વ્યાખ્યા

વેક્ટર(lat માંથી." વેક્ટર" - "વહન") - અવકાશમાં અથવા વિમાનમાં સીધી રેખાનો નિર્દેશિત ભાગ.

ગ્રાફિકલી રીતે, વેક્ટરને ચોક્કસ લંબાઈના નિર્દેશિત સીધી રેખા સેગમેન્ટ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. એક વેક્ટર જેની શરૂઆત બિંદુ પર છે અને બિંદુ પર અંત છે તે (ફિગ. 1) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. વેક્ટરને એક નાના અક્ષર દ્વારા પણ સૂચવી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, .

જો અવકાશમાં કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હોય, તો વેક્ટર તેના કોઓર્ડિનેટ્સના સમૂહ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. એટલે કે, વેક્ટરને એક પદાર્થ તરીકે સમજવામાં આવે છે જેની તીવ્રતા (લંબાઈ), દિશા અને એપ્લિકેશનનો બિંદુ (વેક્ટરની શરૂઆત) હોય છે.

વેક્ટર કેલ્ક્યુલસના સિદ્ધાંતો 1831 માં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી, મિકેનિશિયન, ભૌતિકશાસ્ત્રી, ખગોળશાસ્ત્રી અને મોજણીકર્તા જોહાન કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસ (1777-1855) ના કાર્યોમાં દેખાયા હતા. વેક્ટર્સ સાથેની કામગીરી પરના કાર્યો આઇરિશ ગણિતશાસ્ત્રી, મિકેનિક અને સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રી, સર વિલિયમ રોવાન હેમિલ્ટન (1805-1865) દ્વારા તેમના ક્વાટર્નિયન કેલ્ક્યુલસના ભાગરૂપે પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા હતા. વૈજ્ઞાનિકે "વેક્ટર" શબ્દનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો અને વેક્ટર પરની કેટલીક ક્રિયાઓનું વર્ણન કર્યું. વેક્ટર કેલ્ક્યુલસને તેની બાકી રકમ મળી ગઈ છે વધુ વિકાસબ્રિટિશ ભૌતિકશાસ્ત્રી, ગણિતશાસ્ત્રી અને મિકેનિક જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ (1831-1879) ના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમ પરના કાર્ય માટે આભાર. 1880 ના દાયકામાં, "વેક્ટર વિશ્લેષણના તત્વો" પુસ્તક પ્રકાશિત થયું. અમેરિકન ભૌતિકશાસ્ત્રી, ભૌતિક રસાયણશાસ્ત્રી, ગણિત અને મિકેનિક્સ જોસિયાહ વિલાર્ડ ગિબ્સ (1839-1903). આધુનિક વેક્ટર વિશ્લેષણ 1903 માં સ્વ-શિક્ષિત અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક, એન્જિનિયર, ગણિતશાસ્ત્રી અને ભૌતિકશાસ્ત્રી ઓલિવર હેવિસાઇડ (1850-1925) ના કાર્યોમાં વર્ણવવામાં આવ્યું હતું.

વ્યાખ્યા

લંબાઈઅથવા વેક્ટર મોડ્યુલવેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરતા નિર્દેશિત સેગમેન્ટની લંબાઈ છે. તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

વેક્ટરના મુખ્ય પ્રકાર

શૂન્ય વેક્ટરજેને વેક્ટર કહેવાય છે પ્રારંભિક બિંદુઅને અંતિમ બિંદુમેળ ખાય છે. શૂન્ય વેક્ટરની લંબાઈ શૂન્ય છે.

એક લીટીની સમાંતર અથવા એક લીટી પર આવેલા વેક્ટર કહેવાય છે સમરેખા(ફિગ. 2).

સહ-નિર્દેશિત, જો તેમની દિશાઓ એકરુપ હોય.

આકૃતિ 2 માં આ વેક્ટર છે અને . વેક્ટર્સની સહ-દિશા નીચે પ્રમાણે દર્શાવેલ છે: .

બે કોલિનિયર વેક્ટર કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ નિર્દેશિત, જો તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોય.

આકૃતિ 3 માં આ વેક્ટર છે અને . હોદ્દો:.

વેક્ટરનો સરવાળો. વેક્ટર લંબાઈ. પ્રિય મિત્રો, પાછળની પરીક્ષાના પ્રકારોના ભાગ રૂપે વેક્ટર સાથે સમસ્યાઓનું જૂથ છે. કાર્યો તદ્દન વ્યાપક છે (સૈદ્ધાંતિક પાયાને જાણવું મહત્વપૂર્ણ છે). મોટાભાગના મૌખિક રીતે ઉકેલાય છે. પ્રશ્નો વેક્ટરની લંબાઈ, વેક્ટરનો સરવાળો (તફાવત) શોધવા સાથે સંબંધિત છે. ડોટ ઉત્પાદન. ત્યાં પણ ઘણા કાર્યો છે જેમાં વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ક્રિયાઓ કરવી જરૂરી છે.

વેક્ટરના વિષયની આસપાસનો સિદ્ધાંત જટિલ નથી, અને તે સારી રીતે સમજવો આવશ્યક છે. આ લેખમાં આપણે વેક્ટરની લંબાઈ તેમજ વેક્ટરનો સરવાળો (તફાવત) શોધવા સંબંધિત સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરીશું. કેટલાક સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓ:

વેક્ટર ખ્યાલ

વેક્ટર એ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ છે.

સમાન દિશા ધરાવતા અને લંબાઈમાં સમાન હોય તેવા તમામ વેક્ટર સમાન છે.

*ઉપર પ્રસ્તુત ચારેય વેક્ટર સમાન છે!

એટલે કે, જો આપણે સમાંતર અનુવાદનો ઉપયોગ કરીને આપણને આપેલા વેક્ટરને ખસેડીએ, તો આપણને હંમેશા મૂળ વેક્ટર સમાન વેક્ટર મળશે. આમ, સમાન વેક્ટરની અસંખ્ય સંખ્યા હોઈ શકે છે.

વેક્ટર નોટેશન

વેક્ટર લેટિન દ્વારા સૂચવી શકાય છે મોટા અક્ષરોમાં, દાખ્લા તરીકે:

નોટેશનના આ સ્વરૂપ સાથે, પ્રથમ વેક્ટરની શરૂઆત દર્શાવતો અક્ષર લખવામાં આવે છે, પછી વેક્ટરનો અંત દર્શાવતો અક્ષર.

અન્ય વેક્ટર લેટિન મૂળાક્ષરો (મૂડી) ના એક અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

તીર વિના હોદ્દો પણ શક્ય છે:

બે વેક્ટર AB અને BC નો સરવાળો વેક્ટર AC હશે.

તે AB + BC = AC તરીકે લખાયેલ છે.

આ નિયમ કહેવાય છે - ત્રિકોણ નિયમ.

એટલે કે, જો આપણી પાસે બે વેક્ટર હોય - ચાલો તેમને પરંપરાગત રીતે કહીએ (1) અને (2), અને વેક્ટર (1) નો અંત વેક્ટર (2) ની શરૂઆત સાથે એકરુપ હોય, તો આ વેક્ટરનો સરવાળો એક વેક્ટર હશે જેનો શરૂઆત વેક્ટર (1) ની શરૂઆત સાથે એકરુપ છે, અને અંત વેક્ટર (2) ના અંત સાથે એકરુપ છે.

નિષ્કર્ષ: જો આપણી પાસે પ્લેનમાં બે વેક્ટર હોય, તો આપણે હંમેશા તેમનો સરવાળો શોધી શકીએ છીએ. સમાંતર અનુવાદનો ઉપયોગ કરીને, તમે આમાંથી કોઈપણ વેક્ટરને ખસેડી શકો છો અને તેની શરૂઆતને બીજાના અંત સાથે જોડી શકો છો. દાખ્લા તરીકે:

ચાલો વેક્ટર ખસેડીએ b, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચાલો એક સમાન બનાવીએ:

કેટલાય વેક્ટરનો સરવાળો કેવી રીતે મળે છે? સમાન સિદ્ધાંત દ્વારા:

* * *

સમાંતરગ્રામ નિયમ

આ નિયમ ઉપરોક્તનું પરિણામ છે.

સામાન્ય મૂળ ધરાવતા વેક્ટર્સ માટે, તેમનો સરવાળો આ વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતરગ્રામના કર્ણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

ચાલો વેક્ટર બનાવીએ વેક્ટર સમાન bજેથી તેની શરૂઆત વેક્ટરના અંત સાથે એકરુપ થાય a, અને અમે એક વેક્ટર બનાવી શકીએ છીએ જે તેમનો સરવાળો હશે:

થોડી વધુ મહત્વની માહિતીસમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જરૂરી.

મૂળની લંબાઈમાં સમાન વેક્ટર, પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ, પણ સૂચવવામાં આવે છે પરંતુ તેની વિરુદ્ધ ચિહ્ન છે:

આ માહિતી વેક્ટર્સ વચ્ચેનો તફાવત શોધવાનો સમાવેશ કરતી સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે અત્યંત ઉપયોગી છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, વેક્ટર તફાવત એ સુધારેલા સ્વરૂપમાં સમાન સરવાળો છે.

બે વેક્ટર આપવા દો, તેમનો તફાવત શોધો:

અમે વેક્ટર b ની વિરુદ્ધ એક વેક્ટર બનાવ્યો, અને તફાવત મળ્યો.

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ

વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, તમારે અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી શરૂઆતના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ બાદબાકી કરવાની જરૂર છે:

એટલે કે, વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ એ સંખ્યાઓની જોડી છે.

જો

અને વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ આના જેવા દેખાય છે:

પછી c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

જો

પછી c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

વેક્ટર મોડ્યુલ

વેક્ટરનું મોડ્યુલસ તેની લંબાઈ છે, જે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:

વેક્ટરની લંબાઈ નક્કી કરવા માટેનું સૂત્ર જો તેની શરૂઆત અને અંતના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીતા હોય તો:

ચાલો કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ:

લંબચોરસ ABCD ની બે બાજુઓ 6 અને 8 જેટલી છે. કર્ણ O બિંદુ પર છેદે છે. AO અને BO વેક્ટર્સ વચ્ચેના તફાવતની લંબાઈ શોધો.

ચાલો વેક્ટર શોધીએ જે AO-VO નું પરિણામ હશે:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

એટલે કે, AO અને વેક્ટર્સ વચ્ચેનો તફાવત VO એ વેક્ટર હશે એબી. અને તેની લંબાઈ આઠ છે.

સમચતુર્ભુજના કર્ણ એ બી સી ડી 12 અને 16 ની બરાબર છે. AB + AD વેક્ટરની લંબાઈ શોધો.

ચાલો એક વેક્ટર શોધીએ જે વેક્ટર AD અને AB BC નો સરવાળો હશે વેક્ટર સમાનએ.ડી. તેથી AB +AD =AB +BC =AC

સમચતુર્ભુજ ABCD ના કર્ણ બિંદુ પર છેદે છે ઓઅને 12 અને 16 ની બરાબર છે. AO + BO વેક્ટરની લંબાઈ શોધો.

ચાલો એક વેક્ટર શોધીએ જે AO વેક્ટરનો સરવાળો હશે અને VO VO વેક્ટર OD બરાબર છે, જેનો અર્થ છે

પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

રોમ્બસ ABCD ના કર્ણ O બિંદુ પર છેદે છે અને 12 અને 16 ની બરાબર છે. AO – BO વેક્ટરની લંબાઈ શોધો.

ચાલો વેક્ટર શોધીએ જે AO-VO નું પરિણામ હશે:

પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

નિયમિત ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ 3 ની બરાબર છે.

AB –AC વેક્ટરની લંબાઈ શોધો.

ચાલો વેક્ટર તફાવતનું પરિણામ શોધીએ:

27663. વેક્ટર a (6;8) ની લંબાઈ શોધો.

27664. વેક્ટર AB ની લંબાઈનો વર્ગ શોધો.

વ્યાખ્યા ઓર્ડર કરેલ સંગ્રહ (x 1 , x 2 , ... , x n) n વાસ્તવિક સંખ્યાઓ કહેવાય છે n-પરિમાણીય વેક્ટર, અને સંખ્યાઓ x i (i = ) - ઘટકો,અથવા સંકલન,

ઉદાહરણ. જો, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ ચોક્કસ ઓટોમોબાઈલ પ્લાન્ટે 50 કાર, 100 ટ્રક, 10 બસ, કાર માટેના સ્પેરપાર્ટ્સના 50 સેટ અને કાર માટે 150 સેટનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ. ટ્રકઅને બસો, તો પછી આ પ્લાન્ટનો ઉત્પાદન કાર્યક્રમ પાંચ ઘટકો ધરાવતા વેક્ટર (50, 100, 10, 50, 150) ના રૂપમાં લખી શકાય છે.

નોટેશન. વેક્ટર બોલ્ડમાં દર્શાવેલ છે નાના અક્ષરોઅથવા ટોચ પર બાર અથવા તીર સાથેના અક્ષરો, ઉદાહરણ તરીકે, aઅથવા. બે વેક્ટર કહેવાય છે સમાન, જો તેમની પાસે ઘટકોની સમાન સંખ્યા હોય અને તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય.

વેક્ટર ઘટકોની અદલાબદલી કરી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, (3, 2, 5, 0, 1)અને (2, 3, 5, 0, 1) વિવિધ વેક્ટર.
વેક્ટર પર કામગીરી.કામ x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારાλ વેક્ટર કહેવાય છેλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

રકમx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) અને y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) વેક્ટર કહેવાય છે x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

વેક્ટર જગ્યા.એન -પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા આર n એ તમામ n-પરિમાણીય વેક્ટરના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના માટે ગુણાકારની ક્રિયાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓઅને વધુમાં.

આર્થિક ચિત્ર. n-પરિમાણીયનું આર્થિક ચિત્ર વેક્ટર જગ્યા: માલની જગ્યા (માલ). હેઠળ માલઅમે કેટલીક સારી અથવા સેવા સમજીશું જે વેચાણ પર છે ચોક્કસ સમયચોક્કસ જગ્યાએ. ધારો કે ઉપલબ્ધ માલની મર્યાદિત સંખ્યા n છે; ઉપભોક્તા દ્વારા ખરીદેલ તેમાંથી દરેકની માત્રા માલના સમૂહ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

જ્યાં x i ઉપભોક્તા દ્વારા ખરીદેલ i-th ગુડની રકમ દર્શાવે છે. અમે ધારીશું કે તમામ માલસામાનમાં મનસ્વી વિભાજ્યતાની મિલકત છે, જેથી તેમાંથી દરેકની કોઈપણ બિન-નકારાત્મક જથ્થાને ખરીદી શકાય. પછી માલના તમામ સંભવિત સમૂહો માલની જગ્યાના વેક્ટર છે C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

રેખીય સ્વતંત્રતા. સિસ્ટમ ઇ 1 , ઇ 2 , ... , ઇ m n-પરિમાણીય વેક્ટર કહેવામાં આવે છે રેખીય રીતે નિર્ભર, જો આવી સંખ્યાઓ છેλ 1 , λ 2 , ... , λ m , જેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય છે, જેમ કે સમાનતાλ 1 ઇ 1 + λ 2 ઇ 2 +... + λ m ઇ m = 0; અન્યથા આ સિસ્ટમવેક્ટર કહેવાય છે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર, એટલે કે, સૂચવેલ સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બધા . ભૌમિતિક અર્થ રેખીય અવલંબનમાં વેક્ટર્સ આર 3, નિર્દેશિત વિભાગો તરીકે અર્થઘટન, નીચેના પ્રમેય સમજાવો.

પ્રમેય 1. એક વેક્ટર ધરાવતી સિસ્ટમ રેખીય રીતે નિર્ભર છે જો અને માત્ર જો આ વેક્ટર શૂન્ય હોય.

પ્રમેય 2. બે વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ સમકક્ષ (સમાંતર) હોય.

પ્રમેય 3 . ત્રણ વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ કોપ્લાનર (એક જ વિમાનમાં આવેલા) હોય.

વેક્ટરની ડાબી અને જમણી ત્રિપુટી. ટ્રિપલ ઓફ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર a, b, cકહેવાય છે અધિકાર, જો તેમના સામાન્ય મૂળમાંથી નિરીક્ષક વેક્ટરના છેડાને બાયપાસ કરે છે a, b, cઆપેલ ક્રમમાં ઘડિયાળની દિશામાં થાય છે. અન્યથા a, b, c -ત્રણ બાકી. વેક્ટરના બધા જમણા (અથવા ડાબે) ત્રિપુટીઓ કહેવામાં આવે છે સમાન લક્ષી.

આધાર અને સંકલન. ટ્રોઇકા ઇ 1, ઇ 2 , ઇમાં 3 નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર આર 3 કહેવાય છે આધાર, અને વેક્ટર પોતે ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 - પાયાની. કોઈપણ વેક્ટર aબેઝિસ વેક્ટર્સમાં વિશિષ્ટ રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, એટલે કે, ફોર્મમાં રજૂ થાય છે

એ= x 1 ઇ 1+x2 ઇ 2 + x 3 ઇ 3, (1.1)

સંખ્યાઓ x 1 , x 2 , x 3 વિસ્તરણમાં (1.1) કહેવાય છે સંકલનaઆધાર માં ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 અને નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા છે a(x 1, x 2, x 3).

ઓર્થોનોર્મલ આધાર. જો વેક્ટર્સ ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 જોડી પ્રમાણે લંબ છે અને તેમાંથી દરેકની લંબાઈ એક સમાન છે, તો આધાર કહેવાય છે ઓર્થોનોર્મલ, અને કોઓર્ડિનેટ્સ x 1 , x 2 , x 3 - લંબચોરસઓર્થોનોર્મલ આધારના આધાર વેક્ટર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે i, j, k.

અમે તેને અવકાશમાં ધારીશું આર 3 પસંદ કર્યા યોગ્ય સિસ્ટમકાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ (0, i, j, k}.

વેક્ટર આર્ટવર્ક. વેક્ટર આર્ટવર્ક એવેક્ટર માટે bવેક્ટર કહેવાય છે c, જે નીચેની ત્રણ શરતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

1. વેક્ટર લંબાઈ cસંખ્યાત્મક રીતે વેક્ટર પર બનેલા સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની બરાબર aઅને bએટલે કે
c= |a||b|પાપ ( a^b).

2. વેક્ટર cદરેક વેક્ટરને લંબરૂપ aઅને b

3. વેક્ટર a bઅને c, દર્શાવેલ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, જમણી ત્રિવિધ રચના કરે છે.

ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટે cહોદ્દો રજૂ કરવામાં આવે છે c =[ab] અથવા
c = a × b

જો વેક્ટર્સ aઅને bસમરેખા છે, પછી પાપ( a^b) = 0 અને [ ab] = 0, ખાસ કરીને, [ aa] = 0. એકમ વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનો: [ ij]=k, [jk] = i, [કી]=j.

જો વેક્ટર્સ aઅને bઆધારમાં ઉલ્લેખિત છે i, j, kસંકલન a(a 1 , a 2 , a 3 ) b(b 1, b 2, b 3), પછી

મિશ્ર કાર્ય. જો બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન એઅને bત્રીજા વેક્ટર દ્વારા સ્કેલરલી ગુણાકાર c,પછી ત્રણ વેક્ટરના આવા ઉત્પાદનને કહેવામાં આવે છે મિશ્ર કાર્યઅને પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે a b c.

જો વેક્ટર્સ a, bઅને cઆધાર માં i, j, kતેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે
a(a 1 , a 2 , a 3 ) b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), પછી

.

મિશ્રિત ઉત્પાદનમાં એક સરળ ભૌમિતિક અર્થઘટન છે - તે એક સ્કેલર છે, જે ત્રણ આપેલ વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતર પાઇપના જથ્થાના ચોક્કસ મૂલ્યમાં સમાન છે.

જો વેક્ટર્સ જમણી ત્રિપુટી બનાવે છે, તો તેમનું મિશ્રિત ઉત્પાદન સૂચવેલ વોલ્યુમની સમાન હકારાત્મક સંખ્યા છે; જો તે ત્રણ છે a, b, c -બાકી, પછી a b c<0 и V = - a b c, તેથી V =|a b c|.

પ્રથમ પ્રકરણની સમસ્યાઓમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ યોગ્ય ઓર્થોનોર્મલ આધારને અનુલક્ષીને આપવામાં આવ્યા હોવાનું માનવામાં આવે છે. વેક્ટર સાથે એકમ વેક્ટર કોડાયરેક્શનલ એ,પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એઓ. પ્રતીક આર=ઓમબિંદુ M ના ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા સૂચિત, પ્રતીકો a, AB અથવા|a|, | એબી|વેક્ટરના મોડ્યુલો સૂચવવામાં આવે છે એઅને એબી.

ઉદાહરણ 1.2. વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો શોધો a= 2m+4nઅને b= m-n, ક્યાં mઅને n-એકમ વેક્ટર અને વચ્ચેનો કોણ mઅને n 120 ઓ ની બરાબર.

ઉકેલ. અમારી પાસે છે: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, જેનો અર્થ થાય છે a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, જેનો અર્થ થાય છે b = . છેલ્લે અમારી પાસે છે: cosφ = = -1/2, φ = 120 ઓ.

ઉદાહરણ 1.3.વેક્ટરને જાણવું એબી(-3,-2.6) અને બી.સી.(-2,4,4), ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ AD ની લંબાઈની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. S દ્વારા ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રફળ દર્શાવતા, આપણને મળે છે:
S = 1/2 BC AD. પછી AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| એબી ×AC|. AC=AB+BC, જેનો અર્થ વેક્ટર થાય છે A.C.કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે
. .

ઉદાહરણ 1.4 . બે વેક્ટર આપવામાં આવ્યા છે a(11,10,2) અને b(4,0,3). એકમ વેક્ટર શોધો c,વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ aઅને bઅને નિર્દેશિત કરે છે કે જેથી વેક્ટરના ત્રણ ગણો આદેશ આપ્યો a, b, cસાચો હતો.

ઉકેલ.ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવીએ c x, y, z ની દ્રષ્ટિએ આપેલ અધિકાર ઓર્થોનોર્મલ આધારના સંદર્ભમાં.

કારણ કે c ⊥ a, c ⊥b, તે ca= 0,સીબી= 0. સમસ્યાની શરતો અનુસાર, તે જરૂરી છે કે c = 1 અને a b c >0.

અમારી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે x,y,z શોધવી: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાંથી આપણે z = -4/3 x, y = -5/6 x મેળવીએ છીએ. ત્રીજા સમીકરણમાં y અને z ને બદલીને, આપણી પાસે છે: x 2 = 36/125, ક્યાંથી
x =± . શરતનો ઉપયોગ કરીને a b c > 0, અમને અસમાનતા મળે છે

z અને y માટેના સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા, અમે પરિણામી અસમાનતાને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ: 625/6 x > 0, જે સૂચવે છે કે x>0. તેથી, x = , y = - , z =- .

પરિચય

તે કહેવું સલામત છે કે થોડા લોકો એ હકીકત વિશે વિચારે છે કે વેક્ટર્સ આપણને દરેક જગ્યાએ ઘેરી લે છે અને રોજિંદા જીવનમાં મદદ કરે છે. પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લો: એક વ્યક્તિએ તેના ઘરથી બેસો મીટર દૂર એક છોકરી સાથે ડેટ કરી. શું તેઓ એકબીજાને શોધી શકશે? અલબત્ત નહીં, કારણ કે યુવાન મુખ્ય વસ્તુ સૂચવવાનું ભૂલી ગયો હતો: દિશા, એટલે કે, વૈજ્ઞાનિક દ્રષ્ટિએ, વેક્ટર. આગળ, આ પ્રોજેક્ટ પર કામ કરવાની પ્રક્રિયામાં, હું ઘણાને ઓછા આપીશ રસપ્રદ ઉદાહરણોવેક્ટર

સામાન્ય રીતે, હું માનું છું કે ગણિત છે સૌથી રસપ્રદ વિજ્ઞાન, જેના જ્ઞાનમાં કોઈ મર્યાદા નથી. મેં વેક્ટરનો વિષય આકસ્મિક રીતે પસંદ કર્યો નથી; મને એ હકીકતમાં ખૂબ રસ હતો કે "વેક્ટર" ની વિભાવના એક વિજ્ઞાન, એટલે કે ગણિતના અવકાશની બહાર છે અને લગભગ દરેક જગ્યાએ અમને ઘેરી લે છે. આમ, દરેક વ્યક્તિએ જાણવું જોઈએ કે વેક્ટર શું છે, તેથી, મને લાગે છે કે આ વિષય ખૂબ જ સુસંગત છે. મનોવિજ્ઞાન, જીવવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર અને અન્ય ઘણા વિજ્ઞાનમાં "વેક્ટર" ની વિભાવનાનો ઉપયોગ થાય છે. હું તમને આ વિશે પછીથી વધુ કહીશ.

ગોલ આ પ્રોજેક્ટવેક્ટર્સ સાથે કામ કરવાની કુશળતાનું સંપાદન, સામાન્યમાં અસામાન્ય જોવાની ક્ષમતા અને આપણી આસપાસની દુનિયા પ્રત્યે સચેત વલણનો વિકાસ.

વિભાવના વેક્ટરનો ઇતિહાસ

મૂળભૂત ખ્યાલોમાંથી એક આધુનિક ગણિતવેક્ટર છે. માં આ ખ્યાલના વ્યાપક ઉપયોગને કારણે વેક્ટરની વિભાવનાની ઉત્ક્રાંતિ હાથ ધરવામાં આવી હતી વિવિધ વિસ્તારોગણિત, મિકેનિક્સ અને ટેકનોલોજીમાં પણ.

વેક્ટર પ્રમાણમાં નવું ગાણિતિક ખ્યાલ. "વેક્ટર" શબ્દ પોતે સૌપ્રથમ 1845માં આઇરિશ ગણિતશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી વિલિયમ હેમિલ્ટન (1805 - 1865) દ્વારા સામાન્યીકરણ કરતી સંખ્યાત્મક પ્રણાલીઓના નિર્માણ પરના તેમના કાર્યમાં દેખાયો. જટિલ સંખ્યાઓ. હેમિલ્ટને "સ્કેલર", "સ્કેલર પ્રોડક્ટ", "વેક્ટર પ્રોડક્ટ" જેવા શબ્દો પણ બનાવ્યા. તેમની સાથે લગભગ એક જ સમયે, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી હર્મન ગ્રાસમેન (1809 - 1877) એ એક જ દિશામાં સંશોધન હાથ ધર્યું હતું, પરંતુ અલગ દૃષ્ટિકોણથી. અંગ્રેજ વિલિયમ ક્લિફોર્ડ (1845 - 1879) ફ્રેમવર્કની અંદર બે અભિગમોને જોડવામાં સફળ રહ્યા. સામાન્ય સિદ્ધાંત, જેમાં સામાન્ય વેક્ટર કેલ્ક્યુલસનો પણ સમાવેશ થાય છે. અને તેણે તેનું અંતિમ સ્વરૂપ અમેરિકન ભૌતિકશાસ્ત્રી અને ગણિતશાસ્ત્રી જોસિયાહ વિલાર્ડ ગિબ્સ (1839 - 1903) ના કાર્યોમાં લીધું, જેમણે 1901 માં વેક્ટર વિશ્લેષણ પર એક વિસ્તૃત પાઠ્યપુસ્તક પ્રકાશિત કર્યું.

ભૂતકાળનો અંત અને વર્તમાન સદીની શરૂઆત વેક્ટર કેલ્ક્યુલસ અને તેના ઉપયોગના વ્યાપક વિકાસ દ્વારા ચિહ્નિત કરવામાં આવી હતી. વેક્ટર બીજગણિત અને વેક્ટર વિશ્લેષણ, અને વેક્ટર સ્પેસનો સામાન્ય સિદ્ધાંત બનાવવામાં આવ્યો હતો. આ સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ સાપેક્ષતાના વિશેષ અને સામાન્ય સિદ્ધાંતોના નિર્માણમાં કરવામાં આવ્યો હતો, જે વિશિષ્ટ રીતે ભજવે છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાવી આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર.

વેક્ટરની વિભાવના ઊભી થાય છે જ્યાં આપણે એવા પદાર્થો સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે જે તીવ્રતા અને દિશા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક ભૌતિક જથ્થો, જેમ કે બળ, ઝડપ, પ્રવેગક, વગેરે, માત્ર લાક્ષણિકતા નથી સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, પણ દિશા. આ સંદર્ભમાં, નિર્દેશિત સેગમેન્ટ્સ દ્વારા દર્શાવેલ ભૌતિક જથ્થાઓને રજૂ કરવું અનુકૂળ છે. જરૂરિયાતો અનુસાર નવો કાર્યક્રમગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, વેક્ટરની વિભાવના અગ્રણી વિભાવનાઓમાંની એક બની ગઈ છે શાળા અભ્યાસક્રમગણિત.

ગણિતમાં વેક્ટર

વેક્ટર એ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ છે જેની શરૂઆત અને અંત છે.

બિંદુ A થી શરૂઆત અને બિંદુ B પર અંત સાથેનો વેક્ટર સામાન્ય રીતે AB તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. વેક્ટર્સને નાના લેટિન અક્ષરોમાં પણ તીર (ક્યારેક ડૅશ) વડે સૂચવી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે.

ભૂમિતિમાં વેક્ટરને સ્વાભાવિક રીતે અનુવાદ (સમાંતર અનુવાદ) સાથે સરખાવવામાં આવે છે, જે દેખીતી રીતે તેના નામના મૂળને સ્પષ્ટ કરે છે (લેટિન વેક્ટર, વાહક). ખરેખર, દરેક નિર્દેશિત સેગમેન્ટ કેટલાકને વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે સમાંતર ટ્રાન્સફરપ્લેન અથવા સ્પેસ: કહો કે, વેક્ટર AB કુદરતી રીતે સ્થાનાંતરણ નક્કી કરે છે, જેમાં બિંદુ A બિંદુ B પર જશે, અને તેનાથી વિપરીત, સમાંતર સ્થાનાંતરણ, જેમાં A B પર જાય છે, એકમાત્ર નિર્દેશિત સેગમેન્ટ AB નક્કી કરે છે.

વેક્ટર AB ની લંબાઈ એ સેગમેન્ટ AB ની લંબાઈ છે, તે સામાન્ય રીતે AB સૂચવવામાં આવે છે. વેક્ટર્સ વચ્ચે શૂન્યની ભૂમિકા દ્વારા ભજવવામાં આવે છે શૂન્ય વેક્ટર, જેની શરૂઆત અને અંત એકરૂપ છે; તે, અન્ય વેક્ટર્સથી વિપરીત, કોઈ દિશા સોંપવામાં આવતી નથી.

જો બે વેક્ટર સમાંતર રેખાઓ પર અથવા એક જ રેખા પર હોય તો તેને કોલિનિયર કહેવામાં આવે છે. બે વેક્ટર જો સમરેખાકીય હોય અને એક જ દિશામાં નિર્દેશિત હોય તો તેને સહ-દિશાનિર્દેશક કહેવામાં આવે છે, જો તેઓ સમરેખીય હોય અને સમાન દિશામાં નિર્દેશિત હોય તો વિરુદ્ધ નિર્દેશિત. વિવિધ બાજુઓ.

વેક્ટર પર કામગીરી

વેક્ટર મોડ્યુલ

વેક્ટર AB નું મોડ્યુલસ એ સેગમેન્ટ AB ની લંબાઈ જેટલી સંખ્યા છે. AB તરીકે નિયુક્ત. કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા તેની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે:

વેક્ટર ઉમેરણ

IN સંકલન પ્રતિનિધિત્વસરવાળો વેક્ટર શરતોના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સનો સરવાળો કરીને મેળવવામાં આવે છે:

)(\પ્રદર્શન શૈલી (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_(y)+b_(y),a_(z)+b_(z) ))

ભૌમિતિક રીતે સરવાળા વેક્ટર (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b)))c = ઉપયોગ વિવિધ નિયમો(પદ્ધતિઓ), જો કે તે બધા સમાન પરિણામ આપે છે. એક અથવા બીજા નિયમનો ઉપયોગ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરીને ન્યાયી છે.

ત્રિકોણ નિયમ

ટ્રાન્સફર તરીકે વેક્ટરની સમજણથી ત્રિકોણ નિયમ સૌથી વધુ કુદરતી રીતે અનુસરે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે અમુક બિંદુના બે ટ્રાન્સફર (\displaystyle (\vec (a)) અને (\displaystyle (\vec (b)))ને અનુક્રમે લાગુ કરવાનું પરિણામ એકસાથે એક ટ્રાન્સફર લાગુ કરવા જેવું જ હશે (\displaystyle( \vec (a) ))+(\vec (b))), આ નિયમને અનુરૂપ. ત્રિકોણના નિયમ અનુસાર બે વેક્ટર (\displaystyle (\vec (a))) અને (\displaystyle (\vec (b))) ઉમેરવા માટે, આ બંને વેક્ટરોને પોતાની સાથે સમાંતર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે જેથી તેમાંથી એકની શરૂઆત બીજાના અંત સાથે એકરુપ છે. પછી સરવાળા વેક્ટર પરિણામી ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને તેની શરૂઆત પ્રથમ વેક્ટરની શરૂઆત સાથે અને તેનો અંત બીજા વેક્ટરના અંત સાથે એકરુપ થાય છે.

આ નિયમ સીધી અને કુદરતી રીતે કોઈપણ સંખ્યાના વેક્ટરના ઉમેરા માટે સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે તૂટેલી લાઇન નિયમ:

બહુકોણ નિયમ

બીજા વેક્ટરની શરૂઆત પ્રથમના અંત સાથે, ત્રીજાની શરૂઆત બીજાના અંત સાથે, અને તેથી આગળ, વેક્ટરનો સરવાળો (\displaystyle n) એક વેક્ટર છે, જેની શરૂઆત શરૂઆત સાથે થાય છે. પ્રથમનો, અને અંતનો અંત (\displaystyle n) ના અંત સાથે સુસંગત છે (એટલે ​​કે, તે પોલિલાઇનને બંધ કરતા નિર્દેશિત સેગમેન્ટ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યું છે). તૂટેલી રેખા નિયમ પણ કહેવાય છે.

સમાંતરગ્રામ નિયમ

સમાંતરગ્રામના નિયમ અનુસાર બે વેક્ટર (\displaystyle (\vec (a))) અને (\displaystyle (\vec (b))) ઉમેરવા માટે, આ બંને વેક્ટરોને પોતાની સાથે સમાંતર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે જેથી તેમની ઉત્પત્તિ એકરુપ થાય. પછી સરવાળો વેક્ટર તેમના પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતરગ્રામના કર્ણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેમના સામાન્ય મૂળથી શરૂ થાય છે.

સમાંતર ચતુર્ભુજ નિયમ ખાસ કરીને અનુકૂળ હોય છે જ્યારે સરવાળા વેક્ટરને તરત જ તે જ બિંદુ પર લાગુ કરવાની જરૂર હોય કે જેના પર બંને પદો લાગુ કરવામાં આવ્યા હોય - એટલે કે, ત્રણેય વેક્ટરને દર્શાવવા માટે સામાન્ય શરૂઆત.

વેક્ટર બાદબાકી

સંકલન સ્વરૂપમાં તફાવત મેળવવા માટે, તમારે વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ બાદબાકી કરવાની જરૂર છે:

‚ (\પ્રદર્શન શૈલી (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_(y)-b_(y),a_(z)-b_(z) ))

તફાવત વેક્ટર મેળવવા માટે (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))), વેક્ટરની શરૂઆત જોડાયેલ છે અને વેક્ટરની શરૂઆત (\displaystyle ( \vec (c))) એ અંત હશે (\displaystyle (\vec (b))), અને અંત એ અંત છે (\displaystyle (\vec (a))). જો આપણે તેને વેક્ટર પોઈન્ટનો ઉપયોગ કરીને લખીએ, તો AC-AB=BC(\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

સંખ્યા વડે વેક્ટરનો ગુણાકાર

વેક્ટર (\displaystyle (\vec (a))) ને સંખ્યા (\displaystyle \alpha 0) વડે ગુણાકાર કરવાથી (\displaystyle \alpha ) ગણો વધુ લંબાઈ સાથે એક સહદિશ વેક્ટર મળે છે. વેક્ટર (\displaystyle (\vec (a))) ને સંખ્યા (\displaystyle \alpha) વડે ગુણાકાર કરવાથી (\displaystyle \alpha ) ગણા વધારે લંબાઈ સાથે વિરુદ્ધ નિર્દેશિત વેક્ટર મળે છે. સંકલન સ્વરૂપમાં સંખ્યા વડે વેક્ટરનો ગુણાકાર આ સંખ્યા દ્વારા તમામ કોઓર્ડિનેટ્સનો ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે:

(\displaystyle \alpha (\vec (a))=(\alpha a_(x),\alpha a_(y),\alpha a_(z)))

વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદનસ્કેલર

સ્કેલર ઉત્પાદન એ સંખ્યા છે જે વેક્ટરને વેક્ટર દ્વારા ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. સૂત્ર દ્વારા મળી:

વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણ દ્વારા પણ સ્કેલર પ્રોડક્ટ શોધી શકાય છે. માં વેક્ટર્સનો ઉપયોગ સંબંધિત વિજ્ઞાન ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વેક્ટરવેક્ટર - શક્તિશાળી સાધનગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર. મિકેનિક્સ અને ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના મૂળભૂત નિયમો વેક્ટરની ભાષામાં ઘડવામાં આવે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રને સમજવા માટે, તમારે વેક્ટર સાથે કેવી રીતે કામ કરવું તે શીખવાની જરૂર છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ગણિતની જેમ, વેક્ટર એ એક જથ્થો છે જે તેના સંખ્યાત્મક મૂલ્ય અને દિશા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ઘણા મહત્વપૂર્ણ જથ્થાઓ છે જે વેક્ટર છે, ઉદાહરણ તરીકે, બળ, સ્થિતિ, ગતિ, પ્રવેગક, ટોર્ક, મોમેન્ટમ, ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તાકાત. સાહિત્યમાં વેક્ટરચાલો આપણે ઇવાન એન્ડ્રીવિચ ક્રાયલોવની દંતકથાને યાદ કરીએ કે કેવી રીતે "એક હંસ, એક ક્રેફિશ અને પાઈક સામાનનો ભાર લે છે." દંતકથા જણાવે છે કે "કાર્ટ હજી પણ ત્યાં છે," બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કાર્ટ પર લાગુ કરાયેલા તમામ દળોનું પરિણામ શૂન્ય છે. અને શક્તિ, જેમ આપણે જાણીએ છીએ, વેક્ટર જથ્થો. રસાયણશાસ્ત્રમાં વેક્ટર

ઘણીવાર મહાન વૈજ્ઞાનિકોએ પણ એવો વિચાર વ્યક્ત કર્યો હતો રાસાયણિક પ્રક્રિયાવેક્ટર છે. હકીકતમાં, કોઈપણ ઘટનાને "વેક્ટર" ની વિભાવના હેઠળ સમાવી શકાય છે. વેક્ટર એવી ક્રિયા અથવા ઘટનાને વ્યક્ત કરે છે જે અવકાશમાં અને ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં સ્પષ્ટ દિશા ધરાવે છે, જે તેની તીવ્રતા દ્વારા પ્રતિબિંબિત થાય છે. અવકાશમાં વેક્ટરની દિશા વેક્ટર અને કોઓર્ડિનેટ અક્ષો વચ્ચે બનેલા ખૂણાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને વેક્ટરની લંબાઈ (મેગ્નિટ્યુડ) તેની શરૂઆત અને અંતના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

જો કે, રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા એ વેક્ટર હોવાનો દાવો અત્યાર સુધી અચોક્કસ રહ્યો છે. જો કે, આ નિવેદનનો આધાર છે આગામી નિયમ: "કોઈપણ રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા અવકાશમાં સીધી રેખાના સપ્રમાણ સમીકરણને અનુલક્ષે છે જેમાં પદાર્થોના જથ્થા (મોલ્સ), માસ અથવા વોલ્યુમોના સ્વરૂપમાં વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે."

બધી સીધી રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ મૂળમાંથી પસાર થાય છે. વેક્ટર દ્વારા અવકાશમાં કોઈપણ સીધી રેખા વ્યક્ત કરવી મુશ્કેલ નથી, પરંતુ રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાની સીધી રેખા સંકલન પ્રણાલીના મૂળમાંથી પસાર થતી હોવાથી, આપણે માની શકીએ કે સીધી રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાનો વેક્ટર સીધી રેખા પર જ સ્થિત છે. અને તેને ત્રિજ્યા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે. આ વેક્ટરની ઉત્પત્તિ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની ઉત્પત્તિ સાથે એકરુપ છે. આમ, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ: કોઈપણ રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા અવકાશમાં તેના વેક્ટરની સ્થિતિ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. જીવવિજ્ઞાનમાં વેક્ટર્સ

વેક્ટર (જિનેટિક્સમાં) - ન્યુક્લીક એસિડ પરમાણુ, મોટાભાગે ડીએનએ, વપરાય છે આનુવંશિક અભિયાંત્રિકીટ્રાન્સમિશન માટે આનુવંશિક સામગ્રીઅન્ય કોષ.

અર્થશાસ્ત્રમાં વેક્ટર્સ

વિભાગોમાંથી એક ઉચ્ચ ગણિતછે રેખીય બીજગણિત. વિવિધ આર્થિક સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં તેના તત્વોનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે. તેમાંથી, વેક્ટરનો ખ્યાલ એક મહત્વપૂર્ણ સ્થાન ધરાવે છે.

વેક્ટર એ સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ ક્રમ છે. ક્રમમાં સંખ્યા દ્વારા તેમની ગોઠવણીને ધ્યાનમાં લેતા વેક્ટરમાંની સંખ્યાઓને વેક્ટર ઘટકો કહેવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે વેક્ટરને આર્થિક સહિત કોઈપણ પ્રકૃતિના તત્વો તરીકે ગણી શકાય. ધારો કે કોઈ ચોક્કસ કાપડની ફેક્ટરીએ એક પાળીમાં 30 સેટ બેડ લેનિન, 150 ટુવાલ, 100 બાથરોબ્સનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ, તો આ ફેક્ટરીના ઉત્પાદન કાર્યક્રમને વેક્ટર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં ફેક્ટરીએ ઉત્પાદન કરવું જોઈએ તે બધું ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર છે. .

મનોવિજ્ઞાનમાં વેક્ટર્સ

આજે ત્યાં છે મોટી રકમસ્વ-જ્ઞાન, મનોવિજ્ઞાનના ક્ષેત્રો અને સ્વ-વિકાસ માટે માહિતી સ્ત્રોતો. અને તે નોંધવું મુશ્કેલ નથી કે આવી અસામાન્ય દિશા સિસ્ટમ-વેક્ટર મનોવિજ્ઞાન, તેમાં 8 વેક્ટર છે.

રોજિંદા જીવનમાં વેક્ટર્સ

મેં નોંધ્યું છે કે ચોક્કસ વિજ્ઞાન ઉપરાંત વેક્ટર મારી સામે દરરોજ આવે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પાર્કમાં ચાલતી વખતે, મેં જોયું કે એક સ્પ્રુસ વૃક્ષ, તે બહાર આવ્યું છે, તેને અવકાશમાં વેક્ટરનું ઉદાહરણ ગણી શકાય: તેનો નીચલો ભાગ વેક્ટરની શરૂઆત છે, અને ઝાડની ટોચ છે. વેક્ટરનો અંત. અને વેક્ટર ઈમેજ સાથેના ચિહ્નો જ્યારે મોટા સ્ટોર્સની મુલાકાત લે છે ત્યારે અમને કોઈ ચોક્કસ વિભાગને ઝડપથી શોધવામાં અને સમય બચાવવામાં મદદ કરે છે.

ટ્રાફિક ચિહ્નોમાં વેક્ટર

દરરોજ, ઘર છોડીને, અમે રાહદારી તરીકે અથવા ડ્રાઇવર તરીકે, ટ્રાફિકમાં સહભાગી બનીએ છીએ. આજકાલ, લગભગ દરેક કુટુંબ પાસે એક કાર છે, જે, અલબત્ત, તમામ માર્ગ વપરાશકર્તાઓની સલામતીને અસર કરી શકતી નથી. અને રસ્તા પરના બનાવો ટાળવા માટે, તમારે તમામ ટ્રાફિક નિયમોનું પાલન કરવું જોઈએ. પરંતુ આપણે એ ન ભૂલવું જોઈએ કે જીવનમાં બધું એકબીજા સાથે જોડાયેલું છે અને, સરળ પ્રિસ્ક્રિપ્ટિવ ટ્રાફિક ચિહ્નોમાં પણ, આપણે દિશાત્મક તીરો જોઈએ છીએ, જેને ગણિતમાં વેક્ટર કહેવાય છે. આ તીરો (વેક્ટર) આપણને ચળવળની દિશાઓ, ચળવળની દિશાઓ, ચકરાવાની દિશાઓ અને ઘણું બધું બતાવે છે. આ બધી માહિતી રસ્તાઓ પર ટ્રાફિક ચિહ્નો પર વાંચી શકાય છે.

નિષ્કર્ષ

"વેક્ટર" ની મૂળભૂત વિભાવના, જેની આપણે શાળામાં ગણિતના પાઠોમાં ચર્ચા કરી છે, તે વિભાગોમાં અભ્યાસ માટેનો આધાર છે સામાન્ય રસાયણશાસ્ત્ર, સામાન્ય જીવવિજ્ઞાન, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને અન્ય વિજ્ઞાન. હું જીવનમાં વેક્ટર્સની જરૂરિયાતનું અવલોકન કરું છું, જે ઇચ્છિત ઑબ્જેક્ટ શોધવામાં મદદ કરે છે, સમય બચાવે છે, તેઓ ટ્રાફિક સંકેતોમાં પ્રિસ્ક્રિપ્ટિવ કાર્ય કરે છે.

તારણો

દરેક વ્યક્તિ રોજિંદા જીવનમાં સતત વેક્ટરનો સામનો કરે છે.

માત્ર ગણિત જ નહીં, અન્ય વિજ્ઞાનનો પણ અભ્યાસ કરવા માટે આપણને વેક્ટરની જરૂર છે.

દરેક વ્યક્તિએ જાણવું જોઈએ કે વેક્ટર શું છે.

સ્ત્રોતો

બશ્માકોવ એમ.એ. વેક્ટર શું છે - 2જી આવૃત્તિ, સ્ટર - એમ.

Vygodsky M.Ya. પ્રાથમિક ગણિતની હેન્ડબુક.-3જી આવૃત્તિ., ભૂંસી નાખેલી. - એમ.: નૌકા, 1978.-186 પૃષ્ઠ.

ગુસ્યાત્નિકોવ પી.બી. વેક્ટર બીજગણિતઉદાહરણો અને સમસ્યાઓમાં - 2જી આવૃત્તિ, સ્ટર.: સ્નાતક શાળા, 1985.-302p.

ઝૈત્સેવ વી.વી. પ્રાથમિક ગણિત. પુનરાવર્તિત અભ્યાસક્રમ - 3જી આવૃત્તિ, સ્ટર - એમ.: નૌકા, 1976. - 156 પૃષ્ઠ.

કોક્સેટર જી.એસ. ભૂમિતિ સાથે નવા મેળાપ.-2જી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખવામાં આવી. - એમ.: નૌકા, 1978.-324 પૃષ્ઠ.

પોગોરેલોવ એ.વી. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ - 3જી આવૃત્તિ, ભૂંસી. - એમ.: કવંત, 1968.-235 પૃષ્ઠ.

પ્રથમ સ્તર

કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર. વ્યાપક માર્ગદર્શિકા (2019)

આ લેખમાં, અમે એક "જાદુઈ લાકડી" વિશે ચર્ચા કરવાનું શરૂ કરીશું જે તમને ભૂમિતિની ઘણી સમસ્યાઓને સરળ અંકગણિતમાં ઘટાડવાની મંજૂરી આપશે. આ "સ્ટીક" તમારા જીવનને ખૂબ સરળ બનાવી શકે છે, ખાસ કરીને જ્યારે તમે અવકાશી આકૃતિઓ, વિભાગો, વગેરે બાંધવામાં અનિશ્ચિત અનુભવો છો. આ બધા માટે ચોક્કસ કલ્પના અને વ્યવહારુ કુશળતાની જરૂર છે. પદ્ધતિ કે જે અમે અહીં ધ્યાનમાં લેવાનું શરૂ કરીશું તે તમને કોઈપણ પ્રકારની લગભગ સંપૂર્ણપણે અમૂર્ત કરવાની મંજૂરી આપશે ભૌમિતિક બાંધકામોઅને તર્ક. પદ્ધતિ કહેવાય છે "સંકલન પદ્ધતિ". આ લેખમાં આપણે નીચેના પ્રશ્નો પર વિચાર કરીશું:

1. સંકલન વિમાન
2. પ્લેન પર પોઈન્ટ અને વેક્ટર
3. બે બિંદુઓથી વેક્ટરનું નિર્માણ
4. વેક્ટર લંબાઈ (બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર)
5. સેગમેન્ટના મધ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ
6. વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન
7. બે વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો

મને લાગે છે કે તમે પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે કે સંકલન પદ્ધતિ શા માટે કહેવાય છે? તે સાચું છે, તેને તે નામ મળ્યું કારણ કે તે ભૌમિતિક વસ્તુઓ સાથે નહીં, પરંતુ તેમની સાથે કામ કરે છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ(કોઓર્ડિનેટ્સ). અને પરિવર્તન પોતે, જે આપણને ભૂમિતિથી બીજગણિતમાં જવા દે છે, તેમાં સંકલન પ્રણાલીનો સમાવેશ થાય છે. જો મૂળ આકૃતિ સપાટ હતી, તો કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વિ-પરિમાણીય છે, અને જો આકૃતિ ત્રિ-પરિમાણીય છે, તો કોઓર્ડિનેટ્સ ત્રિ-પરિમાણીય છે. આ લેખમાં આપણે ફક્ત દ્વિ-પરિમાણીય કેસને ધ્યાનમાં લઈશું. અને લેખનો મુખ્ય ધ્યેય તમને શીખવવાનો છે કે કેટલાકનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો મૂળભૂત તકનીકોસંકલન પદ્ધતિ (યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના ભાગ Bમાં પ્લાનિમેટ્રી પર સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે તેઓ કેટલીકવાર ઉપયોગી સાબિત થાય છે). આ વિષય પરના આગામી બે વિભાગો C2 (સ્ટીરીઓમેટ્રીની સમસ્યા) ની સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની ચર્ચા માટે સમર્પિત છે.

સંકલન પદ્ધતિની ચર્ચા શરૂ કરવી ક્યાંથી તાર્કિક હશે? સંભવતઃ સંકલન પ્રણાલીના ખ્યાલમાંથી. યાદ રાખો કે તમે તેની સાથે પ્રથમ વખત ક્યારે આવ્યા હતા. મને લાગે છે કે 7 મા ધોરણમાં, જ્યારે તમે અસ્તિત્વ વિશે શીખ્યા રેખીય કાર્ય, દાખ્લા તરીકે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે તમે તેને પોઈન્ટ બાય પોઈન્ટ બનાવ્યો છે. તમને યાદ છે? તમે મનસ્વી સંખ્યા પસંદ કરી, તેને ફોર્મ્યુલામાં બદલી અને તે રીતે ગણતરી કરી. ઉદાહરણ તરીકે, જો, પછી, જો, તો, વગેરે. અંતે તમને શું મળ્યું? અને તમને કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પોઈન્ટ પ્રાપ્ત થયા છે: અને. આગળ, તમે "ક્રોસ" (કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ) દોર્યું, તેના પર એક સ્કેલ પસંદ કર્યો (એકમ સેગમેન્ટ તરીકે તમારી પાસે કેટલા કોષો હશે) અને તમે તેના પર મેળવેલા બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો, જે પછી તમે પરિણામી રેખા સાથે જોડાયેલા છો; રેખા એ કાર્યનો ગ્રાફ છે.

અહીં કેટલાક મુદ્દા છે જે તમને થોડી વધુ વિગતવાર સમજાવવા જોઈએ:

1. એકમ સેગમેન્ટતમે અનુકૂળતાના કારણોસર પસંદ કરો છો, જેથી બધું ચિત્રમાં સુંદર અને સઘન રીતે બંધબેસે

2. તે સ્વીકારવામાં આવે છે કે ધરી ડાબેથી જમણે જાય છે, અને ધરી નીચેથી ઉપર જાય છે

3. તેઓ કાટખૂણો પર છેદે છે, અને તેમના આંતરછેદના બિંદુને મૂળ કહેવામાં આવે છે. તે એક પત્ર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

4. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ લખતી વખતે, ઉદાહરણ તરીકે, કૌંસમાં ડાબી બાજુએ અક્ષ સાથે બિંદુનું સંકલન છે, અને જમણી બાજુએ, ધરી સાથે. ખાસ કરીને, તેનો સીધો અર્થ એ છે કે બિંદુ પર

5. કોઈપણ બિંદુ સેટ કરવા માટે સંકલન અક્ષ, તમારે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવવાની જરૂર છે (2 નંબરો)

6. ધરી પર પડેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,

7. ધરી પર પડેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,

8. ધરીને x-અક્ષ કહેવામાં આવે છે

9. ધરીને વાય-અક્ષ કહેવામાં આવે છે

હવે ચાલો આગળનું પગલું લઈએ: બે બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો. ચાલો આ બે બિંદુઓને એક સેગમેન્ટ સાથે જોડીએ. અને અમે તીરને એવી રીતે મૂકીશું કે જાણે આપણે એક બિંદુથી બિંદુ સુધી એક સેગમેન્ટ દોરતા હોઈએ: એટલે કે, અમે અમારા સેગમેન્ટને નિર્દેશિત કરીશું!

યાદ રાખો કે અન્ય દિશાત્મક સેગમેન્ટ શું કહેવાય છે? તે સાચું છે, તે વેક્ટર કહેવાય છે!

તેથી જો આપણે બિંદુથી બિંદુને જોડીએ, અને શરૂઆત બિંદુ A હશે, અને અંત બિંદુ B હશે,પછી આપણને વેક્ટર મળે છે. તમે પણ આ બાંધકામ 8મા ધોરણમાં કર્યું હતું, યાદ છે?

તે તારણ આપે છે કે વેક્ટર, બિંદુઓની જેમ, બે સંખ્યાઓ દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે: આ સંખ્યાઓને વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવામાં આવે છે. પ્રશ્ન: શું તમને લાગે છે કે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે તેની શરૂઆત અને અંતના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણવું પૂરતું છે? તે તારણ આપે છે કે હા! અને આ ખૂબ જ સરળ રીતે કરવામાં આવે છે:

આમ, કારણ કે વેક્ટરમાં બિંદુ એ શરૂઆત છે અને બિંદુ એ અંત છે, વેક્ટર પાસે નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, જો, પછી વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ

હવે ચાલો વિરુદ્ધ કરીએ, વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. આ માટે આપણે શું બદલવાની જરૂર છે? હા, તમારે શરૂઆત અને અંતને સ્વેપ કરવાની જરૂર છે: હવે વેક્ટરની શરૂઆત બિંદુ પર હશે, અને અંત બિંદુ પર હશે. પછી:

ધ્યાનથી જુઓ, વેક્ટર અને વચ્ચે શું તફાવત છે? તેમનો એકમાત્ર તફાવત કોઓર્ડિનેટ્સમાં ચિહ્નો છે. તેઓ વિરોધી છે. આ હકીકત સામાન્ય રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છે:

કેટલીકવાર, જો તે ચોક્કસ રીતે જણાવવામાં આવતું નથી કે કયો બિંદુ વેક્ટરની શરૂઆત છે અને કયો અંત છે, તો વેક્ટરને બે કેપિટલ અક્ષરો દ્વારા નહીં, પરંતુ એક લોઅરકેસ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: , વગેરે.

હવે થોડું પ્રેક્ટિસજાતે અને નીચેના વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો:

પરીક્ષા:

હવે થોડી વધુ મુશ્કેલ સમસ્યા હલ કરો:

બિંદુ પર શરૂઆત સાથેના વેક્ટરમાં કો-અથવા-દી-ના-યુ હોય છે. abs-cis-su પોઈન્ટ શોધો.

બધુ જ એકદમ અસ્પષ્ટ છે: ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ બનીએ. પછી

મેં વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ શું છે તેની વ્યાખ્યાના આધારે સિસ્ટમનું સંકલન કર્યું. પછી બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. અમને abscissa માં રસ છે. પછી

જવાબ:

તમે વેક્ટર સાથે બીજું શું કરી શકો? હા, લગભગ બધું સાથે જેવું જ છે સામાન્ય સંખ્યાઓ(સિવાય કે તમે ભાગાકાર કરી શકતા નથી, પરંતુ તમે બે રીતે ગુણાકાર કરી શકો છો, જેમાંથી એકની આપણે થોડી વાર પછી અહીં ચર્ચા કરીશું)

1. વેક્ટર એકબીજામાં ઉમેરી શકાય છે
2. વેક્ટરને એકબીજામાંથી બાદ કરી શકાય છે
3. વેક્ટર્સનો ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) મનસ્વી બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા કરી શકાય છે
4. વેક્ટરને એકબીજાથી ગુણાકાર કરી શકાય છે

આ તમામ કામગીરી એકદમ સ્પષ્ટ છે ભૌમિતિક રજૂઆત. ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળો અને બાદબાકી માટે ત્રિકોણ (અથવા સમાંતર ચતુષ્કોણ) નિયમ:

જ્યારે સંખ્યા વડે ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે ત્યારે વેક્ટર લંબાય છે અથવા સંકોચન કરે છે અથવા દિશા બદલે છે:

જો કે, અહીં આપણે કોઓર્ડિનેટ્સનું શું થાય છે તે પ્રશ્નમાં રસ ધરાવીશું.

1. જ્યારે બે વેક્ટર ઉમેરતા (બાદબાકી) કરીએ છીએ, ત્યારે અમે તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ તત્વને તત્વ દ્વારા ઉમેરીએ છીએ (બાદબાકી). તે જ:

2. વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર (વિભાજિત) કરતી વખતે, તેના તમામ કોઓર્ડિનેટ્સ આ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર (વિભાજિત) થાય છે:

દાખ્લા તરીકે:

· સહ-અથવા-દી-નાટ સદી-થી-રાની રકમ શોધો.

ચાલો પહેલા દરેક વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. બંનેનું મૂળ એક જ છે - મૂળ બિંદુ. તેમના છેડા અલગ છે. પછી, . હવે ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરીએ તો પરિણામી વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટનો સરવાળો બરાબર થાય.

જવાબ:

હવે નીચેની સમસ્યા જાતે ઉકેલો:

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સનો સરવાળો શોધો

અમે તપાસીએ છીએ:

ચાલો હવે નીચેની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ: આપણી પાસે બે મુદ્દા છે સંકલન વિમાન. તેમની વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું? પ્રથમ બિંદુ રહેવા દો, અને બીજો. ચાલો તેમની વચ્ચેનું અંતર આના દ્વારા દર્શાવીએ. ચાલો સ્પષ્ટતા માટે નીચેનું ચિત્ર બનાવીએ:

મે શુ કર્યુ? સૌપ્રથમ, મેં બિંદુઓને જોડ્યા અને, પણ, બિંદુથી મેં અક્ષની સમાંતર એક રેખા દોરી, અને બિંદુથી મેં અક્ષની સમાંતર રેખા દોરી. શું તેઓ એક બિંદુ પર છેદે છે, એક નોંધપાત્ર આકૃતિ બનાવે છે? તેના વિશે શું ખાસ છે? હા, તમે અને હું લગભગ બધું જ જાણીએ છીએ જમણો ત્રિકોણ. ઠીક છે, ખાતરી માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય. જરૂરી સેગમેન્ટ આ ત્રિકોણનું કર્ણ છે, અને સેગમેન્ટ્સ પગ છે. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શું છે? હા, તેઓ ચિત્રમાંથી શોધવામાં સરળ છે: સેગમેન્ટ્સ અક્ષોની સમાંતર હોવાથી અને અનુક્રમે, તેમની લંબાઈ શોધવા માટે સરળ છે: જો આપણે અનુક્રમે વિભાગોની લંબાઈને સૂચિત કરીએ, તો પછી

હવે ચાલો પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ. આપણે પગની લંબાઈ જાણીએ છીએ, આપણે કર્ણ શોધીશું:

આમ, બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર એ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી વર્ગીકૃત તફાવતોના સરવાળાનું મૂળ છે. અથવા - બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તેમને જોડતા સેગમેન્ટની લંબાઈ છે. તે જોવાનું સરળ છે કે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર દિશા પર આધારિત નથી. પછી:

અહીંથી આપણે ત્રણ તારણો દોરીએ છીએ:

ચાલો બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવા વિશે થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ:

ઉદાહરણ તરીકે, જો, પછી વચ્ચેનું અંતર અને બરાબર છે

અથવા ચાલો બીજી રીતે જઈએ: વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો

અને વેક્ટરની લંબાઈ શોધો:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, તે જ વસ્તુ છે!

હવે તમારી જાતે થોડી પ્રેક્ટિસ કરો:

કાર્ય: દર્શાવેલ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

અમે તપાસીએ છીએ:

અહીં સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કેટલીક વધુ સમસ્યાઓ છે, જો કે તે થોડી અલગ લાગે છે:

1. પોપચાની લંબાઈનો ચોરસ શોધો.

2. પોપચાની લંબાઈનો ચોરસ શોધો

મને લાગે છે કે તમે તેમની સાથે મુશ્કેલી વિના વ્યવહાર કર્યો છે? અમે તપાસીએ છીએ:

1. અને આ સચેતતા માટે છે) આપણે અગાઉ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ પહેલેથી જ શોધી લીધા છે: . પછી વેક્ટર પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ છે. તેની લંબાઈનો ચોરસ બરાબર હશે:

2. વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો

પછી તેની લંબાઈનો ચોરસ છે

કંઈ જટિલ નથી, બરાબર? સરળ અંકગણિત, વધુ કંઈ નહીં.

નીચેની સમસ્યાઓ અસ્પષ્ટ રીતે વર્ગીકૃત કરી શકાતી નથી; સામાન્ય જ્ઞાનઅને સરળ ચિત્રો દોરવાની ક્ષમતા.

1. એબ્સીસા અક્ષ સાથે, બિંદુને જોડતા, કટમાંથી કોણની સાઈન શોધો.

અને

આપણે અહીં કેવી રીતે આગળ વધીશું? આપણે અને ધરી વચ્ચેના કોણની સાઈન શોધવાની જરૂર છે. આપણે સાઈન ક્યાં જોઈ શકીએ? તે સાચું છે, કાટકોણ ત્રિકોણમાં. તો આપણે શું કરવાની જરૂર છે? આ ત્રિકોણ બનાવો!

કારણ કે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે અને, પછી સેગમેન્ટ સમાન છે, અને સેગમેન્ટ. આપણે કોણની સાઈન શોધવાની જરૂર છે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે સાઈન એ એક ગુણોત્તર છે વિરુદ્ધ પગકર્ણ માટે, પછી

આપણા માટે શું કરવાનું બાકી છે? કર્ણ શોધો. તમે આ બે રીતે કરી શકો છો: પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને (પગ જાણીતા છે!) અથવા બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને (હકીકતમાં, પ્રથમ પદ્ધતિ જેવી જ વસ્તુ!). હું બીજી રીતે જઈશ:

જવાબ:

આગળનું કાર્ય તમને વધુ સરળ લાગશે. તેણી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ પર છે.

કાર્ય 2.બિંદુથી પ્રતિ-પેન-દી-કુ-લ્યાર એબી-સીસ અક્ષ પર નીચે આવે છે. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

કાટખૂણેનો આધાર એ બિંદુ છે કે જેના પર તે x-અક્ષ (અક્ષ) ને છેદે છે, મારા માટે આ એક બિંદુ છે. આકૃતિ બતાવે છે કે તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે: . અમને abscissa - એટલે કે "x" ઘટકમાં રસ છે. તેણી સમાન છે.

જવાબ: .

કાર્ય 3.અગાઉની સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં, બિંદુથી સંકલન અક્ષો સુધીના અંતરનો સરવાળો શોધો.

કાર્ય સામાન્ય રીતે પ્રાથમિક છે જો તમને ખબર હોય કે બિંદુથી અક્ષ સુધીનું અંતર શું છે. તમે જાણો છો? હું આશા રાખું છું, પરંતુ હજી પણ હું તમને યાદ અપાવીશ:

તો, ઉપરના મારા ડ્રોઇંગમાં, શું મેં પહેલેથી જ આવા એક લંબ દોર્યા છે? તે કઈ ધરી પર છે? ધરીને. અને પછી તેની લંબાઈ કેટલી છે? તેણી સમાન છે. હવે અક્ષ પર કાટખૂણે દોરો અને તેની લંબાઈ શોધો. તે સમાન હશે, બરાબર? પછી તેમનો સરવાળો સમાન છે.

જવાબ: .

કાર્ય 4.કાર્ય 2 ની પરિસ્થિતિઓમાં, એબ્સીસા અક્ષને સંબંધિત બિંદુના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધો.

મને લાગે છે કે તે તમને સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે સપ્રમાણતા શું છે? ઘણી વસ્તુઓ પાસે તે છે: ઘણી ઇમારતો, કોષ્ટકો, એરોપ્લેન, ઘણા ભૌમિતિક આકૃતિઓ: બોલ, સિલિન્ડર, ચોરસ, સમચતુર્ભુજ, વગેરે. આશરે કહીએ તો, સમપ્રમાણતા નીચે પ્રમાણે સમજી શકાય છે: આકૃતિમાં બે (અથવા વધુ) સમાન ભાગોનો સમાવેશ થાય છે. આ સમપ્રમાણતાને અક્ષીય સમપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે. તો પછી ધરી શું છે? આ બરાબર તે રેખા છે જેની સાથે આકૃતિ, પ્રમાણમાં કહીએ તો, સમાન ભાગોમાં "કાપી" શકાય છે (આ ચિત્રમાં સપ્રમાણતાની અક્ષ સીધી છે):

હવે ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ. અમે જાણીએ છીએ કે અમે એક બિંદુ શોધી રહ્યા છીએ જે ધરી વિશે સપ્રમાણ છે. પછી આ અક્ષ એ સમપ્રમાણતાની ધરી છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે એક બિંદુને ચિહ્નિત કરવાની જરૂર છે કે જે ધરી સેગમેન્ટને બે સમાન ભાગોમાં કાપી નાખે. આવા બિંદુને જાતે ચિહ્નિત કરવાનો પ્રયાસ કરો. હવે મારા ઉકેલ સાથે સરખામણી કરો:

શું તે તમારા માટે સમાન રીતે કામ કરે છે? ફાઇન! અમને મળેલા બિંદુના ઑર્ડિનેટમાં રસ છે. તે સમાન છે

જવાબ:

હવે મને કહો, થોડીક સેકન્ડો માટે વિચાર્યા પછી, બિંદુ A ને ઓર્ડિનેટની સાપેક્ષ સપ્રમાણતાવાળા બિંદુનું અવકાશ શું હશે? તમારો જવાબ શું છે? સાચો જવાબ: .

IN સામાન્ય કેસનિયમ આ રીતે લખી શકાય છે:

એબ્સીસા અક્ષને લગતા બિંદુના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે:

ઓર્ડિનેટ અક્ષને લગતા બિંદુના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે:

ઠીક છે, હવે તે સંપૂર્ણપણે ડરામણી છે કાર્ય: મૂળના સંબંધમાં બિંદુના સપ્રમાણતાવાળા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. તમે પહેલા તમારા માટે વિચારો, અને પછી મારા ચિત્રને જુઓ!

જવાબ:

હવે સમાંતરગ્રામ સમસ્યા:

કાર્ય 5: બિંદુઓ વેર-શી-ના-મી પા-રાલ-લે-લો-ગ્રામ-મા દેખાય છે. તે બિંદુ પર or-di-શોધો.

તમે આ સમસ્યાને બે રીતે હલ કરી શકો છો: તર્ક અને સંકલન પદ્ધતિ. હું પહેલા સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશ, અને પછી હું તમને કહીશ કે તમે તેને અલગ રીતે કેવી રીતે હલ કરી શકો.

તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે બિંદુની અબસીસા સમાન છે. (તે બિંદુથી એબ્સીસા અક્ષ તરફ દોરેલા લંબ પર આવેલું છે). આપણે ઓર્ડિનેટ શોધવાની જરૂર છે. ચાલો એ હકીકતનો લાભ લઈએ કે આપણી આકૃતિ સમાંતરગ્રામ છે, આનો અર્થ એ છે કે. ચાલો બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધીએ:

અમે બિંદુને ધરી સાથે જોડતા લંબને નીચે કરીએ છીએ. હું એક અક્ષર વડે આંતરછેદ બિંદુ દર્શાવીશ.

સેગમેન્ટની લંબાઈ સમાન છે. (અમે જ્યાં આ મુદ્દાની ચર્ચા કરી છે તે સમસ્યા જાતે શોધો), પછી આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધીશું:

સેગમેન્ટની લંબાઈ તેના ઓર્ડિનેટ સાથે બરાબર એકરુપ હોય છે.

જવાબ: .

બીજો ઉકેલ (હું ફક્ત એક ચિત્ર આપીશ જે તેને સમજાવે છે)

ઉકેલ પ્રગતિ:

1. આચાર

2. બિંદુ અને લંબાઈના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો

3. તે સાબિત કરો.

બીજો કોઈ સેગમેન્ટ લંબાઈ સમસ્યા:

બિંદુઓ ત્રિકોણની ટોચ પર દેખાય છે. તેની મધ્યરેખાની લંબાઈ શોધો, સમાંતર.

શું તમને યાદ છે કે તે શું છે મધ્ય રેખાત્રિકોણ? તો પછી આ કાર્ય તમારા માટે પ્રાથમિક છે. જો તમને યાદ ન હોય તો, હું તમને યાદ અપાવીશ: ત્રિકોણની મધ્ય રેખા એ એક રેખા છે જે વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તે આધારની સમાંતર છે અને તેના અડધા જેટલી છે.

આધાર એક સેગમેન્ટ છે. આપણે અગાઉ તેની લંબાઈ શોધવાની હતી, તે બરાબર છે. પછી મધ્ય રેખાની લંબાઈ અડધા જેટલી મોટી અને સમાન છે.

જવાબ: .

ટિપ્પણી: આ સમસ્યા બીજી રીતે ઉકેલી શકાય છે, જેના પર આપણે થોડી વાર પછી જઈશું.

આ દરમિયાન, અહીં તમારા માટે કેટલીક સમસ્યાઓ છે, તેના પર પ્રેક્ટિસ કરો, તે ખૂબ જ સરળ છે, પરંતુ તે તમને કોઓર્ડિનેટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વધુ સારું કરવામાં મદદ કરે છે!

1. પોઈન્ટ્સ ટ્રે-પે-શન્સમાં ટોચના છે. તેની મધ્યરેખાની લંબાઈ શોધો.

2. બિંદુઓ અને દેખાવ વેર-શી-ના-મી પા-રાલ-લે-લો-ગ્રામ-મા. તે બિંદુ પર or-di-શોધો.

3. કટમાંથી લંબાઈ શોધો, બિંદુને જોડો અને

4. કો-ઓર્ડી-નેટ પ્લેન પર રંગીન આકૃતિ પાછળનો વિસ્તાર શોધો.

5. ના-ચા-લે કો-ઓર-દી-નાટમાં કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તેણીના રા-દી-અસને શોધો.

6. વર્તુળમાંથી-દી-તે રા-દી-અસને શોધો, જમણા-કોણ-નો-કા વિશે-સાન-નોયનું વર્ણન કરો, કોઈ વસ્તુની ટોચ પર સહ-અથવા-દી-ના-તમે એટલા જવાબદાર છો

ઉકેલો:

1. તે જાણીતું છે કે ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા તેના પાયાના અડધા સરવાળા જેટલી હોય છે. આધાર સમાન છે, અને આધાર. પછી

જવાબ:

2. આ સમસ્યાને ઉકેલવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ નોંધવું છે કે (સમાંતરગ્રામ નિયમ). વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નથી: . વેક્ટર ઉમેરતી વખતે, કોઓર્ડિનેટ્સ ઉમેરવામાં આવે છે. પછી તે કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. બિંદુ પણ આ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, કારણ કે વેક્ટરનું મૂળ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનું બિંદુ છે. અમને ઑર્ડિનેટમાં રસ છે. તેણી સમાન છે.

જવાબ:

3. અમે તરત જ બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્ર અનુસાર કાર્ય કરીએ છીએ:

જવાબ:

4. ચિત્ર જુઓ અને મને કહો કે શેડેડ વિસ્તાર કઈ બે આકૃતિઓ વચ્ચે "સેન્ડવીચ" છે? તે બે ચોરસ વચ્ચે સેન્ડવીચ કરેલું છે. પછી ઇચ્છિત આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ મોટા ચોરસના ક્ષેત્રફળને બાદ કરતાં નાનાના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. બાજુ નાનો ચોરસબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ છે અને તેની લંબાઈ છે

પછી નાના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે

અમે મોટા ચોરસ સાથે તે જ કરીએ છીએ: તેની બાજુ બિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ છે અને તેની લંબાઈ છે

પછી મોટા ચોરસનો વિસ્તાર છે

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત આકૃતિનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ:

જવાબ:

5. જો વર્તુળનું મૂળ તેના કેન્દ્ર તરીકે હોય અને તે એક બિંદુમાંથી પસાર થાય, તો તેની ત્રિજ્યા સેગમેન્ટની લંબાઈ જેટલી બરાબર હશે (એક ચિત્ર બનાવો અને તમે સમજી શકશો કે આ સ્પષ્ટ કેમ છે). ચાલો આ સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધીએ:

જવાબ:

6. તે જાણીતું છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા એક લંબચોરસની આસપાસ છે અડધા બરાબરતેના કર્ણ. ચાલો બેમાંથી કોઈપણ કર્ણની લંબાઈ શોધીએ (છેવટે, લંબચોરસમાં તેઓ સમાન હોય છે!)

જવાબ:

સારું, તમે દરેક વસ્તુનો સામનો કર્યો? તે બહાર આકૃતિ ખૂબ મુશ્કેલ ન હતી, તે હતું? અહીં ફક્ત એક જ નિયમ છે - દ્રશ્ય ચિત્ર બનાવવા માટે સક્ષમ બનો અને તેમાંથી તમામ ડેટા ફક્ત "વાંચો".

અમારી પાસે બહુ ઓછું બચ્યું છે. ત્યાં શાબ્દિક રીતે વધુ બે મુદ્દા છે જેની હું ચર્ચા કરવા માંગુ છું.

ચાલો આ સરળ સમસ્યાને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. બે પોઇન્ટ દો અને આપવામાં આવે. સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. આ સમસ્યાનો ઉકેલ નીચે મુજબ છે: બિંદુને ઇચ્છિત મધ્યમ થવા દો, પછી તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

તે જ: સેગમેન્ટના મધ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ = સેગમેન્ટના છેડાના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સનો અંકગણિત સરેરાશ.

આ નિયમ ખૂબ જ સરળ છે અને સામાન્ય રીતે વિદ્યાર્થીઓ માટે મુશ્કેલીઓ ઊભી કરતું નથી. ચાલો જોઈએ કે કઈ સમસ્યાઓ અને તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે:

1. શોધો-દી-તે અથવા-દી-ના-તુ સે-રી-ડી-ની થી-કટ, કનેક્ટ-ધ-પોઇન્ટ અને

2. પોઈન્ટ વિશ્વના ટોચના હોવાનું જણાય છે. તેના દિયા-ગો-ના-લેના-દી-તે અથવા-દી-ના-તુ પોઈન્ટ્સ પર-રે-સે-ચે-નિયા શોધો.

3. વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો-ડી-તે એબીએસ-સીઆઈએસ-સુ, લંબચોરસ-નો-કા વિશે-સાન-નોયનું વર્ણન કરો, કોઈ વસ્તુની ટોચ પર સહ-અથવા-દી-ના-તમે એટલી-જવાબદારીથી-પરંતુ.

ઉકેલો:

1. પ્રથમ સમસ્યા ફક્ત ક્લાસિક છે. અમે સેગમેન્ટની મધ્ય નક્કી કરવા માટે તરત જ આગળ વધીએ છીએ. તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ઓર્ડિનેટ સમાન છે.

જવાબ:

2. તે જોવાનું સરળ છે કે આ ચતુષ્કોણ એક સમાંતરગ્રામ છે (એક સમચતુર્ભુજ પણ!). તમે બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરીને અને તેમની એકબીજા સાથે સરખામણી કરીને આ જાતે સાબિત કરી શકો છો. હું સમાંતરગ્રામ વિશે શું જાણું છું? તેના કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે! હા! તો કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ શું છે? આ કર્ણમાંથી કોઈની મધ્યમાં છે! હું પસંદ કરીશ, ખાસ કરીને, કર્ણ. પછી બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે બિંદુનું ઓર્ડિનેટ બરાબર છે.

જવાબ:

3. લંબચોરસને ઘેરાયેલું વર્તુળનું કેન્દ્ર શું સાથે મેળ ખાય છે? તે તેના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુ સાથે એકરુપ છે. તમે લંબચોરસના કર્ણ વિશે શું જાણો છો? તેઓ સમાન છે અને આંતરછેદ બિંદુ તેમને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. કાર્ય પાછલા એકમાં ઘટાડવામાં આવ્યું હતું. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, કર્ણ લઈએ. પછી જો વર્તુળનું કેન્દ્ર છે, તો મધ્યબિંદુ છે. હું કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યો છું: abscissa સમાન છે.

જવાબ:

હવે તમારી જાતે થોડી પ્રેક્ટિસ કરો, હું દરેક સમસ્યાના જવાબો આપીશ જેથી તમે તમારી જાતને ચકાસી શકો.

1. વર્તુળના-દી-તે રા-દી-અસને શોધો, ત્રિ-કોણ-નો-કા વિશે-સાન-નોયનું વર્ણન કરો, કોઈ વસ્તુની ટોચ પર કો-અથવા-દી-નો મિસ્ટર હોય છે

2. વર્તુળના તે કેન્દ્ર પર-દી-તે અથવા-દી-પર શોધો, ત્રિકોણ-નો-કા વિશે-સાન-નોયનું વર્ણન કરો, જેની ટોચ પર કોઓર્ડિનેટ્સ છે

3. કયા પ્રકારનું રા-દી-ઉ-સા એક બિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ હોવું જોઈએ જેથી તે એબી-સીસ અક્ષને સ્પર્શે?

4. અક્ષના પુનઃ-સે-ટિશનના તે બિંદુ અથવા-દી-ઓન-ને શોધો અને ફ્રોમ-કટ, કનેક્ટ-ધ-બિંદુ અને

જવાબો:

શું બધું સફળ હતું? હું ખરેખર તેની આશા રાખું છું! હવે - છેલ્લો દબાણ. હવે ખાસ ધ્યાન રાખો. હવે હું જે સામગ્રી સમજાવીશ તે ભાગ B માંથી સંકલન પદ્ધતિ પરની સરળ સમસ્યાઓ સાથે સીધી રીતે સંબંધિત નથી, પરંતુ સમસ્યા C2 માં પણ દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે.

મારું કયું વચન મેં હજી પાળ્યું નથી? યાદ રાખો કે મેં વેક્ટર પર કયા ઑપરેશન્સ રજૂ કરવાનું વચન આપ્યું હતું અને આખરે મેં કયા ઑપરેશન્સ રજૂ કર્યા? શું તમને ખાતરી છે કે હું કંઈપણ ભૂલી ગયો નથી? ભૂલી ગયા! હું વેક્ટર ગુણાકારનો અર્થ શું છે તે સમજાવવાનું ભૂલી ગયો.

વેક્ટરને વેક્ટર વડે ગુણાકાર કરવાની બે રીત છે. પસંદ કરેલી પદ્ધતિના આધારે, અમને વિવિધ પ્રકૃતિની વસ્તુઓ મળશે:

ક્રોસ ઉત્પાદન ખૂબ હોશિયારીથી કરવામાં આવે છે. તે કેવી રીતે કરવું અને શા માટે તેની જરૂર છે તેની ચર્ચા હવે પછીના લેખમાં કરીશું. અને આમાં આપણે સ્કેલર પ્રોડક્ટ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું.

ત્યાં બે રીત છે જે અમને તેની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે:

જેમ તમે અનુમાન લગાવ્યું છે, પરિણામ સમાન હોવું જોઈએ! તો ચાલો પહેલા પ્રથમ પદ્ધતિ જોઈએ:

કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા ડોટ પ્રોડક્ટ

શોધો: - સ્કેલર ઉત્પાદન માટે સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત સંકેત

ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

એટલે કે, સ્કેલર ઉત્પાદન = વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સના ઉત્પાદનોનો સરવાળો!

ઉદાહરણ:

શોધો-દી-તે

ઉકેલ:

ચાલો દરેક વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ:

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ છીએ:

જવાબ:

જુઓ, એકદમ કંઈ જટિલ નથી!

સારું, હવે તેને જાતે અજમાવો:

· સદીઓ અને

શું તમે મેનેજ કર્યું? કદાચ તમે એક નાનો કેચ નોંધ્યો છે? ચાલો તપાસીએ:

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ, અગાઉની સમસ્યાની જેમ! જવાબ:.

કોઓર્ડિનેટ ઉપરાંત, સ્કેલર પ્રોડક્ટની ગણતરી કરવાની બીજી રીત છે, એટલે કે, વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણના કોસાઈન દ્વારા:

વેક્ટર અને વચ્ચેનો કોણ દર્શાવે છે.

એટલે કે, સ્કેલર ઉત્પાદન વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઈનના ગુણાંક સમાન છે.

આપણને આ બીજા સૂત્રની શા માટે જરૂર છે, જો આપણી પાસે પ્રથમ છે, જે ખૂબ સરળ છે, ઓછામાં ઓછા તેમાં કોઈ કોસાઈન્સ નથી. અને તે જરૂરી છે જેથી પ્રથમ અને બીજા સૂત્રમાંથી તમે અને હું વેક્ટર્સ વચ્ચેનો ખૂણો કેવી રીતે શોધવો તે અનુમાન કરી શકીએ!

ચાલો પછી વેક્ટરની લંબાઈ માટેનું સૂત્ર યાદ રાખીએ!

પછી જો હું આ ડેટાને સ્કેલર પ્રોડક્ટ ફોર્મ્યુલામાં બદલીશ, તો મને મળશે:

પરંતુ બીજી રીતે:

તો તમને અને મને શું મળ્યું? હવે અમારી પાસે એક સૂત્ર છે જે અમને બે વેક્ટર વચ્ચેના ખૂણાની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે! કેટલીકવાર તે સંક્ષિપ્તતા માટે આના જેવું પણ લખવામાં આવે છે:

એટલે કે, વેક્ટર્સ વચ્ચેના ખૂણાની ગણતરી માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

1. કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરો
2. વેક્ટરની લંબાઈ શોધો અને તેમને ગુણાકાર કરો
3. બિંદુ 1 ના પરિણામને બિંદુ 2 ના પરિણામ દ્વારા વિભાજીત કરો

ચાલો ઉદાહરણો સાથે પ્રેક્ટિસ કરીએ:

1. પોપચા અને વચ્ચેનો કોણ શોધો. ગ્રેડ-ડુ-સાહમાં જવાબ આપો.

2. અગાઉની સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં, વેક્ટર વચ્ચે કોસાઇન શોધો

ચાલો આ કરીએ: હું તમને પ્રથમ સમસ્યા હલ કરવામાં મદદ કરીશ, અને બીજી જાતે કરવાનો પ્રયાસ કરીશ! સંમત છો? પછી ચાલો શરૂ કરીએ!

1. આ વેક્ટર આપણા જૂના મિત્રો છે. અમે પહેલાથી જ તેમના સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરી છે અને તે સમાન હતું. તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ છે: , . પછી આપણે તેમની લંબાઈ શોધીએ છીએ:

પછી આપણે વેક્ટર્સ વચ્ચે કોસાઇન શોધીએ છીએ:

કોણનો કોસાઇન શું છે? આ ખૂણો છે.

જવાબ:

સારું, હવે બીજી સમસ્યા જાતે ઉકેલો, અને પછી સરખામણી કરો! હું ફક્ત એક ખૂબ જ ટૂંકો ઉકેલ આપીશ:

2. કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે.

ચાલો વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો અને, પછી

જવાબ:

એ નોંધવું જોઈએ કે સીધી રીતે વેક્ટર પરની સમસ્યાઓ અને ભાગ Bમાં સંકલન પદ્ધતિ પરીક્ષા પેપરતદ્દન દુર્લભ. જો કે, સંકલન પ્રણાલીની રજૂઆત દ્વારા C2 સમસ્યાઓની વિશાળ બહુમતી સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. તેથી તમે આ લેખને પાયો ગણી શકો છો જેના આધારે અમે ખૂબ જ ચતુર બાંધકામો બનાવીશું જેને આપણે હલ કરવાની જરૂર પડશે. જટિલ કાર્યો.

કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર. સરેરાશ સ્તર

તમે અને હું સંકલન પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. છેલ્લા ભાગમાં અમે શ્રેણી મેળવી મહત્વપૂર્ણ સૂત્રો, જે પરવાનગી આપે છે:

1. વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો
2. વેક્ટરની લંબાઈ શોધો (વૈકલ્પિક રીતે: બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર)
3. વેક્ટર ઉમેરો અને બાદ કરો. દ્વારા તેમને ગુણાકાર કરો વાસ્તવિક સંખ્યા
4. સેગમેન્ટનું મધ્યબિંદુ શોધો
5. વેક્ટરના ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો
6. વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

અલબત્ત, સમગ્ર સંકલન પદ્ધતિ આ 6 મુદ્દાઓમાં બંધબેસતી નથી. તે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ જેવા વિજ્ઞાનને નીચે આપે છે, જેનાથી તમે યુનિવર્સિટીમાં પરિચિત થશો. હું ફક્ત એક પાયો બનાવવા માંગુ છું જે તમને એક રાજ્યમાં સમસ્યાઓ હલ કરવાની મંજૂરી આપે. પરીક્ષા. અમે ભાગ B ના કાર્યો સાથે વ્યવહાર કર્યો છે. હવે સંપૂર્ણ નવા સ્તરે જવાનો સમય છે! આ લેખ તે C2 સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિને સમર્પિત કરવામાં આવશે જેમાં સંકલન પદ્ધતિ પર સ્વિચ કરવું વ્યાજબી હશે. આ વાજબીતા સમસ્યામાં શું જોવાની જરૂર છે અને કઈ આકૃતિ આપવામાં આવી છે તેના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, જો પ્રશ્નો હોય તો હું સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશ:

1. બે વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધો
2. સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણો શોધો
3. બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો
4. એક બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધો
5. એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધો
6. સીધી રેખાથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધો
7. બે લીટીઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

જો સમસ્યા નિવેદનમાં આપેલ આકૃતિ પરિભ્રમણનું મુખ્ય ભાગ છે (બોલ, સિલિન્ડર, શંકુ...)

સંકલન પદ્ધતિ માટે યોગ્ય આંકડાઓ છે:

1. લંબચોરસ સમાંતર
2. પિરામિડ (ત્રિકોણાકાર, ચતુષ્કોણીય, ષટ્કોણ)

મારા અનુભવ પરથી પણ માટે સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો અયોગ્ય છે:

1. ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તારો શોધવી
2. શરીરના જથ્થાની ગણતરી

જો કે, તે તરત જ નોંધવું જોઈએ કે સંકલન પદ્ધતિ માટે ત્રણ "અનુકૂળ" પરિસ્થિતિઓ વ્યવહારમાં ખૂબ જ દુર્લભ છે. મોટા ભાગના કાર્યોમાં, તે તમારા તારણહાર બની શકે છે, ખાસ કરીને જો તમે ત્રિ-પરિમાણીય બાંધકામોમાં ખૂબ સારા ન હોવ (જે ક્યારેક ખૂબ જટિલ હોઈ શકે છે).

મેં ઉપર સૂચિબદ્ધ કરેલા બધા આંકડા શું છે? તેઓ હવે સપાટ નથી, ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસ, ત્રિકોણ, વર્તુળ, પરંતુ વિશાળ! તદનુસાર, આપણે દ્વિ-પરિમાણીય નહીં, પરંતુ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે ત્રિ-પરિમાણીય સિસ્ટમસંકલન તે બનાવવું એકદમ સરળ છે: એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ ઉપરાંત, અમે બીજી અક્ષ, એપ્લીકેટ અક્ષ રજૂ કરીશું. આકૃતિ યોજનાકીય રીતે તેમની સંબંધિત સ્થિતિ દર્શાવે છે:

તે બધા પરસ્પર કાટખૂણે છે અને એક બિંદુ પર છેદે છે, જેને આપણે કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ કહીશું. પહેલાની જેમ, આપણે એબ્સીસા અક્ષ, ઓર્ડિનેટ અક્ષ - , અને રજૂ કરેલ એપ્લીકેટ અક્ષ - દર્શાવીશું.

જો અગાઉ પ્લેન પરના દરેક બિંદુને બે સંખ્યાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવી હતી - એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ, તો પછી અવકાશમાંના દરેક બિંદુને પહેલાથી જ ત્રણ સંખ્યાઓ દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું છે - એબ્સીસા, ઓર્ડિનેટ અને એપ્લિકેટ. દાખ્લા તરીકે:

તદનુસાર, બિંદુનો અબ્સિસા સમાન છે, ઓર્ડિનેટ છે, અને લાગુ છે.

કેટલીકવાર બિંદુના એબ્સીસાને એબ્સીસા અક્ષ પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ પણ કહેવામાં આવે છે, ઓર્ડિનેટ - ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ, અને એપ્લિકેશન - એપ્લિકેશન અક્ષ પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ. તદનુસાર, જો કોઈ બિંદુ આપવામાં આવે છે, તો પછી કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ:

પ્લેન પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ કહેવાય છે

પ્લેન પર બિંદુનું પ્રક્ષેપણ કહેવાય છે

એક સ્વાભાવિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું દ્વિ-પરિમાણીય કેસ માટે મેળવેલા તમામ સૂત્રો અવકાશમાં માન્ય છે? જવાબ હા છે, તેઓ ન્યાયી છે અને સમાન દેખાવ ધરાવે છે. નાની વિગત માટે. મને લાગે છે કે તમે પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે કે તે કયું છે. તમામ ફોર્મ્યુલામાં આપણે એપ્લીકેટ અક્ષ માટે જવાબદાર વધુ એક શબ્દ ઉમેરવો પડશે. એટલે કે.

1. જો બે બિંદુઓ આપવામાં આવે છે: , તો:

• વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ:
• બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (અથવા વેક્ટર લંબાઈ)
• સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે

2. જો બે વેક્ટર આપવામાં આવે તો: અને, પછી:

• તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન સમાન છે:
• વેક્ટર વચ્ચેના કોણનો કોસાઇન સમાન છે:

જો કે, જગ્યા એટલી સરળ નથી. જેમ તમે સમજો છો, એક વધુ સંકલન ઉમેરવાથી આ જગ્યામાં "જીવતા" આકૃતિઓના સ્પેક્ટ્રમમાં નોંધપાત્ર વિવિધતાનો પરિચય થાય છે. અને વધુ વર્ણન માટે મારે કેટલીક, આશરે કહીએ તો, સીધી રેખાનું "સામાન્યીકરણ" રજૂ કરવાની જરૂર પડશે. આ "સામાન્યીકરણ" એક પ્લેન હશે. તમે પ્લેન વિશે શું જાણો છો? પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો પ્રયાસ કરો, પ્લેન શું છે? કહેવું બહુ મુશ્કેલ છે. જો કે, આપણે બધા સાહજિક રીતે કલ્પના કરીએ છીએ કે તે કેવું દેખાય છે:

આશરે કહીએ તો, આ અવકાશમાં અટવાયેલી એક પ્રકારની અનંત "શીટ" છે. "અનંત" એ સમજવું જોઈએ કે પ્લેન બધી દિશામાં વિસ્તરે છે, એટલે કે, તેનો વિસ્તાર અનંત સમાન છે. જો કે, આ "હેન્ડ-ઓન" સમજૂતી પ્લેનની રચના વિશે સહેજ પણ ખ્યાલ આપતી નથી. અને તે તે છે જે આપણામાં રસ લેશે.

ચાલો ભૂમિતિના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોમાંથી એક યાદ રાખીએ:

• એક સીધી રેખા પ્લેનમાં બે જુદા જુદા બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક:

અથવા અવકાશમાં તેનું એનાલોગ:

અલબત્ત, તમને યાદ છે કે બે આપેલ બિંદુઓમાંથી લીટીનું સમીકરણ કેવી રીતે મેળવવું તે બિલકુલ મુશ્કેલ નથી: જો પ્રથમ બિંદુ કોઓર્ડિનેટ ધરાવે છે: અને બીજામાં, તો રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ હશે:

તમે આને 7મા ધોરણમાં લીધું હતું. અવકાશમાં, રેખાનું સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે: ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બે બિંદુઓ આપીએ: , પછી તેમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, એક રેખા બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે:

આ કેવી રીતે સમજવું જોઈએ? આને નીચે મુજબ સમજવું જોઈએ: જો કોઈ બિંદુ રેખા પર આવેલું હોય તો તેના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચેની સિસ્ટમને સંતોષે છે:

અમને રેખાના સમીકરણમાં બહુ રસ નહીં હોય, પરંતુ અમારે ખૂબ જ ધ્યાન આપવાની જરૂર છે મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલનિર્દેશન વેક્ટર સીધી રેખા. - આપેલ રેખા અથવા તેની સમાંતર પર પડેલો કોઈપણ બિન-શૂન્ય વેક્ટર.

ઉદાહરણ તરીકે, બંને વેક્ટર સીધી રેખાના દિશા વેક્ટર છે. એક લીટી પર પડેલો બિંદુ બનવા દો, અને તેની દિશા વેક્ટર બનવા દો. પછી સીધી રેખાનું સમીકરણ નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

ફરી એક વાર, મને સીધી રેખાના સમીકરણમાં બહુ રસ નથી, પરંતુ મને ખરેખર તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે દિશા વેક્ટર શું છે! ફરી: આ કોઈપણ બિન-શૂન્ય વેક્ટર છે જે રેખા પર અથવા તેની સમાંતર પર પડેલું છે.

ઉપાડો આપેલ ત્રણ બિંદુઓ પર આધારિત પ્લેનનું સમીકરણહવે આટલું તુચ્છ નથી, અને સામાન્ય રીતે આ મુદ્દાને અભ્યાસક્રમમાં સંબોધવામાં આવતો નથી ઉચ્ચ શાળા. પણ વ્યર્થ! જ્યારે આપણે જટિલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સંકલન પદ્ધતિનો આશરો લઈએ ત્યારે આ તકનીક મહત્વપૂર્ણ છે. જો કે, હું માનું છું કે તમે કંઈક નવું શીખવા માટે ઉત્સુક છો? તદુપરાંત, તમે યુનિવર્સિટીમાં તમારા શિક્ષકને પ્રભાવિત કરી શકશો જ્યારે તે તારણ આપે છે કે તમે સામાન્ય રીતે અભ્યાસક્રમમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતી તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકો છો. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ. તો ચાલો શરુ કરીએ.

પ્લેનનું સમીકરણ પ્લેન પરની સીધી રેખાના સમીકરણથી ખૂબ અલગ નથી, એટલે કે, તેનું સ્વરૂપ છે:

કેટલીક સંખ્યાઓ (બધી નહીં શૂન્ય બરાબર), અને ચલો, ઉદાહરણ તરીકે: વગેરે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, પ્લેનનું સમીકરણ સીધી રેખા (રેખીય કાર્ય) ના સમીકરણથી ખૂબ અલગ નથી. જો કે, તમે અને મેં શું દલીલ કરી હતી તે યાદ છે? અમે કહ્યું કે જો આપણી પાસે ત્રણ બિંદુઓ છે જે એક જ લાઇન પર ન હોય, તો તેમાંથી પ્લેનનું સમીકરણ અનન્ય રીતે પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે. પરંતુ કેવી રીતે? હું તમને તે સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

કારણ કે પ્લેનનું સમીકરણ છે:

અને બિંદુઓ આ પ્લેનના છે, પછી જ્યારે પ્લેનના સમીકરણમાં દરેક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીએ ત્યારે આપણે સાચી ઓળખ મેળવવી જોઈએ:

આમ, અજાણ્યાઓ સાથે ત્રણ સમીકરણો ઉકેલવાની જરૂર છે! દ્વિધા! જો કે, તમે હંમેશા ધારી શકો છો કે (આ કરવા માટે તમારે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે). આમ, આપણને ત્રણ અજ્ઞાત સાથે ત્રણ સમીકરણો મળે છે:

જો કે, અમે આવી સિસ્ટમને હલ કરીશું નહીં, પરંતુ તેમાંથી નીચેની રહસ્યમય અભિવ્યક્તિ લખીશું:

આપેલા ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ

\[\left| (\begin(એરે)(*(20)(c))(x - (x_0))&(x_1) - (x_0))&(x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&(y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&(z_1) - (z_0))&(z_2) - (z_0)) \end(એરે)) \right| = 0\]

બંધ! આ શું છે? કેટલાક ખૂબ જ અસામાન્ય મોડ્યુલ! જો કે, તમે તમારી સામે જે ઑબ્જેક્ટ જુઓ છો તેને મોડ્યુલ સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. આ પદાર્થને તૃતીય-ક્રમ નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે. હવેથી, જ્યારે તમે પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ્સની પદ્ધતિ સાથે વ્યવહાર કરો છો, ત્યારે તમે ઘણી વાર આ જ નિર્ધારકોનો સામનો કરશો. ત્રીજો ક્રમ નિર્ણાયક શું છે? વિચિત્ર રીતે, તે માત્ર એક સંખ્યા છે. નિર્ણાયક સાથે આપણે કઈ ચોક્કસ સંખ્યાની તુલના કરીશું તે સમજવાનું બાકી છે.

ચાલો પહેલા ત્રીજા ક્રમ નિર્ણાયકને વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ:

જ્યાં કેટલાક નંબરો છે. વધુમાં, પ્રથમ અનુક્રમણિકા દ્વારા અમારો અર્થ પંક્તિ નંબર છે, અને અનુક્રમણિકા દ્વારા અમારો અર્થ કૉલમ નંબર છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેનો અર્થ એ છે કે આ સંખ્યા બીજી પંક્તિ અને ત્રીજા કૉલમના આંતરછેદ પર છે. ચાલો તેને મૂકીએ આગામી પ્રશ્ન: આપણે આવા નિર્ણાયકની બરાબર કેવી રીતે ગણતરી કરીશું? એટલે કે, આપણે તેની સાથે કઈ ચોક્કસ સંખ્યાની તુલના કરીશું? તૃતીય-ક્રમ નિર્ણાયક માટે એક આનુષંગિક (દ્રશ્ય) ત્રિકોણ નિયમ છે, તે આના જેવો દેખાય છે:

1. મુખ્ય કર્ણના ઘટકોનું ઉત્પાદન (ઉપલા ડાબા ખૂણેથી નીચે જમણે) પ્રથમ ત્રિકોણ “લંબ” ને મુખ્ય કર્ણ સુધીના બીજા ત્રિકોણ “લંબ” ની રચના કરતા તત્વોનું ઉત્પાદન મુખ્ય કર્ણ
2. ગૌણ કર્ણના તત્વોનું ઉત્પાદન (ઉપલા જમણા ખૂણેથી નીચે ડાબી તરફ) પ્રથમ ત્રિકોણ "લંબ" થી ગૌણ કર્ણ સુધીના બીજા ત્રિકોણ "લંબ" ની રચના કરતા તત્વોનું ઉત્પાદન ગૌણ કર્ણ
3. પછી નિર્ણાયક તફાવત સમાનપગલા પર મેળવેલ મૂલ્યો અને

જો આપણે આ બધું સંખ્યાઓમાં લખીએ, તો આપણને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળે છે:

જો કે, તમારે આ ફોર્મમાં ગણતરીની પદ્ધતિને યાદ રાખવાની જરૂર નથી; ફક્ત તમારા માથામાં ત્રિકોણ અને શું ઉમેરે છે અને પછી શું બાદ કરવામાં આવે છે તેનો ખ્યાલ રાખવા માટે તે પૂરતું છે).

ચાલો ત્રિકોણ પદ્ધતિને ઉદાહરણ સાથે સમજાવીએ:

1. નિર્ણાયકની ગણતરી કરો:

ચાલો જાણીએ કે આપણે શું ઉમેરીએ છીએ અને શું બાદ કરીએ છીએ:

શરતો કે જે વત્તા સાથે આવે છે:

આ મુખ્ય કર્ણ છે: તત્વોનું ઉત્પાદન બરાબર છે

પ્રથમ ત્રિકોણ, "મુખ્ય કર્ણને લંબરૂપ: તત્વોનું ઉત્પાદન બરાબર છે

બીજો ત્રિકોણ, "મુખ્ય કર્ણને લંબરૂપ: તત્વોનું ઉત્પાદન બરાબર છે

ત્રણ નંબરો ઉમેરો:

શરતો કે જે માઈનસ સાથે આવે છે

આ એક બાજુ કર્ણ છે: તત્વોનું ઉત્પાદન બરાબર છે

પ્રથમ ત્રિકોણ, "ગૌણ કર્ણને લંબરૂપ: તત્વોનું ઉત્પાદન બરાબર છે

બીજો ત્રિકોણ, "ગૌણ કર્ણને લંબરૂપ: તત્વોનું ઉત્પાદન બરાબર છે

ત્રણ નંબરો ઉમેરો:

જે કરવાનું બાકી છે તે "વત્તા" શબ્દોના સરવાળાને "માઈનસ" શબ્દોના સરવાળામાંથી બાદ કરવાનું છે:

આમ,

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્રીજા ક્રમના નિર્ધારકોની ગણતરી કરવામાં કંઈ જટિલ અથવા અલૌકિક નથી. ત્રિકોણ વિશે યાદ રાખવું અને અંકગણિતની ભૂલો ન કરવી તે ફક્ત મહત્વપૂર્ણ છે. હવે તેની જાતે ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો:

અમે તપાસીએ છીએ:

1. પ્રથમ ત્રિકોણ મુખ્ય કર્ણને લંબરૂપ છે:
2. મુખ્ય કર્ણને લંબરૂપ બીજો ત્રિકોણ:
3. વત્તા સાથેના શબ્દોનો સરવાળો:
4. ગૌણ કર્ણને લંબરૂપ પ્રથમ ત્રિકોણ:
5. બાજુના કર્ણને લંબરૂપ બીજો ત્રિકોણ:
6. બાદબાકી સાથેના શબ્દોનો સરવાળો:
7. વત્તા ઓછા સાથેના શબ્દોનો સરવાળો બાદબાકી સાથેના શબ્દોનો સરવાળો:

અહીં કેટલાક વધુ નિર્ણાયકો છે, તેમના મૂલ્યોની જાતે ગણતરી કરો અને જવાબો સાથે તેમની તુલના કરો:

જવાબો:

સારું, શું બધું એકરુપ હતું? સરસ, પછી તમે આગળ વધી શકો! જો ત્યાં મુશ્કેલીઓ હોય, તો મારી સલાહ આ છે: ઇન્ટરનેટ પર નિર્ણાયકની ઑનલાઇન ગણતરી માટે ઘણા બધા પ્રોગ્રામ્સ છે. તમારે ફક્ત તમારા પોતાના નિર્ણાયક સાથે આવવાની જરૂર છે, તેની જાતે ગણતરી કરો અને પછી પ્રોગ્રામ જે ગણતરી કરે છે તેની સાથે તેની તુલના કરો. અને તેથી જ્યાં સુધી પરિણામો એકરૂપ થવાનું શરૂ ન થાય ત્યાં સુધી. મને ખાતરી છે કે આ ક્ષણ આવવામાં લાંબો સમય નહીં લાગે!

હવે ચાલો નિર્ણાયક પર પાછા જઈએ કે જ્યારે મેં ત્રણમાંથી પસાર થતા વિમાનના સમીકરણ વિશે વાત કરી ત્યારે મેં લખ્યું હતું. આપેલ પોઈન્ટ:

તમારે ફક્ત તેના મૂલ્યની સીધી ગણતરી કરવાની જરૂર છે (ત્રિકોણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને) અને પરિણામને શૂન્ય પર સેટ કરો. સ્વાભાવિક રીતે, આ ચલ હોવાથી, તમને કેટલીક અભિવ્યક્તિ મળશે જે તેના પર નિર્ભર છે. તે આ અભિવ્યક્તિ છે જે ત્રણ આપેલ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ હશે જે સમાન સીધી રેખા પર આવેલા નથી!

ચાલો આને એક સરળ ઉદાહરણથી સમજાવીએ:

1. બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ બનાવો

અમે આ ત્રણ મુદ્દાઓ માટે નિર્ણાયકનું સંકલન કરીએ છીએ:

ચાલો સરળ કરીએ:

હવે આપણે ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેની સીધી ગણતરી કરીએ છીએ:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\અંત(એરે)) \ અધિકાર| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

આમ, બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ છે:

હવે એક સમસ્યા જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો, અને પછી અમે તેની ચર્ચા કરીશું:

2. બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ શોધો

સારું, ચાલો હવે ઉકેલની ચર્ચા કરીએ:

ચાલો નિર્ણાયક બનાવીએ:

અને તેના મૂલ્યની ગણતરી કરો:

પછી પ્લેનના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

અથવા, ઘટાડીને, અમને મળે છે:

હવે સ્વ-નિયંત્રણ માટે બે કાર્યો:

1. ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ બનાવો:

જવાબો:

શું બધું એકરુપ હતું? ફરીથી, જો ત્યાં કેટલીક મુશ્કેલીઓ હોય, તો મારી સલાહ આ છે: તમારા માથામાંથી ત્રણ મુદ્દાઓ લો (સાથે મોટા પ્રમાણમાંસંભવ છે કે તેઓ સમાન સીધી રેખા પર સૂઈ જશે નહીં), તમે તેના આધારે પ્લેન બનાવો. અને પછી તમે તમારી જાતને ઑનલાઇન તપાસો. ઉદાહરણ તરીકે, સાઇટ પર:

જો કે, નિર્ધારકોની મદદથી આપણે માત્ર પ્લેનનું સમીકરણ જ નહીં બનાવીશું. યાદ રાખો, મેં તમને કહ્યું હતું કે માત્ર ડોટ પ્રોડક્ટ જ વેક્ટર માટે વ્યાખ્યાયિત નથી. એક વેક્ટર ઉત્પાદન, તેમજ મિશ્ર ઉત્પાદન પણ છે. અને જો બે વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન સંખ્યા હોય, તો બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન એક વેક્ટર હશે, અને આ વેક્ટર આપેલ રાશિઓને લંબરૂપ હશે:

વધુમાં, તેનું મોડ્યુલ હશે વિસ્તાર સમાનવેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલ સમાંતરગ્રામ અને. આ વેક્ટરએક બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી કરવા માટે આપણને તેની જરૂર પડશે. આપણે વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકીએ અને, જો તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવે તો? ત્રીજો ક્રમ નિર્ધારક ફરીથી અમારી મદદ માટે આવે છે. જો કે, હું વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી માટે અલ્ગોરિધમ પર આગળ વધું તે પહેલાં, મારે એક નાનું ડિગ્રેશન કરવું પડશે.

આ વિષયાંતર આધાર વેક્ટર સાથે સંબંધિત છે.

તેઓ આકૃતિમાં યોજનાકીય રીતે બતાવવામાં આવ્યા છે:

તમને કેમ લાગે છે કે તેઓ મૂળભૂત કહેવાય છે? હકીકત એ છે કે:

અથવા ચિત્રમાં:

આ સૂત્રની માન્યતા સ્પષ્ટ છે, કારણ કે:

વેક્ટર આર્ટવર્ક

હવે હું ક્રોસ પ્રોડક્ટ રજૂ કરવાનું શરૂ કરી શકું છું:

બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન એક વેક્ટર છે, જેની ગણતરી નીચેના નિયમ અનુસાર કરવામાં આવે છે:

હવે ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરવાના કેટલાક ઉદાહરણો આપીએ:

ઉદાહરણ 1: વેક્ટર્સનું ક્રોસ ઉત્પાદન શોધો:

ઉકેલ: હું નિર્ણાયક બનાવું છું:

અને હું તેની ગણતરી કરું છું:

હવે બેઝિસ વેક્ટર દ્વારા લખવાથી, હું સામાન્ય વેક્ટર નોટેશન પર પાછા આવીશ:

આમ:

હવે તેનો પ્રયાસ કરો.

તૈયાર છો? અમે તપાસીએ છીએ:

અને પરંપરાગત રીતે બે નિયંત્રણ માટેના કાર્યો:

1. નીચેના વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધો:
2. નીચેના વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધો:

જવાબો:

ત્રણ વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન

છેલ્લા બાંધકામની મને જરૂર પડશે તે ત્રણ વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન છે. તે, સ્કેલરની જેમ, એક સંખ્યા છે. તેની ગણતરી કરવાની બે રીત છે. - નિર્ણાયક દ્વારા, - મિશ્ર ઉત્પાદન દ્વારા.

એટલે કે, ચાલો આપણે ત્રણ વેક્ટર આપીએ:

પછી ત્રણ વેક્ટરના મિશ્ર ઉત્પાદન, દ્વારા સૂચિત, આ રીતે ગણતરી કરી શકાય છે:

1. - એટલે કે મિશ્ર ઉત્પાદન એ વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન અને અન્ય બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન છે

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન છે:

વેક્ટર ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને તેની જાતે ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો અને ખાતરી કરો કે પરિણામો મેળ ખાય છે!

અને ફરીથી - માટે બે ઉદાહરણો સ્વતંત્ર નિર્ણય:

જવાબો:

સંકલન સિસ્ટમ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

ઠીક છે, હવે અમારી પાસે જટિલ સ્ટીરિયોમેટ્રિક ભૂમિતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જ્ઞાનનો તમામ જરૂરી પાયો છે. જો કે, ઉદાહરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમ્સ પર સીધા જ આગળ વધતા પહેલા, હું માનું છું કે નીચેના પ્રશ્ન પર ધ્યાન આપવું ઉપયોગી થશે: બરાબર કેવી રીતે ચોક્કસ આકૃતિ માટે સંકલન સિસ્ટમ પસંદ કરો.છેવટે, તે પસંદગી છે સંબંધિત સ્થિતિકોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ અને અવકાશમાં આકાર આખરે નક્કી કરશે કે ગણતરીઓ કેટલી બોજારૂપ હશે.

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે આ વિભાગમાં અમે નીચેના આંકડાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:

1. લંબચોરસ સમાંતર
2. સીધો પ્રિઝમ (ત્રિકોણાકાર, ષટ્કોણ...)
3. પિરામિડ (ત્રિકોણાકાર, ચતુષ્કોણીય)
4. ટેટ્રાહેડ્રોન (ત્રિકોણાકાર પિરામિડ સમાન)

લંબચોરસ સમાંતર અથવા સમઘન માટે, હું તમને નીચેના બાંધકામની ભલામણ કરું છું:

એટલે કે, હું આકૃતિને "ખૂણામાં" મૂકીશ. ક્યુબ અને પેરેલેલપાઈપ ખૂબ સારી આકૃતિઓ છે. તેમના માટે, તમે હંમેશા તેના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સરળતાથી શોધી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જો (ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે)

પછી શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે મુજબ છે:

અલબત્ત, તમારે આ યાદ રાખવાની જરૂર નથી, પરંતુ યાદ રાખો કે ક્યુબને કેવી રીતે શ્રેષ્ઠ રીતે સ્થાન આપવું અથવા ક્યુબોઇડ- ઇચ્છનીય.

સીધા પ્રિઝમ

પ્રિઝમ વધુ હાનિકારક આકૃતિ છે. તે અવકાશમાં જુદી જુદી રીતે સ્થિત કરી શકાય છે. જો કે, નીચેનો વિકલ્પ મને સૌથી સ્વીકાર્ય લાગે છે:

ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ:

એટલે કે, આપણે ત્રિકોણની એક બાજુને સંપૂર્ણપણે ધરી પર મૂકીએ છીએ, અને શિરોબિંદુઓમાંથી એક કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે એકરુપ છે.

ષટ્કોણ પ્રિઝમ:

એટલે કે, શિરોબિંદુઓમાંથી એક મૂળ સાથે એકરુપ છે, અને બાજુઓમાંથી એક ધરી પર આવેલું છે.

ચતુર્ભુજ અને ષટ્કોણ પિરામિડ:

પરિસ્થિતિ સમઘન જેવી જ છે: અમે સંકલન અક્ષો સાથે આધારની બે બાજુઓને સંરેખિત કરીએ છીએ, અને કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સાથે શિરોબિંદુઓમાંથી એકને સંરેખિત કરીએ છીએ. માત્ર થોડી મુશ્કેલી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવામાં આવશે.

ષટ્કોણ પિરામિડ માટે - તે જ રીતે માટે ષટ્કોણ પ્રિઝમ. મુખ્ય કાર્ય ફરીથી શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું રહેશે.

ટેટ્રાહેડ્રોન (ત્રિકોણાકાર પિરામિડ)

પરિસ્થિતિ ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ માટે મેં આપેલી પરિસ્થિતિ જેવી જ છે: એક શિરોબિંદુ મૂળ સાથે એકરુપ છે, એક બાજુ સંકલન અક્ષ પર છે.

ઠીક છે, હવે તમે અને હું આખરે સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શરૂ કરવાની નજીક છીએ. લેખની શરૂઆતમાં મેં જે કહ્યું હતું તેના પરથી, તમે નીચેના નિષ્કર્ષ પર આવી શકો છો: મોટાભાગની C2 સમસ્યાઓ 2 શ્રેણીઓમાં વહેંચાયેલી છે: કોણ સમસ્યાઓ અને અંતરની સમસ્યાઓ. પ્રથમ, આપણે કોણ શોધવાની સમસ્યાઓ જોઈશું. તેઓ બદલામાં નીચેની શ્રેણીઓમાં વિભાજિત થાય છે (જેમ જેમ જટિલતા વધે છે):

ખૂણા શોધવામાં સમસ્યાઓ

1. બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવો
2. બે વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવો

ચાલો આ સમસ્યાઓને ક્રમિક રીતે જોઈએ: ચાલો બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધીને શરૂઆત કરીએ. સારું, યાદ રાખો, તમે અને મેં નક્કી કર્યું નથી? સમાન ઉદાહરણોઅગાઉ? શું તમને યાદ છે, અમારી પાસે પહેલેથી જ કંઈક એવું જ હતું... અમે બે વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો શોધી રહ્યા હતા. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે, જો બે વેક્ટર આપવામાં આવે છે: અને, તો તેમની વચ્ચેનો કોણ સંબંધમાંથી જોવા મળે છે:

હવે અમારો ધ્યેય બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાનો છે. ચાલો "સપાટ ચિત્ર" જોઈએ:

જ્યારે બે સીધી રેખાઓ છેદે ત્યારે આપણને કેટલા ખૂણા મળે છે? માત્ર થોડી વસ્તુઓ. સાચું છે, તેમાંના માત્ર બે જ અસમાન છે, જ્યારે અન્ય તેમના માટે વર્ટિકલ છે (અને તેથી તેમની સાથે એકરુપ છે). તો બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેના કોણને આપણે કયો ખૂણો ગણવો જોઈએ: અથવા? અહીં નિયમ છે: બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ હંમેશા ડિગ્રી કરતા વધારે હોતો નથી. એટલે કે, બે ખૂણામાંથી આપણે હંમેશા સૌથી નાનો કોણ પસંદ કરીશું ડિગ્રી માપ. એટલે કે, આ ચિત્રમાં બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ સમાન છે. દરેક વખતે બે ખૂણામાંથી સૌથી નાનો શોધવામાં પરેશાન ન થાય તે માટે, ઘડાયેલ ગણિતશાસ્ત્રીઓએ મોડ્યુલસનો ઉપયોગ કરવાનું સૂચન કર્યું. આમ, બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:

તમને, એક સચેત વાચક તરીકે, એક પ્રશ્ન હોવો જોઈએ: ક્યાંથી, બરાબર, આપણે આ સમાન સંખ્યાઓ મેળવીએ છીએ જેની આપણને ખૂણાના કોસાઈનની ગણતરી કરવાની જરૂર છે? જવાબ: અમે તેમને રેખાઓના દિશા વેક્ટરમાંથી લઈશું! આમ, બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

1. અમે ફોર્મ્યુલા 1 લાગુ કરીએ છીએ.

અથવા વધુ વિગતમાં:

1. અમે પ્રથમ સીધી રેખાના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ
2. અમે બીજી સીધી રેખાના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ
3. અમે તેમના સ્કેલર ઉત્પાદનના મોડ્યુલસની ગણતરી કરીએ છીએ
4. અમે પ્રથમ વેક્ટરની લંબાઈ શોધી રહ્યા છીએ
5. અમે બીજા વેક્ટરની લંબાઈ શોધી રહ્યા છીએ
6. બિંદુ 4 ના પરિણામોને બિંદુ 5 ના પરિણામો દ્વારા ગુણાકાર કરો
7. આપણે બિંદુ 3 ના પરિણામને બિંદુ 6 ના પરિણામ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. આપણને રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન મળે છે.
8. જો આ પરિણામ આપણને કોણની ચોક્કસ ગણતરી કરવા દે છે, તો અમે તેને શોધીએ છીએ
9. નહિંતર આપણે આર્ક કોસાઇન દ્વારા લખીએ છીએ

ઠીક છે, હવે સમસ્યાઓ તરફ આગળ વધવાનો સમય આવી ગયો છે: હું પ્રથમ બેના ઉકેલને વિગતવાર દર્શાવીશ, હું બીજામાં ઉકેલ રજૂ કરીશ. સંક્ષિપ્ત માં, અને છેલ્લી બે સમસ્યાઓ માટે હું ફક્ત જવાબો આપીશ; તમારે તેમના માટે બધી ગણતરીઓ જાતે જ કરવી પડશે.

કાર્યો:

1. જમણી બાજુમાં tet-ra-ed-re, tet-ra-ed-ra ની ઊંચાઈ અને મધ્ય બાજુ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

2. જમણી બાજુના છ-ખૂણા પી-રા-મી-ડેમાં, સો ઓસ-નો-વા-નિયા સમાન છે, અને બાજુની કિનારીઓ સમાન છે, રેખાઓ અને વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

3. જમણા ચાર-કોલસા pi-ra-mi-dy ની તમામ કિનારીઓ ની લંબાઈ એકબીજાની સમાન છે. સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો અને જો કટમાંથી - તમે આપેલ પી-રા-મી-ડી સાથે છો, બિંદુ તેની બો-કો-સેકન્ડ પાંસળી પર સે-રી-ડી- છે.

4. ક્યુબની ધાર પર એક બિંદુ છે જેથી કરીને સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો અને

5. બિંદુ - ક્યુબની ધાર પર સીધી રેખાઓ અને વચ્ચેનો કોણ શોધો.

તે કોઈ સંયોગ નથી કે મેં આ ક્રમમાં કાર્યો ગોઠવ્યા. જ્યારે તમે હજી સુધી સંકલન પદ્ધતિને નેવિગેટ કરવાનું શરૂ કર્યું નથી, ત્યારે હું મારી જાતે સૌથી વધુ "સમસ્યાવાળા" આંકડાઓનું વિશ્લેષણ કરીશ, અને હું તમને સૌથી સરળ ક્યુબ સાથે વ્યવહાર કરવા માટે છોડીશ! ધીમે ધીમે તમારે બધા આંકડાઓ સાથે કેવી રીતે કામ કરવું તે શીખવું પડશે, હું વિષયથી વિષય સુધી કાર્યોની જટિલતા વધારીશ.

ચાલો સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શરૂ કરીએ:

1. ટેટ્રાહેડ્રોન દોરો, તેને કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં મૂકો જેમ મેં અગાઉ સૂચવ્યું હતું. ટેટ્રાહેડ્રોન નિયમિત હોવાથી, તેના બધા ચહેરા (બેઝ સહિત) છે નિયમિત ત્રિકોણ. અમને બાજુની લંબાઈ આપવામાં આવી નથી, તેથી હું તેને સમાન માની શકું છું. મને લાગે છે કે તમે સમજો છો કે કોણ ખરેખર આપણું ટેટ્રાહેડ્રોન કેટલું "ખેંચાયેલું" છે તેના પર નિર્ભર રહેશે નહીં?. હું ટેટ્રાહેડ્રોનમાં ઊંચાઈ અને મધ્યક પણ દોરીશ. રસ્તામાં, હું તેનો આધાર દોરીશ (તે આપણા માટે પણ ઉપયોગી થશે).

મારે અને વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાની જરૂર છે. આપણે શું જાણીએ છીએ? આપણે માત્ર બિંદુનું સંકલન જાણીએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે આપણે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે. હવે આપણે વિચારીએ છીએ: બિંદુ એ ત્રિકોણની ઊંચાઈઓ (અથવા દ્વિભાજકો અથવા મધ્યક) ના આંતરછેદનું બિંદુ છે. અને બિંદુ એ ઉભા થયેલ બિંદુ છે. બિંદુ સેગમેન્ટની મધ્યમાં છે. પછી આપણે આખરે શોધવાની જરૂર છે: બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ: .

ચાલો સૌથી સરળ વસ્તુથી શરૂઆત કરીએ: બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ. આકૃતિ જુઓ: તે સ્પષ્ટ છે કે બિંદુની અરજી શૂન્યની બરાબર છે (બિંદુ પ્લેન પર આવેલું છે). તેનું ઓર્ડિનેટ સમાન છે (કારણ કે તે મધ્ય છે). તેના એબ્સીસાને શોધવાનું વધુ મુશ્કેલ છે. જો કે, પાયથાગોરિયન પ્રમેયના આધારે આ સરળતાથી થઈ શકે છે: ત્રિકોણનો વિચાર કરો. તેનું કર્ણ સમાન છે, અને તેનો એક પગ સમાન છે પછી:

આખરે અમારી પાસે છે: .

હવે ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે તેની અરજી ફરીથી શૂન્યની બરાબર છે, અને તેનું ઓર્ડિનેટ બિંદુના સમાન છે, એટલે કે. ચાલો તેના એબ્સીસા શોધીએ. જો તમને તે યાદ હોય તો આ તદ્દન તુચ્છ રીતે કરવામાં આવે છે ઊંચાઈ સમભુજ ત્રિકોણઆંતરછેદ બિંદુ પ્રમાણમાં વિભાજિત થયેલ છે, ઉપરથી ગણતરી. ત્યારથી: , પછી બિંદુનો આવશ્યક એબ્સીસા છે લંબાઈ સમાનસેગમેન્ટ સમાન છે: . આમ, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે તેના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ બિંદુના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ સાથે સુસંગત છે. અને એપ્લીકેટ સેગમેન્ટની લંબાઈ જેટલી છે. - આ ત્રિકોણનો એક પગ છે. ત્રિકોણનું કર્ણ એ એક સેગમેન્ટ છે - એક પગ. તે કારણો માટે માંગવામાં આવે છે જે મેં બોલ્ડમાં પ્રકાશિત કર્યા છે:

બિંદુ સેગમેન્ટની મધ્યમાં છે. પછી આપણે સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે સૂત્ર યાદ રાખવાની જરૂર છે:

બસ, હવે આપણે દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકીએ છીએ:

સારું, બધું તૈયાર છે: અમે બધા ડેટાને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:

આમ,

જવાબ:

તમારે આવા "ડરામણા" જવાબોથી ડરવું જોઈએ નહીં: C2 કાર્યો માટે આ સામાન્ય પ્રથા છે. હું તેના બદલે આ ભાગમાં "સુંદર" જવાબથી આશ્ચર્ય પામીશ. ઉપરાંત, તમે નોંધ્યું છે તેમ, મેં વ્યવહારીક રીતે પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને સમભુજ ત્રિકોણની ઊંચાઈની મિલકત સિવાય અન્ય કંઈપણનો આશરો લીધો નથી. એટલે કે, સ્ટીરીઓમેટ્રીક સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, મેં ઓછામાં ઓછી સ્ટીરીઓમેટ્રીનો ઉપયોગ કર્યો. આમાંનો ફાયદો તેના બદલે બોજારૂપ ગણતરીઓ દ્વારા આંશિક રીતે "બુઝાઈ ગયો" છે. પરંતુ તેઓ તદ્દન અલ્ગોરિધમિક છે!

2. ચાલો સંકલન પ્રણાલી સાથે નિયમિત ષટ્કોણ પિરામિડ તેમજ તેના આધારનું નિરૂપણ કરીએ:

આપણે લીટીઓ અને વચ્ચેનો કોણ શોધવાની જરૂર છે. આમ, અમારું કાર્ય બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું નીચે આવે છે: . આપણે નાના ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા ત્રણના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીશું, અને બિંદુના સંકલન દ્વારા શિરોબિંદુનો સંકલન શોધીશું. કરવા માટે ઘણું કામ છે, પરંતુ આપણે પ્રારંભ કરવાની જરૂર છે!

a) કોઓર્ડિનેટ: તે સ્પષ્ટ છે કે તેનો લાગુ અને ઓર્ડિનેટ શૂન્ય સમાન છે. ચાલો એબ્સીસા શોધીએ. આ કરવા માટે, કાટકોણ ત્રિકોણનો વિચાર કરો. અરે, તેમાં આપણે માત્ર કર્ણને જ જાણીએ છીએ, જે સમાન છે. અમે પગને શોધવાનો પ્રયત્ન કરીશું (કારણ કે તે સ્પષ્ટ છે કે પગની બમણી લંબાઈ આપણને બિંદુની અબ્સિસા આપશે). આપણે તેને કેવી રીતે શોધી શકીએ? ચાલો યાદ કરીએ કે પિરામિડના પાયા પર આપણી પાસે કેવા પ્રકારની આકૃતિ છે? આ એક નિયમિત ષટ્કોણ છે. તેનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે બધી બાજુઓ અને બધા ખૂણા સમાન છે. આપણે એવો એક ખૂણો શોધવાની જરૂર છે. કોઇ તુક્કો? ત્યાં ઘણા બધા વિચારો છે, પરંતુ એક સૂત્ર છે:

નિયમિત n-ગોનના ખૂણાઓનો સરવાળો છે .

આમ, નિયમિત ષટ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો ડિગ્રી જેટલો છે. પછી દરેક ખૂણા સમાન છે:

ચાલો ફરી ચિત્ર જોઈએ. તે સ્પષ્ટ છે કે સેગમેન્ટ એ કોણનો દ્વિભાજક છે. પછી કોણ ડિગ્રી બરાબર છે. પછી:

પછી ક્યાંથી.

આમ, કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે

b) હવે આપણે બિંદુના સંકલનને સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ: .

c) બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. તેનું એબ્સીસા સેગમેન્ટની લંબાઈ સાથે એકરુપ હોવાથી, તે સમાન છે. ઓર્ડિનેટ શોધવું પણ ખૂબ મુશ્કેલ નથી: જો આપણે બિંદુઓને જોડીએ અને સીધી રેખાના આંતરછેદના બિંદુને સૂચવીએ, તો ચાલો કહીએ. (તે જાતે કરો સરળ બાંધકામ). પછી આમ, બિંદુ B નું ઓર્ડિનેટ સેગમેન્ટ્સની લંબાઈના સરવાળા જેટલું છે. ચાલો ફરીથી ત્રિકોણ જોઈએ. પછી

ત્યારપછી ત્યારથી બિંદુ કોઓર્ડિનેટ ધરાવે છે

d) હવે ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. લંબચોરસને ધ્યાનમાં લો અને સાબિત કરો કે આમ, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

e) શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું બાકી છે. તે સ્પષ્ટ છે કે તેના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ બિંદુના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ સાથે સુસંગત છે. ચાલો એપ્લીકેશન શોધીએ. ત્યારથી. કાટકોણ ત્રિકોણનો વિચાર કરો. સમસ્યાની શરતો અનુસાર બાજુની પાંસળી. આ મારા ત્રિકોણનું કર્ણ છે. પછી પિરામિડની ઊંચાઈ એક પગ છે.

પછી બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

બસ, બસ, મારી રુચિ હોય તેવા તમામ મુદ્દાઓના કોઓર્ડિનેટ્સ મારી પાસે છે. હું સીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યો છું:

અમે આ વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ શોધી રહ્યા છીએ:

જવાબ:

ફરીથી, આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે મેં નિયમિત n-ગોનના ખૂણાઓના સરવાળા તેમજ કાટકોણ ત્રિકોણના કોસાઈન અને સાઈનની વ્યાખ્યા માટેના સૂત્ર સિવાયની કોઈપણ અત્યાધુનિક તકનીકોનો ઉપયોગ કર્યો નથી.

3. કારણ કે અમને પિરામિડમાં ધારની લંબાઈ ફરીથી આપવામાં આવી નથી, હું તેમને ગણીશ એક સમાન. આમ, કારણ કે બધી કિનારીઓ, અને માત્ર બાજુની જ નહીં, એકબીજાની સમાન છે, પછી પિરામિડ અને મારાના પાયા પર એક ચોરસ છે, અને બાજુના ચહેરા- નિયમિત ત્રિકોણ. ચાલો સમસ્યાના ટેક્સ્ટમાં આપેલા તમામ ડેટાને ધ્યાનમાં રાખીને, આવા પિરામિડ, તેમજ પ્લેન પર તેનો આધાર દોરીએ:

અમે અને વચ્ચેનો કોણ શોધી રહ્યા છીએ. જ્યારે હું બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીશ ત્યારે હું ખૂબ જ ટૂંકી ગણતરીઓ કરીશ. તમારે તેમને "ડિસાયફર" કરવાની જરૂર પડશે:

b) - સેગમેન્ટની મધ્યમાં. તેના કોઓર્ડિનેટ્સ:

c) હું ત્રિકોણમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધીશ. હું તેને ત્રિકોણમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકું છું.

કોઓર્ડિનેટ્સ:

ડી) - સેગમેન્ટની મધ્યમાં. તેના કોઓર્ડિનેટ્સ છે

e) વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ

f) વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ

g) કોણ શોધી રહ્યાં છીએ:

ક્યુબ - સૌથી સરળ આકૃતિ. મને ખાતરી છે કે તમે તેને તમારા પોતાના પર શોધી શકશો. 4 અને 5 સમસ્યાઓના જવાબો નીચે મુજબ છે:

સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણો શોધવો

ઠીક છે, સરળ કોયડાઓનો સમય સમાપ્ત થઈ ગયો છે! હવે ઉદાહરણો વધુ જટિલ હશે. સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે, અમે નીચે પ્રમાણે આગળ વધીશું:

1. ત્રણ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને આપણે પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ છીએ
   ,
   ત્રીજા ઓર્ડર નિર્ધારકનો ઉપયોગ કરીને.
2. બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે સીધી રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ:
3. અમે સીધી રેખા અને પ્લેન વચ્ચેના ખૂણાની ગણતરી કરવા માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ ફોર્મ્યુલા આપણે બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા શોધવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ફોર્મ્યુલા જેવું જ છે. જમણી બાજુનું માળખું એકસરખું છે, અને ડાબી બાજુએ હવે આપણે સાઈન શોધી રહ્યા છીએ, પહેલાની જેમ કોસાઈન નહીં. ઠીક છે, એક બીભત્સ ક્રિયા ઉમેરવામાં આવી હતી - વિમાનના સમીકરણની શોધ.

ચાલો વિલંબ ન કરીએ ઉકેલ ઉદાહરણો:

1. મુખ્ય-પણ-વા-ની-એમ ડાયરેક્ટ પ્રિઝમ-અમે એક સમાન-થી-ગરીબ ત્રિકોણ છીએ. સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

2. પશ્ચિમમાંથી લંબચોરસ પાર-રાલ-લે-લે-પી-પે-ડેમાં, સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

3. જમણા ષટ્કોણ પ્રિઝમમાં, બધી કિનારીઓ સમાન હોય છે. સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

4. જાણીતી પાંસળીઓના os-no-va-ni-em સાથે જમણા ત્રિકોણાકાર pi-ra-mi-de માં રાખોડીમાંથી પસાર થતા એક ખૂણો, ઓબ-રા-ઝો-વાન-બેઝ અને સીધો ફ્લેટ શોધો પાંસળી અને

5. શિરોબિંદુ સાથેના જમણા ચતુષ્કોણીય pi-ra-mi-dyની તમામ કિનારીઓની લંબાઈ એકબીજાની સમાન હોય છે. જો બિંદુ pi-ra-mi-dy ની ધારની બાજુમાં હોય તો સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ફરીથી, હું પ્રથમ બે સમસ્યાઓ વિગતવાર રીતે હલ કરીશ, ત્રીજી ટૂંકમાં, અને છેલ્લી બે સમસ્યાઓ તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે છોડીશ. આ ઉપરાંત, તમારે ત્રિકોણાકાર અને ચતુષ્કોણીય પિરામિડનો સામનો કરવો પડ્યો છે, પરંતુ હજી સુધી પ્રિઝમ્સ સાથે નથી.

ઉકેલો:

1. ચાલો પ્રિઝમ, તેમજ તેનો આધાર દર્શાવીએ. ચાલો તેને કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે જોડીએ અને સમસ્યા નિવેદનમાં આપેલ તમામ ડેટાને નોંધીએ:

પ્રમાણ સાથે કેટલાક બિન-પાલન માટે હું માફી માંગુ છું, પરંતુ સમસ્યા હલ કરવા માટે આ, હકીકતમાં, એટલું મહત્વનું નથી. પ્લેન એ મારા પ્રિઝમની "પાછળની દિવાલ" છે. ફક્ત અનુમાન લગાવવા માટે તે પૂરતું છે કે આવા પ્લેનના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

જો કે, આ સીધું બતાવી શકાય છે:

ચાલો આ પ્લેન પર મનસ્વી ત્રણ બિંદુઓ પસંદ કરીએ: ઉદાહરણ તરીકે, .

ચાલો પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ:

તમારા માટે વ્યાયામ: આ નિર્ણાયકની જાતે ગણતરી કરો. શું તમે સફળ થયા? પછી પ્લેનનું સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે:

અથવા સરળ રીતે

આમ,

ઉદાહરણને ઉકેલવા માટે, મારે સીધી રેખાના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે. બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે એકરુપ હોવાથી, વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ફક્ત બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે એકરૂપ થશે આ કરવા માટે, આપણે પહેલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીશું.

આ કરવા માટે, ત્રિકોણનો વિચાર કરો. ચાલો શિરોબિંદુમાંથી ઊંચાઈ (મધ્ય અને દ્વિભાજક તરીકે પણ ઓળખાય છે) દોરીએ. ત્યારથી, બિંદુનું ઓર્ડિનેટ બરાબર છે. આ બિંદુના એબ્સીસા શોધવા માટે, આપણે સેગમેન્ટની લંબાઈની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ અમારી પાસે છે:

પછી બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

ટપકું એ "વધારેલું" બિંદુ છે:

પછી વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

જવાબ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે મૂળભૂત રીતે મુશ્કેલ કંઈ નથી. હકીકતમાં, પ્રિઝમ જેવી આકૃતિની "સીધીતા" દ્વારા પ્રક્રિયાને થોડી વધુ સરળ બનાવવામાં આવે છે. હવે ચાલો આગળના ઉદાહરણ પર જઈએ:

2. સમાંતર દોરો, તેમાં પ્લેન અને સીધી રેખા દોરો, અને તેનો નીચલો આધાર પણ અલગથી દોરો:

પ્રથમ, આપણે પ્લેનનું સમીકરણ શોધીએ છીએ: તેમાં રહેલા ત્રણ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ:

(પ્રથમ બે કોઓર્ડિનેટ્સ સ્પષ્ટ રીતે મેળવવામાં આવે છે, અને તમે બિંદુ પરથી ચિત્રમાંથી છેલ્લું સંકલન સરળતાથી શોધી શકો છો). પછી અમે પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

અમે માર્ગદર્શક વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ: તે સ્પષ્ટ છે કે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સુસંગત છે, તે નથી? કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધવી? આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે, એક દ્વારા લાગુ અક્ષ સાથે ઉભા થાય છે! . પછી અમે ઇચ્છિત કોણ શોધીએ છીએ:

જવાબ:

3. નિયમિત હેક્સાગોનલ પિરામિડ દોરો, અને પછી તેમાં પ્લેન અને સીધી રેખા દોરો.

અહીં પ્લેન દોરવા માટે પણ સમસ્યારૂપ છે, આ સમસ્યાને હલ કરવાનો ઉલ્લેખ નથી, પરંતુ સંકલન પદ્ધતિને કોઈ પરવા નથી! તેની વર્સેટિલિટી એ તેનો મુખ્ય ફાયદો છે!

વિમાન ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે: . અમે તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ:

1). છેલ્લા બે મુદ્દાઓ માટેના કોઓર્ડિનેટ્સ જાતે શોધો. તમારે આ માટે ષટ્કોણ પિરામિડ સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર પડશે!

2) અમે પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

અમે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ: . (ત્રિકોણાકાર પિરામિડ સમસ્યા ફરીથી જુઓ!)

3) કોણ શોધી રહ્યાં છીએ:

જવાબ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ કાર્યોમાં અલૌકિક રીતે મુશ્કેલ કંઈ નથી. તમારે ફક્ત મૂળ સાથે ખૂબ કાળજી લેવાની જરૂર છે. હું ફક્ત છેલ્લી બે સમસ્યાઓના જવાબો આપીશ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સમસ્યાઓ હલ કરવાની તકનીક દરેક જગ્યાએ સમાન છે: મુખ્ય કાર્ય શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું અને તેમને ચોક્કસ સૂત્રોમાં બદલવાનું છે. આપણે હજી પણ ખૂણાઓની ગણતરી માટે સમસ્યાઓના વધુ એક વર્ગને ધ્યાનમાં લેવાનું છે, એટલે કે:

બે વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાઓની ગણતરી

સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ હશે:

1. ત્રણ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને આપણે પ્રથમ પ્લેનનું સમીકરણ શોધીએ છીએ:
2. અન્ય ત્રણ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને આપણે બીજા પ્લેનનું સમીકરણ શોધીએ છીએ:
3. અમે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ફોર્મ્યુલા અગાઉના બે ફોર્મ્યુલા જેવું જ છે, જેની મદદથી આપણે સીધી રેખાઓ અને સીધી રેખા અને પ્લેન વચ્ચેના ખૂણાઓ શોધી કાઢ્યા. તેથી તમારા માટે આ યાદ રાખવું મુશ્કેલ નહીં હોય. ચાલો કાર્યોના વિશ્લેષણ તરફ આગળ વધીએ:

1. જમણા ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમના પાયાની બાજુ સમાન છે, અને બાજુના ચહેરાની ડાય-ગો-નલ સમાન છે. પ્રિઝમની ધરીના પ્લેન અને પ્લેન વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

2. જમણા ચાર-ખૂણા પી-રા-મી-ડેમાં, જેની તમામ કિનારીઓ સમાન છે, પ્લેન અને પ્લેન બોન વચ્ચેના ખૂણાની સાઈન શોધો, જે બિંદુ પર-પેન-ડી-કુ-માંથી પસાર થાય છે. lyar-પણ સીધા.

3. નિયમિત ચાર ખૂણાના પ્રિઝમમાં, આધારની બાજુઓ સમાન હોય છે, અને બાજુની કિનારીઓ સમાન હોય છે. ધાર પર એક બિંદુ છે થી-મી-ચે-ઓન જેથી. વિમાનો અને વચ્ચેનો કોણ શોધો

4. જમણા ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમમાં, આધારની બાજુઓ સમાન હોય છે, અને બાજુની કિનારીઓ સમાન હોય છે. બિંદુથી ધાર પર એક બિંદુ છે જેથી કરીને વિમાનો અને વચ્ચેનો કોણ શોધો.

5. ક્યુબમાં, પ્લેન અને વચ્ચેના કોણનો કો-સાઇ-નસ શોધો

સમસ્યા ઉકેલો:

1. હું નિયમિત (બેઝ પર સમભુજ ત્રિકોણ) ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ દોરું છું અને તેના પર સમસ્યા નિવેદનમાં દેખાતા વિમાનોને ચિહ્નિત કરું છું:

આપણે બે વિમાનોના સમીકરણો શોધવાની જરૂર છે: આધારનું સમીકરણ તુચ્છ છે: તમે ત્રણ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને અનુરૂપ નિર્ણાયક કંપોઝ કરી શકો છો, પરંતુ હું તરત જ સમીકરણ કંપોઝ કરીશ:

હવે ચાલો સમીકરણ શોધીએ પોઈન્ટ પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ પોઈન્ટ છે - ત્રિકોણની મધ્ય અને ઊંચાઈ હોવાથી, તે ત્રિકોણમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી શોધી શકાય છે. પછી બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે: ચાલો બિંદુની અરજી શોધીએ આ કરવા માટે, કાટકોણનો ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો

પછી આપણને નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે: અમે પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ છીએ.

અમે વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાની ગણતરી કરીએ છીએ:

જવાબ:

2. ચિત્ર બનાવવું:

સૌથી મુશ્કેલ બાબત એ સમજવું છે કે આ કેવા પ્રકારનું રહસ્યમય વિમાન છે, જે બિંદુ પરથી કાટખૂણે પસાર થાય છે. સારું, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તે શું છે? મુખ્ય વસ્તુ સચેતતા છે! હકીકતમાં, રેખા કાટખૂણે છે. સીધી રેખા પણ લંબ છે. પછી આ બે રેખાઓમાંથી પસાર થતું વિમાન રેખાને લંબરૂપ હશે, અને માર્ગ દ્વારા, બિંદુમાંથી પસાર થશે. આ પ્લેન પિરામિડની ટોચ પરથી પણ પસાર થાય છે. પછી ઇચ્છિત પ્લેન - અને પ્લેન પહેલેથી જ અમને આપવામાં આવ્યું છે. અમે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ.

આપણે બિંદુ દ્વારા બિંદુનું સંકલન શોધીએ છીએ. થી નાનું ચિત્રતે અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે મુજબ હશે: પિરામિડની ટોચના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે હવે શું બાકી છે? તમારે તેની ઊંચાઈની પણ ગણતરી કરવાની જરૂર છે. આ સમાન પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: પ્રથમ તે સાબિત કરો (નાના ત્રિકોણમાંથી તુચ્છ રીતે પાયા પર ચોરસ બનાવે છે). શરત દ્વારા, અમારી પાસે છે:

હવે બધું તૈયાર છે: શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ:

અમે પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

તમે નિર્ધારકોની ગણતરી કરવામાં પહેલેથી જ નિષ્ણાત છો. મુશ્કેલી વિના તમને પ્રાપ્ત થશે:

અથવા અન્યથા (જો આપણે બંને બાજુઓને બેના મૂળથી ગુણાકાર કરીએ તો)

હવે પ્લેનનું સમીકરણ શોધીએ:

(તમે ભૂલ્યા નથી કે આપણે પ્લેનનું સમીકરણ કેવી રીતે મેળવ્યું, ખરું? જો તમને સમજાતું ન હોય કે આ માઇનસ વન ક્યાંથી આવ્યું છે, તો પછી પ્લેનના સમીકરણની વ્યાખ્યા પર પાછા જાઓ! તે હંમેશા તે પહેલાં જ બહાર આવ્યું છે. મારું વિમાન કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળનું હતું!)

અમે નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ છીએ:

(તમે જોશો કે પ્લેનનું સમીકરણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણ સાથે એકરુપ છે અને! શા માટે તે વિશે વિચારો!)

હવે ચાલો કોણની ગણતરી કરીએ:

આપણે સાઈન શોધવાની જરૂર છે:

જવાબ:

3. મુશ્કેલ પ્રશ્ન: તે શું છે? લંબચોરસ પ્રિઝમ, તમે કેવી રીતે વિચારો છો? આ માત્ર એક સમાંતર છે જે તમે સારી રીતે જાણો છો! ચાલો તરત જ એક ચિત્ર બનાવીએ! તમારે આધારને અલગથી દર્શાવવાની પણ જરૂર નથી; તેનો અહીં થોડો ઉપયોગ છે:

પ્લેન, જેમ આપણે અગાઉ નોંધ્યું છે, તે સમીકરણના રૂપમાં લખાયેલું છે:

હવે એક પ્લેન બનાવીએ

અમે તરત જ પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

કોણ શોધી રહ્યાં છીએ:

હવે છેલ્લી બે સમસ્યાઓના જવાબો:

ઠીક છે, હવે થોડો વિરામ લેવાનો સમય છે, કારણ કે તમે અને હું મહાન છીએ અને એક મહાન કામ કર્યું છે!

કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર. ઉચ્ચ સ્તર

આ લેખમાં અમે તમારી સાથે સમસ્યાઓના બીજા વર્ગની ચર્ચા કરીશું જે સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે: અંતર ગણતરી સમસ્યાઓ. એટલે કે, અમે નીચેના કેસોને ધ્યાનમાં લઈશું:

1. છેદતી રેખાઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી.

વધતી મુશ્કેલીના ક્રમમાં મેં આ સોંપણીઓનો આદેશ આપ્યો છે. તે શોધવાનું સૌથી સરળ હોવાનું બહાર આવ્યું છે બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર, અને સૌથી મુશ્કેલ વસ્તુ શોધવાનું છે ક્રોસિંગ લાઇન વચ્ચેનું અંતર. જોકે, અલબત્ત, કંઈપણ અશક્ય નથી! ચાલો વિલંબ ન કરીએ અને તરત જ સમસ્યાઓના પ્રથમ વર્ગને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ:

એક બિંદુથી પ્લેન સુધીના અંતરની ગણતરી

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આપણે શું કરવાની જરૂર છે?

1. બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

તેથી, એકવાર અમારી પાસે તમામ જરૂરી ડેટા હોય, અમે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ:

તમારે પહેલાથી જ ખબર હોવી જોઈએ કે આપણે પ્લેનનું સમીકરણ કેવી રીતે બનાવીએ છીએ અગાઉના કાર્યો, જેની મેં છેલ્લા ભાગમાં ચર્ચા કરી હતી. ચાલો સીધા કાર્યો પર જઈએ. આ યોજના નીચે મુજબ છે: 1, 2 - હું તમને નક્કી કરવામાં મદદ કરું છું, અને થોડી વિગતોમાં, 3, 4 - માત્ર જવાબ, તમે સમસ્યા જાતે હલ કરો અને સરખામણી કરો. ચાલો શરૂ કરીએ!

કાર્યો:

1. એક ક્યુબ આપેલ છે. ક્યુબની ધારની લંબાઈ સમાન છે. સે-રે-દી-ના થી કટ થી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધો

2. જમણા ચાર-કોલસા પી-રા-મી-હાને જોતાં, બાજુની બાજુ આધારની બરાબર છે. બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધો જ્યાં - કિનારીઓ પર se-re-di-.

3. os-no-va-ni-em સાથે જમણા ત્રિકોણાકાર pi-ra-mi-de માં, બાજુની કિનારી સમાન છે, અને os-no-vania- પર સો-ro- સમાન છે. ટોચથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધો.

4. જમણા ષટ્કોણ પ્રિઝમમાં, બધી કિનારીઓ સમાન હોય છે. એક બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધો.

ઉકેલો:

1. સિંગલ કિનારીઓ સાથે ક્યુબ દોરો, સેગમેન્ટ અને પ્લેન બનાવો, સેગમેન્ટની મધ્યને અક્ષર વડે દર્શાવો

.

પ્રથમ, ચાલો સરળ સાથે શરૂ કરીએ: બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. ત્યારથી (સેગમેન્ટના મધ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ યાદ રાખો!)

હવે આપણે ત્રણ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ છીએ

\[\left| (\begin(એરે)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(એરે)) \right| = 0\]

હવે હું અંતર શોધવાનું શરૂ કરી શકું છું:

2. અમે ફરીથી એક ડ્રોઇંગ સાથે શરૂ કરીએ છીએ જેના પર અમે તમામ ડેટાને ચિહ્નિત કરીએ છીએ!

પિરામિડ માટે, તેનો આધાર અલગથી દોરવા માટે તે ઉપયોગી થશે.

હકીકત એ છે કે હું તેના પંજા વડે ચિકનની જેમ દોરું છું તે પણ આપણને આ સમસ્યાને સરળતા સાથે હલ કરવાથી અટકાવશે નહીં!

હવે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું સરળ છે

ત્યારથી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ, પછી

2. બિંદુ a ના કોઓર્ડિનેટ્સ સેગમેન્ટની મધ્યમાં હોવાથી

કોઈપણ સમસ્યા વિના, અમે પ્લેન પર વધુ બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકીએ છીએ અમે પ્લેન માટે એક સમીકરણ બનાવીએ છીએ અને તેને સરળ બનાવીએ છીએ:

\[\left| (\left (\sqrt 3 ))(2))\end(એરે)) \right|) \right| = 0\]

બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોવાથી: , અમે અંતરની ગણતરી કરીએ છીએ:

જવાબ (ખૂબ જ દુર્લભ!):

સારું, તમે તેને બહાર કાઢ્યું? મને એવું લાગે છે કે અહીં બધું જ તકનીકી છે, જેમ કે આપણે અગાઉના ભાગમાં જોયેલા ઉદાહરણોમાં. તેથી મને ખાતરી છે કે જો તમે તે સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવી લીધી હોય, તો તમારા માટે બાકીની બે સમસ્યાઓ હલ કરવી મુશ્કેલ નહીં હોય. હું તમને ફક્ત જવાબો આપીશ:

સીધી રેખાથી પ્લેન સુધીના અંતરની ગણતરી

હકીકતમાં, અહીં કંઈ નવું નથી. સીધી રેખા અને પ્લેન એકબીજાની સાપેક્ષ કેવી રીતે સ્થિત થઈ શકે? તેમની પાસે માત્ર એક જ શક્યતા છે: છેદે છે, અથવા સીધી રેખા પ્લેનની સમાંતર છે. તમને શું લાગે છે કે સીધી રેખાથી વિમાન સુધીનું અંતર શું છે જેની સાથે આ સીધી રેખા છેદે છે? મને લાગે છે કે અહીં સ્પષ્ટ છે કે આટલું અંતર શૂન્ય બરાબર છે. રસપ્રદ કેસ.

બીજો કેસ વધુ મુશ્કેલ છે: અહીં અંતર પહેલેથી જ બિન-શૂન્ય છે. જો કે, લીટી પ્લેનની સમાંતર હોવાથી, લીટીનો દરેક બિંદુ આ પ્લેનથી સમાન છે:

આમ:

આનો અર્થ એ છે કે મારું કાર્ય પાછલા એક પર ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે: અમે સીધી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ, પ્લેનનું સમીકરણ શોધી રહ્યા છીએ અને બિંદુથી પ્લેન સુધીના અંતરની ગણતરી કરી રહ્યા છીએ. હકીકતમાં, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં આવા કાર્યો અત્યંત દુર્લભ છે. હું ફક્ત એક જ સમસ્યા શોધવામાં સફળ રહ્યો, અને તેમાંનો ડેટા એવો હતો કે સંકલન પદ્ધતિ તેના પર ખૂબ લાગુ પડતી ન હતી!

હવે આપણે કંઈક બીજું તરફ આગળ વધીએ, ઘણું બધું મહત્વપૂર્ણ વર્ગકાર્યો:

એક લીટીના બિંદુના અંતરની ગણતરી

આપણને શું જોઈએ છે?

1. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ જ્યાંથી આપણે અંતર શોધી રહ્યા છીએ:

2. રેખા પર પડેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ

3. સીધી રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ

આપણે કયા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ?

આ અપૂર્ણાંકના છેદનો અર્થ શું છે તે તમારા માટે સ્પષ્ટ હોવું જોઈએ: આ સીધી રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરની લંબાઈ છે. આ એક ખૂબ જ મુશ્કેલ અંશ છે! અભિવ્યક્તિનો અર્થ છે વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ (લંબાઈ) અને વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કેવી રીતે કરવી, અમે કાર્યના અગાઉના ભાગમાં અભ્યાસ કર્યો. તમારા જ્ઞાનને તાજું કરો, અમને હવે તેની ખૂબ જરૂર પડશે!

આમ, સમસ્યાઓ હલ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ હશે:

1. અમે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાંથી આપણે અંતર શોધી રહ્યા છીએ:

2. અમે જે લાઇન પરના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં સુધી આપણે અંતર શોધી રહ્યા છીએ:

3. વેક્ટર બનાવો

4. સીધી રેખાના નિર્દેશક વેક્ટરનું નિર્માણ કરો

5. વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કરો

6. અમે પરિણામી વેક્ટરની લંબાઈ શોધીએ છીએ:

7. અંતરની ગણતરી કરો:

અમારી પાસે ઘણું કામ છે, અને ઉદાહરણો ખૂબ જટિલ હશે! તેથી હવે તમારું બધું ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો!

1. ટોચ સાથે જમણો ત્રિકોણાકાર pi-ra-mi-da આપેલ છે. પી-રા-મી-ડીના આધારે સો-રો- સમાન છે, તમે સમાન છો. ગ્રે કિનારીથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધો, જ્યાં બિંદુઓ અને ગ્રે કિનારીઓ છે અને વેટરનરીથી.

2. પાંસળીની લંબાઈ અને સીધા-કોણ-નો-ગો પાર-રાલ-લે-લે-પી-પે-દા તે મુજબ સમાન છે અને ઉપરથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધો

3. જમણા ષટ્કોણ પ્રિઝમમાં, બધી કિનારીઓ સમાન હોય છે, એક બિંદુથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધો

ઉકેલો:

1. અમે એક સુઘડ ચિત્ર બનાવીએ છીએ જેના પર અમે તમામ ડેટાને ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

અમારી પાસે ઘણું કામ છે! પ્રથમ, હું શબ્દોમાં વર્ણન કરવા માંગુ છું કે આપણે શું શોધીશું અને કયા ક્રમમાં:

1. બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને

2. બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

3. બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને

4. વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અને

5. તેમની ક્રોસ પ્રોડક્ટ

6. વેક્ટર લંબાઈ

7. વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ

8. થી થી અંતર

સારું, આપણી આગળ ઘણું કામ છે! ચાલો અમારી સ્લીવ્ઝને રોલ અપ કરીને તેના પર પહોંચીએ!

1. પિરામિડની ઊંચાઈના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, આપણે તે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને જાણવાની જરૂર છે, જેનું અનુરૂપ શૂન્ય છે, અને તેનું ઓર્ડિનેટ તેની ઊંચાઈની લંબાઈ જેટલું છે એક સમભુજ ત્રિકોણ, તે અહીંથી શિરોબિંદુથી ગણીને ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થયેલ છે. અંતે, અમને કોઓર્ડિનેટ્સ મળ્યા:

પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ

2. - સેગમેન્ટની મધ્યમાં

3. - સેગમેન્ટની મધ્યમાં

સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ

4.કોઓર્ડિનેટ્સ

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ

5. વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કરો:

6. વેક્ટર લંબાઈ: બદલવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે સેગમેન્ટ એ ત્રિકોણની મધ્યરેખા છે, જેનો અર્થ છે કે તે અડધા આધારની બરાબર છે. તેથી.

7. વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈની ગણતરી કરો:

8. અંતે, આપણે અંતર શોધીએ છીએ:

ઓહ, બસ! હું તમને પ્રામાણિકપણે કહીશ: આ સમસ્યાનો ઉકેલ છે પરંપરાગત પદ્ધતિઓ(બાંધકામ દ્વારા), તે ખૂબ ઝડપી હશે. પરંતુ અહીં મેં તે બધું ઉકાળ્યું તૈયાર અલ્ગોરિધમનો! મને લાગે છે કે ઉકેલ અલ્ગોરિધમ તમારા માટે સ્પષ્ટ છે? તેથી, હું તમને બાકીની બે સમસ્યાઓ જાતે ઉકેલવા માટે કહીશ. ચાલો જવાબોની સરખામણી કરીએ?

ફરીથી, હું પુનરાવર્તન કરું છું: સંકલન પદ્ધતિનો આશરો લેવાને બદલે, બાંધકામો દ્વારા આ સમસ્યાઓ હલ કરવી સરળ (ઝડપી) છે. મેં તમને એક સાર્વત્રિક પદ્ધતિ બતાવવા માટે જ ઉકેલની આ પદ્ધતિ દર્શાવી છે જે તમને "કંઈપણ બાંધવાનું સમાપ્ત ન કરવા" માટે પરવાનગી આપે છે.

છેલ્લે, સમસ્યાઓના છેલ્લા વર્ગને ધ્યાનમાં લો:

છેદતી રેખાઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી

અહીં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ પાછલા એક જેવું જ હશે. અમારી પાસે શું છે:

3. પ્રથમ અને બીજી લાઇનના બિંદુઓને જોડતો કોઈપણ વેક્ટર:

આપણે લીટીઓ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધી શકીએ?

સૂત્ર નીચે મુજબ છે.

અંશ એ મોડ્યુલસ છે મિશ્ર ઉત્પાદન(અમે તેને પાછલા ભાગમાં રજૂ કર્યું છે), અને છેદ અગાઉના સૂત્રની જેમ છે (સીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ, જેની વચ્ચે આપણે શોધી રહ્યા છીએ તે અંતર).

હું તમને તે યાદ અપાવીશ

પછી અંતર માટેનું સૂત્ર આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

આ એક નિર્ણાયક દ્વારા વિભાજિત નિર્ધારક છે! જોકે, સાચું કહું તો, મારી પાસે અહીં જોક્સ માટે સમય નથી! આ સૂત્ર, હકીકતમાં, ખૂબ જ બોજારૂપ છે અને તદ્દન તરફ દોરી જાય છે જટિલ ગણતરીઓ. જો હું તું હોત, તો હું તેનો અંતિમ ઉપાય તરીકે જ આશરો લેત!

ચાલો ઉપરોક્ત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

1. જમણા ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમમાં, જેની તમામ કિનારીઓ સમાન છે, સીધી રેખાઓ અને વચ્ચેનું અંતર શોધો.

2. જમણા ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમને જોતાં, પાયાની બધી કિનારીઓ શરીરની પાંસળીમાંથી પસાર થતા વિભાગની સમાન છે અને સે-રી-ડી-વેલ પાંસળી એક ચોરસ છે. સીધી રેખાઓ અને વચ્ચેનું અંતર શોધો

હું પ્રથમ નક્કી કરું છું, અને તેના આધારે, તમે બીજું નક્કી કરો!

1. હું પ્રિઝમ દોરું છું અને સીધી રેખાઓને ચિહ્નિત કરું છું અને

બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સ: પછી

પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ

પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ

\[\left(B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\અંત(એરે))\\(\begin(એરે)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(એરે)\end(એરે)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

અમે વેક્ટર અને વચ્ચે વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ છીએ

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\અંત(એરે)\\\begin(એરે)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(એરે)\end(એરે) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

હવે આપણે તેની લંબાઈની ગણતરી કરીએ છીએ:

જવાબ:

હવે બીજું કાર્ય કાળજીપૂર્વક પૂર્ણ કરવાનો પ્રયાસ કરો. તેનો જવાબ હશે: .

કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર. સંક્ષિપ્ત વર્ણન અને મૂળભૂત સૂત્રો

વેક્ટર એ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ છે. - વેક્ટરની શરૂઆત, - વેક્ટરનો અંત.
વેક્ટર અથવા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

સંપૂર્ણ મૂલ્યવેક્ટર - વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા સેગમેન્ટની લંબાઈ. તરીકે સૂચિત.

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ:

,
વેક્ટરના છેડા ક્યાં છે \displaystyle a .

વેક્ટર્સનો સરવાળો: .

વેક્ટર્સનું ઉત્પાદન:

વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન: