Алгебрийн материалыг судлах арга зүйн ерөнхий шинж чанар. Бага сургуульд алгебрийн материалыг заах

Танилцуулга.................................................. ....... ................................................. ............. ....... 2

Бүлэг I. Судалгааны онолын ерөнхий асуудлууд алгебрийн материалбага сургуульд.................................................. ...................... ................................................ ................ .............. 7

1.1 Бага сургуульд алгебрийн элементүүдийг нэвтрүүлсэн туршлага...................................... 7

1.2 Алгебрийн ойлголтыг нэвтрүүлэх сэтгэл зүйн үндэс

бага сургуульд.................................................. ................................................... 12

1.3 Алгебрийн ойлголтын гарал үүслийн асуудал, түүний ач холбогдол

барих академик сэдэв..................................................... 20

2.1 Бага сургуульд хэрэгцээний үүднээс суралцах

ахлах сургууль................................................. ........ ................................... 33

2.1 Математикийн хичээлийн үзэл баримтлалыг харьцуулах (эсрэгжүүлэх).... 38

2.3 Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлийг хамтран судлах 48

III бүлэг. Рыльск хотын 4-р дунд сургуулийн бага ангийн математикийн хичээлд алгебрийн материалыг судлах дадлага........................... ................... ...55

3.1 Ашиглах үндэслэл шинэлэг технологи(технологи

нэгтгэх дидактик нэгжүүд)..................................................... 55

3.2 Танилцсан туршлагын тухай алгебрийн ойлголтууднэгдүгээр ангид .... 61

3.3 Биеийн хөдөлгөөнтэй холбоотой асуудлыг шийдэж сурах................................... 72

Дүгнэлт.................................................. ................................................... ...... .76

Ном зүй.......................................................................... 79

Хэзээ ч орчин үеийн систем ерөнхий боловсролматематикийн нэг юм төв газрууд, энэ нь мэдлэгийн энэ чиглэлийн өвөрмөц байдлыг илтгэх нь дамжиггүй.

Юу вэ орчин үеийн математик? Яагаад хэрэгтэй байна вэ? Эдгээр болон үүнтэй төстэй асуултуудыг хүүхдүүд ихэвчлэн багш нараас асуудаг. Хариулт нь хүүхдийн хөгжлийн түвшин, түүний боловсролын хэрэгцээ шаардлагаас хамааран өөр өөр байх болно.

Математик бол орчин үеийн шинжлэх ухааны хэл гэж байнга ярьдаг. Гэсэн хэдий ч энэ мэдэгдэлд томоохон алдаа байгаа бололтой. Математикийн хэл нь маш өргөн тархсан бөгөөд ихэвчлэн үр дүнтэй байдаг, учир нь математикийг үүнтэй харьцуулах боломжгүй юм.

Оросын нэрт математикч А.Н. Колмогоров бичсэн нь: "Математик бол хэл, логик хоёрын нэг юм. Энэ нь математикийг ашиглан сэтгэхүйн үр дүнг төвлөрүүлдэг нэг үндэслэлийг нөгөөтэй нь холбох ... Хачирхалтай хууль, дүрмүүд бүхий байгалийн илт ээдрээ, тэдгээр нь тус бүр нь маш өөр өөр боломжийг олгодог. дэлгэрэнгүй тайлбар, үнэн хэрэгтээ нягт холбоотой байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та математикийг ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол энэ олон янзын баримтаас логик нь нэгээс нөгөөд шилжих боломжийг олгодог гэдгийг та харахгүй" (44-р тал).

Тиймээс математик нь биднийг хүрээлэн буй ертөнцийг судлахад шаардлагатай сэтгэлгээний тодорхой хэлбэрийг бий болгох боломжийг олгодог.

Одоогийн байдлаар бидний байгалийн тухай мэдлэгийн түвшин ба хүн, түүний сэтгэхүй, сэтгэн бодох үйл явцын талаарх бидний ойлголт хоорондын үл нийцэх байдал улам бүр мэдэгдэхүйц болж байна. В.В.Сойер “Математикийн удиртгал” (х. 7) номондоо: “Бид оюутнуудад олон төрлийн бодлого шийдвэрлэж сургаж чадна, гэвч бид суралцагчдадаа зөвхөн мэдлэг төдийгүй уян хатан чанарыг эзэмшүүлж чадсан цагт л жинхэнэ сэтгэл ханамж ирнэ. "Сэтгэлийн тухай" гэдэг нь тэдэнд ирээдүйд бие даан шийдвэрлэх төдийгүй өөрсдөдөө шинэ зорилт тавих боломжийг олгоно.

Мэдээжийн хэрэг, энд мартаж болохгүй тодорхой хил хязгаарууд байдаг: олон зүйл төрөлхийн чадвар, авъяас чадвараар тодорхойлогддог. Гэсэн хэдий ч бид боловсрол, хүмүүжилээс хамааран бүхэл бүтэн хүчин зүйлийг тэмдэглэж болно. Энэ нь ерөнхийдөө боловсролын асар их ашиглагдаагүй боломжуудыг зөв үнэлэх нь туйлын чухал юм математикийн боловсролялангуяа.

Сүүлийн жилүүдэд нэвтрэлтийн тогтвортой хандлага ажиглагдаж байна математик аргуудтүүх, филологи, хэл шинжлэл, сэтгэл судлал гэх мэт шинжлэх ухаанд. Тиймээс, тэдний дараагийн үед хүмүүсийн тойрог мэргэжлийн үйл ажиллагааМагадгүй тэд математикийн хичээлийг өргөжүүлэх болно.

Манай боловсролын систем нь олон хүний ​​хувьд математикийн соёлд нэгдэх, математикт агуулагдах үнэт зүйлсийг эзэмших цорын ганц боломжийг сургууль олгодог байхаар зохион бүтээгдсэн.

Ер нь математикийн нөлөөлөл юу вэ ба сургуулийн математикялангуяа боловсролын хувьд бүтээлч зан чанар? Математикийн хичээл дээр асуудал шийдвэрлэх урлагийг заах нь сурагчдын тодорхой сэтгэлгээг хөгжүүлэх маш таатай боломжийг бидэнд олгодог. Судалгааны үйл ажиллагааны хэрэгцээ нь хэв маягийн сонирхлыг хөгжүүлж, хүний ​​сэтгэлгээний гоо үзэсгэлэн, зохицлыг олж харахыг заадаг. Энэ бүхэн бидний бодлоор хамгийн чухал элемент ерөнхий соёл. Математикийн хичээл нь үүсэхэд чухал нөлөө үзүүлдэг янз бүрийн хэлбэрүүдсэтгэлгээ: логик, орон зай-геометр, алгоритм. Ямар ч бүтээлч үйл явцтаамаглал дэвшүүлэхээс эхэлдэг. Математик нь сургалтын зохих зохион байгуулалттай, таамаглал дэвшүүлж, шалгах сайн сургууль тул харьцуулалтыг заадаг. янз бүрийн таамаглал, хамгийн сайн сонголтыг олох, шинэ даалгавар тавих, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг хайх. Бусад зүйлсээс гадна тэрээр арга зүйн дадал зуршлыг бий болгодог бөгөөд үүнгүйгээр бүтээлч үйл явцыг төсөөлөх аргагүй юм. Хүний сэтгэлгээний боломжийг дээд зэргээр нэмэгдүүлснээр математик нь түүнийх юм хамгийн өндөр амжилт. Энэ нь хүнийг өөрийгөө ойлгож, зан чанарыг төлөвшүүлэхэд тусалдаг.

Энэ бол бага зэрэг том жагсаалтМатематикийн мэдлэг яагаад ерөнхий соёлын салшгүй хэсэг болох ёстой вэ гэсэн шалтгаанууд ба зайлшгүй элементхүүхэд өсгөн хүмүүжүүлэх, сургахад.

Манай 10 жилийн сургуулийн математикийн хичээл (геометргүй) үндсэндээ арифметик (I - V анги), алгебр (VI -) гэсэн гурван үндсэн хэсэгт хуваагддаг. VIII анги) ба шинжилгээний элементүүд (IX - X анги). Ийм хуваах үндэслэл нь юу вэ?

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хэсэг бүр өөрийн гэсэн тусгай "технологи"-той байдаг. Тиймээс арифметикийн хувьд энэ нь жишээлбэл, хийсэн тооцоололтой холбоотой байдаг олон оронтой тоонууд, алгебрт - ижил хувиргалт, логарифм, шинжилгээнд - ялгах гэх мэт. Гэхдээ хэсэг бүрийн үзэл баримтлалын агуулгатай холбоотой ямар гүн гүнзгий шалтгаанууд байдаг вэ?

Дараагийн асуултСургуулийн арифметик ба алгебрийг ялгах үндэслэлтэй холбоотой (өөрөөр хэлбэл хичээлийн эхний болон хоёрдугаар хэсэг). Арифметик нь натурал тоо (эерэг бүхэл тоо) ба бутархай (анхны ба аравтын тоо) зэргийг судалдаг. Гэсэн хэдий ч тусгай шинжилгээСургуулийн нэг хичээл дээр эдгээр төрлийн тоог хослуулах нь хууль бус болохыг харуулж байна.

Баримт нь эдгээр тоонууд нь өөр өөр функцтэй байдаг: эхнийх нь объектыг тоолох, хоёр дахь нь хэмжигдэхүүнийг хэмжихтэй холбоотой юм. Энэ нөхцөл байдал нь бутархай (рационал) тоо нь зөвхөн бодит тоонуудын онцгой тохиолдол гэдгийг ойлгоход маш чухал юм.

Хэмжигдэхүүнийг хэмжих үүднээс авч үзвэл, A.N. Колмогоров, "Рациональ ба иррациональ бодит тоонуудын хооронд тийм гүн гүнзгий ялгаа байдаггүй, гэхдээ тэдгээрийг бутархай хэлбэрээр бичихэд хялбар байдаг тул сурган хүмүүжүүлэх шалтгаанаар тэд удаан хугацаагаар үлддэг тэдгээрийг эхнээс нь шууд бодит тоонд бүхэлд нь хүргэх ёстой" (), х. 9).

А.Н. Колмогоров математикийн хөгжлийн түүхийн үүднээс ч, мөн чанартаа А.Лебесгийн заахдаа натурал тоонуудын дараа шууд бодит тооны гарал үүсэл, логик шинж чанар руу шилжих саналыг үндэслэлтэй гэж үзсэн. Үүний зэрэгцээ, A.N. Колмогоров хэлэхдээ "хэмжигдэхүүнийг хэмжих үүднээс рационал ба бодит тоог бий болгох хандлага нь жишээлбэл, "хос" хэлбэрээр рационал тоог нэвтрүүлэхээс багагүй шинжлэх ухааны үндэслэлтэй юм давуу тал” (х. 10).

Тиймээс байгаа бодит боломжнатурал (бүхэл тоо) тоонуудын үндсэн дээр нэн даруй "тооны тухай хамгийн ерөнхий ойлголт" (А. Лебесгийн нэр томъёо), бодит тооны тухай ойлголтыг бүрдүүлнэ. Гэхдээ программын барилгын үүднээс авч үзвэл энэ нь сургуулийн тайлбарт бутархай арифметикийг арилгахаас илүү эсвэл бага зүйл гэсэн үг биш юм. Бүхэл тооноос бодит тоо руу шилжих нь арифметикаас "алгебр" руу шилжих шилжилт, дүн шинжилгээ хийх суурийг бий болгох явдал юм.

Одоогоос 20 гаруй жилийн өмнө илэрхийлэгдэж байсан эдгээр санаанууд өнөөдөр ч ач холбогдолтой хэвээр байна. Бага ангийн математикийн сургалтын бүтцийг өөрчлөх боломжтой юу? энэ чиглэлд? "Алгебрчлалын" давуу болон сул талууд юу вэ? бага боловсролматематик? Энэхүү ажлын зорилго нь тавьсан асуултуудад хариулт өгөхийг хичээх явдал юм.

Энэхүү зорилгыг хэрэгжүүлэхийн тулд дараахь ажлуудыг шийдвэрлэх шаардлагатай.

Бага сургуульд хэмжигдэхүүн ба тооны алгебрийн ойлголтыг нэвтрүүлэх онолын ерөнхий асуудлуудыг авч үзэх. Энэ даалгавар нь ажлын эхний бүлэгт тавигдсан;

Бага сургуульд эдгээр ойлголтыг заах тусгай аргуудыг судлах. Энд, ялангуяа дидактик нэгжийн томрох онолыг (UDE) авч үзэхийг зорьж байгаа бөгөөд үүнийг доор авч үзэх болно;

Хэлэлцэж буй заалтуудын практик хэрэглээг харуулах сургуулийн хичээлбага сургуульд математик (хичээлийг зохиолч Рыльск хотын 4-р дунд сургуульд заасан). Ажлын гурав дахь бүлэг нь үүнд зориулагдсан болно.

-д зориулсан ном зүйтэй холбоотой энэ асуудал, дараахь зүйлийг тэмдэглэж болно. Хэдийгээр саяхан болсон ч гэсэн нийт тоо хэмжээхэвлэгдсэн арга зүйн уран зохиолМатематикийн хувьд ажил бичихэд маш бага мэдээлэл байсан; Үнэхээр 1960 оноос (асуудал тавигдаж байсан үе) 1990 он хүртэл. манай улсад гарч ирсэн асар их тооМатематикийн хичээлд алгебрийн ойлголтыг нэвтрүүлэх асуудлыг нэг хэмжээгээр хөндсөн боловсрол, шинжлэх ухаан, арга зүйн ном зохиол. бага сургууль. Нэмж дурдахад эдгээр асуудлыг тусгайлсан тогтмол хэвлэлд тогтмол бичдэг. Тиймээс уг бүтээлийг бичихдээ "Сурган хүмүүжүүлэх ухаан", "Сургуульд математик заах нь", "Бага сургууль" сэтгүүлийн нийтлэлийг ихэвчлэн ашигласан.

Эрдмийн хичээлийн агуулга нь олон хүчин зүйлээс хамаардаг - оюутнуудын мэдлэгт тавигдах амьдралын шаардлага, холбогдох шинжлэх ухааны түвшин, хүүхдийн сэтгэцийн болон бие бялдрын насны чадвар гэх мэт. Эдгээр хүчин зүйлсийг зөв авч үзэх нь сургуулийн сурагчдын хамгийн үр дүнтэй боловсрол олгох, тэдний танин мэдэхүйн чадварыг өргөжүүлэх зайлшгүй нөхцөл юм. Гэхдээ заримдаа энэ нөхцөл нь нэг шалтгаанаар биелдэггүй. Энэ тохиолдолд заах нь хүүхдүүдийн дугуйланг эзэмшихэд хүссэн үр дүнг өгдөггүй шаардлагатай мэдлэг, мөн тэдний оюун ухааныг хөгжүүлэхтэй холбоотой.

Одоогийн байдлаар зарим хичээлийн хичээл, тэр дундаа математикийн сургалтын хөтөлбөр нь амьдралын шинэ шаардлага, хөгжлийн түвшинд нийцэхгүй байгаа бололтой. орчин үеийн шинжлэх ухаан(жишээлбэл, математик) болон шинэ өгөгдөл хөгжлийн сэтгэл зүйба логик. Энэ нөхцөл байдал нь боловсролын сэдвүүдийн шинэ агуулгын боломжит төслүүдийг иж бүрэн онолын болон туршилтын туршилт хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.

Суурь математикийн мэдлэгбага ангиас эхэлдэг. Гэвч харамсалтай нь математикчид өөрсдөө ч, арга зүйч, сэтгэл судлаачид ч анхан шатны математикийн агуулгад маш бага анхаарал хандуулдаг. Бага сургуулийн (I - IV анги) математикийн хөтөлбөр нь үндсэн шинж чанараараа 50-60 жилийн өмнө үүссэн бөгөөд тухайн үеийн математик, арга зүй, сэтгэл зүйн үзэл санааны тогтолцоог аяндаа тусгасан гэдгийг хэлэхэд хангалттай.

Онцлог шинж чанаруудыг авч үзье улсын стандартбага сургуульд математикийн чиглэлээр. Үүний гол агуулга нь тодорхой дарааллаар судлагдсан бүхэл тоо ба тэдгээрийн үйлдлүүд юм. Нэгдүгээрт, дөрвөн үйлдлийг 10 ба 20-ийн хязгаарт, дараа нь - 100-ийн хязгаарт аман тооцоолол, 1000-ын хязгаарт аман болон бичгийн тооцоог, эцэст нь сая, тэрбумын хязгаарт судалдаг. IV ангид өгөгдөл болон үр дүнгийн хоорондын зарим хамаарлыг судалдаг. арифметик үйлдлүүд, түүнчлэн энгийн бутархай. Үүний зэрэгцээ хөтөлбөрт суралцах орно хэмжүүрцаг хугацааны хэмжүүр, тэдгээрийг хэмжихэд ашиглах чадварыг эзэмших, харааны геометрийн зарим элементүүдийн талаархи мэдлэг - тэгш өнцөгт ба дөрвөлжин зурах, сегмент, тэгш өнцөгт ба дөрвөлжингийн талбайг хэмжих, эзлэхүүнийг тооцоолох.

Оюутнууд олж авсан мэдлэг, ур чадвараа асуудал шийдвэрлэх, энгийн тооцоолол хийхэд ашиглах ёстой. Хичээлийн туршид асуудлыг шийдвэрлэх нь тоо, үйлдлүүдийг судлахтай зэрэгцэн явагддаг - үүнд тохиромжтой цагийн хагасыг хуваарилдаг. Асуудлыг шийдвэрлэх нь сурагчдад үйлдлүүдийн тодорхой утгыг ойлгох, тэдгээрийг хэрэглэх янз бүрийн тохиолдлыг ойлгох, хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтоох, дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх үндсэн ур чадварыг эзэмшихэд тусалдаг. I-IV ангиас хүүхдүүд дараахь үндсэн төрлийн бодлогуудыг (энгийн ба нийлмэл) шийддэг: нийлбэр ба үлдэгдэл, үржвэр ба хуваах, өгөгдсөн тоог нэмэгдүүлэх, багасгах, ялгавар ба олон тооны харьцуулалт, энгийн. гурвын дүрэм, дээр пропорциональ хуваагдал, хоёр ялгаанаас үл мэдэгдэхийг олох, арифметик дундажийг тооцоолох болон бусад зарим төрлийн бодлого.

ХАМТ янз бүрийн төрөлХүүхдүүд асуудал шийдвэрлэхдээ хэмжигдэхүүнүүдийн хамааралтай тулгардаг. Гэхдээ оюутнууд тоо судалсны дараа болон дараа нь асуудал үүсгэж эхэлдэг нь ердийн зүйл юм; шийдвэрлэхэд шаардагдах гол зүйл бол тоон хариултыг олох явдал юм. Хүүхдүүд ерөнхийдөө авч үздэг тодорхой, тодорхой нөхцөл байдалд тоон харилцааны шинж чанарыг тодорхойлоход ихээхэн бэрхшээлтэй байдаг арифметикийн асуудлууд. Практикаас харахад тоонуудын манипуляци нь ихэвчлэн асуудлын нөхцөл байдлын бодит дүн шинжилгээг бодит хэмжигдэхүүний хамаарлын үүднээс орлуулдаг. Түүгээр ч зогсохгүй сурах бичигт оруулсан асуудлууд нь илүү "нарийн төвөгтэй" нөхцөл байдал нь тоон харилцааны "гүнзгий" давхаргатай холбоотой байх тогтолцоог төлөөлдөггүй. Ижил бэрхшээлтэй асуудлуудыг сурах бичгийн эхэнд болон төгсгөлд олж болно. Тэд хэсэг бүрээс хэсэг, ангиас ангид өрнөлийн нарийн төвөгтэй байдлын дагуу (үйл ажиллагааны тоо нэмэгддэг), тооны зэрэглэлээр (арваас тэрбум хүртэл), нарийн төвөгтэй байдлаас хамааран өөрчлөгддөг. физик хамаарал(тархалтын асуудлаас хөдөлгөөний асуудал хүртэл) болон бусад параметрийн дагуу. Зөвхөн нэг параметр - математикийн хуулиудын тогтолцоог гүнзгийрүүлэх нь тэдгээрт сул, тодорхой бус байдлаар илэрдэг. Тиймээс шалгуур тогтооход маш хэцүү байдаг математикийн хүндрэлнэг эсвэл өөр даалгавар. Хоёр ялгааг ашиглан үл мэдэгдэхийг олох, арифметик дундажийг олох асуудал яагаад гардаг вэ (III анги) илүү хэцүү даалгаварялгаа ба олон харьцуулалтын хувьд (II анги)? Арга зүй нь энэ асуултад үнэмшилтэй, логик хариулт өгдөггүй.

Тиймээс бага ангийн сурагчид тоон онолын элементүүдийг судлахдаа хэмжигдэхүүний хамаарал, хэмжигдэхүүний ерөнхий шинж чанаруудын талаар хангалттай, бүрэн мэдлэг олж авдаггүй, учир нь сургуулийн хичээл дээр тэд үндсэндээ тооцоолох техниктэй холбоотой байдаг, эсвэл шийдвэрлэх үед. асуудлууд, учир нь сүүлийнх нь зохих хэлбэргүй, шаардлагатай системгүй байдаг. Арга зүйчдийн заах арга барилыг сайжруулах оролдлого нь хэсэгчилсэн амжилтанд хүргэсэн боловч хүлээн зөвшөөрөгдсөн агуулгын хүрээнд урьдчилан хязгаарлагддаг тул ерөнхий байдлыг өөрчлөхгүй.

Батлагдсан арифметикийн хөтөлбөрт шүүмжлэлтэй дүн шинжилгээ хийхдээ дараахь заалтуудыг үндэслэн хийх ёстой юм шиг байна.

Тооны тухай ойлголт нь объектын тоон шинж чанарын тухай ойлголттой ижил биш юм;

Тоо нь тоон харьцааг илэрхийлэх анхны хэлбэр биш юм.

Эдгээр заалтуудын үндэслэлийг хүргэе.

Орчин үеийн математик (ялангуяа алгебр) нь тоон бүрхүүлгүй тоон харилцааны талуудыг судалдаг гэдгийг сайн мэддэг. Зарим тоон хамаарал нь тоо, тооноос өмнө, жишээлбэл, сегмент, эзлэхүүн гэх мэтээр илэрхийлэгдэх боломжтой гэдгийг сайн мэддэг. (харилцаа "илүү", "бага", "тэнцүү"). Математикийн анхны ерөнхий ойлголтуудын танилцуулга орчин үеийн удирдамжобъектыг тоогоор илэрхийлэхийг шаарддаггүй ийм бэлгэдлээр хийгдсэн. Тиймээс, E.G-ийн номонд. Гонин "Онолын арифметик"-д математикийн үндсэн объектуудыг эхнээс нь үсгээр тэмдэглэсэн байдаг. тусгай тэмдэг(, хуудас 12 – 15). Энэ нь тодорхой төрлийн тоо болон тоон хамааралЭдгээрийг зөвхөн жишээ, олонлогийн шинж чанаруудын дүрслэл болгон өгсөн бөгөөд тэдгээрийн цорын ганц боломжтой, өвөрмөц байдлаар биш юм одоо байгаа хэлбэрилэрхийллүүд. Цаашилбал, бие даасан математикийн тодорхойлолтуудын олон дүрслэлийг оруулсан нь анхаарал татаж байна график хэлбэр, сегмент, талбайн харьцаагаар дамжуулан (, хуудас 14-19). Олонлог ба хэмжигдэхүүний бүх үндсэн шинж чанарыг тоон системийг оролцуулалгүйгээр гаргаж, зөвтгөж болно; Түүнээс гадна, сүүлийнх нь математикийн ерөнхий ойлголтын үндсэн дээр үндэслэлээ хүлээн авдаг.

Хариуд нь сэтгэл зүйч, багш нарын хийсэн олон тооны ажиглалтаас харахад тоон санаанууд нь тоонуудын талаархи мэдлэг, тэдгээрийг хэрхэн ашиглах талаар мэдлэг олж авахаас хамаагүй өмнө хүүхдүүдэд бий болдог. Үнэн бол эдгээр санааг "математикийн өмнөх формац" гэж ангилах хандлага байдаг (энэ нь объектын тоон шинж чанарыг тоогоор тодорхойлдог уламжлалт аргуудын хувьд байгалийн юм) боловч энэ нь хүүхдийн ерөнхий төлөв байдалд тэдний үндсэн функцийг өөрчилдөггүй. юмсын шинж чанарт чиг баримжаа олгох. Заримдаа эдгээр "математикийн өмнөх тогтоц" -ын гүн нь хүүхдийн өөрийн математик сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд нарийн ширийн зүйлийн мэдлэгээс илүү чухал байдаг. компьютерийн технологимөн цэвэр тоон хамаарлыг олох чадвар. Академич гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй А.Н. Математикийн бүтээлч байдлын онцлогийг тодорхойлсон Колмогоров дараахь нөхцөл байдлыг онцгойлон тэмдэглэв: "Ихэнх үндэслэлээр математикийн нээлтүүдзарим нэг энгийн санаа оршдог: харааны геометрийн барилга, шинэ энгийн тэгш бус байдал гэх мэт. Та үүнийг зөв хэрэгжүүлэх хэрэгтэй энгийн санааэхлээд харахад боломжгүй мэт санагдах асуудлыг шийдвэрлэх" (, х. 17).

Одоогийн байдлаар шинэ хөтөлбөрийг бий болгох бүтэц, арга замын талаархи олон янзын санаанууд тохиромжтой. Үүнийг бүтээх ажилд математикч, сэтгэл зүйч, логикч, арга зүйчдийг татан оролцуулах шаардлагатай байна. Гэхдээ бүх тодорхой хувилбаруудад дараахь үндсэн шаардлагыг хангасан байх ёстой.

Бага, дунд сургуулийн математикийн агуулгын хоорондын зөрүүг арилгах;

объектив ертөнцийн тоон харилцааны үндсэн хуулиудын талаархи мэдлэгийн тогтолцоог бүрдүүлэх; энэ тохиолдолд тоонуудын шинж чанарууд нь хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх тусгай хэлбэр болох боловч хөтөлбөрийн үндсэн хэсэг биш байх ёстой;

Хүүхдэд зөвхөн тооцоолох чадвар биш, математик сэтгэлгээний аргуудыг бий болгох: энэ нь бодит хэмжигдэхүүний хамаарлын хүрээг (математикийг физик, хими, биологи болон тусгайлан судалдаг бусад шинжлэх ухаантай холбох) судлахад үндэслэсэн асуудлын тогтолцоог бий болгох явдал юм. тоо хэмжээ);

Тохиромжтой хүснэгт, лавлах ном болон бусад туслах (ялангуяа цахим) хэрэгслээр хийх боломжгүй ажлыг багасгах, тооцооллын бүх арга техникийг эрс хялбаршуулах.

Эдгээр шаардлагын утга нь тодорхой юм: бага сургуульд математикийг тоон харилцааны хууль тогтоомж, хэмжигдэхүүний хамаарлын тухай шинжлэх ухаан болгон заах бүрэн боломжтой; тооцоолох техник, тооны онолын элементүүд нь хөтөлбөрийн тусгай болон хувийн хэсэг болох ёстой.

1960-аад оны сүүлчээс эхлэн математикийн шинэ хөтөлбөр боловсруулах туршлага, түүний туршилтын туршилт нь сургуулийн нэгдүгээр ангиас эхлэн математикийн системчилсэн хичээлийг нэвтрүүлэх, тоон хамаарал, хамаарлын талаар мэдлэг олгох боломжийн талаар ярих боломжийг бидэнд олгож байна. хэмжигдэхүүнүүдийн алгебрийн хэлбэрээр .

1.2 Бага сургуульд алгебрийн ойлголтыг нэвтрүүлэх сэтгэл зүйн үндэс

Сүүлийн үед хөтөлбөрүүдийг шинэчлэх замаар онцгой утгасургуулийн хичээлд онолын үндэс суурийг тавих (энэ чиг хандлага нь энд болон гадаадад тодорхой харагдаж байна). Энэхүү чиг хандлагыг заах ажилд хэрэгжүүлэх нь (ялангуяа бага ангид, жишээ нь Америкийн сургуульд ажиглагдсан) хэд хэдэн асуудал үүсгэх нь гарцаагүй. хэцүү асуултуудцэцэрлэгийн урд болон боловсролын сэтгэл зүймөн дидактикаас өмнө, учир нь хүүхдийн олонлогийн тухай ойлголтын утгыг шингээх онцлог шинжийг харуулсан судалгаа бараг байдаггүй (маш иж бүрэн судлагдсан тоо, тоог шингээхээс ялгаатай).

Логик ба сэтгэлзүйн судалгаа сүүлийн жилүүдэд(ялангуяа Ж.Пиажегийн бүтээл) зарим “механизм” хоорондын холбоог илчилсэн. хүүхдийн сэтгэлгээматематикийн ерөнхий ойлголтуудтай. Доор бид энэ холболтын онцлог, тэдгээрийн математикийг боловсролын хичээл болгон бий болгох ач холбогдлын талаар тусгайлан авч үзэх болно (бид энэ талаар ярих болно. онолын талпрограмын аль нэг хувилбарын тухай биш).

Натурал тоо нь түүхийн туршид математикийн үндсэн ойлголт байсаар ирсэн; Энэ нь үйлдвэрлэл, технологи, бүх салбарт маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. өдөр тутмын амьдрал. Энэ нь онолын математикчдад түүнийг томилох боломжийг олгодог онцгой газарматематикийн бусад ойлголтуудын дунд. IN янз бүрийн хэлбэрүүднатурал тооны тухай ойлголт нь эхний шат юм гэсэн мэдэгдлүүд хийгдсэн математикийн хийсвэрлэл, энэ нь ихэнх математикийн хичээлүүдийг бий болгох үндэс суурь болдог.

Математикийн анхны элементүүдийг хичээл болгон сонгох нь эдгээрийг үндсэндээ хэрэгжүүлдэг ерөнхий заалтууд. Энэ тохиолдолд хүүхэд тоотой танилцаж байхдаа нэгэн зэрэг өөрөө олж мэддэг гэж үздэг. анхны шинж чанаруудтоон харилцаа. Тоолох, тоолох нь сургуулийн дараа дараагийн математикийн сурах үндэс юм.

Гэсэн хэдий ч эдгээр заалтууд нь тооны тусгай, үндсэн утгыг зөв онцлон харуулахын зэрэгцээ математикийн бусад ойлголттой уялдаа холбоог хангалтгүй илэрхийлж, математикийг эзэмших үйл явцад тооны байр суурь, үүргийг буруу үнэлдэг гэж үзэх үндэслэл бий. . Энэ нөхцөл байдлаас шалтгаалан, ялангуяа математикийн батлагдсан хөтөлбөр, арга, сурах бичгүүдэд зарим томоохон дутагдал гарч байна. Тооны тухай ойлголтын бусад ойлголттой бодит холболтыг тусгайлан авч үзэх шаардлагатай.

Математикийн олон ерөнхий ойлголтууд, ялангуяа эквивалентийн харилцаа, дарааллын тухай ойлголтыг математикт тоон хэлбэрээс үл хамааран системтэйгээр авч үздэг. Эдгээр ойлголтууд нь бие даасан шинж чанараа алддаггүй, тодорхой сэдвийг тодорхойлж, судалж болно тооллын системүүд, ухагдахуунууд нь өөрөө анхны тодорхойлолтуудын утга, утгыг хамардаггүй. Мөн түүхэнд математикийн шинжлэх ухаанерөнхий ойлголтууд нь "алгебрийн үйлдлүүд" гэсэн хэмжээгээр яг нарийн хөгжсөн. алдартай жишээАрифметикийн дөрвөн үйлдэл нь тоон бус шинж чанартай элементүүдэд хэрэглэгдэж эхэлсэн.

Сүүлийн үед хүүхдийг математикийн хичээлд нэвтрүүлэх үе шатыг заах оролдлого хийж байна. Энэ хандлага арга зүйн гарын авлага, түүнчлэн зарим туршилтын сурах бичгүүдэд илэрхийлэгддэг. Тиймээс, 6-7 насны хүүхдүүдэд заах зорилготой Америкийн нэг сурах бичигт () эхний хуудсанд хүүхдүүдийг хичээлийн бүлгүүдийг тодорхойлоход тусгайлан сургадаг даалгавар, дасгалуудыг оруулсан болно. Хүүхдүүдэд иж бүрдэл холбох техник, холбогдох арга техникийг үзүүлэв математикийн бэлгэдэл. Тоонуудтай ажиллах нь дээр суурилдаг үндсэн мэдээлэлбагцын тухай.

Энэхүү чиг хандлагыг хэрэгжүүлэх тодорхой оролдлогын агуулгыг өөр өөрөөр үнэлж болох боловч энэ нь өөрөө бидний бодлоор нэлээд хууль ёсны бөгөөд ирээдүйтэй юм.

Өнгөц харахад математикийн нийлмэл тодорхойлолт бүхий “хандлага”, “бүтэц”, “бүрлийн хууль” гэх мэт ойлголтуудыг үүсэхтэй холбож үзэх боломжгүй юм. математик дүрслэлбага насны хүүхдүүдэд. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр ойлголтуудын жинхэнэ, хийсвэр утга, тэдгээрийн байр суурь аксиоматик бүтэцМатематик нь шинжлэх ухаан болохын хувьд математикт аль хэдийн сайн хөгжиж, "сургагдсан" толгойг өөртөө шингээх объект юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр ойлголтоор тогтоогдсон зүйлсийн зарим шинж чанарууд нь хүүхдэд харьцангуй эрт илэрдэг: үүнд сэтгэлзүйн тодорхой нотолгоо байдаг.

Юуны өмнө хүүхэд төрснөөс хойш 7-10 нас хүртэл хөгжиж, хөгждөг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. маш нарийн төвөгтэй системүүд ерөнхий санаануудБидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн тухай, утга учиртай, бодитой сэтгэлгээний үндэс суурийг тавьдаг. Түүнээс гадна харьцангуй нарийн эмпирик материал дээр үндэслэн хүүхдүүд ялгадаг ерөнхий схемүүдюмсын орон зай-цаг хугацааны болон шалтгаан-үр дагаврын хамаарал дахь чиг баримжаа. Эдгээр диаграммууд нь хүүхэд олон янзын ертөнцийн янз бүрийн шинж чанарыг улам бүр эзэмшиж эхэлдэг "координатын систем"-ийн нэг төрлийн хүрээ болж өгдөг. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр ерөнхий схемүүд бага зэрэг хэрэгждэг бөгөөд бага хэмжээгээр хүүхэд өөрөө хийсвэр дүгнэлт хэлбэрээр илэрхийлж болно. Эдгээр нь дүрслэлээр хэлбэл, хүүхдийн зан үйлийг зохион байгуулах зөн совингийн хэлбэр юм (хэдийгээр мэдээжийн хэрэг тэд шүүлтэд улам бүр тусгалаа олсон байдаг).

Сүүлийн хэдэн арван жилд хүүхдийн оюун ухааныг төлөвшүүлэх, бодит байдал, цаг хугацаа, орон зайн талаархи ерөнхий ойлголтыг бий болгох асуудлыг Швейцарийн нэрт сэтгэл судлаач Ж.Пиаже болон түүний нөхдүүд ялангуяа эрчимтэй судалж байна. Түүний зарим бүтээлүүд бий шууд хамааралХүүхдийн математик сэтгэлгээг хөгжүүлэх асуудал тулгардаг тул тэдгээрийг дизайны асуудалтай холбон авч үзэх нь бидний хувьд чухал юм. сургалтын хөтөлбөр.

Тэдний нэгэнд сүүлийн үеийн номнууд() Ж.Пиаже ийм анхан шатны үүсэл ба үүсэх туршилтын өгөгдлийг өгдөг логик бүтэц, ангилал, цуваа зэрэг. Ангилал нь оруулах үйлдлийг гүйцэтгэх (жишээлбэл, A + A" = B) ба түүний урвуу үйлдэл (B - A" = A). Цуврал гэдэг нь объектуудыг системтэй эгнээ болгон эрэмбэлэх явдал юм (жишээлбэл, янз бүрийн урттай савааг эгнээнд байрлуулж болно, тэдгээрийн гишүүн бүр нь өмнөх бүхнээс том, дараагийн бүхнээс бага байна).

Ангилал үүсэхэд дүн шинжилгээ хийхдээ Ж.Пиаже анхны хэлбэрээс нь зөвхөн объектын орон зайн ойрт суурилсан "дүрслэлийн нэгтгэл"-ийг бий болгосноос эхлээд хүүхдүүд хэрхэн ижил төстэй байдлын хамаарал дээр суурилсан ангилалд шилждэгийг харуулсан ("- бус дүрслэлийн агрегатууд”), дараа нь ангилалд шилжүүлнэ. нарийн төвөгтэй хэлбэр- үзэл баримтлалын хэмжээ, агуулгын хоорондын уялдаа холбоогоор тодорхойлогддог ангиудыг оруулах. Зохиогч нь ангиллыг зөвхөн нэгээр бус хоёр, гурван шалгуурын дагуу бүрдүүлэх, хүүхдүүдэд шинэ элемент оруулахдаа ангиллын үндсийг өөрчлөх чадварыг хөгжүүлэх асуудлыг тусгайлан авч үздэг. Зохиогчид цуврал үүсэх үйл явцын ижил төстэй үе шатуудыг олж илрүүлдэг.

Эдгээр судалгаанууд нь маш тодорхой зорилгыг баримталсан - оюун ухааны операторын бүтцийг бий болгох хэв маягийг тодорхойлох, юуны түрүүнд урвуу байдал гэх мэт үндсэн шинж чанарыг тодорхойлох. оюун ухааныг урагш, хойшлох чадвар. “Үйл ажиллагаа, үйлдлүүд хоёр чиглэлд өрнөж болох ба эдгээр чиглэлүүдийн аль нэгийг ойлгох нь нөгөөг нь ойлгоход ipso facto [баримтынхаа ачаар] шалтгаан болдог” (, х. 15) үед урвуу байдал үүсдэг.

Ж.Пиажегийн хэлснээр урвуу байдал нь оюун санаанд байдаг найрлагын үндсэн хуулийг илэрхийлдэг. Энэ нь урвуу (урвуу эсвэл үгүйсгэх) болон харилцан хамаарал гэсэн хоёр нэмэлт, бууруулж болохгүй хоёр хэлбэртэй. Жишээлбэл, А-аас В хүртэлх объектын орон зайн хөдөлгөөнийг В-ээс А руу шилжүүлэх замаар цуцлах боломжтой бөгөөд энэ нь эцэстээ тэг хувиргалттай тэнцэнэ (үйл ажиллагааны үр дүн ба түүний урвуу). нь ижил үйлдэл буюу тэг хувиргалт юм).

Харилцан хамаарал (эсвэл нөхөн олговор) нь жишээлбэл, объектыг А-аас В руу шилжүүлэхэд тухайн объект Б-д үлдэх боловч хүүхэд өөрөө А-аас В руу шилжиж, объект нь түүний биед эсрэг байрлаж байх үед анхны байрлалыг хуулбарлах явдал юм. . Объектийн хөдөлгөөнийг энд цуцлаагүй боловч зохих хөдөлгөөнөөр нөхөн төлдөг өөрийн бие- мөн энэ нь хувиргалтаас өөр хэлбэр юм (, х. 16).

Ж.Пиаже өөрийн бүтээлүүддээ эдгээр өөрчлөлтүүд нь эхлээд мэдрэхүйн хөдөлгөөний хэлхээний хэлбэрээр (10-аас 12 сар хүртэл) гарч ирдэг болохыг харуулсан. Мэдрэхүй-моторын хэлхээний аажмаар зохицуулалт, функциональ тэмдэг ба хэлний дэлгэцЭнэ нь хэд хэдэн үе шаттайгаар эргэлт, харилцан үйлчлэл нь оюуны үйл ажиллагааны (үйл ажиллагааны) шинж чанар болж, нэг операторын бүтцэд (7-11, 12-15 жилийн хугацаанд) нийлэгждэг. Одоо хүүхэд бүх хөдөлгөөнийг хоёр лавлагааны системийн дагуу нэг дор зохицуулах боломжтой - нэг нь хөдөлгөөнт, нөгөө нь суурин.

Ж.Пиаже үүнд итгэдэг сэтгэлзүйн судалгаахүүхдийн оюун ухаанд арифметик болон геометрийн үйлдлүүдийг хөгжүүлэх (ялангуяа тэдгээрт хийгддэг логик үйлдлүүд). урьдчилсан нөхцөл) нь сэтгэлгээний операторын бүтцийг алгебрийн бүтэц, дарааллын бүтэц, топологийн бүтэцтэй зөв уялдуулах боломжийг олгодог (, х. 13). Тиймээс алгебрийн бүтэц ("бүлэг") нь урвуу (үгүйсгэх) хэлбэрүүдийн нэг болох оюун санааны операторын механизмд нийцдэг. Бүлэг дөрөвтэй үндсэн шинж чанарууд: хоёр бүлгийн элементийн үржвэр нь мөн бүлгийн элементийг өгдөг; шууд үйлдэл нь зөвхөн нэг урвуу үйлдэлтэй тохирч байна; таних үйл ажиллагаа байдаг; дараалсан найрлага нь ассоциатив байдаг. Оюуны үйлдлийн хэлээр энэ нь:

Үйлдлийн хоёр системийн зохицуулалт нь өмнөхтэй хавсаргасан шинэ схемийг бүрдүүлдэг;

Үйл ажиллагаа нь хоёр чиглэлд хөгжиж болно;

Бид эхлэх цэг рүү буцаж ирэхэд бид үүнийг өөрчлөгдөөгүй болохыг олж мэднэ;

Та ижил цэгт хүрч болно янз бүрийн аргаар, мөн цэг нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Хүүхдийн "бие даасан" хөгжлийн баримтууд (жишээлбэл, бие даасан хөгжил шууд нөлөө сургуульд суралцах) геометрийн үе шатуудын дараалал болон үүсэх үе шатуудын хоорондын зөрүүг харуулна геометрийн ойлголтуудхүүхдэд. Сүүлийнх нь топологи хамгийн түрүүнд ордог үндсэн бүлгүүдийн дарааллыг ойртуулдаг. Ж.Пиажегийн хэлснээр хүүхэд эхлээд топологийн зөн совингоо хөгжүүлж, дараа нь проекктив болон метрик бүтцийн чиглэлд өөрийгөө чиглүүлдэг. Тиймээс, ялангуяа Ж.Пиажегийн тэмдэглэснээр, зурах анхны оролдлогын үеэр хүүхэд дөрвөлжин, тойрог, гурвалжин болон бусад хэмжигдэхүүнийг ялгадаггүй, харин нээлттэй, хаалттай дүрс, "гадна" эсвэл "дотор" байрлалыг төгс ялгаж чаддаг. ” хил, хуваагдал, ойрын байдалтай холбоотой (одоохондоо зайг ялгахгүйгээр) гэх мэт. (, хуудас 23).

Сургалтын хөтөлбөр боловсруулахтай холбоотой Ж.Пиажегийн томъёолсон үндсэн заалтуудыг авч үзье. Юуны өмнө Ж.Пиажегийн судалгаагаар сургуулийн өмнөх насны болон сургуулийн бага насХүүхэд объектын ангиллын үндсэн шинж чанар, тэдгээрийн харилцааг үнэлэх боломжийг олгодог сэтгэлгээний операторын бүтцийг бий болгодог. Түүнчлэн, тодорхой үйл ажиллагааны үе шатанд (7-8 нас хүртэл) хүүхдийн оюун ухаан нь урвуу шинж чанарыг олж авдаг бөгөөд энэ нь боловсролын хичээлүүдийн онолын агуулгыг ойлгоход нэн чухал юм, ялангуяа математик.

Эдгээр тоо баримтууд үүнийг харуулж байна уламжлалт сэтгэл зүйМөн сурган хүмүүжүүлэх ухаан нь 2-7, 7-11 насны хүүхдийн сэтгэцийн хөгжлийн үе шатуудын нарийн төвөгтэй, чадамжтай шинж чанарыг хангалттай анхаарч үзээгүй.

Ж.Пиажегийн олж авсан үр дүнг авч үзэх нь математикийн сургалтын хөтөлбөрийг боловсруулахтай холбоотой хэд хэдэн чухал дүгнэлт гаргах боломжийг бидэнд олгодог. Юуны өмнө, 2-11 насны хүүхдийн оюуны төлөвшлийн талаархи бодит тоо баримтаас харахад энэ үед объектын шинж чанарууд нь математикийн "харилцаа - бүтэц" гэсэн ойлголтоор дүрслэгдсэн төдийгүй түүнд "харь" биш гэдгийг харуулж байна. Сүүлийнх нь өөрөө хүүхдийн сэтгэхүйд органик байдлаар ордог.

Уламжлалт хөтөлбөрүүд үүнийг анхаарч үздэггүй. Тиймээс тэд хүүхдийн оюуны хөгжлийн явцад нуугдаж буй олон боломжуудыг ойлгодоггүй.

Орчин үеийн хүүхдийн сэтгэл судлалд байгаа материалууд нь математикийн анхны бүтцийн үзэл баримтлалд суурилсан боловсролын сэдвийг бий болгох ерөнхий санааг эерэгээр үнэлэх боломжийг бидэнд олгодог. Мэдээжийн хэрэг, замд байдаг их бэрхшээлүүд, ийм боловсролын сэдвийг бий болгох туршлага хараахан гараагүй байна. Ялангуяа тэдгээрийн нэг нь ямар насны "босго"-ыг тодорхойлохтой холбоотой юм шинэ програм. Хэрэв бид Ж.Пиажегийн логикийг дагаж мөрдвөл, хүүхдүүд операторын бүтцийг (14-өөс 15 нас хүртэл) бүрэн бүрдүүлсэн үед л эдгээр хөтөлбөрүүдийг зааж болно. Гэхдээ бид жинхэнэ гэж үзвэл математик сэтгэлгээХүүхэд нь Ж.Пиажегийн тодорхойлсон операторын бүтцийг нугалах үйл явцын хүрээнд яг бүрдүүлдэг бол эдгээр программыг хүүхдүүд тодорхой үйлдлүүдийг бий болгож эхлэхээс хамаагүй эрт (жишээлбэл, 7-8 настай) нэвтрүүлж болно. хамгийн дээд түвшинурвуу байдал. "Байгалийн" нөхцөлд, уламжлалт хөтөлбөрийн дагуу суралцах үед албан ёсны үйл ажиллагаа нь зөвхөн 13-15 насандаа хэлбэржиж болно. Гэхдээ үүнийг эрт нэвтрүүлэх замаар тэдний үүсэхийг "түргэсгэх" боломжтой юу боловсролын материал, аль нь шингээхэд математикийн бүтцэд шууд дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай вэ?

Ийм боломжууд байгаа юм шиг байна. 7-8 насандаа хүүхдүүд оюун санааны үйл ажиллагааны төлөвлөгөөг аль хэдийн хангалттай боловсруулж, математикийн бүтцийн шинж чанарыг "тодорхой" зааж, тэдгээрийг шинжлэх арга хэрэгслийг зохих хөтөлбөрт сургаснаар хүүхдүүдэд энэ Эдгээр шинж чанаруудыг "бие даасан" олж илрүүлэх явцад хүүхдүүдийг "албан ёсны" үйл ажиллагааны түвшинд хурдан хүргэх боломжтой.

Дараахь нөхцөл байдлыг харгалзан үзэх нь чухал юм. Ж.Пиажегийн 7-11 насныхны тодорхойлсон тодорхой үйл ажиллагааны түвшний сэтгэлгээний онцлог нь уламжлалт бага сургуулийн онцлог шинж чанартай сургалтын зохион байгуулалтын хэлбэрүүдтэй салшгүй холбоотой гэж үзэх үндэслэл бий. Энэхүү сургалтыг (энд болон гадаадад) туйлын эмпирик агуулгын үндсэн дээр явуулдаг бөгөөд ихэнхдээ тухайн объектод хандах үзэл баримтлалын (онолын) хандлагатай огт холбоогүй байдаг. Ийм сургалт нь аливаа зүйлийн гаднах, шууд ойлголт, мэдрэгчтэй шинж тэмдгүүдэд суурилсан сэтгэхүйг хүүхдүүдэд дэмжиж, бэхжүүлдэг.

Тиймээс одоо нотлох баримт бий ойр холболтХүүхдийн сэтгэлгээний бүтэц, ерөнхий алгебрийн бүтэц, гэхдээ энэ холболтын "механизм" нь тодорхойгүй, бараг судлагдаагүй байна. Энэ холболт байгаа нь схемийн дагуу хөгжиж буй боловсролын сэдвийг бий болгох үндсэн боломжуудыг (одоохондоо зөвхөн боломжууд байна!) нээж өгдөг. энгийн бүтэц- тэдгээрийн цогц хослолууд." Эдгээр боломжийг хэрэгжүүлэх нэг нөхцөл нь зуучлалын сэтгэлгээнд шилжих, түүний насны стандартыг судлах явдал юм. Математикийг эрдэм шинжилгээний хичээл болгон бий болгох энэхүү арга нь өөрөө өөрийгөө хөгжүүлэх хүчирхэг хөшүүрэг болж чадна. нэлээн хүчтэй үзэл баримтлалын суурь дээр суурилсан ийм сэтгэлгээний хүүхдүүд.

1.3 Алгебрийн үзэл баримтлалын гарал үүслийн асуудал, боловсролын сэдвийг бий болгоход түүний ач холбогдол.

Тусгаарлах сургуулийн курсалгебр, арифметикийн математик, мэдээжийн хэрэг, нөхцөлт. Нэгээс нөгөөд шилжих нь аажмаар явагддаг. IN сургуулийн дадлагаЭнэ шилжилтийн утга нь бутархайг судлах нь хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд өргөн хүрээтэй дэмжлэг үзүүлэхгүйгээр бодитоор далдлагдсан байдаг - бутархайг хос тоонуудын харьцаагаар өгдөг (хэдийгээр хэмжигдэхүүнийг хэмжихийн ач холбогдлыг арга зүйн гарын авлагад албан ёсоор хүлээн зөвшөөрсөн байдаг). Хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд үндэслэсэн бутархай тооны өргөн хүрээтэй танилцуулга нь бодит тооны тухай ойлголтыг зайлшгүй хүргэдэг. Гэхдээ сүүлийнх нь ихэвчлэн тохиолддоггүй, учир нь оюутнууд рационал тоонуудтай удаан хугацаагаар ажиллаж, улмаар "алгебр" руу шилжих нь хойшлогддог.

Өөрөөр хэлбэл, бүхэл тооноос бодит тоо руу шилжих, хэмжилтийн үр дүнг бутархай (энгийн ба аравтын бутархай - төгсгөлтэй, дараа нь хязгааргүй) хэлбэрээр илэрхийлэх нөхцөл бүрдсэн үед сургуулийн алгебр эхэлдэг.

Нэмж дурдахад эхний алхам нь хэмжилтийн үйл ажиллагаатай танилцах, эцсийн дүнг авах явдал байж болно аравтын бутархаймөн тэдэн дээрх үйлдлийг судлах. Хэрэв сурагчид хэмжилтийн үр дүнг бүртгэх энэ хэлбэрийг аль хэдийн мэддэг бол энэ нь тоог илэрхийлж болно гэсэн санааг "хаях" урьдчилсан нөхцөл болно. хязгааргүй бутархай. Энэ урьдчилсан нөхцөлийг бага сургуульд аль хэдийн бий болгохыг зөвлөж байна.

Хэрэв бутархай (рационал) тооны тухай ойлголтыг сургуулийн арифметикийн чадвараас хасвал түүний "алгебр" хоёрын хоорондох хил нь бүхэл ба бодит тоонуудын ялгааны шугамын дагуу өнгөрөх болно. Энэ нь математикийн хичээлийг хоёр хэсэгт хуваасан явдал юм. Энэ бол энгийн ялгаа биш, харин эх сурвалжийн үндсэн "хоёрдмол байдал" - тоолох, хэмжих явдал юм.

Лебесгийн "тооны ерөнхий ойлголт" -ын талаархи санаа бодлыг дагаж, математикийн заах явцад бүрэн нэгдмэл байдлыг хангах боломжтой, гэхдээ зөвхөн хүүхдүүдийг тоолох, бүхэл (натурал) тоотой танилцуулсны дараа л. Мэдээжийн хэрэг, энэ урьдчилсан танилцах хугацаа өөр байж болно (бага сургуулийн уламжлалт хөтөлбөрүүдэд тэдгээр нь тодорхой хойшлогддог); практик хэмжилтүүд(энэ нь хөтөлбөрт байгаа тохиолдол юм) - Гэсэн хэдий ч энэ бүхэн боловсролын хичээл болох арифметик ба "алгебр"-ийн үндэс суурь дахь ялгааг арилгадаггүй. Эхлэлийн цэгүүдийн "хоёрдмол байдал" нь хэмжигдэхүүнийг хэмжих, бодит бутархай руу шилжихтэй холбоотой хэсгүүдийг арифметикийн хичээлд жинхэнэ "үндэс" тавихаас сэргийлдэг. Хөтөлбөрийн зохиогчид, арга зүйчид арифметикийг сургуулийн хичээлийн хувьд тогтвортой, "цэвэр" байлгахыг хичээдэг. Эх сурвалжийн энэхүү ялгаа нь математикийг схемийн дагуу заах гол шалтгаан юм - эхлээд арифметик (бүхэл тоо), дараа нь "алгебр" (бодит тоо).

Энэ схем нь нэлээд байгалийн бөгөөд хөдлөшгүй мэт санагддаг, үүнээс гадна математикийн хичээл заах олон жилийн туршлагыг зөвтгөдөг. Гэхдээ логик-сэтгэл зүйн үүднээс авч үзвэл илүү их зүйлийг шаарддаг нөхцөл байдал байдаг нарийн шинжилгэээнэхүү хатуу заах схемийн хууль ёсны байдал.

Баримт нь эдгээр төрлийн тоонуудын хоорондох бүх ялгааг үл харгалзан тэдгээр нь тоонуудыг тусгайлан хэлдэг, өөрөөр хэлбэл. тоон харилцааг харуулах тусгай хэлбэр. Бүхэл болон бодит тоонууд нь "тоо"-д хамаарах нь тоолох ба хэмжилтийн хоорондын ялгааны генетик деривативын таамаглалын үндэс болдог: тэдгээр нь тооны хэлбэрт тохирсон тусгай, нэг эх сурвалжтай байдаг. Тоолох, хэмжих энэхүү нэгдсэн суурийн онцлог шинж чанаруудын талаархи мэдлэг нь нэг талаас тэдгээрийн гарал үүслийн нөхцөл, нөгөө талаас харилцаа холбоог илүү тодорхой төсөөлөх боломжийг олгоно.

Хаанаас хайж олох вэ нийтлэг үндэстоонуудын салаалсан мод? Юуны өмнө тоо хэмжээний тухай ойлголтын агуулгыг задлан шинжилж үзэх шаардлагатай юм шиг санагддаг. Үнэн, энэ нэр томъёо нь өөр нэг хэмжээстэй шууд холбоотой байдаг. Гэсэн хэдий ч ийм холболтын хууль ёсны байдал нь "том хэмжээ" гэсэн утгын тодорхой бие даасан байдлыг үгүйсгэхгүй. Энэ талыг авч үзэх нь нэг талаас хэмжих, тоолох, нөгөө талаас тодорхой математикийн ерөнхий харилцаа, хэв маяг бүхий тоонуудын үйл ажиллагааг нэгтгэсэн дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог.

Тэгэхээр "тоо хэмжээ" гэж юу вэ, энэ нь сургуулийн математикийн эхний хэсгүүдийг бүтээхэд ямар сонирхолтой байдаг вэ?

IN ерөнхий хэрэглээ"том" гэсэн нэр томъёо нь "тэнцүү", "илүү", "бага" гэсэн ойлголттой холбоотой бөгөөд энэ нь янз бүрийн чанарыг (урт ба нягтрал, температур ба цагаан) тодорхойлдог. В.Ф. Каган эдгээр ойлголтууд ямар нийтлэг шинж чанартай вэ гэсэн асуултыг тавьж байна. Энэ нь тэдгээр нь агрегатууд - олонлогт хамаардаг болохыг харуулж байна нэгэн төрлийн объектууд, элементүүдийн харьцуулалт нь "илүү", "тэнцүү", "бага" гэсэн нэр томъёог ашиглах боломжийг олгодог (жишээлбэл, бүх шулуун шугамын сегмент, жин, хурд гэх мэт).

Объектуудын багц нь зөвхөн А ба В элементийн аль нэгэнд нь А нь В-тэй тэнцүү, В-ээс их эсвэл В-ээс бага эсэхийг тогтоох боломжтой шалгуурыг бий болгосон тохиолдолд л хэмжээ болон хувирдаг. дурын хоёр элемент А ба В, харьцааны нэг бөгөөд зөвхөн нэг нь: A=B, A>B, A<В.

Эдгээр өгүүлбэрүүд нь бүрэн хуваагдлыг бүрдүүлдэг (дор хаяж нэг нь байдаг, гэхдээ тус бүр нь бусад бүх зүйлийг хасдаг).

В.Ф. Каган “тэнцүү”, “илүү”, “бага” гэсэн ойлголтуудын дараах найман үндсэн шинж чанарыг тодорхойлсон: (, х. 17-31).

1) А=B, A>B, A гэсэн харилцаануудын дор хаяж нэг нь байна<В.

2) Хэрэв A = B хамаарал биелдэг бол А хамаарал биелэхгүй<В.

3) Хэрэв A=B хамаарал биелдэг бол A>B хамаарал биелэхгүй.

4) Хэрэв A=B ба B=C бол A=C болно.

5) Хэрэв A>B ба B>C бол A>C.

6) Хэрэв А<В и В<С, то А<С.

7) Тэгш байдал нь урвуу хамаарал: A=B хамаарлаас үргэлж B=A хамаарал гарч ирдэг.

8) Тэгш байдал нь харилцан хамаарал юм: авч үзэж буй олонлогийн А элементээс үл хамааран A = A.

Эхний гурван өгүүлбэр нь "=", ">", "" гэсэн үндсэн харилцааны салалтыг тодорхойлдог.<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

V.F-ийн эдгээр дүгнэлтийн шинж чанарууд. Каган найман теорем хэлбэрээр тайлбарлав.

I. A>B харьцаа нь B>A (А<В исключает В<А).

II. Хэрэв A>B бол B<А (если А<В, то В>A).

III. Хэрэв A>B байгаа бол А нь барихгүй.

IV. Хэрэв A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1 байвал A1=An.

V. Хэрэв A1>A2, A2>A3,.., An-1>An байвал A1>An.

VI. Хэрэв A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Хэрэв A=C ба B=C байвал A=B болно.

VIII. Хэрэв тэгш эсвэл тэгш бус байдал A=B, эсвэл A>B, эсвэл A байвал<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

хэрэв A=B ба A=C бол C=B;

хэрэв A>B ба A=C бол C>B гэх мэт).

Харьцуулалтын постулат ба теоремуудыг В.Ф. Каган хэлэхдээ, "тэнцүү", "илүү" ба "бага" гэсэн ойлголтуудын бүх шинж чанарууд нь дууссан бөгөөд эдгээр нь математикт тэдгээртэй холбоотой бөгөөд олонлогийн бие даасан шинж чанараас үл хамааран бидний хэрэглэж буй элементүүдэд хэрэглэгдэх болно. төрөл бүрийн онцгой тохиолдлууд” (, хуудас 31).

Постулат ба теоремуудад заасан шинж чанарууд нь зөвхөн "тэнцүү", "илүү", "бага" гэсэн утгатай объектуудын шууд шинж чанаруудыг төдийгүй бусад олон шинж чанаруудтай (жишээлбэл, тэдгээр нь хамаарлыг тодорхойлж болно) "өвөг дээдэс - үр удам"). Энэ нь тэдгээрийг тайлбарлахдаа ерөнхий өнцгөөс харж, жишээлбэл, эдгээр постулат, теоремын үүднээс "альфа", "бета", "гамма" гэсэн гурван төрлийн харилцааг авч үзэх боломжийг олгодог (энэ тохиолдолд Эдгээр харилцаа нь постулат ба теоремуудыг хангаж байгаа эсэх, ямар нөхцөлд) тогтоох боломжтой.

Энэ үүднээс авч үзвэл, жишээлбэл, хатуулаг (илүү хатуу, илүү зөөлөн, ижил хатуулаг), цаг хугацааны үйл явдлын дараалал (дараах, өмнөх, нэгэн зэрэг) гэх мэт зүйлсийн шинж чанарыг авч үзэж болно. Эдгээр бүх тохиолдолд "альфа", "бета", "гамма" гэсэн харьцаанууд нь өөрийн гэсэн тайлбарыг хүлээн авдаг. Эдгээр харилцааг агуулсан биетүүдийн багцыг сонгох, мөн "альфа", "бета", "гамма" -ыг тодорхойлох шинж тэмдгүүдийг тодорхойлохтой холбоотой ажил бол харьцуулах шалгуурыг тодорхойлох ажил юм. өгөгдсөн цогц биед (практикт зарим тохиолдолд үүнийг шийдвэрлэхэд амаргүй байдаг). "Харьцуулах шалгуурыг бий болгосноор бид олныг хэмжээ болгон хувиргадаг" гэж В.Ф. Каган (, хуудас 41).

Бодит объектуудыг янз бүрийн шалгуурын үүднээс харж болно. Тиймээс бүлэг хүмүүсийг түүний гишүүн бүрийн төрсөн мөчүүдийн дараалал гэх мэт шалгуурын дагуу авч үзэж болно. Өөр нэг шалгуур бол эдгээр хүмүүсийн толгойг нэг хэвтээ хавтгайд зэрэгцүүлэн байрлуулсан тохиолдолд авах харьцангуй байрлал юм. Аль ч тохиолдолд бүлгийг нас, өндөр гэх мэт харгалзах нэртэй тоо хэмжээ болгон хувиргана. Практикт хэмжигдэхүүн нь ихэвчлэн элементүүдийн багцыг биш, харин харьцуулах шалгуурыг (хэмжигдэхүүний нэр) ялгах зорилгоор нэвтрүүлсэн шинэ ойлголтыг илэрхийлдэг. "Эзэлхүүн", "жин", "цахилгаан хүчдэл" гэх мэт ойлголтууд ингэж үүсдэг. "Үүний зэрэгцээ математикчийн хувьд олон элемент, харьцуулах шалгуурыг зааж өгсөн тохиолдолд утга нь бүрэн тодорхойлогддог" гэж В.Ф. Каган (, хуудас 47).

Энэхүү зохиолч нь байгалийн тоон цувааг математик хэмжигдэхүүний хамгийн чухал жишээ гэж үздэг. Цуврал дахь тоонуудын эзлэх байр суурь (тэдгээр нь нэг байр эзэлдэг, дараах ..., өмнө нь байдаг) зэрэг харьцуулах шалгуурын үүднээс авч үзвэл энэ цуврал нь постулатуудыг хангаж байгаа тул хэмжигдэхүүнийг илэрхийлдэг. Харгалзах харьцуулалтын шалгуурын дагуу фракцын багцыг мөн хэмжигдэхүүн болгон хувиргадаг.

Энэ нь В.Ф. Каган, бүх математикийн үндэс суурийг тавихад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг тоо хэмжээний онолын агуулга.

Хэмжигдэхүүнтэй ажиллахдаа (тэдгээрийн утгыг үсгээр бичихийг зөвлөж байна) та хувиргалтын нарийн төвөгтэй системийг хийж, тэдгээрийн шинж чанаруудын хамаарлыг тогтоох, тэгш байдлаас тэгш бус байдал руу шилжих, нэмэх (ба хасах) хийх, нэмэх үед хийж болно. та коммутатив болон ассоциатив шинж чанаруудаар удирдуулж болно. Тэгэхээр, хэрэв A = B харьцаа өгөгдсөн бол асуудлыг "шийдвэрлэх" үед та B = A хамаарлыг удирдаж болно. Өөр нэг тохиолдолд A>B, B=C хамаарал байвал A>C гэж дүгнэж болно. a>b-ийн хувьд a=b+c гэсэн c байдаг тул a ба b (a-b=c) гэх мэт ялгааг олж болно. Эдгээр бүх өөрчлөлтийг дээр нь хийж болно физик биеболон бусад объектууд, харьцуулах шалгуурыг тогтоож, сонгосон харилцаа нь харьцуулах постулатуудтай нийцэж байна.

Дээрх материалууд нь байгалийн болон бодит тоо хоёулаа хэмжигдэхүүнүүд болон тэдгээрийн зарим чухал шинж чанаруудтай адил хүчтэй холбоотой гэж дүгнэх боломжийг бидэнд олгодог. Эдгээр болон бусад шинж чанаруудыг объект болгох боломжтой юу? тусгай судалгааХэмжигдэхүүний хамаарлыг дүрслэх тоон хэлбэрийг нэвтрүүлэхээс өмнө хүүхэд үү? Эдгээр нь дугаар болон түүний дараа дараагийн нарийвчилсан танилцуулга хийх урьдчилсан нөхцөл болж чадна янз бүрийн төрөл, ялангуяа бутархайн пропедевтик, координатын тухай ойлголт, функц болон бусад ойлголтуудын хувьд бага ангиуд.

Энэ нь ямар агуулгатай байж болох вэ эхний хэсэг? Энэ бол танилцуулга юм физик объектууд, тэдгээрийн харьцуулах шалгуурууд, хэмжигдэхүүнийг математикийн авч үзэх сэдэв болгон онцлон тэмдэглэх, харьцуулах арга, түүний үр дүнг бүртгэх бэлгэдлийн хэрэгсэл, хэмжигдэхүүний ерөнхий шинж чанарыг шинжлэх арга техниктэй танилцах. Энэ агуулгыг харьцангуй нарийвчилсан сургалтын хөтөлбөр болгон боловсруулж, хамгийн чухал нь энэ агуулгыг эзэмшиж чадах хүүхдийн үйлдлүүдтэй (мэдээж зохих хэлбэрээр) холбох шаардлагатай. Үүний зэрэгцээ 7 настай хүүхдүүд энэ хөтөлбөрийг эзэмшиж чадах эсэх, арифметик, анхан шатны алгебрийг ойртуулах чиглэлээр бага ангид математикийн хичээлийг дараа нь заахад нэвтрүүлэх нь ямар боломж байгааг туршилтаар тогтоох шаардлагатай байна. хамтдаа.

Өнөөг хүртэл бидний үндэслэл нь онолын шинж чанартай байсан бөгөөд хүүхдүүдэд алгебрийн үндсэн ойлголтуудыг (хүртэл) танилцуулах хичээлийн ийм эхний хэсгийг бий болгох математикийн урьдчилсан нөхцөлийг тодруулахад чиглэв. тусгай танилцуулгатоо).

Хэмжээг тодорхойлдог үндсэн шинж чанаруудыг дээр дурдсан болно. Мэдээжийн хэрэг, 7 настай хүүхдүүд эдгээр шинж чанаруудын талаар "лекц" унших нь утгагүй юм. Хүүхдэд зориулсан ажлын ийм хэлбэрийг олох шаардлагатай байв дидактик материалтүүгээр дамжуулан тэд нэг талаас эргэн тойрныхоо эд зүйлсийн эдгээр шинж чанаруудыг тодорхойлж, нөгөө талаас тодорхой бэлгэдлийн тусламжтайгаар тэдгээрийг засч, анхан шатны үйл ажиллагааг явуулж сурах болно. математик шинжилгээхуваарилагдсан харилцаа.

Үүнтэй холбогдуулан хөтөлбөр нь нэгдүгээрт, эзэмших ёстой тухайн сэдвийн шинж чанаруудын заалт, хоёрдугаарт, дидактик материалын тодорхойлолт, гуравдугаарт, энэ нь сэтгэлзүйн үүднээс авч үзвэл гол шинж чанар юм. Хүүхэд тухайн объектын тодорхой шинж чанарыг тодорхойлж, тэдгээрийг эзэмшдэг үйлдлүүд. Эдгээр "бүрэлдэхүүн" нь сургалтын хөтөлбөрийг жинхэнэ утгаараа бүрдүүлдэг.

Онцлог шинж чанаруудСуралцах үйл явц, түүний үр дүнг тайлбарлахдаа энэхүү таамагласан хөтөлбөр болон түүний "бүрэлдэхүүн" -ийг танилцуулах нь утга учиртай юм. Энэ хөтөлбөрийн тойм болон гол сэдвүүдийг энд оруулав.

Сэдэв I. Объектуудыг тэгшлэх, дуусгах (урт, эзэлхүүн, жин, эд ангиудын найрлага болон бусад үзүүлэлтээр).

Түвшин тогтоох, олж авах практик даалгавар. Ижил объектуудыг тэгшитгэх эсвэл дуусгах боломжтой шинж чанаруудыг (шалгуур) тодорхойлох. Эдгээр шинж чанаруудын аман тэмдэглэгээ ("уртаар", жингээр" гэх мэт).

Эдгээр ажлуудыг дидактик материалтай (бар, жин гэх мэт) ажиллах явцад дараахь байдлаар шийддэг.

"Ижил" зүйлийг сонгох,

Сонгосон (заасан) параметрийн дагуу "ижил" объектыг хуулбарлах (барилга барих).

Сэдэв II. Объектуудыг харьцуулж, тэгш бус байдлын томъёог ашиглан үр дүнг засах.

1. Объектуудыг харьцуулах, энэ үйлдлийн үр дүнг бэлгэдлээр илэрхийлэх даалгавар.

2. Харьцуулалтын үр дүнг амаар бүртгэх ("илүү", "бага", "тэнцүү" гэсэн нэр томъёо). Бичсэн тэмдэг ">", "<", "=".

3. Харьцуулалтын үр дүнг зургийн хамт заана ("хуулбарлах", дараа нь "хийсвэр" - шугам).

4. Үсгээр харьцуулсан объектуудын тэмдэглэгээ. Томьёог ашиглан харьцуулсан үр дүнг бүртгэх: A=B; А<Б, А>Б.

Сонгосон параметрийн дагуу (жин, эзэлхүүн гэх мэт) объектын шууд өгөгдсөн тодорхой утгыг засах тэмдэг болох үсэг.

5. Харьцуулалтын үр дүнг янз бүрийн томъёо ашиглан засах боломжгүй. Өгөгдсөн үр дүнд тодорхой томъёог сонгох (их - бага - тэнцүү харьцааг бүрэн салгах).

III сэдэв. Тэгш ба тэгш бус байдлын шинж чанарууд.

1. Тэгш байдлын урвуу, рефлекс (хэрэв A=B бол B=A; A=A).

2. Харьцуулж буй талуудын “орлуулах” үед тэгш бус байдлын “илүү” ба “бага” харилцааны хоорондын хамаарал (хэрэв A>B бол В)<А и т.п.).

3. Дамжуулагч нь тэгш ба тэгш бус байдлын өмч болох:

Хэрэв A=B, хэрэв A>B, хэрэв А бол<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

дараа нь A=B; дараа нь A>B; дараа нь А<В.

4. Сэдвийн дидактик материалтай ажиллахаас зөвхөн үгийн томьёо байгаа тохиолдолд тэгш байдал ба тэгш бус байдлын шинж чанарыг үнэлэх рүү шилжих. Эдгээр шинж чанаруудын талаархи мэдлэг шаардсан янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх (жишээлбэл, A>B, B=C гэсэн төрлийн харилцааны холболттой холбоотой асуудлуудыг шийдвэрлэх; A ба C хоорондын хамаарлыг олох).

IV сэдэв. Нэмэх (хасах) үйлдэл.

1. Нэг буюу өөр параметрийн дагуу объектын өөрчлөлтийг ажиглах (эзэлхүүн, жин, үргэлжлэх хугацаа гэх мэт). "+" ба "-" (нэмэх, хасах) тэмдгээр нэмэгдэж, буурах дүрслэл.

2. Урьд нь тогтоосон тэгш байдлыг зөрчиж, түүний аль нэг талдаа зохих өөрчлөлт орсон. Тэгш эрхээс тэгш бус байдал руу шилжих үе. Томъёо бичих:

хэрэв A=B бол A=B бол

дараа нь A+K>B; дараа нь A-K<Б.

3. Шинэ тэгш байдалд шилжих аргууд (түүний "сэргээх" зарчмын дагуу: "тэнцүү" дээр "тэнцүү" нэмэх нь "тэнцүү" болно).

Ийм томъёогоор ажиллах:

дараа нь A+K>B,

гэхдээ A+K=B+K.

4. Тэгш байдлаас тэгш бус байдал руу шилжих, буцах үед нэмэх (хасах) ашиглах шаардлагатай төрөл бүрийн бодлогуудыг шийдвэрлэх.

Сэдэв V. А хэлбэрийн тэгш бус байдлаас шилжих<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Ийм шилжилтийг шаарддаг даалгаварууд. Харьцуулсан объектуудын ялгаатай хэмжигдэхүүний утгыг тодорхойлох хэрэгцээ. Энэ хэмжигдэхүүний тодорхой утга тодорхойгүй үед тэгш байдлыг бичих чадвар. x (x) ашиглах арга.

Томъёо бичих:

хэрэв А<Б, если А>Б,

дараа нь A+x=B; дараа нь A-x=B.

2. x-ийн утгыг тодорхойлох. Энэ утгыг томьёонд орлуулах (хаалтны оршил). Томьёо бичнэ үү

3. Заасан үйлдлүүдийг гүйцэтгэх шаардлагатай асуудлуудыг шийдвэрлэх (үүнд "зураг-текст").

Сэдэв Vl. Тэнцүү-тэгш бус байдлын нэмэх-хасах. Орлуулах.

1. Тэнцүү-тэгш бус байдлын нэмэх-хасах:

хэрэв A=B бол A>B бол A>B

мөн M=D, мөн K>E, мөн B=G,

дараа нь A+M=B+D; дараа нь A+K>B+E; дараа нь A+-B>C+-G.

2. Хэмжигдэхүүний утгыг хэд хэдэн утгын нийлбэрээр илэрхийлэх чадвар. Төрөл орлуулах:

3. Ажлын явцад хүүхдүүдийн танил болсон харилцааны шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх (олон даалгавар нь хэд хэдэн шинж чанарыг нэгэн зэрэг харгалзан үзэх, томъёоны утгыг үнэлэх оюун ухаан шаарддаг; асуудал, шийдлийн тайлбарыг доор өгөв. ).

Энэ бол 3.5 - 4 сарын хугацаатай хөтөлбөр юм. оны эхний хагас. Туршилтын сургалтын туршлагаас харахад хичээлийг зөв төлөвлөх, заах арга барилыг сайжруулах, сайн сонголт сургалтын хэрэглэгдэхүүнХөтөлбөрт танилцуулсан бүх материалыг хүүхдүүд илүү олон хэлбэрээр бүрэн шингээж авах боломжтой богино хугацаа(3 сарын турш).

Манай хөтөлбөр цаашид хэрхэн өрнөж байна вэ? Юуны өмнө хүүхдүүд объектыг бүхэлд нь (тасралтгүй эсвэл салангид объектоор илэрхийлсэн ижил хэмжигдэхүүн) түүний хэсэгтэй хамаарлыг илэрхийлдэг тоог олж авах аргыг мэддэг. Яг энэ хандлага ба түүний тодорхой утгань A/K = n томьёогоор илэрхийлэгддэг бөгөөд энд n нь дурын бүхэл тоо бөгөөд ихэнхдээ "нэг" гэсэн харьцааг илэрхийлдэг (зөвхөн тусгай материалыг сонгох эсвэл зөвхөн "чанарын" бие даасан зүйлсийг тоолох замаар туйлын үнэн зөвийг олж авах боломжтой. бүхэл тоо). Хэмжих, тоолох үед үлдэгдэл гарч болзошгүй гэдгийг хүүхдүүд анхнаасаа "албадан" санаж байх ёстой бөгөөд энэ нь байгаа эсэхийг тусгайлан зааж өгөх ёстой. Энэ нь бутархайтай дараагийн ажлын эхний алхам юм.

Тоо олж авах ийм хэлбэрийн тусламжтайгаар хүүхдүүдийг A = 5k (харьцаа нь "5"-тай тэнцүү байсан бол) томьёотой объектыг дүрслэхэд хүргэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Эхний томъёоны хамт энэ нь объект, суурь (хэмжих) ба тооцооллын үр дүн (хэмжилт) хоорондын хамаарлыг тусгайлан судлах боломжийг нээж өгдөг бөгөөд энэ нь мөн шилжихэд пропедевтик болдог. бутархай тоо(ялангуяа бутархайн үндсэн шинж чанарыг ойлгох).

Нэгдүгээр ангид хэрэгжсэн хөтөлбөр боловсруулах өөр нэг чиглэл бол тоон (тэгш бус байдлын салгах, шилжилт, урвуу чанар) үндсэн шинж чанаруудыг тоо (бүхэл тоо) руу шилжүүлэх, нэмэх үйлдлүүд (шилжүүлэх, ассоциатив байдал, монотон байдал, хасах боломж). Тэр дундаа ажилладаг тооны шугам, хүүхдүүд тоонуудын дарааллыг хурдан утга болгон хувиргаж чадна (жишээлбэл, 3-р төрлийн тэмдэглэгээг хийж тэдгээрийн шилжилтийг тодорхой үнэлэх<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Тэгш байдлын "бүтцийн" гэж нэрлэгддэг зарим шинж чанаруудтай танилцах нь хүүхдүүдэд нэмэх, хасах үйл ажиллагааны хоорондын холбоог өөрөөр хандах боломжийг олгодог. Тиймээс тэгш бус байдлаас тэгш байдал руу шилжих үед дараахь өөрчлөлтүүд хийгддэг: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; 8+1-4...6+3-2 томъёоны зүүн ба баруун талуудын хамаарлыг ол; тэгш бус тохиолдолд энэ илэрхийллийг тэгш байдалд хүргэнэ (эхлээд та "бага" тэмдэг тавьж, дараа нь зүүн талд "хоёр" нэмэх хэрэгтэй).

Тиймээс тооны цувааг хэмжигдэхүүн гэж үзэх нь нэмэх, хасах (дараа нь үржүүлэх, хуваах) чадварыг шинэ аргаар хөгжүүлэх боломжийг олгодог.

Та бүхний мэдэж байгаагаар 5-р ангид математикийн хичээлийг судлахдаа бага сургуульд хүүхдүүдийн сурах ёстой байсан зүйлийг давтахад ихээхэн цаг зарцуулдаг. Одоо байгаа бараг бүх сурах бичгүүдэд ийм давталт нь 1.5 хичээлийн улирал болдог. Ийм нөхцөл байдал тохиолдлоор үүсээгүй. Үүний шалтгаан нь ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн багш нар бага анги төгсөгчдийн бэлтгэлд сэтгэл дундуур байгаатай холбоотой. Энэ нөхцөл байдлын шалтгаан юу вэ? Үүний тулд бага ангийн хамгийн алдартай таван математикийн сурах бичгүүдэд дүн шинжилгээ хийлээ. Эдгээр нь М.И.-ийн сурах бичиг юм. Моро, I.I. Аргинская, Н.Б. Истомина, Л.Г. Петерсон ба В.В. Давыдова (, , , ,).

Эдгээр сурах бичгүүдэд дүн шинжилгээ хийх нь тус бүрт их бага хэмжээгээр илэрч, цаашдын суралцахад сөргөөр нөлөөлж буй хэд хэдэн сөрөг талуудыг илрүүлсэн. Юуны өмнө, тэдгээрийн доторх материалыг шингээх нь ихэвчлэн цээжлэх дээр суурилдаг. Үүний тод жишээ бол үржүүлэх хүснэгтийг цээжлэх явдал юм. Бага сургуульд үүнийг цээжлэхэд маш их хүчин чармайлт, цаг зарцуулдаг. Гэвч зуны амралтаар хүүхдүүд түүнийг мартдаг. Ингэж хурдан мартаж байгаагийн шалтгаан нь цээжээр сурах явдал юм. Л.С. Выготский утга учиртай цээжлэх нь механик цээжлэхээс хамаагүй илүү үр дүнтэй болохыг харуулсан бөгөөд дараагийн туршилтууд нь зөвхөн энэ материалд тохирсон ажлын үр дүнд санаж байвал урт хугацааны санах ойд ордог гэдгийг баттай нотолж байна.

Үржүүлэх хүснэгтийг үр дүнтэй эзэмших аргыг 50-иад оны үед олжээ. Энэ нь хүүхдүүд өөрсдөө үржүүлэх хүснэгтийг хийдэг дасгалын тодорхой системийг зохион байгуулахаас бүрдэнэ. Гэсэн хэдий ч хянан үзсэн сурах бичигт энэ аргыг хэрэгжүүлээгүй байна.

Цаашдын боловсролд нөлөөлж буй өөр нэг сөрөг зүйл бол ихэнх тохиолдолд бага сургуулийн математикийн сурах бичигт материалыг танилцуулах нь ирээдүйд хүүхдүүдийг давтан сургах шаардлагатай бүтэцтэй байдаг бөгөөд энэ нь бидний мэдэж байгаагаар хамаагүй хэцүү байдаг. заахаас илүү. Алгебрийн материалыг судлахтай холбоотой жишээ нь бага сургуульд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явдал юм. Бүх сурах бичигт тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь үйлдлийн үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олох дүрэмд суурилдаг.

Үүнийг зөвхөн Л.Г-ын сурах бичигт арай өөрөөр хийсэн болно. Петерсон, жишээлбэл, үржүүлэх, хуваах тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь тэгшитгэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэгш өнцөгтийн тал ба талбайтай уялдуулахад суурилдаг бөгөөд эцэст нь дүрэмд хүрдэг боловч эдгээр нь тал эсвэл талбайг олох дүрэм юм. тэгш өнцөгт. Үүний зэрэгцээ, 6-р ангиасаа эхлэн хүүхдүүдэд ижил хувиргалт дээр суурилсан тэгшитгэлийг шийдэх огт өөр зарчмыг заадаг. Дахин суралцах ийм хэрэгцээ нь ихэнх хүүхдүүдэд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь нэлээд хэцүү ажил болоход хүргэдэг.

Сурах бичгүүдэд дүн шинжилгээ хийх явцад бид тэдгээрт материалыг танилцуулахдаа ихэвчлэн ойлголтыг гажуудуулдаг болохыг олж мэдсэн. Жишээлбэл, олон тодорхойлолтын томъёолол нь үр дагавар хэлбэрээр өгөгддөг бол аливаа тодорхойлолт нь эквивалент гэдгийг математик логикоос мэддэг. Жишээ болгон бид I.I.-ийн сурах бичгээс үржүүлэхийн тодорхойлолтыг дурдаж болно. Аргинская: "Хэрэв нийлбэр дэх бүх нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү бол нэмэхийг өөр үйлдлээр сольж болно - үржүүлэх." (Нийлбэрт байгаа бүх нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү байна. Тиймээс нэмэхийг үржүүлэх замаар орлуулж болно.) Таны харж байгаагаар энэ нь цэвэр хэлбэрээрээ далд утга юм. Энэхүү томъёолол нь математикийн үүднээс бичиг үсэг тайлагдаагүй төдийгүй хүүхдүүдэд тодорхойлолт гэж юу болох тухай ойлголтыг буруу бий болгоод зогсохгүй, ирээдүйд, тухайлбал, бүтээх үед маш их хор хөнөөлтэй байдаг. үржүүлэх хүснэгт, сурах бичгийн зохиогчид танилцуулсан томъёолол зөвшөөрөхгүй ижил нэр томъёоны нийлбэрээр бүтээгдэхүүнийг орлуулах ашиглаж байна. Даатгал хэлбэрээр бичсэн мэдэгдлүүдтэй ийм буруу ажил хийх нь хүүхдүүдэд буруу хэвшмэл ойлголтыг бий болгодог бөгөөд энэ нь геометрийн хичээлд ихээхэн бэрхшээлтэй тулгардаг бөгөөд хүүхдүүд шууд ба эсрэг заалт, дүрсийн тэмдэг, дүрсийн хоорондох ялгааг мэдрэхгүй байх болно. түүний өмч. Зөвхөн шууд теорем нь батлагдсан байхад бодлого бодохдоо урвуу теорем ашиглах алдаа маш түгээмэл байдаг.

Буруу ойлголт бий болсон өөр нэг жишээ бол үгийн тэгш байдлын харьцаатай ажиллах явдал юм. Жишээлбэл, бүх сурах бичигт тоог нэгээр, тоог тэгээр үржүүлэх дүрмийг үсэг хэлбэрээр өгсөн болно: a x 1 = a, a x 0 = 0. Мэдэгдэж байгаагаар тэгш байдлын хамаарал нь тэгш хэмтэй, тиймээс ийм Тэмдэглэгээ нь 1-ээр үржүүлснээр ижил тоо гарахаас гадна дурын тоог энэ тоо ба нэгийн үржвэр болгон төлөөлж болно. Гэсэн хэдий ч захидлын дараа сурах бичигт санал болгосон аман томъёолол нь зөвхөн эхний боломжийн тухай өгүүлдэг. Энэ сэдвээр хийсэн дасгалууд нь зөвхөн тооны үржвэр, нэгийг энэ тоогоор солих дасгал хийхэд чиглэгддэг. Энэ бүхэн нь маш чухал зүйл бол хүүхдийн ухамсрын сэдэв болж хувирдаггүйд хүргэдэг: дурын тоог бүтээгдэхүүн хэлбэрээр бичиж болох бөгөөд энэ нь алгебрийн олон гишүүнттэй ажиллахад холбогдох хүндрэл учруулдаг, гэхдээ бас Хүүхдүүд зарчмын хувьд тэгш байдлын харьцаатай хэрхэн зөв ажиллахаа мэддэггүй. Жишээлбэл, квадратуудын томьёоны зөрүүтэй ажиллахдаа хүүхдүүд дүрмээр бол квадратуудын зөрүүг хүчин зүйл болгох ажлыг даван туулдаг. Гэсэн хэдий ч эсрэг үйлдэл хийх шаардлагатай ажлууд нь олон тохиолдолд хүндрэл учруулдаг. Энэ санааны өөр нэг гайхалтай жишээ бол нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын хуультай ажил юм. Энд мөн хуулийн захидал бичсэн ч гэсэн аман томъёолол, дасгалын систем нь зөвхөн хаалт нээх чадварыг сургадаг. Үүний үр дүнд нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах нь ирээдүйд ихээхэн хүндрэл учруулах болно.

Ихэнхдээ бага сургуульд тодорхойлолт, дүрмийг зөв томъёолсон байсан ч тэдгээрт биш, харин огт өөр зүйлд тулгуурлан суралцахыг өдөөдөг. Жишээлбэл, үржүүлгийн хүснэгтийг 2-оор судлахдаа хянаж үзсэн бүх сурах бичгүүдэд үүнийг хэрхэн яаж бүтээхийг харуулсан болно. Сурах бичигт M.I. Моро үүнийг ингэж хийсэн:

Энэхүү ажлын аргын тусламжтайгаар хүүхдүүд үүссэн тооны цувралын хэв маягийг маш хурдан анзаарах болно.

3-4 тэнцүү болсны дараа тэд хоёрыг нэмэхээ больж, анзаарсан загвартаа үндэслэн үр дүнг бичиж эхэлнэ. Тиймээс үржүүлэх хүснэгтийг бүтээх арга нь тэдний ухамсрын сэдэв болж чадахгүй бөгөөд энэ нь түүнийг эмзэг шингээхэд хүргэдэг.

Бага сургуульд материалыг судлахдаа объектив үйлдэл, дүрслэлийн тодорхой байдалд тулгуурладаг бөгөөд энэ нь эмпирик сэтгэлгээг бий болгоход хүргэдэг. Мэдээжийн хэрэг, бага сургуульд ийм харагдах байдалгүйгээр хийх боломжгүй юм. Гэхдээ энэ нь үзэл баримтлалыг бий болгох үндэс биш харин зөвхөн энэ эсвэл тэр баримтыг дүрслэн харуулах ёстой. Сурах бичигт тайлбарласан тодорхой, бодитой үйлдлүүдийг ашиглах нь ихэвчлэн ойлголтыг "бүдгэрүүлэх" байдалд хүргэдэг. Жишээлбэл, 1-3-р ангийн математикийн аргад М.И. Моро хэлэхдээ, хүүхдүүд 30 хичээлийн турш объектуудыг овоолон байрлуулах эсвэл зураг зурах замаар хуваах ёстой. Ийм үйлдэл нь үржүүлэх урвуу үйлдэл болох хуваах үйлдлийн мөн чанарыг алддаг. Үүний үр дүнд хуваах нь хамгийн хэцүү бөгөөд бусад арифметик үйлдлүүдээс хамаагүй муу юм.

Бага ангид математикийн хичээл заахдаа ямар нэгэн мэдэгдлийг батлах тухай яриа байдаггүй. Үүний зэрэгцээ, ахлах сургуульд нотлох баримт заахад хичнээн хэцүү болохыг санаж, бага ангиасаа үүнийг бэлдэж эхлэх хэрэгтэй. Түүнээс гадна, үүнийг бага насны сургуулийн сурагчдад хүртээмжтэй материал дээр хийж болно. Ийм материал нь жишээлбэл, тоог 1-д, тэгийг тоонд, тоог өөрөө хуваах дүрэм байж болно. Хүүхдүүд хуваах тодорхойлолт, үржүүлэх дүрмийг ашиглан тэдгээрийг нотлох чадвартай байдаг.

Бага сургуулийн материал нь мөн алгебрийн пропедевтикийг зөвшөөрдөг - үсэг, үсгийн илэрхийлэлтэй ажиллах. Ихэнх сурах бичиг үсэг хэрэглэхээс зайлсхийдэг. Үүний үр дүнд хүүхдүүд дөрвөн жилийн турш бараг зөвхөн тоогоор ажилладаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг тэднийг үсэгтэй ажиллахад дасгахад маш хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч ийм ажилд пропедевтик өгөх, хүүхдүүдэд аль хэдийн бага сургуульд байхдаа үсгийн оронд тоог үсгийн илэрхийлэл болгон орлуулахыг заах боломжтой. Үүнийг жишээ нь, Л.Г-ийн сурах бичигт хийсэн. Петерсон.

Бага сургуульд математик заахдаа цаашдын суралцахад саад болж буй дутагдлуудын талаар ярихад сурах бичигт байгаа материалыг ирээдүйд хэрхэн ажиллахыг харалгүйгээр ихэвчлэн танилцуулж байгааг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний тод жишээ бол 10, 100, 1000 гэх мэт үржүүлгийг сурах зохион байгуулалт юм. Хянсан бүх сурах бичгүүдэд энэ материалын танилцуулга нь хүүхдийн оюун санаанд "Тоог 10, 100, 1000 гэх мэтээр үржүүлэхийн тулд танд хэрэгтэй" гэсэн дүрмийг бий болгохын тулд бүтэцлэгдсэн байдаг. 10, 100, 1000 гэх мэт тоонуудын баруун талд аль болох олон тэг нэмэх." Энэ дүрэм нь бага сургуульд маш сайн сурдаг дүрэм журмын нэг юм. Энэ нь аравтын бутархайг бүхэл оронтой тоогоор үржүүлэхэд олон тооны алдаа гарахад хүргэдэг. Хүүхдүүд шинэ дүрмийг санаж байсан ч 10-аар үржүүлэхдээ аравтын бутархайн баруун талд автоматаар тэг нэмдэг. Нэмж дурдахад, натурал тоог үржүүлэх, аравтын бутархайг бүхэл оронтой нэгжээр үржүүлэхэд үндсэндээ ижил зүйл тохиолддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: тооны цифр бүрийг харгалзах цифрүүдийн тоогоор баруун тийш шилжүүлдэг. Тиймээс хүүхдэд хоёр тусдаа, бүрэн албан ёсны дүрмийг заах нь утгагүй юм. Ижил төстэй асуудлыг шийдвэрлэхэд ерөнхий арга барилыг тэдэнд заах нь илүү ашигтай байдаг.

2.1 Математикийн хичээлийн үзэл баримтлалыг харьцуулах (эсрэгжүүлэх).

Одоогийн хөтөлбөр нь нэгдүгээр түвшний зөвхөн нэмэх, хасах гэсэн хоёр үйлдлийг I ангид судлах боломжийг олгодог. Сургалтын эхний жилийг зөвхөн хоёр үйлдлээр хязгаарлах нь үндсэндээ одоогийн сурах бичгүүдээс өмнөх сурах бичгүүдэд аль хэдийн хүрсэн зүйлээс холдсон явдал юм: тэр үед нэг ч багш үржүүлэх, хуваах, жишээ нь 20-оос давсан гэж гомдоллож байгаагүй. нэгдүгээр ангийн сурагчдын чадвар. 6 наснаас эхлэн боловсрол олгодог бусад орны сургуулиудад эхний хичээлийн жилд арифметикийн бүх дөрвөн үйлдэлтэй анхан шатны танилцах хичээл ордог нь анхаарал татаж байна. Математик нь үндсэндээ дөрвөн үйлдэлд тулгуурладаг бөгөөд тэдгээрийг оюутны сэтгэн бодох дадлагад хэдий чинээ хурдан оруулах тусам математикийн хичээлийн цаашдын хөгжил илүү тогтвортой, найдвартай байх болно.

Шударга байхын тулд М.И.Морогийн I ангийн сурах бичгүүдийн эхний хувилбаруудад үржүүлэх, хуваах аргыг зааж өгсөн болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч осол энэ асуудалд саад болсон: шинэ програмын зохиогчид нэг "шинэлэг зүйл" -ийг 100 (37+58 ба 95-58 гэх мэт) дотор нэмэх, хасах бүх тохиолдлыг нэгдүгээр зэрэглэлд хамруулсан. Гэсэн хэдий ч ийм том хэмжээний мэдээллийг судлах хангалттай хугацаа байхгүй байсан тул үржүүлэх, хуваах ажлыг дараагийн жил рүү бүрэн шилжүүлэхээр шийдсэн.

Тиймээс, хөтөлбөрийн шугаман шинж чанар, тухайлбал, мэдлэгийг зөвхөн тоон хэлбэрээр өргөжүүлэх (ижил үйлдлүүд, гэхдээ илүү их тоо) нь мэдлэгийг чанарын хувьд гүнзгийрүүлэхэд урьд өмнө хуваарилагдсан цаг хугацаа шаардсан (бүх дөрвөн үйлдлийг дотор нь судлах). хоёр арван). Нэгдүгээр ангид байхдаа үржүүлэх, хуваахыг судлах нь сэтгэлгээний чанарын үсрэлт гэсэн үг юм, учир нь энэ нь бодлын хураангуй үйл явцыг эзэмших боломжийг олгодог.

Уламжлал ёсоор бол 20-ийн дотор нэмэх, хасах үйлдлийг судлах нь урьд өмнө нь тусгай сэдэв байсан бөгөөд мэдлэгийг системчлэхдээ энэ хандлагын хэрэгцээ нь асуултын логик дүн шинжилгээнээс ч харагдаж байна: нэг оронтой тоог нэмэх бүрэн хүснэгт. тоог хоёр аравтын дотор боловсруулдаг (0+1= 1, ...,9+9=18). Тиймээс 20-ийн доторх тоонууд нь дотоод холболтууд дахь харилцааны бүрэн системийг бүрдүүлдэг; Иймээс "Хорин"-ыг хоёр дахь цогц сэдэв болгон хадгалах нь зүйтэй гэдэг нь ойлгомжтой (эхний ийм сэдэв нь эхний арав дахь үйлдлүүд).

Хэлэлцэж буй хэрэг бол яг л төвлөрсөн байдал (хоёр дахь арвыг тусгай сэдэв болгон хадгалах) нь шугаман байдлаас илүү ашиг тустай болж хувирах явдал юм ("хоёр дахь аравыг "Зуун" сэдэв болгон татан буулгах).

М.И.Морогийн сурах бичигт эхний арвын судалгааг хоёр тусгаарлагдсан хэсэгт хуваасан: эхлээд эхний арав дахь тоонуудын найрлагыг судалж, дараагийн сэдвээр туршилтын сурах бичигт оруулсан болно P.M. Эрдниева үүнээс ялгаатай нь нэг хэсэгт 10-ын дотор дугаарлалт, тоонуудын найрлага, үйлдлүүдийн (нэмэх, хасах) хамтарсан судалгааг хийсэн. Энэхүү аргын тусламжтайгаар тоонуудын монографийн судалгааг ашигладаг, тухайлбал: авч үзэж буй тоон дотор (жишээлбэл, 3) бүх "бэлэн мөнгөний математик" -ийг нэн даруй ойлгодог: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Хэрэв одоогийн хөтөлбөрүүдийн дагуу эхний аравыг судлахад 70 цаг хуваарилагдсан бол туршилтын сургалтын хувьд энэ бүх материалыг 50 цагийн дотор судалсан (мөн хөтөлбөрөөс гадна зарим нэмэлт ойлголтуудыг авч үзсэн болно. тогтвортой сурах бичиг, гэхдээ үндсэн материалтай бүтцийн хувьд холбоотой байсан).

Даалгавруудыг ангилах асуудал, тэдгээрийн төрлүүдийн нэрс нь анхан шатны сургалтын арга зүйд онцгой анхаарал хандуулахыг шаарддаг. Үе үеийн арга зүйчид сургуулийн даалгаврын тогтолцоог боловсронгуй болгох, үр дүнтэй төрөл, сортуудыг бий болгох, сургуульд сурахад зориулагдсан даалгаврын нэр томъёог амжилттай сонгох хүртэл ажилласан. Математикийн хичээлд заах цагийн дор хаяж тал хувь нь тэдгээрийг шийдвэрлэхэд зориулагддаг нь мэдэгдэж байна. Сургуулийн даалгавруудыг системчлэх, ангилах нь гарцаагүй. Ямар төрлийн (төрөл) даалгаврыг судлах, хэзээ судлах, тодорхой хэсгийг дамжихтай холбогдуулан ямар төрлийн асуудлыг судлах нь энэ нь арга зүй, хөтөлбөрийн гол агуулгыг судлах хууль ёсны объект юм. Энэ нөхцөл байдлын ач холбогдол нь математикийн арга зүйн түүхээс тодорхой харагдаж байна.

Зохиогчийн туршилтын сургалтын хэрэглэгдэхүүнд даалгаврын ангилал, тодорхой ангид заах шаардлагатай төрөл, сортуудыг хуваарилахад онцгой анхаарал хандуулдаг. Одоогийн байдлаар бодлогын төрлүүдийн сонгодог нэрс (нийлбэр, үл мэдэгдэх нэр томъёог олох гэх мэт) нэгдүгээр ангийн тогтвортой сурах бичгийн агуулгын хүснэгтээс ч алга болжээ. Туршилтын сурах бичигт P.M. Эрдниев, эдгээр нэрс "ажилладаг": тэдгээр нь зөвхөн оюутанд төдийгүй багшийн хувьд дидактик чухал үе шат болж өгдөг. Туршилтын математикийн сурах бичгийн эхний сэдвийн агуулгыг танилцуулъя, энэ нь ухагдахууны логик бүрэн дүүрэн байдлаар тодорхойлогддог.

Эхний арав

Өндөр - доод, зүүн - баруун, хооронд, богино - урт, өргөн - нарийхан, зузаан - нимгэн, хөгшин - залуу, цаашлаад - ойр, удаан - хурдан, хөнгөн - хүнд, бага - олон гэсэн ойлголтуудыг харьцуулах.

Эхний арвын тоонуудын монографийн судалгаа: нэр, тэмдэглэгээ, харьцуулалт, тоон дээр тоо тавих, тооны мөрөнд дугаарлах; тэмдэг: тэнцүү (=), тэнцүү биш (¹), их (>), бага (<).

Шулуун ба муруй шугам; дугуй ба зууван.

Цэг, шулуун шугам, сегмент, тэдгээрийн тэмдэглэгээ үсгээр; сегментийн уртыг хэмжих, өгөгдсөн урттай сегментүүдийг тавих; тэмдэглэгээ, нэрлэх, барих, тэнцүү гурвалжин, тэнцүү олон өнцөгтийг хайчилж авах. Олон өнцөгтийн элементүүд: орой, тал, диагональ (үсгээр тэмдэглэгдсэн).

Тухайн тоон доторх тоонуудын монографийн судалгаа:

тооны найрлага, нэмэх, хасах.

Нэмэх, хасах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэрс.

Нэмэх, хасах дөрвөн жишээ:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Гэмтсэн жишээнүүд (дугасан тоо, тэмдэгтэй):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Нийлбэр, нэмэх, ялгавар, хасах, хасахыг олох бодлого бодох. Харилцан урвуу асуудлуудыг эмхэтгэх, шийдвэрлэх.

Гурван даалгавар: тоог хэд хэдэн нэгжээр нэмэгдүүлэх, багасгах, ялгаатай харьцуулалт хийх. Сегментүүдийг уртаар нь харьцуулах.

Нэмэлтийн солилцооны хууль. Нэг гишүүний өөрчлөлтөөс хамаарч нийлбэрийн өөрчлөлт. Хэмжээ өөрчлөгдөхгүй байх нөхцөл. Хамгийн энгийн үсгийн илэрхийлэл: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Илэрхийллийн асуудлыг эмхэтгэх, шийдвэрлэх.

Дараагийн танилцуулгад бид сургуулийн математикийн энэхүү анхны хэсгийг толилуулах арга зүйн үндсэн асуудлуудыг авч үзэх бөгөөд дараагийн хэсгүүдийг танилцуулах аргачлал нь эхний сэдвийн материалыг эзэмших үйл явцтай олон талаараа төстэй байх ёстой гэдгийг анхаарч үзэх болно. .

Эхний хичээлүүдэд багш нь оюутнуудад хос ойлголтыг ашиглахыг заах зорилго тавих ёстой бөгөөд агуулга нь эдгээр үгстэй тохирох өгүүлбэр зохиох явцад илэрдэг. (Нэгдүгээрт, бид тоо ашиглахгүйгээр чанарын түвшинд харьцуулалтыг эзэмшдэг.)

Зөвхөн математикийн төдийгүй ярианы хөгжилд хичээлд хэрэглэгдэх хамгийн түгээмэл хос ойлголтуудын жишээг энд оруулав.

Илүү - бага, урт - богино, өндөр - бага, хүнд - хөнгөн, өргөн - нарийссан, зузаан - нимгэн, баруун - зүүн, цааш - ойр, хөгшин - залуу, хурдан - удаан гэх мэт.

Ийм хос үзэл баримтлал дээр ажиллахдаа сурах бичигт зөвхөн зураг зурахаас гадна хүүхдийн ажиглалтыг ашиглах нь чухал юм; Тиймээс, жишээ нь, ангийн цонхноос тэд голын эрэг дээр байшин байгааг хараад, "Гол нь байшингаас илүү сургуультай ойрхон, байшин нь сургуулиас хол байдаг" гэсэн хэллэгийг зохиодог. .”

Оюутан гартаа ном, дэвтэр ээлжлэн барь. Багш асууна: ном эсвэл дэвтэр юу илүү хүнд вэ? Юу нь илүү хялбар вэ? "Ном нь дэвтэрээс хүнд, дэвтэр нь номноос хөнгөн."

Ангийнхаа хамгийн өндөр, хамгийн намхан сурагчийг ангийнхаа өмнө зэрэгцүүлэн жагсаад бид тэр даруй "Миша Колягаас өндөр, Коля Мишагаас намхан" гэсэн хоёр хэллэг зохиодог.

Эдгээр дасгалуудад "Чулуун байшин модон байшингаас өндөр, энэ нь модон байшин чулуунаас доогуур" гэсэн үг хэллэгийг хоёрдмол утгаар солих нь чухал юм.

"Урт - богино" гэсэн ойлголттой танилцахдаа нэгийг нь нөгөөгөөр нь давхарлаж (аль нь урт вэ: үзэг эсвэл харандаа уу?) уртын харьцуулалтыг үзүүлж болно.

Арифметик, ярианы хөгжлийн хичээлүүдэд эсрэг ойлголтуудыг ашиглахыг заах зорилготой логик асуудлыг шийдвэрлэх нь ашигтай байдаг: "Хэн нь илүү настай вэ: аав эсвэл хүү? Хэн нь бага вэ: аав эсвэл хүү? Аль нь хамгийн түрүүнд төрсөн бэ? Дараа нь хэн бэ?

“Ном, цүнх хоёрын өргөнийг харьцуул. Аль нь илүү өргөн вэ: ном эсвэл цүнх үү? Ном эсвэл цүнх гэж юу вэ? Юу нь илүү хүнд вэ: ном эсвэл цүнх үү?

Харьцуулах үйл явцыг заахдаа матриц (хүснэгт) гэж нэрлэгддэг дасгалуудыг нэвтрүүлснээр илүү сонирхолтой болгож болно. Самбар дээр дөрвөн нүдтэй хүснэгтийг барьж, "багана", "мөр" гэсэн ойлголтын утгыг тайлбарлав. Бид "зүүн багана", "баруун багана", "дээд эгнээ", "доод эгнээ" гэсэн ойлголтуудыг танилцуулж байна.

Оюутнуудтай хамт бид эдгээр ойлголтуудын семантик тайлбарыг харуулдаг (дуурайдаг).

Баганыг харуул (хүүхдүүд гараа дээрээс доош хөдөлгөдөг).

Зүүн багана, баруун баганыг харуул (хүүхдүүд гараа дээрээс доош хоёр удаа савлана).

Мөрийг харуул (гараа зүүнээс баруун тийш эргүүл).

Дээд шугам, доод шугамыг харуулах (дээд шугам, доод шугамыг харуулсан хоёр гар долгион).

Оюутнууд нүдний байрлалыг үнэн зөв зааж өгөх шаардлагатай: "зүүн дээд нүд", "баруун доод нүд" гэх мэт. Урвуу асуудлыг нэн даруй шийддэг, тухайлбал: багш хүснэгтийн зарим нүдийг (матриц) зааж өгдөг. , оюутан энэ нүдний харгалзах нэрийг өгнө. Хэрэв дээд мөр ба зүүн баганын огтлолцол дээр байгаа нүдийг зааж өгсөн бол оюутан "Зүүн дээд нүд" гэж нэрлэнэ. Ийм дасгалууд нь хүүхдийг орон зайн чиг баримжаагаар аажмаар дасгадаг бөгөөд дараа нь математикийн координатын аргыг судлахад чухал ач холбогдолтой юм.

Тооны цуврал дээр ажиллах нь анхан шатны математикийн эхний хичээлүүдэд маш чухал юм.

Тооны шугамын дагуу баруун тийш шилжих замаар нэг нэгээр нь нэмэх замаар тооны цувааны өсөлтийг харуулах нь тохиромжтой.

Хэрэв (+) тэмдэг нь тооны шугамын дагуу баруун тийш нэгээр шилжихтэй холбоотой бол (-) тэмдэг нь зүүн тийш нэг нэгээр буцаж шилжихтэй холбоотой байдаг. (Тиймээс бид хоёр тэмдгийг нэгэн зэрэг харуулна. хичээл.)

Тоон цуваатай ажиллахдаа бид дараах ойлголтуудыг танилцуулж байна: тооны цувралын эхлэл (тэг тоо) нь цацрагийн зүүн төгсгөлийг илэрхийлдэг; 1-ийн тоо нь нэгж сегменттэй тохирч байгаа бөгөөд үүнийг тооны цувралаас тусад нь дүрсэлсэн байх ёстой.

Суралцагчдаас гурвын дотор тооны шулуун дээр ажиллахыг хүс.

Бид зэргэлдээх хоёр тоог сонгоно, жишээ нь 2 ба 3. 2-оос 3-ын тоо руу шилжсэнээр хүүхдүүд "2-ын тоо 3-ын дараа ордог" гэж тайлбарладаг. 3-р тооноос 2-т шилжихэд тэд:

"3-ын тоо 2-ын тооноос өмнө ирдэг" эсвэл: "2-ын тоо 3-ын тооноос өмнө ирдэг."

Энэ арга нь өмнөх болон дараагийн тоонуудтай харьцуулахад өгөгдсөн тооны байршлыг тодорхойлох боломжийг олгодог; Тооны байрлалын харьцангуй байдалд нэн даруй анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй, жишээлбэл: 3-ын тоо нь дараачийн (2-ын тооны ард) болон өмнөх (4-ийн тооны өмнө) хоёулаа нэгэн зэрэг байна.

Тоон цувааны дагуу заасан шилжилтүүд нь харгалзах арифметик үйлдлүүдтэй холбоотой байх ёстой.

Жишээлбэл, "2-ын дараа 3-ын тоо" гэсэн хэллэгийг дараах байдлаар дүрсэлсэн: 2 + 1 = 3; Гэсэн хэдий ч түүний дараа шууд эсрэг бодлын холбоог бий болгох нь сэтгэл зүйн хувьд ашигтай байдаг, тухайлбал: "3-ын тоо ирэхээс өмнө 2-ын тоо ирдэг" гэсэн илэрхийлэл нь 3 - 1 = 2 гэсэн оруулгатай дэмжигддэг.

Тооны цуврал дахь тооны байршлын талаар ойлголттой болохын тулд хосолсон асуултуудыг асуух хэрэгтэй.

1. Ямар тооны ард 3-ын тоо орох вэ? (3-ын тоо 2-ын дараа ирдэг.) 2-ын тоо ямар тооны өмнө ирдэг вэ? (2-ын тоо 3-ын өмнө ирдэг.)

2. 2-ын дараа ямар тоо ирэх вэ? (2-ын араас 3-ын тоо ордог.) 3-ын өмнө ямар тоо ирэх вэ? (3-ын тоо 2-ын өмнө байна.)

3. 2-ын тоо ямар тооны хооронд байрлах вэ? (2-ын тоо нь 1 ба 3-ын хооронд байна.) 1 ба 3-ын хооронд ямар тоо байх вэ? (1 ба 3 тоонуудын хооронд 2 тоо байна.)

Эдгээр дасгалуудад математик мэдээллийг функциональ үгсэд агуулдаг: өмнө, ард, хооронд.

Тоон цуваатай ажиллах ажлыг тоонуудыг хэмжээгээр нь харьцуулах, мөн тооны шулуун дээрх тоонуудын байрлалыг харьцуулах нь тохиромжтой. Геометрийн шинж чанартай шүүлтийн холболтыг аажмаар хөгжүүлдэг: 4-ийн тоо нь 3-ын баруун талд байгаа тооны шугам дээр байна; энэ нь 4 нь 3-аас их гэсэн үг. Мөн эсрэгээр: 3-ын тоо нь 4-ийн тооны зүүн талд байгаа тооны мөрөнд байна; Энэ нь 3-ын тоо нь 4-ээс бага гэсэн үг юм. Энэ нь хос ойлголтуудын хооронд холболт үүсдэг: баруун талд - илүү, зүүн талд - бага.

Дээр дурдсанаас бид мэдлэгийг нэгтгэх нэг онцлог шинж чанарыг харж байна: нэмэх, хасахтай холбоотой бүх ойлголтыг бие биен рүүгээ тасралтгүй шилжих (дахин кодлох) хэлбэрээр хамтад нь санал болгодог.

Манай сурах бичигт байгаа тоон харилцааг эзэмших гол хэрэгсэл бол өнгөт баар; Тэдгээрийг уртаар нь харьцуулж, дээд эсвэл доод бааранд хэдэн эс том эсвэл бага байгааг тогтооход тохиромжтой. Өөрөөр хэлбэл, бид "хэсгүүдийн ялгааг харьцуулах" гэсэн ойлголтыг тусгай сэдэв болгон нэвтрүүлдэггүй, харин оюутнууд эхний арвын тоог судалж эхлэхэд л мэддэг болно. Эхний аравтыг судлах хичээлүүдэд өнгөт баар ашиглах нь тохиромжтой бөгөөд энэ нь эхний шатны үйл ажиллагааны үндсэн төрлүүдийн пропедевтикийг хийх боломжийг олгодог.

Нэг жишээ авч үзье.

Нүдэнд хуваагдсан хоёр өнгийн баарыг бие биен дээрээ наа.

доод хэсэгт - 3 нүд, дээд хэсэгт - 2 нүд (зураг харна уу).

Дээд ба доод баарны нүднүүдийн тоог харьцуулж, багш харилцан урвуу үйлдлүүдийн хоёр жишээг (2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2) зохиож, эдгээр жишээнүүдийн шийдлүүдийг бүх боломжит аргаар хосоор нь уншина.

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) 1-ээс 2-ыг нэмнэ - та 3-ыг авна; a) 3-аас 1-ийг хасах - та 2-ыг авна;

б) 2-ыг 1-ээр нэмэгдүүлэх - та 3-ыг авах; б) 3-ыг 1-ээр багасгах - та 2-ыг авна;

в) 3 нь 2-оос 1-ээс их; в) 2 нь 3-аас 1-ээс бага;

d) 2 тийм 1 нь 3 байх болно; d) 1-гүй 3 нь 2 болно;

д) 2-ын тоог 1-ээр нэмэх - e) 3-аас 1-ийг хасах -

энэ нь 3. гарч байна 2.

Багш аа. 2-ыг 1-ээр үржүүлбэл хэд болох вэ?

Оюутан. Хэрэв та 2-ыг 1-ээр нэмэгдүүлбэл 3-ыг авна.

Багш аа. Одоо надад хэлээч 2-ыг авахын тулд 3-ын тоог юу хийх хэрэгтэй вэ?

Оюутан. 2-ыг авахын тулд 3-ыг 1-ээр багасга.

Энэхүү яриа хэлэлцээнд сөрөг хүчний ажиллагааг арга зүйн хувьд чадварлаг хэрэгжүүлэх хэрэгцээ шаардлагад анхаарлаа хандуулцгаая. ,

Хүүхдүүд хосолсон ойлголтуудын утгыг (нэмэх - хасах, нэмэгдүүлэх - багасгах, илүү - бага, тийм - үгүй, нэмэх - хасах) утгыг итгэлтэйгээр эзэмших нь тэдгээрийг ижил гурвалсан тоон дээр үндэслэн нэг хичээлд ашиглах замаар хүрдэг (жишээлбэл, 2 + 1 = =3, 3-1=2), нэг үзүүлэн дээр үндэслэн - хоёр баарны уртыг харьцуулах.

Ассимиляцийн нэгжийг нэгтгэх арга зүйн систем ба эдгээр үндсэн ойлголтуудыг тусад нь судлах тогтолцооны үндсэн ялгаа нь математикийн эсрэг тэсрэг ойлголтуудыг дүрмээр бол оюутнуудын ярианы практикт тусад нь нэвтрүүлдэг.

Суралцах туршлага нь арифметикийн анхны хичээлээс эхлэн бие биедээ эсрэг тэсрэг ойлголтуудыг нэгэн зэрэг нэвтрүүлэхийн давуу талыг харуулж байна.

Жишээлбэл, "нэмэх" (2 дээр 1-ийг нэмэх), "нэмэх" (1-ийн тоогоор 2-ыг нэмэх), "нэмэгдүүлэх" (2-ыг 1-ээр нэмэгдүүлэх) гэсэн гурван үйл үгийг нэгэн зэрэг ашиглах. ижилхэн (2+1=3) нь хүүхдүүдэд эдгээр үгсийн утгын ижил төстэй байдал, ойр байдлыг сурахад тусалдаг ("хасах", "хасах", "багасгах" гэсэн үгсийн талаар ижил төстэй үндэслэлийг гаргаж болно).

Үүнтэй адилаар ялгаатай харьцуулалтын мөн чанарыг сургалтын эхэн үеэс эхлэн хос тоонуудыг харьцуулах аргыг давтан ашиглах замаар олж авдаг бөгөөд хичээлийн харилцан ярианы хэсэг бүрт шийдвэрлэсэн жишээг тайлбарлах бүх боломжит аман хэлбэрийг ашигладаг. “Юу нь илүү вэ: 2 эсвэл 3? 3 нь 2-оос хэд их вэ? 3-ыг авахын тулд 2 дээр хэдэн төгрөг нэмэх шаардлагатай вэ? гэх мэт дүрмийн хэлбэрийг өөрчлөх, асуух хэлбэрийг байнга хэрэглэх нь эдгээр ойлголтын утгыг эзэмшихэд ихээхэн ач холбогдолтой.

Урт хугацааны туршилтууд нь эхний арван тоог монографийн судалгааны давуу талыг харуулсан. Дараалсан тоо бүрийг олон талт шинжилгээнд хамруулж, түүнийг бүрдүүлэх бүх боломжит хувилбаруудыг жагсаасан болно; Энэ тооны хүрээнд бүх боломжит үйлдлүүд хийгдэж, "боломжтой бүх математик" давтагдаж, тоонуудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлэх бүх зөвшөөрөгдөх дүрмийн хэлбэрийг ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, энэхүү судалгааны системийн тусламжтайгаар дараагийн тоонуудын хамрах хүрээтэй холбогдуулан өмнө нь судалсан жишээнүүд давтагддаг, өөрөөр хэлбэл тоон цувралын өргөтгөл нь өмнө нь авч үзсэн тоонуудын хослолууд болон энгийн асуудлын сортуудыг тогтмол давтах замаар хийгддэг. .

2.3 Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлийг хамтран судлах

Анхан шатны математикийн арга зүйд эдгээр хоёр үйлдлийн дасгалуудыг ихэвчлэн тусад нь авч үздэг. Үүний зэрэгцээ "нэмэх - нэр томьёо болгон задлах" давхар үйлдлийг нэгэн зэрэг судлах нь илүү дээр юм шиг санагдаж байна.

Оюутнууд нэмэх асуудлыг шийдье: "Гурван саваа дээр 1 саваа нэмбэл 4 саваа авна." Энэ даалгаврын дараа "4 гэсэн тоо ямар тооноос бүрддэг вэ?" Гэсэн асуултыг нэн даруй асуух хэрэгтэй. 4 саваа нь 3 саваа (хүүхэд 3 саваа тоолдог) ба 1 саваа (дахин 1 савааг тусгаарладаг) зэргээс бүрдэнэ.

Эхний дасгал нь тооны задрал байж болно. Багш: "5-ын тоо ямар тооноос бүрдэх вэ?" Гэж асууна. (5-ын тоо нь 3 ба 2-оос бүрдэнэ.) Тэгээд тэр даруй ижил тооны талаар асуулт гарч ирнэ: "Хэрэв та 3 дээр 2-ыг нэмбэл хэдэн төгрөг авах вэ?" (3 дээр 2-ыг нэмбэл 5 болно.)

Үүнтэй ижил зорилгоор 5+2=7 гэсэн хоёр чиглэлд жишээ унших дасгал хийх нь ашигтай. 2-ыг 5-д нэмбэл 7-г авна (зүүнээс баруун тийш уншина). 7 нь 2 ба 5-р нөхцлөөс бүрдэнэ (баруунаас зүүн тийш уншина).

Харгалзах үйлдлүүдийн тодорхой агуулгыг харах боломжийг олгодог ангийн абакус дээрх ийм дасгалуудыг аман эсэргүүцлийг дагалдуулах нь ашигтай байдаг. Абакус дээрх тооцоолол нь тоон дээрх үйлдлийг дүрслэн харуулах хэрэгсэл болгон зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд 10 доторх тоонуудын хэмжээ нь нэг утсан дээр байрлах ясны урттай холбоотой байдаг (энэ уртыг оюутан нүдээр ойлгодог). Одоогийн сурах бичиг, хөтөлбөрүүд хичээлдээ орос хэлтэрхий хэрэглэхээс бүрмөсөн татгалзаж байхад ийм “шинэ санаачилга”-тай санал нийлэх аргагүй юм.

Тиймээс, нэмэх жишээг (5+2=7) шийдвэрлэхдээ сурагч эхлээд абакус дээр 5 чулууг тоолж, дараа нь 2-ыг нэмээд дараа нь нийлбэрийг зарлав: "5 дээр 2-ыг нэмбэл 7 болно". Үр дүнгийн 7 дугаарын нэрийг оюутан шинэ нийлбэрийг дахин тооцоолох замаар тогтооно: "Нэг - хоёр - гурав - дөрөв - тав - зургаа - долоо").

Оюутан. 5 дээр 2-ыг нэмбэл 7 гарна.

Багш аа. Одоо 7 тоо ямар нэр томъёоноос бүрддэгийг харуул.

Оюутан (эхлээд баруун тийш хоёр ясыг салгаж, дараа нь ярьдаг). 7 тоо нь 2 ба 5-аас бүрдэнэ.

Эдгээр дасгалуудыг хийхдээ анхнаасаа "эхний улирал" (5), "хоёр дахь үе" (2), "нийлбэр" гэсэн ойлголтуудыг ашиглах нь зүйтэй.

Дараах төрлийн даалгавруудыг санал болгож байна: a) хоёр гишүүний нийлбэр нь 7; нөхцөлийг олох; б) 7 тоо ямар бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс бүрддэг вэ?; в) 7-ын нийлбэрийг 2 гишүүн (3 гишүүн) болгон задлах. гэх мэт.

Нэмэлтийн солилцооны хууль гэх мэт чухал алгебрийн ойлголтыг эзэмшихийн тулд эхлээд объектуудтай практик заль мэх дээр үндэслэсэн олон төрлийн дасгалуудыг хийх шаардлагатай болдог.

Багш аа. Зүүн гартаа 3, баруун гартаа 2 саваа ав, нийт хэдэн саваа байна вэ?

Оюутан. Нийт 5 саваа байна.

Багш аа. Энэ талаар би яаж илүү ихийг хэлэх вэ?

Оюутан. 3 саваа дээр 2 саваа нэмнэ - 5 саваа байх болно.

Багш аа. Таслагдсан тооноос энэ жишээг зохио. (Оюутан жишээ гаргадаг: 3+2=5.)

Багш аа. Одоо савхыг соль: зүүн гартаа савхыг баруун тийш шилжүүлж, баруун гараасаа зүүн тийш савхыг шилжүүл. Одоо хоёр гарт хэдэн саваа байна вэ?

Оюутан. Нийтдээ 2 гарт 5 саваа байсан, одоо дахиад 5 саваа байна.

Багш аа. Яагаад ийм зүйл болсон бэ?

Оюутан. Учир нь бид юу ч хойш тавиагүй, саваа нэмээгүй тул маш их зүйл үлдсэн.

Багш аа. Таслагдсан тоонуудаас шийдвэрлэсэн жишээнүүд зохио.

Оюутан (зайлшгүй: 3+2=5, 2+3=5). Энд 3-ын тоо байсан, одоо 2-ын тоо. Тэгээд энд 2-ын тоо, одоо 3-ын тоо байсан.

Багш аа. Бид 2 ба 3-ын тоог сольсон боловч үр дүн нь хэвээр байна:

5. (Жишээг хуваах тооноос хийсэн болно: 3+2=2+3.)

Солих хуулийг мөн тоонуудыг нэр томьёо болгон задлах дасгалд сурдаг.

Нэмэлтийн солих хуулийг хэзээ нэвтрүүлэх вэ?

Эхний 10-д багтаж байгаа нэмэлтийг заах гол зорилго нь дасгалд шилжих хуулийн үүргийг байнга онцлон тэмдэглэх явдал юм.

Хүүхдүүд эхлээд 6 саваа тоолоорой; Дараа нь бид тэдгээрт гурван саваа нэмж, дахин тооцоолсноор ("долоо - найм - ес") бид нийлбэрийг тогтооно: 6 тийм 3 - 9 болно. Шинэ жишээг нэн даруй санал болгох шаардлагатай: 3 + 6; Шинэ дүнг эхлээд дахин тооцоолох замаар (жишээ нь, хамгийн анхдагч аргаар) тогтоож болох боловч аажмаар, зорилготойгоор шийдлийн аргыг илүү өндөр кодоор, өөрөөр хэлбэл логикийн хувьд дахин тооцоолохгүйгээр томъёолох хэрэгтэй.

Хэрэв 6 ба 3 нь 9 байвал (хариултыг дахин тооцоолох замаар тогтооно), 3 ба 6 (дахин тооцоололгүйгээр!) мөн 9 болно!

Товчхондоо, нэмэхийн солих шинж чанарыг өөр өөр нэр томьёо нэмэх дасгалын эхэн үеэс эхлэн нэвтрүүлэх ёстой бөгөөд ингэснээр дөрвөн жишээний шийдлийг зохиох (дуудах) нь зуршил болно.

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Дөрвөн жишээг эмхэтгэх нь хүүхдүүдэд хүртээмжтэй мэдлэгийг өргөжүүлэх хэрэгсэл юм.

Нэмэх үйл ажиллагааны ийм чухал шинж чанар нь түүний солигдох чадвар нь хааяа тохиолдох ёсгүй, харин зөв тоон холбоог бэхжүүлэх гол логик хэрэгсэл болох ёстой гэдгийг бид харж байна. Нэмэлтийн гол шинж чанар - нэр томьёо солигдох чадварыг санах ойд шинэ хүснэгтийн үр дүнгийн хуримтлалтай холбоотойгоор байнга авч үзэх хэрэгтэй.

Бид харж байна: илүү төвөгтэй тооцооллын эсвэл логик үйлдлүүдийн хамаарал нь хос "цогцолбор" үйлдлийг гүйцэтгэдэг энгийн үйлдлүүдийн ижил төстэй хос холболт (ойролцоох) дээр суурилдаг. Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл ойлголтыг илт эсэргүүцэх нь энгийн ойлголтуудын далд (далд ухамсар) эсрэг тэсрэг байдалд суурилдаг.

Үржүүлэх, хуваах эхний судалгааг дараахь гурван мөчлөгийн дарааллаар (мөчлөг бүрт гурван даалгавар) хийхийг зөвлөж байна.

I мөчлөг: a, b) тогтмол үржүүлэгчээр үржүүлэх, агуулгын дагуу хуваах (хамтдаа); в) тэнцүү хэсгүүдэд хуваах.

II мөчлөг: a, b) хэд хэдэн удаа буурч, тоо нэмэгдэх (хамтдаа); в) олон тооны харьцуулалт.

III мөчлөг: а, б) тооны нэг хэсэг, түүний аль нэг хэсгийн хэмжээгээр (хамтдаа) тоог олох; в) асуудлыг шийдвэрлэх: "Нэг тоо нь нөгөө тоонуудын аль хэсэг вэ?"

Эдгээр асуудлыг судлах арга зүйн систем нь эхний шатны энгийн бодлогуудын (нэмэх, хасах) дээр дурдсантай төстэй юм.

Агуулгын хувьд үржүүлэх, хуваах үйлдлийг зэрэг судлах. Үржүүлэхэд зориулагдсан хоёр, гурван хичээлд (цаашаа ч үгүй!) тэнцүү нэр томьёоны задарсан нэмэх зэрэг үржүүлэх гэдэг ойлголтын утгыг тодорхой болгосон (хуваах үйлдлийг эдгээр хичээлүүдэд хараахан авч үзээгүй). Энэ удаад 2-ын тоог нэг оронтой тоогоор үржүүлэх хүснэгтийг судлахад хангалттай.

Ихэвчлэн сурагчдад нэмэхийг үржүүлэх замаар орлуулах бичлэгийг харуулдаг: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Энд нэмэх, үржүүлэх хоорондын холбоо нь нэмэх-үржүүлэх чиглэлд явагдана. "Үржүүлэх-нэмэх" (тэнцүү нэр томъёо) хэлбэрийн санал хүсэлтийг гаргах дасгалыг оюутнуудад нэн даруй санал болгох нь зүйтэй: энэ оруулгыг хараад оюутан 2-ын тоог аль болох олон удаа нэмэх шаардлагатай гэдгийг ойлгох ёстой. жишээн дэх үржүүлэгч нь (2*4= 8) харуулж байна.

Хоёр төрлийн дасгалын хослол нь "үржүүлэх" гэсэн ойлголтыг ухамсартайгаар шингээх чухал нөхцлүүдийн нэг бөгөөд энэ нь нурсан нэмэлт гэсэн үг юм.

Гурав дахь хичээлд (эсвэл дөрөв дэх нь ангиас хамаарч) үржүүлгийн мэдэгдэж буй тохиолдол бүрийн хувьд хуваах харгалзах тохиолдлыг өгсөн болно. Цаашид үржүүлэх, хуваахыг зөвхөн нэг хичээл дээр хамтад нь авч үзэх нь ашигтай.

Хуваах тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхдээ үржүүлгийн харгалзах тохиолдлуудыг дарааллаар нь эргэн дурсаж, үржүүлэхээс урвуу шинэ үйлдлийн тухай ойлголтыг бий болгох хэрэгтэй.

Тиймээс "үржүүлэх" гэсэн ойлголт нь баялаг агуулгыг олж авдаг: энэ нь зөвхөн тэнцүү нэр томъёог нэмсний үр дүн ("нэмэлтийг нэгтгэх") төдийгүй, мөн хуваах үндсэн мөч бөгөөд энэ нь эргээд илэрхийлдэг. Дараалсан "хасах үйлдлийг 2"-оор сольж "нурсан хасах":

Үржүүлэхийн утгыг үржүүлэх замаар бус харин үржүүлэх, хуваах хооронд тогтмол шилжилт хийх замаар ойлгодог, учир нь хуваах нь далд, "өөрчлөгдсөн" үржүүлэх явдал юм. Энэ нь үржүүлэх, хуваах үйлдлийг нэгэн зэрэг (хүснэгт болон хүснэгтээс гадуур; аман болон бичгийн аль аль нь) судлах нь яагаад ашигтай болохыг тайлбарлаж байна.

Үржүүлэх, хуваахыг нэгэн зэрэг судлах эхний хичээлүүд нь янз бүрийн объект (шоо, мөөг, саваа гэх мэт) цуглуулах, тараах өргөн практик үйл ажиллагаануудаар бүх талаар дэмжигдсэн логик үйлдлүүдийг өөрсдөө боловсруулахад зориулагдсан байх ёстой. гэхдээ нарийвчилсан үйлдлүүдийн дараалал ижил хэвээр байх ёстой.

Энэ ажлын үр дүн нь зэрэгцүүлэн бичсэн үржүүлэх, хуваах хүснэгтүүд байх болно.

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5 гэх мэт.

Тиймээс үржүүлэх хүснэгтийг тогтмол үржүүлэгч ашиглан, хуваах хүснэгтийг тогтмол хуваагч ашиглан бүтээдэг.

Оюутнуудад энэ даалгавартай хослуулан тэнцүү хасагдах тоонуудыг хуваахаас хасах руу шилжих тухай бүтцийн хувьд эсрэг дасгалыг санал болгох нь ашигтай.

Дахин давтагдах дасгалуудад ийм төрлийн даалгавруудыг санал болгох нь ашигтай байдаг: 14:2==.

Тэнцүү хэсгүүдэд хуваах судалгаа. 2-ын тоог үржүүлж, 2-т хуваахыг хамтдаа судалж эсвэл давтан хийсний дараа "тэнцүү хэсгүүдэд хуваах" (эхний мөчлөгийн гурав дахь төрлийн бодлого) гэсэн ойлголтыг нэг хичээлээр оруулав.

Асуудлыг авч үзье: “Дөрвөн оюутан 2 дэвтэр авчирсан. Та хэдэн дэвтэр авчирсан бэ?"

Багш тайлбарлав: 2-ыг 4 удаа авна - 8-ыг авна. (Оруулга гарч ирнэ: 2*4 = 8.) Урвуу бодлогыг хэн бичих вэ?

Мөн энэ сэдвээр математикийн хичээл явуулах багш нарын туршлагын ерөнхий дүгнэлт. Курсын ажил нь оршил, хоёр бүлэг, дүгнэлт, ашигласан материалын жагсаалтаас бүрдэнэ. I бүлэг. Бага ангийн математикийн хичээлд геометрийн дүрсийн талбай, түүний хэмжих нэгжийг судлах арга зүйн онцлог 1.1 Бага ангийн сурагчдын геометрийн ойлголтыг төлөвшүүлэх үе шатанд насны хөгжлийн онцлог...

Асуудлыг гэрэлтүүлээгүй хэвээр байна. Даалгаврыг өөрчлөх заах аргын асуудал хамгийн бага хэмжээгээр тусгагдсан тул бид үүнийг үргэлжлүүлэн судлах болно. II бүлэг. Асуудлын өөрчлөлтийг заах арга зүй. 2.1. Бага сургуулийн математикийн хичээлийн өөрчлөлтийн асуудал. Даалгаврыг өөрчлөх талаар тусгайлсан ном зохиол маш бага байгаа тул бид багш нарын дунд санал асуулга явуулахаар шийдлээ...

Шинэ материал сурахдаа хичээлийг багш, сурагчийн хийсэн олон төрлийн үзүүлэнгээр эхлүүлж байхаар зохион байгуулахыг зөвлөж байна. Геометрийн материалыг судлахдаа математикийн хичээлд харааны хэрэгслийг ашиглах нь хүүхдүүдэд хөтөлбөрийн бүх асуудлыг тууштай, ухамсартай эзэмших боломжийг олгодог. Математикийн хэл бол тэмдэгт, ердийн тэмдэг, зураг, геометрийн хэл юм.

Лекц 8. Алгебрийн материалыг судлах арга.

Лекц 7. Олон өнцөгтийн периметрийн тухай ойлголт

1. Алгебрийн элементүүдийг авч үзэх арга зүй.

2. Тоон тэгш ба тэгш бус байдал.

3. Хувьсагчтай танилцахад бэлтгэх. Үсгийн тэмдгийн элементүүд.

4. Хувьсагчтай тэгш бус байдал.

5. Тэгшитгэл

1. Математикийн анхан шатны хичээлд алгебрийн элементүүдийг нэвтрүүлэх нь сургалтын эхэн үеэс хүүхдүүдэд илэрхийлэл, тэгш байдал, тэгш бус байдал, тэгшитгэл зэрэг математикийн чухал ойлголтуудыг хөгжүүлэхэд чиглэсэн системчилсэн ажлыг хийх боломжийг олгодог. Хүүхдэд танигдсан тооны талбараас ямар ч тоог тэмдэглэсэн үсгийг тэмдэг болгон ашиглахтай танилцах нь арифметикийн онолын олон асуултыг анхан шатны сургалтанд нэгтгэх нөхцөлийг бүрдүүлдэг бөгөөд ирээдүйд хүүхдүүдэд ойлголтыг таниулах сайн бэлтгэл юм. функцийн хувьсагч. Асуудлыг шийдвэрлэх алгебрийн аргыг ашиглахтай өмнө нь танилцсан нь хүүхдүүдэд янз бүрийн үгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд сургах бүхэл бүтэн системийг ноцтой сайжруулах боломжийг олгодог.

Даалгаврууд: 1. Сурагчдын тоон илэрхийллийг унших, бичих, харьцуулах чадварыг хөгжүүлэх.2. Оюутнуудыг тоон илэрхийлэл дэх үйлдлийн дарааллыг гүйцэтгэх дүрмүүдтэй танилцуулж, эдгээр дүрмийн дагуу илэрхийллийн утгыг тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх.3. Оюутнуудад үсгийн утгыг өгөгдсөн үсгийн илэрхийлэл унших, бичих, утгыг нь тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх.4. Оюутнуудыг нэг ба хоёрдугаар шатны үйлдлүүдийг агуулсан 1-р зэргийн тэгшитгэлүүдтэй танилцуулах, тэдгээрийг сонгох аргыг ашиглан шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх, түүнчлэн m / y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондын хамаарлын мэдлэгийн үндсэн дээр хөгжүүлэх. арифметик үйлдлийн үр дүн.

Бага сургуулийн хөтөлбөр нь сурагчдыг үсгийн тэмдгийн хэрэглээтэй танилцуулах, нэг үл мэдэгдэх эхний түвшний анхан шатны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэдгээрийг нэг алхамаар бодлогод ашиглах боломжийг олгодог. Эдгээр асуултуудыг арифметик материалтай нягт уялдуулан судалдаг бөгөөд энэ нь тоо, арифметик үйлдлийг бий болгоход хувь нэмэр оруулдаг.

Сургалтын эхний өдрүүдээс оюутнуудын дунд тэгш байдлын тухай ойлголтыг хөгжүүлэх ажил эхэлдэг. Эхлээд хүүхдүүд олон объектыг харьцуулж, тэгш бус бүлгийг тэнцүүлж, тэнцүү бүлгийг тэгш бус болгон хувиргаж сурдаг. Хэдэн арван тоог судлахдаа харьцуулах дасгалуудыг аль хэдийн нэвтрүүлсэн. Нэгдүгээрт, тэдгээрийг объектууд дээр тулгуурлан гүйцэтгэдэг.

Илэрхийлэх ойлголт нь бага насны хүүхдүүдэд арифметик үйлдлийн тухай ойлголттой нягт уялдаатай үүсдэг. Илэрхийлэл дээр ажиллах арга зүй нь хоёр үе шаттай. 1-д хамгийн энгийн илэрхийллийн тухай ойлголт (нийлбэр, зөрүү, үржвэр, хоёр тооны үржвэр), 2-т нийлмэл илэрхийллийн тухай (үржвэр ба тооны нийлбэр, хоёр хэсгийн зөрүү гэх мэт) үүсдэг. . "Математик илэрхийлэл" ба "математик илэрхийллийн утга" (тодорхойлолтгүй) гэсэн нэр томъёог танилцуулав. Нэг үйл ажиллагаанд хэд хэдэн жишээг тэмдэглэсний дараа багш эдгээр жишээг өөрөөр метаматематик илэрхийлэл гэж нэрлэдэг болохыг мэдэгддэг. Арифметик үйлдлүүдийг судлахдаа илэрхийллийг харьцуулах дасгалуудыг 3 бүлэгт хуваана. Процедурын дүрмийг судалж байна. Энэ үе шатны зорилго нь оюутнуудын практик ур чадвар дээр үндэслэн ийм илэрхийлэл дэх үйлдлийг гүйцэтгэх дараалалд тэдний анхаарлыг хандуулж, зохих дүрмийг боловсруулах явдал юм. Оюутнууд багшийн сонгосон жишээнүүдийг бие даан шийдэж, жишээ тус бүр дээр хийсэн үйлдлүүдийг дарааллаар нь тайлбарладаг. Дараа нь тэд өөрсдөө дүгнэлт гаргадаг эсвэл сурах бичгээс уншдаг. Илэрхийллийн ижил хувиргалт гэдэг нь өгөгдсөн илэрхийллийг утга нь өгөгдсөн илэрхийллийн утгатай тэнцүү өөр илэрхийллээр солих явдал юм. Оюутнууд арифметик үйлдлүүдийн шинж чанар, тэдгээрээс үүсэх үр дагаварт (тоонд нийлбэрийг хэрхэн нэмэх, нийлбэрээс тоог хэрхэн хасах, тоог үржвэрээр хэрхэн үржүүлэх гэх мэт) үндэслэн илэрхийллийн ийм хувиргалтыг хийдэг. ). Үл хөдлөх хөрөнгө тус бүрийг судлахдаа оюутнууд тодорхой төрлийн илэрхийлэлд үйлдлүүдийг янз бүрийн аргаар хийж болох боловч илэрхийллийн утга өөрчлөгддөггүй гэдэгт итгэлтэй байдаг.

2. Тоон илэрхийллийг тоон тэгш ба тэгш бустай салшгүй холбоогоор анхнаасаа авч үздэг. Тоон тэгш ба тэгш бус байдлыг "үнэн" ба "буруу" гэж хуваадаг. Даалгавар: тоонуудыг харьцуулах, арифметик илэрхийллийг харьцуулах, нэг үл мэдэгдэх энгийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, тэгш бус байдлаас тэгш байдал руу шилжих, тэгш бус байдлаас тэгш бус байдал руу шилжих.

1. Сурагчдын арифметик үйлдлүүд, тэдгээрийн хэрэглээний талаарх мэдлэгийг тодруулахад чиглэсэн дасгал. Оюутнуудыг арифметик үйлдлүүдтэй танилцуулахдаа 5+3 ба 5-3 хэлбэрийн илэрхийллүүдийг харьцуулах; 8*2 ба 8/2. Илэрхийллийг эхлээд тус бүрийн утгыг олж, гарсан тоонуудыг харьцуулах замаар харьцуулна. Цаашид даалгаврыг хоёр тооны нийлбэр нь тэдгээрийн ялгаанаас их, үржвэр нь тэдгээрийн хуваасан хэмжээнээс их байна гэсэн үндсэн дээр хийгддэг; тооцоог зөвхөн үр дүнг шалгахад ашигладаг. 7+7+7 ба 7*3 хэлбэрийн илэрхийллийн харьцуулалтыг оюутнуудын нэмэх ба үржүүлэх үйл ажиллагааны талаарх мэдлэгийг нэгтгэх зорилгоор хийдэг.

Харьцуулалтын явцад оюутнууд арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дараалалтай танилцдаг. Эхлээд бид 16 - (1+6) хэлбэрийн хаалт агуулсан илэрхийллүүдийг авч үзье.

2. Үүний дараа нэг ба хоёр градусын үйлдлийг агуулсан хаалтгүй илэрхийлэл дэх үйлдлийн дарааллыг авч үзнэ. Оюутнууд жишээг бөглөхдөө эдгээр утгыг мэдэж авдаг. Нэгдүгээрт, нэг түвшний үйлдлийг агуулсан илэрхийлэл дэх үйлдлийн дарааллыг харгалзан үзнэ, жишээлбэл: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Үүний зэрэгцээ, хэрэв илэрхийлэл нь зөвхөн нэмэх, хасах эсвэл зөвхөн үржүүлэх үйлдлийг агуулсан байвал хүүхдүүд сурах ёстой. ба хуваах, дараа нь тэдгээрийг бичсэн дарааллаар гүйцэтгэнэ. Дараа нь хоёр үе шатын үйлдлүүдийг агуулсан илэрхийлэлүүдийг танилцуулна. Оюутнуудад ийм илэрхийлэлд эхлээд үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг дарааллаар нь хийж, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэх ёстойг мэдэгддэг, жишээлбэл: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Үйлдлийн дарааллыг дагах нь туйлын чухал гэдгийг оюутнуудад итгүүлэхийн тулд тэдгээрийг ижил илэрхийлэлд өөр дарааллаар гүйцэтгэж, үр дүнг харьцуулах нь ашигтай байдаг.

3. Оюутнууд арифметик үйлдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд болон үр дүнгийн хоорондын хамаарлын талаар суралцаж, мэдлэгээ нэгтгэх дасгал. Οʜᴎ нь аравын тоог судлахад аль хэдийн орсон байдаг.

Энэ бүлгийн дасгалд оюутнууд бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн аль нэгийг өөрчилснөөр үйл ажиллагааны үр дүнд гарсан өөрчлөлттэй танилцдаг. Нэр томьёоны аль нэгийг нь өөрчилсөн (6+3 ба 6+4) эсвэл 8-2, 9-2 гэх мэтээр багасгасан илэрхийллийг харьцуулна. Хүснэгтийг үржүүлэх, хуваахыг судлахдаа ижил төстэй ажлуудыг багтаасан бөгөөд тооцоолол (5*3 ба 6*3, 16:2 ба 18:2) гэх мэтийг ашиглан гүйцэтгэдэг. Ирээдүйд та тооцоололд найдалгүйгээр эдгээр илэрхийллийг харьцуулж болно.

Харгалзан үзсэн дасгалууд нь хөтөлбөрийн материалтай нягт холбоотой бөгөөд түүнийг шингээхэд хувь нэмэр оруулдаг. Үүний зэрэгцээ тоо, илэрхийллийг харьцуулах явцад оюутнууд анхны санааг олж авдаг тэгш байдал ба тэгш бус байдлын тухай.

Тиймээс, "тэгш байдал" ба "тэгш бус байдал" гэсэн нэр томъёо хараахан ашиглагдаагүй 1-р ангид багш хүүхдүүдийн хийсэн тооцооллын зөв эсэхийг шалгахдаа дараахь хэлбэрээр асуулт тавьж болно: "Коля наймыг нэмсэн. зургаа, 15-ыг авсан. Энэ шийдэл зөв үү, буруу юу?", эсвэл хүүхдүүдэд өгөгдсөн жишээнүүдийн шийдлийг шалгах, зөв ​​оруулгуудыг олох гэх мэт дасгалуудыг санал болго. Үүний нэгэн адил 5-р хэлбэрийн тоон тэгш бус байдлыг авч үзэхэд<6,8>4 ба түүнээс дээш төвөгтэй бол багш дараах хэлбэрээр асуулт тавьж болно: "Эдгээр бүртгэл зөв үү?", мөн тэгш бус байдлыг оруулсны дараа "Эдгээр тэгш бус байдал үнэн үү?"

1-р ангиасаа эхлэн хүүхдүүд арифметикийн онолын судлагдсан элементүүдийг (тоолох, үйлдлийн утга гэх мэт) ашиглах үндсэн дээр хийгддэг тоон илэрхийллийн хувиргалтыг мэддэг болсон. Жишээлбэл, дугаарлах мэдлэг, тоонуудын оронгийн үнэ цэнийн талаархи мэдлэг дээр үндэслэн сурагчид дурын тоог түүний байрлалын хэсгүүдийн нийлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ ур чадвар нь олон тооны тооцооллын техникүүдийн илэрхийлэлтэй холбоотой илэрхийллийн хувиргалтыг авч үзэхэд ашиглагддаг.

Ийм өөрчлөлттэй холбоотойгоор нэгдүгээр ангид байхдаа хүүхдүүд тэгш байдлын "гинж"-тэй тулгардаг.

Лекц 8. Алгебрийн материалыг судлах арга. - үзэл баримтлал ба төрөл. "Лекц 8. Алгебрийн материалыг судлах арга" ангиллын ангилал, онцлог. 2017, 2018 он.

(8 цаг)

Төлөвлөгөө:

1. Бага ангийн алгебрийн материалыг судлах зорилго.

2. Бага сургуульд судалсан арифметик үйлдлийн шинж чанарууд.

3. Тоон илэрхийлэл, үйлдлийн дарааллын дүрмийг судлах:

Хаалтгүй нэг захиалга;

Хаалттай ижил дараалал;

Хаалтгүй илэрхийлэл, түүний дотор 4 арифметик үйлдэл, хаалттай.

4. Бага ангид судлагдсан тоон тэгшитгэл, тэгш бус байдлын шинжилгээ (хоёр тоо, тоо ба тоон илэрхийлэл, хоёр тооны илэрхийлэлийг харьцуулах).

5. Хувьсагчтай цагаан толгойн тэмдгийн танилцуулга.

6. Тэгшитгэлийг судлах арга зүй:

а) тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг өгөх (математикийн лекц, бага сургуулийн математикийн сурах бичгээс);

б) үзэл баримтлалын хамрах хүрээ, агуулгыг тодруулах,

в) Та энэ ойлголтыг ямар аргыг (хийсвэр-дедуктив эсвэл бетон-индуктив) нэвтрүүлэх вэ? Тэгшитгэл дээр ажиллах үндсэн үе шатуудыг тайлбарла.

Даалгавруудыг гүйцээнэ үү:

1. Бага ангид хувьсагчтай тэгш бус байдлыг ашиглах нь зүйтэйг тайлбарла.

2. Оюутнуудад функциональ пропедевтикийг хөгжүүлэх боломжийн талаар (тоглоомоор дамжуулан, тэгш бус байдлыг судлах замаар) хичээлд зориулж мессеж бэлтгэх.

3. “Тэгшитгэл” гэсэн ойлголтын үндсэн болон чухал бус шинж чанаруудыг гүйцээх оюутнуудад зориулсан даалгавруудыг сонго.

1. Абрамова О.А., Моро М.И.Тэгшитгэл шийдвэрлэх // Бага сургууль. – 1983. - No3. – 78-79-р тал.

2. Ыманбекова П."Тэгш байдал" ба "тэгш бус байдал" гэсэн ойлголтыг бий болгоход дүрслэх арга хэрэгсэл // Бага сургууль. – 1978. – No11. – 38-40-р тал.

3. Щадрова I.V.Арифметик илэрхийлэл дэх үйлдлийн дарааллын тухай // Бага сургууль. – 2000. - No2. – 105-107-р тал.

4. Шихалиев Х.Ш.Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нэгдсэн арга барил // Бага сургууль. – 1989. - No8. – 83-86-р тал.

5. Назарова И.Н.Асуудлыг шийдвэрлэх заах үйл ажиллагааны хамааралтай танилцах // Бага сургууль. – 1989. - №1. – 42-46-р тал.

6. Кузнецова В.И.Алгебрийн пропедевтикийн асуудалтай холбоотой оюутнуудын зарим ердийн алдааны тухай // Бага сургууль. – 1974. - No2. – P. 31.

Судалгааны арга зүйн ерөнхий шинж чанар

алгебрийн материал

Математикийн анхан шатны хичээлд алгебрийн материалыг оруулах нь оюутнуудыг орчин үеийн математикийн үндсэн ойлголтууд болох "хувьсагч", "тэгшитгэл", "тэгш бус байдал" гэх мэт ойлголтуудыг судлахад бэлтгэж, функциональ сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг. хүүхдүүдэд.

Сэдвийн үндсэн ойлголтууд нь "илэрхийлэл", "тэгш байдал", "тэгш бус байдал", "тэгшитгэл" юм.

"Тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёог "Мянган" сэдвийг судлахдаа нэвтрүүлсэн боловч сурагчдыг тэгшитгэлтэй танилцуулах бэлтгэл ажил 1-р ангиас эхэлдэг. 2-р ангиас эхлэн сурагчдын толь бичигт "илэрхийлэл", "илэрхийллийн утга", "тэгш байдал", "тэгш бус байдал" гэсэн нэр томъёог оруулсан болно. “Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх” гэсэн ойлголтыг бага сургуульд оруулдаггүй.

Тоон илэрхийлэл

Математикийн хувьд илэрхийлэл нь тодорхой дүрмийн дагуу тоо, тэдгээрийн үйлдлийг илэрхийлдэг математик тэмдгийн дарааллыг тогтмол гэж ойлгодог. Илэрхийллийн жишээ: 7; 5 + 4; 5 (3 + В); 40: 5 + 6 гэх мэт.

7-р хэлбэрийн илэрхийлэл; 5 + 4; 10: 5 + 6; (5 + 3) 8 - хэлбэрийн илэрхийллээс ялгаатай нь 10-ыг тоон илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. А; (3 + В); 50: руу, шууд утга эсвэл хувьсах илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.

Сэдвийг судлах зорилго

2. Оюутнуудыг тоон дээр үйлдэл хийх дарааллын дүрэмтэй танилцуулж, тэдгээрийн дагуу илэрхийллийн тоон утгыг олох чадварыг хөгжүүлэх.

3. Оюутнуудад арифметик үйлдлүүд дээр суурилсан илэрхийллийн ижил хувиргалтуудтай танилцах.

Бага сургуулийн сурагчдыг тоон илэрхийллийн тухай ойлголттой болгох арга зүйд гурван үе шатыг ялгаж үздэг бөгөөд үүнд дараахь зүйлийг агуулсан илэрхийлэлтэй танилцах шаардлагатай.

Нэг арифметик үйлдэл (I шат);

Нэг үе шатны хоёр ба түүнээс дээш тооны арифметик үйлдэл (II шат);

Өөр өөр түвшний хоёр ба түүнээс дээш тооны арифметик үйлдлүүд (III шат).

Оюутнууд 1-р ангид хамгийн энгийн илэрхийлэл болох нийлбэр ба зөрүүтэй танилцдаг (10 дотор нэмэх, хасах үйлдлийг судлах үед); хоёр тооны үржвэр ба коэффициенттэй - II зэрэгт.

"Арав" сэдвийг судлахдаа арифметик үйлдлүүдийн нэрс, "нэмэх", "нийлбэр", "хасах", "хасах", "ялгаа" гэсэн нэр томъёог оюутнуудын толь бичигт оруулсан болно. Нэр томъёоноос гадна тэд математикийн бэлгэдлийн зарим элементүүдийг, тухайлбал үйлдлийн шинж тэмдгүүдийг (нэмэх, хасах) сурах ёстой; тэд 5 + 4 ("тав" ба "дөрөв" гэсэн тоонуудын нийлбэр) хэлбэрийн энгийн математик илэрхийллийг уншиж, бичиж сурах ёстой; 7 – 2 ("долоон" ба "хоёр" гэсэн тоонуудын ялгаа).

Суралцагчид эхлээд "нийлбэр" гэсэн нэр томъёог нэмэх үйлдлийн үр дүнд бий болсон тооны утгаар, дараа нь илэрхийллийн утгаараа танилцуулдаг. 10 – 7, 9 – 6 гэх мэт хэлбэрийн хасах арга. нэмэх хасах хоёрын хамаарлын талаарх мэдлэг дээр суурилдаг. Тиймээс хүүхдэд тоог (багасгасан) хоёр гишүүний нийлбэр (10 нь 7 ба 3 тоонуудын нийлбэр; 9 нь 6 ба 3 тоонуудын нийлбэр) хэлбэрээр илэрхийлэхийг заах шаардлагатай.

Хүүхдүүд боловсролын эхний жилдээ ± 2, ± 3, ± 1 гэсэн тооцооллын арга техникийг эзэмшсэнээр хоёр ба түүнээс дээш тооны арифметик үйлдэл агуулсан хэллэгтэй танилцдаг. 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1 хэлбэрийн жишээг шийддэг. , 2 + 2 + 2 гэх мэт. Жишээлбэл, эхний илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо сурагч: "Гурав дээр нэгийг нэмбэл дөрөв, дөрөв дээр нэгийг нэмбэл тав" гэж тайлбарлав. 6 - 1 - 1 гэх мэт хэлбэрийн жишээнүүдийн шийдлийг ижил төстэй байдлаар тайлбарласан тул нэгдүгээр ангийн сурагчид нэг түвшний үйлдлүүдийг агуулсан илэрхийлэлд үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллын талаархи дүрмийг аажмаар гаргахаар бэлтгэж байна. II ангид ерөнхийлсөн.

Нэгдүгээр ангид хүүхдүүд үйлдлийг гүйцэтгэх дарааллын өөр нэг дүрмийг практикт эзэмшинэ, тухайлбал 8 - (4 + 2) хэлбэрийн илэрхийлэлд үйлдэл хийх; (6 - 2) + 3 гэх мэт.

Үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллын дүрмийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг нэгтгэн дүгнэж, хаалтгүй илэрхийлэлд үйлдлийн дарааллын тухай өөр дүрмийг танилцуулж, янз бүрийн түвшний арифметик үйлдлүүдийг агуулсан: нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах.

Үйлдлийн дарааллын тухай шинэ дүрэмтэй танилцахдаа ажлыг янз бүрийн аргаар зохион байгуулж болно. Та хүүхдүүдийг сурах бичгээс дүрмийг уншиж, холбогдох илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо ашиглахыг урьж болно. Та мөн суралцагчдаас жишээ нь 40 – 10: 2 гэсэн илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг хүсч болно. Хариултууд нь өөр байж болно: заримд нь илэрхийллийн утга 15, бусад хүмүүсийн хувьд 35 байх болно.

Үүний дараа багш тайлбарлахдаа: "Хаалтгүй, нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлийг агуулсан илэрхийллийн утгыг олохын тулд эхлээд үржүүлэх, үржүүлэх үйлдлүүдийг дарааллаар нь (зүүнээс баруун тийш) гүйцэтгэх ёстой. хуваах, дараа нь (мөн зүүнээс баруун тийш) нэмэх, хасах. Энэ илэрхийлэлд та эхлээд 10-ыг 2-т хувааж, 40-өөс гарсан үр дүнг 5-ыг хасах хэрэгтэй. Илэрхийллийн утга 35 байна.”

Бага ангийн сурагчид хэллэгийн ижил төстэй хувиргалтыг мэддэг болсон.

Илэрхийллийн ижил хувиргалт гэдэг нь өгөгдсөн илэрхийлэлийг өөр утгаар солих бөгөөд түүний утга нь өгөгдсөн утгатай тэнцүү байна (энэ нэр томъёо, тодорхойлолтыг бага сургуулийн сурагчдад өгөөгүй).

Оюутнууд 1-р ангиасаа эхлэн арифметик үйлдлийн шинж чанарыг судлахтай холбогдуулан илэрхийллийн хувиргалттай тулгардаг. Жишээлбэл, 10 + (50 + 3) маягтын жишээг эвтэйхэн байдлаар шийдвэрлэхдээ хүүхдүүд "Аравттай аравыг нэмж, үр дүн 60 дээр 3 нэгж нэмэх нь илүү тохиромжтой. Би үүнийг бичих болно: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63."

(10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3 ... гэж бичиж дуусгах ёстой даалгавраа дуусгахдаа хүүхдүүд тайлбарлав: "Зүүн талд 10 ба 7 тоонуудын нийлбэр үрждэг. 3-ын тоогоор баруун талд, энэ нийлбэрийн эхний гишүүн 10-ыг 3-ын тоогоор үржүүлнэ; "Тэгш" тэмдгийг хадгалахын тулд хоёр дахь гишүүн 7-г мөн 3-ын тоогоор үржүүлж, үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмэх шаардлагатай. Би үүнийг дараах байдлаар бичнэ: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3."

Илэрхийллийг хувиргахдаа оюутнууд заримдаа (10 + 4) · 3 = - 10 · 3 + 4 хэлбэрийн алдаа гаргадаг. Эдгээр төрлийн алдааны шалтгаан нь өмнө нь олж авсан мэдлэгээ буруу ашигласантай холбоотой байдаг (энэ тохиолдолд нийлбэрийг тоогоор үржүүлэх шаардлагатай жишээг шийдвэрлэхдээ нийлбэрт тоог нэмэх дүрэм). Ийм алдаанаас урьдчилан сэргийлэхийн тулд та оюутнуудад дараахь ажлуудыг санал болгож болно.

a) Тэнцүүний зүүн талд бичсэн илэрхийллүүдийг харьцуул. Тэд юугаараа төстэй, юугаараа ялгаатай вэ? Та тэдгээрийн утгыг хэрхэн тооцоолсноо тайлбарлана уу:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

б) Хоосон зайг бөглөж, үр дүнг ол.

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

в) Илэрхийллийг харьцуулж, тэдгээрийн хооронд > тэмдэг тавих,< или =:

(30 + 4) + 2 … 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 2 + 4 2.

d) Дараах тэгшитгэл үнэн эсэхийг тооцоогоор шалгана.

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Шууд илэрхийллүүд

Бага ангийн хувьд дугаарлалт, арифметик үйлдлүүдийг судлахтай нягт уялдуулан хувьсагчийн утгыг илрүүлэх бэлтгэл ажлыг хийхээр төлөвлөж байна. Энэ зорилгоор математикийн сурах бичигт хувьсагчийг "цонх"-оор заасан дасгалуудыг оруулсан болно. Жишээлбэл, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Энд сурагчдыг "цонх" руу нэг биш, харин хэд хэдэн тоог ээлжлэн орлуулахыг оролдох, оруулга зөв эсэхийг шалгах бүртээ урамшуулах нь чухал юм.

Тиймээс, тохиолдолд р< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

Бага ангийн математикийн хөтөлбөрийг хялбарчлах, хүртээмжтэй болгохын тулд үсгийн тэмдгийг арифметикийн мэдлэгийг нэгтгэх хэрэгсэл болгон ашигладаггүй. Бүх үсгийн тэмдэглэгээг аман томъёогоор сольсон.

Жишээлбэл, даалгаврын оронд

Даалгаврыг дараах хэлбэрээр санал болгож байна: “3-ын тоог 4 дахин нэмэгдүүлэх; 5 удаа; 6 удаа; ..."

Тэгш байдал ба тэгш бус байдал

Бага ангийн сурагчдыг тэгш ба тэгш бус байдлын талаар танилцуулах нь дараахь асуудлыг шийдвэрлэхэд оршино.

Илэрхийллийн хооронд “илүү”, “бага”, “тэнцүү” гэсэн хамаарлыг хэрхэн тогтоох, харьцуулсан үр дүнг тэмдэг ашиглан бичихийг заах;

Бага насны хүүхдүүдийн тоон тэгш байдал ба тэгш бус байдлын талаархи санаа бодлыг хөгжүүлэх арга зүй нь дараахь ажлын үе шатуудыг агуулна.

I үе шатанд, хамгийн түрүүнд хичээлийн долоо хоногт нэгдүгээр ангийн сурагчид объектуудын багцыг харьцуулах дасгал хийдэг. Энд ганцаарчилсан захидал харилцааг бий болгох аргыг ашиглах нь зүйтэй. Энэ үе шатанд харьцуулалтын үр дүнг зохих хамаарлын тэмдэг ашиглан бичээгүй байна.

2-р шатанд сурагчид тоонуудыг харьцуулж, эхлээд объектив тодорхой байдал, дараа нь натурал цуврал дахь тоонуудын шинж чанарт тулгуурлан тоолохдоо хоёр өөр тооноос ихийг нь дараа нь дуудаж, бага тоог нь дууддаг. эрт. Хүүхдүүд ийм байдлаар тогтоосон харилцааг зохих тэмдгүүдийг ашиглан тэмдэглэдэг. Жишээлбэл, 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Та мөн утгыг харьцуулж болно: 4 дм 5 см > 4 дм 3 см, учир нь секундээс илүү дециметр байдаг. Нэмж дурдахад утгыг эхлээд нэг хэмжилтийн нэгжээр илэрхийлж, дараа нь харьцуулж болно: 45 см > 43 см.

Үүнтэй төстэй дасгалуудыг 10-ын дотор нэмэх, хасах үйлдлийг судлахдаа аль хэдийн нэвтрүүлсэн. Тэдгээрийг ойлгомжтой байдлаар гүйцэтгэх нь ашигтай, жишээлбэл: оюутнууд ширээн дээрээ зүүн талд дөрвөн тойрог, баруун талд дөрвөн гурвалжинг байрлуулна. Эндээс харахад тэнцүү тооны тоо байдаг - тус бүр дөрөв. Тэгш байдлыг бич: 4 = 4. Дараа нь хүүхдүүд зүүн талд байгаа тоон дээр нэг тойрог нэмээд 4 + 1-ийн нийлбэрийг бичнэ. Зүүн талд баруун талынхаас олон тоо байгаа нь 4 + 1 > 4 гэсэн үг юм.

Тэгшитгэлийн техникийг ашигласнаар сурагчид тэгш бус байдлаас тэгш байдал руу шилждэг. Жишээлбэл, 3 мөөг, 4 хэрэм зэргийг бичгийн цаасан дээр байрлуулсан. Мөөг, хэрэмтэй тэнцүү байхын тулд та: 1) нэг мөөг (дараа нь 3 мөөг, 3 хэрэм байх болно) нэмнэ.

Бичгийн цаасан дээр 5 машин, 5 ачааны машин байна. Бусдаас олон машинтай болохын тулд та: 1) нэг (хоёр, гурван) машин (машин эсвэл ачааны машин) хасах эсвэл 2) нэг (хоёр, гурван) машин нэмэх боломжтой.

Аажмаар илэрхийлэлийг харьцуулахдаа хүүхдүүд дүрслэлд найдахаасаа утгыг нь харьцуулах руу шилждэг. Энэ арга нь бага сургуулийн гол арга юм. Илэрхийллийг харьцуулахдаа оюутнууд дараахь мэдлэгт найдаж болно: а) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондын хамаарал ба арифметик үйлдлийн үр дүн: 20 + 5 * 20 + 6 (зүүн талд 20 ба 5 тоонуудын нийлбэрийг бичсэн, баруун талд байгаа 20 ба 6 тоонуудын нийлбэр Эдгээр нийлбэрүүдийн эхний гишүүн ижил, зүүн талын нийлбэрийн хоёр дахь гишүүн нь баруун талд байгаа нийлбэрийн хоёр дахь гишүүнээс бага байна. баруун талд байгаа нийлбэрээс бага: 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); г) арифметик үйлдлүүдийн шинж чанарууд: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (зүүн талд 5 ба 2 тоонуудын нийлбэрийг 3 тоогоор үржүүлж, баруун талд тус бүрийн үржвэрүүд. 3 тоогоор нэмэх нь олддог бөгөөд энэ нь та одны оронд тэнцүү тэмдгийг тавьж болно гэсэн үг юм: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

Эдгээр тохиолдолд тэмдгийн зөв эсэхийг шалгахын тулд илэрхийллийн утгын тооцоог ашигладаг. Бага ангийн хувьд хувьсагчтай тэгш бус байдлыг бүртгэхийн тулд "цонх" ашигладаг: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Оюутнууд 2-ын тоо нь нэгээс их, тэг байгааг анзаарах тул "цонх" дээр (2 > ð) 0 тоог орлуулах боломжтой тоон цуврал дээр үндэслэн энэ төрлийн эхний дасгалуудыг хийх нь ашигтай байдаг. ба 1 (2 > 0, 2>1 ).

Цонхтой бусад дасгалуудыг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэдэг.

Хувьсагчтай тэгш бус байдлыг авч үзэх гол арга бол сонголтын арга юм.

Тэгш бус байдлын хувьсагчийн утгыг хялбарчлахын тулд тэдгээрийг тодорхой цуврал тооноос сонгохыг санал болгож байна. Жишээлбэл, та 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 цувралын ð - 7 гэсэн тэмдэглэгээ зөв байгаа тоонуудыг бичихийг санал болгож болно.< 5.

Оюутан энэ даалгаврыг гүйцэтгэхдээ "Цонх" дээр 7-ын тоог орлуулъя: 7-г хасвал 0, 0 нь 5-аас бага, энэ нь 7 тоо тохиромжтой гэсэн үг юм. 8:8-аас 7-г хасаад "цонхон"-д оруулаад 1-ийг гаргавал 1 нь 5-аас бага, энэ нь 8-ын тоо ч тохиромжтой гэсэн үг... "Цонхон"-д 12-ын тоог оруулъя: 12-ыг хасах 7. 5 авдаг, 5 нь 5-аас бага - буруу, энэ нь 12 тоо тохиромжгүй гэсэн үг юм. ð - 7 гэж бичих< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Тэгшитгэл

3-р ангийн төгсгөлд хүүхдүүд дараах хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгшитгэлтэй танилцдаг. X+8 =15; 5+X=12; X–9 =4; 13–X=6; X·7 =42; 4· X=12; X:8 =7; 72:X=12.

Хүүхэд тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой.

1) сонгох арга (хамгийн энгийн тохиолдолд); 2) арифметик үйлдлийн үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олох дүрмийг хэрэглэхэд үндэслэсэн арга замаар. Тэгшитгэлийн шийдлийг баталгаажуулах, шийдвэрлэх үед хүүхдийн үндэслэлийг бүртгэх жишээ энд байна.

"Тэгшитгэлд X– 9 = 4 x нь минуэндийн оронд зогсож байна. Үл мэдэгдэх утгыг олохын тулд та зөрүүг хасах хэрэгтэй ( X=4+9).

4-р ангид хүүхдийг тэгшитгэл зохиох замаар энгийн бодлогуудыг шийдэж болно.

Танилцуулга...2

I бүлэг. Бага сургуульд алгебрийн материалыг судлах онолын ерөнхий асуудлууд... 7

1.1 Бага сургуульд алгебрийн элементүүдийг нэвтрүүлсэн туршлага... 7

1.2 Алгебрийн ойлголтыг нэвтрүүлэх сэтгэл зүйн үндэс

бага сургуульд... 12

1.3 Алгебрийн ойлголтын гарал үүслийн асуудал, түүний ач холбогдол

боловсролын хичээлийг бүтээхэд... 20

2.1 Бага сургуульд хэрэгцээний үүднээс суралцах

ахлах сургууль... 33

2.1 Математикийн хичээлийн үзэл баримтлалыг харьцуулах (ялгаруулах)... 38

2.3 Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлийг хамтран судлах 48

III бүлэг. Рыльск хотын 4-р дунд сургуулийн бага ангийн математикийн хичээлд алгебрийн материалыг судлах дадлага... 55

3.1 Шинэлэг технологийг ашиглах үндэслэл (технологи

дидактикийн нэгжүүдийг нэгтгэх)... 55

3.2 Нэгдүгээр ангид алгебрийн ойлголттой танилцсан туршлагын тухай... 61

3.3 Биеийн хөдөлгөөнтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх сургалт... 72

Дүгнэлт... 76

Ном зүй... 79

Орчин үеийн ерөнхий боловсролын аль ч тогтолцоонд математик нь гол байруудын нэгийг эзэлдэг бөгөөд энэ нь мэдлэгийн энэ салбарын өвөрмөц байдлын талаар ярьдаг нь дамжиггүй.

Орчин үеийн математик гэж юу вэ? Яагаад хэрэгтэй байна вэ? Эдгээр болон үүнтэй төстэй асуултуудыг хүүхдүүд ихэвчлэн багш нараас асуудаг. Хариулт нь хүүхдийн хөгжлийн түвшин, түүний боловсролын хэрэгцээ шаардлагаас хамааран өөр өөр байх болно.

Математик бол орчин үеийн шинжлэх ухааны хэл гэж байнга ярьдаг. Гэсэн хэдий ч энэ мэдэгдэлд томоохон алдаа байгаа бололтой. Математикийн хэл нь маш өргөн тархсан бөгөөд ихэвчлэн үр дүнтэй байдаг, учир нь математикийг үүнтэй харьцуулах боломжгүй юм.

Оросын нэрт математикч А.Н. Колмогоров: “Математик бол зөвхөн нэг хэл биш. Математик бол хэл, сэтгэхүй, энэ нь хэл, логик нийлдэгтэй адил юм. Математик бол сэтгэн бодох хэрэгсэл юм. Энэ нь олон хүний ​​нарийн бодлын үр дүнг агуулдаг. Математик ашиглан та нэг үндэслэлийг нөгөөтэй холбож болно. ... Тус бүр нь тусдаа маш нарийн тайлбарыг хүлээн зөвшөөрдөг хачирхалтай хууль дүрэм, дүрмүүд бүхий байгалийн ил харагдах ээдрээ нь үнэн хэрэгтээ нягт холбоотой юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та математикийг ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол энэ олон янзын баримтаас логик нь нэгээс нөгөөд шилжих боломжийг олгодог гэдгийг та харахгүй" (44-р тал).

Тиймээс математик нь биднийг хүрээлэн буй ертөнцийг судлахад шаардлагатай сэтгэлгээний тодорхой хэлбэрийг бий болгох боломжийг олгодог.

Одоогийн байдлаар бидний байгалийн тухай мэдлэгийн түвшин ба хүн, түүний сэтгэхүй, сэтгэн бодох үйл явцын талаарх бидний ойлголт хоорондын үл нийцэх байдал улам бүр мэдэгдэхүйц болж байна. В.В.Сойер “Математикийн удиртгал” (х. 7) номондоо: “Бид оюутнуудад олон төрлийн бодлого шийдвэрлэж сургаж чадна, гэвч бид суралцагчдадаа зөвхөн мэдлэг төдийгүй уян хатан чанарыг эзэмшүүлж чадсан цагт л жинхэнэ сэтгэл ханамж ирнэ. оюун ухаан ”, энэ нь тэдэнд ирээдүйд бие даан шийдвэрлэх төдийгүй өөрсдөдөө шинэ зорилт тавих боломжийг олгоно.

Мэдээжийн хэрэг, энд мартаж болохгүй тодорхой хил хязгаарууд байдаг: олон зүйл төрөлхийн чадвар, авъяас чадвараар тодорхойлогддог. Гэсэн хэдий ч бид боловсрол, хүмүүжилээс хамааран бүхэл бүтэн хүчин зүйлийг тэмдэглэж болно. Энэ нь ерөнхий боловсролын болон ялангуяа математикийн боловсролын ашиглагдаагүй асар их боломжийг зөв үнэлэх нь туйлын чухал болж байна.

Сүүлийн жилүүдэд түүх, филологи битгий хэл хэл шинжлэл, сэтгэл судлал гэх мэт шинжлэх ухаанд математикийн аргууд нэвтрэн орох хандлага тогтмол ажиглагдаж байна. Тиймээс математикийг ирээдүйн мэргэжлийн үйл ажиллагаандаа ашиглаж болох хүмүүсийн хүрээ өргөжиж байна.

Манай боловсролын систем нь олон хүний ​​хувьд математикийн соёлд нэгдэх, математикт агуулагдах үнэт зүйлсийг эзэмших цорын ганц боломжийг сургууль олгодог байхаар зохион бүтээгдсэн.

Бүтээлч хүнийг төлөвшүүлэхэд ерөнхий боловсролын математик, тэр дундаа сургуулийн математикийн нөлөө ямар байдаг вэ? Математикийн хичээл дээр асуудал шийдвэрлэх урлагийг заах нь сурагчдын тодорхой сэтгэлгээг хөгжүүлэх маш таатай боломжийг бидэнд олгодог. Судалгааны үйл ажиллагааны хэрэгцээ нь хэв маягийн сонирхлыг хөгжүүлж, хүний ​​сэтгэлгээний гоо үзэсгэлэн, зохицлыг олж харахыг заадаг. Энэ бүхэн нь бидний бодлоор ерөнхий соёлын хамгийн чухал элемент юм. Математикийн хичээл нь сэтгэлгээний янз бүрийн хэлбэрийг бий болгоход чухал нөлөө үзүүлдэг: логик, орон зай-геометр, алгоритм. Аливаа бүтээлч үйл явц нь таамаглал дэвшүүлэхээс эхэлдэг. Математик нь боловсролын зохих зохион байгуулалттай, таамаглал дэвшүүлэх, шалгах сайн сургууль болохын хувьд янз бүрийн таамаглалыг харьцуулах, хамгийн сайн хувилбарыг олох, шинэ асуудал дэвшүүлэх, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг эрэлхийлдэг. Бусад зүйлсээс гадна тэрээр арга зүйн дадал зуршлыг бий болгодог бөгөөд үүнгүйгээр бүтээлч үйл явцыг төсөөлөх аргагүй юм. Хүний сэтгэлгээний боломжийг дээд зэргээр нэмэгдүүлснээр математик нь түүний хамгийн дээд амжилт юм. Энэ нь хүнийг өөрийгөө ойлгож, зан чанарыг төлөвшүүлэхэд тусалдаг.

Энэ бол математикийн мэдлэг нь ерөнхий соёлын салшгүй хэсэг, хүүхдийн хүмүүжил, боловсролын зайлшгүй элемент болох шалтгаануудын жижиг жагсаалт юм.

Манай 10 жилийн сургуулийн математикийн хичээл (геометргүй) үндсэндээ арифметик (I - V анги), алгебр (VI - VIII анги), анализын элементүүд (IX - X анги) гэсэн үндсэн гурван хэсэгт хуваагддаг. Ийм хуваах үндэслэл нь юу вэ?

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хэсэг бүр өөрийн гэсэн тусгай "технологи"-той байдаг. Тиймээс арифметикийн хувьд энэ нь жишээлбэл, олон оронтой тоон дээр хийгдсэн тооцоололтой, алгебрийн хувьд ижил хувиргалт, логарифмчлал, анализын хувьд ялгах гэх мэттэй холбоотой байдаг. Гэхдээ хэсэг бүрийн үзэл баримтлалын агуулгатай холбоотой ямар гүн гүнзгий шалтгаанууд байдаг вэ?

Дараагийн асуулт бол сургуулийн арифметик ба алгебрийг ялгах үндэслэлтэй холбоотой (өөрөөр хэлбэл, хичээлийн эхний болон хоёрдугаар хэсэг). Арифметик нь натурал тоо (эерэг бүхэл тоо) ба бутархай (анхны ба аравтын тоо) зэргийг судалдаг. Гэсэн хэдий ч тусгай дүн шинжилгээ нь эдгээр төрлийн тоог нэг сургуулийн хичээлд нэгтгэх нь хууль бус болохыг харуулж байна.

Баримт нь эдгээр тоонууд өөр өөр функцтэй байдаг: эхнийх нь холбоотой байдаг дансобъектууд, хоёр дахь нь - хамт хэмжигдэхүүнүүд. Энэ нөхцөл байдал нь бутархай (рационал) тоо нь зөвхөн бодит тоонуудын онцгой тохиолдол гэдгийг ойлгоход маш чухал юм.

Хэмжигдэхүүнийг хэмжих үүднээс авч үзвэл, A.N. Колмогоров, "Рационал ба иррационал бодит тоонуудын хооронд тийм гүнзгий ялгаа байхгүй. Сурган хүмүүжүүлэх шалтгааны улмаас тэдгээрийг бутархай хэлбэрээр бичихэд хялбар байдаг тул оновчтой тоон дээр удаан хугацаагаар зогсдог; харин тэдэнд анхнаасаа өгөгдсөн хэрэглээ нь бүх ерөнхий байдлаараа шууд бодит тоонд хүргэх ёстой” (), х.

А.Н. Колмогоров математикийн хөгжлийн түүхийн үүднээс ч, мөн чанартаа А.Лебесгийн заахдаа натурал тоонуудын дараа шууд бодит тооны гарал үүсэл, логик шинж чанар руу шилжих саналыг үндэслэлтэй гэж үзсэн. Үүний зэрэгцээ, A.N. Колмогоров, "хэмжигдэхүүнийг хэмжих үүднээс рационал ба бодит тоог бүтээх хандлага нь жишээлбэл, "хос" хэлбэрээр рационал тоог нэвтрүүлэхээс багагүй шинжлэх ухааны үндэслэлтэй юм. Сургуулийн хувьд энэ нь эргэлзээгүй давуу талтай" (х. 10).

Тиймээс натурал (бүхэл тоо) тоон дээр үндэслэн "тооны хамгийн ерөнхий ойлголт" (А. Лебесгийн нэр томьёогоор) бодит тооны тухай ойлголтыг нэн даруй бүрдүүлэх бодит боломж бий. Гэхдээ программын барилгын үүднээс авч үзвэл энэ нь сургуулийн тайлбарт бутархай арифметикийг арилгахаас илүү эсвэл бага зүйл гэсэн үг биш юм. Бүхэл тооноос бодит тоо руу шилжих нь арифметикаас "алгебр" руу шилжих шилжилт, дүн шинжилгээ хийх үндэс суурийг бий болгох явдал юм.

Одоогоос 20 гаруй жилийн өмнө илэрхийлэгдэж байсан эдгээр санаанууд өнөөдөр ч ач холбогдолтой хэвээр байна. Бага ангийн математикийн сургалтын бүтцийг энэ чиглэлд өөрчлөх боломжтой юу? Математикийн анхан шатны хичээлийг “алгебржуулснаар” ямар давуу болон сул тал байдаг вэ? Энэхүү ажлын зорилго нь тавьсан асуултуудад хариулт өгөхийг хичээх явдал юм.

Энэхүү зорилгыг хэрэгжүүлэхийн тулд дараахь ажлуудыг шийдвэрлэх шаардлагатай.

Бага сургуульд хэмжигдэхүүн ба тооны алгебрийн ойлголтыг нэвтрүүлэх онолын ерөнхий асуудлуудыг авч үзэх. Энэ даалгавар нь ажлын эхний бүлэгт тавигдсан;

Бага сургуульд эдгээр ойлголтыг заах тусгай аргуудыг судлах. Энд, ялангуяа дидактик нэгжийн томрох онолыг (UDE) авч үзэхийг зорьж байгаа бөгөөд үүнийг доор авч үзэх болно;

Бага сургуулийн математикийн хичээлд авч үзэж буй заалтуудыг практикт ашиглах боломжтойг харуулах (хичээлийг Рыльск хотын 4-р дунд сургуульд зохиогч заасан). Ажлын гурав дахь бүлэг нь үүнд зориулагдсан болно.

Энэ асуудалд зориулагдсан номзүйн хувьд дараахь зүйлийг тэмдэглэж болно. Сүүлийн үед математикийн чиглэлээр хэвлэгдсэн арга зүйн уран зохиолын нийт хэмжээ маш бага байгаа хэдий ч ажил бичихэд мэдээллийн хомсдол байгаагүй. Үнэхээр 1960 оноос (асуудал тавигдаж байсан үе) 1990 он хүртэл. Манай улсад бага сургуулийн математикийн хичээлд алгебрийн үзэл баримтлалыг нэвтрүүлэх асуудлыг нэг хэмжээгээр хөндсөн асар их хэмжээний боловсрол, шинжлэх ухаан, арга зүйн ном зохиол хэвлэгдсэн. Нэмж дурдахад эдгээр асуудлыг тусгайлсан тогтмол хэвлэлд тогтмол бичдэг. Тиймээс уг бүтээлийг бичихдээ "Сурган хүмүүжүүлэх ухаан", "Сургуульд математик заах нь", "Бага сургууль" сэтгүүлийн нийтлэлийг ихэвчлэн ашигласан.

Өнөөг хүртэл бидний үндэслэл нь онолын шинж чанартай байсан бөгөөд хүүхдүүдэд алгебрийн үндсэн ойлголтуудыг (тоонуудын тусгай танилцуулгаас өмнө) танилцуулах хичээлийн ийм эхний хэсгийг бий болгох математикийн урьдчилсан нөхцөлийг тодруулахад чиглэв.

Хэмжээг тодорхойлдог үндсэн шинж чанаруудыг дээр дурдсан болно. Мэдээжийн хэрэг, 7 настай хүүхдүүд эдгээр шинж чанаруудын талаар "лекц" унших нь утгагүй юм. Хүүхдийн дидактик материалтай ажиллах хэлбэрийг хайж олох шаардлагатай байсан бөгөөд ингэснээр тэд нэг талаас эргэн тойрныхоо эд зүйлсийн эдгээр шинж чанаруудыг тодорхойлж, нөгөө талаас тэдгээрийг тодорхой тэмдэгтээр засаж сурах, математикийн анхан шатны судалгаа хийх боломжтой байв. тодорхойлсон харилцаанд дүн шинжилгээ хийх.

Үүнтэй холбогдуулан хөтөлбөр нь нэгдүгээрт, эзэмших ёстой тухайн сэдвийн шинж чанаруудын заалт, хоёрдугаарт, дидактик материалын тодорхойлолт, гуравдугаарт, энэ нь сэтгэлзүйн үүднээс авч үзвэл гол шинж чанар юм. Хүүхэд тухайн объектын тодорхой шинж чанарыг тодорхойлж, тэдгээрийг эзэмшдэг үйлдлүүд. Эдгээр "бүрэлдэхүүн" нь сургалтын хөтөлбөрийг жинхэнэ утгаараа бүрдүүлдэг.

Сургалтын үйл явц болон түүний үр дүнг тайлбарлахдаа энэхүү таамаглалын хөтөлбөр болон түүний "бүрэлдэхүүн"-ийн онцлог шинж чанаруудыг танилцуулах нь утга учиртай юм. Энэ хөтөлбөрийн тойм болон гол сэдвүүдийг энд оруулав.

Сэдэв I. Объектуудыг тэгшлэх, дуусгах (урт, эзэлхүүн, жин, эд ангиудын найрлага болон бусад үзүүлэлтээр).

Түвшин тогтоох, олж авах практик даалгавар. Ижил объектуудыг тэгшитгэх эсвэл дуусгах боломжтой шинж чанаруудыг (шалгуур) тодорхойлох. Эдгээр шинж чанаруудын аман тэмдэглэгээ ("уртаар", жингээр" гэх мэт).

Эдгээр ажлуудыг дидактик материалтай (бар, жин гэх мэт) ажиллах явцад дараахь байдлаар шийддэг.

- сонголт"ижил" зүйл

- тоглуулахСонгосон (заасан) параметрийн дагуу "ижил" объектын (барилга).

Сэдэв II. Объектуудыг харьцуулж, тэгш бус байдлын томъёог ашиглан үр дүнг засах.

1. Объектуудыг харьцуулах, энэ үйлдлийн үр дүнг бэлгэдлээр илэрхийлэх даалгавар.

2. Харьцуулалтын үр дүнг амаар бүртгэх ("илүү", "бага", "тэнцүү" гэсэн нэр томъёо). Бичсэн тэмдэгтүүд ">", "<", "=".

3. Харьцуулалтын үр дүнг зургийн хамт тэмдэглэх ("хуулбарлах", дараа нь "хийсвэр" - шугамууд).

4. Харьцуулсан объектуудын тэмдэглэгээ үсэг. Томьёог ашиглан харьцуулсан үр дүнг бүртгэх: A=B; А<Б, А>Б.

гэх мэт захидал тэмдэг, энэ нь сонгосон параметрийн дагуу (жин, эзэлхүүн гэх мэт) объектын шууд өгөгдсөн тодорхой утгыг тогтоодог.

5. Харьцуулалтын үр дүнг янз бүрийн томъёо ашиглан засах боломжгүй. Өгөгдсөн үр дүнд тодорхой томъёог сонгох (харилцааг бүрэн салгах илүү - бага - тэнцүү).

III сэдэв. Тэгш ба тэгш бус байдлын шинж чанарууд.

1. Урвалт ба рефлекс чадвартэгш байдал (хэрэв A=B бол B=A; A=A).

2. Харилцааны холбооХарьцуулсан талуудын "сэлгэлт" үед тэгш бус байдлын "илүү" ба "бага" (хэрэв A>B бол В бол).<А и т.п.).

3. Дамжин өнгөрөх чадвартэгш байдал ба тэгш бус байдлын өмч болгон:

Хэрэв A=B, хэрэв A>B, хэрэв А бол<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

дараа нь A=B; дараа нь A>B; дараа нь А<В.

4. Сэдвийн дидактик материалтай ажиллахаас зөвхөн байгаа тохиолдолд тэгш байдал-тэгш бус байдлын шинж чанарыг үнэлэх рүү шилжих. үсгийн томьёо.Эдгээр шинж чанаруудын талаархи мэдлэгийг шаарддаг янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх (жишээлбэл, харилцаа холбоог холбохтой холбоотой асуудлуудыг шийдвэрлэх. үүнийг өгсөн A>B, ба B=C; хоорондын хамаарлыг олж мэд A ба C).

IV сэдэв. Нэмэх (хасах) үйлдэл.

1. Ажиглалт өөрчлөлтүүдобъектуудыг нэг буюу өөр параметрийн дагуу (эзэлхүүн, жин, үргэлжлэх хугацаа гэх мэт). "+" ба "-" тэмдгээр нэмэгдэж, буурах дүрслэл ( нэмэх ба хасах).

2. Урьд нь тогтоосон тэгш байдлыг зөрчиж, түүний аль нэг талдаа зохих өөрчлөлт орсон. Тэгш эрхээс тэгш бус байдал руу шилжих үе. Томъёо бичих:

хэрэв A=B бол A=B бол

дараа нь A+K>B; дараа нь A-K<Б.

3. Шинэ тэгш байдалд шилжих аргууд (түүний "сэргээх" зарчмын дагуу: "тэнцүү" дээр "тэнцүү" нэмэх нь "тэнцүү" болно).

Ийм томъёогоор ажиллах:

Хэрэв A=B,

Тэр A+K>B,

Гэхдээ A+K=B+K.

4. Тэгш байдлаас тэгш бус байдал руу шилжих, буцах үед нэмэх (хасах) ашиглах шаардлагатай төрөл бүрийн бодлогуудыг шийдвэрлэх.

Сэдэв V. А хэлбэрийн тэгш бус байдлаас шилжих<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Ийм шилжилтийг шаарддаг даалгаварууд. Харьцуулсан объектуудын ялгаатай хэмжигдэхүүний утгыг тодорхойлох хэрэгцээ. Энэ хэмжигдэхүүний тодорхой утга тодорхойгүй үед тэгш байдлыг бичих чадвар. x (x) ашиглах арга.

Томъёо бичих:

ХэрэвА<Б, Хэрэв A>B,

Тэр A+x=B; Тэр A-x=B.

2. x-ийн утгыг тодорхойлох. Энэ утгыг томьёонд орлуулах (хаалтны оршил). Томьёо бичнэ үү

3. Заасан үйлдлүүдийг гүйцэтгэх шаардлагатай асуудлуудыг шийдвэрлэх (үүнд "зураг-текст").

Сэдэв Vl. Тэнцүү-тэгш бус байдлын нэмэх-хасах. Орлуулах.

1. Тэнцүү-тэгш бус байдлын нэмэх-хасах:

хэрэв A=B бол A>B бол A>B

мөн M=D, мөн K>E, мөн B=G,

дараа нь A+M=B+D; дараа нь A+K>B+E; дараа нь A+-B>C+-G.

2. Хэмжигдэхүүний утгыг илэрхийлэх боломж хэмжээхэд хэдэн утгатай. Төрөл орлуулах:

3. Ажлын явцад хүүхдүүдийн танил болсон харилцааны шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх (олон даалгавар нь хэд хэдэн шинж чанарыг нэгэн зэрэг харгалзан үзэх, томъёоны утгыг үнэлэх оюун ухаан шаарддаг; асуудал, шийдлийн тайлбарыг доор өгөв. ).

Энэ бол 3.5 - 4 сарын хугацаатай хөтөлбөр юм. оны эхний хагас. Туршилтын сургалтын туршлагаас харахад хичээлийг зөв төлөвлөж, заах арга барилыг сайжруулж, дидактик хэрэглэгдэхүүнийг амжилттай сонгосноор хөтөлбөрт оруулсан бүх материалыг хүүхдэд богино хугацаанд (3 сарын дотор) бүрэн шингээж авах боломжтой. .

Манай хөтөлбөр цаашид хэрхэн өрнөж байна вэ? Юуны өмнө хүүхдүүд олж авах аргыг мэддэг тоо, объектыг бүхэлд нь (тасралтгүй эсвэл салангид объектоор илэрхийлсэн ижил хэмжигдэхүүн) түүний хэсэгтэй харилцах харилцааг илэрхийлэх. Энэ харьцаа өөрөө болон түүний тодорхой утгыг A/K = n томъёогоор дүрсэлсэн бөгөөд энд n нь хамгийн ойрын "нэгж"-ийн харьцааг ихэвчлэн илэрхийлдэг (зөвхөн материалын тусгай сонголтоор эсвэл зөвхөн "чанарын хувьд" тоолох замаар) ямар ч бүхэл тоо юм. бие даасан зүйлс нь туйлын яг бүхэл тоог авч болно). Хэмжих, тоолох үед үлдэгдэл гарч болзошгүй гэдгийг хүүхдүүд анхнаасаа "албадан" санаж байх ёстой бөгөөд энэ нь байгаа эсэхийг тусгайлан зааж өгөх ёстой. Энэ нь цаашид хамтран ажиллах эхний алхам юм бутархайтоо.

Тоо олж авах ийм хэлбэрийн тусламжтайгаар хүүхдүүдийг A = 5k (харьцаа нь "5"-тай тэнцүү байсан бол) томьёотой объектыг дүрслэхэд хүргэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Эхний томъёоны хамт энэ нь тусгай судалгаа хийх боломжийг нээж өгдөг хамааралобъект, суурь (хэмжих) ба тоолох үр дүн (хэмжилт) хооронд, энэ нь бутархай тоо руу шилжихэд (ялангуяа бутархайн үндсэн шинж чанарыг ойлгоход) пропедевтик үүрэг гүйцэтгэдэг.

Нэгдүгээр ангид хэрэгжсэн хөтөлбөр боловсруулах өөр нэг чиглэл бол тоон (тэгш бус байдлын салгах, шилжилт, урвуу чанар) үндсэн шинж чанаруудыг тоо (бүхэл тоо) руу шилжүүлэх, нэмэх үйлдлүүд (шилжүүлэх, ассоциатив байдал, монотон байдал, хасах боломж). Тэр дундаа ажилладаг тооны шугам, хүүхдүүд тоонуудын дарааллыг хурдан хувиргаж чадна хэмжээ(жишээ нь, 3-р төрлийн оруулгуудыг гүйцэтгэх замаар тэдгээрийн шилжилтийг тодорхой үнэл<5<8, одновременно связывая отношения «меньше-больше»: 5<8, но 5<3, и т.д.).

Тэгш байдлын "бүтцийн" гэж нэрлэгддэг зарим шинж чанаруудтай танилцах нь хүүхдүүдэд нэмэх, хасах үйл ажиллагааны хоорондын холбоог өөрөөр хандах боломжийг олгодог. Тиймээс тэгш бус байдлаас тэгш байдал руу шилжих үед дараахь өөрчлөлтүүд хийгддэг: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, өгсөн 8+1=6+3 ба 4>2; олохтомъёоны зүүн ба баруун талуудын хоорондын хамаарлыг 8+1-4...6+3-2; тэгш бус тохиолдолд энэ илэрхийллийг багасгана тэгш байдал(эхлээд та "бага" тэмдэг тавьж, зүүн талд "хоёр" нэмэх хэрэгтэй).

Тиймээс тооны цувааг хэмжигдэхүүн гэж үзэх нь нэмэх, хасах (дараа нь үржүүлэх, хуваах) чадварыг шинэ аргаар хөгжүүлэх боломжийг олгодог.

II бүлэг. Бага сургуульд алгебрийн материалыг судлах арга зүйн зөвлөмж

2.1 Ерөнхий боловсролын сургуулийн хэрэгцээ шаардлагад нийцүүлэн бага ангид заах

Та бүхний мэдэж байгаагаар 5-р ангид математикийн хичээлийг судлахдаа бага сургуульд хүүхдүүдийн сурах ёстой байсан зүйлийг давтахад ихээхэн цаг зарцуулдаг. Одоо байгаа бараг бүх сурах бичгүүдэд ийм давталт нь 1.5 хичээлийн улирал болдог. Ийм нөхцөл байдал тохиолдлоор үүсээгүй. Үүний шалтгаан нь ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн багш нар бага анги төгсөгчдийн бэлтгэлд сэтгэл дундуур байгаатай холбоотой. Энэ нөхцөл байдлын шалтгаан юу вэ? Үүний тулд бага ангийн хамгийн алдартай таван математикийн сурах бичгүүдэд дүн шинжилгээ хийлээ. Эдгээр нь М.И.-ийн сурах бичиг юм. Моро, I.I. Аргинская, Н.Б. Истомина, Л.Г. Петерсон ба В.В. Давыдова (, , , ,).

Эдгээр сурах бичгүүдэд дүн шинжилгээ хийх нь тус бүрт их бага хэмжээгээр илэрч, цаашдын суралцахад сөргөөр нөлөөлж буй хэд хэдэн сөрөг талуудыг илрүүлсэн. Юуны өмнө, тэдгээрийн доторх материалыг шингээх нь ихэвчлэн цээжлэх дээр суурилдаг. Үүний тод жишээ бол үржүүлэх хүснэгтийг цээжлэх явдал юм. Бага сургуульд үүнийг цээжлэхэд маш их хүчин чармайлт, цаг зарцуулдаг. Гэвч зуны амралтаар хүүхдүүд түүнийг мартдаг. Ингэж хурдан мартаж байгаагийн шалтгаан нь цээжээр сурах явдал юм. Л.С. Выготский утга учиртай цээжлэх нь механик цээжлэхээс хамаагүй илүү үр дүнтэй болохыг харуулсан бөгөөд дараагийн туршилтууд нь зөвхөн энэ материалд тохирсон ажлын үр дүнд санаж байвал урт хугацааны санах ойд ордог гэдгийг баттай нотолж байна.

Үржүүлэх хүснэгтийг үр дүнтэй эзэмших аргыг 50-иад оны үед олжээ. Энэ нь хүүхдүүд өөрсдөө үржүүлэх хүснэгтийг хийдэг дасгалын тодорхой системийг зохион байгуулахаас бүрдэнэ. Гэсэн хэдий ч хянан үзсэн сурах бичигт энэ аргыг хэрэгжүүлээгүй байна.

Цаашдын боловсролд нөлөөлж буй өөр нэг сөрөг зүйл бол ихэнх тохиолдолд бага сургуулийн математикийн сурах бичигт материалыг танилцуулах нь ирээдүйд хүүхдүүдийг давтан сургах шаардлагатай бүтэцтэй байдаг бөгөөд энэ нь бидний мэдэж байгаагаар хамаагүй хэцүү байдаг. заахаас илүү. Алгебрийн материалыг судлахтай холбоотой жишээ нь бага сургуульд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явдал юм. Бүх сурах бичигт тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь үйлдлийн үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олох дүрэмд суурилдаг.

Үүнийг зөвхөн Л.Г-ын сурах бичигт арай өөрөөр хийсэн болно. Петерсон, жишээлбэл, үржүүлэх, хуваах тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь тэгшитгэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэгш өнцөгтийн тал ба талбайтай уялдуулахад суурилдаг бөгөөд эцэст нь дүрэмд хүрдэг боловч эдгээр нь тал эсвэл талбайг олох дүрэм юм. тэгш өнцөгт. Үүний зэрэгцээ, 6-р ангиасаа эхлэн хүүхдүүдэд ижил хувиргалт дээр суурилсан тэгшитгэлийг шийдэх огт өөр зарчмыг заадаг. Дахин суралцах ийм хэрэгцээ нь ихэнх хүүхдүүдэд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь нэлээд хэцүү ажил болоход хүргэдэг.

Сурах бичгүүдэд дүн шинжилгээ хийх явцад бид тэдгээрт материалыг танилцуулахдаа ихэвчлэн ойлголтыг гажуудуулдаг болохыг олж мэдсэн. Жишээлбэл, олон тодорхойлолтын томъёолол нь үр дагавар хэлбэрээр өгөгддөг бол аливаа тодорхойлолт нь эквивалент гэдгийг математик логикоос мэддэг. Жишээ болгон бид I.I.-ийн сурах бичгээс үржүүлэхийн тодорхойлолтыг дурдаж болно. Аргинская: "Хэрэв нийлбэр дэх бүх нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү бол нэмэхийг өөр үйлдлээр сольж болно - үржүүлэх." (Нийлбэрт байгаа бүх нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү байна. Тиймээс нэмэхийг үржүүлэх замаар орлуулж болно.) Таны харж байгаагаар энэ нь цэвэр хэлбэрээрээ далд утга юм. Энэхүү томъёолол нь математикийн үүднээс бичиг үсэг тайлагдаагүй төдийгүй хүүхдүүдэд тодорхойлолт гэж юу болох тухай ойлголтыг буруу бий болгоод зогсохгүй, ирээдүйд, тухайлбал, бүтээх үед маш их хор хөнөөлтэй байдаг. үржүүлэх хүснэгт, сурах бичгийн зохиогчид танилцуулсан томъёолол зөвшөөрөхгүй ижил нэр томъёоны нийлбэрээр бүтээгдэхүүнийг орлуулах ашиглаж байна. Даатгал хэлбэрээр бичсэн мэдэгдлүүдтэй ийм буруу ажил хийх нь хүүхдүүдэд буруу хэвшмэл ойлголтыг бий болгодог бөгөөд энэ нь геометрийн хичээлд ихээхэн бэрхшээлтэй тулгардаг бөгөөд хүүхдүүд шууд ба эсрэг заалт, дүрсийн тэмдэг, дүрсийн хоорондох ялгааг мэдрэхгүй байх болно. түүний өмч. Зөвхөн шууд теорем нь батлагдсан байхад бодлого бодохдоо урвуу теорем ашиглах алдаа маш түгээмэл байдаг.

Буруу ойлголт бий болсон өөр нэг жишээ бол үгийн тэгш байдлын харьцаатай ажиллах явдал юм. Жишээлбэл, бүх сурах бичигт тоог нэгээр, тоог тэгээр үржүүлэх дүрмийг үсэг хэлбэрээр өгсөн болно. А x 1 = А, А x 0 = 0. Мэдэгдэж байгаагаар тэгш хэмийн хамаарал нь тэгш хэмтэй тул ийм тэмдэглэгээ нь 1-ээр үржүүлснээр ижил тоо гарахаас гадна ямар ч тоог энэ тооны үржвэр болгон төлөөлж болно гэдгийг харуулж байна. ба нэг. Гэсэн хэдий ч захидлын дараа сурах бичигт санал болгосон аман томъёолол нь зөвхөн эхний боломжийн тухай өгүүлдэг. Энэ сэдвээр хийсэн дасгалууд нь зөвхөн тооны үржвэр, нэгийг энэ тоогоор солих дасгал хийхэд чиглэгддэг. Энэ бүхэн нь маш чухал зүйл бол хүүхдийн ухамсрын сэдэв болж хувирдаггүйд хүргэдэг: дурын тоог бүтээгдэхүүн хэлбэрээр бичиж болох бөгөөд энэ нь алгебрийн олон гишүүнттэй ажиллахад холбогдох хүндрэл учруулдаг, гэхдээ бас Хүүхдүүд зарчмын хувьд тэгш байдлын харьцаатай хэрхэн зөв ажиллахаа мэддэггүй. Жишээлбэл, квадратуудын томьёоны зөрүүтэй ажиллахдаа хүүхдүүд дүрмээр бол квадратуудын зөрүүг хүчин зүйл болгох ажлыг даван туулдаг. Гэсэн хэдий ч эсрэг үйлдэл хийх шаардлагатай ажлууд нь олон тохиолдолд хүндрэл учруулдаг. Энэ санааны өөр нэг гайхалтай жишээ бол нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын хуультай ажил юм. Энд мөн хуулийн захидал бичсэн ч гэсэн аман томъёолол, дасгалын систем нь зөвхөн хаалт нээх чадварыг сургадаг. Үүний үр дүнд нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах нь ирээдүйд ихээхэн хүндрэл учруулах болно.

Ихэнхдээ бага сургуульд тодорхойлолт, дүрмийг зөв томъёолсон байсан ч тэдгээрт биш, харин огт өөр зүйлд тулгуурлан суралцахыг өдөөдөг. Жишээлбэл, үржүүлгийн хүснэгтийг 2-оор судлахдаа хянаж үзсэн бүх сурах бичгүүдэд үүнийг хэрхэн яаж бүтээхийг харуулсан болно. Сурах бичигт M.I. Моро үүнийг ингэж хийсэн:

Энэхүү ажлын аргын тусламжтайгаар хүүхдүүд үүссэн тооны цувралын хэв маягийг маш хурдан анзаарах болно.

3-4 тэнцүү болсны дараа тэд хоёрыг нэмэхээ больж, анзаарсан загвартаа үндэслэн үр дүнг бичиж эхэлнэ. Тиймээс үржүүлэх хүснэгтийг бүтээх арга нь тэдний ухамсрын сэдэв болж чадахгүй бөгөөд энэ нь түүнийг эмзэг шингээхэд хүргэдэг.

Бага сургуульд материалыг судлахдаа объектив үйлдэл, дүрслэлийн тодорхой байдалд тулгуурладаг бөгөөд энэ нь эмпирик сэтгэлгээг бий болгоход хүргэдэг. Мэдээжийн хэрэг, бага сургуульд ийм харагдах байдалгүйгээр хийх боломжгүй юм. Гэхдээ энэ нь үзэл баримтлалыг бий болгох үндэс биш харин зөвхөн энэ эсвэл тэр баримтыг дүрслэн харуулах ёстой. Сурах бичигт тайлбарласан тодорхой байдал, бодит үйлдлүүдийг ашиглах нь ихэвчлэн ойлголт нь өөрөө "бүдгэрсэн" байдалд хүргэдэг. Жишээлбэл, 1-3-р ангийн математикийн аргад М.И. Моро хэлэхдээ, хүүхдүүд 30 хичээлийн турш объектуудыг овоолон байрлуулах эсвэл зураг зурах замаар хуваах ёстой. Ийм үйлдэл нь үржүүлэх урвуу үйлдэл болох хуваах үйлдлийн мөн чанарыг алддаг. Үүний үр дүнд хуваах нь хамгийн хэцүү бөгөөд бусад арифметик үйлдлүүдээс хамаагүй муу юм.

Бага ангид математикийн хичээл заахдаа ямар нэгэн мэдэгдлийг батлах тухай яриа байдаггүй. Үүний зэрэгцээ, ахлах сургуульд нотлох баримт заахад хичнээн хэцүү болохыг санаж, бага ангиасаа үүнийг бэлдэж эхлэх хэрэгтэй. Түүнээс гадна, үүнийг бага насны сургуулийн сурагчдад хүртээмжтэй материал дээр хийж болно. Ийм материал нь жишээлбэл, тоог 1-д, тэгийг тоонд, тоог өөрөө хуваах дүрэм байж болно. Хүүхдүүд хуваах тодорхойлолт, үржүүлэх дүрмийг ашиглан тэдгээрийг нотлох чадвартай байдаг.

Бага сургуулийн материал нь мөн алгебрийн пропедевтикийг зөвшөөрдөг - үсэг, үсгийн илэрхийлэлтэй ажиллах. Ихэнх сурах бичиг үсэг хэрэглэхээс зайлсхийдэг. Үүний үр дүнд хүүхдүүд дөрвөн жилийн турш бараг зөвхөн тоогоор ажилладаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг тэднийг үсэгтэй ажиллахад дасгахад маш хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч ийм ажилд пропедевтик өгөх, хүүхдүүдэд аль хэдийн бага сургуульд байхдаа үсгийн оронд тоог үсгийн илэрхийлэл болгон орлуулахыг заах боломжтой. Үүнийг жишээ нь, Л.Г-ийн сурах бичигт хийсэн. Петерсон.

Бага сургуульд математик заахдаа цаашдын суралцахад саад болж буй дутагдлуудын талаар ярихад сурах бичигт байгаа материалыг ирээдүйд хэрхэн ажиллахыг харалгүйгээр ихэвчлэн танилцуулж байгааг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний тод жишээ бол 10, 100, 1000 гэх мэт үржүүлгийг сурах зохион байгуулалт юм. Хянсан бүх сурах бичгүүдэд энэ материалын танилцуулга нь хүүхдийн оюун санаанд "Тоог 10, 100, 1000 гэх мэтээр үржүүлэхийн тулд танд хэрэгтэй" гэсэн дүрмийг бий болгохын тулд бүтэцлэгдсэн байдаг. 10, 100, 1000 гэх мэт тоонуудын баруун талд аль болох олон тэг нэмэх." Энэ дүрэм нь бага сургуульд маш сайн сурдаг дүрэм журмын нэг юм. Энэ нь аравтын бутархайг бүхэл оронтой тоогоор үржүүлэхэд олон тооны алдаа гарахад хүргэдэг. Хүүхдүүд шинэ дүрмийг санаж байсан ч 10-аар үржүүлэхдээ аравтын бутархайн баруун талд автоматаар тэг нэмдэг. Нэмж дурдахад, натурал тоог үржүүлэх, аравтын бутархайг бүхэл оронтой нэгжээр үржүүлэхэд үндсэндээ ижил зүйл тохиолддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: тооны цифр бүрийг харгалзах цифрүүдийн тоогоор баруун тийш шилжүүлдэг. Тиймээс хүүхдэд хоёр тусдаа, бүрэн албан ёсны дүрмийг заах нь утгагүй юм. Ижил төстэй асуудлыг шийдвэрлэхэд ерөнхий арга барилыг тэдэнд заах нь илүү ашигтай байдаг.

2.1 Математикийн хичээлийн үзэл баримтлалыг харьцуулах (эсрэгжүүлэх).

Одоогийн хөтөлбөр нь нэгдүгээр түвшний зөвхөн нэмэх, хасах гэсэн хоёр үйлдлийг I ангид судлах боломжийг олгодог. Сургалтын эхний жилийг зөвхөн хоёр үйлдлээр хязгаарлах нь үндсэндээ одоогийн сурах бичгүүдээс өмнөх сурах бичгүүдэд аль хэдийн хүрсэн зүйлээс холдсон явдал юм: тэр үед нэг ч багш үржүүлэх, хуваах, жишээ нь 20-оос давсан гэж гомдоллож байгаагүй. нэгдүгээр ангийн сурагчдын чадвар. 6 наснаас эхлэн боловсрол олгодог бусад орны сургуулиудад эхний хичээлийн жилд арифметикийн бүх дөрвөн үйлдэлтэй анхан шатны танилцах хичээл ордог нь анхаарал татаж байна. Математик нь үндсэндээ дөрвөн үйлдэлд тулгуурладаг бөгөөд тэдгээрийг оюутны сэтгэн бодох дадлагад хэдий чинээ хурдан оруулах тусам математикийн хичээлийн цаашдын хөгжил илүү тогтвортой, найдвартай байх болно.

Шударга байхын тулд М.И.Морогийн I ангийн сурах бичгүүдийн эхний хувилбаруудад үржүүлэх, хуваах аргыг зааж өгсөн болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч осол энэ асуудалд саад болсон: шинэ програмын зохиогчид нэг "шинэлэг зүйл" -ийг 100 (37+58 ба 95-58 гэх мэт) дотор нэмэх, хасах бүх тохиолдлыг нэгдүгээр зэрэглэлд хамруулсан. Гэсэн хэдий ч ийм том хэмжээний мэдээллийг судлах хангалттай хугацаа байхгүй байсан тул үржүүлэх, хуваах ажлыг дараагийн жил рүү бүрэн шилжүүлэхээр шийдсэн.

Тиймээс, хөтөлбөрийн шугаман шинж чанар, тухайлбал, мэдлэгийг зөвхөн тоон хэлбэрээр өргөжүүлэх (ижил үйлдлүүд, гэхдээ илүү их тоо) нь мэдлэгийг чанарын хувьд гүнзгийрүүлэхэд урьд өмнө хуваарилагдсан цаг хугацаа шаардсан (бүх дөрвөн үйлдлийг дотор нь судлах). хоёр арван). Нэгдүгээр ангид байхдаа үржүүлэх, хуваахыг судлах нь сэтгэлгээний чанарын үсрэлт гэсэн үг юм, учир нь энэ нь бодлын хураангуй үйл явцыг эзэмших боломжийг олгодог.

Уламжлал ёсоор бол 20-ийн дотор нэмэх, хасах үйлдлийг судлах нь урьд өмнө нь тусгай сэдэв байсан бөгөөд мэдлэгийг системчлэхдээ энэ хандлагын хэрэгцээ нь асуултын логик дүн шинжилгээнээс ч харагдаж байна: нэг оронтой тоог нэмэх бүрэн хүснэгт. тоог хоёр аравтын дотор боловсруулдаг (0+1= 1, ...,9+9=18). Тиймээс 20-ийн доторх тоонууд нь дотоод холболтууд дахь харилцааны бүрэн системийг бүрдүүлдэг; Иймээс "Хорин"-ыг хоёр дахь цогц сэдэв болгон хадгалах нь зүйтэй гэдэг нь ойлгомжтой (эхний ийм сэдэв нь эхний арав дахь үйлдлүүд).

Хэлэлцэж буй хэрэг бол яг хэзээ юм төвлөрсөн байдал(хоёр дахь аравыг тусгай сэдэв болгон хадгалах) илүү ашигтай болж хувирдаг шугаман байдал(“Зуун” сэдэвт хоёрдугаар арав дахь татан буулгах).

М.И.Морогийн сурах бичигт эхний арвын судалгааг хоёр тусдаа хэсэгт хуваасан: эхлээд эхний арав дахь тоонуудын найрлагыг судалж, дараагийн сэдвийн хүрээнд туршилтын сурах бичигт оруулсан болно P.M. Эрдниева үүнээс ялгаатай нь нэг хэсэгт 10-ын дотор дугаарлалт, тоонуудын найрлага, үйлдлүүдийн (нэмэх, хасах) хамтарсан судалгааг хийсэн. Энэхүү аргын тусламжтайгаар тоонуудын монографийн судалгааг ашигладаг, тухайлбал: авч үзэж буй тоон дотор (жишээлбэл, 3) бүх "бэлэн мөнгөний математик" -ийг нэн даруй ойлгодог: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Хэрэв одоогийн хөтөлбөрүүдийн дагуу эхний аравыг судлахад 70 цаг хуваарилагдсан бол туршилтын сургалтын хувьд энэ бүх материалыг 50 цагийн дотор судалсан (мөн хөтөлбөрөөс гадна зарим нэмэлт ойлголтуудыг авч үзсэн болно. тогтвортой сурах бичиг, гэхдээ үндсэн материалтай бүтцийн хувьд холбоотой байсан).

Даалгавруудыг ангилах асуудал, тэдгээрийн төрлүүдийн нэрс нь анхан шатны сургалтын арга зүйд онцгой анхаарал хандуулахыг шаарддаг. Үе үеийн арга зүйчид сургуулийн даалгаврын тогтолцоог боловсронгуй болгох, үр дүнтэй төрөл, сортуудыг бий болгох, сургуульд сурахад зориулагдсан даалгаврын нэр томъёог амжилттай сонгох хүртэл ажилласан. Математикийн хичээлд заах цагийн дор хаяж тал хувь нь тэдгээрийг шийдвэрлэхэд зориулагддаг нь мэдэгдэж байна. Сургуулийн даалгавруудыг системчлэх, ангилах нь гарцаагүй. Ямар төрлийн (төрөл) даалгаврыг судлах, хэзээ судлах, тодорхой хэсгийг дамжихтай холбогдуулан ямар төрлийн асуудлыг судлах нь энэ нь арга зүй, хөтөлбөрийн гол агуулгыг судлах хууль ёсны объект юм. Энэ нөхцөл байдлын ач холбогдол нь математикийн арга зүйн түүхээс тодорхой харагдаж байна.

Зохиогчийн туршилтын сургалтын хэрэглэгдэхүүнд даалгаврын ангилал, тодорхой ангид заах шаардлагатай төрөл, сортуудыг хуваарилахад онцгой анхаарал хандуулдаг. Одоогийн байдлаар бодлогын төрлүүдийн сонгодог нэрс (нийлбэр, үл мэдэгдэх нэр томъёог олох гэх мэт) нэгдүгээр ангийн тогтвортой сурах бичгийн агуулгын хүснэгтээс ч алга болжээ. Туршилтын сурах бичигт P.M. Эрдниев, эдгээр нэрс "ажилладаг": тэдгээр нь зөвхөн оюутанд төдийгүй багшийн хувьд дидактик чухал үе шат болж өгдөг. Туршилтын математикийн сурах бичгийн эхний сэдвийн агуулгыг танилцуулъя, энэ нь ухагдахууны логик бүрэн дүүрэн байдлаар тодорхойлогддог.

Эхний арав

Өндөр - доод, зүүн - баруун, хооронд, богино - урт, өргөн - нарийхан, зузаан - нимгэн, хөгшин - залуу, цаашлаад - ойр, удаан - хурдан, хөнгөн - хүнд, бага - олон гэсэн ойлголтуудыг харьцуулах.

Эхний арвын тоонуудын монографийн судалгаа: нэр, тэмдэглэгээ, харьцуулалт, тоон дээр тоо тавих, тооны мөрөнд дугаарлах; тэмдэг: тэнцүү (=), тэнцүү биш (¹), их (>), бага (<).

Шулуун ба муруй шугам; дугуй ба зууван.

Цэг, шулуун шугам, сегмент, тэдгээрийн тэмдэглэгээ үсгээр; сегментийн уртыг хэмжих, өгөгдсөн урттай сегментүүдийг тавих; тэмдэглэгээ, нэрлэх, барих, тэнцүү гурвалжин, тэнцүү олон өнцөгтийг хайчилж авах. Олон өнцөгтийн элементүүд: орой, тал, диагональ (үсгээр тэмдэглэгдсэн).

Тухайн тоон доторх тоонуудын монографийн судалгаа:

тооны найрлага, нэмэх, хасах.

Нэмэх, хасах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэрс.

Нэмэх, хасах дөрвөн жишээ:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Гэмтсэн жишээнүүд (дугасан тоо, тэмдэгтэй):

X + 5 = 7; 6 – X = 4;6 = 3A2.

Нийлбэр, нэмэх, ялгавар, хасах, хасахыг олох бодлого бодох. Харилцан урвуу асуудлуудыг эмхэтгэх, шийдвэрлэх.

Гурван даалгавар: тоог хэд хэдэн нэгжээр нэмэгдүүлэх, багасгах, ялгаатай харьцуулалт хийх. Сегментүүдийг уртаар нь харьцуулах.

Нэмэлтийн солилцооны хууль. Нэг гишүүний өөрчлөлтөөс хамаарч нийлбэрийн өөрчлөлт. Хэмжээ өөрчлөгдөхгүй байх нөхцөл. Хамгийн энгийн үсгийн илэрхийллүүд: a + b = b + a, a + 0 = a, a –a = 0.

Илэрхийллийн асуудлыг эмхэтгэх, шийдвэрлэх.

Дараагийн танилцуулгад бид сургуулийн математикийн энэхүү анхны хэсгийг толилуулах арга зүйн үндсэн асуудлуудыг авч үзэх бөгөөд дараагийн хэсгүүдийг танилцуулах аргачлал нь эхний сэдвийн материалыг эзэмших үйл явцтай олон талаараа төстэй байх ёстой гэдгийг анхаарч үзэх болно. .

Эхний хичээлүүдэд багш нь оюутнуудад хос ойлголтыг ашиглахыг заах зорилго тавих ёстой бөгөөд агуулга нь эдгээр үгстэй тохирох өгүүлбэр зохиох явцад илэрдэг. (Нэгдүгээрт, бид тоо ашиглахгүйгээр чанарын түвшинд харьцуулалтыг эзэмшдэг.)

Зөвхөн математикийн төдийгүй ярианы хөгжилд хичээлд хэрэглэгдэх хамгийн түгээмэл хос ойлголтуудын жишээг энд оруулав.

Илүү - бага, урт - богино, өндөр - бага, хүнд - хөнгөн, өргөн - нарийссан, зузаан - нимгэн, баруун - зүүн, цааш - ойр, хөгшин - залуу, хурдан - удаан гэх мэт.

Ийм хос үзэл баримтлал дээр ажиллахдаа сурах бичигт зөвхөн зураг зурахаас гадна хүүхдийн ажиглалтыг ашиглах нь чухал юм; Тиймээс, жишээ нь, ангийн цонхноос тэд голын эрэг дээр байшин байгааг хараад, "Гол нь байшингаас илүү сургуультай ойрхон, байшин нь сургуулиас хол байдаг" гэсэн хэллэгийг зохиодог. .”

Оюутан гартаа ном, дэвтэр ээлжлэн барь. Багш асууна: ном эсвэл дэвтэр юу илүү хүнд вэ? Юу нь илүү хялбар вэ? "Ном илүү хүнддэвтэр, дэвтэр илүү хялбарномууд."

Ангийнхаа хамгийн өндөр, хамгийн намхан сурагчийг ангийнхаа өмнө зэрэгцүүлэн жагсаад бид тэр даруй "Миша Колягаас өндөр, Коля Мишагаас намхан" гэсэн хоёр хэллэг зохиодог.

Эдгээр дасгалуудад "Чулуун байшин модон байшингаас өндөр, энэ нь модон байшин чулуунаас доогуур" гэсэн үг хэллэгийг хоёрдмол утгаар солих нь чухал юм.

"Урт - богино" гэсэн ойлголттой танилцахдаа нэгийг нь нөгөөгөөр нь давхарлаж (аль нь урт вэ: үзэг эсвэл харандаа уу?) уртын харьцуулалтыг үзүүлж болно.

Арифметик, ярианы хөгжлийн хичээлүүдэд эсрэг ойлголтуудыг ашиглахыг заах зорилготой логик асуудлыг шийдвэрлэх нь ашигтай байдаг: "Хэн нь илүү настай вэ: аав эсвэл хүү? Хэн нь бага вэ: аав эсвэл хүү? Аль нь хамгийн түрүүнд төрсөн бэ? Дараа нь хэн бэ?

“Ном, цүнх хоёрын өргөнийг харьцуул. Аль нь илүү өргөн вэ: ном эсвэл цүнх үү? Ном эсвэл цүнх гэж юу вэ? Юу нь илүү хүнд вэ: ном эсвэл цүнх үү?

Харьцуулах үйл явцыг заахдаа матриц (хүснэгт) гэж нэрлэгддэг дасгалуудыг нэвтрүүлснээр илүү сонирхолтой болгож болно. Самбар дээр дөрвөн нүдтэй хүснэгтийг барьж, "багана", "мөр" гэсэн ойлголтын утгыг тайлбарлав. Бид "зүүн багана", "баруун багана", "дээд эгнээ", "доод эгнээ" гэсэн ойлголтуудыг танилцуулж байна.

Оюутнуудтай хамт бид эдгээр ойлголтуудын семантик тайлбарыг харуулдаг (дуурайдаг).

Баганыг харуул (хүүхдүүд гараа дээрээс доош хөдөлгөдөг).

Зүүн багана, баруун баганыг харуул (хүүхдүүд гараа дээрээс доош хоёр удаа савлана).

Мөрийг харуул (гараа зүүнээс баруун тийш эргүүл).

Дээд шугам, доод шугамыг харуулах (дээд шугам, доод шугамыг харуулсан хоёр гар долгион).

Оюутнууд нүдний байрлалыг үнэн зөв зааж өгөх шаардлагатай: "зүүн дээд нүд", "баруун доод нүд" гэх мэт. Урвуу асуудлыг нэн даруй шийддэг, тухайлбал: багш хүснэгтийн зарим нүдийг (матриц) зааж өгдөг. , оюутан энэ нүдний харгалзах нэрийг өгнө. Хэрэв дээд мөр ба зүүн баганын огтлолцол дээр байгаа нүдийг зааж өгсөн бол оюутан "Зүүн дээд нүд" гэж нэрлэнэ. Ийм дасгалууд нь хүүхдийг орон зайн чиг баримжаагаар аажмаар дасгадаг бөгөөд дараа нь математикийн координатын аргыг судлахад чухал ач холбогдолтой юм.

Тооны цуврал дээр ажиллах нь анхан шатны математикийн эхний хичээлүүдэд маш чухал юм.

Тооны шугамын дагуу баруун тийш шилжих замаар нэг нэгээр нь нэмэх замаар тооны цувааны өсөлтийг харуулах нь тохиромжтой.

Хэрэв (+) тэмдэг нь тооны шугамын дагуу баруун тийш нэгээр шилжихтэй холбоотой бол (-) тэмдэг нь зүүн тийш нэг нэгээр буцаж шилжихтэй холбоотой байдаг. (Тиймээс бид хоёр тэмдгийг нэгэн зэрэг харуулна. хичээл.)

Тоон цуваатай ажиллахдаа бид дараах ойлголтуудыг танилцуулж байна: тооны цувралын эхлэл (тэг тоо) нь цацрагийн зүүн төгсгөлийг илэрхийлдэг; 1-ийн тоо нь нэгж сегменттэй тохирч байгаа бөгөөд үүнийг тооны цувралаас тусад нь дүрсэлсэн байх ёстой.

Суралцагчдаас гурвын дотор тооны шулуун дээр ажиллахыг хүс.

Бид зэргэлдээх хоёр тоог сонгоно, жишээ нь 2 ба 3. 2-оос 3-ын тоо руу шилжсэнээр хүүхдүүд "2-ын тоо 3-ын дараа ордог" гэж тайлбарладаг. 3-р тооноос 2-т шилжихэд тэд:

"3-ын тоо 2-ын тооноос өмнө ирдэг" эсвэл: "2-ын тоо 3-ын тооноос өмнө ирдэг."

Энэ арга нь өмнөх болон дараагийн тоонуудтай харьцуулахад өгөгдсөн тооны байршлыг тодорхойлох боломжийг олгодог; Тооны байрлалын харьцангуй байдалд нэн даруй анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй, жишээлбэл: 3-ын тоо нь дараачийн (2-ын тооны ард) болон өмнөх (4-ийн тооны өмнө) хоёулаа нэгэн зэрэг байна.

Тоон цувааны дагуу заасан шилжилтүүд нь харгалзах арифметик үйлдлүүдтэй холбоотой байх ёстой.

Жишээлбэл, "2-ын дараа 3-ын тоо" гэсэн хэллэгийг дараах байдлаар дүрсэлсэн: 2 + 1 = 3; Гэсэн хэдий ч түүний дараа шууд эсрэг бодлын холбоог бий болгох нь сэтгэл зүйн хувьд ашигтай байдаг, тухайлбал: "3-ын тоо ирэхээс өмнө 2-ын тоо ирдэг" гэсэн илэрхийлэл нь 3 - 1 = 2 гэсэн оруулгатай дэмжигддэг.

Тооны цуврал дахь тооны байршлын талаар ойлголттой болохын тулд хосолсон асуултуудыг асуух хэрэгтэй.

1. Ямар тооны ард 3-ын тоо орох вэ? (3-ын тоо нь 2-ын тоог дагаж байна.) Өмнө нь 2-ын тоо ямар тоонд байрладаг вэ? (2-ын тоо 3-ын өмнө ирдэг.)

2. Дараа нь ямар тоо байна төлөөтоо 2? (2-ын араас 3-ын тоо байна.) Аль тоо ирдэг өмнөтоо 3? (3-ын тоо 2-ын өмнө байна.)

3. хооронд 2-ын тоо ямар тоо вэ? (2-ын тоо нь 1 ба 3-ын хооронд байна.) 1 ба 3-ын хооронд ямар тоо байх вэ? (1 ба 3 тоонуудын хооронд 2 тоо байна.)

Эдгээр дасгалуудад математикийн мэдээллийг функциональ үгсэд багтаасан болно. өмнө, хойно, хооронд.

Тоон цуваатай ажиллах ажлыг тоонуудыг хэмжээгээр нь харьцуулах, мөн тооны шулуун дээрх тоонуудын байрлалыг харьцуулах нь тохиромжтой. Геометрийн шинж чанартай шүүлтийн холболтыг аажмаар хөгжүүлдэг: 4-ийн тоо нь 3-ын баруун талд байгаа тооны шугам дээр байна; энэ нь 4 нь 3-аас их гэсэн үг. Мөн эсрэгээр: 3-ын тоо нь 4-ийн тооны зүүн талд байгаа тооны мөрөнд байна; Энэ нь 3-ын тоо нь 4-ээс бага гэсэн үг юм. Энэ нь хос ойлголтуудын хооронд холболт үүсдэг: баруун талд - илүү, зүүн талд - бага.

Дээр дурдсанаас бид мэдлэгийг нэгтгэх нэг онцлог шинж чанарыг харж байна: нэмэх, хасахтай холбоотой бүх ойлголтыг бие биен рүүгээ тасралтгүй шилжих (дахин кодлох) хэлбэрээр хамтад нь санал болгодог.

Манай сурах бичигт байгаа тоон харилцааг эзэмших гол хэрэгсэл бол өнгөт баар; Тэдгээрийг уртаар нь харьцуулж, дээд эсвэл доод бааранд хэдэн эс том эсвэл бага байгааг тогтооход тохиромжтой. Өөрөөр хэлбэл, бид "хэсгүүдийн ялгааг харьцуулах" гэсэн ойлголтыг тусгай сэдэв болгон нэвтрүүлдэггүй, харин оюутнууд эхний арвын тоог судалж эхлэхэд л мэддэг болно. Эхний аравтыг судлах хичээлүүдэд өнгөт баар ашиглах нь тохиромжтой бөгөөд энэ нь эхний шатны үйл ажиллагааны үндсэн төрлүүдийн пропедевтикийг хийх боломжийг олгодог.

Нэг жишээ авч үзье.

Нүдэнд хуваагдсан хоёр өнгийн баарыг бие биен дээрээ наа.

доод хэсэгт - 3 нүд, дээд хэсэгт - 2 нүд (зураг харна уу).

Дээд ба доод баарны нүднүүдийн тоог харьцуулж, багш харилцан урвуу үйлдлүүдийн хоёр жишээг (2 + 1 = 3, 3 - 1 = 2) зохиож, эдгээр жишээнүүдийн шийдлүүдийг бүх боломжит аргаар хосоор нь уншина.

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) 1-ээс 2-ыг нэмнэ - та 3-ыг авна; a) 3-аас 1-ийг хасах - та 2-ыг авна;

б) 2-ыг 1-ээр нэмэгдүүлэх - та 3-ыг авах; б) 3-ыг 1-ээр багасгах - та 2-ыг авна;

в) 3 нь 2-оос 1-ээс их; в) 2 нь 3-аас 1-ээс бага;

d) 2 тийм 1 нь 3 байх болно; d) 1-гүй 3 нь 2 болно;

д) 2-ын тоог 1-ээр нэмэх - e) 3-аас 1-ийг хасах -

энэ нь 3. гарч байна 2.

Багш аа. 2-ыг 1-ээр үржүүлбэл хэд болох вэ?

Оюутан.Хэрэв та 2-ыг 1-ээр нэмэгдүүлбэл 3-ыг авна.

Багш аа.Одоо надад хэлээч 2-ыг авахын тулд 3-ын тоог юу хийх хэрэгтэй вэ?

Оюутан. 2-ыг авахын тулд 3-ыг 1-ээр багасга.

Энэхүү яриа хэлэлцээнд сөрөг хүчний ажиллагааг арга зүйн хувьд чадварлаг хэрэгжүүлэх хэрэгцээ шаардлагад анхаарлаа хандуулцгаая. ,

Хүүхдүүд хосолсон ойлголтуудын утгыг (нэмэх - хасах, нэмэгдүүлэх - багасгах, илүү - бага, тийм - үгүй, нэмэх - хасах) утгыг итгэлтэйгээр эзэмших нь тэдгээрийг ижил гурвалсан тоон дээр үндэслэн нэг хичээлд ашиглах замаар хүрдэг (жишээлбэл, 2 + 1 = =3, 3-1=2), нэг үзүүлэн дээр үндэслэн - хоёр баарны уртыг харьцуулах.

Ассимиляцийн нэгжийг нэгтгэх арга зүйн систем ба эдгээр үндсэн ойлголтуудыг тусад нь судлах тогтолцооны үндсэн ялгаа нь математикийн эсрэг тэсрэг ойлголтуудыг дүрмээр бол оюутнуудын ярианы практикт тусад нь нэвтрүүлдэг.

Суралцах туршлага нь арифметикийн анхны хичээлээс эхлэн бие биедээ эсрэг тэсрэг ойлголтуудыг нэгэн зэрэг нэвтрүүлэхийн давуу талыг харуулж байна.

Жишээлбэл, "нэмэх" (2 дээр 1-ийг нэмэх), "нэмэх" (1-ийн тоогоор 2-ыг нэмэх), "нэмэгдүүлэх" (2-ыг 1-ээр нэмэгдүүлэх) гэсэн гурван үйл үгийг нэгэн зэрэг ашиглах. ижилхэн (2+1=3) нь хүүхдүүдэд эдгээр үгсийн утгын ижил төстэй байдал, ойр байдлыг сурахад тусалдаг ("хасах", "хасах", "багасгах" гэсэн үгсийн талаар ижил төстэй үндэслэлийг гаргаж болно).

Үүнтэй адилаар ялгаатай харьцуулалтын мөн чанарыг сургалтын эхэн үеэс эхлэн хос тоонуудыг харьцуулах аргыг давтан ашиглах замаар олж авдаг бөгөөд хичээлийн харилцан ярианы хэсэг бүрт шийдвэрлэсэн жишээг тайлбарлах бүх боломжит аман хэлбэрийг ашигладаг. “Юу нь илүү вэ: 2 эсвэл 3? 3 нь 2-оос хэд их вэ? 3-ыг авахын тулд 2 дээр хэдэн төгрөг нэмэх шаардлагатай вэ? гэх мэт дүрмийн хэлбэрийг өөрчлөх, асуух хэлбэрийг байнга хэрэглэх нь эдгээр ойлголтын утгыг эзэмшихэд ихээхэн ач холбогдолтой.

Олон жилийн туршилт үр дүнгээ харуулсан монографийн судалгааэхний арвын тоо. Дараалсан тоо бүрийг олон талт шинжилгээнд хамруулж, түүнийг бүрдүүлэх бүх боломжит хувилбаруудыг жагсаасан болно; Энэ тооны хүрээнд бүх боломжит үйлдлүүд хийгдэж, "боломжтой бүх математик" давтагдаж, тоонуудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлэх бүх зөвшөөрөгдөх дүрмийн хэлбэрийг ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, энэхүү судалгааны системийн тусламжтайгаар дараагийн тоонуудын хамрах хүрээтэй холбогдуулан өмнө нь судалсан жишээнүүд давтагддаг, өөрөөр хэлбэл тоон цувралын өргөтгөл нь өмнө нь авч үзсэн тоонуудын хослолууд болон энгийн асуудлын сортуудыг тогтмол давтах замаар хийгддэг. .

2.3 Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлийг хамтран судлах

Анхан шатны математикийн арга зүйд эдгээр хоёр үйлдлийн дасгалуудыг ихэвчлэн тусад нь авч үздэг. Үүний зэрэгцээ "нэмэх - нэр томьёо болгон задлах" давхар үйлдлийг нэгэн зэрэг судлах нь илүү дээр юм шиг санагдаж байна.

Оюутнууд нэмэх асуудлыг шийдье: "Гурван саваа дээр 1 саваа нэмбэл 4 саваа авна." Энэ даалгаврын дараа шууд асуулт асуух хэрэгтэй: "Ямар тооноос -аас бүрдэнэдугаар 4? 4 саваа нь 3 саваа (хүүхэд 3 саваа тоолдог) ба 1 саваа (дахин 1 савааг тусгаарладаг) зэргээс бүрдэнэ.

Эхний дасгал нь тооны задрал байж болно. Багш: "5-ын тоо ямар тооноос бүрдэх вэ?" Гэж асууна. (5-ын тоо нь 3 ба 2-оос бүрдэнэ.) Тэгээд тэр даруй ижил тооны талаар асуулт гарч ирнэ: "Хэрэв та 3 дээр 2-ыг нэмбэл хэдэн төгрөг авах вэ?" (3 дээр 2-ыг нэмбэл 5 болно.)

Үүнтэй ижил зорилгоор 5+2=7 гэсэн хоёр чиглэлд жишээ унших дасгал хийх нь ашигтай. 2-ыг 5-д нэмбэл 7-г авна (зүүнээс баруун тийш уншина). 7 нь 2 ба 5-р нөхцлөөс бүрдэнэ (баруунаас зүүн тийш уншина).

Харгалзах үйлдлүүдийн тодорхой агуулгыг харах боломжийг олгодог ангийн абакус дээрх ийм дасгалуудыг аман эсэргүүцлийг дагалдуулах нь ашигтай байдаг. Абакус дээрх тооцоолол нь тоон дээрх үйлдлийг дүрслэн харуулах хэрэгсэл болгон зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд 10 доторх тоонуудын хэмжээ нь нэг утсан дээр байрлах ясны урттай холбоотой байдаг (энэ уртыг оюутан нүдээр ойлгодог). Одоогийн сурах бичиг, хөтөлбөрүүд хичээлдээ орос хэлтэрхий хэрэглэхээс бүрмөсөн татгалзаж байхад ийм “шинэ санаачилга”-тай санал нийлэх аргагүй юм.

Тиймээс, нэмэх жишээг (5+2=7) шийдвэрлэхдээ сурагч эхлээд абакус дээр 5 чулууг тоолж, дараа нь 2-ыг нэмээд дараа нь нийлбэрийг зарлав: "5 дээр 2-ыг нэмбэл 7 болно". Үр дүнгийн 7 дугаарын нэрийг оюутан шинэ нийлбэрийг дахин тооцоолох замаар тогтооно: "Нэг - хоёр - гурав - дөрөв - тав - зургаа - долоо").

Оюутан. 5 дээр 2-ыг нэмбэл 7 гарна.

Багш аа.Одоо 7 тоо ямар нэр томъёоноос бүрддэгийг харуул.

Оюутан(эхлээд баруун тийш хоёр ясыг салгаж, дараа нь ярьдаг). 7 тоо нь 2 ба 5-аас бүрдэнэ.

Эдгээр дасгалуудыг хийхдээ анхнаасаа "эхний улирал" (5), "хоёр дахь үе" (2), "нийлбэр" гэсэн ойлголтуудыг ашиглах нь зүйтэй.

Дараах төрлийн даалгавруудыг санал болгож байна: a) хоёр гишүүний нийлбэр нь 7; нөхцөлийг олох; б) 7 тоо ямар бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс бүрддэг вэ?; в) 7-ын нийлбэрийг 2 гишүүн (3 гишүүн) болгон задлах. гэх мэт.

Нэмэлтийн солилцооны хууль гэх мэт чухал алгебрийн ойлголтыг эзэмшихийн тулд эхлээд объектуудтай практик заль мэх дээр үндэслэсэн олон төрлийн дасгалуудыг хийх шаардлагатай болдог.

Багш аа.Зүүн гартаа 3, баруун гартаа 2 саваа ав, нийт хэдэн саваа байна вэ?

Оюутан.Нийт 5 саваа байна.

Багш аа.Энэ талаар би яаж илүү ихийг хэлэх вэ?

Оюутан. 3 саваа дээр 2 саваа нэмнэ - 5 саваа байх болно.

Багш аа.Таслагдсан тооноос энэ жишээг зохио. (Оюутан жишээ гаргадаг: 3+2=5.)

Багш аа.Одоо савхыг соль: зүүн гартаа савхыг баруун тийш шилжүүлж, баруун гараасаа зүүн тийш савхыг шилжүүл. Одоо хоёр гарт хэдэн саваа байна вэ?

Оюутан.Нийтдээ 2 гарт 5 саваа байсан, одоо дахиад 5 саваа байна.

Багш аа.Яагаад ийм зүйл болсон бэ?

Оюутан.Учир нь бид юу ч хойш тавиагүй, саваа нэмээгүй тул маш их зүйл үлдсэн.

Багш аа.Таслагдсан тоонуудаас шийдвэрлэсэн жишээнүүд зохио.

Оюутан(зайлшгүй: 3+2=5, 2+3=5). Энд 3-ын тоо байсан, одоо 2-ын тоо. Тэгээд энд 2-ын тоо, одоо 3-ын тоо байсан.

Багш аа.Бид 2 ба 3-ын тоог сольсон боловч үр дүн нь хэвээр байна:

5. (Жишээг хуваах тооноос хийсэн болно: 3+2=2+3.)

Солих хуулийг мөн тоонуудыг нэр томьёо болгон задлах дасгалд сурдаг.

Нэмэлтийн солих хуулийг хэзээ нэвтрүүлэх вэ?

Эхний 10-д багтаж байгаа нэмэлтийг заах гол зорилго нь дасгалд шилжих хуулийн үүргийг байнга онцлон тэмдэглэх явдал юм.

Хүүхдүүд эхлээд 6 саваа тоолоорой; Дараа нь бид тэдгээрт гурван саваа нэмж, дахин тооцоолсноор ("долоо - найм - ес") бид нийлбэрийг тогтооно: 6 тийм 3 - 9 болно. Шинэ жишээг нэн даруй санал болгох шаардлагатай: 3 + 6; Шинэ дүнг эхлээд дахин тооцоолох замаар (жишээ нь, хамгийн анхдагч аргаар) тогтоож болох боловч аажмаар, зорилготойгоор шийдлийн аргыг илүү өндөр кодоор, өөрөөр хэлбэл логикийн хувьд дахин тооцоолохгүйгээр томъёолох хэрэгтэй.

Хэрэв 6 ба 3 нь 9 байвал (хариултыг дахин тооцоолох замаар тогтооно), 3 ба 6 (дахин тооцоололгүйгээр!) мөн 9 болно!

Товчхондоо, нэмэхийн солих шинж чанарыг өөр өөр нэр томьёо нэмэх дасгалын эхэн үеэс эхлэн нэвтрүүлэх ёстой бөгөөд ингэснээр дөрвөн жишээний шийдлийг зохиох (дуудах) нь зуршил болно.

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Дөрвөн жишээг эмхэтгэх нь хүүхдүүдэд хүртээмжтэй мэдлэгийг өргөжүүлэх хэрэгсэл юм.

Нэмэх үйл ажиллагааны ийм чухал шинж чанар нь түүний солигдох чадвар нь хааяа тохиолдох ёсгүй, харин зөв тоон холбоог бэхжүүлэх гол логик хэрэгсэл болох ёстой гэдгийг бид харж байна. Нэмэлтийн гол шинж чанар - нэр томьёо солигдох чадварыг санах ойд шинэ хүснэгтийн үр дүнгийн хуримтлалтай холбоотойгоор байнга авч үзэх хэрэгтэй.

Бид харж байна: илүү төвөгтэй тооцооллын эсвэл логик үйлдлүүдийн хамаарал нь хос "цогцолбор" үйлдлийг гүйцэтгэдэг энгийн үйлдлүүдийн ижил төстэй хос холболт (ойролцоох) дээр суурилдаг. Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл ойлголтыг илт эсэргүүцэх нь энгийн ойлголтуудын далд (далд ухамсар) эсрэг тэсрэг байдалд суурилдаг.

Үржүүлэх, хуваах эхний судалгааг дараахь гурван мөчлөгийн дарааллаар (мөчлөг бүрт гурван даалгавар) хийхийг зөвлөж байна.

I мөчлөг: a, b) тогтмол үржүүлэгчээр үржүүлэх, агуулгын дагуу хуваах (хамтдаа); в) тэнцүү хэсгүүдэд хуваах.

II мөчлөг: a, b) хэд хэдэн удаа буурч, тоо нэмэгдэх (хамтдаа); в) олон тооны харьцуулалт.

III мөчлөг: а, б) тооны нэг хэсэг, түүний аль нэг хэсгийн хэмжээгээр (хамтдаа) тоог олох; в) асуудлыг шийдвэрлэх: "Нэг тоо нь нөгөө тоонуудын аль хэсэг вэ?"

Эдгээр асуудлыг судлах арга зүйн систем нь эхний шатны энгийн бодлогуудын (нэмэх, хасах) дээр дурдсантай төстэй юм.

Агуулгын хувьд үржүүлэх, хуваах үйлдлийг зэрэг судлах.Үржүүлэхэд зориулагдсан хоёр, гурван хичээлд (цаашаа ч үгүй!) тэнцүү нэр томьёоны задарсан нэмэх зэрэг үржүүлэх гэдэг ойлголтын утгыг тодорхой болгосон (хуваах үйлдлийг эдгээр хичээлүүдэд хараахан авч үзээгүй). Энэ удаад 2-ын тоог нэг оронтой тоогоор үржүүлэх хүснэгтийг судлахад хангалттай.

Ихэвчлэн сурагчдад нэмэхийг үржүүлэх замаар орлуулах бичлэгийг харуулдаг: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Энд нэмэх, үржүүлэх хоорондын холбоо нь нэмэх-үржүүлэх чиглэлд явагдана. "Үржүүлэх-нэмэх" (тэнцүү нэр томъёо) хэлбэрийн санал хүсэлтийг гаргах дасгалыг оюутнуудад нэн даруй санал болгох нь зүйтэй: энэ оруулгыг хараад оюутан 2-ын тоог аль болох олон удаа нэмэх шаардлагатай гэдгийг ойлгох ёстой. жишээн дэх үржүүлэгч нь (2*4= 8) харуулж байна.

Хоёр төрлийн дасгалын хослол нь "үржүүлэх" гэсэн ойлголтыг ухамсартайгаар шингээх чухал нөхцлүүдийн нэг бөгөөд энэ нь нурсан нэмэлт гэсэн үг юм.

Гурав дахь хичээлд (эсвэл дөрөв дэх нь ангиас хамаарч) үржүүлгийн мэдэгдэж буй тохиолдол бүрийн хувьд хуваах харгалзах тохиолдлыг өгсөн болно. Цаашид үржүүлэх, хуваахыг зөвхөн нэг хичээл дээр хамтад нь авч үзэх нь ашигтай.

Хуваах тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхдээ үржүүлгийн харгалзах тохиолдлуудыг дарааллаар нь эргэн дурсаж, үржүүлэхээс урвуу шинэ үйлдлийн тухай ойлголтыг бий болгох хэрэгтэй.

Тиймээс "үржүүлэх" гэсэн ойлголт нь баялаг агуулгыг олж авдаг: энэ нь зөвхөн тэнцүү нэр томъёог нэмсний үр дүн ("нэмэлтийг нэгтгэх") төдийгүй, мөн хуваах үндсэн мөч бөгөөд энэ нь эргээд илэрхийлдэг. Дараалсан "хасах үйлдлийг 2"-оор сольж "нурсан хасах":

Үржүүлэхийн утгыг үржүүлэх замаар бус харин үржүүлэх, хуваах хооронд тогтмол шилжилт хийх замаар ойлгодог, учир нь хуваах нь далд, "өөрчлөгдсөн" үржүүлэх явдал юм. Энэ нь үржүүлэх, хуваах үйлдлийг нэгэн зэрэг (хүснэгт болон хүснэгтээс гадуур; аман болон бичгийн аль аль нь) судлах нь яагаад ашигтай болохыг тайлбарлаж байна.

Үржүүлэх, хуваахыг нэгэн зэрэг судлах эхний хичээлүүд нь янз бүрийн объект (шоо, мөөг, саваа гэх мэт) цуглуулах, тараах өргөн практик үйл ажиллагаануудаар бүх талаар дэмжигдсэн логик үйлдлүүдийг өөрсдөө боловсруулахад зориулагдсан байх ёстой. гэхдээ нарийвчилсан үйлдлүүдийн дараалал ижил хэвээр байх ёстой.

Энэ ажлын үр дүн нь зэрэгцүүлэн бичсэн үржүүлэх, хуваах хүснэгтүүд байх болно.

2*2=4, 4: 2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5 гэх мэт.

Тиймээс үржүүлэх хүснэгтийг тогтмол үржүүлэгч ашиглан, хуваах хүснэгтийг тогтмол хуваагч ашиглан бүтээдэг.

Оюутнуудад энэ даалгавартай хослуулан тэнцүү хасагдах тоонуудыг хуваахаас хасах руу шилжих тухай бүтцийн хувьд эсрэг дасгалыг санал болгох нь ашигтай.

Дахин давтагдах дасгалуудад ийм төрлийн даалгавруудыг санал болгох нь ашигтай байдаг: 14:2==.

Тэнцүү хэсгүүдэд хуваах судалгаа. 2-ын тоог үржүүлж, 2-т хуваахыг хамтдаа судалж эсвэл давтан хийсний дараа "тэнцүү хэсгүүдэд хуваах" (эхний мөчлөгийн гурав дахь төрлийн бодлого) гэсэн ойлголтыг нэг хичээлээр оруулав.

Асуудлыг авч үзье: “Дөрвөн оюутан 2 дэвтэр авчирсан. Та хэдэн дэвтэр авчирсан бэ?"

Багш тайлбарлав: 2-ыг 4 удаа авна - 8-ыг авна. (Оруулга гарч ирнэ: 2*4 = 8.) Урвуу бодлогыг хэн бичих вэ?

Үржүүлэх ажлыг хийж байхдаа бид дэвтэр цуглуулсан. Хоёрт хуваахдаа бид юу хийх вэ?

8 дэвтэр сурагч бүрт 2 дэвтэр тараасан - энэ нь 4 (4 сурагчид хангалттай дэвтэр байсан).

Оруулга гарч ирнэ:

тус бүр 2т *4 = 8 т.; 8т.: 2т = 4 (оюутнууд).

Эхлээд та нэр бүхий тоонуудын нарийвчилсан тэмдэглэгээг (ногдол ашиг, хуваагч, хуваагч хэлбэрээр) ашиглах хэрэгтэй.

Одоо гурав дахь бодлогоо гаргая: “8 дэвтэр дөрвөн сурагчид тэгш хуваарилагдах ёстой. Хүн бүр хэдэн дэвтэр авах вэ?

Эхлээд ижил хэсгүүдэд хуваах нь объектыг бодитоор удирдах замаар харуулах ёстой.

Тиймээс "үржүүлэх" гэсэн ойлголт нь баялаг агуулгыг олж авдаг: энэ нь зөвхөн тэнцүү нэр томъёог нэмсний үр дүн ("нэмэлтийг нэгтгэх") төдийгүй, мөн хуваах үндсэн мөч бөгөөд энэ нь эргээд илэрхийлдэг. дараалсан "хасах"-ыг 2-оор солих нурсан хасах үйлдэл .

Одоогийн байдлаар бага сургуулийн математикийн боловсролын зохион байгуулалтыг эрс сайжруулахад нэлээд таатай нөхцөл бүрдэж байна.

1) бага сургуулийг гурван жилийн сургуулиас дөрвөн жилийн сургууль болгон өөрчилсөн;

2) эхний дөрвөн жилд математикийн хичээлд 700 цаг зарцуулдаг, өөрөөр хэлбэл ерөнхий боловсролын сургуульд энэ хичээлд хуваарилсан нийт цагийн бараг 40%;

3) бага ангийн багшаар жил бүр дээд боловсролтой хүмүүсийн тоо нэмэгдэж байна;

4) багш, сургуулийн сурагчдыг боловсролын болон харааны хэрэгслээр илүү сайн хангах боломж нэмэгдэж, тэдгээрийн ихэнхийг өнгөт хэлбэрээр үйлдвэрлэж байна.

Оюутны оюун ухааныг ерөнхийд нь хөгжүүлэхэд математикийн анхан шатны сургалт шийдвэрлэх үүрэг гүйцэтгэдэг болохыг нотлох шаардлагагүй. Сургуулийн сурагчийн эхний дөрвөн жилийн хугацаанд олж авсан үндсэн холбоодын баялаг нь хэрэв зөв хийгдсэн бол дараагийн жилүүдэд мэдлэгээ өөрөө тэлэх гол нөхцөл болдог. Анхны санаа, ухагдахуун, сэтгэлгээний цуваа, логикийн үндсэн аргууд нь бүрэн бус, уян хатан бус, ядуурсан тохиолдолд сургуулийн сурагчид ахлах сургуульд шилжихдээ дараа нь хэн заах, ямар сурах бичгээр суралцахаас үл хамааран бэрхшээлтэй тулгардаг. -аас.

Манай болон бусад оронд бага сургууль олон зуун жил үйл ажиллагаагаа явуулж байхад бүх нийтийн дунд боловсрол хэрэгжээд хэдхэн арван жил болсныг та бүхэн мэдэж байгаа. Эндээс харахад бага боловсролын онол практик нь ЕБС-ийн сургуулиас хавьгүй илүү сайхан уламжлалаараа баялаг юм.

Өнгөрсөн зуунд Л.Н.Толстой, К.Д.Ушинский, С.И.Шохор-Троцкий, В.Латышев болон бусад арга зүйчид анхан шатны математикийн нандин нээлт, ерөнхий дүгнэлтийг хийсэн. Сүүлийн хэдэн арван жилд Л.В.Занков, А.С.Пчелко нарын лабораторид анхан шатны математикийн аргуудыг ашиглах, түүнчлэн дидактик нэгжүүдийг нэгтгэх судалгаанд ихээхэн үр дүнд хүрсэн.

Үүний зэрэгцээ, бага сургуулийн сургалтын өнөөгийн байдал нь сүүлийн жилүүдэд багш нарын эзэмшсэн түүнийг сайжруулах үр дүнтэй арга замууд нь сүүлийн үеийн хөтөлбөр, сурах бичгүүдээр гэнэт алга болж байна. Одоогийн хөтөлбөрүүдийн ноцтой сул тал бол дундаж давхаргад зориулсан хөтөлбөрүүдтэй залгамж холбоогүй явдал юм.

Жишээлбэл, бага сургуулийн хөтөлбөрүүдэд өмнө нь бага сургуульд амжилттай хэрэгжиж байсан хэд хэдэн чухал ойлголтуудын пропедевтикийн асуудал шийдэгдээгүй байна. Өмнө нь илүү хурдан, илүү бүтээмжтэй эзэмшсэн уламжлалт материалыг албадан сунгах хөтөлбөрөөс болж ийм пропедевтикууд үр дүнд хүрсэнгүй. Одоогийн дөрвөн жилийн сургалтын хөтөлбөр нь өмнөх гурван жилийн сургалтын хөтөлбөрөөс бага мэдээлэлтэй болсон.

Төрөл бүрийн бүтээлч багуудын бага боловсролын арга зүйг ашиглан сүүлийн 20 жилийн хугацаанд олж авсан шинжлэх ухааны үр дүнг үндэслэлтэй харгалзан үзвэл бага сургуульд "хүсэл тэмүүлэлтэй суралцах" боломж бүрдэж байна.

Ялангуяа сурагчдад алгебрийн анхан шатны ойлголтуудыг эзэмшүүлэх нь ахлах ангийн сурагчдад холбогдох мэдлэгийг эзэмшихэд эерэг нөлөө үзүүлэх нь дамжиггүй.

Бяцхан сурагчийг хүртээмжтэй, шаардлагатай мэдлэгээс нь салгах нь түүнд хожим хэзээ ч нөхөж баршгүй хохирлыг авчрах юм шиг санагддаг.

Математикийн анхан шатны сургалтын практикт нэг хичээлд (сурах бичгийн нэг хуудасны зайд) харилцан урвуу бодлогуудыг нэгтгэх арга нь хамгийн чухал юм. Тиймээс үндсэн төрлийн даалгавруудын уламжлалт нэрийг бие биентэйгээ харьцуулах нь зайлшгүй шаардлагатай юм шиг санагдаж байна: хэрэв тэнцүү нэр томъёоны давталт нь үржүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг бол тэдгээрийн урвуу бодлогуудыг (тэнцүү хэсгүүдэд хуваах, агуулгаар нь хуваах) ашиглах хэрэгтэй. хичээл төлөвлөх, явуулахдаа сурах бичиг. Одоо байгаа програмуудад бид ердийн ойлголтыг олдоггүй: нийлбэрийг олох, хоёр нийлбэрээс тоо олох, нэг болгон бууруулах, пропорциональ хуваах гэх мэт. Энэ нөхцөл байдал нь хөтөлбөрүүдийн давуу тал биш юм.

Сэтгэл судлаач Ж.Пиаже "урвуу асуудал" гэсэн арга зүйн ойлголттой холбоотой үйлдлүүдийн урвуу байдлын үндсэн хуулийг бий болгосон. Ялангуяа хүний ​​хүлээн авсан аливаа мэдээлэл 20-30 минутын турш далд ухамсарт (ухамсаргүй хэлбэрээр) эргэлддэг. Тиймээс, хэрэв 172-ыг 43-аар үржүүлэхэд бид 688-ын завсрын үржвэрийг олж авсан бол "буланд" хуваах урвуу асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ тоо хамгийн амархан илэрдэг (шинэчлэгдсэн). "Үржүүлэх - хуваах" гэсэн бодлын холболт энд хоёр удаа гүйлгэж байх шиг байна.

Энэ бол практикт олж авсан бага сургуульд алгебрийн элементүүдийг эрт нэвтрүүлэх давуу талуудын психофизиологийн тайлбар юм. Энэхүү дүгнэлтийг зохиолч Рыльскийн 4-р дунд сургуулийн бага ангид математикийн хичээлд заах хувийн туршлагаар ч баталж байна.

1. Бага ангийн математикийн сургалтын өнөөгийн тулгамдсан асуудал. / Ред. М.И. Моро, А.М. Хөвсгөр. – М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1977. – 262 х.

2. Аргинская И.И., Ивановская Е.А. Математик: Дөрвөн жилийн бага сургуулийн 3-р ангийн сурах бичиг. – Самара: ред. Хаус "Федоров", 2000. - 192 х.

3. Бантова М.А., Белтюкова Г.В. Бага сургуульд математик заах арга зүй. – М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1984. – 301 х.

4. Гонин Э.Г. Онолын арифметик. – М.: Учпэдгиз, 1961. – 171 х.

5. Давыдов В.В. Математик, 3-р анги: 4 жилийн бага сургуулийн сурах бичиг. – М.: “Академи” хэвлэлийн төв, 1998. – 212 х.

6. Давыдов В.В. Бага сургуулийн насны сэтгэцийн хөгжил. / Ред. А.В. Петровский. – М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1973. – 167 х.

7. Зак А.З. Бага сургуулийн сурагчдын сэтгэцийн чадварыг хөгжүүлэх. - М.: Вагриус, 1994.

8. Истомина Н.Б. Бага сургуульд математик заах арга зүй. – М.: “Академи” хэвлэлийн төв, 1998. – 288 х.

9. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математик, 3-р анги: 4 жилийн бага сургуулийн сурах бичиг. – Смоленск: Хэвлэлийн газар “XXI зууны холбоо”, 2001. – 196 х.

10. Каган В.Ф. Математикийн үзэл баримтлалын шинж чанаруудын талаар. – М.: Наука, 1984. – 144 х.

11. Когаловский С.Р., Шмелева Е.А., Герасимова О.В. Үзэл баримтлалд хүрэх зам. Иваново, 1998. - 208 х.

12. Колмогоров А.Н. Математикийн мэргэжлийн тухай. М .: Москвагийн Улсын Их Сургуулийн хэвлэлийн газар, 1959. – 134 х.

13. Мойсенко A. V. Сургуулийн математикийн боловсролын үзэл баримтлал. Номонд. Өөрийгөө тодорхойлох сургууль. Хоёрдугаар алхам. М.: "Политекст" ХК. 1994. хуудас 392-422.

14. Моро М.И. болон бусад: Гурван жилийн бага сургуулийн 3-р анги, дөрвөн жилийн бага сургуулийн 4-р ангийн сурах бичиг. / Ред. Калягина Ю.М. – М.: Боловсрол, 1997. – 240 х.

15. Моро М.И., Пышкало А.М. 1-3-р ангид математикийн хичээл заах арга зүй. – М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1978. – 312 х.

16. Петерсон Л.Г. Математик, 3-р анги. 1, 2-р хэсэг. 4 жилийн бага сургуулийн сурах бичиг. - М .: "Баласс", 2001 он.

17. Пиаже Ж. Сэтгэл судлалын сонгомол бүтээлүүд. - SP-b: "Питер" хэвлэлийн газар, 1999 он.

18. Поля D. Математикийн нээлт. М.: Наука, 1976. - 448 х.

19. Сергеенко А.В. Гадаадад математикийн хичээл заадаг. – М .: ред. "Академи" төв, 1995. - 197 х.

20. Сойер В.В. Математикийн оршил. М.: Боловсрол, 1972. - 192 х.

21. Тестов В.А. Математик заах стратеги. М.: ГШБ, 1999. - 304 х.

22. Чуприкова Н.И. Сэтгэцийн хөгжил, суралцах. Хөгжлийн боловсролын сэтгэлзүйн үндэс. – М.: Алматея, 1995. – 244 х.

23. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Математик: Дөрвөн жилийн бага сургуулийн 3-р ангийн туршилтын сурах бичиг. – М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1999. – 232 х.

24. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Бага сургуульд математик заах онол арга зүй. – М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1988. – 208 х.

25. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Математик заах дидактик нэгжүүдийн нэгдмэл байдал – М.: Педагогика, 1986. – 197 х.

26. Архангельский А.В. Математикийн мөн чанар ба математикийн үндсэн бүтцийн тухай // Байгалийн шинжлэх ухааны түүх, арга зүй (Москва) - 1986. - No 32. - Х.14-29.

27. Breitnham E.K. Суралцагч төвтэй боловсролын загварт математикийн хичээл заах. // Сурган хүмүүжүүлэх ухаан. – 2000. - No 10. – С. 45-48.

28. Волошкина М.И. Математикийн хичээл дээр бага сургуулийн сурагчдын танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг идэвхжүүлэх. // Бага сургууль. – 1992. - No9/10. – 15-18-р тал.

29. Галперин П.Я., Георгиев Л.С. Математикийн анхны ойлголтыг бий болгох асуудал. Илтгэл I - V. // РСФСР-ын Сурган хүмүүжүүлэх ухааны академийн тайлан, 1960, № 1, 3, 4-6.

30. Доронина И.М. Гуравдугаар ангийн математикийн хичээлд UDE арга зүйг ашиглах. // Бага сургууль. – 1999. - No 11. – С. 29-30.

31. Математикийн боловсролын тухай ойлголт (12 жилийн сургуульд) // Сургуулийн математик. - 2000- No 2. - P.13-18.

32. Мартынова О.А. UDE системийг ашиглан математикийн хичээл заасан туршлагаас. // Бага сургууль. – 1993. - ; 4. – 29-31-р тал.

33. Пентегова Г.А. Математикийн хичээлд логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх. // Бага сургууль. – 2000. - No 11. – С. 74-77.

34. Укурчиева Т.А. Математикийг заахдаа сэтгэцийн үйл ажиллагааны нөөцийг шинэчлэх. // Бага сургууль. – 1999. – No 11. – С. 17-18.

35. Шатуновский Я.Математик нь дүрслэх урлаг ба түүний ерөнхий боловсролын үүрэг. // Сургуулийн математик. – 2001. - No 3. – P. 6-11.

36. Шикова Р.Н. Нэг чиглэлд хөдөлгөөнтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх. // Бага сургууль. – 2000. - No 12. – С. 48-52.

37. Элконин Д.Б. Бага сургуулийн сэтгэлзүйн судалгаа. // Зөвлөлтийн сурган хүмүүжүүлэх ухаан. – 1961. - No 9. – С. 22-31.

38. Эрдниев П.М. Баяр баясгалантай суралцах нөхцөл бол нэгдсэн мэдлэг. // Бага сургууль. – 1999. - No 11. – P. 4-11.

Сайн бүтээлээ мэдлэгийн санд оруулах нь амархан. Доорх маягтыг ашиглана уу

Мэдлэгийн баазыг суралцаж, ажилдаа ашигладаг оюутнууд, аспирантууд, залуу эрдэмтэд танд маш их талархах болно.

http://www.allbest.ru/ сайтад нийтлэгдсэн.

ТАНИЛЦУУЛГА

ДҮГНЭЛТ

Ашигласан материал

Танилцуулга

Орчин үеийн ерөнхий боловсролын аль ч тогтолцоонд математик нь гол байруудын нэгийг эзэлдэг бөгөөд энэ нь мэдлэгийн энэ салбарын өвөрмөц байдлын талаар ярьдаг нь дамжиггүй.

Орчин үеийн математик гэж юу вэ? Яагаад хэрэгтэй байна вэ? Эдгээр болон үүнтэй төстэй асуултуудыг хүүхдүүд ихэвчлэн багш нараас асуудаг. Хариулт нь хүүхдийн хөгжлийн түвшин, түүний боловсролын хэрэгцээ шаардлагаас хамааран өөр өөр байх болно.

Математик бол орчин үеийн шинжлэх ухааны хэл гэж байнга ярьдаг. Гэсэн хэдий ч энэ мэдэгдэлд томоохон алдаа байгаа бололтой. Математикийн хэл нь маш өргөн тархсан бөгөөд ихэвчлэн үр дүнтэй байдаг, учир нь математикийг үүнтэй харьцуулах боломжгүй юм.

Оросын нэрт математикч А.Н. Колмогоров бичсэн нь: "Математик бол хэл, логик хоёрын нэг юм. Энэ нь математикийг ашиглан сэтгэхүйн үр дүнг төвлөрүүлдэг Нэг үндэслэлийг нөгөөтэй нь холбоно уу. Хачирхалтай хууль, дүрмүүд нь тус бүрдээ маш нарийн тайлбар хийх боломжийг олгодог байгалийн нарийн төвөгтэй байдал нь үнэн хэрэгтээ нягт уялдаатай байдаг, гэхдээ хэрэв та математикийг ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол энэ нь асар их төрөл зүйл юм Логик нь нэгээс нөгөөд шилжих боломжийг олгодог гэдгийг та олж харахгүй."

Тиймээс математик нь биднийг хүрээлэн буй ертөнцийг судлахад шаардлагатай сэтгэлгээний тодорхой хэлбэрийг бий болгох боломжийг олгодог.

Бүтээлч хүнийг төлөвшүүлэхэд ерөнхий боловсролын математик, тэр дундаа сургуулийн математикийн нөлөө ямар байдаг вэ? Математикийн хичээл дээр асуудал шийдвэрлэх урлагийг заах нь сурагчдын тодорхой сэтгэлгээг хөгжүүлэх маш таатай боломжийг бидэнд олгодог. Судалгааны үйл ажиллагааны хэрэгцээ нь хэв маягийн сонирхлыг хөгжүүлж, хүний ​​сэтгэлгээний гоо үзэсгэлэн, зохицлыг олж харахыг заадаг. Энэ бүхэн нь бидний бодлоор ерөнхий соёлын хамгийн чухал элемент юм. Математикийн хичээл нь сэтгэлгээний янз бүрийн хэлбэрийг бий болгоход чухал нөлөө үзүүлдэг: логик, орон зай-геометр, алгоритм. Аливаа бүтээлч үйл явц нь таамаглал дэвшүүлэхээс эхэлдэг. Математик нь боловсролын зохих зохион байгуулалттай, таамаглал дэвшүүлэх, шалгах сайн сургууль болохын хувьд янз бүрийн таамаглалыг харьцуулах, хамгийн сайн хувилбарыг олох, шинэ асуудал дэвшүүлэх, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг эрэлхийлдэг. Бусад зүйлсээс гадна тэрээр арга зүйн дадал зуршлыг бий болгодог бөгөөд үүнгүйгээр бүтээлч үйл явцыг төсөөлөх аргагүй юм. Хүний сэтгэлгээний боломжийг дээд зэргээр нэмэгдүүлснээр математик нь түүний хамгийн дээд амжилт юм. Энэ нь хүнийг өөрийгөө ойлгож, зан чанарыг төлөвшүүлэхэд тусалдаг. Энэ бол математикийн мэдлэг нь ерөнхий соёлын салшгүй хэсэг, хүүхдийн хүмүүжил, боловсролын зайлшгүй элемент болох шалтгаануудын жижиг жагсаалт юм. Манай 10 жилийн сургуулийн математикийн хичээл (геометргүй) үндсэндээ арифметик (I - V анги), алгебр (VI - VIII анги), анализын элементүүд (IX - X анги) гэсэн үндсэн гурван хэсэгт хуваагддаг. Ийм хуваах үндэслэл нь юу вэ? Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хэсэг бүр өөрийн гэсэн тусгай "технологи"-той байдаг.

Тиймээс арифметикийн хувьд энэ нь жишээлбэл, олон оронтой тоон дээр хийгдсэн тооцоололтой, алгебрийн хувьд ижил хувиргалт, логарифмчлал, анализын хувьд ялгах гэх мэттэй холбоотой байдаг. Гэхдээ хэсэг бүрийн үзэл баримтлалын агуулгатай холбоотой ямар гүн гүнзгий шалтгаанууд байдаг вэ? Дараагийн асуулт бол сургуулийн арифметик ба алгебрийг ялгах үндэслэлтэй холбоотой (өөрөөр хэлбэл, хичээлийн эхний болон хоёрдугаар хэсэг). Арифметик нь натурал тоо (эерэг бүхэл тоо) ба бутархай (анхны ба аравтын тоо) зэргийг судалдаг. Гэсэн хэдий ч тусгай дүн шинжилгээ нь эдгээр төрлийн тоог нэг сургуулийн хичээлд нэгтгэх нь хууль бус болохыг харуулж байна.

Баримт нь эдгээр тоонууд нь өөр өөр функцтэй байдаг: эхнийх нь объектыг тоолох, хоёр дахь нь хэмжигдэхүүнийг хэмжихтэй холбоотой юм. Энэ нөхцөл байдал нь бутархай (рационал) тоо нь зөвхөн бодит тоонуудын онцгой тохиолдол гэдгийг ойлгоход маш чухал юм.

Хэмжигдэхүүнийг хэмжих үүднээс авч үзвэл, A.N. Колмогоров, "Рациональ ба иррациональ бодит тоонуудын хооронд тийм гүн гүнзгий ялгаа байдаггүй, гэхдээ тэдгээрийг бутархай хэлбэрээр бичихэд хялбар байдаг тул сурган хүмүүжүүлэх шалтгаанаар тэд удаан хугацаагаар үлддэг Тэд эхнээсээ нэн даруй бодит тоог бүхэлд нь хүргэх ёстой."

А.Н. Колмогоров математикийн хөгжлийн түүхийн үүднээс ч, мөн чанартаа А.Лебесгийн заахдаа натурал тоонуудын дараа шууд бодит тооны гарал үүсэл, логик шинж чанар руу шилжих саналыг үндэслэлтэй гэж үзсэн. Үүний зэрэгцээ, A.N. Колмогоров хэлэхдээ "хэмжигдэхүүнийг хэмжих үүднээс рационал ба бодит тоог бий болгох хандлага нь жишээлбэл, "хос" хэлбэрээр рационал тоог нэвтрүүлэхээс багагүй шинжлэх ухааны үндэслэлтэй юм давуу тал" (.

Тиймээс натурал (бүхэл тоо) тоон дээр үндэслэн "тооны хамгийн ерөнхий ойлголт" (А. Лебесгийн нэр томьёогоор) бодит тооны тухай ойлголтыг нэн даруй бүрдүүлэх бодит боломж бий. Гэхдээ программын барилгын үүднээс авч үзвэл энэ нь сургуулийн тайлбарт бутархай арифметикийг арилгахаас илүү эсвэл бага зүйл гэсэн үг биш юм. Бүхэл тооноос бодит тоо руу шилжих нь арифметикаас "алгебр" руу шилжих шилжилт, дүн шинжилгээ хийх суурийг бий болгох явдал юм. Одоогоос 20 гаруй жилийн өмнө илэрхийлэгдэж байсан эдгээр санаанууд өнөөдөр ч ач холбогдолтой хэвээр байна.

1. Бага сургуульд алгебрийн материалыг судлах онолын ерөнхий асуудлууд

алгебрийн сургуулийн харьцуулсан математик

1.1 Бага сургуульд алгебрийн элементүүдийг нэвтрүүлсэн туршлага

Эрдмийн хичээлийн агуулга нь олон хүчин зүйлээс хамаардаг - оюутнуудын мэдлэгт тавигдах амьдралын шаардлага, холбогдох шинжлэх ухааны түвшин, хүүхдийн сэтгэцийн болон бие бялдрын насны чадвар гэх мэт. Эдгээр хүчин зүйлсийг зөв авч үзэх нь сургуулийн сурагчдын хамгийн үр дүнтэй боловсрол олгох, тэдний танин мэдэхүйн чадварыг өргөжүүлэх зайлшгүй нөхцөл юм. Гэхдээ заримдаа энэ нөхцөл нь нэг шалтгаанаар биелдэггүй. Энэ тохиолдолд заах нь хүүхдэд шаардлагатай мэдлэгийг олж авах, оюун ухааныг хөгжүүлэхэд хүссэн үр дүнг өгдөггүй.

Одоогийн байдлаар зарим хичээлийн хичээл, тухайлбал математикийн сургалтын хөтөлбөрүүд нь амьдралын шинэ шаардлага, орчин үеийн шинжлэх ухааны хөгжлийн түвшин (жишээлбэл, математик), хөгжлийн сэтгэл судлал, логикийн шинэ өгөгдөлд нийцэхгүй байна. Энэ нөхцөл байдал нь боловсролын сэдвүүдийн шинэ агуулгын боломжит төслүүдийг иж бүрэн онолын болон туршилтын туршилт хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.

Математикийн мэдлэгийн үндэс нь бага сургуульд тавигддаг. Гэвч харамсалтай нь математикчид өөрсдөө ч, арга зүйч, сэтгэл судлаачид ч анхан шатны математикийн агуулгад маш бага анхаарал хандуулдаг. Бага сургуулийн (I-IV анги) математикийн сургалтын хөтөлбөр нь үндсэн шинж чанараараа 50-60 жилийн өмнө бүрэлдэн тогтсон бөгөөд тухайн үеийн математик, арга зүй, сэтгэл зүйн үзэл санааны тогтолцоог аяндаа тусгасан гэдгийг хэлэхэд хангалттай.

Бага сургуулийн математикийн улсын стандартын онцлог шинж чанарыг авч үзье. Үүний гол агуулга нь тодорхой дарааллаар судлагдсан бүхэл тоо ба тэдгээрийн үйлдлүүд юм. Нэгдүгээрт, дөрвөн үйлдлийг 10 ба 20-ийн хязгаарт, дараа нь - 100-ийн хязгаарт аман тооцоолол, 1000-ын хязгаарт аман болон бичгийн тооцоог, эцэст нь сая, тэрбумын хязгаарт судалдаг. IV ангид өгөгдөл болон арифметик үйлдлийн үр дүн, энгийн бутархайн хоорондын зарим хамаарлыг судалдаг. Үүний зэрэгцээ энэ хөтөлбөр нь цаг хугацааны хэмжигдэхүүн, хэмжигдэхүүнийг судлах, тэдгээрийг хэмжихэд ашиглах чадварыг эзэмших, харааны геометрийн зарим элементүүдийн талаархи мэдлэг - тэгш өнцөгт ба дөрвөлжин зурах, сегмент, тэгш өнцөгт ба дөрвөлжингийн талбайг хэмжих, эзлэхүүнийг тооцоолох.

Оюутнууд олж авсан мэдлэг, ур чадвараа асуудал шийдвэрлэх, энгийн тооцоолол хийхэд ашиглах ёстой. Хичээлийн туршид асуудлыг шийдвэрлэх нь тоо, үйлдлүүдийг судлахтай зэрэгцэн явагддаг - үүнд тохиромжтой цагийн хагасыг хуваарилдаг. Асуудлыг шийдвэрлэх нь сурагчдад үйлдлүүдийн тодорхой утгыг ойлгох, тэдгээрийг хэрэглэх янз бүрийн тохиолдлыг ойлгох, хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтоох, дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх үндсэн ур чадварыг эзэмшихэд тусалдаг.

I-IV ангиас хүүхдүүд дараахь үндсэн төрлийн бодлогуудыг (энгийн ба нийлмэл) шийддэг: нийлбэр ба үлдэгдэл, үржвэр ба хуваалт, өгөгдсөн тоог нэмэгдүүлэх ба багасгах, ялгавар ба олон тооны харьцуулалт, энгийн гурвалсан дүрэм, пропорциональ хуваах, олох хоёр ялгаагаар үл мэдэгдэх, арифметик дундаж болон бусад зарим төрлийн бодлогуудыг тооцоолох.

Асуудлыг шийдэхдээ хүүхдүүд янз бүрийн тоо хэмжээний хамааралтай тулгардаг. Гэхдээ оюутнууд тоо судалсны дараа болон дараа нь асуудал үүсгэж эхэлдэг нь ердийн зүйл юм; шийдвэрлэхэд шаардагдах гол зүйл бол тоон хариултыг олох явдал юм. Хүүхдүүд ихэвчлэн арифметикийн асуудал гэж тооцогддог тодорхой, тодорхой нөхцөл байдалд тоон харилцааны шинж чанарыг тодорхойлоход ихээхэн бэрхшээлтэй байдаг. Практикаас харахад тоонуудын манипуляци нь ихэвчлэн асуудлын нөхцөл байдлын бодит дүн шинжилгээг бодит хэмжигдэхүүний хамаарлын үүднээс орлуулдаг. Түүгээр ч зогсохгүй сурах бичигт оруулсан асуудлууд нь илүү "нарийн төвөгтэй" нөхцөл байдал нь тоон харилцааны "гүнзгий" давхаргатай холбоотой байх тогтолцоог төлөөлдөггүй. Ижил бэрхшээлтэй асуудлуудыг сурах бичгийн эхэнд болон төгсгөлд олж болно. Эдгээр нь үйл ажиллагааны нарийн төвөгтэй байдал (үйл ажиллагааны тоо нэмэгддэг), тооны зэрэглэл (арваас тэрбум хүртэл), биет хамаарлын нарийн төвөгтэй байдал (хуваарилалтын асуудлаас эхлээд хөдөлгөөн хүртэл) зэргээс хамааран хэсэг тус бүр, ангиас ангид өөр өөр байдаг. асуудлууд) болон бусад параметрүүд. Зөвхөн нэг параметр - математикийн хуулиудын тогтолцоог гүнзгийрүүлэх нь тэдгээрт сул, тодорхой бус байдлаар илэрдэг. Тиймээс тодорхой асуудлын математикийн хүндрэлийн шалгуурыг тогтоох нь маш хэцүү байдаг. Хоёр ялгаанаас үл мэдэгдэхийг олох, арифметик дундажийг олох (III анги) нь ялгавар ба олон тооны харьцуулалтын бодлогоос (II анги) яагаад илүү хэцүү байдаг вэ? Арга зүй нь энэ асуултад үнэмшилтэй, логик хариулт өгдөггүй.

Тиймээс бага ангийн сурагчид тоон онолын элементүүдийг судлахдаа хэмжигдэхүүний хамаарал, хэмжигдэхүүний ерөнхий шинж чанаруудын талаар хангалттай, бүрэн мэдлэг олж авдаггүй, учир нь сургуулийн хичээл дээр тэд үндсэндээ тооцоолох техниктэй холбоотой байдаг, эсвэл шийдвэрлэх үед. асуудлууд, учир нь сүүлийнх нь зохих хэлбэргүй, шаардлагатай системгүй байдаг. Арга зүйчдийн заах арга барилыг сайжруулах оролдлого нь хэсэгчилсэн амжилтанд хүргэсэн боловч хүлээн зөвшөөрөгдсөн агуулгын хүрээнд урьдчилан хязгаарлагддаг тул ерөнхий байдлыг өөрчлөхгүй.

Батлагдсан арифметикийн хөтөлбөрт шүүмжлэлтэй дүн шинжилгээ хийхдээ дараахь заалтуудыг үндэслэн хийх ёстой юм шиг байна.

Тооны тухай ойлголт нь объектын тоон шинж чанарын тухай ойлголттой ижил биш юм;

Тоо бол тоон харилцааны анхны хэлбэр биш юм.

Эдгээр заалтуудын үндэслэлийг хүргэе. Орчин үеийн математик (ялангуяа алгебр) нь тоон бүрхүүлгүй тоон харилцааны талуудыг судалдаг гэдгийг сайн мэддэг. Зарим тоон хамаарал нь тоо, тооноос өмнө, жишээлбэл, сегмент, эзлэхүүн гэх мэтээр илэрхийлэгдэх боломжтой гэдгийг сайн мэддэг. (харилцаа "илүү", "бага", "тэнцүү"). Орчин үеийн гарын авлагад анхны математикийн ерөнхий ойлголтыг танилцуулах нь объектыг тоогоор илэрхийлэхийг шаарддаггүй ийм бэлгэдлээр хийгдсэн байдаг. Тиймээс, E.G-ийн номонд. Гонин "Онолын арифметик"-д математикийн үндсэн объектуудыг эхнээс нь үсэг, тусгай тэмдгээр тэмдэглэсэн байдаг.

Тодорхой төрлийн тоо, тоон хамаарлыг зөвхөн жишээ, олонлогийн шинж чанаруудын дүрслэл болгон өгдөг бөгөөд тэдгээрийн цорын ганц боломжтой бөгөөд одоо байгаа илэрхийллийн хэлбэр биш юм. Цаашилбал, бие даасан математикийн тодорхойлолтуудын олон дүрслэлийг сегмент, талбайн харьцаагаар график хэлбэрээр өгсөн нь анхаарал татаж байна. Олонлог ба хэмжигдэхүүний бүх үндсэн шинж чанарыг тоон системийг оролцуулалгүйгээр гаргаж, зөвтгөж болно; Түүнээс гадна, сүүлийнх нь математикийн ерөнхий ойлголтын үндсэн дээр үндэслэлээ хүлээн авдаг.

Хариуд нь сэтгэл зүйч, багш нарын хийсэн олон тооны ажиглалтаас харахад тоон санаанууд нь тоонуудын талаархи мэдлэг, тэдгээрийг хэрхэн ашиглах талаар мэдлэг олж авахаас хамаагүй өмнө хүүхдүүдэд бий болдог. Үнэн бол эдгээр санааг "математикийн өмнөх формац" гэж ангилах хандлага байдаг (энэ нь объектын тоон шинж чанарыг тоогоор тодорхойлдог уламжлалт аргуудын хувьд байгалийн юм), гэхдээ энэ нь хүүхдийн оюун ухаанд тэдний үндсэн үүргийг өөрчилдөггүй. юмсын шинж чанарт ерөнхий чиг баримжаа. Заримдаа эдгээр "математикийн өмнөх тогтоц" -ын гүн нь компьютерийн технологийн нарийн төвөгтэй байдлын талаархи мэдлэг, цэвэр тоон хамаарлыг олох чадвараас илүүтэй хүүхдийн өөрийн математик сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд чухал ач холбогдолтой байдаг. Академич гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй А.Н. Колмогоров математикийн бүтээлч байдлын онцлогийг тодорхойлж, дараахь нөхцөл байдлыг онцгойлон тэмдэглэв: "Математикийн ихэнх нээлтүүдийн үндэс нь энгийн санаа юм: харааны геометрийн бүтэц, шинэ энгийн тэгш бус байдал гэх мэт. Зөвхөн энэ энгийн санааг зөв хэрэгжүүлэх шаардлагатай. Эхлээд харахад боломжгүй мэт санагдах асуудлын шийдэл."

Одоогийн байдлаар шинэ хөтөлбөрийг бий болгох бүтэц, арга замын талаархи олон янзын санаанууд тохиромжтой. Үүнийг бүтээх ажилд математикч, сэтгэл зүйч, логикч, арга зүйчдийг татан оролцуулах шаардлагатай байна. Гэхдээ бүх тодорхой хувилбаруудад дараахь үндсэн шаардлагыг хангасан байх ёстой.

Бага, дунд сургуулийн математикийн агуулгын хоорондын зөрүүг арилгах;

объектив ертөнцийн тоон харилцааны үндсэн хуулиудын талаархи мэдлэгийн тогтолцоог бүрдүүлэх; энэ тохиолдолд тоонуудын шинж чанарууд нь хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх тусгай хэлбэр болох боловч хөтөлбөрийн үндсэн хэсэг биш байх ёстой;

Хүүхдэд зөвхөн тооцоолох чадвар биш, математик сэтгэлгээний аргуудыг бий болгох: энэ нь бодит хэмжигдэхүүний хамаарлын хүрээг (математикийг физик, хими, биологи болон тусгайлан судалдаг бусад шинжлэх ухаантай холбох) судлахад үндэслэсэн асуудлын тогтолцоог бий болгох явдал юм. тоо хэмжээ);

Тохиромжтой хүснэгт, лавлах ном болон бусад туслах (ялангуяа цахим) хэрэгслээр хийх боломжгүй ажлыг багасгах, тооцооллын бүх арга техникийг эрс хялбаршуулах.

Эдгээр шаардлагын утга нь тодорхой юм: бага сургуульд математикийг тоон харилцааны хууль тогтоомж, хэмжигдэхүүний хамаарлын тухай шинжлэх ухаан болгон заах бүрэн боломжтой; тооцоолох техник, тооны онолын элементүүд нь хөтөлбөрийн тусгай болон хувийн хэсэг болох ёстой.

1960-аад оны сүүлчээс эхлэн математикийн шинэ хөтөлбөр боловсруулах туршлага, түүний туршилтын туршилт нь сургуулийн нэгдүгээр ангиас эхлэн математикийн системчилсэн хичээлийг нэвтрүүлэх, тоон хамаарал, хамаарлын талаар мэдлэг олгох боломжийн талаар ярих боломжийг бидэнд олгож байна. хэмжигдэхүүнүүдийн алгебрийн хэлбэрээр .

1.2 Алгебрийн үзэл баримтлалын гарал үүслийн асуудал, боловсролын сэдвийг бий болгоход түүний ач холбогдол.

Сургуулийн математикийн хичээлийг алгебр, арифметик гэж хуваах нь мэдээжийн хэрэг нөхцөлтэй. Нэгээс нөгөөд шилжих нь аажмаар явагддаг. Сургуулийн практикт энэ шилжилтийн утга нь бутархайг судлах нь хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд өргөн дэмжлэггүйгээр явагддаг тул далдлагдсан байдаг - бутархайг хос тоонуудын харьцаагаар өгдөг (хэдийгээр хэмжигдэхүүнийг хэмжихийн ач холбогдлыг арга зүйн гарын авлагад албан ёсоор хүлээн зөвшөөрсөн байдаг. ). Хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд үндэслэсэн бутархай тооны өргөн хүрээтэй танилцуулга нь бодит тооны тухай ойлголтыг зайлшгүй хүргэдэг. Гэхдээ сүүлийнх нь ихэвчлэн тохиолддоггүй, учир нь оюутнууд рационал тоонуудтай удаан хугацаагаар ажиллаж, улмаар "алгебр" руу шилжих нь хойшлогддог.

Өөрөөр хэлбэл, бүхэл тооноос бодит тоо руу шилжих, хэмжилтийн үр дүнг бутархай (энгийн ба аравтын бутархай - төгсгөлтэй, дараа нь хязгааргүй) хэлбэрээр илэрхийлэх нөхцөл бүрдсэн үед сургуулийн алгебр эхэлдэг. Түүнчлэн, эхлэлийн цэг нь хэмжилтийн үйл ажиллагаатай танилцах, төгсгөлтэй аравтын бутархайг олж авах, тэдгээрийг хэрхэн ажиллуулах талаар суралцах явдал байж болно. Хэрэв сурагчид хэмжилтийн үр дүнг бичих энэ хэлбэрийг аль хэдийн мэддэг бол энэ нь тоог хязгааргүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн санааг "хаях" урьдчилсан нөхцөл болно. Энэ урьдчилсан нөхцөлийг бага сургуульд аль хэдийн бий болгохыг зөвлөж байна.

Хэрэв бутархай (рационал) тооны тухай ойлголтыг сургуулийн арифметикийн чадвараас хасвал түүний "алгебр" хоёрын хоорондох хил нь бүхэл ба бодит тоонуудын ялгааны шугамын дагуу өнгөрөх болно. Энэ нь математикийн хичээлийг хоёр хэсэгт хуваасан явдал юм. Энэ бол энгийн ялгаа биш, харин эх сурвалжийн үндсэн "хоёрдмол байдал" - тоолох, хэмжих явдал юм.

Лебесгийн "тооны ерөнхий ойлголт" -ын талаархи санаа бодлыг дагаж, математикийн заах явцад бүрэн нэгдмэл байдлыг хангах боломжтой, гэхдээ зөвхөн хүүхдүүдийг тоолох, бүхэл (натурал) тоотой танилцуулсны дараа л. Мэдээжийн хэрэг, энэхүү урьдчилсан танилцах хугацаа өөр байж болно (бага сургуулийн уламжлалт хөтөлбөрүүдэд практик хэмжилтийн элементүүдийг бүр бага ангийн арифметикийн хичээлд нэвтрүүлж болно (хөтөлбөрт багтдаг)); Энэ бүхэн нь боловсролын хичээл болох арифметик болон "алгебр"-ийн үндэс суурь дахь ялгааг арилгадаггүй. Эхлэлийн цэгүүдийн "хоёрдмол байдал" нь хэмжигдэхүүнийг хэмжих, бодит бутархай руу шилжихтэй холбоотой хэсгүүдийг арифметикийн хичээлд жинхэнэ "үндэс" тавихаас сэргийлдэг. Хөтөлбөрийн зохиогчид, арга зүйчид арифметикийг сургуулийн хичээлийн хувьд тогтвортой, "цэвэр" байлгахыг хичээдэг. Эх сурвалжийн энэхүү ялгаа нь математикийг схемийн дагуу заах гол шалтгаан юм - эхлээд арифметик (бүхэл тоо), дараа нь "алгебр" (бодит тоо).

Энэ схем нь нэлээд байгалийн бөгөөд хөдлөшгүй мэт санагддаг, үүнээс гадна математикийн хичээл заах олон жилийн туршлагыг зөвтгөдөг. Гэхдээ логик болон сэтгэлзүйн үүднээс авч үзвэл энэхүү хатуу сургалтын схемийн хууль ёсны байдлыг илүү нарийвчлан шинжлэх шаардлагатай нөхцөл байдал бий.

Баримт нь эдгээр төрлийн тоонуудын хоорондох бүх ялгааг үл харгалзан тэдгээр нь тоонуудыг тусгайлан хэлдэг, өөрөөр хэлбэл. тоон харилцааг харуулах тусгай хэлбэр. Бүхэл болон бодит тоонууд нь "тоо"-д хамаарах нь тоолох ба хэмжилтийн хоорондын ялгааны генетик деривативын таамаглалын үндэс болдог: тэдгээр нь тооны хэлбэрт тохирсон тусгай, нэг эх сурвалжтай байдаг.

Тоолох, хэмжих энэхүү нэгдсэн суурийн онцлог шинж чанаруудын талаархи мэдлэг нь нэг талаас тэдгээрийн гарал үүслийн нөхцөл, нөгөө талаас харилцаа холбоог илүү тодорхой төсөөлөх боломжийг олгоно.

Тоонуудын салаалсан модны нийтлэг язгуурыг олохын тулд бид юунд хандах ёстой вэ? Юуны өмнө тоо хэмжээний тухай ойлголтын агуулгыг задлан шинжлэх шаардлагатай юм шиг санагддаг. Үнэн, энэ нэр томъёо нь өөр нэг хэмжээстэй шууд холбоотой байдаг. Гэсэн хэдий ч ийм холболтын хууль ёсны байдал нь "том хэмжээ" гэсэн утгын тодорхой бие даасан байдлыг үгүйсгэхгүй. Энэ талыг авч үзэх нь нэг талаас хэмжих, тоолох, нөгөө талаас тодорхой математикийн ерөнхий харилцаа, хэв маяг бүхий тоонуудын үйл ажиллагааг нэгтгэсэн дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог.

Тэгэхээр "тоо хэмжээ" гэж юу вэ, энэ нь сургуулийн математикийн эхний хэсгүүдийг бүтээхэд ямар сонирхолтой байдаг вэ? Ерөнхийдөө "том" гэсэн нэр томъёо нь "тэнцүү", "илүү", "бага" гэсэн ойлголттой холбоотой бөгөөд энэ нь янз бүрийн чанарыг (урт ба нягтрал, температур ба цагаан) тодорхойлдог. В.Ф. Каган эдгээр ойлголтууд ямар нийтлэг шинж чанартай вэ гэсэн асуултыг тавьж байна. Энэ нь тэдгээр нь агрегатууд - нэгэн төрлийн объектуудын багцтай холбоотой болохыг харуулж байгаа бөгөөд тэдгээрийн элементүүдийн харьцуулалт нь "илүү", "тэнцүү", "бага" гэсэн нэр томъёог ашиглах боломжийг олгодог (жишээлбэл, бүх шулуун шугамын хэсгүүдийн агрегатууд, жин, хурд гэх мэт).

Объектуудын багц нь зөвхөн А ба В элементийн аль нэгэнд нь А нь В-тэй тэнцүү, В-ээс их эсвэл В-ээс бага эсэхийг тогтоох боломжтой шалгуурыг бий болгосон тохиолдолд л хэмжээ болон хувирдаг. дурын хоёр элемент А ба В, харьцааны нэг бөгөөд зөвхөн нэг нь: A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

В.Ф. Каган “тэнцүү”, “илүү”, “бага” гэсэн ойлголтуудын дараах найман үндсэн шинж чанарыг тодорхойлсон: .

1) А=B, A>B, A гэсэн харилцаануудын дор хаяж нэг нь байна<В.

2) Хэрэв A = B хамаарал биелдэг бол А хамаарал биелэхгүй<В.

3) Хэрэв A=B хамаарал биелдэг бол A>B хамаарал биелэхгүй.

4) Хэрэв A=B ба B=C бол A=C болно.

5) Хэрэв A>B ба B>C бол A>C.

6) Хэрэв А<В и В<С, то А<С.

7) Тэгш байдал нь урвуу хамаарал: A=B хамаарлаас үргэлж B=A хамаарал гарч ирдэг.

8) Тэгш байдал нь харилцан хамаарал юм: авч үзэж буй олонлогийн А элементээс үл хамааран A = A.

Эхний гурван өгүүлбэр нь "=", ">", "" гэсэн үндсэн харилцааны салалтыг тодорхойлдог.<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

гурван элемент A, B, C. Дараах өгүүлбэр 7 - 8 нь зөвхөн тэгш байдлыг тодорхойлдог - түүний урвуу байдал, давтагдах байдал (эсвэл рефлекс). В.Ф.Каган эдгээр найман үндсэн заалтыг харьцуулах постулат гэж нэрлэдэг бөгөөд үүний үндсэн дээр тоо хэмжээний бусад шинж чанаруудыг гаргаж авах боломжтой.

V.F-ийн эдгээр дүгнэлтийн шинж чанарууд. Каган найман теорем хэлбэрээр тайлбарлав.

I. A>B харьцаа нь B>A (А<В исключает В<А).

II. Хэрэв A>B бол B<А (если А<В, то В>A).

III. Хэрэв A>B байгаа бол А нь барихгүй.

IV. Хэрэв A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1 байвал A1=An.

V. Хэрэв A1>A2, A2>A3,.., An-1>An байвал A1>An.

VI. Хэрэв A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Хэрэв A=C ба B=C байвал A=B болно.

VIII. Хэрэв тэгш эсвэл тэгш бус байдал A=B, эсвэл A>B, эсвэл A байвал<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B ба A=C, дараа нь C>B гэх мэт).

Харьцуулалтын постулат ба теоремуудыг В.Ф. Каган хэлэхдээ, "тэнцүү", "илүү" ба "бага" гэсэн ойлголтуудын бүх шинж чанарууд нь дууссан бөгөөд эдгээр нь математикт тэдгээртэй холбоотой бөгөөд олонлогийн бие даасан шинж чанараас үл хамааран бидний хэрэглэж буй элементүүдэд хэрэглэгдэх болно. янз бүрийн онцгой тохиолдлууд."

Постулат ба теоремуудад заасан шинж чанарууд нь зөвхөн "тэнцүү", "илүү", "бага" гэсэн утгатай объектуудын шууд шинж чанаруудыг төдийгүй бусад олон шинж чанаруудтай (жишээлбэл, тэдгээр нь хамаарлыг тодорхойлж болно) "өвөг дээдэс - үр удам"). Энэ нь тэдгээрийг тайлбарлахдаа ерөнхий өнцгөөс харж, жишээлбэл, эдгээр постулат, теоремын үүднээс "альфа", "бета", "гамма" гэсэн гурван төрлийн харилцааг авч үзэх боломжийг олгодог (энэ тохиолдолд Эдгээр харилцаа нь постулат ба теоремуудыг хангаж байгаа эсэх, ямар нөхцөлд) тогтоох боломжтой.

Энэ үүднээс авч үзвэл, жишээлбэл, хатуулаг (илүү хатуу, илүү зөөлөн, ижил хатуулаг), цаг хугацааны үйл явдлын дараалал (дараах, өмнөх, нэгэн зэрэг) гэх мэт зүйлсийн шинж чанарыг авч үзэж болно. Эдгээр бүх тохиолдолд "альфа", "бета", "гамма" гэсэн харьцаанууд нь өөрийн гэсэн тайлбарыг хүлээн авдаг. Эдгээр харилцааг агуулсан биетүүдийн багцыг сонгох, мөн "альфа", "бета", "гамма" -ыг тодорхойлох шинж тэмдгүүдийг тодорхойлохтой холбоотой ажил бол харьцуулах шалгуурыг тодорхойлох ажил юм. өгөгдсөн цогц биед (практикт зарим тохиолдолд үүнийг шийдвэрлэхэд амаргүй байдаг). "Харьцуулах шалгуурыг бий болгосноор бид олныг хэмжээ болгон хувиргадаг" гэж В.Ф. Каган. Бодит объектуудыг янз бүрийн шалгуурын үүднээс харж болно. Тиймээс бүлэг хүмүүсийг түүний гишүүн бүрийн төрсөн мөчүүдийн дараалал гэх мэт шалгуурын дагуу авч үзэж болно. Өөр нэг шалгуур бол эдгээр хүмүүсийн толгойг нэг хэвтээ хавтгайд зэрэгцүүлэн байрлуулсан тохиолдолд авах харьцангуй байрлал юм. Аль ч тохиолдолд бүлгийг нас, өндөр гэх мэт харгалзах нэртэй тоо хэмжээ болгон хувиргана. Практикт хэмжигдэхүүн нь ихэвчлэн элементүүдийн багцыг биш, харин харьцуулах шалгуурыг (хэмжигдэхүүний нэр) ялгах зорилгоор нэвтрүүлсэн шинэ ойлголтыг илэрхийлдэг. "Эзэлхүүн", "жин", "цахилгаан хүчдэл" гэх мэт ойлголтууд ингэж үүсдэг. "Үүний зэрэгцээ математикчийн хувьд олон элемент, харьцуулах шалгуурыг зааж өгсөн тохиолдолд утга нь бүрэн тодорхойлогддог" гэж В.Ф. Каган.

Энэхүү зохиолч нь байгалийн тоон цувааг математик хэмжигдэхүүний хамгийн чухал жишээ гэж үздэг. Цуврал дахь тоонуудын эзлэх байр суурь (тэдгээр нь нэг байр эзэлдэг, дараах ..., өмнө нь байдаг) зэрэг харьцуулах шалгуурын үүднээс авч үзвэл энэ цуврал нь постулатуудыг хангаж байгаа тул хэмжигдэхүүнийг илэрхийлдэг. Харгалзах харьцуулалтын шалгуурын дагуу фракцын багцыг мөн хэмжигдэхүүн болгон хувиргадаг. Энэ нь В.Ф. Каган, бүх математикийн үндэс суурийг тавихад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг тоо хэмжээний онолын агуулга.

Хэмжигдэхүүнтэй ажиллахдаа (тэдгээрийн утгыг үсгээр бичихийг зөвлөж байна) та хувиргалтын нарийн төвөгтэй системийг хийж, тэдгээрийн шинж чанаруудын хамаарлыг тогтоох, тэгш байдлаас тэгш бус байдал руу шилжих, нэмэх (ба хасах) хийх, нэмэх үед хийж болно. та коммутатив болон ассоциатив шинж чанаруудаар удирдуулж болно. Тэгэхээр, хэрэв A = B харьцаа өгөгдсөн бол асуудлыг "шийдвэрлэх" үед та B = A хамаарлыг удирдаж болно. Өөр нэг тохиолдолд A>B, B=C хамаарал байвал A>C гэж дүгнэж болно. a>b-ийн хувьд a=b+c гэсэн c байдаг тул a ба b (a-b=c) гэх мэт ялгааг олж болно.

Эдгээр бүх өөрчлөлтийг харьцуулах шалгуур, сонгосон харилцааг харьцуулах постулатуудтай нийцүүлэх замаар физик биетүүд болон бусад объектууд дээр хийж болно.

Дээрх материалууд нь байгалийн болон бодит тоо хоёулаа хэмжигдэхүүнүүд болон тэдгээрийн зарим чухал шинж чанаруудтай адил хүчтэй холбоотой гэж дүгнэх боломжийг бидэнд олгодог. Хэмжигдэхүүний харьцааг дүрслэх тоон хэлбэрийг нэвтрүүлэхээс өмнө эдгээр болон бусад шинж чанаруудыг хүүхдэд зориулсан тусгай судалгааны сэдэв болгох боломжтой юу? Эдгээр нь тоо, түүний янз бүрийн төрлүүдийг, ялангуяа бутархайн пропедевтик, координатын тухай ойлголт, функц болон бусад ойлголтыг бага ангид нарийвчлан нэвтрүүлэх урьдчилсан нөхцөл болж чадна.

Энэ эхний хэсгийн агуулга юу байж болох вэ? Энэ бол физик объектуудтай танилцах, тэдгээрийг харьцуулах шалгуур, хэмжигдэхүүнийг математикийн авч үзэх сэдэв болгон тодруулах, харьцуулах арга, түүний үр дүнг бүртгэх бэлгэдлийн хэрэгсэл, хэмжигдэхүүний ерөнхий шинж чанарыг шинжлэх арга техниктэй танилцах явдал юм. Энэ агуулгыг харьцангуй нарийвчилсан сургалтын хөтөлбөр болгон боловсруулж, хамгийн чухал нь энэ агуулгыг эзэмшиж чадах хүүхдийн үйлдлүүдтэй (мэдээж зохих хэлбэрээр) холбох шаардлагатай. Үүний зэрэгцээ 7 настай хүүхдүүд энэ хөтөлбөрийг эзэмшиж чадах эсэх, арифметик, анхан шатны алгебрийг ойртуулах чиглэлээр бага ангид математикийн хичээлийг дараа нь заахад нэвтрүүлэх нь ямар боломж байгааг туршилтаар тогтоох шаардлагатай байна. хамтдаа.

Өнөөг хүртэл бидний үндэслэл нь онолын шинж чанартай байсан бөгөөд хүүхдүүдэд алгебрийн үндсэн ойлголтуудыг (тоонуудын тусгай танилцуулгаас өмнө) танилцуулах хичээлийн ийм эхний хэсгийг бий болгох математикийн урьдчилсан нөхцөлийг тодруулахад чиглэв. Хэмжээг тодорхойлдог үндсэн шинж чанаруудыг дээр дурдсан болно. Мэдээжийн хэрэг, 7 настай хүүхдүүд эдгээр шинж чанаруудын талаар "лекц" унших нь утгагүй юм.

Хүүхдийн дидактик материалтай ажиллах хэлбэрийг хайж олох шаардлагатай байсан бөгөөд ингэснээр тэд нэг талаас эргэн тойрныхоо эд зүйлсийн эдгээр шинж чанаруудыг тодорхойлж, нөгөө талаас тэдгээрийг тодорхой тэмдэгтээр засаж сурах, математикийн анхан шатны судалгаа хийх боломжтой байв. тодорхойлсон харилцаанд дүн шинжилгээ хийх.

Үүнтэй холбогдуулан хөтөлбөр нь нэгдүгээрт, эзэмших ёстой тухайн сэдвийн шинж чанаруудын заалт, хоёрдугаарт, дидактик материалын тодорхойлолт, гуравдугаарт, энэ нь сэтгэлзүйн үүднээс авч үзвэл гол шинж чанар юм. Хүүхэд тухайн объектын тодорхой шинж чанарыг тодорхойлж, тэдгээрийг эзэмшдэг үйлдлүүд. Эдгээр "бүрэлдэхүүн" нь сургалтын хөтөлбөрийг жинхэнэ утгаараа бүрдүүлдэг. Сургалтын үйл явц болон түүний үр дүнг тайлбарлахдаа энэхүү таамаглалын хөтөлбөр болон түүний "бүрэлдэхүүн"-ийн онцлог шинж чанаруудыг танилцуулах нь утга учиртай юм.

Энэ хөтөлбөрийн тойм болон гол сэдвүүдийг энд оруулав.

Сэдэв I. Объектуудыг тэгшлэх, дуусгах (урт, эзэлхүүн, жин, эд ангиудын найрлага болон бусад үзүүлэлтээр).

Түвшин тогтоох, олж авах практик даалгавар. Ижил объектуудыг тэгшитгэх эсвэл дуусгах боломжтой шинж чанаруудыг (шалгуур) тодорхойлох. Эдгээр шинж чанаруудын аман тэмдэглэгээ ("уртаар", жингээр" гэх мэт).

Эдгээр ажлуудыг дидактик материалтай (бар, жин гэх мэт) ажиллах явцад дараахь байдлаар шийддэг.

"Ижил" зүйлийг сонгох,

Сонгосон (заасан) параметрийн дагуу "ижил" объектыг хуулбарлах (барилга барих).

Сэдэв II. Объектуудыг харьцуулж, тэгш бус байдлын томъёог ашиглан үр дүнг засах.

1. Объектуудыг харьцуулах, энэ үйлдлийн үр дүнг бэлгэдлээр илэрхийлэх даалгавар.

2. Харьцуулалтын үр дүнг амаар бүртгэх ("илүү", "бага", "тэнцүү" гэсэн нэр томъёо). Бичсэн тэмдэгтүүд ">", "<", "=".

3. Харьцуулалтын үр дүнг зургийн хамт заана ("хуулбарлах", дараа нь "хийсвэр" - шугам).

4. Үсгээр харьцуулсан объектуудын тэмдэглэгээ. Томьёог ашиглан харьцуулсан үр дүнг бүртгэх: A=B; А<Б, А>B. Сонгосон параметрийн дагуу (жин, эзэлхүүн гэх мэт) объектын шууд өгөгдсөн тодорхой утгыг засах тэмдэг болох үсэг.

5. Харьцуулалтын үр дүнг янз бүрийн томъёо ашиглан засах боломжгүй. Өгөгдсөн үр дүнд тодорхой томъёог сонгох (их - бага - тэнцүү харьцааг бүрэн салгах).

III сэдэв. Тэгш ба тэгш бус байдлын шинж чанарууд.

1. Тэгш байдлын урвуу, рефлекс (хэрэв A=B бол B=A; A=A).

2. Харьцуулж буй талуудын “орлуулах” үед тэгш бус байдлын “илүү” ба “бага” харилцааны хоорондын хамаарал (хэрэв A>B бол В)<А и т.п.).

3. Дамжуулагч нь тэгш ба тэгш бус байдлын өмч болох:

Хэрэв A=B, хэрэв A>B, хэрэв А бол<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

дараа нь A=B; дараа нь A>B; дараа нь А<В.

4. Сэдвийн дидактик материалтай ажиллахаас зөвхөн үгийн томьёо байгаа тохиолдолд тэгш байдал ба тэгш бус байдлын шинж чанарыг үнэлэх рүү шилжих. Эдгээр шинж чанаруудын талаархи мэдлэг шаардсан янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх (жишээлбэл, A>B, B=C гэсэн төрлийн харилцааны холболттой холбоотой асуудлуудыг шийдвэрлэх; A ба C хоорондын хамаарлыг олох).

IV сэдэв. Нэмэх (хасах) үйлдэл.

1. Нэг буюу өөр параметрийн дагуу объектын өөрчлөлтийг ажиглах (эзэлхүүн, жин, үргэлжлэх хугацаа гэх мэт). "+" ба "-" (нэмэх, хасах) тэмдгээр нэмэгдэж, буурах дүрслэл.

2. Урьд нь тогтоосон тэгш байдлыг зөрчиж, түүний аль нэг талдаа зохих өөрчлөлт орсон. Тэгш эрхээс тэгш бус байдал руу шилжих үе. Томъёо бичих:

хэрэв A=B бол A=B бол

дараа нь A+K>B; дараа нь A-K<Б.

3. Шинэ тэгш байдалд шилжих аргууд (түүний "сэргээх" зарчмын дагуу:

"тэнцүү" -ийг "тэнцүү" гэж нэмэх нь "тэнцүү" гэсэн үг юм).

Ийм томъёогоор ажиллах:

дараа нь A+K>B, гэхдээ A+K=B+K.

4. Тэгш байдлаас тэгш бус байдал руу шилжих, буцах үед нэмэх (хасах) ашиглах шаардлагатай төрөл бүрийн бодлогуудыг шийдвэрлэх.

Сэдэв V. А хэлбэрийн тэгш бус байдлаас шилжих<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Ийм шилжилтийг шаарддаг даалгаварууд. Харьцуулсан объектуудын ялгаатай хэмжигдэхүүний утгыг тодорхойлох хэрэгцээ. Энэ хэмжигдэхүүний тодорхой утга тодорхойгүй үед тэгш байдлыг бичих чадвар. x (x) ашиглах арга.

Томъёо бичих:

хэрэв А<Б, если А>Б,

дараа нь A+x=B; дараа нь A-x=B.

2. x-ийн утгыг тодорхойлох. Энэ утгыг томьёонд орлуулах (хаалтны оршил). Томьёо бичнэ үү

3. Заасан үйлдлүүдийг гүйцэтгэх шаардлагатай асуудлуудыг шийдвэрлэх (үүнд "зураг-текст").

Сэдэв Vl. Тэнцүү-тэгш бус байдлын нэмэх-хасах. Орлуулах.

1. Тэнцүү-тэгш бус байдлын нэмэх-хасах:

хэрэв A=B бол A>B бол A>B

мөн M=D, мөн K>E, мөн B=G, дараа нь A+M=B+D; дараа нь A+K>B+E; дараа нь A+-B>C+-G.

2. Хэмжигдэхүүний утгыг хэд хэдэн утгын нийлбэрээр илэрхийлэх чадвар. Төрөл орлуулах:

3. Ажлын явцад хүүхдүүдийн танил болсон харилцааны шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх (олон даалгавар нь хэд хэдэн шинж чанарыг нэгэн зэрэг харгалзан үзэх, томъёоны утгыг үнэлэх оюун ухаан шаарддаг; асуудал, шийдлийн тайлбарыг доор өгөв. ).

Энэ бол 3.5 - 4 сарын хугацаатай хөтөлбөр юм. оны эхний хагас. Туршилтын сургалтын туршлагаас харахад хичээлийг зөв төлөвлөж, заах арга барилыг сайжруулж, дидактик хэрэглэгдэхүүнийг амжилттай сонгосноор хөтөлбөрт оруулсан бүх материалыг хүүхдэд богино хугацаанд (3 сарын дотор) бүрэн шингээж авах боломжтой. . Манай хөтөлбөр цаашид хэрхэн өрнөж байна вэ? Юуны өмнө хүүхдүүд объектыг бүхэлд нь (тасралтгүй эсвэл салангид объектоор илэрхийлсэн ижил хэмжигдэхүүн) түүний хэсэгтэй хамаарлыг илэрхийлдэг тоог олж авах аргыг мэддэг. Энэ харьцаа өөрөө болон түүний тодорхой утгыг A/K = n томъёогоор дүрсэлсэн бөгөөд энд n нь аливаа бүхэл тоо бөгөөд ихэнхдээ хамгийн ойрын "нэгж"-ийн харьцааг илэрхийлдэг (зөвхөн материалын тусгай сонголтоор эсвэл зөвхөн "чанарын" тооллогоор" бие даасан зүйлс нь туйлын яг бүхэл тоог авч болно). Хэмжих, тоолох үед үлдэгдэл гарч болзошгүй гэдгийг хүүхдүүд анхнаасаа "албадан" санаж байх ёстой бөгөөд энэ нь байгаа эсэхийг тусгайлан зааж өгөх ёстой. Энэ нь бутархайтай дараагийн ажлын эхний алхам юм. Тоо олж авах ийм хэлбэрийн тусламжтайгаар хүүхдүүдийг A = 5k (харьцаа нь "5"-тай тэнцүү байсан бол) томьёотой объектыг дүрслэхэд хүргэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Эхний томъёоны хамт энэ нь объект, суурь (хэмжих) ба тоолох үр дүн (хэмжилт) хоорондын хамаарлыг тусгайлан судлах боломжийг нээж өгдөг бөгөөд энэ нь бутархай тоо (ялангуяа) руу шилжих пропедевтик болж өгдөг. , бутархайн үндсэн шинж чанарыг ойлгоход зориулагдсан). Нэгдүгээр ангид хэрэгжсэн хөтөлбөр боловсруулах өөр нэг чиглэл бол тоон (тэгш бус байдлын салгах, шилжилт, урвуу чанар) үндсэн шинж чанаруудыг тоо (бүхэл тоо) руу шилжүүлэх, нэмэх үйлдлүүд (шилжүүлэх, ассоциатив байдал, монотон байдал, хасах боломж). Ялангуяа, тооны шугам дээр ажилласнаар хүүхдүүд тоонуудын дарааллыг хурдан утга болгон хувиргаж чаддаг (жишээлбэл, 3-р хэлбэрийн тэмдэглэгээ хийх замаар тэдгээрийн шилжилтийг тодорхой үнэлдэг).<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

Тэгш байдлын "бүтцийн" гэж нэрлэгддэг зарим шинж чанаруудтай танилцах нь хүүхдүүдэд нэмэх, хасах үйл ажиллагааны хоорондын холбоог өөрөөр хандах боломжийг олгодог. Тиймээс тэгш бус байдлаас тэгш байдал руу шилжих үед дараахь өөрчлөлтүүд хийгддэг: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; 8+1-4...6+3-2 томъёоны зүүн ба баруун талуудын хамаарлыг ол; тэгш бус тохиолдолд энэ илэрхийллийг тэгш байдалд хүргэнэ (эхлээд та "бага" тэмдэг тавьж, дараа нь зүүн талд "хоёр" нэмэх хэрэгтэй).

Тиймээс тооны цувааг хэмжигдэхүүн гэж үзэх нь нэмэх, хасах (дараа нь үржүүлэх, хуваах) ур чадварыг шинэ аргаар томъёолох боломжийг олгодог.

2.1 Ерөнхий боловсролын сургуулийн хэрэгцээ шаардлагад нийцүүлэн бага ангид заах

Та бүхний мэдэж байгаагаар 5-р ангид математикийн хичээлийг судлахдаа бага сургуульд хүүхдүүдийн сурах ёстой байсан зүйлийг давтахад ихээхэн цаг зарцуулдаг. Одоо байгаа бараг бүх сурах бичгүүдэд ийм давталт нь 1.5 хичээлийн улирал болдог. Ийм нөхцөл байдал тохиолдлоор үүсээгүй. Үүний шалтгаан нь ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн багш нар бага анги төгсөгчдийн бэлтгэлд сэтгэл дундуур байгаатай холбоотой. Энэ нөхцөл байдлын шалтгаан юу вэ? Үүний тулд бага ангийн хамгийн алдартай таван математикийн сурах бичгүүдэд дүн шинжилгээ хийлээ. Эдгээр нь М.И.-ийн сурах бичиг юм. Моро, I.I. Аргинская, Н.Б. Истомина, Л.Г. Петерсон, , , .

Эдгээр сурах бичгүүдэд дүн шинжилгээ хийх нь тус бүрт их бага хэмжээгээр илэрч, цаашдын суралцахад сөргөөр нөлөөлж буй хэд хэдэн сөрөг талуудыг илрүүлсэн. Юуны өмнө, тэдгээрийн доторх материалыг шингээх нь ихэвчлэн цээжлэх дээр суурилдаг. Үүний тод жишээ бол үржүүлэх хүснэгтийг цээжлэх явдал юм. Бага сургуульд үүнийг цээжлэхэд маш их хүчин чармайлт, цаг зарцуулдаг. Гэвч зуны амралтаар хүүхдүүд түүнийг мартдаг. Ингэж хурдан мартаж байгаагийн шалтгаан нь цээжээр сурах явдал юм. Л.С. Выготский утга учиртай цээжлэх нь механик цээжлэхээс хамаагүй илүү үр дүнтэй болохыг харуулсан бөгөөд дараагийн туршилтууд нь зөвхөн энэ материалд тохирсон ажлын үр дүнд санаж байвал урт хугацааны санах ойд ордог гэдгийг баттай нотолж байна.

Үржүүлэх хүснэгтийг үр дүнтэй эзэмших аргыг 50-иад оны үед олжээ. Энэ нь хүүхдүүд өөрсдөө үржүүлэх хүснэгтийг хийдэг дасгалын тодорхой системийг зохион байгуулахаас бүрдэнэ. Гэсэн хэдий ч хянан үзсэн сурах бичигт энэ аргыг хэрэгжүүлээгүй байна.

Цаашдын боловсролд нөлөөлж буй өөр нэг сөрөг зүйл бол ихэнх тохиолдолд бага сургуулийн математикийн сурах бичигт материалыг танилцуулах нь ирээдүйд хүүхдүүдийг давтан сургах шаардлагатай бүтэцтэй байдаг бөгөөд энэ нь бидний мэдэж байгаагаар хамаагүй хэцүү байдаг. заахаас илүү. Алгебрийн материалыг судлахтай холбоотой жишээ нь бага сургуульд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явдал юм. Бүх сурах бичигт тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь үйлдлийн үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олох дүрэмд суурилдаг.

Үүнийг зөвхөн Л.Г-ын сурах бичигт арай өөрөөр хийсэн болно. Петерсон, жишээлбэл, үржүүлэх, хуваах тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь тэгшитгэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэгш өнцөгтийн тал ба талбайтай уялдуулахад суурилдаг бөгөөд эцэст нь дүрэмд хүрдэг боловч эдгээр нь тал эсвэл талбайг олох дүрэм юм. тэгш өнцөгт. Үүний зэрэгцээ, 6-р ангиасаа эхлэн хүүхдүүдэд ижил хувиргалт дээр суурилсан тэгшитгэлийг шийдэх огт өөр зарчмыг заадаг. Дахин суралцах ийм хэрэгцээ нь ихэнх хүүхдүүдэд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь нэлээд хэцүү ажил болоход хүргэдэг.

Сурах бичгүүдэд дүн шинжилгээ хийх явцад бид тэдгээрт материалыг танилцуулахдаа ихэвчлэн ойлголтыг гажуудуулдаг болохыг олж мэдсэн. Жишээлбэл, олон тодорхойлолтын томъёолол нь үр дагавар хэлбэрээр өгөгддөг бол аливаа тодорхойлолт нь эквивалент гэдгийг математик логикоос мэддэг. Жишээ болгон бид I.I.-ийн сурах бичгээс үржүүлэхийн тодорхойлолтыг дурдаж болно. Аргинская: "Хэрэв нийлбэр дэх бүх нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү бол нэмэхийг өөр үйлдлээр сольж болно - үржүүлэх." (Нийлбэрт байгаа бүх нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү байна. Тиймээс нэмэхийг үржүүлэх замаар орлуулж болно.) Таны харж байгаагаар энэ нь цэвэр хэлбэрээрээ далд утга юм. Энэхүү томъёолол нь математикийн үүднээс бичиг үсэг тайлагдаагүй төдийгүй хүүхдүүдэд тодорхойлолт гэж юу болох тухай ойлголтыг буруу бий болгоод зогсохгүй, ирээдүйд, тухайлбал, бүтээх үед маш их хор хөнөөлтэй байдаг. үржүүлэх хүснэгт, сурах бичгийн зохиогчид танилцуулсан томъёолол зөвшөөрөхгүй ижил нэр томъёоны нийлбэрээр бүтээгдэхүүнийг орлуулах ашиглаж байна. Даатгал хэлбэрээр бичсэн мэдэгдлүүдтэй ийм буруу ажил хийх нь хүүхдүүдэд буруу хэвшмэл ойлголтыг бий болгодог бөгөөд энэ нь геометрийн хичээлд ихээхэн бэрхшээлтэй тулгардаг бөгөөд хүүхдүүд шууд ба эсрэг заалт, дүрсийн тэмдэг, дүрсийн хоорондох ялгааг мэдрэхгүй байх болно. түүний өмч. Зөвхөн шууд теорем нь батлагдсан байхад бодлого бодохдоо урвуу теорем ашиглах алдаа маш түгээмэл байдаг.

Буруу ойлголт бий болсон өөр нэг жишээ бол үгийн тэгш байдлын харьцаатай ажиллах явдал юм. Жишээлбэл, бүх сурах бичигт тоог нэгээр, тоог тэгээр үржүүлэх дүрмийг үсэг хэлбэрээр өгсөн болно: a x 1 = a, a x 0 = 0. Мэдэгдэж байгаагаар тэгш байдлын хамаарал нь тэгш хэмтэй, тиймээс ийм Тэмдэглэгээ нь 1-ээр үржүүлснээр ижил тоо гарахаас гадна дурын тоог энэ тоо ба нэгийн үржвэр болгон төлөөлж болно. Гэсэн хэдий ч захидлын дараа сурах бичигт санал болгосон аман томъёолол нь зөвхөн эхний боломжийн тухай өгүүлдэг.

Энэ сэдвээр хийсэн дасгалууд нь зөвхөн тооны үржвэр, нэгийг энэ тоогоор солих дасгал хийхэд чиглэгддэг. Энэ бүхэн нь маш чухал зүйл бол хүүхдийн ухамсрын сэдэв болж хувирдаггүйд хүргэдэг: дурын тоог бүтээгдэхүүн хэлбэрээр бичиж болох бөгөөд энэ нь алгебрийн хувьд олон гишүүнттэй ажиллахад холбогдох бэрхшээлийг үүсгэдэг. Хүүхдүүд зарчмын хувьд тэгш байдлын харьцаатай хэрхэн зөв ажиллахаа мэддэггүй. Жишээлбэл, квадратуудын томьёоны зөрүүтэй ажиллахдаа хүүхдүүд дүрмээр бол квадратуудын зөрүүг хүчин зүйл болгох ажлыг даван туулдаг. Гэсэн хэдий ч эсрэг үйлдэл хийх шаардлагатай ажлууд нь олон тохиолдолд хүндрэл учруулдаг. Энэ санааны өөр нэг гайхалтай жишээ бол нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын хуультай ажил юм. Энд мөн хуулийн захидал бичсэн ч гэсэн аман томъёолол, дасгалын систем нь зөвхөн хаалт нээх чадварыг сургадаг. Үүний үр дүнд нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах нь ирээдүйд ихээхэн хүндрэл учруулах болно.

Ихэнхдээ бага сургуульд тодорхойлолт, дүрмийг зөв томъёолсон байсан ч тэдгээрт биш, харин огт өөр зүйлд тулгуурлан суралцахыг өдөөдөг. Жишээлбэл, үржүүлгийн хүснэгтийг 2-оор судлахдаа хянаж үзсэн бүх сурах бичгүүдэд үүнийг хэрхэн яаж бүтээхийг харуулсан болно. Сурах бичигт M.I. Моро үүнийг ингэж хийсэн:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Энэхүү ажлын аргын тусламжтайгаар хүүхдүүд үүссэн тооны цувралын хэв маягийг маш хурдан анзаарах болно.

3-4 тэнцүү болсны дараа тэд хоёрыг нэмэхээ больж, ажиглагдсан загвар дээр үндэслэн үр дүнг бичиж эхэлнэ. Тиймээс үржүүлэх хүснэгтийг бүтээх арга нь тэдний ухамсрын сэдэв болж чадахгүй бөгөөд энэ нь түүнийг эмзэг шингээхэд хүргэдэг.

Бага сургуульд материалыг судлахдаа объектив үйлдэл, дүрслэлийн тодорхой байдалд тулгуурладаг бөгөөд энэ нь эмпирик сэтгэлгээг бий болгоход хүргэдэг. Мэдээжийн хэрэг, бага сургуульд ийм харагдах байдалгүйгээр хийх боломжгүй юм. Гэхдээ энэ нь үзэл баримтлалыг бий болгох үндэс биш харин зөвхөн энэ эсвэл тэр баримтыг дүрслэн харуулах ёстой.

Сурах бичигт тайлбарласан тодорхой, бодитой үйлдлүүдийг ашиглах нь ихэвчлэн ойлголтыг "бүдгэрүүлэх" байдалд хүргэдэг. Жишээлбэл, 1-3-р ангийн математикийн аргад М.И. Моро хэлэхдээ, хүүхдүүд 30 хичээлийн турш объектуудыг овоолон байрлуулах эсвэл зураг зурах замаар хуваах ёстой. Ийм үйлдэл нь үржүүлэх урвуу үйлдэл болох хуваах үйлдлийн мөн чанарыг алддаг. Үүний үр дүнд хуваах нь хамгийн хэцүү бөгөөд бусад арифметик үйлдлүүдээс хамаагүй муу юм.

Бага ангид математикийн хичээл заахдаа ямар нэгэн мэдэгдлийг батлах тухай яриа байдаггүй. Үүний зэрэгцээ, ахлах сургуульд нотлох баримт заахад хичнээн хэцүү болохыг санаж, бага ангиасаа үүнийг бэлдэж эхлэх хэрэгтэй. Түүнээс гадна, үүнийг бага насны сургуулийн сурагчдад хүртээмжтэй материал дээр хийж болно. Ийм материал нь жишээлбэл, тоог 1-д, тэгийг тоонд, тоог өөрөө хуваах дүрэм байж болно. Хүүхдүүд хуваах тодорхойлолт, үржүүлэх дүрмийг ашиглан тэдгээрийг нотлох чадвартай байдаг.

Бага сургуулийн материал нь мөн алгебрийн пропедевтикийг - үсэг, үсгийн илэрхийлэлтэй ажиллах боломжийг олгодог. Ихэнх сурах бичиг үсэг хэрэглэхээс зайлсхийдэг. Үүний үр дүнд хүүхдүүд дөрвөн жилийн турш бараг зөвхөн тоогоор ажилладаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг тэднийг үсэгтэй ажиллахад дасгахад маш хэцүү байдаг.

Гэсэн хэдий ч ийм ажилд пропедевтик өгөх, хүүхдүүдэд аль хэдийн бага сургуульд байхдаа үсгийн оронд тоог үсгийн илэрхийлэл болгон орлуулахыг заах боломжтой. Үүнийг жишээ нь, Л.Г-ийн сурах бичигт хийсэн. Петерсон.

Бага сургуульд математик заахдаа цаашдын суралцахад саад болж буй дутагдлуудын талаар ярихад сурах бичигт байгаа материалыг ирээдүйд хэрхэн ажиллахыг харалгүйгээр ихэвчлэн танилцуулж байгааг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний тод жишээ бол 10, 100, 1000 гэх мэт үржүүлгийг сурах зохион байгуулалт юм. Хянсан бүх сурах бичгүүдэд энэ материалын танилцуулга нь хүүхдийн оюун санаанд "Тоог 10, 100, 1000 гэх мэтээр үржүүлэхийн тулд танд хэрэгтэй" гэсэн дүрмийг бий болгохын тулд бүтэцлэгдсэн байдаг. 10, 100, 1000 гэх мэт тоонуудын баруун талд аль болох олон тэг нэмэх." Энэ дүрэм нь бага сургуульд маш сайн сурдаг дүрэм журмын нэг юм. Энэ нь аравтын бутархайг бүхэл оронтой тоогоор үржүүлэхэд олон тооны алдаа гарахад хүргэдэг. Шинэ дүрмийг санаж байсан ч хүүхдүүд 10-аар үржүүлэхдээ аравтын бутархайн баруун талд автоматаар тэг нэмдэг.

Нэмж дурдахад, натурал тоог үржүүлэх, аравтын бутархайг бүхэл оронтой нэгжээр үржүүлэхэд үндсэндээ ижил зүйл тохиолддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: тооны цифр бүрийг харгалзах цифрүүдийн тоогоор баруун тийш шилжүүлдэг. Тиймээс хүүхдэд хоёр тусдаа, бүрэн албан ёсны дүрмийг заах нь утгагүй юм. Ижил төстэй асуудлыг шийдвэрлэхэд ерөнхий арга барилыг тэдэнд заах нь илүү ашигтай байдаг.

2.2 Математикийн хичээлийн үзэл баримтлалыг харьцуулах (эсрэгжүүлэх).

Одоогийн хөтөлбөр нь нэгдүгээр ангид зөвхөн эхний түвшний хоёр үйлдлийг судлах боломжийг олгодог - нэмэх, хасах. Сургалтын эхний жилийг зөвхөн хоёр үйлдлээр хязгаарлах нь үндсэндээ одоогийн сурах бичгүүдээс өмнөх сурах бичгүүдэд аль хэдийн хүрсэн зүйлээс холдсон явдал юм: тэр үед нэг ч багш үржүүлэх, хуваах, жишээ нь 20-оос давсан гэж гомдоллож байгаагүй. нэгдүгээр ангийн сурагчдын чадвар. 6 наснаас эхлэн боловсрол олгодог бусад орны сургуулиудад эхний хичээлийн жилд арифметикийн бүх дөрвөн үйлдэлтэй анхан шатны танилцах хичээл ордог нь анхаарал татаж байна.

Математик нь юуны түрүүнд дөрвөн үйлдэл дээр тулгуурладаг бөгөөд тэдгээрийг оюутны сэтгэн бодох дадлагад хэдий чинээ хурдан оруулах тусам математикийн хичээлийн дараагийн хөгжил илүү тогтвортой, найдвартай байх болно.

Шударга байхын тулд М.И.Морогийн I ангийн сурах бичгүүдийн эхний хувилбаруудад үржүүлэх, хуваахыг зааж өгсөн болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч осол энэ асуудалд саад болсон: шинэ програмын зохиогчид нэг "шинэлэг зүйл" -ийг 100 (37+58 ба 95-58 гэх мэт) дотор нэмэх, хасах бүх тохиолдлыг нэгдүгээр зэрэглэлд хамруулсан. Гэсэн хэдий ч ийм том хэмжээний мэдээллийг судлах хангалттай хугацаа байхгүй байсан тул үржүүлэх, хуваах ажлыг дараагийн жил рүү бүрэн шилжүүлэхээр шийдсэн.

Тиймээс, хөтөлбөрийн шугаман шинж чанар, тухайлбал, мэдлэгийг зөвхөн тоон хэлбэрээр өргөжүүлэх (ижил үйлдлүүд, гэхдээ илүү их тоо) нь мэдлэгийг чанарын хувьд гүнзгийрүүлэхэд урьд өмнө хуваарилагдсан цаг хугацаа шаардсан (бүх дөрвөн үйлдлийг дотор нь судлах). хоёр арван). Нэгдүгээр ангид байхдаа үржүүлэх, хуваахыг судлах нь сэтгэлгээний чанарын үсрэлт гэсэн үг юм, учир нь энэ нь бодлын хураангуй үйл явцыг эзэмших боломжийг олгодог.

Уламжлал ёсоор бол 20-ийн дотор нэмэх, хасах үйлдлийг судлах нь урьд өмнө нь тусгай сэдэв байсан бөгөөд мэдлэгийг системчлэхдээ энэ хандлагын хэрэгцээ нь асуултын логик дүн шинжилгээнээс ч харагдаж байна: нэг оронтой тоог нэмэх бүрэн хүснэгт. тоог хоёр аравтын дотор боловсруулдаг (0+1= 1, ...,9+9=18). Тиймээс 20-ийн доторх тоонууд нь дотоод холболтууд дахь харилцааны бүрэн системийг бүрдүүлдэг; Иймээс "Хорин"-ыг хоёр дахь салшгүй сэдэв болгон хадгалах нь зүйтэй гэдэг нь ойлгомжтой (эхний ийм сэдэв нь эхний арав дахь үйлдлүүд).

Хэлэлцэж буй тохиолдол нь яг л төвлөрсөн байдал (хоёр дахь аравыг тусгай сэдэв болгон хадгалах) нь шугаман байдлаас илүү ашигтай (хоёр дахь аравыг "Зуун" сэдэв болгон "уусгах") болж хувирдаг тохиолдол юм.

М.И.Морогийн сурах бичигт эхний аравтын судалгааг хоёр тусгаарлагдсан хэсэгт хуваасан: нэгдүгээрт, эхний арав дахь тоонуудын найрлагыг судалж, дараагийн сэдвийн хүрээнд 10 дахь үйлдлийг авч үзнэ. Туршилтын сурах бичигт П.М. Эрдниева үүнээс ялгаатай нь нэг хэсэгт 10-ын дотор дугаарлалт, тоонуудын найрлага, үйлдлүүдийн (нэмэх, хасах) хамтарсан судалгааг хийсэн. Энэхүү аргын тусламжтайгаар тоонуудын монографийн судалгааг ашигладаг, тухайлбал: авч үзэж буй тоон дотор (жишээлбэл, 3) бүх "бэлэн мөнгөний математик" -ийг нэн даруй ойлгодог: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 2 = 1.

Хэрэв одоогийн хөтөлбөрүүдийн дагуу эхний аравыг судлахад 70 цаг хуваарилагдсан бол туршилтын сургалтын хувьд энэ бүх материалыг 50 цагийн дотор судалсан (мөн хөтөлбөрөөс гадна зарим нэмэлт ойлголтуудыг авч үзсэн болно. тогтвортой сурах бичиг, гэхдээ үндсэн материалтай бүтцийн хувьд холбоотой байсан).

Даалгавруудыг ангилах асуудал, тэдгээрийн төрлүүдийн нэрс нь анхан шатны сургалтын арга зүйд онцгой анхаарал хандуулахыг шаарддаг. Үе үеийн арга зүйчид сургуулийн даалгаврын тогтолцоог боловсронгуй болгох, үр дүнтэй төрөл, сортуудыг бий болгох, сургуульд сурахад зориулагдсан даалгаврын нэр томъёог амжилттай сонгох хүртэл ажилласан. Математикийн хичээлд заах цагийн дор хаяж тал хувь нь тэдгээрийг шийдвэрлэхэд зориулагддаг нь мэдэгдэж байна. Сургуулийн даалгавруудыг системчлэх, ангилах нь гарцаагүй. Ямар төрлийн (төрөл) асуудлыг судлах, хэзээ судлах, тодорхой хэсгийг дамжихтай холбогдуулан ямар төрлийн асуудлыг судлах нь арга зүй, хөтөлбөрийн гол агуулгыг судлах хууль ёсны объект юм. Энэ нөхцөл байдлын ач холбогдол нь математикийн арга зүйн түүхээс тодорхой харагдаж байна.

Дүгнэлт

Одоогийн байдлаар бага сургуулийн математикийн боловсролын зохион байгуулалтыг эрс сайжруулахад нэлээд таатай нөхцөл бүрдэж байна.

1) бага сургуулийг гурван жилийн сургуулиас дөрвөн жилийн сургууль болгон өөрчилсөн;

Үүнтэй төстэй баримт бичиг

Бага сургуулийн математикийн хичээлд түр зуурын төлөөлөл үүсэх онцлог. Бага сургуульд судалсан хэмжигдэхүүний шинж чанар. "Оросын сургууль" боловсролын цогцолборын математикийн анхан шатны сургалтанд түр зуурын төлөөлөл бүрдүүлэх арга зүйтэй танилцах.

2011 оны 12-р сарын 16-нд нэмэгдсэн дипломын ажил


Компьютерийн шинжлэх ухаан, математикийг нэгтгэх нь сургалтын үр нөлөөг нэмэгдүүлэх үндсэн чиглэл юм. Интерактив хичээлд программ хангамж хэрэглэх арга зүй. Ахлах сургуулийн цахим сургалтын математик, компьютерийн ухааны сургалтын хэрэглэгдэхүүний сонголт.

дипломын ажил, 2013 оны 04-р сарын 8-нд нэмэгдсэн


Идэвхтэй сургалтын аргуудын талаархи санаа, тэдгээрийг бага сургуульд ашиглах онцлог. Бага сургуульд математик заах идэвхтэй аргуудыг янз бүрийн үндэслэлээр ангилах. Математик заах интерактив аргууд ба тэдгээрийн давуу тал.

курсын ажил, 2015-02-12 нэмэгдсэн


Суурь сургуулийн математикийн хичээлд магадлал-статистик (стохастик) шугамыг судлах арга зүй. Оюутнуудын материалын талаарх ойлголтод дүн шинжилгээ хийх: сонирхлын зэрэг; хүртээмжийн түвшин; энэ материалыг судлахад бэрхшээлтэй; шингээх чанар.

дипломын ажил, 2008 оны 05-р сарын 28-нд нэмэгдсэн


Бага сургуулийн интерактив сургалтын мөн чанар, зорилтууд. Бага насны хүүхдүүдэд математикийн хичээлд интерактив заах арга, аргачлалын багцыг хэрэгжүүлэх. Сургуулийн сурагчдын бүх нийтийн боловсролын үйл ажиллагааны төлөв байдлын динамикийг тодорхойлох.

дипломын ажил, 2015 оны 02-р сарын 17-нд нэмэгдсэн


Даалгавар дээр ажиллах үйл явц. Асуудлын төрөл, ур чадвар, тэдгээрийг шийдвэрлэх чадварын түвшин. Асуудлыг өөрчлөхийг заах арга зүй. Даалгаврыг өөрчлөх тухай ойлголт. Бага сургуулийн математикийн хичээлд бодлогуудыг заах, өөрчлөх арга.

дипломын ажил, 2008 оны 06-р сарын 11-нд нэмэгдсэн


Бага насны хүүхдүүдийн сэтгэцийн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх арга хэрэгсэл болгон математикийн хичээлд судалгааны даалгавруудыг ашиглах арга; Хөгжлийн дасгалуудыг системчлэх, турших, тэдгээрийг бага сургуульд ашиглах зөвлөмж.

курсын ажил, 2013/02/15 нэмэгдсэн


Ерөнхий боловсролын холбооны улсын боловсролын стандартын дагуу бага сургуульд математикийг судлах онцлог. Хичээлийн агуулга. Математикийн үндсэн ойлголтуудын шинжилгээ. Дидактик дахь хувь хүний ​​хандлагын мөн чанар.

курсын ажил, 2016-09-29 нэмэгдсэн


Математик бол бага сургуульд судалдаг хамгийн хийсвэр шинжлэх ухааны нэг юм. 4-р ангийн математикийн хичээлд түүхэн материалыг ашиглах онцлогтой танилцах. Сургуулийн сурагчдын танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх үндсэн асуудлын дүн шинжилгээ.

дипломын ажил, 2015 оны 07-р сарын 10-нд нэмэгдсэн


Бага сургуульд логик асуудлыг судлах сэтгэл зүй, сурган хүмүүжүүлэх үндэслэлийг авч үзэх. Холбооны улсын боловсролын стандартын шаардлагын үүднээс бага сургуулийн математикийн хичээлд логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх онцлог.