığında pratik öneme sahip tüm fonksiyonların yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebileceği varsayımına dayanmaktadır (bir seri, terimlerinden oluşan kısmi toplamlar dizisi yakınsak olarak kabul edilir). yakınsar):

sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani

-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

a o , a n ve b n katsayılarına denir Fourier katsayıları ve bulunabilirlerse seri (1) çağrılır Fourier'in yanında, f(x) fonksiyonuna karşılık gelir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik,

Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.

Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x+α 2) denir ikinci harmonik ve benzeri.

Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.

Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.

Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.

Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.

Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).

f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.

Çift ve tek fonksiyonlar.

y=f(x) fonksiyonunu söylüyorlar eşit, eğer x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) ise. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyona iki örnek: y=x2 ve y=cosx.

y=f(x) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar garip, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) ise. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.

Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serileri.

Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir Yarım döngüde Fourier yakınında.

Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Kosinüslere göre yarım döngü Fourier f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer almanız gerekiyorsa Fourier yarım döngü sinüs genişlemesi f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, CD çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Keyfi bir aralık için Fourier serileri.

Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.

Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.

-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. Eğer u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:

(Entegral sınırları, L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)

L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.

u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; V Yarım çevrimde Fourier serisi.

0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:

Fourier serileri, belirli bir periyoda sahip keyfi bir fonksiyonun seri şeklinde temsilidir. İÇİNDE Genel görünüm bu karar bir elemanın ortogonal temelde ayrışmasına denir. Fonksiyonların Fourier serilerine genişletilmesi, entegrasyon, türev alma ve ifadelerin argüman ve evrişim yoluyla değiştirilmesi sırasındaki bu dönüşümün özelliklerinden dolayı çeşitli problemleri çözmek için oldukça güçlü bir araçtır.

Tanımadığı bir kişi yüksek Matematik Fransız bilim adamı Fourier'in çalışmalarının yanı sıra, büyük olasılıkla bu "dizilerin" ne olduğunu ve ne için gerekli olduklarını anlamayacaktır. Bu arada bu dönüşüm hayatımıza oldukça entegre oldu. Sadece matematikçiler tarafından değil aynı zamanda fizikçiler, kimyagerler, doktorlar, gökbilimciler, sismologlar, oşinograflar ve daha birçok kişi tarafından da kullanılmaktadır. Zamanının ötesinde bir keşif yapan büyük Fransız bilim adamının çalışmalarına da daha yakından bakalım.

İnsan ve Fourier dönüşümü

Fourier serileri (analiz ve diğerleri ile birlikte) yöntemlerden biridir. Bu süreç, kişi her ses duyduğunda gerçekleşir. Kulağımız dönüşümü otomatik olarak gerçekleştirir temel parçacıklar V elastik ortam sıralar halinde düzenlenmiş (spektruma göre) ardışık değerler Farklı perdelerdeki tonlar için ses seviyeleri. Daha sonra beyin bu verileri aşina olduğumuz seslere dönüştürür. Bütün bunlar bizim arzumuzun veya bilincimizin dışında, kendi kendine gerçekleşir, ancak bu süreçleri anlamak için yüksek matematik okumak birkaç yıl alacaktır.

Fourier dönüşümü hakkında daha fazla bilgi

Fourier dönüşümü analitik, sayısal ve diğer yöntemler kullanılarak gerçekleştirilebilir. Fourier serileri, okyanus gelgitleri ve ışık dalgalarından güneş (ve diğer astronomik nesnelerin) faaliyet döngülerine kadar her türlü salınım sürecini ayrıştırmanın sayısal yöntemini ifade eder. Bu matematiksel teknikleri kullanarak herhangi bir şeyi temsil eden fonksiyonları ayrıştırabilirsiniz. salınımlı süreçler Minimumdan maksimuma ve geriye doğru hareket eden bir dizi sinüzoidal bileşen olarak. Fourier dönüşümü, belirli bir frekansa karşılık gelen sinüzoidlerin fazını ve genliğini tanımlayan bir fonksiyondur. Bu süreç çok çözmek için kullanılabilir karmaşık denklemler termal, ışık veya etkisi altında ortaya çıkan dinamik süreçleri tanımlayan elektrik enerjisi. Ayrıca Fourier serileri, karmaşık salınım sinyallerindeki sabit bileşenlerin izole edilmesini mümkün kılarak elde edilen sonuçların doğru şekilde yorumlanmasını mümkün kılar. deneysel gözlemler tıpta, kimyada ve astronomide.

Tarihsel referans

Bu teorinin kurucu babası Fransız matematikçi Jean Baptiste Joseph Fourier'dir. Bu dönüşüme daha sonra onun adı verildi. Başlangıçta bilim adamı, yöntemini termal iletkenlik mekanizmalarını - ısının yayılımını - incelemek ve açıklamak için kullandı. katılar. Fourier, başlangıçtaki düzensiz dağılımın, her birinin kendi minimum ve maksimum sıcaklığına ve ayrıca kendi fazına sahip olacak basit sinüzoidlere ayrıştırılabileceğini öne sürdü. Bu durumda, bu tür bileşenlerin her biri minimumdan maksimuma ve geriye doğru ölçülecektir. Matematiksel fonksiyon Eğrinin üst ve alt tepe noktalarının yanı sıra her bir harmoniğin fazını tanımlayan sıcaklık dağılım ifadesinin Fourier dönüşümü olarak adlandırıldı. Teorinin yazarı bir araya getirildi genel fonksiyon dağıtımı zor olan matematiksel açıklama, birlikte orijinal dağılımı veren çok uygun bir kosinüs ve sinüs serisine.

Dönüşüm ilkesi ve çağdaşların görüşleri

Bilim adamının çağdaşları, on dokuzuncu yüzyılın başlarının önde gelen matematikçileri, bu teoriyi kabul etmediler. Ana itiraz Fourier'in şu iddiasıydı: süreksiz fonksiyon Düz bir çizgiyi veya süreksiz bir eğriyi tanımlayan, sürekli olan sinüzoidal ifadelerin toplamı olarak temsil edilebilir. Örnek olarak Heaviside adımını düşünün: değeri süreksizliğin solunda sıfır, sağında ise birdir. Bu işlev bağımlılığı açıklar elektrik akımı Devre kapatıldığında geçici bir değişkenden. O dönemde teorinin çağdaşları daha önce hiç karşılaşmamıştı. benzer durum burada süreksiz bir ifade, üstel, sinüs, doğrusal veya ikinci dereceden gibi sürekli, geleneksel fonksiyonların bir kombinasyonu ile tanımlanacaktır.

Fourier'in teorisi konusunda Fransız matematikçilerin kafasını karıştıran şey neydi?

Sonuçta, eğer matematikçi ifadelerinde haklıysa, o zaman sonsuzu toplayın trigonometrik seri Fourier'e göre, birçok benzer adıma sahip olsa bile bir adım ifadesinin tam bir temsilini elde etmek mümkündür. On dokuzuncu yüzyılın başında böyle bir ifade saçma görünüyordu. Ancak tüm şüphelere rağmen, birçok matematikçi bu fenomenle ilgili çalışmalarının kapsamını genişleterek konuyu termal iletkenlik çalışmasının ötesine taşıdı. Ancak çoğu bilim adamı şu soruyla işkence görmeye devam etti: "Sinüzoidal bir serinin toplamı şuna yakınsabilir mi? Kesin değer süreksiz fonksiyon?

Fourier serilerinin yakınsaklığı: bir örnek

Yakınsaklık sorunu, sonsuz sayı serilerini toplamanın gerekli olduğu her durumda ortaya çıkar. Bu fenomeni anlamak için şunu düşünün: klasik örnek. Sonraki her adım bir öncekinin yarısı kadar olursa duvara ulaşabilecek misiniz? Diyelim ki hedefinizden iki metre uzaktasınız, ilk adım sizi yolun yarısına, sonraki adım dörtte üçüne götürüyor ve beşinci adımdan sonra yolun neredeyse yüzde 97'sini kat etmiş olacaksınız. Ancak ne kadar adım atarsanız atın matematiksel anlamda amaçladığınız hedefe ulaşamazsınız. Sayısal hesaplamalar kullanılarak, sonunda istediğiniz kadar yaklaşmanın mümkün olduğu kanıtlanabilir. belirtilen mesafe. Bu ispat, yarım, dörtte bir vb. toplamının birliğe yöneleceğini göstermeye eşdeğerdir.

Yakınsama Sorunu: İkinci Geliş veya Lord Kelvin'in Enstrümanı

Defalarca bu soru 19. yüzyılın sonunda gelgitlerin gel-git yoğunluğunu tahmin etmek için Fourier serilerini kullanmaya çalıştıklarında yükseldi. Bu sıralarda Lord Kelvin, askeri denizcilerin ve denizcilerin kullanımına olanak sağlayan analog bir bilgisayar cihazı olan bir alet icat etti. ticaret filosu bunu takip et doğal bir fenomen. Bu mekanizma, yıl boyunca belirli bir limanda dikkatlice ölçülen gelgit yükseklikleri ve bunlara karşılık gelen zaman noktalarından oluşan bir tablodan aşamaları ve genlikleri belirledi. Her parametre gelgit yüksekliği ifadesinin sinüzoidal bir bileşeniydi ve düzenli bileşenlerden biriydi. Ölçümlerin sonuçları, suyun yüksekliğini zamanın bir fonksiyonu olarak tahmin eden bir eğri sentezleyen Lord Kelvin'in hesaplama cihazına girildi. gelecek yıl. Çok geçmeden dünyanın tüm limanları için benzer eğriler çizildi.

Peki ya süreç süreksiz bir işlev nedeniyle kesintiye uğrarsa?

O zamanlar bir gelgit dalgası tahmin cihazının olduğu açık görünüyordu. büyük miktar hesap öğeleri hesaplayabilir çok sayıda fazlar ve genlikler sağlar ve böylece daha fazlasını sağlar doğru tahminler. Ancak sentezlenmesi gereken gelgit ifadesinin keskin bir sıçrama içerdiği yani süreksiz olduğu durumlarda bu örüntünün görülmediği ortaya çıktı. Cihaza zaman anları tablosundan veriler girilirse, birkaç Fourier katsayısı hesaplanır. Sinüzoidal bileşenler sayesinde (bulunan katsayılara uygun olarak) orijinal fonksiyon geri yüklenir. Orijinal ifade ile yeniden oluşturulmuş ifade arasındaki tutarsızlık herhangi bir noktada ölçülebilir. Tekrarlanan hesaplamalar ve karşılaştırmalar yapılırken, değerin en büyük hata azalmaz. Ancak süreksizlik noktasına karşılık gelen bölgede lokalize olurlar ve diğer herhangi bir noktada sıfıra yönelirler. 1899'da bu sonuç Yale Üniversitesi'nden Joshua Willard Gibbs tarafından teorik olarak doğrulandı.

Fourier serilerinin yakınsaması ve genel olarak matematiğin gelişimi

Fourier analizi, belirli bir aralıkta sonsuz sayıda sivri uç içeren ifadelere uygulanamaz. Genel olarak Fourier serileri, eğer orijinal fonksiyon gerçek fonksiyonun sonucuyla temsil ediliyorsa fiziksel boyut, her zaman birleşin. Yakınsama sorunları bu süreç belirli fonksiyon sınıfları için matematikte yeni dalların ortaya çıkmasına yol açtı, örneğin genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisi. L. Schwartz, J. Mikusinski ve J. Temple gibi isimlerle anılmaktadır. Bu teori çerçevesinde açık ve kesin bir teorik temel Dirac delta fonksiyonu (bir noktanın sonsuz küçük komşuluğunda yoğunlaşan tek bir alanın bölgesini tanımlar) ve Heaviside “adımı” gibi ifadeler altında. Bu çalışma sayesinde Fourier serileri sezgisel kavramlar içeren denklemlerin ve problemlerin çözümünde uygulanabilir hale geldi: puan ücreti nokta kütlesi, manyetik dipoller ve ayrıca kiriş üzerindeki konsantre yük.

Fourier yöntemi

Fourier serileri girişim ilkelerine uygun olarak açılımla başlar karmaşık şekiller daha basit olanlara. Örneğin, değişiklik ısı akışıısı yalıtımlı malzemeden yapılmış çeşitli engellerin içinden geçmesiyle açıklanmaktadır düzensiz şekil veya dünya yüzeyinde bir değişiklik - bir deprem, yörüngede bir değişiklik Gök cismi- gezegenlerin etkisi. Kural olarak, basitleri tanımlayan benzer denklemler klasik sistemler, her bir dalga için kolayca çözülür. Fourier bunu gösterdi basit çözümler daha fazla çözümü elde etmek için de toplanabilir. karmaşık görevler. Matematiksel açıdan Fourier serileri, bir ifadeyi harmoniklerin (kosinüs ve sinüs) toplamı olarak temsil etmeye yönelik bir tekniktir. Bu yüzden bu analiz harmonik analiz olarak da bilinir.

Fourier serisi - “bilgisayar çağından” önce ideal bir teknik

Bilgisayar teknolojisinin yaratılmasından önce Fourier tekniği, bilim adamlarının cephaneliğindeki en iyi silahtı. dalga doğa dünyamız. Karmaşık formdaki Fourier serisi sadece çözmeyi mümkün kılmaz basit görevler, kendilerine ödünç veren doğrudan uygulama Newton'un mekanik yasaları, aynı zamanda temel denklemler. On dokuzuncu yüzyılda Newton biliminin keşiflerinin çoğu yalnızca Fourier'in tekniğiyle mümkün oldu.

Bugün Fourier serisi

Bilgisayarların gelişmesiyle birlikte Fourier dönüşümleri niteliksel bir düzeye yükseldi yeni seviye. Bu teknik, bilim ve teknolojinin neredeyse tüm alanlarında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Bir örnek dijital ses ve videodur. Uygulanması ancak geliştirilen teori sayesinde mümkün oldu Fransız matematikçi on dokuzuncu yüzyılın başında. Böylece Fourier serilerinin karmaşık formda olması, çalışmada bir atılım yapılmasını mümkün kıldı. uzay. Ayrıca fizik çalışmalarını da etkiledi. yarı iletken malzemeler ve plazma, mikrodalga akustiği, oşinografi, radar, sismoloji.

Trigonometrik Fourier serisi

Matematikte Fourier serisi keyfi temsil etmenin bir yoludur. karmaşık işlevler daha basit olanların toplamı. İÇİNDE genel durumlar bu tür ifadelerin sayısı sonsuz olabilir. Üstelik hesaplamada sayıları ne kadar dikkate alınırsa o kadar doğru olur. son sonuç. En sık protozoa olarak kullanılır trigonometrik fonksiyonlar kosinüs veya sinüs. Bu durumda Fourier serilerine trigonometrik, bu tür ifadelerin çözümüne ise harmonik genişleme adı verilir. Bu yöntem oynuyor önemli rol Matematikte. Her şeyden önce trigonometrik seri, fonksiyonları tasvir etmek ve incelemek için bir araç sağlar; teorinin ana aracıdır. Ayrıca birçok sorunu çözmenize de olanak tanır. matematiksel fizik. Son olarak bu teorinin gelişmesine katkı sağladı ve çok önemli birçok bölümü hayata geçirdi. matematik bilimi(integral teorisi, periyodik fonksiyonlar teorisi). Ayrıca hizmet verdi başlangıç ​​noktası gelişim için aşağıdaki işlevler Reel değişken ve aynı zamanda harmonik analizin temelini attı.

Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı Bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi Bir fonksiyon için Fourier serisi keyfi dönem Karmaşık kayıt Fourier serileri Genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri Fourier serileri ortogonal sistem Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin bütünlüğü ve kapalılığı

Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı \-1 aralığında tanımlanan, I > 0 olan bir f(x) fonksiyonu, çift fonksiyonun grafiği ordinat eksenine göre simetrik olsa bile çağrılır. J parçası üzerinde tanımlanan ve I > 0 olan bir f(x) fonksiyonuna, eğer tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetrikse tek fonksiyon denir. Örnek. a) Fonksiyon |-jt, jt aralığında çifttir, çünkü tüm x e b) Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı, bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya sinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi olduğundan, fonksiyon tektir. kosinüs Keyfi periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serileri Fourier serilerinin karmaşık gösterimi Genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri Bir ortogonal sistem için Fourier serileri Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı c) Fonksiyon f (x)=x2-x, burada ne çift ne de tek fonksiyonlara ait değildir, çünkü Teorem 1'in koşullarını sağlayan f(x) fonksiyonu x| aralığında çift olsun. O zaman herkes için yani. /(g) çünkü nx eşit işlev ve f(x)sinnx tektir. Bu nedenle, bir çift fonksiyon f(x)'in Fourier katsayıları eşit olacaktır. Bu nedenle, bir çift fonksiyonun Fourier serisi, f(x) sin х - bir çift fonksiyon biçimine sahiptir. Bu nedenle, tek bir fonksiyonun Fourier serisi Örnek 1 formunu alır. Fonksiyon 4'ü -x ^ x ^ n aralığında bir Fourier serisine genişletin. Bu fonksiyon çift olduğundan ve Teorem 1'in koşullarını sağladığından, o zaman Fourier serisi Fourier katsayılarını bulun biçimine sahiptir. İntegrali iki kez parçalar halinde uygulayarak şunu elde ederiz: Yani, bu fonksiyonun Fourier serisi şuna benzer: veya genişletilmiş biçimde, Bu eşitlik herhangi bir x € için geçerlidir, çünkü x = ±ir noktalarında toplamı f(x) = x fonksiyonunun grafikleri ve elde edilen serilerin toplamı Şekil 2'de verildiğinden, seri f(x) = x2 fonksiyonunun değerleriyle çakışmaktadır. Yorum. Bu Fourier serisi, yakınsak sayısal serilerden birinin toplamını bulmamızı sağlar, yani x = 0 için Örnek 2'yi elde ederiz. /(x) = x fonksiyonunu aralıktaki bir Fourier serisine genişletin. /(x) fonksiyonu Teorem 1'in koşullarını karşılar, bu nedenle bir Fourier serisine genişletilebilir, bu fonksiyonun tuhaflığı nedeniyle şu forma sahip olacaktır: Parçalara göre integral alarak Fourier katsayılarını buluruz. Bu fonksiyonun Fourier serisi şu şekildedir: Bu eşitlik x - ±t noktalarındaki tüm x B için geçerlidir, Fourier serilerinin toplamı /(x) = x fonksiyonunun değerleriyle örtüşmez, çünkü eşittir [-*, i-] aralığının dışında serinin toplamı /(x) = x fonksiyonunun periyodik bir devamıdır; grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 6. § 6. Bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi Aralıkta sınırlı, parçalı monoton bir fonksiyon / verilsin. Bu fonksiyonun 0| aralığındaki değerleri çeşitli şekillerde daha da tanımlanabilir. Örneğin, tc] segmentinde bir / fonksiyonu tanımlayabilirsiniz, böylece /. Bu durumda şöyle derler: “0] segmentine eşit bir şekilde uzatılır”; Fourier serisi yalnızca kosinüsleri içerecektir. /(x) fonksiyonu [-l-, mc] aralığında /( olacak şekilde tanımlanırsa, o zaman sonuç tek bir fonksiyon olur ve sonra /'nin “[-*, 0] aralığına genişletildiğini” söylerler. tuhaf bir şekilde”; bu durumda Fourier serisi yalnızca sinüsleri içerecektir. Böylece aralıkta tanımlanan her sınırlı parçalı monotonik fonksiyon hem sinüs hem de kosinüslerde bir Fourier serisine genişletilebilir. Fonksiyon bir Fourier serisine genişletilebilir: a) kosinüslerle; b) sinüslere göre. M |-x,0) segmentindeki çift ve tek devamlarıyla bu fonksiyon sınırlı ve parçalı monoton olacaktır. a) /(z)'yi 0 doğru parçasına uzatalım) a) j\x)'i (-тр,0|) doğru parçasına eşit bir şekilde uzatalım (Şek. 7), o zaman onun Fourier serisi i, П= formunu alacaktır. 1 burada Fourier katsayıları eşittir. Bu nedenle, b) /(z)'yi [-x,0] doğru parçasına garip bir şekilde uzatalım (Şekil 8). Sonra Fourier serisi §7. Rastgele periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serisi (Fix fonksiyonu) 21,1 ^ 0 periyoduyla periyodik olsun. I > 0 aralığında bir Fourier serisine genişletmek için, x = jt şeklinde bir değişken değişikliği yaparız. . O zaman F(t) = / ^tj fonksiyonu, t argümanının periyotlu periyodik bir fonksiyonu olacaktır ve segment üzerinde bir Fourier serisine genişletilebilir. x değişkenine, yani ayara dönersek, tüm teoremlerin geçerli olduğunu elde ederiz. Periyodu 2π olan Fourier serisi periyodik fonksiyonlar için, keyfi periyodu 21 olan periyodik fonksiyonlar için geçerli kalır. Özellikle, aynı zamanda geçerli kalır. yeterli gösterge Fourier serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği. Örnek 1. Formülle [-/,/] aralığında verilen, periyodu 21 olan bir periyodik fonksiyonu Fourier serisine genişletin (Şekil 9). Çünkü bu fonksiyon eşitse, Fourier serisi şu şekildedir: Fourier katsayılarının bulunan değerlerini Fourier serisine değiştirerek, elde ederiz Bir şeyi not ediyoruz önemli özellik periyodik fonksiyonlar. Teorem 5. Eğer bir fonksiyon T periyoduna sahipse ve integrallenebilirse, bu durumda herhangi bir a sayısı için m eşitliği sağlanır. yani uzunluğu T periyoduna eşit olan bir doğru parçasının integrali, bu parçanın sayı eksenindeki konumu ne olursa olsun aynı değere sahiptir. Aslında ikinci integralde değişken değişimini varsayarak yapıyoruz. Bu verir ve dolayısıyla Geometrik olarak bu özellik, Şekil 2'de gölgeli alan durumunda şu anlama gelir: 10 alan birbirine eşittir. Özellikle, periyodu olan bir f(x) fonksiyonu için, çift ve tek fonksiyonların Fourier serisine genişletilmesi, bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi, keyfi bir fonksiyon için Fourier serisi periyot Fourier serisinin karmaşık gösterimi Genel ortogonal sistem fonksiyonlarında Fourier serileri Ortogonal sistemdeki Fourier serileri Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı Örnek 2. x fonksiyonu bir periyotla periyodiktir Bu fonksiyonun tuhaflığı, integralleri hesaplamadan, herhangi biri için şunu söyleyebiliriz: Kanıtlanmış özellik, özellikle periyodu 21 olan bir f(x) periyodik fonksiyonunun Fourier katsayılarının, a'nın bir olduğu formüller kullanılarak hesaplanabileceğini gösterir. keyfi gerçek Numara(dikkat çünkü işlevler- ve günahın periyodu 2/). Örnek 3. Periyodu 2x olan bir aralıkta verilen bir fonksiyonu Fourier serisine genişletin (Şekil 11). 4 Bu fonksiyonun Fourier katsayılarını bulalım. Bulduğumuz formülleri koyarsak, Fourier serisi şu şekilde görünecektir: x = jt noktasında (birinci türden süreksizlik noktası) §8'e sahibiz. Fourier serisinin karmaşık gösterimi Bu bölümde bazı öğeler kullanılmıştır kapsamlı analizler(burada gerçekleştirilen tüm eylemlerin yer aldığı XXX bölümüne bakın) karmaşık ifadeler, kesinlikle haklı). f(x) fonksiyonunun Fourier serisinde genişleme için yeterli koşulları sağlamasına izin verin. O zaman x] parçası üzerinde şu formdaki bir dizi ile temsil edilebilir. Euler formüllerini kullanarak Bu ifadeleri cos πx ve sin φx yerine seri (1)'e koyarsak aşağıdaki gösterimi tanıtalım. Sonra seri (2) alacaktır. form Böylece Fourier serisi (1) karmaşık formda (3) temsil edilir. İntegraller aracılığıyla katsayıların ifadelerini bulalım. Benzer şekilde, с, с_п ve с için son formüller şu şekilde yazılabilir: . . Katsayılar c', periyotlu bir periyodik fonksiyon için fonksiyonun karmaşık Fourier katsayıları olarak adlandırılır. karmaşık biçim Fourier serileri, Cn katsayılarının formüller kullanılarak hesaplandığı şekli alacaktır. (3) ve (4) serilerinin yakınsaması şu şekilde anlaşılmaktadır: (3) ve (4) serilerine yakınsak denir. verilen değer g, eğer sınırlar varsa Örnek. Ayrıştırma karmaşık seri Dönemin Fourier fonksiyonu Bu fonksiyon bir Fourier serisinde ayrıştırılabilirlik için yeterli koşulları karşılar. Bu fonksiyonun karmaşık Fourier katsayılarını bulalım. Çift n için tekimiz var, kısacası. Değerleri yerine koyarsak, sonunda şunu elde ederiz: Bu serinin aşağıdaki şekilde de yazılabileceğine dikkat edin: Genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri 9.1. Ortogonal fonksiyon sistemleri Bir kare ile tanımlanmış ve [a, 6] aralığında integrallenebilir tüm (gerçek) fonksiyonlar kümesini, yani kendisi için bir integralin mevcut olduğu fonksiyonları, özellikle tüm f(x) fonksiyonlarını sürekli olarak gösterelim. [a , 6] aralığında, 6'ya aittir ve Lebesgue integrallerinin değerleri, Riemann integrallerinin değerleriyle örtüşmektedir. Tanım. Koşul (1) özellikle hiçbir fonksiyonun tam olarak sıfır olmadığını varsayıyorsa, [a, b\ aralığında ortogonal olarak adlandırılan bir fonksiyonlar sistemi. İntegral Lebesgue anlamında anlaşılmaktadır. ve niceliğe fonksiyonun normu deriz. Eğer bir ortogonal sistemde sahip olduğumuz herhangi bir n için bu fonksiyon sistemine ortonormal denir. Eğer (y>(x)) sistemi dik ise sistem Örnek 1'dir. Trigonometrik sistem segment üzerinde dik. Fonksiyonlar sistemi, Örnek 2'deki ortonormal bir fonksiyon sistemidir. Kosinüs sistemi ve sinüs sistemi ortonormaldir. (0, f| aralığında ortogonal olduklarını, ancak ortonormal olmadıklarını (I Ф- 2 için). Normları COS olduğundan Örnek 3. Eşitlik ile tanımlanan polinomlara Legendre polinomları (polinomlar) adı verilir. n = 0'a sahibiz. Fonksiyonların aralıkta bir ortonormal fonksiyon sistemi oluşturduğu kanıtlanabilir. Örneğin, Legendre polinomlarının dikliğini gösterelim. Bu durumda n kere kısmi integral alalım. t/m = (z2 - I)m fonksiyonu için m - I dahil mertebesine kadar tüm türevlerin [-1,1] bölümünün uçlarında sıfırlandığını buluruz. Tanım. Bir fonksiyonlar sistemi (pn(x)) (a, b) aralığı üzerinde p(x) çıkıntısıyla dik olarak adlandırılır, eğer: 1) tüm n = 1,2,... için integraller varsa. p(x) ağırlık fonksiyonunun tanımlı olduğu ve olası istisna dışında (a, b) aralığının her yerinde pozitif olduğu varsayılmıştır. sonlu sayı p(x)'in yok olabileceği noktalar. Formül (3)'te farklılaşmayı yaptıktan sonra buluyoruz. Chebyshev-Hermite polinomlarının, Örnek 4 aralığında dik olduğu gösterilebilir. Bessel fonksiyonları sistemi (jL(pix)^, Bessel fonksiyonunun sıfır aralıklarında diktir. Örnek 5. Chebyshev-Hermite polinomlarını düşünün; ortogonal sistemde Fourier serileri (a, 6) aralığında ortogonal bir fonksiyonlar sistemi olsun ve (cj = const) serisinin bu aralıkta f(x) fonksiyonuna yakınsamasını sağlayın: Son eşitliğin her iki tarafının -sabit ile çarpılması ve x üzerinden a'dan 6'ya kadar integral alınması Sistemin ortogonalliği nedeniyle, bu işlemin genel anlamda tamamen biçimsel bir karaktere sahip olduğunu elde ederiz. Ancak bazı durumlarda, örneğin (4) serisinin düzgün yakınsak olması, tüm fonksiyonların sürekli olması ve (a, 6) aralığının sonlu olması durumunda bu işlem yasaldır. Ancak artık bizim için önemli olan resmi yorumdur. O halde bir fonksiyon verilsin. Formül (5)'e göre c* sayılarını oluşturalım ve yazalım. Sağ taraftaki seriye f(x) fonksiyonunun (^n(i)) sistemine göre Fourier serisi denir. bu sisteme göre f(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları denir. Formül (6)'daki ~ işareti yalnızca Cn sayılarının formül (5)'e göre f(x) fonksiyonuyla ilişkili olduğu anlamına gelir (sağdaki serinin hiç yakınsak olduğu varsayılmaz, f fonksiyonuna çok daha az yakınsar) (X)). Dolayısıyla doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Bu serinin özellikleri nelerdir? Hangi anlamda f(x) fonksiyonunu “temsil eder”? 9.3. Ortalama Tanımda Yakınsama. Norm Teorem 6 uzayındaysa bir dizi ortalama olarak ] elemanına yakınsar. Bir dizi ) düzgün bir şekilde yakınsarsa, o zaman ortalama olarak yakınsar. M ()) dizisinin [a, b] aralığında /(x) fonksiyonuna düzgün yakınsak olmasına izin verin. Bu, herkes için, yeterince büyük olan tüm n'ler için, ifademizin buradan çıktığı Dolayısıyla elimizde olduğu anlamına gelir. Bunun tersi doğru değildir: () dizisi ortalama olarak /(x)'e yakınsak olabilir ancak düzgün yakınsak olmayabilir. Örnek. nx dizisini düşünün Bunu görmek kolaydır. Ancak bu yakınsaklık tekdüze değildir: örneğin, n ne kadar büyük olursa olsun, keyfi periyoda sahip bir fonksiyon için kosinüs Fourier serisinde bir e vardır. Fourier serilerinin genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri Bir ortogonal sistem için Fourier serileri Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı ve Let Fonksiyonun Fourier katsayılarını c* ile gösteririz /(x) ) bir ortonormal sistem tarafından b n ^ 1'in sabit bir tam sayı olduğu doğrusal bir kombinasyon düşünün ve integralin aldığı sabitlerin değerlerini bulun. Minimum değer. Daha detaylı yazalım. Sistemin ortonormalliği nedeniyle terimin integralini alırsak eşitliğin sağ tarafındaki ilk iki terim (7) bağımsızdır ve üçüncü terim negatif değildir. Bu nedenle integral (*), ak = sk'de minimum değer alır. İntegral, /(x) fonksiyonunun Tn(x)'in doğrusal birleşimiyle ortalama kare yaklaşımı olarak adlandırılır. Böylece /\ fonksiyonunun ortalama karekök yaklaşımı minimum değeri aldığında. Tn(x), f(x) fonksiyonunun Fourier serisinin () sistemi üzerindeki 71'inci kısmi toplamı olduğunda. Ak = sk olarak ayarlandığında, (7)'den Eşitlik (9)'u elde ederiz, Bessel özdeşliği denir. Sol Taraf Negatif değilse, Bessel'in eşitsizliği bundan kaynaklanır. Burada keyfi olduğum için, Bessel'in eşitsizliği güçlendirilmiş bir biçimde temsil edilebilir, yani herhangi bir fonksiyon için / bu fonksiyonun ortonormal bir sistemdeki kare Fourier katsayıları serisi) yakınsar. Sistem [-x, m] aralığında ortonormal olduğundan, trigonometrik Fourier serisinin olağan notasyonuna çevrilen eşitsizlik (10), entegre edilebilir bir kareye sahip herhangi bir /(x) fonksiyonu için geçerli olan do ilişkisini verir. Eğer f2(x) integrallenebilirse, o zaman gerekli kondisyon(11) eşitsizliğinin sol tarafında serinin yakınsamasını elde ederiz. Parseval eşitliği Bazı sistemler için (^'(x)) formül (10)'daki eşitsizlik işareti (tüm f(x) 6 × fonksiyonları için) bir eşittir işaretiyle değiştirilebilir. Ortaya çıkan eşitliğe Parseval-Steklov eşitliği (tamlık koşulu) adı verilir. Bessel özdeşliği (9), koşul (12)'yi eşdeğer biçimde yazmamızı sağlar. Dolayısıyla tamlık koşulunun gerçekleşmesi şu anlama gelir: kısmi miktarlar/(x) fonksiyonunun Fourier serisinin Sn(x)'i ortalama olarak /(x) fonksiyonuna yakınsar, yani uzay normuna göre 6]. Tanım. Bir ortonormal sistem (, eğer her fonksiyona, c formunun yeterince doğrusal bir kombinasyonu ile ortalama olarak herhangi bir doğrulukla yaklaşılabilirse, b2[ау b]'de tam sistem olarak adlandırılır. Büyük bir sayı terimler, yani her /(x) € b2[a, b\ fonksiyonu için ve herhangi bir e > 0 için varsa doğal sayı nq ve a\, a2y... sayıları, öyle ki Hayır Yukarıdaki mantıktan Teorem 7 izlenir. Ortonormalleştirme yoluyla sistem ) uzayda tamamlanırsa, bu sistem üzerindeki herhangi bir fonksiyonun Fourier serisi f(x)'e yakınsar ortalama, yani normlara göre trigonometrik sistemin uzayda tam olduğu gösterilebilir. Bu ifadeyi ima eder. Teorem 8. Bir fonksiyonun trigonometrik Fourier serisi ona ortalama olarak yakınsarsa. 9.5. Kapalı sistemler. Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı Tanımı. Li\a, b) uzayında tüm fonksiyonlara dik sıfırdan farklı bir fonksiyon yoksa, \ ortonormal fonksiyonlar sistemine kapalı denir. L2\a, b\ uzayında, ortonormal sistemlerin tamlık ve kapalılık kavramları çakışır. Alıştırmalar 1. Fonksiyon 2'yi (-i-, x) aralığında bir Fourier serisine genişletin 2. Fonksiyonu (-tr, tr) aralığında bir Fourier serisine genişletin 3. Fonksiyon 4'ü bir Fourier serisine genişletin (-tr, tr) aralığını (-jt, tr) aralığında bir Fourier serisine dönüştürün. fonksiyon 5. f(x) = x + x fonksiyonunu (-tr, tr) aralığında bir Fourier serisine genişletin. 6. n fonksiyonunu (-jt, tr) aralığında bir Fourier serisine genişletin. 7. /(x) = sin2 x fonksiyonunu (-tr, x) aralığında bir Fourier serisine genişletin. 8. f(x) = y fonksiyonunu (-tr, jt) aralığında bir Fourier serisine genişletin 9. f(x) = | fonksiyonunu genişletin günah x|. 10. f(x) = § fonksiyonunu (-π-, π) aralığındaki bir Fourier serisine genişletin. 11. f(x) = sin § fonksiyonunu (-tr, tr) aralığındaki bir Fourier serisine genişletin. 12. (0, x) aralığında verilen f(x) = n -2x fonksiyonunu bir Fourier serisine genişletin ve onu (-x, 0) aralığına genişletin: a) eşit bir şekilde; b) tuhaf bir şekilde. 13. (0, x) aralığında verilen /(x) = x2 fonksiyonunu sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin. 14. (-2,2) aralığında verilen /(x) = 3 fonksiyonunu Fourier serisine genişletin. 15. (-1,1) aralığında verilen f(x) = |x| fonksiyonunu Fourier serisine genişletin. 16. (0,1) aralığında belirtilen f(x) = 2x fonksiyonunu sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin.