Düşük frekanslı rastgele bir sürecin modellenmesi. Stokastik modelleme tekniği

Modelleme rastgele süreçler- Modern matematiksel modellemenin en güçlü yönü.

Bir olay güvenilir bir şekilde tahmin edilemiyorsa rastgele olarak adlandırılır. Rastgelelik dünyamızı kuşatır ve çoğu zaman hayatımızda olumsuz bir rol oynar. Ancak rastgeleliğin faydalı olabileceği durumlar da vardır. Karmaşık hesaplamalarda, istenilen sonucun birçok faktör, model ve ölçümün sonuçlarına bağlı olduğu durumlarda, rastgele değerler kullanılarak hesaplama miktarının azaltılması mümkündür. önemli rakamlar.

Olasılıksal modellemede problemlerin çözümüne olanak sağlayan çeşitli yöntemler kullanılmaktadır. çeşitli alanlar. Olasılıksal yöntemlerin uygulama alanları aşağıda listelenmiştir.

İstatistiksel modelleme yöntemi: matematiksel fiziğin sınır değeri problemlerini çözme, doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme, matris ters çevirme ve bunlara indirgenen sistemleri çözmek için ızgara yöntemleri diferansiyel denklemler, çoklu integrallerin hesaplanması, integral denklemlerin çözümü, problemler nükleer fizik, gaz dinamiği, filtrasyon, ısı mühendisliği.

Simülasyon yöntemi: sistem modelleme sıraya girme, otomatik kontrol sistemlerinin görevleri, otomatik kontrol sistemleri ve süreç kontrol sistemleri, bilgi güvenliği sorunları, karmaşık oyun durumlarının modellenmesi ve dinamik sistemler.

Stokastik yaklaşım yöntemi: istatistiksel tahmin problemlerini çözmek için tekrarlayan algoritmalar.

Rastgele arama yöntemi: Çok sayıda parametreye bağlı sistemler için optimizasyon problemlerinin çözülmesi, çok sayıda değişkenin bir fonksiyonunun ekstremumlarının bulunması.

Diğer yöntemler: olasılıklı örüntü tanıma yöntemleri, adaptasyon modelleri, eğitim ve kendi kendine öğrenme.

Bilgisayarlı matematiksel modelleme rastgele işlemler sözde kümeler olmadan yapılamaz. rastgele sayılar, verilen dağıtım yasasını karşılıyor. Aslında bu sayılar bir bilgisayar tarafından belirli bir algoritma kullanılarak üretilir; tamamen rastgele değiller, çünkü program aynı parametrelerle yeniden başlatıldığında sıra tekrarlanacak; bu tür sayılara "sözde rastgele" denir.

Çok talepkar olmayan bir kullanıcı için, çoğu programlama dilinde yerleşik olarak bulunan rastgele sayı sensörünün (üretici) yetenekleri genellikle yeterlidir. Yani Pascal dilinde, değerleri aralıktaki rastgele sayılar olan rastgele bir fonksiyon vardır. Kullanımından önce genellikle sensörün başlangıçta "kurulmasına" hizmet eden rastgele prosedür kullanılır; sensöre yapılan her çağrı için farklı rastgele sayı dizilerinin alınması. Çözümü çok uzun, ilişkisiz diziler gerektiren problemlerde sorun daha karmaşık hale gelir ve standart dışı çözümler gerektirir.

1. Üretim sistemlerinin simülasyon modellemesinin özellikleri

Çok karmaşık, çeşitli, kapsamlı bir matematiksel açıklamaya sahip olmayan ve aynı zamanda çeşitli tasarım, uygulama ve geliştirme aşamalarından geçen üretim sistemlerini analiz etmek için, ister mantıksal ister sayısal olsun, yeterli matematiksel modeller oluşturmak mümkün değildir. Burada simülasyon modelleme yöntemlerinin kullanılması doğaldır.

Sistem, her bir özel durumun karakteristik üretim parametrelerinin bir dizi değeriyle açık bir şekilde tanımlanabilir. Bu değerler bilgisayara girilirse, hesaplama işlemi sırasında meydana gelen değişiklikler, sistemin bir durumdan diğerine geçişini simüle etmek olarak yorumlanabilir. Bu tür varsayımlar altında simülasyon karakteristik çalışma kurallarına göre bir durumdan diğerine taşınarak sistemin dinamik bir temsili olarak düşünülebilir.

Üretim sistemlerini simüle ederken durumlarındaki değişiklikler zamanın farklı anlarında meydana gelir. Bu durumda sistem simülasyonunun ana konsepti, zaman içinde durumundaki değişiklikleri görüntülemektir. Dolayısıyla burada belirleyici faktör, modellenen sistemin durumlarının tanımlanması ve net bir şekilde tanımlanmasıdır.

Simülasyon modelleri, herhangi bir analitik veya başka işlevsel bağımlılık kullanmadan, aralarında çeşitli bağlantıların bulunduğu heterojen öğelerden oluşan karmaşık nesnelerin görüntülenmesine olanak tanır. Bu modellere insanlar da dahil edilebilir.

Temel zorluklar olmadan, bu tür modeller hem deterministik hem de stokastik akışları (materyal ve bilgi) içerebilir. Simülasyonu kullanarak iş istasyonları, malzeme ve ürün akışları, araçlar ve personel arasındaki ilişkileri görüntüleyebilirsiniz.

Esas olarak uygulamanın genişliği ve çok yönlülüğünden oluşan bu gibi bariz avantajlara rağmen, bu yöntem, bu model kullanılarak elde edilen çözümlerin tam optimizasyon olasılığını dışlayan mantıksal bağlantıların varlığını gözden kaçırmaktadır. Yalnızca görüntülenen seçeneklerden en iyisini seçme olasılığı garanti edilir.

Uygulamada, birçok gerçek durumda simülasyon modellemesi mümkün olan tek araştırma yöntemidir. Bir simülasyon modeli geliştirildikten sonra, üretim sisteminin davranışı hakkında sonuçlar çıkarmaya olanak tanıyan bilgisayar deneyleri gerçekleştirilir.

Bilgisayar simülasyon modelleme yöntemlerinin ortaya çıkması ve geliştirilmesi, gerçek üretimde büyük yer kaplayan rastgele olay ve süreçlerin simüle edilmesini mümkün kılan istatistiksel test yönteminin gelişmesi sonucunda da mümkün olmuştur.

Bir simülasyon modeli derlerken ve onu incelenen nesneyi modellemek için kullanırken birbiriyle ilişkili birçok sorunu çözmek gerekir. Bunlar şunları içerir:

simüle edilmiş sistemin analizi ve sistemin bilgilerinin ve mantıksal yapısının tanımlanması, bileşenlerinin tanımlanması, bu bileşenlerin durumunu karakterize eden parametrelerin seçimi, geliştirme dahil olmak üzere resmileştirilmiş tanımının hazırlanması bilgisayar modeli davranışını yeniden üretebilen, simüle edilmiş sistemdeki olayları yansıtan bir bilgisayar modelinde olayları ortaya çıkarmak için bir deney planlayabilen bir sistem;

rastgele veya sözde rastgele sayıların üretilmesi, çeşitli rastgele olayların simülasyonu, istatistiksel veri işleme dahil olmak üzere bilgisayar istatistiksel deneyleri için bir metodolojinin geliştirilmesi;

Bir bilgisayar üzerinde çalışması sırasında modelin parametrelerinin ve değişkenlerinin yönetilmesi de dahil olmak üzere, bir simülasyon modeli üzerinde gerçek bilgisayar deneyinin gerçekleştirilmesi.

6.1. STOKASTİK MODELLEME TEKNİĞİ

“Rastgele” kavramı hem matematiğin hem de bilimin en temel kavramlarından biridir. günlük yaşam. Rastgele süreçlerin modellenmesi, modern matematiksel modellemenin en güçlü yönüdür.

Bir olay güvenilir bir şekilde tahmin edilemiyorsa rastgele olarak adlandırılır. Rastgelelik dünyamızı çevreliyor ve çoğu zaman oynuyor olumsuz rol hayatlarımızda. Ancak rastgeleliğin faydalı olabileceği durumlar da vardır.

İÇİNDE karmaşık hesaplamalarİstenilen sonuç birçok faktörün, modelin ve ölçümün sonuçlarına bağlı olduğunda hesaplama miktarı şu kadar azaltılabilir: rastgele değerlerönemli rakamlar. Evrim teorisinden, rastlantısallığın kendisini yapıcı olarak gösterdiği sonucu çıkar. pozitif faktör. özellikle, doğal seçilim organizmanın en uygun özelliklerine sahip bireyleri gelişim sürecinde seçerek bir tür deneme yanılma yöntemini uygular. Ayrıca rastgelelik, sonuçların çokluğunda kendini gösterir ve popülasyonun dış ortamdaki değişikliklere tepkisinde esneklik sağlar.

Yukarıdakilere dayanarak, rastgele arama yoluyla deneme yanılma yoluyla bir çözüm elde etme yöntemlerinin temeline rastgeleliği koymak mantıklıdır.

Yukarıda simülasyon modelleme örneğini verdikten sonra - "Hayat" oyununu esasen zaten yaptığımızı belirtelim. stokastik model. Bu bölümde bu tür modellemenin metodolojisini daha ayrıntılı olarak tartışacağız.

Öyleyse, fonksiyonel modeldeki bazı giriş parametrelerinin değerlerinin yalnızca olasılıksal anlamda tanımlanmasına izin verin. Bu durumda modelle çalışma tarzı önemli ölçüde değişir.

Ciddiyetle düşünüldüğünde “olasılık dağılımı”, “güvenilirlik”, “ istatistiksel örnek", "rastgele süreç" vb.

Rastgele süreçlerin bilgisayarla matematiksel modellenmesinde, belirli bir dağılım yasasını karşılayan rastgele sayılar adı verilen kümeler olmadan yapılamaz. Aslında bu sayılar bir bilgisayar tarafından üretiliyor. özel algoritma yani tamamen rastgele değiller, çünkü program aynı parametrelerle yeniden başlatıldığında sıra tekrarlanacak; bu tür sayılara "sözde rastgele" denir.

Öncelikle belirli bir segmentte eşit olasılıkla dağıtılan sayıların oluşumunu ele alalım. Çoğu rastgele sayı üreteci programı, önceki sayının bir sonraki sayıyı bulmak için kullanıldığı bir dizi üretir. Bunlardan ilki başlangıç ​​değeridir. Tüm rasgele sayı üreteçleri, makine sözcüğünün sonlu uzunluğuyla ilişkili olan, dönem adı verilen belirli sayıda terimden sonra tekrar eden diziler üretir. En basit ve en yaygın yöntem, bir sonraki rasgele sayının belirlendiği kalıntı yöntemi veya doğrusal eş yöntemdir. XN"haritalama" ile tanımlanır

Nerede A, İle, M - doğal sayılar, mod - sözde modulo bölme işlevi (bir sayıyı başka bir moduloya bölmenin geri kalanı). Sensörün mümkün olan en büyük periyodu (7.69) şuna eşittir: T; ancak buna bağlıdır A Ve İle. Ne olduğu açık daha uzun süre, daha iyi; ancak gerçekten en iyisi M bilgisayarın bit ızgarasıyla sınırlıdır. Her durumda, kullanılan özel görev Rastgele sayıların örneklemi periyottan daha kısa olmalıdır, aksi takdirde problem yanlış çözülecektir. Jeneratörlerin genellikle ilişkiyi ürettiğini unutmayın. DIV_ADBLOCK304">

Rastgelelik sorusu sonlu dizi sayılar ilk bakışta göründüğünden çok daha karmaşıktır. Rastgeleliğin çeşitli istatistiksel testleri vardır, ancak hepsi kapsamlı bir cevap sağlamaz. Bu nedenle, sıralı olarak oluşturulan sahte rasgele sayılar mükemmel bir şekilde tekdüze görünmeyebilir, ancak gruplar oluşturma (yani korelasyon) eğiliminde olabilir. Tekdüzelik testlerinden biri, segmenti şu şekilde bölmektir: M eşit parçalar - "sepetler" ve her yeni rastgele sayıyı karşılık gelen "sepete" yerleştirmek. Sonuç, her sütunun yüksekliğinin "sepet"teki rastgele sayıların sayısıyla orantılı olduğu bir histogramdır (Şekil 7.54).

Pirinç. 7.54. Yeterince büyük bir örneğe sahip bir segment üzerinde eşit şekilde dağıtılan sayılara ilişkin histogramın görünümü

Açıktır ki ne zaman büyük sayı Testlerde kolonların yüksekliklerinin hemen hemen aynı olması gerekmektedir. Ancak bu kriter gerekli ama yeterli değil; örneğin, çok kısa periyodiklikleri bile "fark etmez". Çok talepkar olmayan bir kullanıcı için, çoğu programlama dilinde yerleşik olarak bulunan rastgele sayı sensörünün (üretici) yetenekleri genellikle yeterlidir. Dolayısıyla, PASCAL'de değerleri aralıktaki rastgele sayılar olan rastgele bir fonksiyon vardır, rastgele bir aralıktan sayılar almak kolaydır [ a, b].

X = a + (b - a)∙r.

Daha karmaşık dağılımlar genellikle düzgün bir dağılım kullanılarak oluşturulur. Burada basit bir geometrik değerlendirmeye dayanan oldukça evrensel bir Neumann yönteminden (genellikle seçme-ret yöntemi olarak da adlandırılır) bahsedeceğiz. Bazı normalleştirilmiş dağılım fonksiyonlarıyla rastgele sayılar üretmenin gerekli olduğunu varsayalım. f(x) aralıkta [ a, b]. Olumlu tanıtalım özel fonksiyon karşılaştırmalar w(X)Öyle ki w(X)= sabit ve w(>F(X) Açık [ a, b] (genellikle w(X) eşittir maksimum değer F(X) Açık [ a, b]). Eğrinin altında kalan alan olduğundan f(x) aralık için eşit [ x, x + dx] isabet olasılığı X Bu aralıkta bir deneme yanılma prosedürü izlenebilir. Dikdörtgende eşit derecede olası koordinatları belirleyen iki rastgele sayı üretiyoruz ABCD düzgün dağıtılmış bir rastgele sayı sensörü kullanarak:

x = a + (b - a)∙r, y = w∙r

ve eğer nokta M(x, y) eğrinin altına düşmüyor f(x), onu atıyoruz ve çarparsa bırakıyoruz (Şekil 7.55). Bu durumda koordinat kümesi X kalan noktaların olasılık yoğunluğuna göre dağıtıldığı ortaya çıkıyor f(x).

Pirinç. 7.55. Seçme-retme yöntemi. İşlev w(X) = F maksimum

Bu yöntem bazı dağıtımlar için en etkili yöntem olmasa da evrensel, basit ve anlaşılırdır. Karşılaştırma fonksiyonu kullanıldığında etkilidir w(X) yakın f(x). Kimsenin bizi almaya zorlamadığını unutmayın w(X)= tüm aralık boyunca sabit [ a, b]. Eğer f(x) hızla düşen “kanatları” varsa, o zaman almak daha akıllıca olur w(X) adım fonksiyonu olarak

6.2. KUYRUK SİSTEMLERİNDE RASTGELE SÜREÇLERİN MODELLENMESİ

Kim sıraya girmedi ve kendisine ayrılan sürede bir satın alma işlemi yapıp yapamayacağını (ya da kirayı ödeyebileceğini, atlıkarıncaya binebileceğini vb.) sabırsızlıkla merak etmedi mi? Veya yardım hattını aramaya çalıştığınızda ve birkaç kez kısa bip sesleriyle karşılaştığınızda sinirleniyor ve ulaşıp ulaşamayacağımı mı değerlendiriyorsunuz? 20. yüzyılın başında bu tür “basit” problemlerden çok zor bilim- olasılık teorisi ve matematiksel istatistik aygıtlarını, diferansiyel denklemleri ve diferansiyel denklemleri kullanan kuyruk teorisi sayısal yöntemler. Kurucusu, telefon santrallerinin işleyişiyle ilgili sorunları inceleyen Danimarkalı bir bilim adamıydı.

Daha sonra ortaya çıktı ki yeni bilim Ekonomiye ve askeri meselelere dair çok sayıda çıkış noktası var. üretim organizasyonu, biyoloji ve ekoloji; Üzerine onlarca kitap, binlerce dergi yazısı yazıldı.

Kuyruk problemlerinin çözümünde bilgisayar modellemesi. kuyruk teorisinde ana yöntem olmasa da, bir istatistiksel test yöntemi (Monte Carlo yöntemi) şeklinde uygulanır, ancak içinde rol oynar önemli rol. Buradaki ana hat, analitik sonuçların elde edilmesi, yani formüllerle sunulmasıdır. Ancak olasılıklar analitik yöntemler istatistiksel test yöntemi evrenseldir ve anlaşılması çok basittir (en azından öyle görünmektedir).

Tipik görev: bir "satıcıya" giden kuyruk. Bu sınıfın en basit problemlerinden birini ele alalım. Müşterilerin rastgele girdiği tek satıcılı bir mağaza var. Satıcı serbest ise hemen alıcıya hizmet etmeye başlar; birden fazla alıcı varsa kuyruk oluşur.

İşte benzer görevler:

Arıza nedeniyle hattan ayrılan motorlu araç filosu ve otobüslerdeki onarım alanı;

Acil servis ve yaralanma nedeniyle randevuya gelen hastalar (yani randevu sistemi olmadan);

Tek girişli (veya tek telefon operatörlü) bir telefon santrali ve giriş meşgul olduğunda sıraya giren aboneler (böyle bir sistem bazen uygulanır);

Sunucu yerel ağ ve iş yerindeki, aynı anda birden fazla mesajı alamayan ve işleyemeyen bir sunucuya mesaj gönderen kişisel bilgisayarlar.

Netlik sağlamak için mağaza, müşteriler ve satıcı hakkında konuşacağız. Burada ortaya çıkan ve hak eden sorunları ele alalım. matematiksel araştırma ve görünüşe göre çok ciddi.

Yani bu problemin girdisi müşterilerin mağazaya gelişindeki rastgele süreçtir. Bu “Markovian”dır, yani herhangi bir ardışık alıcı çiftinin varışları arasındaki aralıklar, bazı yasalara göre dağıtılan bağımsız rastgele olaylardır. Bu kanunun gerçek mahiyeti ancak çok sayıda gözlem yoluyla tespit edilebilir; En basit model olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak, 0'dan bazılarına kadar zaman aralığında eş olasılıklı bir dağılım alabiliriz. T - Ardışık iki müşterinin gelişi arasındaki mümkün olan maksimum aralık. Bu dağılımla iki müşterinin gelişi arasında 1 dakika, 3 dakika veya 8 dakika geçme olasılığı aynıdır (eğer T > 8).

Kısa bilgi

Simülasyon modelleme (Monte Carlo yöntemi) tarafından incelenen rastgele süreçler, özellikle kuyrukların oluşturulması ve bakımıyla ilgili süreçleri (süreçler olarak adlandırılır) içerir. sıraya girme). Bu sınıfın en basit görevi şudur. Tek servis merkezi (tek satış elemanı olan mağaza, araç filosundaki tamir alanı, tek doktorlu acil servis, tek girişli telefon santralı, tek giriş kanallı sunucu vb.) içeren bir kuyruk sistemi bulunmaktadır. Müşteriler sistem hizmetlerine rastgele başvuruyorlar ( verilen fonksiyon varışlar arasındaki zaman aralıklarının dağılımı). Sistem ücretsiz ise müşteriye hemen hizmet vermeye başlar, aksi takdirde onu kuyruğa sokar. Her müşterinin hizmet süresi, bilinen bir dağıtım yasasına sahip rastgele bir değişkendir.

Bu problemin çözümünde “Müşterinin kuyrukta bekleme süresinin olasılık dağılım fonksiyonu nedir?” gibi soruların yanıtlanması gerekmektedir. “İstemcileri bekleyen sistemin kesinti süresi nedir?”, “Bu işlevlerin kendilerinin belirlenmesi zorsa, o zaman en önemlileri nelerdir? önemli özellikler(yani matematiksel beklenti, varyans vb.)?

Bu görevin temeli, müşterilerin hizmet sistemine rastgele girme sürecidir. Herhangi bir ardışık müşteri çiftinin gelişleri arasındaki aralıklar, bazı yasalara göre dağıtılan bağımsız rastgele olaylardır. Bu kanunun gerçek mahiyeti ancak çok sayıda gözlem yoluyla tespit edilebilir; En basit model olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak, 0'dan bazılarına kadar zaman aralığında eş olasılıklı bir dağılım alabiliriz. T - Ardışık iki müşterinin gelişi arasındaki mümkün olan maksimum aralık. Bu dağılımla iki müşterinin gelişi arasında 1 dakika, 3 dakika veya 8 dakika geçme olasılığı aynıdır (eğer T> 8 dakika).

Böyle bir dağılım elbette gerçekçi değil; Gerçekte çoğu kuyruk prosesi için dağıtım fonksiyonu T= 0, belirli bir t = τ değerinde maksimuma sahiptir ve büyük ölçüde hızla azalır T, onlar. Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 7.6.

Elbette çok şey seçebilirsiniz temel işlevler niteliksel olarak bu görünüme sahip. Kuyruk teorisinde Poisson fonksiyonları ailesi yaygın olarak kullanılmaktadır.

Nerede λ - biraz sabit P - keyfi tamsayı.

Fonksiyonların (35) x = noktasında maksimumu vardır p/λ ve normalleştirildi.

Bu problemdeki birinciyle hiçbir şekilde bağlantılı olmayan ikinci rastgele süreç, rastgele olayların sırası - her müşteri için hizmet süresi - tarafından belirlenir. Hizmet süresinin olasılık dağılımı aynıdır kaliteli görünümönceki durumda olduğu gibi.

Örneğin, sütundaki tabloda A rastgele sayılar kaydedilir - müşteri varışları arasındaki aralıklar (dakika olarak), sütunda İÇİNDE - rastgele sayılar - hizmet süresi (dakika olarak). Kesinlik için alınmıştır maksimum= 10 ve bmaks= 5.

Pirinç. .6. Bir kuyruk sistemindeki müşteri görünümleri arasındaki zaman dağılımının olasılık yoğunluğunun şematik gösterimi

Bu kısa tablodan elbette ki miktarlar için hangi dağıtım yasalarının kabul edildiğini belirlemek imkansızdır. A Ve İÇİNDE. Geriye kalan sütunlar analiz kolaylığı sağlamak amacıyla verilmiştir; İçlerinde yer alan sayılar temel hesaplama ile bulunur. C sütunu gösterir koşullu zaman müşteri gelişi; D- hizmetin başlama anı; E - hizmet sonu; F- müşterinin bir bütün olarak sistemde geçirdiği süre; G- hizmet için sırada beklerken geçirilen süre; N - sistemin istemcileri beklerken harcadığı süre (eğer yoksa). Tabloyu yatay olarak, satırdan satıra hareket ederek doldurmak uygundur. Bir sonraki müşteriye hizmetin başlangıcı, eğer sistem meşgul değilse, varış saatine veya önceki müşterinin ayrılış saatine göre belirlendiğinden, kolaylık sağlamak amacıyla sunuyoruz. karşılık gelen formüller(onlarda Ben= 1, 2, 3, ...):

c 1 = 0, c ben+1 = c ben + a i+1 ; d 1 = 0, d ben+1 = maksimum(c i+l, e i);(36a)

e 1 = b 1 e ben = d ben + b ben ; f ben = e ben + c ben ; g1 = 0; g ben+1 = f ben+1 + b ben+1 h 1 = 0; h ben+1 = d ben+1 - e ben(36b)

Bu nedenle, A ve B sütunlarındaki rastgele sayı kümeleri göz önüne alındığında, müşterilerin sıraya girmesi gerekiyordu (sütun G), ve sistem istemciyi beklerken boştaydı (sütun N).

Bu tür sistemleri modellerken ortaya çıkan ilk soru şudur: Sırada beklemeniz gereken ortalama süre nedir? Cevaplaması kolay görünüyor - sadece bulmanız gerekiyor

(37)

bazı test serilerinde. Benzer şekilde h'nin ortalama değerini de bulabilirsiniz. . Elde edilen sonuçların güvenilirliği ile ilgili soruya cevap vermek daha zordur; Bunu yapmak için birkaç dizi test yapmanız ve kullanmanız gerekir. standart yöntemler matematiksel istatistikler (Öğrenci dağılımını kullanarak işlem yapmak genellikle uygundur).

Daha zor soru- rastgele değişkenlerin dağılımı nedir G Ve N rastgele değişkenlerin verilen dağılımları için A Ve İÇİNDE? Simülasyon sonuçlarına göre karşılık gelen histogramları oluşturarak buna niteliksel bir yanıt almayı deneyebilirsiniz. Daha sonra dağılımın türü hakkında bir hipotez kurulur ve bu hipotezin güvenilirliğini test etmek için bir veya daha fazla istatistiksel kriter kullanılır.

Bir dağıtım işlevine sahip olarak (ampirik bile olsa, ancak oldukça güvenilir), sırada bekleme sürecinin doğasıyla ilgili her türlü soruyu yanıtlamak mümkündür. Örneğin: daha uzun süre bekleme olasılığı nedir? T dakika mı? Alan oranını bulursak cevap elde edilecektir. kavisli yamuk, programla sınırlı dağıtım yoğunluğu, düz x = t Ve y=0 tüm şeklin alanı.

Güvenlik soruları

1. “Rastgele süreç” nedir?

2. Düzgün dağıtılmış rastgele sayıların bilgisayarla üretilmesinin ilkeleri nelerdir?

3. Poisson dağılım yasasıyla rastgele sayılar dizisini nasıl elde edebilirsiniz?

4. “Kuyruk sistemi” nedir? Örnekler verin.

5. Alan hesaplamasında Monte Carlo yöntemi nedir? düz rakamlar? vücut hacimleri?

6. Rastgele süreçlere hangi örnekleri verebilirsiniz?

Makaleler için konular

1. Rastgele sayı dizilerinin bilgisayarla üretilmesinin ilkeleri ve istatistiksel kriterler Dizilerin özelliklerinin belirlenmesi.

2. Yöntemler istatistiksel işleme Rastgele süreçlerin bilgisayar modellemesinden elde edilen sonuçlar.

Ders seminerler

Rastgele sayı dizilerinin elde edilmesi Kanunla verilen dağıtımlar.

Laboratuvar çalışması

1. Bu işi gerçekleştirirken, belirli bir olasılık dağılım yasasıyla uzun sözde rasgele sayı dizileri oluşturmak gerekir. Bu diziyi istenen dağıtım yasasına sahip bir diziye dönüştürmek için prosedürlerden birini (örneğin, "seçim-ret" prosedürü) kullanarak, uygulanan programlama sistemine yerleşik, eşit şekilde dağıtılmış rastgele sayıların standart bir sensörüne dayanabilir. .

2. Rastgele süreçlerin modellenmesindeki temel görevlerden biri, modellemenin amacı olan rastgele değişkenlerin özelliklerini bulmaktır. Bu tür ana karakteristik, dağıtım fonksiyonudur. Görünüşü, simülasyon sırasında oluşturulan histogramdan ve bununla ilgili hipotezden niteliksel olarak değerlendirilebilir. işlevsel biçim kullanılan standart kriterlerden birini kullanarak kontrol edin. matematiksel istatistik(örneğin, kriter % 2). Bununla birlikte, özellikle problem bir rastgele değişkenin yalnızca bazı özelliklerinin (çoğunlukla ortalama değer ve varyansın) belirlenmesini gerektiriyorsa, bu her zaman tavsiye edilmez. Dağıtım fonksiyonunun kendisini modellemeden bulunabilirler. Aynı zamanda istatistiksel değerlendirme sonuçların güvenilirliği zorunludur.

3. Simülasyon sonuçlarının bilgisayar ekranında aşağıdaki biçimde görüntülenmesi uygundur: hesaplanan değerin değer tabloları şeklinde (genellikle birkaç örnekte), rastgele değişkenlerin dağılımının histogramları şeklinde simülasyon sırasında inşa edilmiştir.

4. Mümkün olan yerlerde simülasyon modellemeye karşılık gelen sürecin bilgisayar ekranında görsel olarak gösterilmesiyle eşlik edilmesi tavsiye edilir (kuyruk oluşumu süreci, popülasyon modelleme problemlerinde nesnelerin doğuşu ve kaybolması vb.).

Yaklaşık tamamlanma süresi 16 saattir.

atama laboratuvar çalışması

Belirtilen rastgele sürecin bir simülasyonunu gerçekleştirin ve istatistiksel kriterleri kullanarak elde edilen sonuçların güvenilirliğini değerlendirin.

Görev seçenekleri

Seçenek 1

Yukarıda açıklanan rastgele değişkenlerin eşit olasılıklı dağıtım yasaları altında bir mağazada bir satıcının olduğu kuyruğu simüle edin: müşterilerin gelişi ve hizmet süresi (belirli bir sabit parametre kümesi için). Kararlı özellikler elde edin: alıcının sırada beklemesinin ortalama değerleri ve alıcıların gelmesini beklerken satıcının boşta kalma süresi. Güvenilirliklerini değerlendirin. Büyüklüklerin dağılım fonksiyonunun doğasını değerlendirin G Ve H.

Seçenek 2

Girdi olaylarının olasılık dağılımına ilişkin Poisson yasalarıyla aynı modellemeyi gerçekleştirin: müşterilerin gelişi ve hizmet süresi (belirli bir sabit parametre kümesi için).

Seçenek 3

Aynı modellemeyi, girdi olaylarının normal olasılık dağılımı kanunu altında gerçekleştirin: müşterilerin gelişi ve hizmet süresi (belirli bir sabit parametre seti için).

Seçenek 4

Yukarıda ele alınan sistemde kuyruğun zamanla sınırsız büyümesi durumunda kritik bir durum ortaya çıkabilmektedir. Aslında, eğer müşteriler mağazaya çok sık girerse (veya satıcı çok yavaşsa) kuyruk büyümeye başlar ve bu sistemde son zaman hizmet krizi gelecektir.

Miktarlar arasında bir ilişki oluşturun (bir maksimum, bmaks), belirtilenin sınırını yansıtan kritik durum, girdi olaylarının eşit derecede olası bir dağılımıyla.

Seçenek 5

Şehirlerarası telefon santrali iki telefon operatörü ortak bir sipariş kuyruğuna hizmet ediyor. Bir sonraki sipariş, ilk müsait olan telefon operatörü tarafından sunulur. Siparişin alındığı sırada her ikisinin de meşgul olması durumunda arama iptal edilir ve tekrar aramanız gerekir. Girdi akışlarının Poisson olduğunu dikkate alarak süreci modelleyin.

Seçenek 6

Önceki versiyonda açıklanan durumu simüle edin, ancak sipariş vermeye çalışırken her iki telefon operatörünün de meşgul olması durumunda bir kuyruk oluştuğunu varsayalım.

Seçenek 7

Tek girişli telefon santrali kullanılsın geleneksel sistem: Abone meşgulse sıra oluşmaz ve tekrar aramanız gerekir. Durumu simüle edin: Üç abone aynı numaranın sahibini aramaya çalışır ve başarılı olursa onunla bir süre (rastgele bir süre) konuşur. Aramaya çalışan birinin bunu yapamama olasılığı nedir? belirli zaman T?

Seçenek 8

Önceki versiyonda açıklanan durumu simüle edin, ancak abonenin telefonuyla iletişim kurma girişimi sırasında meşgulse bir kuyruk oluştuğunu varsayalım.

Seçenek 9

Acil serviste tek doktor çalışıyor. Bir hastanın tedavi süresi ve hastaların kabulleri arasındaki zaman aralıkları Poisson yasasına göre dağıtılan rastgele değişkenlerdir. Yaralanmaların ciddiyetine göre hastalar üç kategoriye ayrılır; herhangi bir kategorideki hastanın kabulü; rastgele olay eşit olasılık dağılımı ile. Doktor ilk önce en ağır yaralanmaları olan hastaları (kabul sırasına göre), daha sonra eğer yoksa orta derecede yaralanmaları olan hastaları (kabul sıralarına göre) ve ancak o zaman hafif yaralanmaları olan hastaları tedavi eder. Süreci modelleyin ve her kategorideki hastaların kuyruktaki ortalama bekleme sürelerini tahmin edin.

Seçenek 10

Önceki versiyonda açıklanan durumu, acil serviste iki doktorun çalışması ve hastaların üç yerine iki kategoriye ayrılması koşuluyla simüle edin.

Seçenek 11

Bir dokumacı, süresi rastgele değişken olan kısa vadeli müdahaleleri gerçekleştirerek bir grup dokuma tezgahına hizmet ediyor. Aynı anda iki makinenin aksama süresi olasılığı nedir? Bir makinenin ortalama arıza süresi ne kadardır?

Seçenek 12

Önceki versiyonda açıklanan durumu simüle edin, eğer bir tezgah grubu iki dokumacı tarafından ortaklaşa hizmet veriyorsa.

Seçenek 13

İÇİNDEŞehir motorlu taşıt filosunun iki onarım bölgesi vardır. Bir - kısa ve kısa onarımlara hizmet eder ortalama süre, diğeri - orta ve uzun vadeli (yani, bölgelerin her biri tarafından orta vadeli onarımlar gerçekleştirilebilir). Arızalar meydana geldikçe araçlar filoya teslim edilir; teslimatlar arasındaki zaman aralığı - rastgele Poisson değeri. Onarım süresi rastgele bir değişkendir. normal hukuk dağıtımlar. Açıklanan sistemi modelleyin. Kısa vadeli, orta vadeli ve uzun vadeli onarım gerektiren araçların ortalama bekleme süreleri sırasıyla nedir?

Seçenek 14

Simülasyon modelini uygulayın istatistiksel modelleme Buffon'un problemini çözmek için (XVIII yüzyıl). Yazar analitik olarak, paralel çizgilerle grafiği çizilen bir alan üzerinde aralarındaki mesafenin L, rastgele bir iğne atar ben Bu durumda iğnenin en az bir düz çizgiyi geçme olasılığı formülle belirlenir.

Bu problem, sayının belirlenmesini simüle etmenin bir yolunu sağladı. P. Gerçekten eğer L = 2l, O . Simülasyon sırasında bu hesaplamayı gerçekleştirin.

Seçenek 15

Tek boyutlu bir rastgele yürüyüş modeli (“sarhoş” modeli) geliştirin. Yürüyüş şu kurala göre ayarlanır: Segmentteki rastgele sayı 0,5'ten azsa, o zaman belli bir mesafe kadar sağa doğru bir adım atılır. H, aksi halde - sola. Rastgele sayıların dağılımının eşit olasılıklı olduğu varsayılır.

Problemi çözün: Böyle bir yürüyüşün başlangıç ​​noktasından şu kadar uzaklaşma olasılığı nedir? N adımlar?

Seçenek 16

İÇİNDE Sorunun önceki versiyonundaki koşullar altında şu sorunun cevabını alın: Bir "sarhoşun" geri dönme olasılığı nedir? N içeri adım atmak başlangıç ​​noktası?

Seçenek 17

Bir nokta, bir kare ızgaranın düğümleri boyunca bir düzlem üzerinde rastgele dolaşarak şunları yapma olanağına sahiptir: eşit olasılık sabit (tek harekette) bir adımda soldan sağa-yukarı-aşağı adımlar. Hareket kapalı bir ortamda gerçekleşir. dikdörtgen hacim ve duvarla temas ettiğinde meydana gelir ayna görüntüsü ondan.

Simülasyon sırasında şu soruyu yanıtlayın: Her bir düğüme yapılan ziyaretlerin sıklığı, hareketin başladığı düğüme olan mesafeyle nasıl ilişkilidir?

Seçenek 18

Gezinme alanının sınırsız olması koşuluyla, seçenek 17'deki görevdekiyle aynı durumu modelleyin ve sorulan soruyu yanıtlayın.

Seçenek 19

Bir arının uçuşunu simüle edin. Bir düzlemde (temizlenen) bal bitkileri belirli bir konsantrasyonda (1 m2 başına) rastgele büyür. Ortada bir arının uçtuğu bir kovan var. Bir arı bir bitkiden diğerine uçabilir, ancak bitkiler arasındaki mesafe arttıkça (bazı kanunlara göre) seçim olasılığı monoton bir şekilde azalır. Bir arının belirli bir bitkiyi ziyaret etme olasılığı nedir? belirtilen miktar temel uçuşlar?

Seçenek 20

Düz bir model uygulayın Brown hareketi N Bir dikdörtgendeki parçacıklar. Parçacıkların sonlu büyüklükte toplar olduğunu düşünün. Parçacıkların birbirlerine ve duvarlara etkileri mutlak elastik olarak modellenmelidir. Bu modelde duvarlardaki gaz basıncının parçacık sayısına bağımlılığını belirleyin.

Seçenek 21

Kapalı bir kapta gazların karıştırılmasına (difüzyonuna) ilişkin bir modeli ayrıntılı olarak geliştirin ve uygulayın. İÇİNDE başlangıç ​​anı zamanda her gaz kabın yarısını kaplar. Bu modeli kullanarak difüzyon hızının çeşitli girdi parametrelerine bağımlılığını inceleyin.

Seçenek 22

Aşağıdaki şemaya göre “yırtıcı-av” sisteminin simülasyon modelini uygulayın.

20x20 "adada" yabani tavşanlar, kurtlar ve dişi kurtlar yaşamaktadır. Her türün birkaç temsilcisi vardır. Tavşanlar zamanın her anında aynı 1/9 olasılıkla sekiz komşu kareden birine hareket ederler (sınırlı alanlar hariç). kıyı şeridi) veya hareketsiz oturun. Her tavşanın iki tavşana dönüşme olasılığı 0,2'dir. Her dişi kurt, avladığı tavşan bitişikteki sekiz kareden birine gelene kadar rastgele hareket eder. Dişi kurt ve tavşan aynı karede ise dişi kurt tavşanı yer ve bir puan alır. Aksi takdirde 0,1 puan kaybeder.

Sıfır puana sahip kurtlar ve dişi kurtlar ölür. Başlangıçta tüm kurtların ve dişi kurtların 1 puanı vardır. Kurt, komşu meydanlardaki tüm tavşanlar yok olana kadar dişi kurt gibi davranır; daha sonra dişi kurt yakındaki sekiz kareden birindeyse kurt onu kovalar.

Eğer bir kurt ve bir dişi kurt aynı karedeyse ve yiyecek bir tavşan yoksa rastgele cinsiyette yavrular üreteceklerdir.

Belirli bir süre boyunca popülasyon değişikliklerini gözlemleyin. Model parametrelerindeki değişikliklerin popülasyonların evrimini nasıl etkilediğini izleyin.

Seçenek 23

Saçkıran enfeksiyonunun ciltte bir alana yayılma sürecini modellemek için N X p(p- tuhaf) hücreler.

Orijinal enfekte olmuş deri hücresinin merkezi hücre olduğu varsayılmaktadır. Her zaman aralığında, enfekte olmuş bir hücre, komşu sağlıklı herhangi bir hücreyi 0,5 olasılıkla enfekte edebilir. Altı birim süre sonra enfekte olan hücre enfeksiyona karşı bağışıklık kazanır, ortaya çıkan bağışıklık sonraki dört birim süre boyunca devam eder ve daha sonra hücrenin sağlıklı olduğu ortaya çıkar. Tanımlanan sürecin simülasyonu sırasında çıktı mevcut durum Her zaman aralığında simüle edilmiş cilt alanı, enfekte olmuş, enfeksiyona dirençli ve sağlıklı hücreleri belirtir.

Alan boyutundaki değişikliklerin ve enfeksiyon olasılığının simülasyon sonuçlarını nasıl etkilediğini gözlemleyin.

Seçenek 24

Kirleticilerin dağılımına ilişkin ayrıntılı bir model geliştirmek ve uygulamak çevre bir fabrika bacasından atmosfere yayılan madde parçacıkları (örneğin, bir enerji santralinde kömürün yanması sonucu ortaya çıkan kül). Bir parçacığın hareketinin iki bileşenden oluştuğunu düşünün: yatay düzlem- rastgele rüzgar esintilerinin etkisi altında, dikey olarak - yerçekiminin etkisi altında.

Daha fazla okuma

1. Bailey N. Biyolojide istatistiksel yöntemler: Çev. İngilizce'den - M.: IL, 1962.

2. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Kuyruk teorisine giriş. - M.: Nauka, 1966.

3. Saati T. Kuyruk teorisinin unsurları ve uygulamaları: Çev. İngilizce'den - M.: Sov. radyo, 1991.

4. Shannon R. Sistemlerin simülasyon modellemesi - sanat ve bilim: Çev. İngilizce'den - M.: Mir, 1978.

Bölüm 7 için Testler

Durağan normal ve Markov rastgele süreçlerini modellemek için algoritmaları ele alalım. Bu işlemler yaygın olarak şu şekilde kullanılmaktadır: matematiksel modeller karmaşık teknik sistemlerde meydana gelen çeşitli gerçek süreçler. Aşağıda korelasyon ve korelasyon çerçevesinde benimsenen bazı temel tanım ve kavramları sunuyoruz. spektral teoriler rastgele işlevler.

Rastgele işlev rastgele olmayan bir t argümanının bir fonksiyonudur ve argümanın her sabit değeri için rastgele değişken. Rastgele işlev zaman isminde rastgele süreç. Rastgele işlev koordinatlar uzaydaki noktalara denir rastgele alan. Özel görünüm Rastgele bir sürecin deneyim sonucu kabul ettiği şeye, rastgele sürecin gerçekleşmesi (yörüngesi) denir. Rastgele bir sürecin elde edilen tüm gerçekleşmeleri, bir gerçekleşmeler bütünü oluşturur. Belirli zamanlarda (zaman dilimleri) gerçekleşmelerin değerlerine rastgele sürecin anlık değerleri denir.

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: X(t) - rastgele süreç; x i (t) - X(t) sürecinin i'inci uygulaması; xi (t j) - X(t) sürecinin j'inci andaki i'inci uygulamaya karşılık gelen anlık değeri. Aynı t j anında farklı uygulamaların değerlerine karşılık gelen anlık değerler kümesi, X(t) sürecinin j'inci dizisi olarak adlandırılacak ve x(tj) ile gösterilecektir. Yukarıdakilerden, rastgele bir sürecin argümanlarının zaman ve uygulama numarası olabileceği anlaşılmaktadır. Bu bağlamda, rastgele bir sürecin özelliklerini incelemeye yönelik iki yaklaşım meşrudur: birincisi bir dizi uygulamanın analizine dayanır, ikincisi ise bir dizi diziyle (zaman bölümleri) çalışır. Rastgele bir sürecin olasılıksal özelliklerinin değerlerinin zamana veya uygulama sayısına bağımlılığının varlığı veya yokluğu bunu belirler temel özellikler durağanlık ve ergodisite gibi süreçler. Sabit süreç denir olasılıksal özellikler ki bu zamana bağlı değildir. Ergodik olasılıksal özellikleri uygulama sayısına bağlı olmayan bir süreçtir.

Rastgele süreç denir normal(veya Gaussian) süreci, eğer tek boyutluysa ve iki boyutlu yasalar herhangi bir bölümünün dağılımları normaldir. Normal bir rastgele sürecin kapsamlı özellikleri, matematiksel beklenti ve korelasyon fonksiyonudur. Durağan normal rastgele süreç için MOF sabittir ve korelasyon fonksiyonu yalnızca rastgele sürecin koordinatlarının alındığı zaman anları arasındaki farka bağlıdır ( =t 2 -t 1). Durağan bir rastgele süreç için, X(t 2) rastgele sürecinin ordinatının kendisinden yeterince büyük bir sapması var. matematiksel beklenti t2 zamanında mx, t1 zamanındaki bu sapmanın değerinden pratik olarak bağımsız hale gelir. Bu durumda X(t 2) ile X(t 1) arasındaki bağlantı momentinin değerini veren korelasyon fonksiyonu K(t) sıfıra yönelecektir. Bu nedenle K(), Şekil 2.2'de gösterildiği gibi monoton olarak azalabilir veya Şekil 2.3'te gösterilen forma sahip olabilir. Formun bir fonksiyonu (Şekil 2.2.), kural olarak, aşağıdaki ifadelerle yaklaşık olarak hesaplanır:

(2.38)

ve formun bir işlevi (Şekil 2.3.) - ifadelerle:

Şekil 2.2. Şekil 2.3.

Durağan bir rastgele sürecin zaman içindeki kararlılığı, argümanı (zaman) birçok uygulamada frekans boyutuna sahip olan bazı yardımcı değişkenlerle değiştirmemize olanak tanır. Bu değiştirme, hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirmenize ve sonuçların daha net olmasını sağlamanıza olanak tanır. Ortaya çıkan fonksiyon (S()) çağrılır spektral yoğunluk durağan rastgele süreç ve karşılıklı olarak korelasyon fonksiyonu ile ilişkilidir ters dönüşümler Fourier:

(2.42)

(2.43)

Spektral yoğunluğun başka normalleştirmeleri de vardır, örneğin:

(2.44)

Fourier dönüşümlerine dayanarak, örneğin (2.38) formundaki K(t) ile rastgele bir süreç için bunu elde etmek kolaydır:

(2.45)

Spektral yoğunluğu sabit olan (S(w)=S=const) durağan rastgele bir sürece durağan denir. beyaz gürültü. Durağan beyaz gürültünün korelasyon fonksiyonu tümü için sıfıra eşittir, bu da onun herhangi iki bölümünün korelasyonsuz olduğu anlamına gelir.

Durağan normal rastgele sürecin (SNSP) modellenmesi problemi, bu sürecin bilgisayarda ayrık uygulamalarını elde etmeyi mümkün kılan bir algoritma bulma problemi olarak formüle edilebilir. X(t) süreci belirli bir doğrulukla, ayrık zamanlı t n = nDt ile karşılık gelen X(nDt) süreci ile değiştirilir (Dt, süreç örnekleme adımıdır, n bir tamsayı argümanıdır). Sonuç olarak, x(t) rastgele süreci rastgele dizilerle ilişkilendirilecektir:

x k [n]=x k (nDt), (2,46)

burada k uygulama numarasıdır.

Açıkçası, x(nDt) rastgele dizisinin rastgele bir üyesi, sayısının rastgele bir fonksiyonu olarak düşünülebilir; tamsayı argümanı n ve dolayısıyla (2.46) yazarken dikkate alınan Dt'yi dikkate almayın. Ayrıca, bir tamsayı argümanını sürekli değişen bir argümandan ayırmak için köşeli parantez içine alınır.

Rastgele dizilere genellikle ayrık rastgele süreçler veya zaman serileri denir.

eklendiği bilinmektedir. rastgele fonksiyon Rastgele olmayan değişken korelasyon fonksiyonunun değerini değiştirmez. Bu nedenle, pratikte, merkezli rastgele süreçler sıklıkla modellenir (MOR sıfıra eşittir), buradan MOR'un rastgele süreci simüle eden rastgele dizinin üyelerine eklenmesiyle her zaman gerçek olana ulaşılabilir.

Rastgele diziler için korelasyon fonksiyonu ve spektral yoğunluk bağımlılıklardan hesaplanır:

(2.47)

(2.48)

Rastgele bir süreci rastgele bir diziye indirgemek aslında onu çok boyutlu bir vektörle değiştirmek anlamına gelir. Bu nedenle, rastgele vektörlerin modellenmesinde ele alınan yöntem, genel olarak konuşursak, sonlu bir zaman aralığı boyunca belirtilen rastgele süreçlerin modellenmesi için uygundur. Ancak durağan normal rastgele süreçler için daha fazlası vardır. etkili yöntemler modelleme algoritmalarının oluşturulması. Pratikte en yaygın olarak kullanılan iki yöntemi ele alalım.

Yukarıda açıklanan çeşitli yöntemler konunun temel tarafının esas olarak dikkate alındığı rastgele süreçlerin modellenmesi. Bu bölümde, yaygın korelasyon fonksiyonlarıyla durağan normal süreçleri modellemek için bu yöntemleri kullanmanın sonuçları sunulmaktadır. Aynı zamanda gereken her şey yapıldı. hazırlık çalışması ve doğrudan kullanıma uygun basit modelleme algoritmaları elde edildi. Ayrıca örnekler verilmiştir pratik uygulama modelleme algoritmaları.

Tabloda 2.2 simüle edilen süreçlerin korelasyon fonksiyonları ve enerji spektrumları türleri ve bunlara karşılık gelen algoritmalar verilmektedir. Gerekli açıklamalar aşağıda verilmiştir.

Tablo 2.2.

Tablo 2.2'nin devamı.

Tablo 2.2'nin devamı.

Tablo 2.2'nin devamı.

Durağan normal sürekli rastgele bir süreç verildiğinde korelasyon fonksiyonu dijital bir bilgisayarda zamana ilişkin değerlerinin ayrı bir dizisi olarak gösterilir; burada örnekleme adımı ve bir tamsayı argümanıdır. Burada tartışılan tüm algoritmalar, dijital bir bilgisayarda simüle edilmiş rastgele bir sürecin ayrık, zaman sınırlaması olmayan uygulamalarını elde etmek için tasarlanmıştır. Tüm bu algoritmalar, bağımsız normal dağılımlı rastgele sayılar dizisinin (0, 1) (ayrık) parametreleriyle dönüştürülmesi ilkesine dayanmaktadır. beyaz gürültü) yasaya göre ilişkilendirilen bir diziye

1-5 numaralı tabloda yer alan korelasyon fonksiyonlu rastgele süreçler, rasyonel spektral yoğunluğa sahip rastgele süreçler sınıfına aittir. Bu tür süreçleri modellemek için en uygun olanı, metodolojik hataları olmayan ve basit yineleme ilişkilerine indirgenmiş algoritmalara yol açan fark denklemlerinin (§ 2.3) kullanılmasıdır. Bu yöntem kullanılarak 1-5 numaralı algoritmalar elde edilir.

Üstel ve üstel-kosinüs korelasyon fonksiyonlarına sahip modelleme süreçleri için 1 ve 2 numaralı algoritmalar, § 2.3'te zaten tartışılmıştır ve açıklama gerektirmez.

2-5 numaralı algoritmalar aynıdır ve yalnızca parametrelerin değerlerinde farklılık gösterir; bunların belirlenmesi, her özel durumda Tabloda verilen formüller kullanılarak yapılan hesaplamalara iner. 2.2. 3-5 numaralı algoritmalarda tekrarlayan formüllerin parametrelerini hesaplamak için ifadeler türetirken, üstel-kosinüs korelasyon fonksiyonu örneğini kullanarak § 2.3'te tartışılan dönüşümler kullanıldı: her bir korelasyon fonksiyonu türü için dizinin spektral yoğunluğu (2.51)'e göre yazıldığında, karşılık gelen sonsuz serilerin her iki yöndeki toplamı tek taraflı tablolara göre gerçekleştirildi ayrık dönüşümler Laplace ve elde edilen kesirli rasyonelin paylarının çarpanlarına ayrılması spektral fonksiyonlar polinomların çarpanlara ayrılması (polinomların ikinciden daha yüksek olmayan bir sırası vardı) ve ardından (2.61) ve (2.62) ifadelerine göre polinomların kökleri kullanılarak gerçekleştirildi. Spektral fonksiyonların paydaları otomatik olarak çarpanlara ayrıldı.

Rasyonel spektral yoğunluğa sahip işlemler sınıfına ait olmayan 6-8 numaralı rastgele süreçleri simüle etmek için kayan toplama yöntemi en etkili yöntem olarak kullanıldı. bu durumda.

6-8 numaralı algoritmalara göre dizi, dizinin ağırlıkla kaydırılarak toplanması yöntemiyle elde edilir. Ağırlık katsayılarına ilişkin ifadeler, süreçlerin enerji spektrumlarının formül (2.12) kullanılarak entegre edilmesiyle elde edildi. Rastgele işlem No. 6'nın [bantta tekdüze bir spektruma sahip bir işlem] örnekleme frekansının ve'den büyük veya ona eşit olduğu varsayılmıştır. 7, 8 numaralı işlemlerle ilgili olarak örnekleme frekansının yeterince yüksek olduğu varsayılmıştır, dolayısıyla üst sınır(2.12) integralinde sonsuza eşit alınabilir. Bu nedenle 7, 8 numaralı algoritmalarda katsayılara ilişkin ifadeler aşağıdaki durumlarda kullanılmalıdır: . Sonlu limiti sonsuz bir limitle değiştirmek, bu durumda (2.12) tipindeki integrallerin tablo şeklindeki integrallere indirgenmesini mümkün kıldı.

6-8 numaralı algoritmalar yaklaşıktır, ancak parametre artırılarak metodolojik hata ihmal edilebilir hale getirilebilir. Seçilen değerler ve yöntemin hatası, ağırlık katsayılarının evrilmesiyle kolayca tahmin edilir. Korelasyon fonksiyonu No. 8 ile rastgele bir süreç için katsayıların hesaplanmasına ve yöntemin hatasının hesaplanmasına ilişkin bir örnek daha önce § 2.2'de verilmiştir. Aynı paragraf, 9 numaralı rastgele sürecin modellenmesine yönelik algoritmanın bir tanımını sağlar [bkz. algoritma (2.48)].

Tabloda verilen algoritmalar. 2.2 pratik teste tabi tutuldu. Doğrulama, 1000 örnek uzunluğunda simüle edilmiş rastgele süreçlerin dijital bir bilgisayarda uygulamaları geliştirilerek gerçekleştirildi. verilen değerler parametreler ve . Bu gerçekleşmelerden örnek korelasyon fonksiyonları hesaplandı ve verilen korelasyon fonksiyonlarıyla karşılaştırıldı. Başlangıçtaki bağımsız rastgele sayılar, M-20 dijital bilgisayar için normal rastgele sayı sensörünün standart programına göre üretildi.

Üretim sırasında başlangıç ​​değerleri 1-5 numaralı rastgele süreçlerin uygulamaları (0, 1) parametreli bağımsız normal rastgele sayıların örnek değerleri alındı.

Şek. 2,5 gösterildi başlangıç ​​bölümleri Tablodan bazı rastgele süreçlerin 400 örnek uzunluğundaki uygulamaları. 2.2; Uygulama kolaylığı açısından sürekli bir çizgi halinde gösterilmiştir. Uygulamaların yanında, verilen korelasyon fonksiyonları (düz çizgi) ve bu uygulamalar kullanılarak dijital bilgisayarda hesaplanan korelasyon fonksiyonları (kesikli çizgi) gösterilmektedir. Grafikler, tablodaki korelasyon fonksiyonlarıyla aynı sayılarla işaretlenmiştir. 2.2. Parametre değerleri ve . Tüm simüle edilen süreçler için korelasyon aralıkları yaklaşık olarak aynı olacak şekilde seçilir. Şekil, belirtilen ve örnek korelasyon fonksiyonları arasında iyi bir uyum olduğunu göstermektedir.

2 numaralı korelasyon fonksiyonuna sahip rastgele süreç türevlenemez, bu nedenle uygulamaları türevlenebilir rastgele süreçlerin diğer dört uygulaması kadar düzgün değildir.

2 ve 3 numaralı uygulamaların yanı sıra 6, 7 numaralı uygulamalar arasında belirli bir benzerlik fark edilebilir; bu, uygulamaların dijital bir bilgisayarda aynı ayrı beyaz gürültü uygulamasını dönüştürerek oluşturulmuş olmasıyla açıklanmaktadır. .

2, 3 numaralı uygulamaların başında oldukça büyük negatif emisyonlar görülüyor. Bu aykırı değerler, geçici süreç nedeniyle simüle edilen süreçlerin başlangıç ​​bölümlerinin bozulmasının sonucudur. Gerçekten mi, başlangıç ​​koşulları yalnızca 1 ve 5-9 numaralı rastgele süreçler en baştan itibaren durağan olacak şekilde seçilir.

2-4 numaralı rastgele süreçlerin modellenmesinde geçici süreçten kurtulmak için, başlangıç ​​​​değerlerini hesaplarken, yukarıda kabul edildiği gibi bağımsız rastgele sayılar yerine, korelasyonlu dört boyutlu bir rastgele vektör almak gerekir. matris

Sonuç olarak, yukarıda tartışılan algoritmaların basit dönüşümleri yoluyla simüle edilmiş durağan normal rastgele süreçler sınıfını genişletmemize izin veren bazı tekniklere dikkat çekiyoruz.

Örneğin, birkaç bağımsız durağan normal rastgele sürecin toplanması sırasında, korelasyon fonksiyonunun terimlerin korelasyon fonksiyonlarının toplamına eşit olduğu bir durağan normal rastgele sürecin oluşturulduğu bilinmektedir. Dolayısıyla, bir sürecin korelasyon fonksiyonu tablodaki iki veya daha fazla korelasyon fonksiyonunun toplamı ise. 2.2'ye göre, bu sürecin ayrık uygulamaları, yukarıdaki algoritmalar kullanılarak elde edilen iki veya daha fazla bağımsız uygulamanın toplanmasıyla oluşturulabilir. Örneğin, simüle edilen sürecin korelasyon fonksiyonu şu forma sahipse:

daha sonra ayrık uygulamalarını oluşturmaya yönelik algoritma şu şekilde yazılacaktır:

Bu rastgele bir süreç

burada uygulamaları dönüştürün ve korelasyon fonksiyonu (2.83) ile rastgele bir sürecin uygulamasına dönüştürün.

Ayrık hesaplamak için trigonometrik fonksiyonlar ve tekrarlayan algoritmanın (1.3) kullanılması tavsiye edilir, daha sonra algoritma (2.84) şu şekilde yazılacaktır: