TANIM

Vektör(enlemden itibaren." vektör" - "taşıma") - uzayda veya düzlemde düz bir çizginin yönlendirilmiş bir parçası.

Grafiksel olarak bir vektör, belirli bir uzunlukta yönlendirilmiş bir düz çizgi parçası olarak gösterilir. Başlangıcı noktada ve sonu noktada olan bir vektör (Şekil 1) ile gösterilir. Bir vektör aynı zamanda küçük bir harfle de gösterilebilir, örneğin .

Uzayda bir koordinat sistemi belirtilirse, vektör, bir dizi koordinatla benzersiz bir şekilde belirtilebilir. Yani bir vektör, büyüklüğü (uzunluğu), yönü ve uygulama noktası (vektörün başlangıcı) olan bir nesne olarak anlaşılır.

Vektör hesabının ilkeleri, 1831'de Alman matematikçi, mekanikçi, fizikçi, gökbilimci ve araştırmacı Johann Carl Friedrich Gauss'un (1777-1855) çalışmalarında ortaya çıktı. Vektörlerle işlemler üzerine çalışmalar İrlandalı matematikçi, mekanik ve teorik fizikçi Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) tarafından kuaterniyon hesabının bir parçası olarak yayımlandı. Bilim adamı “vektör” terimini önerdi ve vektörler üzerinde yapılan bazı işlemleri anlattı. Vektör hesabı hakkını aldı Daha fazla gelişmeİngiliz fizikçi, matematikçi ve tamirci James Clerk Maxwell'in (1831-1879) elektromanyetizma üzerine yaptığı çalışmalar sayesinde. 1880'li yıllarda “Vektör Analizinin Unsurları” kitabı yayımlandı. Amerikalı fizikçi, fiziksel kimyager, matematik ve mekanik Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Modern vektör analizi, 1903 yılında kendi kendini yetiştirmiş İngiliz bilim adamı, mühendis, matematikçi ve fizikçi Oliver Heaviside'nin (1850-1925) çalışmalarında tanımlandı.

TANIM

Uzunluk veya vektör modülü vektörü tanımlayan yönlendirilmiş parçanın uzunluğudur. Olarak belirtilir.

Ana vektör türleri

Sıfır vektör olan bir vektör denir başlangıç ​​noktası Ve bitiş noktası eşleştir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır.

Bir doğruya paralel veya bir doğru üzerinde yer alan vektörlere denir doğrusal(İncir. 2).

ortak yönetmen eğer yönleri çakışıyorsa.

Şekil 2'de bunlar vektörlerdir ve . Vektörlerin eş yönlülüğü şu şekilde gösterilir: .

İki eşdoğrusal vektör denir zıt yönlü, eğer yönleri zıtsa.

Şekil 3'te bunlar vektörlerdir ve . Tanım: .

Vektörlerin toplamı. Vektör uzunluğu. sevgili arkadaşlar Geriye dönük sınav türleri kapsamında vektörlerle ilgili bir grup problem bulunmaktadır. Görevler oldukça geniş kapsamlıdır (teorik temelleri bilmek önemlidir). Çoğu sözlü olarak çözülür. Sorular bir vektörün uzunluğunu, vektörlerin toplamını (farkını), nokta ürün. Ayrıca vektör koordinatlarıyla eylemler gerçekleştirmeniz gereken birçok görev vardır.

Vektörler konusunu çevreleyen teori karmaşık değildir ve iyi anlaşılması gerekir. Bu yazıda bir vektörün uzunluğunun yanı sıra vektörlerin toplamını (farkını) bulmayla ilgili problemleri analiz edeceğiz. Bazı teorik noktalar:

Vektör kavramı

Bir vektör yönlendirilmiş bir bölümdür.

Yönleri aynı olan ve uzunlukları eşit olan tüm vektörler eşittir.

*Yukarıda sunulan dört vektörün tümü eşittir!

Yani bize verilen vektörü paralel öteleme kullanarak hareket ettirirsek her zaman orijinaline eşit bir vektör elde ederiz. Böylece sonsuz sayıda eşit vektör olabilir.

Vektör gösterimi

Vektör Latince ile gösterilebilir büyük harflerle, Örneğin:

Bu gösterim biçiminde önce vektörün başlangıcını gösteren harf, ardından vektörün sonunu gösteren harf yazılır.

Başka bir vektör Latin alfabesinin bir harfiyle (büyük harf) gösterilir:

Oksuz tanımlama da mümkündür:

İki AB ve BC vektörünün toplamı AC vektörü olacaktır.

AB + BC = AC şeklinde yazılır.

Bu kurala denir - üçgen kuralı.

Yani, eğer iki vektörümüz varsa - bunları geleneksel olarak (1) ve (2) olarak adlandıralım ve vektör (1)'in sonu, vektör (2)'nin başlangıcına denk geliyorsa, o zaman bu vektörlerin toplamı bir vektör olacaktır: başlangıç, vektör (1)'in başlangıcıyla çakışır ve son, vektör (2)'nin sonuyla çakışır.

Sonuç: Bir düzlemde iki vektörümüz varsa, bunların toplamını her zaman bulabiliriz. Paralel çeviriyi kullanarak bu vektörlerden herhangi birini hareket ettirebilir ve onun başlangıcını diğerinin sonuna bağlayabilirsiniz. Örneğin:

Vektörü hareket ettirelim B, veya başka bir deyişle, eşit bir tane oluşturalım:

Birkaç vektörün toplamı nasıl bulunur? Aynı prensiple:

* * *

Paralelkenar kuralı

Bu kural yukarıdakilerin bir sonucudur.

Ortak kökenli vektörler için bunların toplamı, bu vektörler üzerine oluşturulan bir paralelkenarın köşegeniyle gösterilir.

Bir vektör oluşturalım vektöre eşit B başlangıcı vektörün sonu ile çakışacak şekilde A ve bunların toplamı olacak bir vektör oluşturabiliriz:

Biraz daha önemli bilgi sorunları çözmek için gereklidir.

Orijinaline eşit uzunlukta fakat zıt yönlü bir vektör de gösterilir ancak ters işarete sahiptir:

Bu bilgi, vektörler arasındaki farkın bulunmasını içeren problemlerin çözümünde son derece faydalıdır. Gördüğünüz gibi vektör farkı değiştirilmiş biçimde aynı toplamdır.

İki vektör verilsin, farklarını bulun:

B vektörünün tersi bir vektör oluşturduk ve farkı bulduk.

Vektör koordinatları

Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, başlangıç ​​koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarmanız gerekir:

Yani vektör koordinatları bir çift sayıdır.

Eğer

Ve vektörlerin koordinatları şöyle görünür:

O zaman c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Eğer

O zaman c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

Vektör modülü

Bir vektörün modülü, aşağıdaki formülle belirlenen uzunluğudur:

Başlangıç ​​ve bitiş koordinatları biliniyorsa, bir vektörün uzunluğunu belirleme formülü:

Görevleri ele alalım:

ABCD dikdörtgeninin iki kenarı 6 ve 8'e eşittir. Köşegenler O noktasında kesişir. AO ve BO vektörleri arasındaki farkın uzunluğunu bulun.

AO–VO sonucunu oluşturacak vektörü bulalım:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

Yani, AO ve vektörleri arasındaki fark VO bir vektör olacak AB. Ve uzunluğu sekizdir.

Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. AB + AD vektörünün uzunluğunu bulun.

AD ve AB BC vektörlerinin toplamı olacak bir vektör bulalım. vektöre eşit MS. Yani AB +AD =AB +BC =AC

ABCD eşkenar dörtgeninin köşegenleri şu noktada kesişir: Ö ve 12 ve 16'ya eşittir. AO + BO vektörünün uzunluğunu bulun.

AO ve VO VO vektörlerinin toplamı OD vektörüne eşit olacak bir vektör bulalım, yani

Pisagor teoremine göre:

ABCD eşkenar dörtgeninin köşegenleri O noktasında kesişir ve 12 ve 16'ya eşittir. AO – BO vektörünün uzunluğunu bulun.

AO–VO sonucunu oluşturacak vektörü bulalım:

Pisagor teoremine göre:

ABC düzgün üçgeninin kenarları 3'e eşittir.

AB –AC vektörünün uzunluğunu bulun.

Vektör farkının sonucunu bulalım:

27663. a (6;8) vektörünün uzunluğunu bulun.

27664. AB vektörünün uzunluğunun karesini bulun.

Tanım (x 1 , x 2 , ... , x n) n adet reel sayının sıralı bir koleksiyonuna denir n boyutlu vektör, ve sayılar x i (i = ) - bileşenler, veya koordinatlar,

Örnek. Örneğin, belirli bir otomobil fabrikasının 50 araba, 100 kamyon, 10 otobüs, otomobiller için 50 takım yedek parça ve otomobiller için 150 takım yedek parça üretmesi gerekiyorsa, kamyonlar ve otobüsler olduğuna göre bu tesisin üretim programı beş bileşenli bir vektör (50, 100, 10, 50, 150) şeklinde yazılabilir.

Gösterim. Vektörler kalın harflerle belirtilmiştir Küçük harfler veya üstünde çubuk veya ok bulunan harfler, örneğin, A veya. İki vektör denir eşit, eğer aynı sayıda bileşene sahiplerse ve bunlara karşılık gelen bileşenler eşitse.

Vektör bileşenleri değiştirilemez, örneğin (3, 2, 5, 0, 1) ve (2, 3, 5, 0, 1) farklı vektörler.
Vektörler üzerinde işlemler.İş X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) gerçek sayıya göreλ vektör denirλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

MiktarX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ve sen= (y 1 , y 2 , ... ,y n)'ye vektör denir x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektör Uzayı. N -boyutlu vektör uzayı R n, çarpma işlemlerinin gerçekleştirildiği tüm n boyutlu vektörlerin kümesi olarak tanımlanır. gerçek sayılar ve ekleme.

Ekonomik illüstrasyon. N boyutlu ekonomik illüstrasyon Vektör Uzayı: mal alanı (mal). Altında mal satışa çıkan bazı mal veya hizmetleri anlayacağız kesin zaman belli bir yerde. Varsayalım ki, n adet mevcut mal var; Tüketici tarafından satın alınan her birinin miktarı bir dizi malla karakterize edilir

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

burada x i, tüketici tarafından satın alınan i'inci malın miktarını belirtir. Tüm malların keyfi bölünebilme özelliğine sahip olduğunu, böylece her birinden negatif olmayan herhangi bir miktarın satın alınabileceğini varsayacağız. O halde tüm olası mal kümeleri C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x ben ≥ 0, ben = ).

Doğrusal bağımsızlık. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n boyutlu vektörlere denir doğrusal bağımlı eğer böyle sayılar varsaλ 1 , λ 2 , ... , λ m en az biri sıfırdan farklı olan eşitlik sağlanacak şekildeλ1 e 1 + λ2 e 2 +... + λ m e m = 0; aksi takdirde bu sistem vektörlere denir Doğrusal bağımsız yani belirtilen eşitlik ancak tümünün olması durumunda mümkündür. . Geometrik anlam doğrusal bağımlılık vektörler RŞekil 3'te yönlendirilmiş bölümler olarak yorumlanarak aşağıdaki teoremleri açıklayınız.

Teorem 1. Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektörün sıfır olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2. İki vektörün doğrusal bağımlı olabilmesi için eşdoğrusal (paralel) olmaları gerekli ve yeterlidir.

Teorem 3 . Üç vektörün doğrusal olarak bağımlı olabilmesi için eş düzlemli olmaları (aynı düzlemde yer almaları) gerekli ve yeterlidir.

Vektörlerin sol ve sağ üçlüleri. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü a, b, c isminde Sağ, eğer ortak kökenden gelen gözlemci vektörlerin uçlarını atlarsa a, b, c verilen sıraya göre saat yönünde gerçekleştiği görülüyor. Aksi takdirde a, b, c -üç sola. Vektörlerin tüm sağ (veya sol) üçlülerine denir aynısı odaklı.

Temel ve koordinatlar. Troyka e 1, e 2 , e 3 eş düzlemli olmayan vektör R 3 denir temel ve vektörlerin kendileri e 1, e 2 , e 3 - temel. Herhangi bir vektör A temel vektörlere benzersiz bir şekilde genişletilebilir, yani formda temsil edilebilir

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

(1.1) açılımındaki x 1 , x 2 , x 3 sayılarına denir koordinatlarA temelde e 1, e 2 , e 3 ve belirlenmiş A(x1,x2,x3).

Ortonormal temel. Eğer vektörler e 1, e 2 , e 3 çift birbirine diktir ve her birinin uzunluğu bire eşittir, bu durumda taban denir ortonormal ve koordinatlar x 1 , x 2 , x 3 - dikdörtgen. Bir ortonormal bazın temel vektörleri şu şekilde gösterilecektir: ben, j, k.

Uzayda olduğunu varsayacağız R 3 seçildi doğru sistem Kartezyen dikdörtgen koordinatlar (0, ben, j, k}.

Vektör çizimi. vektör çizimleri A vektöre B vektör denir C aşağıdaki üç koşulla belirlenir:

1. Vektör uzunluğu C vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanına sayısal olarak eşittir A Ve B, yani.
C= |a||b| günah ( A^B).

2. Vektör C vektörlerin her birine dik A Ve B.

3. Vektörler A, B Ve C belirtilen sırayla alındığında sağ üçlü oluşturur.

Çapraz çarpım için C atama tanıtıldı c =[ab] veya
c = bir × B.

Eğer vektörler A Ve B eşdoğrusal ise günah( a^b) = 0 ve [ ab] = 0, özellikle, [ aa] = 0. Birim vektörlerin vektör çarpımları: [ ben]=k, [jk] = Ben, [ki]=J.

Eğer vektörler A Ve B esasında belirtilen ben, j, k koordinatlar A(bir 1, bir 2, bir 3), B(b 1, b 2, b 3), o zaman

Karışık çalışma. İki vektörün vektör çarpımı ise A Ve Büçüncü vektörle skaler olarak çarpılır C, o zaman üç vektörün böyle bir çarpımına denir karma çalışma ve sembolüyle gösterilir A M.Ö.

Eğer vektörler a, b Ve C temelde ben, j, k koordinatları tarafından verilir
A(bir 1, bir 2, bir 3), B(b 1, b 2, b 3), C(c 1, c 2, c 3), o zaman

.

Karışık ürünün basit bir geometrik yorumu vardır - bu, verilen üç vektör üzerine inşa edilmiş bir paralelyüzün hacmine mutlak değerde eşit olan bir skalerdir.

Vektörler bir dik üçlü oluşturuyorsa, bunların karışık çarpımı belirtilen hacme eşit pozitif bir sayıdır; eğer üç ise a, b, c - sola, sonra a b c<0 и V = - a b c, dolayısıyla V =|a b c|.

Birinci bölümdeki problemlerde karşılaşılan vektörlerin koordinatlarının dik ortonormal tabana göre verildiği varsayılmaktadır. Birim vektör vektörle eş yönlü A, sembolüyle gösterilir AÖ. Sembol R=OM M noktasının yarıçap vektörü, a, AB veya sembolleriyle gösterilir.|bir|, | AB|vektörlerin modülleri belirtilir A Ve AB.

Örnek 1.2. Vektörler arasındaki açıyı bulun A= 2M+4N Ve B= m-n, Nerede M Ve N- birim vektörler ve aralarındaki açı M Ve N 120 o'ya eşit.

Çözüm. Elimizde: çünkü φ = ab/ab ab =(2M+4N) (m-n) = 2M 2 - 4N 2 +2milyon=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; bir = ; A 2 = (2M+4N) (2M+4N) =
= 4M 2 +16milyon+16N 2 = 4+16(-0,5)+16=12, bu da a = anlamına gelir. b = ; B 2 =
= (m-n)(m-n) = M 2 -2milyon+N 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, yani b = . Sonunda elimizde: çünküφ = = -1/2, φ = 120o.

Örnek 1.3.Vektörleri bilmek AB(-3,-2.6) ve M.Ö.(-2,4,4), ABC üçgeninin AD yüksekliğinin uzunluğunu hesaplayın.

Çözüm. ABC üçgeninin alanını S ile göstererek şunu elde ederiz:
S = MÖ 1/2 MS. Daha sonra AD=2S/MÖ, M.Ö= = = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, yani vektör AC. koordinatları var
. .

Örnek 1.4 . İki vektör verilmiştir A(11,10,2) ve B(4,0,3). Birim vektörü bulun C, vektörlere dik A Ve B ve vektörlerin sıralı üçlüsü olacak şekilde yönlendirildi a, b, c haklıydı.

Çözüm.Vektörün koordinatlarını gösterelim C x, y, z cinsinden belirli bir dik ortonormal tabana göre.

Çünkü C ⊥ AC ⊥B, O CA= 0,cb= 0. Problemin koşullarına göre c = 1 olması gerekmektedir ve a b c >0.

için bir denklem sistemimiz var. x,y,z'yi bulma: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden z = -4/3 x, y = -5/6 x elde ediyoruz. Üçüncü denklemde y ve z'yi yerine koyarsak: x 2 = 36/125 elde ederiz, dolayısıyla
x =± . Durumu kullanma a b c > 0, eşitsizliği elde ederiz

Z ve y ifadelerini dikkate alarak ortaya çıkan eşitsizliği şu şekilde yeniden yazıyoruz: 625/6 x > 0, bu da x>0 anlamına gelir. Yani x = , y = - , z =- .

giriiş

Çok az kişinin vektörlerin bizi her yerde çevrelediği ve günlük yaşamda bize yardımcı olduğu gerçeğini düşündüğünü söylemek yanlış olmaz. Durumu düşünün: Bir adam, evinden iki yüz metre uzakta bir kızla randevuya çıktı. Birbirlerini bulacaklar mı? Tabii ki hayır, çünkü genç adam asıl şeyi belirtmeyi unuttu: yön, yani bilimsel açıdan bir vektör. Ayrıca, bu proje üzerinde çalışma sürecinde, daha azını değil, çok daha fazlasını vereceğim ilginç örnekler vektörler.

Genel olarak matematiğin en ilginç bilim, bilgisinde hiçbir sınır yoktur. Vektörler konusunu tesadüfen seçmedim; “vektör” kavramının tek bir bilimin, yani matematiğin kapsamının çok ötesine geçmesi ve bizi neredeyse her yerde kuşatması çok ilgimi çekti. Bu nedenle herkes vektörün ne olduğunu bilmeli, bu nedenle bu konunun çok alakalı olduğunu düşünüyorum. Psikoloji, biyoloji, ekonomi ve daha birçok bilim dalında “vektör” kavramı kullanılmaktadır. Bu konuyu size daha sonra anlatacağım.

Hedefler bu projenin vektörlerle çalışma becerilerinin kazanılması, olağandışı olanı sıradan görme yeteneği ve çevremizdeki dünyaya karşı dikkatli bir tutumun geliştirilmesidir.

Kavram vektörünün tarihi

Temel kavramlardan biri modern matematik bir vektördür. Vektör kavramının evrimi, bu kavramın bilimde yaygın kullanımı sayesinde gerçekleştirildi. Çeşitli bölgeler matematik, mekanik ve ayrıca teknolojide.

Vektör nispeten yeni matematiksel kavram. “Vektör” terimi ilk kez 1845'te İrlandalı matematikçi ve gökbilimci William Hamilton (1805 – 1865) tarafından genelleme yapan sayısal sistemlerin inşası üzerine yaptığı çalışmada ortaya çıktı. Karışık sayılar. Hamilton ayrıca "skaler", "skaler çarpım", "vektörel çarpım" terimlerini de icat etti. Neredeyse onunla eşzamanlı olarak Alman matematikçi Hermann Grassmann (1809 – 1877) aynı yönde ancak farklı bir bakış açısıyla araştırma yaptı. İngiliz William Clifford (1845 – 1879) iki yaklaşımı şu çerçevede birleştirmeyi başardı: genel teori, aynı zamanda sıradan vektör hesabını da içerir. Ve son şeklini, 1901'de vektör analizi üzerine kapsamlı bir ders kitabı yayınlayan Amerikalı fizikçi ve matematikçi Josiah Willard Gibbs'in (1839 - 1903) çalışmalarında aldı.

Geçen yüzyılın sonu ve içinde bulunduğumuz yüzyılın başlangıcı, vektör hesabının ve uygulamalarının yaygın gelişimi ile işaretlendi. Vektör cebiri ve vektör analizi ve vektör uzayının genel teorisi oluşturuldu. Bu teoriler, özel ve genel görelilik teorilerinin yapımında kullanıldı. önemli rol V modern fizik.

Büyüklük ve yön ile karakterize edilen nesnelerle uğraşmak zorunda kaldığımızda vektör kavramı ortaya çıkar. Örneğin, bazıları fiziksel özellikler Kuvvet, hız, ivme vb. gibi özellikler yalnızca Sayısal değer ama aynı zamanda yön. Bu bağlamda, belirtilen fiziksel büyüklüklerin yönlendirilmiş bölümlerle temsil edilmesi uygundur. Gereksinimlere göre yeni program Matematik ve fizikte vektör kavramı önde gelen kavramlardan biri haline geldi okul kursu matematik.

Matematikte vektörler

Bir vektör, başlangıcı ve sonu olan yönlendirilmiş bir bölümdür.

Başlangıcı A noktasında ve sonu B noktasında olan bir vektör genellikle AB olarak gösterilir. Vektörler ayrıca, örneğin üstlerinde bir ok (bazen bir çizgi) bulunan küçük Latin harfleriyle de gösterilebilir.

Geometride bir vektör doğal olarak bir çeviriyle (paralel çeviri) karşılaştırılır, bu da açıkça adının kökenini (Latince vektör, taşıyıcı) açıklığa kavuşturur. Aslında, her yönlendirilmiş bölüm benzersiz bir şekilde bazı şeyleri tanımlar. paralel aktarım düzlem veya uzay: diyelim ki, AB vektörü doğal olarak A noktasının B noktasına gideceği aktarımı belirler ve bunun tersi de A'nın B'ye gittiği paralel aktarım tek yönlendirilmiş AB parçasını belirler.

AB vektörünün uzunluğu AB segmentinin uzunluğudur ve genellikle AB ile gösterilir. Vektörler arasında sıfırın rolü şu şekilde oynanır: sıfır vektör başlangıcı ve sonu çakışan; diğer vektörlerden farklı olarak ona herhangi bir yön atanmamıştır.

İki vektör paralel doğrular üzerinde veya aynı doğru üzerinde yer alıyorsa eşdoğrusal olarak adlandırılır. İki vektör aynı doğrultudaysa ve aynı yönde yönlendiriliyorsa eş yönlü, aynı doğrultudaysa ve aynı yönde yönlendiriliyorsa zıt yönlü olarak adlandırılır. farklı taraflar.

Vektörler üzerinde işlemler

Vektör modülü

AB vektörünün modülü, AB parçasının uzunluğuna eşit olan sayıdır. AB olarak belirlendi. Koordinatlar aracılığıyla şu şekilde hesaplanır:

Vektör ilavesi

İÇİNDE koordinat gösterimi toplam vektörü, terimlerin karşılık gelen koordinatlarının toplanmasıyla elde edilir:

)(\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_(y)+b_(y),a_(z)+b_(z) ))

Toplam vektörünü geometrik olarak oluşturmak için (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b)))c = şunu kullanın: farklı kurallar(yöntemler), ancak hepsi aynı sonucu verir. Bir veya başka bir kuralın kullanılması, çözülen sorunla haklı çıkar.

Üçgen kuralı

Üçgen kuralı, doğal olarak bir vektörün transfer olarak anlaşılmasından kaynaklanır. Bir noktaya ait iki transferin (\displaystyle (\vec (a))) ve (\displaystyle (\vec (b))) sırayla uygulanmasının sonucunun, bir transferin aynı anda uygulanmasıyla aynı olacağı açıktır (\displaystyle (\vec (a) ))+(\vec (b))), bu kurala karşılık gelir. İki vektörü (\displaystyle (\vec (a))) ve (\displaystyle (\vec (b))) üçgen kuralına göre eklemek için, bu vektörlerin her ikisi de birbirine paralel olarak aktarılır, böylece bunlardan birinin başlangıcı olur. diğerinin sonuyla örtüşüyor. Daha sonra toplam vektör, ortaya çıkan üçgenin üçüncü tarafı tarafından verilir ve başlangıcı, birinci vektörün başlangıcına ve sonu, ikinci vektörün sonuna denk gelir.

Bu kural doğrudan ve doğal olarak herhangi bir sayıda vektörün eklenmesiyle genelleştirilebilir. kırık çizgi kuralı:

Çokgen kuralı

İkinci vektörün başlangıcı birincinin sonuyla, üçüncünün başlangıcı ikincinin sonuyla çakışır ve bu şekilde devam eder, vektörlerin toplamı (\displaystyle n) bir vektördür ve başlangıç ​​başlangıçla çakışır. birincinin sonu ve sonu (\displaystyle n) ile çakışan son (yani, sürekli çizgiyi kapatan yönlendirilmiş bir bölüm olarak tasvir edilmiştir). Ayrıca kesikli çizgi kuralı da denir.

Paralelkenar kuralı

Paralelkenar kuralına göre iki vektörü (\displaystyle (\vec (a))) ve (\displaystyle (\vec (b))) toplamak için, bu vektörlerin her ikisi de kökenleri çakışacak şekilde kendilerine paralel olarak aktarılır. Daha sonra toplam vektörü, ortak orijinden başlayarak üzerlerine kurulan paralelkenarın köşegeniyle verilir.

Paralelkenar kuralı, her iki terimin de uygulandığı aynı noktaya hemen uygulanan toplam vektörünü tasvir etmeye ihtiyaç duyulduğunda özellikle uygundur; yani, üç vektörün tamamının genel başlangıç.

Vektör çıkarma

Koordinat formundaki farkı elde etmek için vektörlerin karşılık gelen koordinatlarını çıkarmanız gerekir:

‚ (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_(y)-b_(y),a_(z)-b_(z) ))

Fark vektörünü (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b)) elde etmek için, vektörlerin başlangıçları bağlanır ve vektörün başlangıcı (\displaystyle ( \vec (c))) son olacaktır (\displaystyle (\vec (b))) ve son da son olacaktır (\displaystyle (\vec (a))). Vektör noktalarını kullanarak yazarsak, AC-AB=BC(\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Bir vektörü bir sayıyla çarpmak

Vektörün (\displaystyle (\vec (a))) sayıyla (\displaystyle \alpha 0) çarpılması, uzunluğu (\displaystyle \alpha ) kat daha büyük olan eş yönlü bir vektör verir. Bir vektörü (\displaystyle (\vec (a))) bir sayıyla (\displaystyle \alpha) çarpmak, uzunluğu (\displaystyle \alpha ) kat daha büyük olan zıt yönlü bir vektör verir. Bir vektörü koordinat formundaki bir sayıyla çarpmak tüm koordinatların bu sayıyla çarpılmasıyla yapılır:

(\displaystyle \alpha (\vec (a))=(\alpha a_(x),\alpha a_(y),\alpha a_(z)))

Vektörlerin nokta çarpımıSkaler

Skaler çarpım, bir vektörün bir vektörle çarpılmasıyla elde edilen sayıdır. Formülle bulunur:

Skaler çarpım ayrıca vektörlerin uzunluğu ve aralarındaki açı aracılığıyla da bulunabilir. Vektörlerin uygulanması ilgili bilimler Fizikte vektörler Vektörler - güçlü araç matematik ve fizik. Mekaniğin ve elektrodinamiğin temel yasaları vektörler dilinde formüle edilmiştir. Fiziği anlamak için vektörlerle nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Matematikte olduğu gibi fizikte de vektör, sayısal değeri ve yönü ile karakterize edilen bir niceliktir. Fizikte kuvvet, konum, hız, ivme, tork, momentum, elektrik ve manyetik alan kuvveti gibi vektörel olan birçok önemli büyüklük vardır. Edebiyatta vektörler Ivan Andreevich Krylov'un "bir kuğu, bir kerevit ve bir turna balığının nasıl bir sürü bagaj taşımaya başladığı" hakkındaki masalını hatırlayalım. Masalda "arabanın hâlâ orada olduğu", yani arabaya uygulanan tüm kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olduğu belirtiliyor. Ve bildiğimiz gibi güç, vektör miktarı. Kimyada vektörler

Çoğu zaman büyük bilim adamları bile şu fikri dile getirdiler: Kimyasal reaksiyon bir vektördür. Aslında her olgu “vektör” kavramı altında toplanabilir. Bir vektör, büyüklüğüyle yansıtılan, uzayda ve belirli koşullarda net bir yönü olan bir eylemi veya olguyu ifade eder. Bir vektörün uzaydaki yönü, vektör ile koordinat eksenleri arasında oluşan açılarla belirlenir ve vektörün uzunluğu (büyüklüğü), başlangıç ​​ve bitiş koordinatları ile belirlenir.

Ancak kimyasal reaksiyonun vektör olduğu iddiası bugüne kadar doğru değildi. Ancak bu açıklamanın temeli sonraki kural: "Herhangi bir kimyasal reaksiyon, madde miktarları (mol), kütle veya hacim biçiminde mevcut koordinatlara sahip uzaydaki düz bir çizginin simetrik denklemine karşılık gelir."

Tüm doğrudan kimyasal reaksiyonlar orijinden geçer. Uzayda herhangi bir düz çizgiyi vektörlerle ifade etmek zor değildir, ancak bir kimyasal reaksiyonun düz çizgisi koordinat sisteminin orijininden geçtiği için, doğrudan kimyasal reaksiyonun vektörünün doğrudan doğrunun üzerinde bulunduğunu varsayabiliriz. ve yarıçap vektörü olarak adlandırılır. Bu vektörün orijini koordinat sisteminin orijini ile çakışmaktadır. Böylece şu sonuca varabiliriz: herhangi bir kimyasal reaksiyon, vektörünün uzaydaki konumu ile karakterize edilir. Biyolojide vektörler

Vektör (genetikte) - kullanılan bir nükleik asit molekülü, çoğunlukla DNA genetik mühendisliği iletim için Genetik materyal başka bir hücre.

Ekonomide vektörler

Bölümlerden biri yüksek Matematik dır-dir lineer Cebir. Unsurları çeşitli ekonomik sorunların çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlar arasında vektör kavramı önemli bir yer tutmaktadır.

Bir vektör, sıralı bir sayı dizisidir. Bir vektördeki sayılara, dizideki sayılara göre düzenlenmeleri dikkate alınarak, vektör bileşenleri denir. Vektörlerin ekonomik olanlar da dahil olmak üzere her türden unsur olarak değerlendirilebileceğini unutmayın. Belirli bir tekstil fabrikasının tek vardiyada 30 takım nevresim, 150 havlu, 100 bornoz üretmesi gerektiğini varsayalım; o zaman bu fabrikanın üretim programı, fabrikanın üretmesi gereken her şeyin üç boyutlu bir vektör olduğu bir vektör olarak temsil edilebilir. .

Psikolojide vektörler

Bugün var büyük miktar kendini tanıma, psikoloji alanları ve kişisel gelişim için bilgi kaynakları. Ve böyle alışılmadık bir yönün olduğunu fark etmek zor değil sistem-vektör psikolojisi, içinde 8 vektör var.

Günlük yaşamdaki vektörler

Kesin bilimlerin yanı sıra vektörlerin de her gün karşıma çıktığını fark ettim. Örneğin, parkta yürürken, bir ladin ağacının uzaydaki bir vektör örneği olarak kabul edilebileceğini fark ettim: alt kısmı vektörün başlangıcı ve ağacın tepesi vektörün sonu. Büyük mağazaları ziyaret ederken vektör görselli tabelalar, belirli bir departmanı hızlı bir şekilde bulmamıza ve zamandan tasarruf etmemize yardımcı olur.

Trafik işaretlerindeki vektörler

Her gün evden çıkıp yaya ya da sürücü olarak trafiğe katılıyoruz. Günümüzde hemen hemen her ailenin bir arabası var ve bu elbette tüm yol kullanıcılarının güvenliğini etkileyemez ancak etkileyemez. Yolda meydana gelebilecek kazalardan kaçınmak için tüm trafik kurallarına uymalısınız. Ancak hayatta her şeyin birbiriyle bağlantılı olduğunu ve en basit kuralcı trafik işaretlerinde bile matematikte vektör adı verilen yön oklarını gördüğümüzü unutmamalıyız. Bu oklar (vektörler) bize hareket yönlerini, hareket yönlerini, dolambaçlı yönleri ve çok daha fazlasını gösterir. Tüm bu bilgiler yol kenarlarındaki trafik işaretlerinden okunabilir.

Çözüm

Okuldaki matematik derslerinde tartıştığımız temel “vektör” kavramı, bölümler halinde çalışmanın temelini oluşturur. Genel Kimya, genel biyoloji, fizik ve diğer bilimler. İstenilen nesneyi bulmaya yardımcı olan, zamandan tasarruf sağlayan, yol işaretlerinde kuralcı bir işlev gören vektörlere yaşamda ihtiyaç duyulduğunu gözlemliyorum.

sonuçlar

Her insan günlük yaşamda sürekli olarak vektörlerle karşılaşır.

Sadece matematik değil diğer bilimleri de incelemek için vektörlere ihtiyacımız var.

Herkes vektörün ne olduğunu bilmeli.

Kaynaklar

Bashmakov M.A. Vektör nedir? - 2. baskı, ster. - M.: Kvant, 1976.-221p.

Vygodsky M.Ya. Handbook of Elementary Math.-3. baskı, silindi. - M.: Nauka, 1978.-186 s.

Gusyatnikov P.B. Vektör cebiriörnekler ve problemlerde - 2. baskı, - M.: Yüksek Lisans, 1985.-302s.

Zaitsev V.V. İlköğretim matematik. Tekrarlanan kurs. - 3. baskı, ster. - M.: Nauka, 1976. - 156 s.

Coxeter G.S. Geometriyle yeni karşılaşmalar.-2. baskı, silindi. - M.: Nauka, 1978.-324 s.

Pogorelov A.V. Analitik geometri - 3. baskı, silindi. - M.: Kvant, 1968.-235 s.

İlk seviye

Koordinatlar ve vektörler. Kapsamlı rehber (2019)

Bu makalede, birçok geometri problemini basit aritmetiğe indirgemenizi sağlayacak bir "sihirli değnek"i tartışmaya başlayacağız. Bu "çubuk", özellikle mekansal figürler, bölümler vb. oluşturma konusunda emin olmadığınız durumlarda hayatınızı çok daha kolaylaştırabilir. Bütün bunlar, belirli bir hayal gücü ve pratik beceriler gerektirir. Burada ele almaya başlayacağımız yöntem, her türden neredeyse tamamen soyutlama yapmanızı sağlayacaktır. geometrik yapılar ve muhakeme. Yöntem denir "koordinat yöntemi". Bu yazıda aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Koordinat uçağı
2. Düzlemdeki noktalar ve vektörler
3. İki noktadan bir vektör oluşturma
4. Vektör uzunluğu (iki nokta arasındaki mesafe)​
5. Segmentin ortasının koordinatları
6. Vektörlerin nokta çarpımı
7. İki vektör arasındaki açı

Koordinat yöntemine neden böyle denildiğini zaten tahmin ettiğinizi düşünüyorum. Doğru, geometrik nesnelerle değil, onların cisimleriyle çalıştığı için bu ismi almıştır. sayısal özellikler(koordinatlar). Geometriden cebire geçmemizi sağlayan dönüşümün kendisi de bir koordinat sisteminin tanıtılmasından ibarettir. Orijinal şekil düzse koordinatlar iki boyutludur, şekil üç boyutluysa koordinatlar üç boyutludur. Bu yazıda sadece iki boyutlu durumu ele alacağız. Ve makalenin asıl amacı size bazılarının nasıl kullanılacağını öğretmektir. temel teknikler koordinat yöntemi (bazen Birleşik Devlet Sınavının B Bölümündeki planimetri ile ilgili problemleri çözerken yararlı oldukları ortaya çıkar). Bu konuyla ilgili sonraki iki bölüm, C2 problemlerini (stereometri problemi) çözme yöntemlerinin tartışılmasına ayrılmıştır.

Koordinat yöntemini tartışmaya nereden başlamak mantıklı olur? Muhtemelen koordinat sistemi kavramından. Onunla ilk karşılaştığınız zamanı hatırlayın. Bana öyle geliyor ki 7. sınıfta varoluşu öğrendiğinde doğrusal fonksiyon, Örneğin. Bunu nokta nokta inşa ettiğinizi hatırlatmama izin verin. Hatırlıyor musun? Rastgele bir sayı seçtiniz, bunu formülde yerine koydunuz ve bu şekilde hesapladınız. Örneğin, eğer, o zaman, eğer, o zaman vb. Sonunda ne elde ettiniz? Ve koordinatları olan puanlar aldınız: ve. Daha sonra bir “çapraz” (koordinat sistemi) çizdiniz, üzerinde bir ölçek seçtiniz (birim segment olarak kaç hücreye sahip olacağınız) ve elde ettiğiniz noktaları üzerinde işaretleyerek bunları düz bir çizgiyle birleştirdiniz; çizgi fonksiyonun grafiğidir.

Burada size biraz daha ayrıntılı olarak anlatılması gereken birkaç nokta var:

1. Birim segmenti kolaylık sağlamak için seçim yaparsınız, böylece her şey çizime güzel ve kompakt bir şekilde sığar

2. Eksenin soldan sağa, eksenin aşağıdan yukarıya doğru gittiği kabul edilir.

3. Dik açılarda kesişirler ve kesiştikleri noktaya orijin denir. Bir harfle belirtilir.

4. Bir noktanın koordinatlarını yazarken, örneğin, parantez içinde solda noktanın eksen boyunca ve sağda eksen boyunca koordinatları vardır. Özellikle, bu şu anlama gelir:

5. Herhangi bir noktayı belirlemek için koordinat ekseni koordinatlarını belirtmeniz gerekir (2 sayı)

6. Eksen üzerinde yer alan herhangi bir nokta için,

7. Eksen üzerinde yer alan herhangi bir nokta için,

8. Eksene x ekseni denir

9. Eksen y ekseni olarak adlandırılır

Şimdi bir sonraki adıma geçelim: iki noktayı işaretleyin. Bu iki noktayı bir doğru parçasıyla birleştirelim. Ve sanki noktadan noktaya bir doğru parçası çiziyormuşuz gibi oku koyacağız: yani parçamızı yönlendirilmiş hale getireceğiz!

Başka bir yönlü segmentin ne dendiğini hatırlıyor musunuz? Doğru, buna vektör deniyor!

Yani noktayı noktaya bağlarsak, ve başlangıç ​​A noktası olacak ve son B noktası olacak, sonra bir vektör elde ederiz. Sen de bu inşaatı 8. sınıfta yapmıştın, hatırladın mı?

Noktalar gibi vektörlerin de iki sayı ile gösterilebileceği ortaya çıktı: bu sayılara vektör koordinatları denir. Soru: Bir vektörün koordinatlarını bulmak için başlangıç ​​ve bitiş koordinatlarını bilmemiz sizce yeterli midir? Görünüşe göre evet! Ve bu çok basit bir şekilde yapılır:

Böylece, bir vektörde nokta başlangıç ​​ve nokta son olduğundan, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Örneğin, eğer öyleyse vektörün koordinatları

Şimdi bunun tersini yapalım, vektörün koordinatlarını bulalım. Bunun için neyi değiştirmemiz gerekiyor? Evet, başlangıcı ve bitişi değiştirmeniz gerekiyor: şimdi vektörün başlangıcı noktada olacak ve sonu da noktada olacak. Daha sonra:

Dikkatlice bakın, vektörler arasındaki fark nedir? Tek farkları koordinatlardaki işaretlerdir. Onlar zıttır. Bu gerçek genellikle şu şekilde yazılır:

Bazen, hangi noktanın vektörün başlangıcı ve hangisinin sonu olduğu özellikle belirtilmezse, vektörler iki büyük harfle değil, bir küçük harfle gösterilir, örneğin: , vb.

Şimdi biraz pratik kendiniz ve aşağıdaki vektörlerin koordinatlarını bulun:

Muayene:

Şimdi biraz daha zor bir problemi çözün:

Bir noktada başlangıcı olan bir vektörün co-or-di-na-you'su vardır. Abs-cis-su noktalarını bulun.

Yine de oldukça sıradan: Noktanın koordinatları olsun. Daha sonra

Sistemi vektör koordinatlarının ne olduğunun tanımına göre derledim. O halde noktanın koordinatları vardır. Apsisle ilgileniyoruz. Daha sonra

Cevap:

Vektörlerle başka neler yapabilirsiniz? Evet hemen hemen her şey aynı sıradan sayılar(Bölme yapamazsınız ancak iki şekilde çarpabilirsiniz; bunlardan birini biraz sonra burada tartışacağız)

1. Vektörler birbirine eklenebilir
2. Vektörler birbirinden çıkarılabilir
3. Vektörler sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılabilir (veya bölünebilir)
4. Vektörler birbirleriyle çarpılabilir

Bütün bu operasyonların çok açık bir amacı var. geometrik gösterim. Örneğin, toplama ve çıkarma için üçgen (veya paralelkenar) kuralı:

Bir vektör bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde uzar, daralır veya yön değiştirir:

Ancak burada koordinatlara ne olacağı sorusuyla ilgileneceğiz.

1. İki vektörü toplarken (çıkarırken), bunların koordinatlarını öğe öğe ekleriz (çıkarırız). Yani:

2. Bir vektörü bir sayıyla çarparken (bölerken), tüm koordinatları bu sayıyla çarpılır (bölülür):

Örneğin:

· Yüzyıldan bugüne eş-or-di-nat miktarını bulun.

Önce vektörlerin her birinin koordinatlarını bulalım. İkisi de aynı kökene sahiptir; başlangıç ​​noktası. Bunların sonu farklıdır. Daha sonra, . Şimdi vektörün koordinatlarını hesaplayalım. O halde ortaya çıkan vektörün koordinatlarının toplamı eşittir.

Cevap:

Şimdi aşağıdaki sorunu kendiniz çözün:

· Vektör koordinatlarının toplamını bulun

Kontrol ediyoruz:

Şimdi şu problemi ele alalım: üzerinde iki noktamız var. koordinat uçağı. Aralarındaki mesafe nasıl bulunur? Birinci nokta ve ikincisi olsun. Aralarındaki mesafeyi ile gösterelim. Açıklık sağlamak için aşağıdaki çizimi yapalım:

Ne yaptım? Öncelikle noktaları birleştirdim ve ayrıca noktadan eksene paralel bir çizgi çizdim, noktadan da eksene paralel bir çizgi çizdim. Bir noktada kesişerek dikkat çekici bir şekil mi oluşturdular? Onun nesi bu kadar özel? Evet, sen ve ben neredeyse her şeyi biliyoruz dik üçgen. Elbette Pisagor teoremi. Gerekli bölüm bu üçgenin hipotenüsüdür ve bölümler bacaklardır. Noktanın koordinatları nelerdir? Evet, resimden bulmak kolaydır: Parçalar eksenlere paralel olduğundan ve sırasıyla uzunluklarını bulmak kolaydır: Parçaların uzunluklarını sırasıyla ile belirtirsek, o zaman

Şimdi Pisagor teoremini kullanalım. Bacakların uzunluklarını biliyoruz, hipotenüsü bulacağız:

Dolayısıyla iki nokta arasındaki mesafe, koordinatlardan olan farkların karelerinin toplamının köküdür. Veya - iki nokta arasındaki mesafe, onları birleştiren parçanın uzunluğudur.

Noktalar arasındaki mesafenin yöne bağlı olmadığını görmek kolaydır. Daha sonra:

Buradan üç sonuç çıkarıyoruz:

İki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama konusunda biraz pratik yapalım:

Örneğin, eğer ve arasındaki mesafe şuna eşitse:

Veya başka bir yoldan gidelim: vektörün koordinatlarını bulun

Ve vektörün uzunluğunu bulun:

Gördüğünüz gibi aynı şey!

Şimdi biraz kendiniz pratik yapın:

Görev: Belirtilen noktalar arasındaki mesafeyi bulun:

Kontrol ediyoruz:

Kulağa biraz farklı gelse de, aynı formülü kullanan birkaç problem daha var:

1. Göz kapağı uzunluğunun karesini bulun.

2. Göz kapağı uzunluğunun karesini bulun

1. Bu da dikkat içindir) Vektörlerin koordinatlarını daha önce bulmuştuk: . O halde vektörün koordinatları vardır. Uzunluğunun karesi şuna eşit olacaktır:

2. Vektörün koordinatlarını bulun

O zaman uzunluğunun karesi

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Basit aritmetik, başka bir şey değil.

Aşağıdaki sorunlar açıkça sınıflandırılamaz; genel bilgi ve basit resimler çizme yeteneği.

1. Noktayı apsis eksenine bağlayan kesimden gelen açının sinüsünü bulun.

Ve

Burada nasıl ilerleyeceğiz? Eksen ile arasındaki açının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Sinüs'ü nerede arayabiliriz? Bu doğru, bir dik üçgende. Peki ne yapmamız gerekiyor? Bu üçgeni inşa edin!

Noktanın koordinatları ve olduğundan, segment eşittir ve segmenttir. Açının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Size sinüsün bir oran olduğunu hatırlatmama izin verin ters taraf o zaman hipotenüse

Bize yapacak ne kaldı? Hipotenüsü bulun. Bunu iki şekilde yapabilirsiniz: Pisagor teoremini kullanarak (bacaklar bilinir!) veya iki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak (aslında ilk yöntemle aynı şeydir!). Ben ikinci yola gideceğim:

Cevap:

Bir sonraki görev size daha da kolay görünecek. Noktanın koordinatlarında.

Görev 2. Per-pen-di-ku-lyar'ın ab-ciss eksenine indirildiği noktadan itibaren. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir çizim yapalım:

Bir dikmenin tabanı x eksenini (ekseni) kestiği noktadır, benim için bu bir noktadır. Şekil koordinatlara sahip olduğunu göstermektedir: . Apsisle yani “x” bileşeniyle ilgileniyoruz. O eşittir.

Cevap: .

Görev 3.Önceki problemin koşullarında, noktadan koordinat eksenlerine olan mesafelerin toplamını bulun.

Bir noktadan eksenlere olan mesafenin ne olduğunu biliyorsanız, görev genellikle basittir. Bilirsin? Umarım ama yine de şunu hatırlatırım:

Peki, hemen yukarıdaki çizimimde zaten böyle bir dik çizgi çizmiş miydim? Hangi eksendedir? Eksene. Peki uzunluğu ne kadardır? O eşittir. Şimdi eksene kendiniz dik bir çizgi çizin ve uzunluğunu bulun. Eşit olacak değil mi? O zaman toplamları eşittir.

Cevap: .

Görev 4. Görev 2 koşullarında, apsis eksenine göre noktaya simetrik bir noktanın koordinatını bulun.

Simetrinin ne olduğu sizin için sezgisel olarak açık sanırım? Pek çok nesnede bu var: pek çok bina, masa, uçak, pek çok geometrik şekiller: top, silindir, kare, eşkenar dörtgen vb. Kabaca söylemek gerekirse simetri şu şekilde anlaşılabilir: bir şekil iki (veya daha fazla) özdeş yarıdan oluşur. Bu simetriye eksenel simetri denir. O halde eksen nedir? Bu tam olarak şeklin göreceli olarak eşit yarıya "kesilebileceği" çizgidir (bu resimde simetri ekseni düzdür):

Şimdi görevimize geri dönelim. Eksene göre simetrik olan bir nokta aradığımızı biliyoruz. O halde bu eksen simetri eksenidir. Bu, eksenin parçayı iki eşit parçaya keseceği bir noktayı işaretlememiz gerektiği anlamına gelir. Böyle bir noktayı kendiniz işaretlemeye çalışın. Şimdi benim çözümümle karşılaştırın:

Sizin için de aynı şekilde mi sonuçlandı? İyi! Bulunan noktanın koordinatıyla ilgileniyoruz. Eşittir

Cevap:

Şimdi söyleyin bana, birkaç saniye düşündükten sonra, ordinat eksenine göre A noktasına simetrik olan bir noktanın apsisi ne olur? Cevabınız nedir? Doğru cevap: .

İÇİNDE Genel dava kural şu ​​şekilde yazılabilir:

Apsis eksenine göre bir noktaya simetrik bir noktanın koordinatları vardır:

Ordinat eksenine göre bir noktaya simetrik bir noktanın koordinatları vardır:

Eh, şimdi tamamen korkutucu görev: orijine göre noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatlarını bulun. Önce kendin düşün, sonra çizimime bak!

Cevap:

Şimdi paralelkenar problemi:

Görev 5: Noktalar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma olarak görünür. Bu noktada or-di'yi bulun.

Bu sorunu iki şekilde çözebilirsiniz: mantık ve koordinat yöntemi. Önce koordinat yöntemini kullanacağım, sonra size bunu nasıl farklı şekilde çözebileceğinizi anlatacağım.

Noktanın apsisinin eşit olduğu oldukça açıktır. (noktadan apsis eksenine çizilen dik üzerinde yer alır). Ordinatı bulmamız gerekiyor. Şeklimizin paralelkenar olmasından yararlanalım, bu şu anlama geliyor. İki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulalım:

Noktayı eksene bağlayan dikmeyi indiriyoruz. Kesişme noktasını harfle belirteceğim.

Segmentin uzunluğu eşittir. (bu noktayı tartıştığımız yerde sorunu kendiniz bulun), sonra Pisagor teoremini kullanarak parçanın uzunluğunu bulacağız:

Bir parçanın uzunluğu tam olarak ordinatıyla çakışır.

Cevap: .

Başka bir çözüm (Sadece bunu gösteren bir resim vereceğim)

Çözüm ilerlemesi:

1. Davranış

2. Nokta koordinatlarını ve uzunluğunu bulun

3. Bunu kanıtlayın.

Bir diğeri bölüm uzunluğu sorunu:

Noktalar üçgenlerin üstünde görünür. Orta çizgisinin paralel uzunluğunu bulun.

Ne olduğunu hatırlıyor musun? orta hatüçgen? O zaman bu görev sizin için temeldir. Hatırlamıyorsanız hatırlatayım: Üçgenin orta çizgisi, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren çizgidir. Tabana paralel ve yarısına eşittir.

Taban bir segmenttir. Uzunluğunu daha önce aramamız gerekiyordu, eşit. Daha sonra orta çizginin uzunluğu yarısı kadar büyük ve eşittir.

Cevap: .

Yorum Yap: Bu sorun, biraz sonra ele alacağımız başka bir şekilde çözülebilir.

Bu arada, işte size birkaç problem; onlarla pratik yapın, çok basitler ama koordinat yöntemini kullanmada daha iyi olmanıza yardımcı oluyorlar!

1. Noktalar tra-pe-tion'ların en üst noktasıdır. Orta çizgisinin uzunluğunu bulun.

2. Noktalar ve görünümler ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Bu noktada or-di'yi bulun.

3. Noktayı birleştirerek kesimden itibaren uzunluğu bulun ve

4. Koordinat düzleminde renkli şeklin arkasındaki alanı bulun.

5. Merkezi na-cha-le ko-or-di-nat'ta olan bir daire bu noktadan geçiyor. Onun yarıçapını bulun.

6. Çemberin-di-te ra-di-us'unu bulun, dik açı hakkında-san-noy-no-ka'yı tanımlayın, bir şeyin üst kısımlarının bir ko-veya -di-na-varlığı var, o kadar sorumlusunuz ki

Çözümler:

1. Bir yamuğun orta çizgisinin tabanlarının toplamının yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Taban eşittir ve taban. Daha sonra

Cevap:

2. Bu problemi çözmenin en kolay yolu (paralelkenar kuralı) olduğunu not etmektir. Vektörlerin koordinatlarını hesaplamak zor değildir: . Vektörleri eklerken koordinatlar eklenir. Sonra koordinatları var. Vektörün orijini koordinatların olduğu nokta olduğundan nokta da bu koordinatlara sahiptir. Ordinatla ilgileniyoruz. O eşittir.

Cevap:

3. Hemen iki nokta arasındaki mesafe formülüne göre hareket ediyoruz:

Cevap:

4. Resme bakın ve gölgeli alanın hangi iki şeklin arasına sıkıştırıldığını söyleyin? İki kare arasına sıkıştırılmıştır. Daha sonra istenen şeklin alanı, büyük karenin alanından küçük olanın alanına eşittir. Taraf küçük kare noktaları birleştiren bir segmenttir ve uzunluğu

O zaman küçük karenin alanı

Aynısını büyük bir kare için yapıyoruz: kenarı noktaları birleştiren bir segmenttir ve uzunluğu

O halde büyük karenin alanı

İstenilen şeklin alanını aşağıdaki formülü kullanarak buluyoruz:

Cevap:

5. Bir dairenin merkezi orijine sahipse ve bir noktadan geçiyorsa, yarıçapı tam olarak parçanın uzunluğuna eşit olacaktır (bir çizim yapın ve bunun neden açık olduğunu anlayacaksınız). Bu parçanın uzunluğunu bulalım:

Cevap:

6. Bir dikdörtgenin çevrelediği dairenin yarıçapının yarıya eşit onun köşegenleri. İki köşegenden herhangi birinin uzunluğunu bulalım (sonuçta dikdörtgende bunlar eşittir!)

Cevap:

Peki her şeyin üstesinden geldin mi? Bunu anlamak çok zor olmadı değil mi? Burada tek bir kural var - görsel bir resim oluşturabilmek ve içindeki tüm verileri basitçe "okuyabilmek".

Çok az şeyimiz kaldı. Aslında tartışmak istediğim iki nokta daha var.

Bu basit sorunu çözmeye çalışalım. İki puan verelim. Doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulun. Bu sorunun çözümü şu şekildedir: Nokta istenen orta olsun, o zaman koordinatları vardır:

Yani: parçanın ortasının koordinatları = parçanın uçlarının karşılık gelen koordinatlarının aritmetik ortalaması.

Bu kural çok basittir ve genellikle öğrenciler için zorluk yaratmaz. Hangi problemlerde ve nasıl kullanıldığını görelim:

1. Kesimden-di-te veya-di-na-tu se-re-di-ny'yi bulun, noktayı bağlayın ve

2. Puanlar dünyanın zirvesi gibi görünüyor. Dia-go-na-ley'in per-re-se-che-niya'sını bul.

3. Çemberin merkezini bulun, dikdörtgen-no-ka hakkında-san-noy'u tanımlayın, bir şeyin üstleri co-or-di-na-you-sorumlu bir şekilde-ama var.

Çözümler:

1. İlk sorun tam bir klasiktir. Segmentin ortasını belirlemek için hemen ilerliyoruz. Koordinatları var. Ordinat eşittir.

Cevap:

2. Bu dörtgenin bir paralelkenar (hatta bir eşkenar dörtgen) olduğunu görmek kolaydır. Kenar uzunluklarını hesaplayıp birbirleriyle karşılaştırarak bunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz. Paralelkenarlar hakkında ne biliyorum? Köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünmüştür! Evet! Peki köşegenlerin kesişme noktası nedir? Bu herhangi bir köşegenin ortasıdır! Özellikle köşegeni seçeceğim. O zaman noktanın koordinatları vardır. Noktanın ordinatı eşittir.

Cevap:

3. Dikdörtgenin çevrelediği dairenin merkezi neyle çakışmaktadır? Köşegenlerinin kesişme noktasına denk gelir. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz? Eşittirler ve kesişme noktası onları ikiye böler. Görev bir öncekine indirildi. Örneğin köşegeni ele alalım. O zaman çevrel çemberin merkezi ise orta noktadır. Koordinatları arıyorum: Apsis eşittir.

Cevap:

Şimdi kendi başınıza biraz pratik yapın, kendinizi test edebilmeniz için her sorunun cevabını vereceğim.

1. Çemberin yarıçapını bulun, üçgen açıyı tanımlayın-no-ka, bir şeyin üst kısımlarında bir co-or-di -no misters var

2. Çemberin merkezini bulun-di-te veya-di-on-noy'u, üstleri koordinatlara sahip olan üçgen-no-ka hakkında tanımlayın

3. Ab-ciss eksenine karşılık gelecek şekilde merkezi bir noktada olan bir dairenin yarıçapı nasıl olmalıdır?

4. Eksenin yeniden kesildiği noktayı bulun ve kesip noktayı birleştirin ve

Yanıtlar:

Her şey başarılı mıydı? Bunu gerçekten umuyorum! Şimdi - son itiş. Şimdi özellikle dikkatli olun. Şimdi açıklayacağım materyal sadece Kısım B'deki koordinat yöntemindeki basit problemlerle doğrudan ilgili değil, aynı zamanda Problem C2'nin her yerinde bulunuyor.

Hangi sözlerimi henüz tutmadım? Vektörler üzerinde hangi işlemleri tanıtmaya söz verdiğimi ve hangilerini sonuçta tanıttığımı hatırlıyor musunuz? Hiçbir şeyi unutmadığıma emin misin? Unutmuş olmak! Vektör çarpımının ne anlama geldiğini açıklamayı unuttum.

Bir vektörü bir vektörle çarpmanın iki yolu vardır. Seçilen yönteme bağlı olarak farklı nitelikteki nesneler elde edeceğiz:

Çapraz çarpım oldukça akıllıca yapılmıştır. Bir sonraki makalede bunun nasıl yapılacağını ve neden gerekli olduğunu tartışacağız. Ve bunda skaler çarpıma odaklanacağız.

Bunu hesaplamamıza izin veren iki yol vardır:

Tahmin ettiğiniz gibi sonuç aynı olmalı! O halde önce ilk yönteme bakalım:

Koordinatlar aracılığıyla nokta çarpımı

Bul: - skaler çarpım için genel kabul görmüş gösterim

Hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

Yani skaler çarpım = vektör koordinatlarının çarpımlarının toplamı!

Örnek:

Bul-di-te

Çözüm:

Her bir vektörün koordinatlarını bulalım:

Skaler çarpımı aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz:

Cevap:

Bakın kesinlikle karmaşık bir şey yok!

Peki, şimdi kendiniz deneyin:

· Yüzyılların skaler bir pro-iz-ve-de-nie'sini bulun ve

Becerebildin mi? Belki küçük bir yakalama fark ettiniz? Hadi kontrol edelim:

Önceki problemde olduğu gibi vektör koordinatları! Cevap: .

Koordinat olana ek olarak, skaler çarpımı hesaplamanın başka bir yolu da vardır, yani vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsü aracılığıyla:

Ve vektörleri arasındaki açıyı belirtir.

Yani skaler çarpım, vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir.

Madem ki çok daha basit olan birinci formüle sahibiz, en azından içinde kosinüs yok, bu ikinci formüle neden ihtiyacımız var? Ve birinci ve ikinci formüllerden vektörler arasındaki açıyı nasıl bulacağımızı çıkarabilmemiz için buna ihtiyaç var!

O zaman vektörün uzunluğunun formülünü hatırlayalım!

Daha sonra bu verileri skaler çarpım formülünde değiştirirsem şunu elde ederim:

Ama başka bir şekilde:

Peki sen ve ben ne elde ettik? Artık iki vektör arasındaki açıyı hesaplamamızı sağlayan bir formülümüz var! Bazen kısa olması açısından şu şekilde de yazılır:

Yani, vektörler arasındaki açıyı hesaplamak için kullanılan algoritma aşağıdaki gibidir:

1. Koordinatlar aracılığıyla skaler çarpımı hesaplayın
2. Vektörlerin uzunluklarını bulun ve çarpın
3. 1. noktanın sonucunu 2. noktanın sonucuna bölün

Örneklerle pratik yapalım:

1. Göz kapakları ile arasındaki açıyı bulun. Cevabı grad-du-sah'ta verin.

2. Önceki problemin koşullarında vektörler arasındaki kosinüsü bulun

Haydi şunu yapalım: İlk sorunu çözmenize yardım edeceğim ve ikincisini kendiniz yapmaya çalışın! Kabul etmek? O zaman başlayalım!

1. Bu vektörler bizim eski dostlarımızdır. Skaler çarpımlarını zaten hesaplamıştık ve eşitti. Koordinatları: , . Sonra uzunluklarını buluyoruz:

Daha sonra vektörler arasındaki kosinüsü ararız:

Açının kosinüsü nedir? Burası köşe.

Cevap:

Şimdi ikinci sorunu kendiniz çözün ve sonra karşılaştırın! Çok kısa bir çözüm sunacağım:

2. Koordinatları vardır, koordinatları vardır.

Vektörler arasındaki açı olsun ve sonra

Cevap:

B bölümünde doğrudan vektörler ve koordinat yöntemi ile ilgili problemlerin olduğu belirtilmelidir. sınav kağıdı oldukça nadir. Ancak C2 problemlerinin büyük çoğunluğu bir koordinat sistemi getirilerek kolayca çözülebilir. Yani bu makaleyi, çözmemiz gereken oldukça akıllı yapılar yapacağımız temel olarak düşünebilirsiniz. karmaşık görevler.

KOORDİNATLAR VE VEKTÖRLER. ORTALAMA SEVİYE

Sen ve ben koordinat yöntemini incelemeye devam ediyoruz. Son bölümde bir seri elde ettik önemli formüller, şunları sağlar:

1. Vektör koordinatlarını bulun
2. Bir vektörün uzunluğunu bulun (alternatif olarak: iki nokta arasındaki mesafe)
3. Vektörleri ekleyin ve çıkarın. Bunları çarpın gerçek Numara
4. Bir segmentin orta noktasını bulun
5. Vektörlerin nokta çarpımını hesaplayın
6. Vektörler arasındaki açıyı bulun

Elbette koordinat yönteminin tamamı bu 6 noktaya sığmıyor. Üniversitede aşina olacağınız analitik geometri gibi bir bilimin temelini oluşturur. Sorunları tek bir eyalette çözmenize olanak sağlayacak bir temel oluşturmak istiyorum. sınav. Bölüm B'nin görevlerini ele aldık. Şimdi tamamen yeni bir seviyeye geçme zamanı! Bu makale, koordinat yöntemine geçmenin mantıklı olacağı C2 problemlerini çözmeye yönelik bir yönteme ayrılacaktır. Bu makullük problemde neyin bulunması gerektiği ve hangi rakamın verildiği ile belirlenir. Dolayısıyla sorular şu şekildeyse koordinat yöntemini kullanırdım:

1. İki düzlem arasındaki açıyı bulun
2. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun
3. İki düz çizgi arasındaki açıyı bulun
4. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun
5. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun
6. Düz bir çizgiden bir düzleme olan mesafeyi bulun
7. İki çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Problem cümlesinde verilen şekil bir dönel cisim ise (top, silindir, koni...)

Koordinat yöntemi için uygun rakamlar şunlardır:

1. Dikdörtgen paralel yüzlü
2. Piramit (üçgen, dörtgen, altıgen)

Ayrıca deneyimlerime göre için koordinat yöntemini kullanmak uygun değildir.:

1. Kesit alanlarını bulma
2. Vücut hacimlerinin hesaplanması

Ancak şunu hemen belirtmek gerekir ki koordinat yöntemi için üç "olumsuz" durum pratikte oldukça nadirdir. Çoğu görevde, özellikle üç boyutlu yapılarda (bazen oldukça karmaşık olabilen) çok güçlü değilseniz kurtarıcınız olabilir.

Yukarıda listelediğim tüm rakamlar nelerdir? Artık örneğin bir kare, bir üçgen, bir daire gibi düz değiller, hacimlidirler! Buna göre iki boyutlu değil, iki boyutlu düşünmemiz gerekiyor. üç boyutlu sistem koordinatlar Oluşturulması oldukça kolaydır: apsis ve ordinat eksenine ek olarak başka bir eksen, uygulama ekseni tanıtacağız. Şekil şematik olarak göreceli konumlarını göstermektedir:

Hepsi birbirine diktir ve koordinatların orijini diyeceğimiz bir noktada kesişirler. Daha önce olduğu gibi apsis eksenini, ordinat eksenini ve tanıtılan uygulama eksenini - göstereceğiz.

Daha önce düzlemdeki her nokta iki sayıyla (apsis ve ordinat) tanımlanıyorsa, uzaydaki her nokta zaten üç sayıyla (apsis, ordinat ve aplike) tanımlanıyordu. Örneğin:

Buna göre bir noktanın apsisi eşittir, ordinatı dır ve uygulaması dır.

Bazen bir noktanın apsisine, bir noktanın apsis eksenine izdüşümü, ordinat - bir noktanın ordinat eksenine izdüşümü ve uygulama - bir noktanın uygulama eksenine izdüşümü de denir. Buna göre bir nokta verilirse koordinatları olan bir nokta:

bir noktanın düzleme izdüşümüne denir

bir noktanın düzleme izdüşümüne denir

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: İki boyutlu durum için türetilen tüm formüller uzayda geçerli midir? Cevap evet, adil ve aynı görünüme sahipler. Küçük bir detay için. Sanırım hangisi olduğunu zaten tahmin ettiniz. Tüm formüllerde uygulama ekseninden sorumlu bir terim daha eklememiz gerekecek. Yani.

1. Eğer iki puan verilirse: , o zaman:

• Vektör koordinatları:
• İki nokta arasındaki mesafe (veya vektör uzunluğu)
• Segmentin orta noktasının koordinatları vardır

2. Eğer iki vektör verilirse: ve, o zaman:

• Bunların skaler çarpımı şuna eşittir:
• Vektörler arasındaki açının kosinüsü şuna eşittir:

Ancak uzay o kadar basit değil. Anladığınız gibi, bir koordinat daha eklemek, bu alanda "yaşayan" figürlerin yelpazesine önemli bir çeşitlilik katıyor. Ve daha fazla anlatım için, kabaca konuşursak, düz çizginin bazı "genellemelerini" tanıtmam gerekecek. Bu “genelleme” bir düzlem olacaktır. Uçak hakkında ne biliyorsun? Uçak nedir sorusunu cevaplamaya çalışın. Bunu söylemek çok zor. Ancak hepimiz sezgisel olarak bunun neye benzediğini hayal ederiz:

Kabaca söylemek gerekirse, bu uzaya sıkışmış bir tür sonsuz "çarşaftır". “Sonsuzluk”, düzlemin her yöne uzandığı, yani alanının sonsuza eşit olduğu anlaşılmalıdır. Ancak bu “uygulamalı” açıklama, uçağın yapısı hakkında en ufak bir fikir vermiyor. Ve bizimle ilgilenecek olan odur.

Geometrinin temel aksiyomlarından birini hatırlayalım:

• Düz bir çizgi, düzlem üzerinde iki farklı noktadan geçer ve yalnızca bir tanesi:

Veya uzaydaki analogu:

Tabii ki, bir çizginin denklemini verilen iki noktadan nasıl çıkaracağınızı hatırlıyorsunuz; bu hiç de zor değil: eğer ilk noktanın koordinatları varsa: ve ikincisi, o zaman çizginin denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

Bunu 7. sınıfta almıştın. Uzayda bir çizginin denklemi şuna benzer: Bize koordinatları olan iki nokta verilse: o zaman bunlardan geçen çizginin denklemi şu şekilde olur:

Örneğin bir çizgi noktalardan geçer:

Bu nasıl anlaşılmalıdır? Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: Koordinatları aşağıdaki sistemi sağlıyorsa, bir nokta bir çizgi üzerinde yer alır:

Doğrunun denklemiyle pek ilgilenmeyeceğiz ama en çok dikkat etmemiz gerekiyor. önemli kavram vektör düz çizgiyi yönlendiren. - belirli bir çizgi üzerinde veya ona paralel olan sıfırdan farklı herhangi bir vektör.

Örneğin, her iki vektör de bir düz çizginin yön vektörleridir. Bir doğru üzerinde uzanan bir nokta ve onun yön vektörü olsun. O zaman doğrunun denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir:

Bir kez daha söylüyorum, düz çizgi denklemiyle pek ilgilenmeyeceğim ama yön vektörünün ne olduğunu hatırlamanıza gerçekten ihtiyacım var! Tekrar: bu bir doğru üzerinde veya ona paralel uzanan sıfırdan farklı HERHANGİ bir vektördür.

Geri çekilmek verilen üç noktaya dayalı bir düzlemin denklemi artık o kadar önemsiz değil ve genellikle bu konu kursta ele alınmıyor lise. Ama boşuna! Karmaşık sorunları çözmek için koordinat yöntemine başvurduğumuzda bu teknik hayati önem taşır. Ancak yeni bir şeyler öğrenmeye hevesli olduğunuzu varsayıyorum? Üstelik, genellikle derste işlenen tekniği zaten kullanabildiğiniz ortaya çıktığında üniversitedeki öğretmeninizi etkileyebileceksiniz. analitik geometri. Öyleyse başlayalım.

Bir düzlemin denklemi, bir düzlem üzerindeki düz bir çizginin denkleminden çok farklı değildir, yani şu şekildedir:

bazı sayılar (hepsi değil) sıfıra eşit) ve değişkenler, örneğin: vb. Gördüğünüz gibi bir düzlemin denklemi düz bir çizginin denkleminden (doğrusal fonksiyon) çok farklı değildir. Ancak sen ve ben ne tartıştık hatırlıyor musun? Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktamız varsa, o zaman düzlemin denkleminin bunlardan benzersiz bir şekilde yeniden oluşturulabileceğini söyledik. Ama nasıl? Size bunu açıklamaya çalışacağım.

Düzlemin denklemi şu olduğundan:

Ve noktalar bu düzleme aitse, her noktanın koordinatlarını düzlem denkleminde yerine koyarken doğru kimliği elde etmeliyiz:

Bu nedenle bilinmeyen üç denklemin çözülmesi gerekiyor! İkilem! Ancak bunu her zaman varsayabilirsiniz (bunu yapmak için bölmeniz gerekir). Böylece üç bilinmeyenli üç denklem elde ederiz:

Ancak böyle bir sistemi çözmeyeceğiz, ondan çıkan gizemli ifadeyi yazacağız:

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Durmak! Bu nedir? Çok sıradışı bir modül! Ancak karşınızda gördüğünüz nesnenin modülle hiçbir ilgisi yoktur. Bu nesneye üçüncü dereceden determinant denir. Artık düzlemde koordinat yöntemiyle uğraştığınızda aynı determinantlarla çok sık karşılaşacaksınız. Üçüncü dereceden determinant nedir? İşin tuhafı, bu sadece bir sayı. Belirleyiciyle hangi belirli sayıyı karşılaştıracağımızı anlamak için kalır.

Önce üçüncü dereceden determinantı daha genel bir biçimde yazalım:

Bazı numaralar nerede? Ayrıca ilk indeks ile satır numarasını, indeks ile de sütun numarasını kastediyoruz. Örneğin bu sayının ikinci satır ile üçüncü sütunun kesişiminde olduğu anlamına gelir. Hadi giyelim sonraki soru: Böyle bir determinantı tam olarak nasıl hesaplayacağız? Yani, onunla hangi spesifik sayıyı karşılaştıracağız? Üçüncü dereceden determinant için buluşsal (görsel) bir üçgen kuralı vardır, şuna benzer:

1. Ana köşegenin elemanlarının çarpımı (sol üst köşeden sağ alta kadar) ana köşegene “dik” olan birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı Ana köşegene “dik” olan ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ana diyagonal
2. İkincil köşegenin elemanlarının çarpımı (sağ üst köşeden sol alta kadar) ikincil köşegene “dik” olan birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı İkinci köşegene “dik” olan ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikincil diyagonal
3. Daha sonra determinant farka eşit adımda elde edilen değerler ve

Bütün bunları rakamlarla yazarsak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Bununla birlikte, bu formdaki hesaplama yöntemini hatırlamanıza gerek yoktur; sadece üçgenleri kafanızda tutmanız ve neyin neye ekleneceği ve daha sonra neyin neyden çıkarılacağı fikrini aklınızda tutmanız yeterlidir).

Üçgen yöntemini bir örnekle açıklayalım:

1. Belirleyiciyi hesaplayın:

Ne eklediğimizi ve ne çıkardığımızı bulalım:

Artı ile gelen terimler:

Bu ana köşegendir: elemanların çarpımı eşittir

İlk üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı eşittir"

İkinci üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı eşittir"

Üç sayıyı toplayın:

Eksi ile gelen terimler

Bu bir yan köşegendir: elemanların çarpımı eşittir

İlk üçgen, “ikincil köşegenlere dik: elemanların çarpımı şuna eşittir:

İkinci üçgen, “ikincil köşegenlere dik: elemanların çarpımı eşittir

Üç sayıyı toplayın:

Geriye kalan tek şey “artı” terimlerin toplamını “eksi” terimlerin toplamından çıkarmaktır:

Böylece,

Gördüğünüz gibi üçüncü dereceden determinantların hesaplanmasında karmaşık veya doğaüstü hiçbir şey yoktur. Üçgenleri hatırlamak ve aritmetik hatalar yapmamak önemlidir. Şimdi bunu kendiniz hesaplamaya çalışın:

Görev: Belirtilen noktalar arasındaki mesafeyi bulun:

1. Ana köşegene dik olan ilk üçgen:
2. Ana köşegene dik ikinci üçgen:
3. Artı ile terimlerin toplamı:
4. İkincil köşegene dik olan ilk üçgen:
5. Yan köşegenlere dik olan ikinci üçgen:
6. Eksili terimlerin toplamı:
7. Artı olan terimlerin toplamı eksi eksi olan terimlerin toplamı:

İşte birkaç belirleyici daha: değerlerini kendiniz hesaplayın ve cevaplarla karşılaştırın:

Yanıtlar:

Peki her şey çakıştı mı? Harika, o zaman devam edebilirsiniz! Zorluklar varsa, tavsiyem şu: İnternette determinantı çevrimiçi hesaplamak için birçok program var. İhtiyacınız olan tek şey, kendi determinantınızı bulmak, onu kendiniz hesaplamak ve ardından onu programın hesapladığıyla karşılaştırmaktır. Ve sonuçlar çakışmaya başlayana kadar böyle devam eder. Bu anın gelmesinin uzun sürmeyeceğinden eminim!

Şimdi üç noktadan geçen bir düzlemin denkleminden bahsederken yazdığım determinant konusuna geri dönelim. verilen puanlar:

İhtiyacınız olan tek şey, değerini doğrudan hesaplamak (üçgen yöntemini kullanarak) ve sonucu sıfıra ayarlamaktır. Doğal olarak bunlar değişken olduğundan onlara bağlı bazı ifadeler elde edersiniz. Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi olacak olan bu ifadedir!

Bunu basit bir örnekle açıklayalım:

1. Noktalardan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun

Bu üç nokta için bir determinant derliyoruz:

Basitleştirelim:

Şimdi bunu doğrudan üçgen kuralını kullanarak hesaplıyoruz:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ sağ| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Böylece noktalardan geçen düzlemin denklemi şu şekildedir:

Şimdi bir sorunu kendiniz çözmeye çalışın, sonra tartışacağız:

2. Noktalardan geçen düzlemin denklemini bulun

Şimdi çözümü tartışalım:

Bir determinant oluşturalım:

Ve değerini hesaplayın:

O halde düzlemin denklemi şu şekildedir:

Veya azaltarak şunu elde ederiz:

Şimdi kendi kendini kontrol etmek için iki görev:

1. Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun:

Yanıtlar:

Her şey çakıştı mı? Yine bazı zorluklar varsa o zaman tavsiyem şudur: Kafanızdan üç puan alın (ile büyük ölçüde büyük olasılıkla aynı düz çizgide uzanmayacaklardır), bunlara dayanarak bir uçak inşa edersiniz. Daha sonra kendinizi çevrimiçi olarak kontrol edersiniz. Örneğin sitede:

Ancak determinantların yardımıyla sadece düzlemin denklemini oluşturmayacağız. Hatırlayın, size vektörler için sadece nokta çarpımının tanımlanmadığını söylemiştim. Karışık çarpımın yanı sıra vektör çarpımı da vardır. Ve eğer iki vektörün skaler çarpımı bir sayı ise, o zaman iki vektörün vektör çarpımı bir vektör olacak ve bu vektör verilenlere dik olacaktır:

Üstelik modülü olacak alana eşit vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenar ve. Bu vektör Bir noktadan çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için buna ihtiyacımız olacak. Vektörlerin vektör çarpımını ve koordinatları verilmişse nasıl hesaplayabiliriz? Üçüncü dereceden determinant yine yardımımıza koşuyor. Ancak vektör çarpımını hesaplamak için kullanılan algoritmaya geçmeden önce küçük bir açıklama yapmam gerekiyor.

Bu arasöz temel vektörlerle ilgilidir.

Şekilde şematik olarak gösterilmiştir:

Neden bunlara temel denildiğini düşünüyorsunuz? Gerçek şu ki :

Veya resimde:

Bu formülün geçerliliği açıktır çünkü:

vektör çizimleri

Artık çapraz çarpımı tanıtmaya başlayabilirim:

İki vektörün vektör çarpımı bir vektördür ve aşağıdaki kurala göre hesaplanır:

Şimdi çapraz çarpımın hesaplanmasına ilişkin bazı örnekler verelim:

Örnek 1: Vektörlerin çapraz çarpımını bulun:

Çözüm: Bir determinant oluşturuyorum:

Ve bunu hesaplıyorum:

Şimdi temel vektörler üzerinden yazdıktan sonra olağan vektör gösterimine döneceğim:

Böylece:

Şimdi dene.

Hazır? Kontrol ediyoruz:

Ve geleneksel olarak iki kontrol için görevler:

1. Aşağıdaki vektörlerin vektör çarpımını bulun:
2. Aşağıdaki vektörlerin vektör çarpımını bulun:

Yanıtlar:

Üç vektörün karışık çarpımı

İhtiyacım olan son yapı üç vektörün karışık çarpımıdır. Skaler gibi bir sayıdır. Bunu hesaplamanın iki yolu vardır. - bir determinant yoluyla, - bir karma çarpım aracılığıyla.

Yani bize üç vektör verilsin:

Daha sonra ile gösterilen üç vektörün karışık çarpımı şu şekilde hesaplanabilir:

1. - yani karışık çarpım bir vektörün skaler çarpımı ile diğer iki vektörün vektör çarpımıdır

Örneğin, üç vektörün karışık çarpımı şöyledir:

Vektör çarpımını kullanarak bunu kendiniz hesaplamaya çalışın ve sonuçların eşleştiğinden emin olun!

Ve yine - iki örnek bağımsız karar:

Yanıtlar:

Koordinat sisteminin seçilmesi

Artık karmaşık stereometrik geometri problemlerini çözmek için gerekli tüm bilgi temeline sahibiz. Ancak bunları çözmek için doğrudan örneklere ve algoritmalara geçmeden önce şu soru üzerinde durmanın faydalı olacağına inanıyorum: Tam olarak nasıl belirli bir şekil için bir koordinat sistemi seçin. Sonuçta bu bir seçim göreceli konum Uzaydaki koordinat sistemleri ve şekiller, sonuçta hesaplamaların ne kadar hantal olacağını belirleyecek.

Bu bölümde aşağıdaki rakamları dikkate aldığımızı hatırlatmama izin verin:

1. Dikdörtgen paralel yüzlü
2. Düz prizma (üçgen, altıgen...)
3. Piramit (üçgen, dörtgen)
4. Tetrahedron (üçgen piramit ile aynı)

Dikdörtgen paralel yüzlü veya küp için size aşağıdaki yapıyı öneririm:

Yani figürü “köşeye” yerleştireceğim. Küp ve paralel yüzlü çok iyi figürlerdir. Onlar için köşelerinin koordinatlarını her zaman kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, eğer (resimde gösterildiği gibi)

bu durumda köşelerin koordinatları aşağıdaki gibidir:

Elbette bunu hatırlamanıza gerek yok, ancak küpü veya küpü en iyi nasıl konumlandıracağınızı unutmayın. küboid- arzu edilir.

Düz prizma

Prizma daha zararlı bir figürdür. Uzayda farklı şekillerde konumlandırılabilir. Ancak aşağıdaki seçenek bana en kabul edilebilir görünüyor:

Üçgen prizma:

Yani üçgenin kenarlarından birini tamamen eksenin üzerine yerleştiriyoruz ve köşelerden biri koordinatların orijini ile çakışıyor.

Altıgen prizma:

Yani köşelerden biri orijine denk gelir ve kenarlardan biri eksen üzerinde yer alır.

Dörtgen ve altıgen piramit:

Durum bir küpe benzer: Tabanın iki tarafını koordinat eksenleriyle hizalıyoruz ve köşelerden birini koordinatların kökeniyle hizalıyoruz. Tek hafif zorluk noktanın koordinatlarını hesaplamak olacaktır.

Altıgen bir piramit için - benzer şekilde altıgen prizma. Ana görev yine tepe noktasının koordinatlarını bulmak olacaktır.

Tetrahedron (üçgen piramit)

Durum üçgen prizma için verdiğim duruma çok benziyor: bir köşe orijine denk geliyor, bir taraf koordinat ekseninde yatıyor.

Artık sen ve ben nihayet sorunları çözmeye başlamaya yaklaştık. Makalenin en başında söylediklerimden şu sonucu çıkarabilirsiniz: C2 problemlerinin çoğu 2 kategoriye ayrılır: açı problemleri ve mesafe problemleri. Öncelikle açı bulma problemlerine bakacağız. Bunlar sırasıyla aşağıdaki kategorilere ayrılır (karmaşıklık arttıkça):

Açı bulma problemleri

1. İki düz çizgi arasındaki açıyı bulma
2. İki düzlem arasındaki açıyı bulma

Bu problemlere sırasıyla bakalım: İki düz çizgi arasındaki açıyı bularak başlayalım. Unutma, sen ve ben karar vermedik mi? benzer örnekler daha erken? Hatırlıyor musunuz, buna benzer bir şeyimiz vardı zaten... İki vektör arasındaki açıyı arıyorduk. Hatırlatayım, eğer iki vektör verilirse ve aralarındaki açı bağıntıdan bulunursa:

Şimdi amacımız iki düz çizgi arasındaki açıyı bulmak. “Düz resme” bakalım:

İki düz çizgi kesiştiğinde kaç açı elde ettik? Sadece birkaç şey. Doğru, bunlardan sadece ikisi eşit değil, diğerleri ise onlara dikey (ve dolayısıyla onlarla çakışıyor). Peki iki düz çizgi arasındaki açıyı hangi açı olarak düşünmeliyiz: veya? Burada kural şudur: iki düz çizgi arasındaki açı her zaman dereceden fazla değildir. Yani iki açıdan her zaman en küçük olan açıyı seçeceğiz. derece ölçüsü. Yani bu resimde iki düz çizgi arasındaki açı eşittir. Kurnaz matematikçiler, her seferinde iki açıdan en küçüğünü bulma zahmetine girmemek için bir modül kullanmayı önerdiler. Böylece iki düz çizgi arasındaki açı aşağıdaki formülle belirlenir:

Dikkatli bir okuyucu olarak sizin şu soruyu sormanız gerekirdi: Bir açının kosinüsünü hesaplamak için ihtiyaç duyduğumuz bu sayıları tam olarak nereden alıyoruz? Cevap: Bunları doğruların yön vektörlerinden alacağız! Böylece iki düz çizgi arasındaki açıyı bulma algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Formül 1'i uyguluyoruz.

Veya daha ayrıntılı olarak:

1. İlk düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
2. İkinci düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
3. Skaler çarpımlarının modülünü hesaplıyoruz
4. İlk vektörün uzunluğunu arıyoruz
5. İkinci vektörün uzunluğunu arıyoruz
6. 4. noktanın sonuçlarını 5. noktanın sonuçlarıyla çarpın
7. 3. noktanın sonucunu 6. noktanın sonucuna bölüyoruz. Doğrular arasındaki açının kosinüsünü alıyoruz
8. Bu sonuç açıyı doğru bir şekilde hesaplamamıza izin veriyorsa, onu ararız.
9. Aksi takdirde ark kosinüs yoluyla yazarız

Eh, şimdi sıra sorunlara geçiyor: İlk ikisinin çözümünü ayrıntılı olarak göstereceğim, diğerinin çözümünü ayrıntılı olarak sunacağım. kısaca ve son iki problem için sadece cevap vereceğim; onlar için tüm hesaplamaları kendiniz yapmalısınız.

Görevler:

1. Sağ tet-ra-ed-re'de, tet-ra-ed-ra'nın yüksekliği ile orta taraf arasındaki açıyı bulun.

2. Sağdaki altı köşeli pi-ra-mi-de'de yüz os-no-va-niya eşittir ve yan kenarlar eşittir, ve çizgileri arasındaki açıyı bulun.

3. Sağdaki dört kömürlü pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun ve eğer kesimden itibaren - verilen pi-ra-mi-dy ile iseniz, nokta bo-co-ikinci kaburga üzerinde se-re-di-dir

4. Küpün kenarında düz çizgiler arasındaki açıyı bulacak bir nokta vardır.

5. Nokta - küpün kenarlarında Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun.

Görevleri bu sıraya göre düzenlemem tesadüf değil. Henüz koordinat yönteminde gezinmeye başlamak için zamanınız olmasa da, ben en "sorunlu" rakamları kendim analiz edeceğim ve en basit küple uğraşmayı size bırakacağım! Yavaş yavaş tüm rakamlarla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekecek; konulardan konuya görevlerin karmaşıklığını artıracağım.

Sorunları çözmeye başlayalım:

1. Bir tetrahedron çizin ve daha önce önerdiğim gibi koordinat sistemine yerleştirin. Tetrahedron düzgün olduğundan tüm yüzleri (taban dahil) düzgün üçgenler. Kenarın uzunluğu verilmediğine göre bunu eşit alabilirim. Sanırım açının aslında tetrahedronumuzun ne kadar "gerildiğine" bağlı olmayacağını anladınız mı? Ayrıca tetrahedrondaki yüksekliği ve ortancayı da çizeceğim. Yol boyunca tabanını çizeceğim (bizim için de faydalı olacak).

ile arasındaki açıyı bulmam gerekiyor. Biz ne biliyoruz? Sadece noktanın koordinatını biliyoruz. Bu, noktaların koordinatlarını bulmamız gerektiği anlamına gelir. Şimdi şöyle düşünüyoruz: Bir nokta, üçgenin yüksekliklerinin (veya açıortaylarının veya kenarortaylarının) kesişme noktasıdır. Ve bir nokta yükseltilmiş bir noktadır. Nokta segmentin ortasıdır. O zaman nihayet şunu bulmamız gerekiyor: noktaların koordinatları: .

En basit şeyle başlayalım: bir noktanın koordinatları. Şekle bakın: Bir noktanın uygulamasının sıfıra eşit olduğu açıktır (nokta düzlem üzerindedir). Ordinatı eşittir (ortanca olduğu için). Apsislerini bulmak daha zordur. Ancak bu Pisagor teoremine dayanarak kolaylıkla yapılabilir: Bir üçgen düşünün. Hipotenüsü eşittir ve bacaklarından biri eşittir O halde:

Sonunda elimizde: .

Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Uygulamasının yine sıfıra eşit olduğu ve koordinatının noktanınkiyle aynı olduğu açıktır. Apsisini bulalım. Bunu hatırlarsanız, bu oldukça önemsiz bir şekilde yapılır. yükseklikler eşkenar üçgen kesişme noktası orantılı olarak bölünür, üstten sayıyorum. Çünkü: , o zaman noktanın gerekli apsisi uzunluğa eşit segment şuna eşittir: . Buna göre noktanın koordinatları şöyledir:

Noktanın koordinatlarını bulalım. Apsis ve koordinatının noktanın apsis ve koordinatıyla örtüştüğü açıktır. Ve uygulama, segmentin uzunluğuna eşittir. - bu üçgenin bacaklarından biri. Bir üçgenin hipotenüsü bir segmenttir - bir bacak. Kalın harflerle işaretlediğim nedenlerle aranıyor:

Nokta segmentin ortasıdır. O zaman parçanın orta noktasının koordinatlarının formülünü hatırlamamız gerekiyor:

İşte bu kadar, şimdi yön vektörlerinin koordinatlarını arayabiliriz:

Her şey hazır: tüm verileri formüle yerleştiriyoruz:

Böylece,

Cevap:

Bu tür "korkutucu" yanıtlardan korkmamalısınız: C2 sorunları için bu yaygın bir uygulamadır. Bu bölümdeki “güzel” cevaba şaşırmayı tercih ederim. Ayrıca, fark ettiğiniz gibi, Pisagor teoremi ve eşkenar üçgenin yükseklik özelliği dışında pratikte hiçbir şeye başvurmadım. Yani stereometrik problemi çözmek için minimum düzeyde stereometri kullandım. Bundaki kazanç oldukça hantal hesaplamalarla kısmen “söndürülmüştür”. Ama oldukça algoritmikler!

2. Koordinat sistemi ve tabanıyla birlikte düzenli bir altıgen piramidi tasvir edelim:

Çizgiler arasındaki açıyı bulmamız gerekiyor. Böylece görevimiz noktaların koordinatlarını bulmaktır: . Küçük bir çizim kullanarak son üçünün koordinatlarını bulacağız ve noktanın koordinatı üzerinden tepe noktasının koordinatını bulacağız. Yapılacak çok iş var ama başlamamız gerekiyor!

a) Koordinat: Uygulama ve ordinatının sıfıra eşit olduğu açıktır. Apsis'i bulalım. Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün. Ne yazık ki, burada sadece eşit olan hipotenüsü biliyoruz. Bacağını bulmaya çalışacağız (çünkü bacağın iki katı uzunluğunun bize noktanın apsisini vereceği açıktır). Onu nasıl arayabiliriz? Piramidin tabanında nasıl bir figür olduğunu hatırlayalım mı? Bu normal bir altıgen. Bu ne anlama geliyor? Bu, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu anlamına gelir. Böyle bir açı bulmamız gerekiyor. Herhangi bir fikir? Pek çok fikir var ama bir formül var:

Düzenli bir n-gon'un açılarının toplamı .

Böylece düzgün altıgenin açılarının toplamı dereceye eşittir. O halde açıların her biri şuna eşittir:

Fotoğrafa tekrar bakalım. Doğru parçasının açının ortaortayı olduğu açıktır. O halde açı dereceye eşittir. Daha sonra:

O zaman nereden.

Böylece koordinatları vardır

b) Artık noktanın koordinatını kolaylıkla bulabiliriz: .

c) Noktanın koordinatlarını bulun. Apsisleri segmentin uzunluğuna denk geldiğinden eşittir. Ordinatı bulmak da çok zor değil: Noktaları birleştirirsek ve düz çizginin kesişme noktasını örneğin olarak belirlersek. (basit inşaatı kendiniz yapın). O halde B noktasının ordinatı, parçaların uzunluklarının toplamına eşittir. Üçgene tekrar bakalım. Daha sonra

O zamandan bu yana noktanın koordinatları var

d) Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Dikdörtgeni düşünün ve şunu kanıtlayın: Böylece noktanın koordinatları:

e) Tepe noktasının koordinatlarını bulmak kalır. Apsis ve koordinatının noktanın apsis ve koordinatıyla örtüştüğü açıktır. Uygulamayı bulalım. O zamandan beri. Bir dik üçgen düşünün. Sorunun koşullarına göre yan kaburga. Bu benim üçgenimin hipotenüsü. O halde piramidin yüksekliği bir bacaktır.

O zaman noktanın koordinatları vardır:

İşte bu kadar, ilgimi çeken tüm noktaların koordinatları elimde. Düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin koordinatlarını arıyorum:

Bu vektörler arasındaki açıyı arıyoruz:

Cevap:

Yine, bu problemi çözerken, düzenli bir n-gon'un açılarının toplamı formülü ve ayrıca bir dik üçgenin kosinüs ve sinüs tanımı dışında herhangi bir karmaşık teknik kullanmadım.

3. Piramidin kenarlarının uzunlukları yine bize verilmediğinden onları sayacağım bire eşit. Böylece, sadece yan kenarlar değil, TÜM kenarlar birbirine eşit olduğundan, piramidin tabanında ve bende bir kare var ve yan yüzler- düzenli üçgenler. Problem metninde verilen tüm verileri not ederek böyle bir piramidi ve tabanını bir düzlem üzerine çizelim:

ile arasındaki açıyı arıyoruz. Noktaların koordinatlarını araştırırken çok kısa hesaplamalar yapacağım. Bunları “deşifre etmeniz” gerekecek:

b) - segmentin ortası. Koordinatları:

c) Pisagor teoremini kullanarak bir üçgende doğru parçasının uzunluğunu bulacağım. Bunu bir üçgende Pisagor teoremini kullanarak bulabilirim.

Koordinatlar:

d) - segmentin ortası. Koordinatları

e) Vektör koordinatları

f) Vektör koordinatları

g) Açının aranması:

Küp - en basit şekil. Eminim bunu kendi başınıza çözeceksiniz. 4. ve 5. sorunun cevapları aşağıdaki gibidir:

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulma

Basit bulmacaların zamanı bitti! Şimdi örnekler daha da karmaşık olacak. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulmak için şu şekilde ilerleyeceğiz:

1. Üç noktayı kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz
   ,
   üçüncü dereceden bir determinant kullanarak.
2. İki nokta kullanarak düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını ararız:
3. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı hesaplamak için formülü uygularız:

Gördüğünüz gibi bu formül, iki düz çizgi arasındaki açıları bulmak için kullandığımız formüle çok benziyor. Sağ taraftaki yapı tamamen aynıdır ve solda artık daha önce olduğu gibi kosinüsü değil sinüsü arıyoruz. Buna kötü bir eylem daha eklendi: Düzlemin denklemini aramak.

Ertelemeyelim çözüm örnekleri:

1. Ana-ama-va-ni-em direkt prizması-biz eşit-fakir bir üçgeniz. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

2. Batıdan dikdörtgen bir par-ral-le-le-pi-pe-de'de Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

3. Altı köşeli bir sağ prizmada tüm kenarlar eşittir. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

4. Bilinen kaburgaların os-no-va-ni-em'i ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de Bir köşe bulun, ob-ra-zo-van -taban olarak düz ve düz, griden geçen kaburga ve

5. Tepe noktası olan dik dörtgensel pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Nokta pi-ra-mi-dy'nin kenarının ortasındaysa, düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

Yine ilk iki problemi detaylı, üçüncüyü kısaca çözeceğim ve son ikisini kendi başınıza çözmenize bırakacağım. Üstelik zaten üçgen ve dörtgen piramitlerle uğraşmak zorundaydınız ama henüz prizmalarla uğraşmadınız.

Çözümler:

1. Bir prizmayı ve tabanını tasvir edelim. Bunu koordinat sistemiyle birleştirelim ve problem ifadesinde verilen tüm verileri not edelim:

Oranlara uymadığım için özür dilerim, ancak sorunu çözmek için bu aslında o kadar da önemli değil. Uçak, prizmamın basitçe "arka duvarı"dır. Böyle bir düzlemin denkleminin şu şekilde olduğunu basitçe tahmin etmek yeterlidir:

Ancak bu doğrudan gösterilebilir:

Bu düzlemde rastgele üç nokta seçelim: örneğin .

Düzlemin denklemini oluşturalım:

Kendiniz için egzersiz yapın: Bu determinantı kendiniz hesaplayın. Başardın mı? O zaman düzlemin denklemi şöyle görünür:

Ya da sadece

Böylece,

Örneği çözmek için düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını bulmam gerekiyor. Nokta koordinatların orijini ile çakıştığı için vektörün koordinatları noktanın koordinatlarıyla çakışacaktır. Bunu yapmak için önce noktanın koordinatlarını buluyoruz.

Bunu yapmak için bir üçgen düşünün. Tepe noktasından yüksekliği (medyan ve açıortay olarak da bilinir) çizelim. Çünkü noktanın ordinatı eşittir. Bu noktanın apsisini bulmak için doğru parçasının uzunluğunu hesaplamamız gerekir. Pisagor teoremine göre elimizde:

O zaman noktanın koordinatları vardır:

Nokta "yükseltilmiş" bir noktadır:

O zaman vektör koordinatları şöyledir:

Cevap:

Gördüğünüz gibi, bu tür sorunları çözerken temelde zor olan hiçbir şey yoktur. Aslında prizma gibi bir şeklin “düzlüğü” ile süreç biraz daha basitleştirilmiştir. Şimdi bir sonraki örneğe geçelim:

2. Bir paralel uçlu çizin, içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin ve ayrıca alt tabanını ayrı ayrı çizin:

İlk önce düzlemin denklemini buluyoruz: İçinde bulunan üç noktanın koordinatları:

(ilk iki koordinat net bir şekilde elde edilmiştir ve son koordinatı noktadan itibaren resimden rahatlıkla bulabilirsiniz). Daha sonra düzlemin denklemini oluştururuz:

Hesaplıyoruz:

Kılavuz vektörün koordinatlarını arıyoruz: Koordinatlarının noktanın koordinatlarıyla örtüştüğü açık değil mi? Koordinatlar nasıl bulunur? Bunlar, uygulanan eksen boyunca birer yükseltilmiş noktanın koordinatlarıdır! . Sonra istenen açıyı ararız:

Cevap:

3. Düzenli bir altıgen piramit çizin ve ardından içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin.

Burada bir düzlem çizmek bile sorunlu, bu sorunu çözmekten bahsetmiyorum bile, ancak koordinat yöntemi umursamıyor! Çok yönlülüğü ana avantajıdır!

Uçak üç noktadan geçer: . Koordinatlarını arıyoruz:

1). Son iki noktanın koordinatlarını kendiniz bulun. Bunun için altıgen piramit problemini çözmeniz gerekecek!

2) Düzlemin denklemini oluşturuyoruz:

Vektörün koordinatlarını arıyoruz: . (Üçgen piramit problemine tekrar bakın!)

3) Bir açı arıyorum:

Cevap:

Gördüğünüz gibi bu görevlerde doğaüstü derecede zor olan hiçbir şey yok. Sadece köklere çok dikkat etmeniz gerekiyor. Sadece son iki sorunun cevabını vereceğim:

Gördüğünüz gibi problemleri çözme tekniği her yerde aynıdır: Asıl görev, köşelerin koordinatlarını bulmak ve bunları belirli formüllerde değiştirmektir. Açıları hesaplamak için hala bir sınıf problemi daha ele almamız gerekiyor:

İki düzlem arasındaki açıların hesaplanması

Çözüm algoritması şu şekilde olacaktır:

1. Üç noktayı kullanarak ilk düzlemin denklemini ararız:
2. Diğer üç noktayı kullanarak ikinci düzlemin denklemini ararız:
3. Formülü uyguluyoruz:

Gördüğünüz gibi formül, düz çizgiler arasındaki ve düz çizgi ile düzlem arasındaki açıları aradığımız önceki iki formüle çok benziyor. Bu yüzden bunu hatırlamanız zor olmayacak. Görevlerin analizine geçelim:

1. Sağ üçgen prizmanın tabanının kenarı eşittir ve yan yüzün köşegeni eşittir. Düzlem ile prizmanın eksen düzlemi arasındaki açıyı bulun.

2. Tüm kenarları eşit olan sağdaki dört köşeli pi-ra-mi-de'de, kalem-di-ku- noktasından geçen düzlem ile düzlem kemiği arasındaki açının sinüsünü bulun. lyar-ama düz.

3. Normal bir dört köşeli prizmada tabanın kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Benden-che-on'un kenarında bir nokta var ki. Düzlemler arasındaki açıyı bulun ve

4. Bir dik dörtgen prizmada tabanın kenarları eşit ve yan kenarlar eşittir. Bu noktadan itibaren kenarda bir nokta var ve böylece düzlemler arasındaki açıyı bulun.

5. Bir küpte düzlemler ile düzlemler arasındaki açının kosinüsünü bulun.

Sorun çözümleri:

1. Düzenli (tabanda bir eşkenar üçgen) üçgen prizma çiziyorum ve problem ifadesinde görünen düzlemleri bunun üzerine işaretliyorum:

İki düzlemin denklemlerini bulmamız gerekiyor: Tabanın denklemi önemsizdir: karşılık gelen determinantı üç noktayı kullanarak oluşturabilirsiniz, ancak denklemi hemen oluşturacağım:

Şimdi denklemi bulalım Noktanın koordinatları vardır Nokta - Üçgenin ortancası ve yüksekliği olduğundan, üçgende Pisagor teoremi kullanılarak kolayca bulunur. O zaman noktanın koordinatları vardır: Noktanın uygulamasını bulalım. Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün.

Daha sonra aşağıdaki koordinatları elde ederiz: Düzlemin denklemini oluştururuz.

Düzlemler arasındaki açıyı hesaplıyoruz:

Cevap:

2. Çizim yapmak:

En zor şey, noktadan dik olarak geçen bunun ne tür gizemli bir düzlem olduğunu anlamaktır. Peki, asıl mesele şu ki, bu nedir? Önemli olan dikkat! Aslında çizgi diktir. Düz çizgi aynı zamanda diktir. O halde bu iki doğrunun içinden geçen düzlem, doğruya dik olacak ve bu arada, noktadan geçecektir. Bu düzlem aynı zamanda piramidin tepesinden de geçer. Sonra istenen uçak - Ve uçak zaten bize verildi. Noktaların koordinatlarını arıyoruz.

Noktanın koordinatını noktadan geçerek buluyoruz. İtibaren küçük çizim noktanın koordinatlarının şu şekilde olacağını çıkarmak kolaydır: Piramidin tepesinin koordinatlarını bulmak için şimdi ne bulunacak? Ayrıca yüksekliğini de hesaplamanız gerekir. Bu, aynı Pisagor teoremi kullanılarak yapılır: önce bunu kanıtlayın (önemsiz olarak tabanda bir kare oluşturan küçük üçgenlerden). Koşullu olarak elimizde:

Artık her şey hazır: köşe koordinatları:

Düzlemin denklemini oluşturuyoruz:

Belirleyicileri hesaplama konusunda zaten uzmansınız. Zorluk yaşamadan şunları alacaksınız:

Veya aksi takdirde (her iki tarafı da ikinin köküyle çarparsak)

Şimdi düzlemin denklemini bulalım:

(Düzlem denklemini nasıl elde ettiğimizi unutmadınız değil mi? Bu eksi birin nereden geldiğini anlamıyorsanız, o zaman düzlem denkleminin tanımına geri dönün! Her zaman ondan önce ortaya çıktı. uçağım kökene aitti!)

Belirleyiciyi hesaplıyoruz:

(Düzlemin denkleminin noktalardan geçen doğrunun denklemiyle örtüştüğünü fark edebilirsiniz! Nedenini bir düşünün!)

Şimdi açıyı hesaplayalım:

Sinüs bulmamız gerekiyor:

Cevap:

3. Zor soru: nedir bu? dikdörtgen prizma, Nasıl düşünüyorsun? Bu sadece iyi bildiğiniz bir paralelyüz! Hemen bir çizim yapalım! Tabanı ayrı ayrı tasvir etmenize bile gerek yok; burada çok az faydası var:

Daha önce de belirttiğimiz gibi düzlem bir denklem biçiminde yazılmıştır:

Şimdi bir uçak oluşturalım

Hemen düzlemin denklemini yaratıyoruz:

Bir açı arıyorum:

Şimdi son iki sorunun cevapları:

Artık biraz ara vermenin zamanı geldi çünkü sen ve ben harikayız ve harika bir iş çıkardık!

Koordinatlar ve vektörler. İleri düzey

Bu yazıda sizinle koordinat yöntemi kullanılarak çözülebilecek başka bir problem sınıfını tartışacağız: mesafe hesaplama problemleri. Yani aşağıdaki durumları ele alacağız:

1. Kesişen çizgiler arasındaki mesafenin hesaplanması.

Bu görevleri artan zorluk derecesine göre sıraladım. Bulmak en kolayı gibi görünüyor noktadan düzleme uzaklık ve en zor şey bulmaktır geçiş çizgileri arasındaki mesafe. Tabii ki hiçbir şey imkansız değildir! Ertelemeyelim ve hemen birinci sınıf sorunları ele almaya başlayalım:

Bir noktadan bir düzleme olan mesafenin hesaplanması

Bu sorunu çözmek için neye ihtiyacımız var?

1. Nokta koordinatları

Dolayısıyla gerekli tüm verileri alır almaz formülü uyguluyoruz:

Bir düzlemin denklemini nasıl oluşturduğumuzu zaten biliyor olmalısınız. önceki görevler Geçen bölümde tartıştığım şey. Hemen görevlere geçelim. Şema şu şekildedir: 1, 2 - Karar vermenize yardımcı oluyorum ve biraz ayrıntılı olarak 3, 4 - yalnızca cevap, çözümü kendiniz gerçekleştiriyorsunuz ve karşılaştırıyorsunuz. Hadi başlayalım!

Görevler:

1. Bir küp verildi. Küpün kenar uzunlukları eşittir. Se-re-di-na'dan kesimden düzleme olan mesafeyi bulun

2. Sağdaki dört kömür pi-ra-mi-evet verildiğinde, tarafın tarafı tabana eşittir. Noktadan kenarlarda - se-re-di-olan düzleme olan mesafeyi bulun.

3. Os-no-va-ni-em ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de, yan kenar eşittir ve os-no-vania'daki yüz-ro-eşittir. Üstten düzleme olan mesafeyi bulun.

4. Bir sağ altıgen prizmada tüm kenarlar eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun.

Çözümler:

1. Tek kenarlı bir küp çizin, bir doğru parçası ve bir düzlem oluşturun, parçanın ortasını bir harfle belirtin

.

Öncelikle kolay olanla başlayalım: noktanın koordinatlarını bulun. O zamandan beri (segmentin ortasının koordinatlarını hatırlayın!)

Şimdi üç noktayı kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Artık mesafeyi bulmaya başlayabilirim:

2. Tüm verileri işaretlediğimiz bir çizimle yeniden başlıyoruz!

Bir piramit için tabanını ayrı ayrı çizmek faydalı olacaktır.

Pençesiyle tavuk gibi çizim yapmam bile bu sorunu kolaylıkla çözmemize engel olmayacak!

Artık bir noktanın koordinatlarını bulmak çok kolay

Noktanın koordinatları olduğundan,

2. a noktasının koordinatları doğru parçasının ortası olduğuna göre, o zaman

Düzlemdeki iki noktanın daha koordinatlarını sorunsuz bir şekilde bulabiliriz. Düzlem için bir denklem oluşturup onu basitleştiriyoruz:

\[\sol| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 )(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Noktanın koordinatları: olduğundan mesafeyi hesaplarız:

Cevap (çok nadir!):

Peki anladın mı? Bana öyle geliyor ki burada her şey bir önceki bölümde incelediğimiz örneklerdeki kadar teknik. Bu yüzden eminim ki eğer bu materyale hakimseniz geri kalan iki problemi çözmeniz sizin için zor olmayacaktır. Size sadece cevapları vereceğim:

Düz bir çizgiden bir düzleme olan mesafenin hesaplanması

Aslında burada yeni bir şey yok. Düz bir çizgi ve bir düzlem birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? Tek bir olasılıkları var: kesişmek ya da düz bir çizginin düzleme paralel olması. Sizce bir düz çizgi ile bu doğrunun kesiştiği düzlem arasındaki mesafe nedir? Bana öyle geliyor ki burada böyle bir mesafenin sıfıra eşit olduğu açık. İlginç olmayan bir durum.

İkinci durum daha yanıltıcıdır: burada mesafe zaten sıfır değildir. Ancak doğru düzleme paralel olduğundan, doğrunun her noktası bu düzleme eşit uzaklıktadır:

Böylece:

Bu, görevimin bir öncekine indirgendiği anlamına geliyor: Düz bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz, düzlemin denklemini arıyoruz ve noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. Aslında Birleşik Devlet Sınavında bu tür görevler oldukça nadirdir. Yalnızca bir sorun bulmayı başardım ve içindeki veriler öyleydi ki koordinat yöntemi buna pek uygulanamadı!

Şimdi başka bir şeye geçelim, çok daha fazlası önemli sınıf görevler:

Bir noktanın bir çizgiye olan mesafesini hesaplama

Neye ihtiyacımız var?

1. Mesafeyi aradığımız noktanın koordinatları:

2. Bir doğru üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları

3. Düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları

Hangi formülü kullanıyoruz?

Bu kesrin paydasının ne anlama geldiği sizin için açık olmalıdır: bu, düz çizginin yönlendirici vektörünün uzunluğudur. Bu çok zor bir paydır! İfadesi, vektörlerin vektör çarpımının modülünü (uzunluğunu) ifade eder ve vektör çarpımının nasıl hesaplanacağını çalışmanın önceki bölümünde inceledik. Bilgilerinizi tazeleyin, artık buna çok ihtiyacımız olacak!

Böylece, problem çözme algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Mesafeyi aradığımız noktanın koordinatlarını arıyoruz:

2. Mesafeyi aradığımız doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz:

3. Bir vektör oluşturun

4. Düz bir çizginin yönlendirici vektörünü oluşturun

5. Vektör çarpımını hesaplayın

6. Ortaya çıkan vektörün uzunluğunu arıyoruz:

7. Mesafeyi hesaplayın:

Yapacak çok işimiz var ve örnekler oldukça karmaşık olacak! O halde şimdi tüm dikkatinizi odaklayın!

1. Tepesi olan dik üçgen bir pi-ra-mi-da verilmiştir. Pi-ra-mi-dy temelinde yüz-ro-eşittir, sen eşitsin. Gri kenardan, ve noktalarının gri kenarlar olduğu düz çizgiye ve veterinere olan mesafeyi bulun.

2. Kaburgaların uzunlukları ve düz açılı par-ral-le-le-pi-pe-da buna göre eşittir ve üstten düz çizgiye olan mesafeyi bulun

3. Bir sağ altıgen prizmada tüm kenarlar eşittir; bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulun

Çözümler:

1. Tüm verileri işaretlediğimiz düzgün bir çizim yapıyoruz:

Yapacak çok işimiz var! Öncelikle neyi arayacağımızı ve hangi sırayla araştıracağımızı kelimelerle anlatmak istiyorum:

1. Noktaların koordinatları ve

2. Nokta koordinatları

3. Noktaların koordinatları ve

4. Vektörlerin koordinatları ve

5. Çapraz çarpımları

6. Vektör uzunluğu

7. Vektör çarpımının uzunluğu

8. Uzaklık

Neyse, önümüzde çok işimiz var! Hadi kolları sıvamış olarak işe başlayalım!

1. Piramidin yüksekliğinin koordinatlarını bulmak için noktanın koordinatlarını bilmemiz gerekir. Uygulaması sıfırdır ve koordinatı apsisine eşit olduğundan parçanın yüksekliğine eşittir. bir eşkenar üçgen, buradan itibaren tepe noktasından sayılarak orana bölünür. Sonunda koordinatları aldık:

Nokta koordinatları

2. - segmentin ortası

3. - segmentin ortası

Segmentin orta noktası

4.Koordinatlar

Vektör koordinatları

5. Vektör çarpımını hesaplayın:

6. Vektör uzunluğu: Değiştirmenin en kolay yolu, parçanın üçgenin orta çizgisi olması, yani tabanın yarısına eşit olmasıdır. Bu yüzden.

7. Vektör çarpımının uzunluğunu hesaplayın:

8. Son olarak mesafeyi buluyoruz:

İşte bu! Size dürüstçe söyleyeceğim: Bu sorunun çözümü geleneksel yöntemler(inşaat yoluyla), çok daha hızlı olurdu. Ama burada hepsini özetledim hazır algoritma! Çözüm algoritmasının sizin için açık olduğunu düşünüyorum? Bu nedenle geri kalan iki sorunu kendiniz çözmenizi isteyeceğim. Cevapları karşılaştıralım mı?

Tekrar ediyorum: Bu sorunları koordinat yöntemine başvurmak yerine inşaatlarla çözmek daha kolaydır (daha hızlıdır). Bu çözüm yöntemini yalnızca size "hiçbir şey inşa etmeyi bitirmemenize" olanak tanıyan evrensel bir yöntem göstermek için gösterdim.

Son olarak, son sınıftaki sorunları ele alalım:

Kesişen çizgiler arasındaki mesafenin hesaplanması

Burada problem çözme algoritması öncekine benzer olacaktır. Neyimiz var:

3. Birinci ve ikinci çizginin noktalarını birleştiren herhangi bir vektör:

Çizgiler arasındaki mesafeyi nasıl buluruz?

Formül aşağıdaki gibidir:

Pay modüldür karışık ürün(bunu önceki bölümde tanıttık) ve payda önceki formüldeki gibidir (düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin vektör çarpımının modülü, aradığımız mesafe).

sana şunu hatırlatacağım

Daha sonra mesafe formülü şu şekilde yeniden yazılabilir::

Bu bir determinantın bir determinantla bölünmesidir! Gerçi dürüst olmak gerekirse burada şaka yapacak vaktim yok! Bu formül aslında çok hantaldır ve oldukça zorlayıcıdır karmaşık hesaplamalar. Senin yerinde olsaydım, buna yalnızca son çare olarak başvururdum!

Yukarıdaki yöntemi kullanarak birkaç sorunu çözmeye çalışalım:

1. Tüm kenarları eşit olan bir dik üçgen prizmada, düz çizgiler arasındaki mesafeyi bulun.

2. Bir dik üçgen prizma verildiğinde, tabanın tüm kenarları gövde kaburgasından geçen kesite eşittir ve se-re-di-well kaburgalar bir karedir. Düz çizgiler arasındaki mesafeyi bulun ve

Birincisine ben karar veririm ve buna göre ikincisine sen karar verirsin!

1. Bir prizma çiziyorum ve düz çizgiler çiziyorum ve

C noktasının koordinatları: o halde

Nokta koordinatları

Vektör koordinatları

Nokta koordinatları

Vektör koordinatları

Vektör koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vektörler arasındaki vektör çarpımını hesaplıyoruz ve

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Şimdi uzunluğunu hesaplıyoruz:

Cevap:

Şimdi ikinci görevi dikkatlice tamamlamaya çalışın. Bunun cevabı şu olacaktır: .

Koordinatlar ve vektörler. Kısa açıklama ve temel formüller

Bir vektör yönlendirilmiş bir bölümdür. - vektörün başlangıcı, - vektörün sonu.
Bir vektör veya ile gösterilir.

Mutlak değer vektör - vektörü temsil eden parçanın uzunluğu. Olarak belirtildi.

Vektör koordinatları:

,
\displaystyle a vektörünün uçları nerede?

Vektörlerin toplamı: .

Vektörlerin çarpımı:

Vektörlerin nokta çarpımı: