ТОДОРХОЙЛОЛТ

Вектор(лат. " вектор" - "зөөх") - орон зай эсвэл хавтгай дээрх шулуун шугамын чиглэсэн сегмент.

Графикийн хувьд векторыг тодорхой урттай чиглэсэн шугамын сегмент хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байх векторыг (Зураг 1) гэж тэмдэглэнэ. Векторыг мөн нэг жижиг үсгээр тэмдэглэж болно, жишээлбэл, .

Хэрэв координатын системийг орон зайд зааж өгсөн бол векторыг координатын олонлогоор нь тусгайлан зааж өгч болно. Өөрөөр хэлбэл, вектор гэдэг нь хэмжээ (урт), чиглэл, хэрэглээний цэг (векторын эхлэл) бүхий объект гэж ойлгогддог.

Векторын тооцооллын зарчмууд нь 1831 онд Германы математикч, механикч, физикч, одон орон судлаач, маркшейдер Иоганн Карл Фридрих Гауссын (1777-1855) бүтээлүүдэд гарч ирэв. Ирландын математикч, механик, онолын физикч Сэр Уильям Роуэн Хамилтон (1805-1865) векторуудтай хийсэн үйлдлүүдийн талаархи бүтээлүүдийг дөрөвний тооллын нэг хэсэг болгон нийтлэв. Эрдэмтэн "вектор" гэсэн нэр томъёог санал болгож, векторууд дээрх зарим үйлдлүүдийг тодорхойлсон. Вектор тооцоолол зохих ёсоороо хүлээн авлаа цаашдын хөгжилИх Британийн физикч, математикч, механикч Жеймс Клерк Максвелл (1831-1879) -ийн цахилгаан соронзон судлалын ажлын ачаар. 1880-аад онд "Вектор анализын элементүүд" ном хэвлэгджээ. Америкийн физикч, физик химич, математик, механикч Жосиа Виллард Гиббс (1839-1903). Орчин үеийн векторын анализыг 1903 онд английн бие даасан эрдэмтэн, инженер, математикч, физикч Оливер Хевисайдын (1850-1925) бүтээлүүдэд дүрсэлсэн байдаг.

ТОДОРХОЙЛОЛТ

Уртэсвэл вектор модульнь векторыг тодорхойлох чиглүүлсэн сегментийн урт юм. гэж тэмдэглэсэн.

Векторын үндсэн төрлүүд

Тэг векторнь вектор гэж нэрлэгддэг эхлэх цэгТэгээд төгсгөлийн цэгтаарах. Тэг векторын урт нь тэг байна.

Нэг шулуунтай параллель эсвэл нэг шулуун дээр байрлах векторуудыг нэрлэдэг collinear(Зураг 2).

хамтран найруулсан, хэрэв тэдгээрийн чиглэл давхцаж байвал.

Зураг 2-т эдгээр нь векторууд ба . Векторуудын хамтарсан чиглэлийг дараах байдлаар харуулав.

Хоёр коллинеар векторыг нэрлэнэ эсрэг чиглэсэн, хэрэв тэдгээрийн чиглэл эсрэг байвал.

Зураг 3-т эдгээр нь векторууд ба . Тэмдэглэл: .

Векторуудын нийлбэр. Вектор урт. Эрхэм найзууд аа, арын шалгалтын төрлүүдийн нэг хэсэг болгон вектортой холбоотой асуудал байдаг. Даалгаврууд нь нэлээд өргөн хүрээтэй (онолын үндэслэлийг мэдэх нь чухал). Ихэнх нь амаар шийдэгддэг. Асуултууд нь векторын урт, векторуудын нийлбэр (ялгаа), цэгийн бүтээгдэхүүн. Мөн векторын координаттай үйлдэл хийх шаардлагатай олон даалгавар байдаг.

Векторын сэдвийг тойрсон онол нь тийм ч төвөгтэй биш бөгөөд үүнийг сайн ойлгох ёстой. Энэ нийтлэлд бид векторын урт, мөн векторуудын нийлбэр (ялгаа) олохтой холбоотой асуудлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Зарим онолын цэгүүд:

Вектор ойлголт

Вектор нь чиглэсэн сегмент юм.

Ижил чиглэлтэй, ижил урттай бүх векторууд тэнцүү байна.

*Дээр дурдсан дөрвөн вектор бүгд тэнцүү байна!

Өөрөөр хэлбэл, параллель орчуулгыг ашиглан бидэнд өгсөн векторыг хөдөлгөх юм бол бид үргэлж анхны вектортой тэнцүү векторыг авах болно. Тиймээс хязгааргүй тооны тэнцүү вектор байж болно.

Вектор тэмдэглэгээ

Векторыг латинаар тэмдэглэж болно том үсгээр, Жишээ нь:

Тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийн хувьд эхлээд векторын эхлэлийг, дараа нь векторын төгсгөлийг илэрхийлсэн үсгийг бичнэ.

Өөр нэг векторыг латин цагаан толгойн нэг үсгээр (том) тэмдэглэв.

Мөн сумгүй тэмдэглэгээ хийх боломжтой:

AB ба ВС хоёр векторын нийлбэр нь AC вектор болно.

Үүнийг AB + BC = AC гэж бичнэ.

Энэ дүрмийг гэж нэрлэдэг - гурвалжингийн дүрэм.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бидэнд хоёр вектор байгаа бол тэдгээрийг (1) ба (2) гэж нэрлэе, векторын төгсгөл (1) нь векторын (2) эхлэлтэй давхцаж байвал эдгээр векторуудын нийлбэр нь вектор байх болно. эхлэл нь векторын (1) эхлэлтэй, төгсгөл нь векторын (2) төгсгөлтэй давхцаж байна.

Дүгнэлт: Хэрэв бид хавтгай дээр хоёр вектор байгаа бол тэдгээрийн нийлбэрийг үргэлж олж чадна. Зэрэгцээ орчуулгыг ашигласнаар та эдгээр векторуудын аль нэгийг зөөж, түүний эхлэлийг нөгөөгийн төгсгөлд холбож болно. Жишээ нь:

Векторыг хөдөлгөцгөөе б, эсвэл өөрөөр хэлбэл тэнцүү нэгийг байгуулъя:

Хэд хэдэн векторын нийлбэрийг хэрхэн олох вэ? Үүнтэй ижил зарчмаар:

* * *

Параллелограммын дүрэм

Энэ дүрэм нь дээр дурдсан үр дагавар юм.

Нийтлэг гарал үүсэлтэй векторуудын хувьд тэдгээрийн нийлбэрийг эдгээр векторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональаар дүрсэлсэн болно.

Вектор бүтээцгээе вектортой тэнцүү бИнгэснээр түүний эхлэл нь векторын төгсгөлтэй давхцдаг а, мөн бид тэдгээрийн нийлбэр болох векторыг барьж болно:

Жаахан илүү чухал мэдээлэласуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай.

Урт нь анхныхтай тэнцүү, гэхдээ эсрэг чиглэлтэй векторыг мөн тэмдэглэсэн боловч эсрэг тэмдэгтэй байна:

Энэ мэдээлэл нь векторуудын ялгааг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд маш хэрэгтэй. Таны харж байгаагаар векторын зөрүү нь өөрчлөгдсөн хэлбэрээр ижил нийлбэр байна.

Хоёр вектор өгье, тэдгээрийн ялгааг ол:

Бид b векторын эсрэг вектор байгуулж, ялгааг олсон.

Вектор координат

Векторын координатыг олохын тулд төгсгөлийн координатаас эхлэлийн харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй.

Өөрөөр хэлбэл вектор координатууд нь хос тоо юм.

Хэрэв

Мөн векторуудын координатууд дараах байдалтай байна.

Дараа нь c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Хэрэв

Дараа нь c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2 байна

Вектор модуль

Векторын модуль нь түүний урт бөгөөд дараах томъёогоор тодорхойлогддог.

Векторын эхлэл ба төгсгөлийн координат нь мэдэгдэж байгаа бол түүний уртыг тодорхойлох томъёо:

Даалгавруудыг авч үзье:

ABCD тэгш өнцөгтийн хоёр тал нь 6 ба 8-тай тэнцүү. Диагональууд нь О цэгт огтлолцоно.АО ба BO векторуудын ялгааны уртыг ол.

AO–VO-ийн үр дүн болох векторыг олъё:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

Энэ нь AO ба векторуудын ялгаа юм VO нь вектор байх болно AB. Мөн түүний урт нь найман юм.

Ромбын диагональууд ABCD 12 ба 16-тай тэнцүү. AB + AD векторын уртыг ол.

AD ба AB BC векторуудын нийлбэр болох векторыг олъё вектортой тэнцүү байнаА.Д. Тэгэхээр AB +AD =AB +BC =AC

ABCD ромбын диагональууд цэг дээр огтлолцоно Оба 12 ба 16-тай тэнцүү. AO + BO векторын уртыг ол.

AO ба VO VO векторуудын нийлбэр нь OD вектортой тэнцүү байх векторыг олцгооё.

Пифагорын теоремын дагуу:

ABCD ромбын диагональууд нь О цэгт огтлолцох ба 12 ба 16-тай тэнцүү. AO – BO векторын уртыг ол.

AO–VO-ийн үр дүн болох векторыг олъё:

Пифагорын теоремын дагуу:

Энгийн ABC гурвалжны талууд нь 3-тай тэнцүү.

AB –AC векторын уртыг ол.

Векторын зөрүүний үр дүнг олъё:

27663. a (6;8) векторын уртыг ол.

27664. АВ векторын уртын квадратыг ол.

Тодорхойлолт (x 1 , x 2 , ... , x n) n бодит тооны дараалсан цуглуулгыг гэнэ. n хэмжээст вектор, болон тоонууд x i (i =) - бүрэлдэхүүн хэсгүүд,эсвэл координат,

Жишээ. Жишээлбэл, тодорхой автомашины үйлдвэр 50 автомашин, 100 ачааны машин, 10 автобус, 50 ​​иж бүрдэл автомашины сэлбэг хэрэгсэл, 150 иж бүрдэл үйлдвэрлэх ёстой. ачааны машинба автобус, дараа нь энэ үйлдвэрийн үйлдвэрлэлийн программыг таван бүрэлдэхүүн хэсэгтэй вектор (50, 100, 10, 50, 150) хэлбэрээр бичиж болно.

Тэмдэглэгээ. Векторуудыг тодоор тэмдэглэв жижиг үсэгэсвэл дээд талд нь баар эсвэл сумтай үсэг, жишээлбэл, аэсвэл. Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь ижил тооны бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй бөгөөд тэдгээрийн харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэнцүү бол.

Вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг солих боломжгүй, жишээлбэл, (3, 2, 5, 0, 1)ба (2, 3, 5, 0, 1) өөр векторууд.
Вектор дээрх үйлдлүүд.ажил x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) бодит тоогоорλ вектор гэж нэрлэдэгλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Дүнx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ба y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) -ийг вектор гэнэ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Вектор орон зай.Н -хэмжээст вектор орон зай Р n нь үржүүлэх үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг бүх n хэмжээст векторуудын олонлогоор тодорхойлогддог. бодит тооболон нэмэлт.

Эдийн засгийн дүрслэл. n хэмжээстийн эдийн засгийн зураглал вектор орон зай: барааны орон зай (бараа). Доод бараабид худалдаанд гарах ямар нэг бараа, үйлчилгээг ойлгох болно тодорхой хугацаатодорхой газар. Боломжтой барааны хязгаарлагдмал тоо n байна гэж бодъё; Хэрэглэгчийн худалдаж авсан тэдгээрийн тоо хэмжээг багц барааны хэлбэрээр тодорхойлдог

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

Энд x i нь хэрэглэгчийн худалдан авсан i-р барааны хэмжээг илэрхийлнэ. Бүх бараа нь дур зоргоороо хуваагдах шинж чанартай байдаг тул тэдгээрийн сөрөг бус тоо хэмжээг худалдан авах боломжтой гэж бид таамаглах болно. Дараа нь бүх боломжит барааны багц нь барааны орон зай C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).

Шугаман бие даасан байдал. Систем д 1 , д 2 , ... , д m n хэмжээст векторуудыг нэрлэнэ шугаман хамааралтай, хэрэв ийм тоо байгаа болλ 1 , λ 2 , ... , λ м , үүнээс дор хаяж нэг нь тэг биш байх тул тэгш байдалλ 1 д 1 + λ 2 д 2 +... + λ м дм = 0; өөрөөр энэ системвекторууд гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан, өөрөөр хэлбэл заасан тэгш байдал нь зөвхөн бүх тохиолдолд л боломжтой болно . Геометрийн утга шугаман хамааралвекторууд Р 3-ыг чиглэсэн сегмент гэж тайлбарлавал дараах теоремуудыг тайлбарла.

Теорем 1. Нэг вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн энэ вектор тэг байвал шугаман хамааралтай байна.

Теорем 2. Хоёр вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь коллинеар (параллель) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Теорем 3 . Гурван вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай (нэг хавтгайд байрлах) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Зүүн ба баруун гурвалсан векторууд. Хавсарсан бус векторуудын гурав дахин a, b, cдуудсан зөв, хэрэв тэдгээрийн нийтлэг гарал үүслийн ажиглагч векторуудын төгсгөлийг тойрч байвал a, b, cөгөгдсөн дарааллаар цагийн зүүний дагуу гарч ирдэг. Үгүй бол a, b, c -гурав үлдсэн. Бүх баруун (эсвэл зүүн) гурвалсан векторууд гэж нэрлэгддэг адилхан чиглэсэн.

Суурь ба координат. Тройка д 1, д 2 , д 3 хуваарьгүй векторууд Р 3 гэж нэрлэдэг суурь, мөн векторууд өөрсдөө д 1, д 2 , д 3 - үндсэн. Аливаа вектор аүндсэн векторууд болгон өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр төлөөлдөг

А= x 1 д 1+x2 д 2 + x 3 д 3, (1.1)

(1.1) өргөтгөлийн x 1 , x 2 , x 3 тоонуудыг дуудна координатуудаүндсэн дээр д 1, д 2 , д 3 ба томилогдсон а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормаль суурь. Хэрэв векторууд д 1, д 2 , д 3 нь хос перпендикуляр бөгөөд тус бүрийн урт нь нэгтэй тэнцүү бол суурь гэж нэрлэдэг. ортонормаль, мөн координатууд x 1 , x 2 , x 3 - тэгш өнцөгт.Ортонормаль суурийн суурь векторуудыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ i, j, k.

Бид үүнийг сансарт гэж таамаглах болно Р 3 сонгосон зөв системДекарт тэгш өнцөгт координат (0, i, j, k}.

Вектор урлагийн бүтээл. Вектор урлагийн бүтээл Авектор руу бвектор гэж нэрлэдэг в, энэ нь дараах гурван нөхцөлөөр тодорхойлогддог.

1. Векторын урт ввекторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тоогоор тэнцүү байна аТэгээд б,өөрөөр хэлбэл
в= |a||b|нүгэл( а^б).

2. Вектор ввектор тус бүрд перпендикуляр байна аТэгээд б.

3. Векторууд а, бТэгээд в, заасан дарааллаар авсан, баруун гурвалсан үүсгэнэ.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний хувьд втэмдэглэгээг танилцуулж байна c =[ab] эсвэл
c = a × б.

Хэрэв векторууд аТэгээд бхоорондоо уялдаатай, дараа нь нүгэл ( a^b) = 0 ба [ ab] = 0, ялангуяа, [ аа] = 0. Нэгж векторын вектор үржвэрүүд: [ ij]=к, [jk] = би, [ки]=j.

Хэрэв векторууд аТэгээд бүндэслэлд заасан i, j, kкоординатууд а(a 1 , a 2 , a 3), б(b 1, b 2, b 3), дараа нь

Холимог ажил. Хэрэв хоёр векторын вектор үржвэр бол АТэгээд бгурав дахь вектороор скаляраар үржүүлсэн в,тэгвэл гурван векторын ийм үржвэрийг нэрлэнэ холимог ажилба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байна а б в.

Хэрэв векторууд а, бТэгээд вүндсэн дээр i, j, kтэдгээрийн координатаар өгөгдсөн
а(a 1 , a 2 , a 3), б(b 1, b 2, b 3), в(c 1, c 2, c 3), дараа нь

.

Холимог бүтээгдэхүүн нь энгийн геометрийн тайлбартай байдаг - энэ нь өгөгдсөн гурван вектор дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй үнэмлэхүй утгатай тэнцүү скаляр юм.

Хэрэв векторууд зөв гурвалсан бол тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь заасан эзэлхүүнтэй тэнцүү эерэг тоо байна; хэрэв энэ нь гурав бол a, b, c -тэгээд зүүн a b c<0 и V = - a b c, тиймээс V =|a b c|.

Нэгдүгээр бүлгийн асуудалд тулгарсан векторуудын координатыг зөв ортонормаль суурьтай харьцуулсан гэж үзнэ. Нэгж вектор вектортой координат А,тэмдгээр илэрхийлнэ АО. Тэмдэг r=ОММ цэгийн радиус вектороор тэмдэглэгдсэн, a, AB эсвэл тэмдэгтүүд|а|, | AB|векторуудын модулиудыг тэмдэглэв АТэгээд AB.

Жишээ 1.2. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол а= 2м+4nТэгээд б= м-н, Хаана мТэгээд n-нэгж векторууд ба хоорондын өнцөг мТэгээд n 120 o-тай тэнцүү.

Шийдэл. Бидэнд байна: cos φ = ab/аб ab =(2м+4n) (м-н) = 2м 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; а 2 = (2м+4n) (2м+4n) =
= 4м 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, энэ нь a = гэсэн үг. b = ; б 2 =
= (м-н)(м-н) = м 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, энэ нь b = гэсэн үг. Эцэст нь бидэнд байна: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Жишээ 1.3.Векторуудыг мэддэг AB(-3,-2.6) ба МЭӨ(-2,4,4),АВС гурвалжны AD өндрийн уртыг тооцоол.

Шийдэл. ABC гурвалжны талбайг S-ээр тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг авна.
S = МЭӨ 1/2. Дараа нь AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, энэ нь вектор гэсэн үг А.С.координаттай
. .

Жишээ 1.4 . Хоёр вектор өгөгдсөн а(11,10,2) ба б(4,0,3). Нэгж векторыг ол в,векторуудад ортогональ аТэгээд бба дараалсан гурвалсан вектор байхаар чиглүүлсэн a, b, cзөв байсан.

Шийдэл.Векторын координатыг тэмдэглэе в x, y, z-ийн хувьд өгөгдсөн зөв ортонормаль суурийн хувьд.

Түүнээс хойш в ⊥ а, в ⊥б, Тэр ойролцоогоор= 0,cb= 0. Бодлогын нөхцлийн дагуу c = 1 ба байх шаардлагатай a b c >0.

Бидэнд тэгшитгэлийн систем бий х, у, з олох: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Системийн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлээс бид z = -4/3 x, y = -5/6 x-ийг олж авна. Гурав дахь тэгшитгэлд y ба z-г орлуулбал: x 2 = 36/125, эндээс
x =± . Нөхцөлийг ашиглах a b c > 0, бид тэгш бус байдлыг олж авна

z ба y-ийн илэрхийллүүдийг харгалзан бид үүссэн тэгш бус байдлыг 625/6 x > 0 хэлбэрээр дахин бичдэг бөгөөд энэ нь x>0 гэсэн үг юм. Тэгэхээр x = , y = - , z =- .

Танилцуулга

Векторууд биднийг хаа сайгүй хүрээлж, өдөр тутмын амьдралдаа тусалдаг тухай цөөхөн хүн боддог гэж хэлж болно. Нөхцөл байдлыг авч үзье: нэг залуу гэрээсээ хоёр зуун метрийн зайд нэг охинтой болзожээ. Тэд бие биенээ олох болов уу? Мэдээжийн хэрэг үгүй, учир нь залуу гол зүйлийг зааж өгөхөө мартсан: чиглэл, өөрөөр хэлбэл шинжлэх ухааны хэлээр бол вектор. Цаашилбал, энэ төсөл дээр ажиллах явцад би илүү олон зүйлийг дутуугүй өгөх болно сонирхолтой жишээнүүдвекторууд.

Ер нь бол математик гэж би итгэдэг хамгийн сонирхолтой шинжлэх ухаан, мэдлэгт ямар ч хязгаарлалт байхгүй. Би векторын сэдвийг санамсаргүй сонгосон биш, "вектор" гэсэн ойлголт нь нэг шинжлэх ухаан, тухайлбал математикийн хүрээнээс хол давж, биднийг бараг хаа сайгүй хүрээлж байгааг маш их сонирхож байсан. Тиймээс хүн бүр вектор гэж юу болохыг мэддэг байх ёстой, тиймээс энэ сэдэв маш их хамааралтай гэж би бодож байна. Сэтгэл судлал, биологи, эдийн засаг болон бусад олон шинжлэх ухаанд "вектор" гэсэн ойлголтыг ашигладаг. Би энэ талаар дараа дэлгэрэнгүй ярих болно.

Зорилго энэ төсөлЭдгээр нь векторуудтай ажиллах ур чадвар эзэмших, ердийн зүйлээс ер бусын зүйлийг олж харах чадвар, бидний эргэн тойрон дахь ертөнцөд анхааралтай хандах хандлагыг хөгжүүлэх явдал юм.

Вектор концепцийн түүх

Үндсэн ойлголтуудын нэг орчин үеийн математиквектор юм. Векторын тухай ойлголтын хувьсал нь энэ ойлголтыг өргөнөөр ашигласны ачаар хийгдсэн янз бүрийн бүс нутагматематик, механик, мөн технологийн чиглэлээр.

Вектор харьцангуй шинэ математикийн ойлголт. "Вектор" гэсэн нэр томьёо нь анх 1845 онд Ирландын математикч, одон орон судлаач Уильям Хамилтон (1805 - 1865) тоон системийг ерөнхийд нь нэгтгэх тухай бүтээлдээ гарч ирсэн. нийлмэл тоо. Гамильтон мөн "скаляр", "скаляр үржвэр", "вектор үржвэр" гэсэн нэр томъёог бий болгосон. Түүнтэй бараг нэгэн зэрэг Германы математикч Герман Грассманн (1809 – 1877) нэг чиглэлд, гэхдээ өөр өнцгөөс судалгаа хийжээ. Английн иргэн Уильям Клиффорд (1845 - 1879) энэ хүрээнд хоёр хандлагыг нэгтгэж чадсан. ерөнхий онол, үүнд мөн энгийн вектор тооцоолол орно. Энэ нь 1901 онд вектор анализын талаар өргөн хүрээтэй сурах бичиг хэвлүүлсэн Америкийн физикч, математикч Жосиа Виллард Гиббс (1839 - 1903) -ийн бүтээлүүдэд эцсийн хэлбэрээ авчээ.

Сүүлийн зууны төгсгөл ба энэ зууны эхэн үе нь вектор тооцоолол, түүний хэрэглээ өргөн дэлгэр хөгжсөнөөр тэмдэглэгдсэн. Вектор алгебр, вектор анализ, вектор орон зайн ерөнхий онолыг бий болгосон. Эдгээр онолыг харьцангуйн тусгай болон ерөнхий онолыг бүтээхэд ашигласан. чухал үүрэгВ орчин үеийн физик.

Хэмжээ, чиглэлээр тодорхойлогддог объектуудтай харьцах үед векторын тухай ойлголт үүсдэг. Жишээлбэл, зарим нь физик хэмжигдэхүүнүүдхүч, хурд, хурдатгал гэх мэт нь зөвхөн тодорхойлогддоггүй тоон утга, гэхдээ бас чиглэл. Үүнтэй холбогдуулан заасан физик хэмжигдэхүүнийг чиглэсэн сегментээр илэрхийлэх нь тохиромжтой. Шаардлагын дагуу шинэ програмМатематик, физикийн хувьд векторын тухай ойлголт тэргүүлэх ойлголтуудын нэг болжээ сургуулийн курсматематик.

Математик дахь векторууд

Вектор нь эхлэл ба төгсгөлтэй чиглэсэн сегмент юм.

А цэг дээр эхлэл, В цэг дээр төгсгөлтэй векторыг ихэвчлэн AB гэж тэмдэглэдэг. Жишээлбэл, векторуудыг дээр нь сумтай (заримдаа зураас) жижиг латин үсгээр тэмдэглэж болно.

Геометрийн векторыг орчуулгатай (параллель орчуулга) зүйрлэдэг бөгөөд энэ нь түүний нэрний гарал үүслийг (Латин вектор, зөөгч) тодорхой болгодог. Үнэхээр чиглэгдсэн сегмент бүр заримыг нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог зэрэгцээ шилжүүлэгхавтгай эсвэл орон зай: гэж хэлье, AB вектор нь дамжуулалтыг байгалийн жамаар тодорхойлдог бөгөөд А цэг нь В цэг рүү шилжих бөгөөд эсрэгээр, А нь В руу явдаг зэрэгцээ шилжүүлэг нь зөвхөн чиглэсэн AB сегментийг тодорхойлдог.

AB векторын урт нь AB сегментийн урт бөгөөд үүнийг ихэвчлэн AB гэж тэмдэглэдэг. Векторуудын дунд тэгийн үүргийг гүйцэтгэдэг тэг вектор, эхлэл ба төгсгөл нь давхцдаг; Энэ нь бусад векторуудаас ялгаатай нь ямар ч чиглэл өгдөггүй.

Хоёр вектор зэрэгцээ шулуун дээр эсвэл нэг шулуун дээр оршдог бол тэдгээрийг коллинеар гэж нэрлэдэг. Хоёр векторыг нэг чиглэлд, нэг чиглэлд, эсрэг чиглэлтэй, нэг чиглэлд чиглэсэн байвал кодиректор гэнэ. өөр өөр талууд.

Вектор дээрх үйлдлүүд

Вектор модуль

AB векторын модуль нь AB сегментийн урттай тэнцүү тоо юм. AB гэж тодорхойлсон. Координатаар үүнийг дараах байдлаар тооцоолно.

Вектор нэмэх

IN зохицуулалтын төлөөлөлНөхцөлүүдийн харгалзах координатыг нийлбэрээр нийлбэр векторыг олж авна.

)(\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_(y)+b_(y),a_(z)+b_(z) ))

Нийлбэр векторыг геометрийн аргаар байгуулахын тулд (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b)))c = ашиглах өөр өөр дүрэм(арга), гэхдээ бүгд ижил үр дүнг өгдөг. Нэг буюу өөр дүрмийг ашиглах нь асуудлыг шийдэж байгаагаар зөвтгөгддөг.

Гурвалжингийн дүрэм

Гурвалжингийн дүрэм нь векторыг дамжуулалт гэж ойлгосноор хамгийн жам ёсоороо гардаг. Хоёр шилжүүлгийг (\displaystyle (\vec (a))) ба (\displaystyle (\vec (b))) аль нэг цэгт нэг удаа шилжүүлсэнтэй ижил байх нь тодорхой байна (\displaystyle) (\vec (a) ))+(\vec (b))), энэ дүрэмд харгалзах. Хоёр векторыг нэмэхийн тулд (\displaystyle (\vec (a))) ба (\displaystyle (\vec (b))) гурвалжингийн дүрмийн дагуу эдгээр вектор хоёулаа өөр хоорондоо параллель шилжүүлж, аль нэгнийх нь эхлэлийг байрлуулна. нөгөөгийн төгсгөлтэй давхцаж байна. Дараа нь нийлбэр векторыг үүссэн гурвалжны гурав дахь талд өгөх бөгөөд түүний эхлэл нь эхний векторын эхлэлтэй, төгсгөл нь хоёр дахь векторын төгсгөлтэй давхцдаг.

Энэ дүрмийг дурын тооны вектор нэмэхэд шууд бөгөөд байгалийн байдлаар ерөнхийд нь хувиргаж болно тасархай шугамын дүрэм:

Олон өнцөгт дүрэм

Хоёр дахь векторын эхлэл нь эхнийх нь төгсгөлтэй, гурав дахь векторын эхлэл нь хоёр дахь векторын төгсгөлтэй давхцах гэх мэт векторуудын нийлбэр (\displaystyle n) нь вектор бөгөөд эхлэл нь эхлэлтэй давхцдаг. эхнийх ба төгсгөл нь төгсгөлтэй (\displaystyle n) давхцаж байна (өөрөөр хэлбэл, энэ нь полилиныг хааж буй чиглэсэн сегмент хэлбэрээр дүрслэгдсэн). Мөн эвдэрсэн шугамын дүрэм гэж нэрлэдэг.

Параллелограммын дүрэм

Хоёр вектор нэмэхийн тулд (\displaystyle (\vec (a))) ба (\displaystyle (\vec (b))) параллелограммын дүрмийн дагуу эдгээр хоёр векторыг өөр хоорондоо зэрэгцээ шилжүүлснээр гарал үүсэл нь давхцдаг. Дараа нь нийлбэр векторыг нийтлэг гарал үүслээс нь эхлэн тэдгээрийн дээр байгуулсан параллелограммын диагональаар өгнө.

Параллелограммын дүрэм нь нийлбэр векторыг хоёр нэр томъёо хэрэглэж буй ижил цэгт шууд хэрэглэх, өөрөөр хэлбэл бүх гурван векторыг ижил төстэй байдлаар дүрслэх шаардлагатай үед ялангуяа тохиромжтой байдаг. ерөнхий эхлэл.

Вектор хасах

Координатын хэлбэрийн зөрүүг олж авахын тулд та векторуудын харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй.

‚ (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_(y)-b_(y),a_(z)-b_(z) ))

Ялгаа векторыг (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) авахын тулд векторуудын эхлэлүүд холбогдсон ба векторын эхлэл (\displaystyle (\displaystyle () \vec (c))) төгсгөл байх болно (\displaystyle (\vec (b))), төгсгөл нь төгсгөл (\displaystyle (\vec (a))). Хэрэв бид үүнийг вектор цэгүүдийг ашиглан бичвэл AC-AB=BC(\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Векторыг тоогоор үржүүлэх

Векторыг (\displaystyle (\vec (a))) тоогоор (\displaystyle \alpha 0) үржүүлбэл (\displaystyle \alpha ) дахин их урттай кодиректорт вектор гарч ирнэ. Векторыг (\displaystyle (\vec (a))) тоогоор үржүүлэх (\displaystyle \alpha , урт нь (\displaystyle \alpha ) дахин их эсрэг чиглэлтэй векторыг өгнө. Векторыг координат хэлбэрээр тоогоор үржүүлэх. Бүх координатыг энэ тоогоор үржүүлснээр хийгддэг:

(\displaystyle \альфа (\vec (a))=(\альфа a_(x),\альфа a_(y),\альфа a_(z)))

Векторуудын цэгийн үржвэрСкаляр

Скаляр үржвэр нь векторыг вектороор үржүүлснээр олж авсан тоо юм. Томъёогоор олно:

Скаляр үржвэрийг мөн векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр олж болно. Векторуудын хэрэглээ холбогдох шинжлэх ухаан Физик дэх векторуудВекторууд - хүчирхэг хэрэгсэлматематик, физик. Механик ба электродинамикийн үндсэн хуулиудыг векторуудын хэлээр томъёолдог. Физикийг ойлгохын тулд векторуудтай хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Математикийн нэгэн адил физикт вектор нь тоон утга, чиглэлээрээ тодорхойлогддог хэмжигдэхүүн юм. Физикт векторууд болох хүч, байрлал, хурд, хурдатгал, эргүүлэх момент, импульс, цахилгаан ба соронзон орны хүч гэх мэт олон чухал хэмжигдэхүүнүүд байдаг. Уран зохиол дахь векторуудИван Андреевич Крыловын "Хун, хавч, цурхай хэрхэн ачаа тээш зөөж эхэлсэн тухай" үлгэрийг санацгаая. Үлгэрт "Тэгсэн тэрэг хэвээрээ байна" гэж заасан байдаг, өөрөөр хэлбэл, тэргэнцэрт үзүүлсэн бүх хүчний үр дүн тэг болно. Бидний мэдэж байгаагаар хүч чадал, вектор хэмжигдэхүүн. Хими дэх векторууд

Ихэнхдээ агуу эрдэмтэд ч гэсэн ийм санааг илэрхийлдэг химийн урвалвектор юм. Үнэн хэрэгтээ аливаа үзэгдлийг "вектор" гэсэн ойлголтод багтааж болно. Вектор нь орон зай, тодорхой нөхцөлд тодорхой чиглэлтэй үйлдэл, үзэгдлийг илэрхийлдэг бөгөөд түүний хэмжээ нь тусгагдсан байдаг. Орон зай дахь векторын чиглэлийг вектор ба координатын тэнхлэгүүдийн хооронд үүссэн өнцгөөр, векторын уртыг (магнитудын) эхлэл ба төгсгөлийн координатаар тодорхойлно.

Гэсэн хэдий ч химийн урвалыг вектор гэж үзэх нь өнөөг хүртэл үнэн зөв биш байсан. Гэсэн хэдий ч энэ мэдэгдлийн үндэс нь юм дараагийн дүрэм: "Аливаа химийн урвал нь бодисын хэмжээ (моль), масс эсвэл эзэлхүүний хэлбэрээр одоогийн координат бүхий орон зайд шулуун шугамын тэгш хэмтэй тэгшитгэлтэй тохирч байна."

Бүх шууд химийн урвалууд гарал үүслээр дамждаг. Орон зайд ямар нэгэн шулуун шугамыг вектороор илэрхийлэх нь тийм ч хэцүү биш боловч химийн урвалын шулуун шугам нь координатын системийн эхийг дайран өнгөрдөг тул шууд химийн урвалын вектор нь өөрөө шулуун дээр байрладаг гэж бид үзэж болно. ба радиус вектор гэж нэрлэдэг. Энэ векторын гарал үүсэл нь координатын системийн гарал үүсэлтэй давхцдаг. Тиймээс бид дүгнэж болно: аливаа химийн урвал нь түүний векторын орон зай дахь байрлалаар тодорхойлогддог. Биологийн векторууд

Вектор (генетикийн хувьд) - нуклейн хүчлийн молекул, ихэвчлэн ДНХ-д ашиглагддаг генетикийн инженерчлэлшилжүүлгийн хувьд генетикийн материалөөр эс.

Эдийн засаг дахь векторууд

Хэсгүүдийн нэг дээд математикбайна шугаман алгебр. Түүний элементүүд нь янз бүрийн эдийн засгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн хэрэглэгддэг. Тэдний дунд векторын тухай ойлголт чухал байр суурь эзэлдэг.

Вектор нь тоонуудын эрэмблэгдсэн дараалал юм. Вектор дахь тоонуудыг дарааллаар нь тоогоор нь байрлуулахыг харгалзан вектор бүрэлдэхүүн гэж нэрлэдэг. Векторуудыг ямар ч шинж чанартай, түүний дотор эдийн засгийн элемент гэж үзэж болно гэдгийг анхаарна уу. Нэхмэлийн тодорхой үйлдвэр нь нэг ээлжинд 30 иж бүрдэл даавуу, 150 алчуур, 100 халат үйлдвэрлэдэг байх ёстой гэж бодъё, тэгвэл энэ үйлдвэрийн үйлдвэрлэлийн хөтөлбөрийг вектор хэлбэрээр илэрхийлж болно, энэ үйлдвэрийн үйлдвэрлэх ёстой бүх зүйл нь гурван хэмжээст вектор юм. .

Сэтгэл судлал дахь векторууд

Өнөөдөр байна асар их хэмжээөөрийгөө танин мэдэхүйн мэдээллийн эх сурвалж, сэтгэл судлал, өөрийгөө хөгжүүлэх чиглэлүүд. Ийм ер бусын чиглэлийг анзаарах нь тийм ч хэцүү биш юм систем-вектор сэтгэл зүй, үүнд 8 вектор байна.

Өдөр тутмын амьдрал дахь векторууд

Яг нарийн шинжлэх ухаанаас гадна векторууд надтай өдөр бүр тааралддагийг би анзаарсан. Жишээлбэл, цэцэрлэгт хүрээлэнгээр явж байхдаа би гацуур модыг сансарт векторын жишээ гэж үзэж болохыг анзаарсан: түүний доод хэсэг нь векторын эхлэл, модны орой нь векторын төгсгөл. Томоохон дэлгүүрүүдээр зочлохдоо вектор дүрс бүхий тэмдэг нь тодорхой хэлтсийг хурдан олж, цаг хэмнэхэд тусалдаг.

Замын хөдөлгөөний тэмдэг дээрх векторууд

Бид өдөр бүр гэрээсээ гараад явган зорчигч ч бай, жолооч ч бай замын хөдөлгөөнд оролцдог. Өнөө үед бараг бүх гэр бүлд машин байдаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг бүх замын хөдөлгөөнд оролцогчдын аюулгүй байдалд нөлөөлж чадахгүй. Мөн зам дээр осол гарахгүйн тулд замын хөдөлгөөний бүх дүрмийг дагаж мөрдөх ёстой. Амьдралд бүх зүйл хоорондоо уялдаатай байдаг бөгөөд хамгийн энгийн замын хөдөлгөөний тэмдгүүдэд ч гэсэн математикт вектор гэж нэрлэгддэг чиглэлтэй сумуудыг хардаг гэдгийг мартаж болохгүй. Эдгээр сумнууд (векторууд) бидэнд хөдөлгөөний чиглэл, хөдөлгөөний чиглэл, тойрог зам болон бусад олон зүйлийг харуулдаг. Энэ бүх мэдээллийг замын хажуугийн замын тэмдэг дээрээс уншиж болно.

Дүгнэлт

Сургуулийн математикийн хичээл дээр бидний дахин ярилцсан "вектор" гэсэн үндсэн ойлголт нь хэсгүүдэд суралцах үндэс суурь юм. ерөнхий хими, ерөнхий биологи, физик болон бусад шинжлэх ухаан. Амьдралд хүссэн объектоо олох, цаг хугацаа хэмнэх, замын хөдөлгөөний тэмдгүүдэд тодорхой үүрэг гүйцэтгэдэг векторуудын хэрэгцээг би ажиглаж байна.

Дүгнэлт

Хүн бүр өдөр тутмын амьдралдаа векторуудтай байнга тулгардаг.

Зөвхөн математик төдийгүй бусад шинжлэх ухааныг судлахад вектор хэрэгтэй.

Вектор гэж юу болохыг хүн бүр мэддэг байх ёстой.

Эх сурвалжууд

Башмаков М.А. Вектор гэж юу вэ? - 2-р хэвлэл, стер.: Квант, 1976.-221х.

Выгодский М.Я. Анхан шатны математикийн гарын авлага.-3-р хэвлэл, устгасан. - М.: Наука, 1978.-186 х.

Гусятников П.Б. Вектор алгебржишээнүүд болон асуудлууд дээр - 2-р хэвлэл, стер. төгссөн сургууль, 1985.-302х.

Зайцев В.В. Анхан шатны математик. Давтагдсан курс - 3-р хэвлэл, стер - М.: Наука, 1976. - 156 х.

Коксетер Г.С. Геометрийн шинэ уулзалтууд.-2-р хэвлэл, арилгасан. - М.: Наука, 1978.-324 х.

Погорелов А.В. Аналитик геометр - 3-р хэвлэл, арилгасан. - М.: Квант, 1968.-235 х.

Элсэлтийн түвшин

Координат ба векторууд. Цогц гарын авлага (2019)

Энэ нийтлэлд бид геометрийн олон асуудлыг энгийн арифметик болгон багасгах боломжийг олгодог нэг "шидэт саваа" -ын талаар ярилцаж эхлэх болно. Энэ "зөөгч" нь таны амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно, ялангуяа орон зайн дүрс, хэсэг гэх мэтийг бүтээхдээ итгэлгүй байгаа үед. Энэ бүхэн нь тодорхой төсөөлөл, практик ур чадвар шаарддаг. Бидний энд авч үзэх арга нь ямар ч төрлөөс бараг бүрэн хийсвэрлэх боломжийг танд олгоно геометрийн байгууламжуудболон үндэслэл. арга гэж нэрлэдэг "координатын арга". Энэ нийтлэлд бид дараах асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Координатын хавтгай
2. Хавтгай дээрх цэг ба векторууд
3. Хоёр цэгээс вектор байгуулах
4. Векторын урт (хоёр цэгийн хоорондох зай).
5. Сегментийн дунд хэсгийн координатууд
6. Векторуудын цэгийн үржвэр
7. Хоёр векторын хоорондох өнцөг

Координатын аргыг яагаад ингэж нэрлэдэгийг та аль хэдийн таасан байх гэж бодож байна? Тийм ээ, энэ нь геометрийн объектуудтай биш, харин тэдгээрийн тусламжтайгаар ажилладаг тул ийм нэртэй болсон тоон шинж чанар(координат). Геометрээс алгебр руу шилжих боломжийг олгодог өөрчлөлт нь координатын системийг нэвтрүүлэхээс бүрддэг. Хэрэв анхны зураг хавтгай байсан бол координат нь хоёр хэмжээст, хэрэв зураг гурван хэмжээст бол координат нь гурван хэмжээст байна. Энэ нийтлэлд бид зөвхөн хоёр хэмжээст тохиолдлыг авч үзэх болно. Мөн нийтлэлийн гол зорилго бол заримыг хэрхэн ашиглахыг танд заах явдал юм үндсэн техникүүдкоординатын арга (Тэд заримдаа улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсэгт планиметрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болдог). Энэ сэдвийн дараагийн хоёр хэсэг нь C2 (стереоометрийн асуудал) асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын талаар хэлэлцэхэд зориулагдсан болно.

Координатын аргын талаар ярилцаж эхлэх нь хаанаас логиктой байх вэ? Координатын системийн тухай ойлголтоос л гарсан байх. Түүнтэй анх уулзаж байснаа санаарай. 7-р ангид байхдаа оршин тогтнох тухай мэдсэн юм шиг санагддаг шугаман функц, Жишээ нь. Та үүнийг цэгээс нь босгосон гэдгийг сануулъя. Чи санаж байна уу? Та дурын тоог сонгож, томъёонд орлуулж, ийм байдлаар тооцоолсон. Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл, хэрэв, тэгвэл гэх мэт.. Эцэст нь та юу авсан бэ? Мөн та координаттай оноо авсан: ба. Дараа нь та "загалмай" (координатын систем) зурж, түүн дээр масштабыг сонгоод (нэгж хэсэг болгон хэдэн нүдтэй байх вэ) түүн дээр олж авсан цэгүүдийг тэмдэглэж, дараа нь шулуун шугамаар холбоно шугам нь функцийн график юм.

Энд танд илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлах хэд хэдэн зүйл байна:

1. Нэгж сегментЗураг дээр бүх зүйл сайхан, нягт нийцэхийн тулд та ая тухтай байдлын үүднээс сонгох хэрэгтэй

2. Тэнхлэг нь зүүнээс баруун тийш, тэнхлэг нь доороос дээш явдаг гэдгийг хүлээн зөвшөөрдөг

3. Тэд зөв өнцгөөр огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийн огтлолцох цэгийг эхлэл гэж нэрлэдэг. Үүнийг захидлаар зааж өгсөн болно.

4. Цэгийн координатыг бичихдээ жишээлбэл, зүүн талд нь тэнхлэгийн дагуух цэгийн координатыг хаалтанд, баруун талд нь тэнхлэгийн дагуу тэмдэглэнэ. Ялангуяа, энэ нь зүгээр л цэг дээр гэсэн үг юм

5. Аливаа цэгийг тохируулахын тулд координатын тэнхлэг, та түүний координатыг зааж өгөх хэрэгтэй (2 тоо)

6. Тэнхлэг дээр хэвтэж буй аливаа цэгийн хувьд,

7. Тэнхлэг дээр байрлах аливаа цэгийн хувьд,

8. Тэнхлэгийг х тэнхлэг гэж нэрлэдэг

9. Тэнхлэгийг у тэнхлэг гэж нэрлэдэг

Одоо дараагийн алхамаа хийцгээе: хоёр цэгийг тэмдэглэ. Энэ хоёр цэгийг сегментээр холбоно. Бид сумыг цэгээс цэг рүү сегмент зурж байгаа мэт байрлуулна: өөрөөр хэлбэл бид сегментээ чиглүүлэх болно!

Өөр чиглэлтэй сегментийг юу гэж нэрлэдэгийг санаж байна уу? Энэ нь зөв, үүнийг вектор гэж нэрлэдэг!

Хэрэв бид цэгийг цэг рүү холбовол эхлэл нь А цэг, төгсгөл нь В цэг байх болно,Дараа нь бид векторыг авна. Чи бас 8-р ангидаа энэ бүтээн байгуулалтыг хийж байсныг санаж байна уу?

Векторуудыг цэгүүд шиг хоёр тоогоор тэмдэглэж болно: эдгээр тоог вектор координат гэж нэрлэдэг. Асуулт: Векторын эхлэл ба төгсгөлийн координатыг мэдэх нь координатыг нь олоход хангалттай гэж та бодож байна уу? Энэ нь тийм гэж харагдаж байна! Мөн үүнийг маш энгийнээр хийдэг:

Тиймээс векторын цэг нь эхлэл, төгсгөл нь төгсгөл байдаг тул вектор нь дараах координаттай байна.

Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл векторын координатууд

Одоо эсрэгээр нь векторын координатыг олъё. Үүний тулд бид юуг өөрчлөх хэрэгтэй вэ? Тийм ээ, та эхлэл ба төгсгөлийг солих хэрэгтэй: одоо векторын эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байх болно. Дараа нь:

Анхааралтай харна уу, векторуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Тэдний цорын ганц ялгаа нь координат дахь тэмдэг юм. Тэд эсрэг тэсрэг хүмүүс. Энэ баримтыг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

Заримдаа, аль цэг нь векторын эхлэл, аль нь төгсгөл болохыг тусгайлан заагаагүй бол векторуудыг хоёр том үсгээр биш, харин нэг жижиг үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: гэх мэт.

Одоо жаахан дадлага хийхДараах векторуудын координатыг өөрөө ол.

Шалгалт:

Одоо арай илүү хэцүү асуудлыг шийд:

Нэг цэг дээр эхлэх цэгтэй вектор нь ко-ор-ди-на-та-тай байна. Abs-cis-su цэгүүдийг олоорой.

Бүгд ижил төстэй: Цэгийн координат байцгаая. Дараа нь

Би векторын координат гэж юу вэ гэсэн тодорхойлолт дээр үндэслэн системийг эмхэтгэсэн. Дараа нь цэг нь координаттай болно. Бид абсциссыг сонирхож байна. Дараа нь

Хариулт:

Та векторуудаас өөр юу хийж чадах вэ? Тийм ээ, бараг бүх зүйл ижил байна энгийн тоонууд(Та хуваах боломжгүй, гэхдээ та хоёр аргаар үржүүлж болно, тэдгээрийн аль нэгийг бид энд бага зэрэг ярих болно)

1. Векторуудыг бие биедээ нэмж болно
2. Векторуудыг бие биенээсээ хасаж болно
3. Векторуудыг дурын тэг биш тоогоор үржүүлж (эсвэл хувааж) болно
4. Векторуудыг өөр хоорондоо үржүүлж болно

Эдгээр бүх үйл ажиллагаа нь маш тодорхой байна геометрийн дүрслэл. Жишээлбэл, гурвалжин (эсвэл параллелограмм) нэмэх, хасах дүрэм:

Векторыг тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваахад сунадаг, агшдаг эсвэл чиглэлээ өөрчилдөг.

Гэсэн хэдий ч, бид энд координат юу болох вэ гэсэн асуултыг сонирхох болно.

1. Хоёр векторыг нэмэх (хасах) үед тэдгээрийн координатын элементийг элемент тус бүрээр нь нэмнэ (хасах). Энэ нь:

2. Векторыг тоогоор үржүүлэх (хуваах) үед түүний бүх координатыг энэ тоогоор үржүүлнэ (хуваагдана).

Жишээ нь:

· co-or-di-nat зууны-to-ra хэмжээг ол.

Эхлээд вектор тус бүрийн координатыг олъё. Тэд хоёулаа ижил гарал үүсэлтэй байдаг - гарал үүслийн цэг. Тэдний төгсгөл нь өөр өөр байдаг. Дараа нь, . Одоо векторын координатыг тооцоолбол үүссэн векторын координатуудын нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо дараах асуудлыг өөрөө шийд.

· Векторын координатын нийлбэрийг ол

Бид шалгаж байна:

Одоо дараах асуудлыг авч үзье: бидэнд хоёр цэг байна координатын хавтгай. Тэдний хоорондох зайг хэрхэн олох вэ? Эхний цэг, хоёр дахь нь байг. Тэдгээрийн хоорондох зайг үүгээр тэмдэглэе. Тодорхой болгохын тулд дараах зургийг хийцгээе.

Би юу хийсэн бэ? Нэгдүгээрт, би цэгүүдийг холбож, мөн цэгээс тэнхлэгтэй параллель шугам зурж, цэгээс тэнхлэгтэй параллель шугам татав. Тэд нэг цэг дээр огтлолцон, гайхалтай дүрс үүсгэсэн үү? Түүний юу нь тийм онцгой вэ? Тийм ээ, та бид хоёр бараг бүх зүйлийг мэддэг зөв гурвалжин. За, Пифагорын теорем нь гарцаагүй. Шаардлагатай сегмент нь энэ гурвалжны гипотенуз, сегментүүд нь хөл юм. Цэгийн координат хэд вэ? Тиймээ, тэдгээрийг зургаас олоход хялбар байдаг: Сегментүүд нь тэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул тэдгээрийн уртыг олоход хялбар байдаг: хэрвээ бид сегментүүдийн уртыг тус тусад нь тэмдэглэвэл, дараа нь

Одоо Пифагорын теоремыг ашиглая. Бид хөлний уртыг мэддэг тул гипотенузыг олох болно.

Ийнхүү хоёр цэгийн хоорондох зай нь координатуудын квадратын зөрүүний нийлбэрийн үндэс юм. Эсвэл - хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм.

Цэгүүдийн хоорондох зай нь чиглэлээс хамаардаггүй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Дараа нь:

Эндээс бид гурван дүгнэлт гаргаж байна.

Хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох талаар бага зэрэг дадлага хийцгээе.

Жишээлбэл, хэрэв, дараа нь ба хоорондын зай нь тэнцүү байна

Эсвэл өөр замаар явъя: векторын координатыг ол

Мөн векторын уртыг ол:

Таны харж байгаагаар энэ нь ижил зүйл юм!

Одоо өөрөө бага зэрэг дасгал хий:

Даалгавар: заасан цэгүүдийн хоорондох зайг ол:

Бид шалгаж байна:

Хэдий арай өөр сонсогдож байгаа ч гэсэн ижил томъёог ашигласан хэд хэдэн асуудлыг энд оруулав.

1. Зовхины уртын квадратыг ол.

2. Зовхины уртын квадратыг ол

1. Мөн энэ нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм) Бид өмнө нь векторуудын координатыг олсон: . Дараа нь вектор координаттай байна. Түүний уртын квадрат нь дараахтай тэнцүү байна.

2. Векторын координатыг ол

Дараа нь түүний уртын квадрат нь байна

Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү? Энгийн арифметик, өөр юу ч биш.

Дараах асуудлуудыг хоёрдмол утгагүй ангилж болохгүй; ерөнхий мэдлэгмөн энгийн зураг зурах чадвар.

1. Цэгийг абсцисса тэнхлэгтэй холбосон зүсэлтээс өнцгийн синусыг ол.

Тэгээд

Бид энд яаж цааш явах вэ? Бид тэнхлэг хоёрын хоорондох өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Бид синусыг хаанаас хайх вэ? Энэ нь зөв, тэгш өнцөгт гурвалжинд. Тэгэхээр бид юу хийх хэрэгтэй вэ? Энэ гурвалжинг бүтээ!

Цэгийн координатууд нь ба, тэгвэл хэрчим нь тэнцүү, ба хэрчим болно. Бид өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Синус бол харьцаа гэдгийг сануулъя эсрэг хөлдараа нь гипотенуз руу

Бидэнд юу үлдэх вэ? Гипотенузыг ол. Та үүнийг хоёр аргаар хийж болно: Пифагорын теоремыг ашиглан (хөл нь мэдэгдэж байна!) эсвэл хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан (үнэндээ эхний аргатай ижил зүйл!). Би хоёр дахь замаар явна:

Хариулт:

Дараагийн даалгавар танд илүү хялбар санагдах болно. Тэр цэгийн координат дээр байна.

Даалгавар 2.Цэгээс per-pen-di-ku-lyar нь ab-ciss тэнхлэг рүү доошилно. Най-ди-тэ абс-цис-су ос-но-ва-ния пер-пен-ди-ку-ла-ра.

Зураг зурцгаая:

Перпендикулярын суурь нь х тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэг бөгөөд миний хувьд энэ нь цэг юм. Зураг нь координаттай болохыг харуулж байна: . Бид abscissa буюу "x" бүрэлдэхүүн хэсгийг сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт: .

Даалгавар 3.Өмнөх бодлогын нөхцөлд цэгээс координатын тэнхлэг хүртэлх зайны нийлбэрийг ол.

Хэрэв та цэгээс тэнхлэг хүртэлх зай ямар байхыг мэддэг бол даалгавар нь ерөнхийдөө энгийн зүйл юм. Та мэдэх үү? Би найдаж байна, гэхдээ танд сануулсаар байна:

Тэгэхээр яг дээрх зурган дээрээ би ийм перпендикуляр зурсан уу? Аль тэнхлэг дээр байна вэ? Тэнхлэг рүү. Тэгээд түүний урт хэд вэ? Тэр тэнцүү. Одоо тэнхлэгт перпендикуляр зурж, уртыг нь ол. Энэ нь тэнцүү байх болно, тийм үү? Дараа нь тэдний нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт: .

Даалгавар 4. 2-р даалгаврын нөхцөлд абсцисса тэнхлэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй цэгийн ординатыг ол.

Тэгш хэм гэж юу болох нь танд ойлгомжтой байх гэж бодож байна уу? Олон объектод байдаг: олон барилга, ширээ, онгоц, олон геометрийн хэлбэрүүд: бөмбөлөг, цилиндр, дөрвөлжин, ромбус гэх мэт Бүдүүнчлэн хэлбэл, тэгш хэмийг дараах байдлаар ойлгож болно: дүрс нь хоёр (эсвэл түүнээс дээш) ижил хагасаас бүрдэнэ. Энэ тэгш хэмийг тэнхлэгийн тэгш хэм гэж нэрлэдэг. Тэгвэл тэнхлэг гэж юу вэ? Энэ нь дүрсийг харьцангуйгаар тэнцүү хагас болгон "тайрах" боломжтой яг шугам юм (энэ зураг дээр тэгш хэмийн тэнхлэг шулуун байна):

Одоо даалгавартаа буцаж орцгооё. Бид тэнхлэгт тэгш хэмтэй цэгийг хайж байгаагаа мэдэж байна. Тэгвэл энэ тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг болно. Энэ нь бид тэнхлэг нь сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах цэгийг тэмдэглэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Ийм цэгийг өөрөө тэмдэглэхийг хичээ. Одоо миний шийдэлтэй харьцуул:

Энэ нь танд яг адилхан болсон уу? Сайн байна! Бид олсон цэгийн ординатыг сонирхож байна. Энэ нь тэнцүү юм

Хариулт:

Одоо надад хэлээч, хэдэн секунд бодсоны дараа ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад А цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн абсцисса хэд байх вэ? Та ямар хариулт өгөх вэ? Зөв хариулт: .

IN ерөнхий тохиолдолдүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.

Абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

Ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

За, одоо энэ нь бүрэн аймшигтай болсон даалгавар: цэгийн эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгийн координатыг ол. Чи эхлээд өөрийнхөөрөө бодоод дараа нь миний зургийг хар!

Хариулт:

Одоо параллелограммын асуудал:

Даалгавар 5: Цэгүүд вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма гарч ирнэ. Тэр цэгийг олоорой.

Та энэ асуудлыг логик болон координатын арга гэсэн хоёр аргаар шийдэж болно. Би эхлээд координатын аргыг ашиглаад дараа нь яаж өөрөөр шийдэж болохыг хэлье.

Цэгийн абсцисса тэнцүү гэдэг нь тодорхой байна. (энэ нь цэгээс абсцисса тэнхлэг рүү татсан перпендикуляр дээр байрладаг). Бид ординатыг олох хэрэгтэй. Бидний зураг параллелограмм гэдгийг ашиглацгаая, энэ нь гэсэн үг юм. Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан сегментийн уртыг олъё.

Бид цэгийг тэнхлэгт холбосон перпендикулярыг буулгана. Би огтлолцох цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ.

Сегментийн урт нь тэнцүү байна. (энэ цэгийг хэлэлцсэн асуудлыг өөрөө ол), тэгвэл бид Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно.

Сегментийн урт нь түүний ординаттай яг таарч байна.

Хариулт: .

Өөр нэг шийдэл (би үүнийг харуулсан зургийг л өгье)

Шийдлийн явц:

1. Зан төлөв

2. Цэг ба уртын координатыг ол

3. Үүнийг нотлох.

Бас нэг сегментийн урттай холбоотой асуудал:

Гурвалжны дээд талд цэгүүд гарч ирнэ. Түүний зэрэгцээ шугамын уртыг ол.

Энэ юу болохыг санаж байна уу дунд шугамгурвалжин? Тэгвэл энэ даалгавар таны хувьд энгийн зүйл юм. Хэрэв та санахгүй байгаа бол би танд сануулъя: гурвалжны дунд шугам нь эсрэг талын дундын цэгүүдийг холбосон шугам юм. Энэ нь суурьтай параллель бөгөөд хагастай тэнцүү байна.

Суурь нь сегмент юм. Бид түүний уртыг эрт хайх хэрэгтэй байсан, энэ нь тэнцүү байна. Дараа нь дунд шугамын урт нь хагас том, тэнцүү байна.

Хариулт: .

Тайлбар: Энэ асуудлыг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд үүнийг бид дараа нь авч үзэх болно.

Энэ хооронд танд хэд хэдэн асуудал байна, тэдэн дээр дадлага хий, тэдгээр нь маш энгийн боловч координатын аргыг илүү сайн ашиглахад тусална!

1. Цэгүүд нь тра-пе-ционы дээд хэсэг юм. Дунд шугамын уртыг ол.

2. Оноо ба харагдах байдал вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Тэр цэгийг олоорой.

3. Цэгийг холбосон зүсэлтээс уртыг ол

4. Координат хавтгай дээрх өнгөт дүрсийн ард байгаа хэсгийг ол.

5. На-ча-ле ко-ор-ди-нат дахь төвтэй тойрог цэгээр дамжин өнгөрдөг. Түүнийг ra-di-us-г олоорой.

6. Тойргийн олд-ди-тэ ра-ди-ус, зөв ​​өнцгийн-но-ка-ийн талаар дүрслэх-сан-ной, ямар нэг зүйлийн орой нь ко-эсвэл -ди-на-чи маш хариуцлагатай байдаг.

Шийдэл:

1. Трапецын дунд шугам нь суурийнх нь нийлбэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Суурь нь тэнцүү, суурь нь. Дараа нь

Хариулт:

2. Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн хялбар арга бол үүнийг тэмдэглэх явдал юм (параллелограммын дүрэм). Векторуудын координатыг тооцоолоход хэцүү биш: . Вектор нэмэх үед координатууд нэмэгддэг. Дараа нь координатууд байна. Векторын гарал үүсэл нь координаттай цэг тул цэг нь мөн эдгээр координатуудтай. Бид ординатыг сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт:

3. Бид хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёоны дагуу нэн даруй ажиллана.

Хариулт:

4. Зургийг хараад, сүүдэрлэсэн хэсэг нь аль хоёр дүрсийн хооронд "сэндвич" байгааг хэлээрэй? Энэ нь хоёр квадратын хооронд хавчуулагдсан байна. Дараа нь хүссэн зургийн талбай нь том дөрвөлжингийн талбайгаас жижиг квадратын талбайг хассантай тэнцүү байна. Хажуу тал жижиг дөрвөлжиннь цэгүүдийг холбосон сегмент бөгөөд Түүний урт нь юм

Дараа нь жижиг талбайн талбай байна

Бид том дөрвөлжинтэй ижил зүйлийг хийдэг: түүний тал нь цэгүүдийг холбосон сегмент бөгөөд урт нь тэнцүү байна

Дараа нь том талбайн талбай байна

Хүссэн зургийн талбайг бид дараах томъёогоор олно.

Хариулт:

5. Хэрэв тойрог нь эхийг төв болгож, нэг цэгийг дайран өнгөрвөл түүний радиус нь сегментийн урттай яг тэнцүү байх болно (зураг зурж, энэ нь яагаад тодорхой болохыг ойлгох болно). Энэ сегментийн уртыг олъё:

Хариулт:

6. Тэгш өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус гэдгийг мэддэг хагастай тэнцүүтүүний диагональууд. Хоёр диагональуудын аль нэгнийх нь уртыг олцгооё (эцсийн эцэст тэгш өнцөгт нь тэд тэнцүү байна!)

Хариулт:

За, чи бүх зүйлийг даван туулж чадсан уу? Үүнийг ойлгоход тийм ч хэцүү байгаагүй, тийм үү? Энд зөвхөн нэг дүрэм бий - визуал зураг хийж, үүнээс бүх өгөгдлийг "унших" боломжтой.

Бидэнд маш бага үлдлээ. Би ярихыг хүсч байгаа хоёр зүйл байна.

Энэ энгийн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе. Хоёр оноо өгье. Сегментийн дунд цэгийн координатыг ол. Энэ асуудлын шийдэл нь дараах байдалтай байна: цэгийг хүссэн дунд нь байг, дараа нь координаттай болно.

Энэ нь: сегментийн дунд хэсгийн координат = сегментийн төгсгөлийн харгалзах координатуудын арифметик дундаж.

Энэ дүрэм нь маш энгийн бөгөөд ихэвчлэн оюутнуудад хүндрэл учруулдаггүй. Үүнийг ямар асуудал, хэрхэн ашиглахыг харцгаая.

1. Зүссэн хэсгээс олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту се-ре-ди-ны, цэгийг холбох ба

2. Цоонууд нь дэлхийн хамгийн дээд цэг мэт харагдаж байна. Түүний dia-go-na-ley-ийн per-re-se-che-niya олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту оноо.

3. Хай-di-te abs-cis-su дугуй төв, дүрслэх-сан-ной тухай тэгш өнцөгт-но-ка, ямар нэг зүйлийн орой хамтран эсвэл-ди-на-та маш хариуцлагатай-гэхдээ байна.

Шийдэл:

1. Эхний асуудал бол зүгээр л сонгодог. Бид сегментийн дунд хэсгийг тодорхойлохын тулд нэн даруй үргэлжлүүлнэ. Энэ нь координаттай. Ординат тэнцүү байна.

Хариулт:

2. Энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм (ромбус ч гэсэн!) гэдгийг харахад хялбар байдаг. Үүнийг талуудын уртыг тооцоолж, бие биентэйгээ харьцуулах замаар өөрөө баталж болно. Параллелограммын талаар би юу мэдэх вэ? Түүний диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагддаг! Тиймээ! Тэгэхээр диагональуудын огтлолцох цэг юу вэ? Энэ бол аль ч диагональуудын дунд юм! Би ялангуяа диагональ сонгох болно. Дараа нь цэг нь координаттай байна Цэгийн ординат нь тэнцүү байна.

Хариулт:

3. Тэгш өнцөгтийг тойрсон тойргийн төв нь юутай давхцаж байна вэ? Энэ нь диагональуудын огтлолцох цэгтэй давхцдаг. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар та юу мэдэх вэ? Тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд огтлолцох цэг нь тэдгээрийг хагасаар хуваадаг. Даалгаврыг өмнөх ажил болгон бууруулсан. Жишээлбэл, диагональыг авч үзье. Хэрэв тойргийн төв бол дунд цэг болно. Би координат хайж байна: Абсцисса тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо бие даан бага зэрэг дадлага хий, би зүгээр л асуудал бүрийн хариултыг өгье, ингэснээр та өөрийгөө туршиж үзээрэй.

1. Тойрог олдох-ди-тэ ра-ди-ус, гурвалсан өнцөг-но-ка-ийн талаар дүрслэх-сан-ной, ямар нэг зүйлийн орой нь ко-ор-ди-on-та-тай байдаг.

2. Тойргийн төвийг олоод орой нь координаттай-но-ка гурвалжны талаар-сан-нойыг дүрсэл.

3. Аб-цисс тэнхлэгт хүрэхийн тулд нэг цэг дээр төвтэй тойрог ямар төрлийн ра-ди-у-са байх ёстой вэ?

4. Тэнхлэгийн дахин тохируулгын цэг ба зүсэлтээс, цэгийг холбох ба

Хариултууд:

Бүх зүйл амжилттай болсон уу? Би үнэхээр найдаж байна! Одоо - сүүлчийн түлхэлт. Одоо ялангуяа болгоомжтой байгаарай. Миний одоо тайлбарлах материал нь В хэсгийн координатын аргын энгийн бодлоготой шууд холбоотой төдийгүй С2 бодлогын хаа сайгүй байдаг.

Би амлалтуудынхаа алийг нь хараахан биелүүлээгүй вэ? Би векторууд дээр ямар үйлдлүүдийг танилцуулна гэж амлаж, эцэст нь алийг нь нэвтрүүлсэнээ санаж байна уу? Би юу ч мартаагүй гэдэгт итгэлтэй байна уу? Мартсан! Вектор үржүүлэх гэж юу гэсэн үг болохыг тайлбарлахаа мартав.

Векторыг вектороор үржүүлэх хоёр арга бий. Сонгосон аргаас хамааран бид янз бүрийн шинж чанартай объектуудыг авах болно.

Загалмайн бүтээгдэхүүнийг нэлээд ухаалаг хийдэг. Үүнийг хэрхэн хийх, яагаад хэрэгтэй вэ гэдгийг бид дараагийн өгүүллээр хэлэлцэх болно. Мөн энэ хэсэгт бид скаляр бүтээгдэхүүн дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий:

Таны таамаглаж байгаагаар үр дүн нь ижил байх ёстой! Тиймээс эхлээд эхний аргыг харцгаая:

Координатаар цэгэн бүтээгдэхүүн

Олно: - скаляр үржвэрийн нийтлэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ

Тооцооллын томъёо нь дараах байдалтай байна.

Өөрөөр хэлбэл, скаляр үржвэр = вектор координатын үржвэрийн нийлбэр!

Жишээ:

Хай-ди-тэ

Шийдэл:

Вектор тус бүрийн координатыг олъё.

Бид скаляр бүтээгдэхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Хариулт:

Хараач, ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй!

За, одоо өөрөө үзээрэй:

· Зууны скаляр про-из-ве-де-ни болон

Та удирдаж чадсан уу? Магадгүй та бага зэрэг барьсныг анзаарсан уу? Шалгацгаая:

Өмнөх асуудлын нэгэн адил вектор координат! Хариулт: .

Координатын нэгээс гадна векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар дамжуулан скаляр үржвэрийг тооцоолох өөр нэг арга бий.

ба векторуудын хоорондох өнцгийг илэрхийлнэ.

Өөрөөр хэлбэл, скаляр үржвэр нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Яагаад бидэнд энэ хоёр дахь томьёо хэрэгтэй байна вэ, хэрэв бидэнд эхнийх нь байгаа бол хамаагүй энгийн, ядаж косинус байхгүй. Энэ нь эхний болон хоёр дахь томьёоноос та бид хоёр векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдэхийн тулд шаардлагатай байна!

Дараа нь векторын уртын томъёог санаарай!

Дараа нь би энэ өгөгдлийг скаляр бүтээгдэхүүний томъёонд орлуулах юм бол би дараахь зүйлийг авна.

Гэхдээ нөгөө талаас:

Тэгэхээр та бид хоёр юу авсан бэ? Одоо бидэнд хоёр векторын хоорондох өнцгийг тооцоолох томъёо байна! Заримдаа үүнийг товчлох үүднээс ингэж бичдэг.

Өөрөөр хэлбэл, векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Скаляр үржвэрийг координатаар тооцоол
2. Векторуудын уртыг олоод үржүүл
3. 1-р цэгийн үр дүнг 2-р цэгийн үр дүнд хуваана

Жишээн дээр дадлага хийцгээе:

1. Зовхи болон хоёрын хоорондох өнцгийг ол. Хариултыг grad-du-sah хэлээр өг.

2. Өмнөх бодлогын нөхцөлд векторуудын хоорондох косинусыг ол

Үүнийг хийцгээе: Би чамд эхний асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална, харин хоёр дахь асуудлыг өөрөө хийхийг хичээ! Зөвшөөрч байна уу? Дараа нь эхэлцгээе!

1. Эдгээр векторууд нь бидний эртний найзууд юм. Бид аль хэдийн тэдний скаляр үржвэрийг тооцоолсон бөгөөд энэ нь тэнцүү байсан. Тэдний координат нь: , . Дараа нь бид тэдгээрийн уртыг олно:

Дараа нь бид векторуудын хоорондох косинусыг хайна.

Өнцгийн косинус хэд вэ? Энэ бол булан.

Хариулт:

За, одоо хоёр дахь асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь харьцуулаарай! Би маш богино шийдлийг өгөх болно:

2. координаттай, координаттай.

Дараа нь векторуудын хоорондох өнцөг гэж үзье

Хариулт:

В хэсгийн шууд бодлогууд ба координатын арга В хэсэгт байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй шалгалтын хуудаснэлээд ховор. Гэсэн хэдий ч C2 асуудлын дийлэнх хэсгийг координатын системийг нэвтрүүлснээр хялбархан шийдэж болно. Тиймээс та энэ өгүүллийг бид шийдвэрлэх шаардлагатай нэлээд ухаалаг барилга байгууламжийг бий болгох үндэс суурь гэж үзэж болно. нарийн төвөгтэй даалгавар.

КОРДИНАТ БА ВЕКТОР. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Та бид хоёр координатын аргыг үргэлжлүүлэн судалж байна. Сүүлийн хэсэгт бид цуврал гаргав чухал томъёонууд, энэ нь:

1. Вектор координатыг ол
2. Векторын уртыг ол (өөр нэг хувилбар: хоёр цэгийн хоорондох зай)
3. Векторуудыг нэмэх, хасах. Тэдгээрийг үржүүл бодит тоо
4. Сегментийн дунд цэгийг ол
5. Векторуудын цэгийн үржвэрийг тооцоол
6. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол

Мэдээжийн хэрэг, координатын бүх арга нь эдгээр 6 цэгт тохирохгүй. Энэ нь аналитик геометр гэх мэт шинжлэх ухааны үндэс суурь болдог бөгөөд та үүнийг их сургуульд сурч мэдэх болно. Би зөвхөн нэг мужид асуудлыг шийдэх боломжтой суурийг бий болгомоор байна. шалгалт. Бид В хэсгийн даалгавруудыг гүйцэтгэсэн. Одоо цоо шинэ түвшинд шилжих цаг боллоо! Энэ нийтлэлийг координатын арга руу шилжүүлэх нь зүйтэй гэж үзсэн C2 асуудлыг шийдвэрлэх аргачлалд зориулах болно. Энэ үндэслэл нь тухайн асуудалд юуг олох шаардлагатай, ямар тоогоор тодорхойлогддог. Тиймээс, хэрэв асуултууд байвал би координатын аргыг ашиглах болно.

1. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг ол
2. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол
3. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол
4. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол
5. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол
6. Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг ол
7. Хоёр шугамын хоорондох зайг ол

Хэрэв асуудлын тайлбарт өгөгдсөн дүрс нь эргэлтийн бие (бөмбөг, цилиндр, конус ...) байвал

Координатын аргын тохиромжтой тоонууд нь:

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт)

Мөн миний туршлагаас координатын аргыг хэрэглэх нь зохисгүй:

1. Хөндлөн огтлолын талбайг олох
2. Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох

Гэсэн хэдий ч координатын аргын гурван "тааламжгүй" нөхцөл байдал практикт нэлээд ховор байдаг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй. Ихэнх ажлуудад энэ нь таны аврагч болж чадна, ялангуяа гурван хэмжээст бүтээцэд тийм ч хүчтэй биш бол (энэ нь заримдаа нэлээд төвөгтэй байж болно).

Миний дээр дурдсан бүх тоо юу вэ? Тэд хавтгай байхаа больсон, жишээ нь дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог гэх мэт, гэхдээ их хэмжээний! Үүний дагуу бид хоёр хэмжээст биш харин авч үзэх хэрэгтэй гурван хэмжээст системкоординатууд Үүнийг бүтээхэд маш хялбар: зүгээр л абсцисса ба ординатын тэнхлэгээс гадна бид өөр тэнхлэг болох хэрэглээний тэнхлэгийг нэвтрүүлэх болно. Зурагт тэдгээрийн харьцангуй байрлалыг бүдүүвчээр харуулав.

Тэд бүгд харилцан перпендикуляр бөгөөд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд бид үүнийг координатын гарал үүсэл гэж нэрлэх болно. Өмнөхтэй адил бид абсцисса тэнхлэг, ордны тэнхлэг - , танилцуулсан хэрэглээний тэнхлэгийг - гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв өмнө нь хавтгай дээрх цэг бүрийг абсцисса ба ординат гэсэн хоёр тоогоор тодорхойлдог байсан бол орон зайн цэг бүрийг абсцисса, ординат, аппликат гэсэн гурван тоогоор аль хэдийн тодорхойлсон байдаг. Жишээ нь:

Үүний дагуу цэгийн абсцисса тэнцүү, ординат нь , хэрэглүүр нь .

Заримдаа цэгийн абсциссаг цэгийн абсцисса тэнхлэг, ординат - цэгийн ординатын тэнхлэгт проекц, хэрэглүүр - цэгийн хэрэглээний тэнхлэг дээрх проекц гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу, хэрэв цэг өгөгдсөн бол координат бүхий цэг:

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

Байгалийн асуулт гарч ирнэ: хоёр хэмжээст тохиолдлоор гаргаж авсан бүх томьёо нь орон зайд хүчинтэй юу? Хариулт нь тийм ээ, тэд шударга бөгөөд ижил дүр төрхтэй байдаг. Жижиг нарийн ширийн зүйлийн хувьд. Аль нь болохыг та аль хэдийн таасан байх гэж бодож байна. Бүх томъёонд бид хэрэглээний тэнхлэгийг хариуцах өөр нэг нэр томъёо нэмэх шаардлагатай болно. Тухайлбал.

1. Хоёр оноо өгвөл: , тэгвэл:

• Вектор координатууд:
• Хоёр цэгийн хоорондох зай (эсвэл векторын урт)
• Сегментийн дунд цэг нь координаттай

2. Хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба, тэгвэл:

• Тэдний скаляр үржвэр нь дараахтай тэнцүү байна.
• Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь дараахтай тэнцүү байна.

Гэсэн хэдий ч орон зай нь тийм ч энгийн зүйл биш юм. Таны ойлгож байгаагаар дахин нэг координат нэмэх нь энэ орон зайд "амьдрах" дүрсүүдийн спектрт ихээхэн ялгаатай байдлыг бий болгодог. Цаашид өгүүлэхийн тулд би шулуун шугамын "ерөнхийлэл"-ийн заримыг танилцуулах хэрэгтэй болно. Энэ "ерөнхийлэл" нь онгоц байх болно. Та онгоцны талаар юу мэдэх вэ? Онгоц гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулахыг хичээгээрэй. Үүнийг хэлэхэд маш хэцүү. Гэсэн хэдий ч бид бүгд энэ нь юу болохыг зөн совингоор төсөөлдөг:

Товчхондоо энэ бол огторгуйд наалдсан эцэс төгсгөлгүй "хуудас" юм. "Хязгааргүй" гэдэг нь онгоц бүх чиглэлд сунадаг, өөрөөр хэлбэл түүний талбай нь хязгааргүйтэй тэнцүү гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч энэхүү "гар"-ын тайлбар нь онгоцны бүтцийн талаар өчүүхэн ч гэсэн ойлголт өгөхгүй. Тэр бол биднийг сонирхох болно.

Геометрийн үндсэн аксиомуудын нэгийг санацгаая.

• Шулуун шугам нь хавтгай дээрх хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх ба зөвхөн нэг нь:

Эсвэл түүний сансар дахь аналог:

Мэдээжийн хэрэг, та өгөгдсөн хоёр цэгээс шугамын тэгшитгэлийг яаж гаргахаа санаж байгаа байх, энэ нь тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв эхний цэг нь координаттай бол: хоёр дахь нь шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Та үүнийг 7-р ангидаа авсан. Орон зайд шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна: координаттай хоёр цэг өгье: , тэгвэл тэдгээрийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, шугам нь цэгүүдийг дайран өнгөрдөг:

Үүнийг хэрхэн ойлгох ёстой вэ? Үүнийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: хэрэв цэг нь координат нь дараах системийг хангаж байвал шулуун дээр байрладаг.

Шугамын тэгшитгэлийг бид тийм ч их сонирхохгүй, гэхдээ бид маш их анхаарал хандуулах хэрэгтэй чухал ойлголтчиглүүлэх вектор шулуун шугам. - өгөгдсөн шулуун дээр эсвэл түүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор.

Жишээлбэл, хоёр вектор нь шулуун шугамын чиглэлийн векторууд юм. Шулуун дээр хэвтэж буй цэг, түүний чиглэлийн вектор байг. Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Дахин хэлэхэд, би шулуун шугамын тэгшитгэлийг тийм ч их сонирхохгүй, гэхдээ чиглэлийн вектор гэж юу болохыг санах хэрэгтэй байна! Дахин: Энэ нь шулуун дээр эсвэл үүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор юм.

Татаж авах өгөгдсөн гурван цэг дээр суурилсан хавтгайн тэгшитгэлЭнэ нь тийм ч энгийн зүйл байхаа больсон бөгөөд ихэвчлэн энэ асуудлыг хичээл дээр авч үздэггүй ахлах сургууль. Гэхдээ дэмий хоосон! Нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд координатын аргыг ашиглахад энэ техник нь амин чухал юм. Гэсэн хэдий ч та шинэ зүйл сурах хүсэлтэй байгаа гэж бодож байна уу? Түүгээр ч зогсохгүй, та курст ихэвчлэн судалдаг техникийг аль хэдийн ашиглах боломжтой болсон үед их сургуулийн багшдаа сэтгэгдэл төрүүлэх боломжтой болно. аналитик геометр. Ингээд эхэлцгээе.

Хавтгайн тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлээс тийм ч их ялгаатай биш, тухайлбал дараахь хэлбэртэй байна.

зарим тоо (бүгд биш тэгтэй тэнцүү), хувьсагч, жишээлбэл: гэх мэт. Таны харж байгаагаар хавтгайн тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэлээс (шугаман функц) тийм ч их ялгаатай биш юм. Гэсэн хэдий ч та бид хоёр юу маргаж байсныг санаж байна уу? Хэрэв бид нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгтэй бол тэдгээрээс онгоцны тэгшитгэлийг өвөрмөц байдлаар сэргээж болно гэж бид хэлсэн. Гэхдээ яаж? Би танд тайлбарлахыг хичээх болно.

Хавтгайн тэгшитгэл нь:

Мөн цэгүүд нь энэ хавтгайд хамаарах тул цэг бүрийн координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулахдаа бид зөв таних тэмдгийг олж авах ёстой.

Тиймээс үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байна! Дилемма! Гэсэн хэдий ч та үүнийг үргэлж таамаглаж болно (үүнийг хийхийн тулд та хуваах хэрэгтэй). Тиймээс бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг олж авна.

Гэсэн хэдий ч бид ийм системийг шийдэхгүй, харин үүнээс үүдэлтэй нууцлаг илэрхийлэлийг бичих болно.

Өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(массив)) \баруун| = 0\]

Зогс! Энэ юу вэ? Зарим маш ер бусын модуль! Гэсэн хэдий ч таны өмнө харж буй объект нь модультай ямар ч холбоогүй юм. Энэ объектыг гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Одооноос эхлэн та хавтгай дээрх координатын аргыг судлахдаа эдгээр ижил тодорхойлогчтой байнга тулгарах болно. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж юу вэ? Хачирхалтай нь энэ бол зүгээр л тоо. Тодорхойлогчтой ямар тодорхой тоог харьцуулахыг ойлгоход л үлдлээ.

Эхлээд гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг илүү ерөнхий хэлбэрээр бичье.

Зарим тоо хаана байна. Түүнээс гадна эхний индексээр бид мөрийн дугаарыг, индексээр баганын дугаарыг хэлнэ. Жишээлбэл, энэ тоо нь хоёр дахь мөр, гурав дахь баганын огтлолцол дээр байна гэсэн үг юм. Өмсгөөд үзье дараагийн асуулт: Ийм тодорхойлогчийг яг яаж тооцох вэ? Өөрөөр хэлбэл, бид үүнтэй ямар тодорхой тоогоор харьцуулах вэ? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн хувьд эвристик (харааны) гурвалжны дүрэм байдаг бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

1. Үндсэн диагоналын элементүүдийн үржвэр (зүүн дээд булангаас баруун доод тал руу) эхний гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр нь үндсэн диагональ руу "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжинг үүсгэгч элементүүдийн үржвэр юм. үндсэн диагональ
2. Хоёрдогч диагональ элементүүдийн үржвэр (баруун дээд булангаас зүүн доод тал хүртэл) эхний гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр нь хоёрдогч диагональ руу "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр юм. хоёрдогч диагональ
3. Дараа нь тодорхойлогч зөрүүтэй тэнцүү байнаалхам дээр олж авсан утгууд ба

Хэрэв бид энэ бүгдийг тоогоор бичвэл дараах илэрхийлэл гарч ирнэ.

Гэсэн хэдий ч, та энэ хэлбэрээр тооцоолох аргыг санах шаардлагагүй, зөвхөн гурвалжингууд, юу нэмж, юунаас юуг хасах тухай санааг толгойдоо хадгалахад хангалттай).

Гурвалжингийн аргыг жишээгээр тайлбарлая.

1. Тодорхойлогчийг тооцоол:

Юу нэмж, юуг хасахаа олж мэдье.

Нэмэлт нэмсэн нөхцлүүд:

Энэ бол гол диагональ: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Эхний гурвалжин, "үндсэн диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Хоёрдахь гурвалжин, "гол диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Гурван тоог нэмнэ үү:

Хасах тэмдэгтэй ирдэг нэр томъёо

Энэ нь хажуугийн диагональ юм: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна

Эхний гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь тэнцүү байна.

Хоёр дахь гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн үржвэр нь тэнцүү байна.

Гурван тоог нэмнэ үү:

Үлдсэн зүйл бол "хасах" нөхцлүүдийн нийлбэрээс "нэмэх" нөхцлүүдийн нийлбэрийг хасах явдал юм.

Тиймээс,

Таны харж байгаагаар гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолоход төвөгтэй, ер бусын зүйл байхгүй. Гурвалжны талаар санаж, арифметик алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм. Одоо үүнийг өөрөө тооцоолж үзээрэй:

Даалгавар: заасан цэгүүдийн хоорондох зайг ол:

1. Үндсэн диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
2. Үндсэн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
3. Нэмэх нэр томъёоны нийлбэр:
4. Хоёрдогч диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
5. Хажуугийн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
6. Хасах нэр томъёоны нийлбэр:
7. Нэмэхтэй нөхцлүүдийн нийлбэрийг хасах нь хасахтай нөхцлүүдийн нийлбэр:

Энд хэд хэдэн тодорхойлогч хүчин зүйлүүд байна, тэдгээрийн утгыг өөрөө тооцоолж, хариулттай харьцуулна уу.

Хариултууд:

За, бүх зүйл давхцсан уу? Гайхалтай, тэгвэл та цаашаа явж болно! Хэрэв бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол: Интернет дээр тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолох олон програмууд байдаг. Танд хэрэгтэй зүйл бол өөрийн тодорхойлогчийг гаргаж, өөрөө тооцоолж, дараа нь програмын тооцоолсон зүйлтэй харьцуулах явдал юм. Үр дүн нь давхцаж эхлэх хүртэл гэх мэт. Энэ мөч удахгүй ирэхгүй гэдэгт би итгэлтэй байна!

Одоо гурвыг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийн тухай ярихдаа миний бичсэн тодорхойлогч руу буцъя. оноо өгсөн:

Танд хэрэгтэй зүйл бол түүний утгыг шууд (гурвалжингийн аргыг ашиглан) тооцоолж, үр дүнг тэг болгох явдал юм. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь хувьсагч тул та тэдгээрээс хамаарах зарим илэрхийлэлийг авах болно. Яг энэ илэрхийлэл нь нэг шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл байх болно!

Үүнийг энгийн жишээгээр тайлбарлая:

1. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуул

Бид эдгээр гурван цэгийн тодорхойлогчийг эмхэтгэдэг.

Хялбарчилъя:

Одоо бид гурвалжингийн дүрмийг ашиглан шууд тооцоолно.

\[(\left| (\begin(массив)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\төгсгөл(массив)) \ баруун|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Тиймээс цэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл нь:

Одоо нэг асуудлыг өөрөө шийдэж үзээрэй, дараа нь бид үүнийг хэлэлцэх болно:

2. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг ол

За, одоо шийдлийн талаар ярилцъя:

Тодорхойлогчийг үүсгэцгээе:

Мөн түүний утгыг тооцоолох:

Дараа нь онгоцны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Эсвэл бууруулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Одоо өөрийгөө хянах хоёр даалгавар:

1. Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг байгуул.

Хариултууд:

Бүх зүйл давхцсан уу? Дахин хэлэхэд, хэрэв тодорхой бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол толгойноосоо гурван оноо ав их хэмжээгээрТэд нэг шулуун дээр хэвтэхгүй байх магадлалтай), та тэдгээр дээр тулгуурлан онгоц бүтээдэг. Тэгээд та өөрийгөө онлайнаар шалгана уу. Жишээлбэл, сайт дээр:

Гэсэн хэдий ч тодорхойлогчдын тусламжтайгаар бид зөвхөн хавтгайн тэгшитгэлийг бүтээх болно. Зөвхөн цэгэн үржвэр нь векторуудад тодорхойлогддоггүй гэдгийг би та нарт хэлснийг санаарай. Мөн вектор бүтээгдэхүүн, түүнчлэн холимог бүтээгдэхүүн байдаг. Хэрэв хоёр векторын скаляр үржвэр нь тоо бол хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор байх ба энэ вектор нь өгөгдсөн векторуудад перпендикуляр байх болно.

Түүнээс гадна түүний модуль байх болно талбайтай тэнцүүвекторууд дээр баригдсан параллелограмм ба. Энэ векторЭнэ нь цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолоход хэрэгтэй болно. Векторуудын вектор үржвэрийг хэрхэн тооцоолох вэ, тэдгээрийн координат нь өгөгдсөн бол? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч бидэнд дахин туслахаар ирлээ. Гэсэн хэдий ч, вектор үржвэрийг тооцоолох алгоритм руу шилжихээсээ өмнө би жижиг ухралт хийх ёстой.

Энэ хазайлт нь суурь векторуудад хамаатай.

Тэдгээрийг схемийн дагуу зурагт үзүүлэв:

Тэднийг яагаад үндсэн гэж нэрлэдэг гэж та бодож байна вэ? Гол нь:

Эсвэл зураг дээр:

Энэ томъёоны хүчин төгөлдөр байдал нь ойлгомжтой, учир нь:

Вектор урлагийн бүтээл

Одоо би хөндлөн бүтээгдэхүүнийг танилцуулж эхэлж болно:

Хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор бөгөөд дараах дүрмийн дагуу тооцоолно.

Одоо хөндлөн үржвэрийг тооцоолох зарим жишээг өгье.

Жишээ 1: Векторуудын хөндлөн үржвэрийг ол:

Шийдэл: Би тодорхойлогчийг бүрдүүлж байна:

Тэгээд би үүнийг тооцоолно:

Одоо суурь векторуудаар дамжуулан бичихээс хойш би ердийн вектор тэмдэглэгээ рүү буцах болно.

Тиймээс:

Одоо оролдоод үз.

Бэлэн үү? Бид шалгаж байна:

Уламжлал ёсоор хоёр хяналтын даалгавар:

1. Дараах векторуудын вектор үржвэрийг ол.
2. Дараах векторуудын вектор үржвэрийг ол.

Хариултууд:

Гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн

Надад хамгийн сүүлд хэрэгтэй зүйл бол гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн юм. Энэ нь скаляр шиг тоо юм. Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий. - тодорхойлогчоор, - холимог бүтээгдэхүүнээр.

Тухайлбал, бидэнд гурван вектор өгье:

Дараа нь гурван векторын холимог үржвэрийг дараах байдлаар тооцоолж болно.

1. - өөрөөр хэлбэл холимог үржвэр нь векторын скаляр үржвэр ба бусад хоёр векторын вектор үржвэр юм.

Жишээлбэл, гурван векторын холимог үржвэр нь:

Үүнийг вектор бүтээгдэхүүн ашиглан өөрөө тооцоолж, үр дүн нь таарч байгаа эсэхийг шалгаарай!

Мөн дахин - хоёр жишээ бие даасан шийдвэр:

Хариултууд:

Координатын системийг сонгох

За, одоо бид стереометрийн геометрийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдлэгийн үндэстэй болсон. Гэсэн хэдий ч, жишээнүүд болон тэдгээрийг шийдвэрлэх алгоритм руу шууд орохын өмнө дараахь асуултанд анхаарлаа хандуулах нь ашигтай байх болно гэж би бодож байна: яг яаж тодорхой дүрсийн координатын системийг сонгох.Эцсийн эцэст энэ бол сонголт юм харьцангуй байрлалСансар огторгуй дахь координатын систем, хэлбэрүүд нь эцсийн дүндээ тооцоолол хэр төвөгтэй болохыг тодорхойлох болно.

Энэ хэсэгт бид дараах тоон үзүүлэлтүүдийг авч үзэхийг сануулъя.

1. Тэгш өнцөгт параллелепипед
2. Шулуун призм (гурвалжин, зургаан өнцөгт ...)
3. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин)
4. Тетраэдр (гурвалжин пирамидтай ижил)

Тэгш өнцөгт параллелепипед эсвэл шоо дөрвөлжин хэлбэртэй хэлбэрийн хувьд би танд дараахь зүйлийг хийхийг зөвлөж байна.

Өөрөөр хэлбэл, би дүрсийг "буланд" байрлуулна. Шоо болон параллелепипед бол маш сайн дүрс юм. Тэдний хувьд та түүний оройн координатыг үргэлж хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв (зураг дээр үзүүлсэн шиг)

Дараа нь оройнуудын координатууд дараах байдалтай байна.

Мэдээжийн хэрэг, та үүнийг санах шаардлагагүй, гэхдээ кубыг хэрхэн хамгийн сайн байрлуулахаа санаарай куб хэлбэртэй- хүсүүштэй.

Шулуун призм

Призм бол илүү хор хөнөөлтэй дүрс юм. Орон зайд янз бүрийн аргаар байрлуулж болно. Гэсэн хэдий ч дараахь сонголт надад хамгийн тохиромжтой гэж бодож байна.

Гурвалжин призм:

Өөрөөр хэлбэл, бид гурвалжны нэг талыг бүхэлд нь тэнхлэгт байрлуулж, нэг орой нь координатын эхлэлтэй давхцдаг.

Зургаан өнцөгт призм:

Өөрөөр хэлбэл, оройн аль нэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь тэнхлэг дээр байрладаг.

Дөрвөн ба зургаан өнцөгт пирамид:

Нөхцөл байдал нь шоотой төстэй: бид суурийн хоёр талыг координатын тэнхлэгүүдтэй уялдуулж, оройн аль нэгийг нь координатын гарал үүсэлтэй тэгшлэнэ. Цорын ганц бэрхшээл бол цэгийн координатыг тооцоолох явдал юм.

Зургаан өнцөгт пирамидын хувьд - ижил төстэй зургаан өнцөгт призм. Гол ажил бол оройн координатыг олох явдал юм.

Тетраэдр (гурвалжин пирамид)

Нөхцөл байдал нь гурвалжин призмийн хувьд миний өгсөнтэй маш төстэй юм: нэг орой нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь координатын тэнхлэг дээр байрладаг.

За, одоо та бид хоёр асуудлыг шийдэж эхлэхэд ойрхон байна. Өгүүллийн эхэнд миний хэлсэн зүйлээс та дараах дүгнэлтийг хийж болно: С2 бодлогуудын ихэнх нь өнцгийн бодлого, зайны бодлого гэсэн 2 ангилалд хуваагддаг. Эхлээд бид өнцөг олох асуудлыг авч үзэх болно. Тэдгээр нь эргээд дараахь ангилалд хуваагддаг (тэдгээрийн нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдэх тусам):

Өнцөг олох асуудал

1. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох
2. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг олох

Эдгээр бодлогуудыг дараалан авч үзье: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох замаар эхэлье. За, санаж байна уу, та бид хоёр шийдээгүй гэж үү? ижил төстэй жишээнүүдэрт? Та санаж байна уу, бидэнд аль хэдийн ижил төстэй зүйл байсан ... Бид хоёр векторын хоорондох өнцгийг хайж байсан. Хэрэв хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хамаарлаас олохыг танд сануулъя.

Одоо бидний зорилго бол хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох явдал юм. "Хавтгай зураг" -ыг харцгаая:

Хоёр шулуун огтлолцоход бид хэдэн өнцөгтэй болсон бэ? Хэдхэн зүйл. Үнэн бол тэдгээрийн хоёр нь л тэгш бус, бусад нь босоо байрлалтай (тиймээс тэдэнтэй давхцдаг). Тэгэхээр бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг аль өнцгөөр тооцох ёстой вэ: эсвэл? Энд дүрэм нь: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь үргэлж градусаас ихгүй байна. Өөрөөр хэлбэл, бид хоёр өнцгөөс хамгийн жижиг өнцгийг сонгох болно градусын хэмжүүр. Өөрөөр хэлбэл, энэ зураг дээр хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг тэнцүү байна. Хоёр өнцгийн хамгийн жижигийг олох гэж төвөг удахгүйн тулд зальтай математикчид модуль ашиглахыг санал болгов. Тиймээс хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Анхааралтай уншигчийн хувьд танд өнцгийн косинусыг тооцоолоход шаардлагатай эдгээр тоонуудыг яг хаанаас авах вэ гэсэн асуулт гарч ирэх ёстой байв. Хариулт: Бид тэдгээрийг шугамын чиглэлийн векторуудаас авах болно! Ийнхүү хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бид 1-р томъёог ашигладаг.

Эсвэл илүү дэлгэрэнгүй:

1. Бид эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
2. Бид хоёр дахь шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
3. Бид тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүний модулийг тооцоолно
4. Бид эхний векторын уртыг хайж байна
5. Бид хоёр дахь векторын уртыг хайж байна
6. 4-р цэгийн үр дүнг 5-р цэгийн үр дүнгээр үржүүлнэ
7. Бид 3-р цэгийн үр дүнг 6-р цэгийн үр дүнд хуваана. Шугамын хоорондох өнцгийн косинусыг бид авна.
8. Хэрэв энэ үр дүн нь өнцгийг зөв тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог бол бид үүнийг хайж байна
9. Үгүй бол бид нуман косинусаар бичдэг

За, одоо асуудал руу шилжих цаг боллоо: Би эхний хоёрын шийдлийг нарийвчлан харуулах болно, би өөр нэг шийдлийг танилцуулах болно. товчхондоо, мөн сүүлийн хоёр асуудалд би зөвхөн хариулт өгөх болно, та бүх тооцоог өөрөө хийх ёстой.

Даалгаварууд:

1. Баруун тэт-ра-эд-рэ-д тет-ра-эд-рагийн өндөр ба дунд талын хоорондох өнцгийг ол.

2. Баруун гар талын зургаан өнцөгт пи-ра-ми-дэ, зуун ос-но-ва-ниас тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү, ба шугамын хоорондох өнцгийг ол.

3. Баруун дөрвөн нүүрсний пи-ра-ми-дын бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол, хэрвээ зүсэлтээс авсан бол - та өгөгдсөн пи-ра-ми-ди-тэй байгаа бол цэг нь түүний бо-ко- хоёр дахь хавирга дээр се-ре-ди-байна.

4. Шоо дөрвөлжин ирмэг дээр шулуун ба хоорондын өнцгийг олох цэг байдаг

5. Цэг - шоо ирмэг дээр Шулуун ба хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

Би даалгавруудыг ийм дарааллаар зохион байгуулсан нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Та координатын аргыг ашиглаж эхлэх цаг болоогүй байгаа ч би өөрөө хамгийн "асуудалтай" тоон дээр дүн шинжилгээ хийж, хамгийн энгийн шоотой ажиллахыг танд үлдээх болно! Аажмаар та бүх тоонуудтай хэрхэн ажиллахаа сурах хэрэгтэй болно, би сэдвээс сэдэв рүү даалгаврын нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх болно.

Асуудлыг шийдэж эхэлцгээе:

1. Тетраэдр зурж, миний түрүүн санал болгосны дагуу координатын системд байрлуул. Тетраэдр нь тогтмол байдаг тул түүний бүх нүүр (суурийг оруулаад) байдаг тогтмол гурвалжин. Бидэнд талын уртыг өгөөгүй тул би үүнийг тэнцүү гэж үзэж болно. Энэ өнцөг нь манай тетраэдр хэр их “суналтаас” хамаарахгүй гэдгийг та ойлгож байна гэж бодож байна? Би мөн тетраэдр дэх өндөр ба медианыг зурах болно. Замдаа би түүний суурийг зурах болно (энэ нь бидэнд бас хэрэгтэй болно).

Би хоёрын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй байна. Бид юу мэдэх вэ? Бид зөвхөн цэгийн координатыг л мэднэ. Энэ нь бид цэгүүдийн координатыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Одоо бид бодож байна: цэг нь гурвалжны өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиануудын) огтлолцох цэг юм. Мөн цэг бол өргөгдсөн цэг юм. Цэг нь сегментийн дунд хэсэг юм. Дараа нь бид эцэст нь олох хэрэгтэй: цэгүүдийн координат: .

Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе: цэгийн координат. Зургийг харна уу: Нэг цэгийн хэрэглээ нь тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна (цэг нь хавтгай дээр байрладаг). Ординат нь тэнцүү байна (энэ нь медиан учраас). Түүний абсциссыг олох нь илүү хэцүү байдаг. Гэхдээ үүнийг Пифагорын теорем дээр үндэслэн хялбархан хийж болно: Гурвалжинг авч үзье. Түүний гипотенуз нь тэнцүү ба нэг хөл нь тэнцүү Дараа нь:

Эцэст нь бидэнд: .

Одоо цэгийн координатыг олъё. Түүний хэрэглүүр дахин тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой бөгөөд ординат нь тухайн цэгийнхтэй ижил байна, өөрөөр хэлбэл. Түүний абсциссыг олцгооё. Хэрэв та үүнийг санаж байвал энэ нь маш энгийн зүйл юм өндөр тэгш талт гурвалжиногтлолцлын цэгийг пропорциональ байдлаар хуваана, дээрээс нь тоолж байна. Учир нь: , тэгвэл цэгийн шаардлагатай абсцисса байна урттай тэнцүүсегмент нь тэнцүү байна: . Тиймээс цэгийн координатууд нь:

Цэгийн координатыг олъё. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Мөн өргөдөл нь сегментийн урттай тэнцүү байна. - энэ бол гурвалжны хөлүүдийн нэг юм. Гурвалжны гипотенуз нь сегмент - хөл юм. Үүнийг тодоор тэмдэглэсэн шалтгааны улмаас хайж байна.

Цэг нь сегментийн дунд хэсэг юм. Дараа нь бид сегментийн дунд цэгийн координатын томъёог санах хэрэгтэй.

Ингээд л бид чиглэлийн векторуудын координатыг хайж болно.

За, бүх зүйл бэлэн боллоо: бид бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулна.

Тиймээс,

Хариулт:

Ийм "аймшигтай" хариултаас та айх ёсгүй: C2 даалгаврын хувьд энэ нь нийтлэг практик юм. Энэ хэсэгт байгаа "сайхан" хариултыг хараад гайхах нь дээр. Таны анзаарсанчлан би Пифагорын теорем ба тэгш талт гурвалжны өндрийн шинж чанараас өөр зүйлд хандаагүй. Өөрөөр хэлбэл, стереометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд би хамгийн бага стереометрийг ашигласан. Үүний ашиг нь нэлээд төвөгтэй тооцооллоор хэсэгчлэн "унтарсан". Гэхдээ тэд маш алгоритмтай!

2. Ердийн зургаан өнцөгт пирамидыг координатын систем, мөн суурийнх нь хамт дүрсэлцгээе.

Бид ба шугамын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй. Тиймээс бидний даалгавар бол цэгүүдийн координатыг олох явдал юм. Бид сүүлийн гурвын координатыг жижиг зураг ашиглан олох бөгөөд цэгийн координатаар оройн координатыг олох болно. Хийх ажил их байгаа ч бид эхлэх хэрэгтэй!

a) Координат: түүний хэрэглээний болон ординат нь тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна. Абсциссыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Харамсалтай нь бид зөвхөн гипотенузыг мэддэг бөгөөд энэ нь тэнцүү юм. Бид хөлөө олохыг хичээх болно (учир нь хөлний урт нь хоёр дахин их байх нь бидэнд цэгийн абсцисса өгөх нь тодорхой юм). Бид үүнийг яаж хайх вэ? Пирамидын ёроолд ямар дүрс байгааг санацгаая? Энэ бол ердийн зургаан өнцөгт юм. Энэ юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бүх тал ба бүх өнцөг тэнцүү байна гэсэн үг юм. Бид нэг ийм өнцгийг олох хэрэгтэй. Ямар нэгэн санаа байна уу? Маш олон санаа байдаг, гэхдээ томъёо байдаг:

Энгийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь .

Тиймээс ердийн зургаан өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь градустай тэнцүү байна. Дараа нь өнцөг бүр нь тэнцүү байна:

Зургийг дахин харцгаая. Сегмент нь өнцгийн биссектрис гэдэг нь тодорхой байна. Дараа нь өнцөг нь градустай тэнцүү байна. Дараа нь:

Тэгээд хаанаас.

Тиймээс координатууд байна

б) Одоо бид цэгийн координатыг хялбархан олох боломжтой: .

в) Цэгийн координатыг ол. Түүний абсцисса нь сегментийн урттай давхцаж байгаа тул энэ нь тэнцүү байна. Ординатыг олох нь бас тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв бид цэгүүдийг холбож, шулуун шугамын огтлолцлын цэгийг жишээлбэл, . (энэ нь өөрөө энгийн барилгын ажил). Дараа нь В цэгийн ординат нь хэрчмүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. Гурвалжинг дахин харцгаая. Дараа нь

Тэр цагаас хойш цэг нь координаттай болсон

d) Одоо цэгийн координатыг олъё. Тэгш өнцөгтийг авч үзээд цэгийн координатууд нь:

e) Оройн координатыг олоход л үлддэг. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Програмаа олцгооё. Түүнээс хойш. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Асуудлын нөхцлийн дагуу хажуугийн хавирга. Энэ бол миний гурвалжны гипотенуз юм. Дараа нь пирамидын өндөр нь хөл юм.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

За ингээд л болоо, миний сонирхсон бүх цэгийн координат надад байна. Би шулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын координатыг хайж байна.

Бид эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийг хайж байна.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд, энэ асуудлыг шийдэхдээ би ердийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн томьёо, мөн тэгш өнцөгт гурвалжны косинус, синусын тодорхойлолтоос өөр нарийн төвөгтэй аргыг ашиглаагүй.

3. Пирамидын ирмэгүүдийн уртыг бидэнд дахин өгөөгүй тул би тэдгээрийг тоолох болно. нэгтэй тэнцүү. Тиймээс, зөвхөн хажуугийн ирмэгүүд биш, БҮХ ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү тул пирамидын ёроолд бид дөрвөлжин байна. хажуугийн нүүрнүүд- ердийн гурвалжин. Асуудлын текстэд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэж, ийм пирамид, түүний суурийг хавтгай дээр зурцгаая.

Бид хоёрын хоорондох өнцгийг хайж байна. Би цэгүүдийн координатыг хайхдаа маш товч тооцоолол хийх болно. Та тэдгээрийг "тайлах" хэрэгтэй болно:

б) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд:

в) Би гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно. Би үүнийг гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан олж чадна.

Координат:

d) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд нь

e) Вектор координат

f) Вектор координат

g) Өнцөг хайх:

Шоо - хамгийн энгийн дүрс. Та үүнийг өөрөө шийднэ гэдэгт итгэлтэй байна. 4 ба 5-р асуудлын хариултууд дараах байдалтай байна.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олох

За, энгийн оньсого хийх цаг дууслаа! Одоо жишээнүүд нь бүр ч төвөгтэй байх болно. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.

1. Гурван цэгийг ашиглан бид хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулна
   ,
   Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг ашиглан.
2. Хоёр цэгийг ашиглан бид шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг хайж байна.
3. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

Таны харж байгаагаар энэ томъёо нь хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олоход ашигладаг томъёотой маш төстэй юм. Баруун талын бүтэц нь зүгээр л адилхан бөгөөд зүүн талд бид өмнөх шигээ косинус биш харин синусыг хайж байна. За, нэг муухай үйлдэл нэмсэн - онгоцны тэгшитгэлийг хайх.

Хойшлуулахаа больё шийдлийн жишээ:

1. Гол-гэхдээ-ва-ни-эм шууд призм-бид-ядуутай-рэн-гурвалжин-хоч-чи-ба-тэр призм-бид тэнцүү. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол

2. Баруун талаас тэгш өнцөгт хэлбэртэй par-ral-le-le-pi-pe-de-д Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

3. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

4. Мэдэгдэж байгаа хавирганы ос-но-ва-ни-эм бүхий баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ-д Саарал өнгөтөөр дамжин өнгөрч буй булангийн, ob-ra-zo-van - хавтгай суурь ба шулуун, тэгш өнцөгтийг ол. хавирга ба

5. Оройтой зөв дөрвөлжин пи-ра-ми-дигийн бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Хэрэв цэг нь пи-ра-ми-дигийн ирмэгийн дунд байгаа бол шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

Дахин хэлэхэд би эхний хоёр асуудлыг нэг бүрчлэн, гурав дахь асуудлыг товч, харин сүүлийн хоёрыг та өөрөө шийдэхийг үлдээе. Үүнээс гадна, та гурвалжин ба дөрвөлжин пирамидуудтай аль хэдийн харьцах ёстой байсан, гэхдээ призмтэй хараахан болоогүй байна.

Шийдэл:

1. Призм болон түүний суурийг дүрсэлцгээе. Үүнийг координатын системтэй нэгтгэж, асуудлын мэдэгдэлд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэе.

Пропорцийг дагаж мөрдөөгүйд хүлцэл өчье, гэхдээ асуудлыг шийдэхийн тулд энэ нь үнэндээ тийм ч чухал биш юм. Онгоц бол зүгээр л миний призмийн "арын хана" юм. Ийм хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна гэж таахад хангалттай.

Гэсэн хэдий ч үүнийг шууд харуулж болно:

Энэ хавтгай дээрх дурын гурван цэгийг сонгоцгооё: жишээлбэл, .

Хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя:

Танд зориулсан дасгал: энэ тодорхойлогчийг өөрөө тооцоол. Та амжилтанд хүрсэн үү? Дараа нь онгоцны тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Эсвэл зүгээр л

Тиймээс,

Жишээг шийдэхийн тулд шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг олох хэрэгтэй. Цэг нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байгаа тул векторын координатууд нь тухайн цэгийн координатуудтай давхцах болно.

Үүнийг хийхийн тулд гурвалжинг анхаарч үзээрэй. Оройноос өндрийг (мөн медиан ба биссектрис гэж нэрлэдэг) зуръя. Учир нь цэгийн ординат нь тэнцүү байна. Энэ цэгийн абсциссыг олохын тулд сегментийн уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Пифагорын теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

Цэг нь "босгосон" цэг юм:

Дараа нь вектор координатууд нь:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд хэцүү зүйл байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, призм гэх мэт дүрсийн "шулуун байдал" -аар процессыг арай хялбаршуулдаг. Одоо дараагийн жишээ рүү шилжье:

2. Параллелепипед зурж, дотор нь хавтгай ба шулуун шугамыг зурж, мөн доод суурийг тусад нь зур.

Эхлээд бид хавтгайн тэгшитгэлийг олно: Түүнд байрлах гурван цэгийн координатууд:

(эхний хоёр координатыг тодорхой аргаар олж авсан бөгөөд хамгийн сүүлийн координатыг зурган дээрээс хялбархан олох боломжтой). Дараа нь бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Бид тооцоолно:

Бид чиглүүлэгч векторын координатыг хайж байна: Түүний координат нь тухайн цэгийн координаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна, тийм үү? Координатыг хэрхэн олох вэ? Эдгээр нь хэрэглээний тэнхлэгийн дагуу нэгээр өргөгдсөн цэгийн координатууд юм! . Дараа нь бид хүссэн өнцгийг хайж байна:

Хариулт:

3. Ердийн зургаан өнцөгт пирамид зурж, дараа нь хавтгай ба шулуун шугамыг зур.

Энэ асуудлыг шийдэх нь битгий хэл онгоц зурах нь ч хэцүү байдаг, гэхдээ координатын арга нь хамаагүй! Түүний олон талт байдал нь түүний гол давуу тал юм!

Онгоц гурван цэгийг дайран өнгөрдөг: . Бид тэдгээрийн координатыг хайж байна:

1) . Сүүлийн хоёр цэгийн координатыг өөрөө олж мэдээрэй. Үүний тулд та зургаан өнцөгт пирамидын асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно!

2) Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна:

Бид векторын координатыг хайж байна: . (Гурвалжин пирамидын асуудлыг дахин үзнэ үү!)

3) Өнцөг хайх:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар эдгээр ажилд ер бусын хэцүү зүйл байдаггүй. Та зүгээр л үндэстэй маш болгоомжтой байх хэрэгтэй. Би зөвхөн сүүлийн хоёр асуудалд хариулт өгөх болно:

Таны харж байгаагаар асуудлыг шийдэх техник нь хаа сайгүй ижил байдаг: гол ажил бол оройн координатыг олж, тэдгээрийг тодорхой томъёонд орлуулах явдал юм. Бид өнцгийг тооцоолох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх хэрэгтэй, тухайлбал:

Хоёр хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох

Шийдлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Гурван цэгийг ашиглан бид эхний хавтгайн тэгшитгэлийг олно.
2. Бусад гурван цэгийг ашиглан бид хоёр дахь хавтгайн тэгшитгэлийг олно.
3. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Таны харж байгаагаар томьёо нь өмнөх хоёр томьёотой маш төстэй бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар бид шулуун шугам, шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг хайсан. Тиймээс үүнийг санах нь танд хэцүү биш байх болно. Даалгавруудын дүн шинжилгээ рүү шилжье:

1. Баруун гурвалжин призмийн суурийн тал тэнцүү, хажуугийн нүүрний диагональ тэнцүү байна. Призмийн тэнхлэгийн хавтгай ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

2. Баруун дөрвөн өнцөгт пи-ра-ми-дэ, бүх ирмэг нь тэнцүү, хавтгай ба хавтгай ясны хоорондох өнцгийн синусыг ол per-pen-di-ku- цэгээр дамжин өнгөрнө. лай - гэхдээ шулуун.

3. Энгийн дөрвөн өнцөгт призмд суурийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. нь ирмэг дээр цэг байдаг нь-me-che-on тийм болохоор. ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол

4. Баруун дөрвөн өнцөгт призмд суурийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. Цэгээс ирмэг дээр цэг байдаг тул хавтгай хоорондын өнцгийг олох ба.

5. Шоо дөрвөлжинд ба хавтгайнуудын хоорондох өнцгийн ко-си нусыг ол

Асуудлын шийдэл:

1. Би ердийн (суурь дээр нь тэгш талт гурвалжин) гурвалжин призм зурж, түүн дээр асуудлын тайлбарт харагдах хавтгайг тэмдэглэв.

Бид хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй: Суурийн тэгшитгэл нь өчүүхэн: та гурван цэгийг ашиглан харгалзах тодорхойлогчийг зохиож болно, гэхдээ би тэр даруй тэгшитгэлийг зохиох болно.

Одоо тэгшитгэлийг олцгооё. Цэг нь координаттай Цэг - Гурвалжны дундаж ба өндөр нь гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан амархан олно. Дараа нь цэг нь координаттай байна: Цэгийн хэрэглээний хэсгийг олъё

Дараа нь бид дараах координатуудыг авна: Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Бид хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолно.

Хариулт:

2. Зураг зурах:

Хамгийн хэцүү зүйл бол энэ цэгээр перпендикуляр дамждаг ямар нууцлаг онгоц болохыг ойлгох явдал юм. За, гол нь юу вэ? Хамгийн гол нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм! Үнэн хэрэгтээ шугам нь перпендикуляр юм. Шулуун шугам нь мөн перпендикуляр байна. Дараа нь эдгээр хоёр шугамыг дайран өнгөрөх онгоц нь шулуунтай перпендикуляр байх бөгөөд дашрамд хэлэхэд, цэгийг дайран өнгөрнө. Энэ онгоц мөн пирамидын оройгоор дамжин өнгөрдөг. Дараа нь хүссэн онгоц - Тэгээд онгоцыг бидэнд аль хэдийн өгсөн. Бид цэгүүдийн координатыг хайж байна.

Бид цэгээр дамжин тухайн цэгийн координатыг олно. -аас жижиг зурагЦэгийн координатууд дараах байдалтай байх болно гэдгийг дүгнэхэд хялбар байдаг: Пирамидын оройн координатыг олохын тулд одоо юу олох вэ? Та мөн түүний өндрийг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг Пифагорын ижил теорем ашиглан хийдэг: эхлээд үүнийг нотлох (суурь дээр квадрат үүсгэдэг жижиг гурвалжнуудаас). Нөхцөлөөр бид:

Одоо бүх зүйл бэлэн боллоо: оройн координатууд:

Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна:

Та аль хэдийн тодорхойлогчийг тооцоолох мэргэжилтэн болсон. Та ямар ч хүндрэлгүйгээр хүлээн авах болно:

Эсвэл өөрөөр (хэрэв бид хоёр талыг хоёрын үндэсээр үржүүлбэл)

Одоо онгоцны тэгшитгэлийг олъё:

(Бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн олж авдагийг та мартаагүй байна, тийм ээ? Хэрэв та энэ хасах нь хаанаас гарсныг ойлгохгүй байгаа бол онгоцны тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу буцаж ор! Миний онгоц гарал үүслийнх байсан!)

Бид тодорхойлогчийг тооцоолно:

(Онцгойн тэгшитгэл нь цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлтэй давхцаж байгааг та анзаарч магадгүй! Яагаад гэдгийг бодоорой!)

Одоо өнцгийг тооцоолъё:

Бид синусыг олох хэрэгтэй:

Хариулт:

3. Залхуу асуулт: энэ юу вэ? тэгш өнцөгт призм, Та яаж бодож байна вэ? Энэ бол зүгээр л таны сайн мэдэх параллелепипед юм! Тэр даруй зураг зурцгаая! Энд та суурийг тусад нь дүрслэх шаардлагагүй;

Онгоцыг бид өмнө нь тэмдэглэснээр тэгшитгэл хэлбэрээр бичсэн болно.

Одоо онгоц бүтээцгээе

Бид нэн даруй онгоцны тэгшитгэлийг үүсгэнэ.

Өнцөг хайж байна:

Одоо сүүлийн хоёр асуудлын хариултууд:

За, одоо жаахан завсарлага авах цаг нь болсон, учир нь та бид хоёр гайхалтай бөгөөд маш сайн ажил хийсэн!

Координат ба векторууд. Ахисан түвшний

Энэ нийтлэлд бид тантай координатын аргыг ашиглан шийдэж болох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх болно: зайны тооцооллын асуудлууд. Тухайлбал, бид дараах тохиолдлуудыг авч үзэх болно.

1. огтлолцох шугам хоорондын зайг тооцоолох.

Би эдгээр даалгаврыг улам хүндрүүлэхийн тулд захиалсан. Энэ нь олоход хамгийн хялбар юм цэгээс хавтгай хүртэлх зай, хамгийн хэцүү зүйл бол олох явдал юм огтлолцох шугам хоорондын зай. Хэдийгээр мэдээжийн хэрэг боломжгүй зүйл гэж үгүй! Хойшлуулахгүй, нэн даруй эхний ангиллын асуудлыг авч үзье.

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Цэгийн координат

Тиймээс, шаардлагатай бүх өгөгдлийг хүлээн авмагц бид дараах томъёог хэрэглэнэ.

Бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн яаж байгуулдгийг та аль хэдийн мэдэж байх ёстой өмнөх ажлууд, би сүүлийн хэсэгт хэлэлцсэн. Даалгаврууддаа шууд орцгооё. Схем нь дараах байдалтай байна: 1, 2 - Би танд шийдвэр гаргахад тусална, зарим талаараа 3, 4 - зөвхөн хариулт, та шийдлийг өөрөө хийж, харьцуулна. Эхэлцгээе!

Даалгаварууд:

1. Шоо өгөгдсөн. Кубын ирмэгийн урт нь тэнцүү байна. Се-ре-ди-нагаас зүсэлтээс хавтгай хүртэлх зайг ол

2. Баруун дөрвөн нүүрсний pi-ra-mi-yes өгөгдсөн бол хажуугийн тал нь суурьтай тэнцүү байна. Се-re-di-on ирмэг дээр байгаа цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

3. Ос-но-ва-ни-эмтэй баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү, os-no-vania-н зуун-ро-он нь тэнцүү байна. Дээд талаас хавтгай хүртэлх зайг ол.

4. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

Шийдэл:

1. Нэг ирмэгтэй шоо зурж, хэрчим ба хавтгайг барьж, сегментийн дунд хэсгийг үсгээр тэмдэглэ.

.

Эхлээд энгийн зүйлээс эхэлье: цэгийн координатыг олоорой. Түүнээс хойш (сегментийн дунд хэсгийн координатыг санаарай!)

Одоо бид гурван цэгийг ашиглан онгоцны тэгшитгэлийг зохио

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(массив)) \баруун| = 0\]

Одоо би зайг хайж эхэлж болно:

2. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн зургаар дахин эхэлдэг!

Пирамидын хувьд түүний суурийг тусад нь зурах нь ашигтай байх болно.

Би сарвуугаараа тахиа шиг зурсан нь ч энэ асуудлыг хялбархан шийдвэрлэхэд саад болохгүй!

Одоо цэгийн координатыг олоход хялбар боллоо

Цэгийн координатаас хойш, тэгвэл

2. А цэгийн координатууд нь хэрчмийн дунд байдаг тул

Ямар ч асуудалгүйгээр бид хавтгай дээрх хоёр цэгийн координатыг олж болно.

\[\зүүн| (\left| (\begin(массив)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\төгсгөл(массив)) \баруун|) \баруун| = 0\]

Цэг нь координаттай тул зайг тооцоолно:

Хариулт (маш ховор!):

За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Миний бодлоор энд бүх зүйл өмнөх хэсэгт авч үзсэн жишээнүүдийн адил техникийн шинж чанартай юм шиг санагдаж байна. Тиймээс хэрэв та тэр материалыг эзэмшсэн бол үлдсэн хоёр асуудлыг шийдэхэд танд хэцүү байх болно гэдэгт би итгэлтэй байна. Би танд зөвхөн хариултуудыг өгөх болно:

Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга. Шулуун ба хавтгай хоёрыг бие биенээсээ хэрхэн байрлуулах вэ? Тэд огтлолцох, эсвэл шулуун шугам нь хавтгайтай параллель байх цорын ганц боломжуудтай. Шулуун шугамаас энэ шулуун огтлолцох хавтгай хүртэлх зай хэд гэж та бодож байна вэ? Ийм зай тэгтэй тэнцэх нь энд ойлгомжтой юм шиг надад санагдаж байна. Сонирхолгүй хэрэг.

Хоёр дахь тохиолдол нь илүү төвөгтэй юм: энд зай аль хэдийн тэг биш байна. Гэсэн хэдий ч шугам нь хавтгайтай параллель байх тул шугамын цэг бүр энэ хавтгайгаас ижил зайд байна.

Тиймээс:

Энэ нь миний даалгавар өмнөх ажил руу буурсан гэсэн үг юм: бид шулуун шугамын аль ч цэгийн координатыг хайж, хавтгайн тэгшитгэлийг хайж, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолж байна. Үнэн хэрэгтээ Улсын нэгдсэн шалгалтад ийм даалгавар маш ховор байдаг. Би зөвхөн нэг асуудлыг олж чадсан бөгөөд үүн доторх өгөгдөл нь координатын арга нь тийм ч тохиромжтой биш байсан!

Одоо өөр зүйл рүү, илүү олон зүйл рүү шилжье чухал ангидаалгавар:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолох

Бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Бидний зайг хайж буй цэгийн координатууд:

2. Шулуун дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд

3. Шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатууд

Бид ямар томъёог ашигладаг вэ?

Энэ бутархайн хуваагч нь юу гэсэн үг вэ гэдэг нь танд ойлгомжтой байх ёстой: энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх векторын урт юм. Энэ бол маш төвөгтэй тоологч юм! Илэрхийлэл нь векторуудын вектор үржвэрийн модуль (урт) гэсэн үг бөгөөд вектор үржвэрийг хэрхэн тооцоолох талаар бид ажлын өмнөх хэсэгт судалсан. Мэдлэгээ сэргээ, бидэнд одоо маш их хэрэгтэй болно!

Тиймээс асуудлыг шийдэх алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Бид зайг хайж буй цэгийн координатыг хайж байна:

2. Бид зайг хайж буй шулуун дээрх дурын цэгийн координатыг хайж байна.

3. Векторыг байгуул

4. Шугамын чиглүүлэх векторыг байгуул

5. Вектор үржвэрийг тооцоол

6. Бид үүссэн векторын уртыг хайна:

7. Зайг тооцоол:

Бидэнд хийх ажил маш их байгаа бөгөөд жишээнүүд нь нэлээд төвөгтэй байх болно! Тиймээс одоо бүх анхаарлаа төвлөрүүл!

1. Дээд тал нь зөв гурвалжин пи-ра-ми-да өгөгдсөн. Пи-ра-ми-ды үндсэн дээр зуун-ро- тэнцүү байна, та тэнцүү байна. Саарал ирмэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг олох ба энд цэгүүд нь саарал ирмэг ба мал эмнэлгийн цэг юм.

2. Ирмэгүүдийн урт ба шулуун өнцгийн-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da нь тэнцүү бөгөөд дээд талаас шулуун шугам хүртэлх зайг ол.

3. Баруун зургаан өнцөгт призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү, цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол.

Шийдэл:

1. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн цэвэрхэн зураг зурдаг.

Бидэнд хийх ажил их байна! Юуны өмнө би юуг эрэлхийлж, ямар дарааллаар эрэлхийлэхээ үгээр тайлбарлахыг хүсч байна.

1. Цэгүүдийн координат ба

2. Цэгийн координат

3. Цэгүүдийн координат ба

4. Векторуудын координат ба

5. Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүн

6. Векторын урт

7. Вектор үржвэрийн урт

8. хүртэлх зай

За, биднийг маш их ажил хүлээж байна! Ханцуй шамлан орцгооё!

1. Пирамидын өндрийн координатыг олохын тулд цэгийн координат нь тэгтэй тэнцүү, ординат нь түүний абсциссатай тэнцүү байна тэгш талт гурвалжны өндрийг оройноос эхлэн тоолох харьцаанд хуваана. Эцэст нь бид координатуудыг олж авлаа:

Цэгийн координат

2. - сегментийн дунд хэсэг

3. - сегментийн дунд хэсэг

Сегментийн дунд цэг

4. Координат

Вектор координат

5. Вектор үржвэрийг тооцоол.

6. Векторын урт: солих хамгийн хялбар арга бол сегмент нь гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь суурийн хагастай тэнцүү гэсэн үг юм. Тэгэхээр.

7. Вектор үржвэрийн уртыг тооцоол.

8. Эцэст нь бид зайг олно:

Өө, тэгээд л болоо! Би та нарт чин сэтгэлээсээ хэлье: энэ асуудлыг шийдэх арга зам юм уламжлалт аргууд(барилга байгууламжаар дамжуулан), энэ нь илүү хурдан байх болно. Гэхдээ энд би бүгдийг нь буцалгасан бэлэн алгоритм! Шийдлийн алгоритм танд ойлгомжтой гэж бодож байна уу? Тиймээс үлдсэн хоёр асуудлаа өөрсдөө шийдээч гэж хэлье. Хариултуудыг харьцуулж үзье?

Дахин хэлэхэд би давтан хэлье: координатын аргыг ашиглахаас илүүтэйгээр эдгээр асуудлыг барилга байгууламжаар шийдвэрлэх нь илүү хялбар (илүү хурдан) юм. Би зөвхөн "юу ч барьж дуусгахгүй" гэсэн бүх нийтийн аргыг харуулахын тулд энэхүү шийдлийн аргыг харуулсан.

Эцэст нь, асуудлын сүүлийн ангиллыг авч үзье.

огтлолцох шугам хоорондын зайг тооцоолох

Энд асуудлыг шийдэх алгоритм нь өмнөхтэй төстэй байх болно. Бидэнд байгаа зүйл:

3. Нэг ба хоёрдугаар шугамын цэгүүдийг холбосон дурын вектор:

Шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тоолуур нь модуль юм холимог бүтээгдэхүүн(бид үүнийг өмнөх хэсэгт танилцуулсан), хуваагч нь өмнөх томьёотой адил байна (шулуун шугамын чиглүүлэгч векторуудын вектор бүтээгдэхүүний модуль, бидний хайж буй зай).

Би танд сануулъя

Дараа нь зайны томъёог дахин бичиж болно:

Энэ нь тодорхойлогчоор хуваагдсан тодорхойлогч юм! Үнэнийг хэлэхэд надад энд хошигнох цаг алга! Энэ томъёо, үнэн хэрэгтээ, маш төвөгтэй бөгөөд нэлээд хүргэдэг нарийн төвөгтэй тооцоо. Хэрэв би чиний оронд байсан бол эцсийн арга хэмжээ болгон л үүнийг хийх байсан!

Дээрх аргыг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.

1. Бүх ирмэг нь тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин призмд ба шулуунуудын хоорондох зайг ол.

2. Тэгш өнцөгт гурвалжин призм өгвөл суурийн бүх ирмэгүүд нь биеийн хавиргаар дамжин өнгөрөх хэсэгтэй тэнцүү бөгөөд се-ре-ди-худаг хавирга нь дөрвөлжин хэлбэртэй байна. ба шулуун шугамын хоорондох зайг ол

Би эхнийхийг нь шийднэ, үүний үндсэн дээр та хоёрыг шийднэ!

1. Би призм зурж, шулуун ба тэмдэглэнэ

С цэгийн координат: тэгвэл

Цэгийн координат

Вектор координат

Цэгийн координат

Вектор координат

Вектор координат

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(массив)(*(20)(l))(\begin(массив)(*(20)(c))0&1&0\төгсгөл(массив))\\(\begin(массив)(*(20) (c))0&0&1\төгсгөл(массив))\\(\эхлэх(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\төгсгөл(массив))\төгс(массив)) \баруун| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Бид векторуудын хоорондох вектор үржвэрийг тооцоолно

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(массив)(l)\begin(массив)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(массив)\\\begin(массив) )(*(20)(c))0&0&1\төгсгөл(массив)\\\begin(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\төгсгөл(массив)\төгс(массив) \баруун| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Одоо бид түүний уртыг тооцоолно:

Хариулт:

Одоо хоёр дахь даалгавраа анхааралтай хийж үзээрэй. Үүний хариулт нь: .

Координат ба векторууд. Товч тайлбар ба үндсэн томъёо

Вектор нь чиглэсэн сегмент юм. - векторын эхлэл, - векторын төгсгөл.
Векторыг эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Үнэмлэхүй үнэ цэнэвектор - векторыг илэрхийлэх сегментийн урт. гэж тэмдэглэсэн.

Вектор координатууд:

,
векторын төгсгөлүүд хаана байна \displaystyle a .

Векторуудын нийлбэр: .

Векторуудын бүтээгдэхүүн:

Векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүн: