1. Cebirsel derece denklemi, formun bir denklemidir

baş katsayı nerede

En basit türler cebirsel denklemler- 1. ve 2. dereceden denklemler ve hatta 3. dereceden bazı özel denklem türleri - matematikçiler yaklaşık 4000 yıl önce eski Babil'de çözebiliyorlardı. Doğru, o uzak zamanlarda bilim adamları henüz modern olanı bilmiyorlardı matematiksel sembolizm hem denklemin kendisini hem de çözme sürecini formüllerle değil kelimelerle yazdım

2. Birinci derecenin keyfi denklemi

her zaman vardır ve dahası tek çözüm

İÇİNDE okul kursu cebirde, keyfi ikinci dereceden bir denklemin çözümüne ilişkin aşağıdaki teorem kanıtlanmıştır

Bir sayı ise denklemin formülle verilen tam olarak iki kökü vardır.

Eğer öyleyse, o zaman yalnızca bir kök vardır:

Eğer öyleyse, kökler arasındadır gerçek sayılar HAYIR.

Matematikçiler her zaman böyle bir durum ayrımından kaçınmaya çalışırlar; sayıları yalnızca daha yüksek dereceli denklemlere geçildiğinde artacaktır. Elbette şu formülasyonun olması arzu edilir: "İkinci dereceden bir denklemin iki kökü vardır." Bu, bir yandan sayı kavramının negatif sayılardan karekökler çıkarabilecek şekilde genişletilmesi, diğer yandan bazı köklerin "birkaç kez" sayılması (kavramının tanıtılması) ile başarılabilir. çoklu kök).

Her ikisi de dikkatlice yapılabilir.

3. Üçüncü derecenin genel denklemi şu şekildedir:

Bu denklemin her iki tarafını da baş katsayı A'ya bölersek - çözümler elbette bundan değişmez - formda bir denkleme ulaşırız

Yeni bir bilinmeyen miktar ekleyerek, bilinmeyeni ikinci kuvvete içeren terimden kurtulabilirsiniz, yani denklemi forma getirebilirsiniz.

üçüncü derecenin indirgenmiş denklemi denir.

Kübik denklemin köklerine ilişkin formülün keşfedilme tarihi hakkındaki bilgiler eksik ve çelişkilidir. Görünen o ki, sorunu çözmek için bir yöntem bulan ilk kişi (yaklaşık 1515) oydu. kübik denklemler Bologna Üniversitesi'nde profesör S. Ferro (1465-1526). Bağımsız olarak (1535 civarında) bu yöntem N. Tartaglia (1500-1557) tarafından keşfedilmiştir. Ancak kübik denklemin köklerine ilişkin formülü ilk yayınlayan kişi G. Cardano (1501-1576) olmuştur (çalışması 1545'te yayınlanmıştır) ve bu nedenle bu formül onun adını taşımaktadır. Cardano'nun Tartaglia ve Ferro'nun çalışmalarına aşina olabileceğini unutmayın.

Modern gösterimde denklem (1)'i çözme yöntemi aşağıdaki gibidir.

İki yeni bilinmeyeni tanıtalım; onu koyarak elimizde

Bilinmeyenler sistemi karşılıyorsa

o zaman denklem (2)'yi de karşılarlar. Sistem (3)'ün çözümü çok basittir. Birinci denklemin küpünü alıp yerine ikinci denklemdeki ifadeyi yazalım; ikinci dereceden denklemi karşıladığını buluyoruz

Buradan,

ve nihayet

Bu, Cardano'nun indirgenmiş kübik denklemi (1) çözmek için kullandığı formüldür.

Hemen sorular ortaya çıkıyor:

1) İfade durumunda ne yapılmalı?

2) Kübik denklemin kaç kökü vardır?

3) Cardano'nun formülü (4), denklem (1)'in tüm çözümlerini veriyor mu?

Bu sorular birbiriyle bağlantılıdır. Örneğin denklemin doğrulandığını doğrulamak kolaydır.

-5, 2, 3'ün çözümleri var ve tam bu durumda

dolayısıyla Cardano formülündeki karekökler anlamını yitirir ve belirtilen üç kök bu formülle ifade edilmez.

Her şey burada davadakinden daha fazlasının olduğunu gösteriyor ikinci dereceden denklemler, çıkarılması gereken bazı "yeni sayılar" tanıtılmadan yapmak imkansızdır. karekök Bu her zaman mümkündür. Bu tür sayılar 16. ve 19. yüzyıllar boyunca yavaş yavaş kullanılmaya başlandı. Bunlara karmaşık sayılar denir. Karmaşık sayılarda herhangi bir cebirsel derece denkleminin tam kökleri vardır

Örnek olarak denklemi düşünün

Oynar önemli rol teoride ve gelecekte buna ihtiyacımız olacak.

sahada karmaşık sayılar bu denklem var çeşitli çözümler Birlik derecesinin kökleri olarak adlandırılanlar:

Kübik bir denklemin çözümlerini yazmak için 1'in 3. derece köklerine ihtiyacımız var. Formül (6)'ya göre bunlar aşağıdaki karmaşık sayılar olacaktır:

İndirgenmiş kübik denklemin üç kökünün olduğu gösterilebilir.

Burada harf şunu ifade ediyor: 3. derecenin kökü, görülmesi kolay olduğu için eşittir. Bu, Cardano'nun son formülüdür.

4. 1., 2. ve 3. derece denklemler söz konusu olduğunda, rasyonel işlemleri kullanarak denklemin katsayıları aracılığıyla kökleri ifade eden formülleri biliyoruz: karekök çıkarma işlemi (ikinci dereceden denklem durumunda), işlemler kare ve kübik köklerin çıkarılması (kübik denklem durumunda). İtalyan cebirci L. Ferrari (1522-1565) G. Cardano'nun öğrencisi tarafından 4. derece denklemler için benzer kurallar belirtildi. Ayrıca yalnızca rasyonel işlemleri ve işlemleri içerirler. Neredeyse üç yüzyıl boyunca (XVI-XVIII) 5. ve daha sonraki denklemler için benzer kurallar bulmaya yönelik tüm girişimler yüksek dereceler rasyonel operasyonların yardımıyla ve operasyonlar başarılı olmadı.

Yavaş yavaş, derece denkleminin köklerini yalnızca işlemleri kullanarak ve keyfi doğal işlemler için y'yi kullanarak katsayılar cinsinden ifade etmenin genellikle imkansız olduğundan, yani bu tür denklemlerin çözümünü azaltmanın imkansız olduğundan şüphelenmeye başladılar. rasyonel işlemlerle tutarlı çözüm denklemler özel tip. Denklemlerin kökleri, yani genellikle ile gösterilenlere genellikle radikaller denir ve bu nedenle keyfi bir denklemin köklerini bulmayı, formdaki denklemleri bulmaya indirgeme olasılığı sorununa genellikle denklemlerin köklerini ifade etme sorunu denir. radikallerin denklemi.

Bu hipotezi kanıtlama veya çürütme girişimleri özellikle 18. yüzyılın ikinci yarısında sıklaştı ve XIX'in başı yüzyılda radikallerde 5. ve daha yüksek dereceli genel bir denklemin çözülmesinin imkansızlığını kanıtlamak için.

Arasında XVIII çalışır yüzyılda bu doğrultuda ünlü Fransız matematikçi J. L. Lagrange'ın (1736-1813) “Denklemlerin cebirsel çözümü üzerine söylemler” (1771-1772) başlıklı anı kitabı, düşünce netliğiyle öne çıkıyor. Yazar, bu durumlarda böyle bir çözümün nasıl ve neden mümkün olduğunu bulmak için radikallerde 2., 3. ve 4. derece denklemleri çözmek için bilinen yöntemleri ayrıntılı ve dikkatli bir şekilde analiz etti. Aynı zamanda şu duruma da dikkat çekti: Tüm bu durumlarda, daha düşük dereceli denklemleri karşılayan ve bunların radikallerde çözülebileceği zaten bilinen bazı kök fonksiyonları vardır. Kökler orijinal denklem sırasıyla bunlardan bulunabilir ara fonksiyonlar yine radikallerde çözülen denklemlerden.

Daha sonra Lagrange benzer fonksiyonların köklerinden nasıl bulunacağı sorusunu araştırıyor. bilinen vakalar. Bunların köklerdeki polinomlar olduğu ve köklerin tüm olası permütasyonları için - ve bilindiği gibi sayıları eşittir - bir değer almadığı ortaya çıktı. daha küçük sayı değerler ve hatta daha az - incelenen denklemin derecesi). Bu, köklerin bazı permütasyonlarıyla değişmediğinde gerçekleşecektir.

Radikallerde bir denklem çözme sorununda permütasyonlar böyle ortaya çıktı!

Köklerden gelen fonksiyon sadece k alıyorsa farklı anlamlar o zaman polinomun katsayıları

uzun zamandır iyi bilinen bir teoreme göre - bu, simetrik fonksiyonlarla ilgili sözde temel teoremdir - incelenen denklemin katsayıları aracılığıyla rasyonel olarak ifade edilmeleri gerekir.

4 Örnekler. 1. Alternatif bir fonksiyon olsun

güç denkleminin köklerinden. Köklerin tüm olası permütasyonları için, permütasyonun çift veya tek olmasına bağlı olarak yalnızca iki değer alır. Sonuç olarak, denklemin diskriminantı tüm olası permütasyonlarda değişmez ve incelenen denklemin katsayıları aracılığıyla rasyonel olarak ifade edilir. İkinci dereceden bir denklem için

indirgenmiş kübik denklem için

Köklerin işaret değiştirme fonksiyonu denklemleri karşılar

sırasıyla. İkinci dereceden denklem çözme formülünde karekök altındaki ve Cardano formülünde sabit bir faktöre kadar olan ifadeleri tanıyacağız.

2. Bir başka örnek Lagrange'ın yukarıda bahsettiğimiz eserinde ortaya çıkmıştır. Bunlar sözde Lagrange çözücüleridir. Bunları, Lagrange'ın kendisi gibi, 3'üncü dereceden bir denklem için ele alacağız. 1'in küp köklerini kullanma

aşağıdaki gibi tanımlanırlar:

İşte incelenmekte olan kübik denklemin kökleri. İkinci ve üçüncü çözümleyicilere dikkat edelim. Görülmesi kolay olduğu gibi, kökleri döngüsel olarak yeniden düzenlerken, bunlar yalnızca sırasıyla çarpılır. Sonuç olarak, döngüsel permütasyonlara dayanırlar ve bu nedenle denklemin katsayıları ve A aracılığıyla rasyonel olarak ifade edilirler. Karşılık gelen temsiller hesaplanabilir. Ekstraksiyon yoluyla küp kökü alabilir. Vieta teoremine göre bu, zıt işaretli katsayıdır, yani. indirgenmiş kübik denklem durumunda. Sistemden bilmek doğrusal denklemler(7), uygulanırsa elde edilebilir belirtilen hesaplamalar, ardından bunların Cardano formülleri kullanılarak hesaplandığından emin olabilirsiniz.

Benzer şekilde, ancak teknik olarak daha zor olan 4. dereceden bir denklemin radikallerde çözümünü elde edebilirsiniz. 5. derece denklemlerde ise daha düşük dereceli denklemlerde benzer bir indirgeme elde edilememiştir. Ancak Lagrange bu ihtimali dışlamadı.

Böyle bir azaltmanın temelde uygulanamaz olduğu 1799'da " Genel teoriİmkansızlığını kanıtlayan denklemler cebirsel çözüm dördüncü derecenin üzerindeki genel denklemler" İtalyan matematikçi P. Ruffini (1765-1822). Ancak kanıtında gideremediği boşluklar vardı. Doğru bir kanıt ancak 1826'da Norveçli matematikçi N. G. Abel'in (1802-1829) "Derecesi dördüncüyü aşan denklemlerin cebirsel çözülebilirliğinin imkansızlığının kanıtı" adlı çalışmasında verildi.

Söz konusu olandan daha düşük derecede denklemleri karşılayan kök fonksiyonlarının var olmamasının derin nedeni (istisna her zaman ikinci dereceden bir denklemi karşılayan alternatif bir fonksiyondur) parlak tarafından ortaya çıkarıldı Fransız matematikçi Evariste Galois (1811-1832). Galois, her denklemi, tüm polinomların değerlerini köklerden değiştirmeyen köklerinin permütasyonlarından oluşan bir grupla, katsayılara rasyonel olarak bağlı olan katsayılarla ilişkilendirdi. verilen denklem. Bu gruba artık söz konusu denklemin Galois grubu adı verilmektedir.

Bir denklemin Galois grubu kavramı şu şekilde tanıtılabilir. Bir dereceye kadar cebirsel bir denklem (bu denklemin sol tarafı) bir derece polinomu olsun.

Bir polinomun katsayıları - sayılar aynı anda bir sayı alanına - toplama, çarpma, çıkarma ve bölme işlemleri altında 0'dan farklı bir sayıyla kapatılan boş olmayan bir sayı kümesine - ait olmalıdır. Bir sayı alanı örneğin , tüm rasyonel sayıların Q kümesi. O zamandan beri gerekli kavramlar tüm sayısal alanlar için aynı şekilde girilir; bunlardan yalnızca birini dikkate almak yeterlidir. Bu nedenle polinomun katsayılarının rasyonel sayılar olduğunu varsayacağız. Ek olarak, bir polinomun tüm köklerinin farklı olduğu varsayılabilir (bu cebir derslerinde kanıtlanmıştır), yani genel olarak konuşursak denklemin farklı olduğu varsayılabilir, karmaşık kökler

Kökler arasındaki rasyonel bir ilişki, formun herhangi bir eşitliğidir

toplama işareti nerede, bu eşitliğin sol tarafındaki toplam bazı göstergeler üzerinden alınmış olup, tüm katsayılar rasyonel sayılardır. Başka bir deyişle, rasyonel ilişkinin (8) sol tarafında c'de belirli bir polinom vardır. rasyonel katsayılar. Bir denklemin kökleri arasındaki tüm rasyonel ilişkilerin kümesi yalnızca polinoma bağlıdır. Bazı polinomların kökleri arasındaki rasyonel ilişkilerin terim terim toplamı ve terim terim çarpımının aynı zamanda kökleri arasındaki rasyonel ilişkiler olacağı açıktır. Herhangi bir denklem için sıfır olmayan rasyonel ilişki örneğini göstermek kolay olduğundan, bundan şunu elde ederiz: keyfi denklem karşılık gelir sonsuz küme kökleri arasındaki rasyonel ilişkiler.

Şimdi izin ver

Denklemin kökleri kümesinde bazı permütasyonlar. Bu permütasyonu şu şekilde kullanalım: sol taraf ifadeler (8). Her monom, bir yeniden düzenlemenin etkisi altında bir monom'a dönüştürülür (tüm monomların katsayıları değişmeden kalır).

İlişkinin (8) sol tarafı aşağıdaki ifadeye dönüştürülür:

Bu sayı sıfır olmayabilir. Denklemin kökleri kümesindeki simetrik gruptan gelen tüm permütasyonlar iki kısma ayrılabilir - rasyonel ilişkiyi (8) koruyanlar ve onu ihlal edenler. Eğer permütasyonlar (8) rasyonel ilişkisini koruyorsa, bunların çarpımı ve her birine ters permütasyon yapılmasının da bu eşitliği bir üst ilişkiye dönüştüreceği açıktır. aynı tip. Başka bir deyişle, (8) ilişkisini koruyan (boş olmadığı için!) tüm olası permütasyonların kümesi bir grup oluşturur. Bu gruba denklemin Galois grubu adı verilir.

Bu Galois grubunun özelliklerine dayanarak belirli bir denklemin radikallerde çözülebilir olup olmadığı belirlenebilir. Ortaya çıkan kriter, sık görülen durumlar şeklinde, radikallerdeki cebirsel denklemlerin çözülebilirliği veya çözülemezliği hakkında önceden bilinen tüm bilgileri içerir.

Ancak bazı denklemlerin olması mümkündür. sayısal katsayılar radikallerde çözülebilir. Bunun mümkün olup olmadığı, Galois'in bulduğu işarete dayanarak yeniden belirleniyor.

Galois gruplarının özelliklerinin incelenmesi sunumumuzun kapsamı dışındadır. Sadece belirli bir denklemin Galois grubunun Abelian olması durumunda denklemin radikallerde çözülebileceğini not ediyoruz. Galois grubu dihedron gruplarından biri olan, tetrahedronun ve küpün simetri grubu olan denklemler radikallerde çözülebilir. Bunlar çözülebilir gruplar olarak adlandırılan grupların örnekleridir, yani radikallerde çözülebilen denklemlerin Galois grupları. Çözünmeyen bir grubun "en küçük" örneği, 60 permütasyondan oluşan alternatif bir gruptur; onu içeren grup da çözülemez. Radikallerde 5. dereceden genel bir denklemin çözülemezliğinden bu grupların "suçlu" olduğunu söyleyebiliriz: 5. derecenin denklemleri arasında Galois grubu veya An ile çakışanlar vardır. böyle bir denklemin örneği

Bir denklemin Galois grubu onun bu kadar önemli bir özelliği olduğundan şu soru ortaya çıkıyor: Bu grup denklemden nasıl oluşturulur? Denklemin köklerinden gelen tüm rasyonel ilişkilerin, köklerinin belirli bir permütasyonuna dayanıp dayanmadığını kontrol etmeye gerek olmadığı ortaya çıktı. Bu ilişkilerin son ve oldukça görünür kısmı için kendimizi böyle bir doğrulamayla sınırlamak yeterlidir. Burada bahsedilen son ve diğer ifadelerin kanıtı, Galois teorisinin sunumuna ayrılmış ve referanslar listesinde belirtilen kitaplardan birinde bulunabilir.

Egzersizler

1. Kübik bir denklemin diskriminant D'sini kullanarak, bu denklemin tüm köklerinin mi yoksa sadece ikisinin mi çakıştığını belirlemek imkansızdır. Bir ifade örneği veriniz; Bunun yapılmasına izin verecek belirli bir denklemin köklerinden oluşur.

5. Rasyonel sayılar alanı dışındaki sayı alanlarına örnekler verin. Soru. Formdaki tüm olası sayıların doğru olup olmadığını kontrol edin.

bir sayı alanı oluşturur.

6. Bir polinomun diskriminantının karekökü rasyonel bir sayı ise, bu polinomun Galois grubunun tamamen çift permütasyonlardan oluştuğunu kanıtlayın.

Cebirsel denklemler. Tanım

f(x) ve μ(x) fonksiyonlarının bir A kümesi üzerinde tanımlı olduğunu varsayalım. Ve bu fonksiyonların üzerinde yer aldığı bir X kümesinin bulunması gerekli olsun. eşit değerler Başka bir deyişle, eşitliğin geçerli olduğu tüm x değerlerini bulun: f(x)= q(x).

Bu formülasyonla bu eşitliğe bilinmeyen x'li denklem adı verilir.

Bilinmeyen üzerinde yalnızca cebirsel işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma) gerçekleştiriliyorsa bir denklem cebirsel olarak adlandırılır. doğal gösterge.

Cebirsel denklemler yalnızca cebirsel fonksiyonları (tamsayı, rasyonel, irrasyonel) içerir. Cebirsel denklem genel görünüm gerçek katsayılara sahip n'inci dereceden bir polinomla temsil edilebilir:

Örneğin,

A kümesine küme (alan) denir kabul edilebilir değerler Bu denklem için bilinmiyor.

X kümesine çözüm kümesi denir ve x=a çözümlerinin her biri bu denklemin köküdür. Bir denklemi çözmek, tüm çözümlerinin kümesini bulmak veya hiçbirinin olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.

Cebirsel denklemleri çözme yöntemleri

Pek çok bilimsel ve mühendislik problemleri formdaki bir denklemi çözmek gerekir

burada f(x) belirli bir sürekli doğrusal olmayan fonksiyondur.

Analitik olarak yalnızca en basit denklemlerin çözümlerini bulmak mümkündür. Çoğu durumda, (1) tipi bir denklemi sayısal yöntemler kullanarak çözmek gerekir.

Denklemin (1) sayısal çözümü genellikle iki aşamada gerçekleştirilir. İlk aşamada sadece bir kökün bulunduğu x değişkenindeki bu değişim aralıklarını bulmanız gerekiyor. Bu problem genellikle grafiksel olarak çözülür. İkinci aşamada bireysel kökler açıklığa kavuşturulur. Bunun için çeşitli yöntemler kullanılmaktadır.

Çözüm yöntemleri doğrusal olmayan denklemler doğrudan ve yinelemeli olarak ikiye ayrılır. Doğrudan yöntemler, kökleri formül biçiminde yazmanıza olanak tanır. Ancak pratikte karşılaşılan denklemler her zaman çözülememektedir. basit yöntemler. Bunları çözmek için kullanıyoruz yinelemeli yöntemler yani ardışık yaklaşım yöntemleri.

Doğrudan yöntemler - çözüm önceden bulunur bilinen numara aritmetik işlemler, karar kesindir. Örnekler: Gauss yöntemi, karekök yöntemi, Cramer kuralı vb.

Yinelemeli yöntemler, bir denklemi (sistemi) belirli bir doğrulukla çözmek için gerekli olacak aritmetik işlem sayısını tahmin etmenin imkansız olduğu ardışık yaklaşım yöntemleridir. Örnekler: yöntem basit yinelemeler, Gauss-Seidel yöntemi, bir segmenti ikiye bölme yöntemi vb.

Bu makale basit yineleme yöntemini incelemekte ve karşılaştırmaktadır. yarım bölme segment.

İsim Denklemin katsayıları verilerdir, hnaz. bilinmeyen ve istenen şeydir. A. katsayılar (1) hepsi varsayılmaz sıfıra eşit. Daha sonra çağrılırsa Denklemin derecesi.

bilinmeyenin anlamları X, denklem (1)'i karşılayanlar, yani yerine koyarken denklemi bir kimliğe dönüştürürler. Denklemin (1) kökleri ve polinomun kökleri

fn(X) = a 0 x n + a 1 x n-1 +...+a n .(2)

Bir polinomun kökleri Vieta formülleri kullanılarak katsayılarıyla ilişkilendirilir (bkz. Vieta teoremi). Bir denklemi çözmek, bilinmeyenin dikkate alınan değer aralığında yer alan tüm köklerini bulmak anlamına gelir.

Uygulamalar için en önemli durum, denklemin katsayılarının ve köklerinin şu veya bu türden sayılar (örneğin rasyonel, gerçek veya karmaşık) olmasıdır. Bu durum aynı zamanda katsayıların ve köklerin keyfi bir değişkenin unsurları olduğu durumlarda da dikkate alınır. alanlar. Eğer verilen numara(veya alan öğesi) İle - bir polinomun kökü fn(X) , o zaman göre Teorem olmadan f n(x).bölünebilir x-s iz bırakmadan. Bölme Horner'a göre yapılabilir

şeması. Numara (veya alan öğesi) çağrıldı. k-askerliğe f(x)( polinomunun kökü k- doğal sayı x-s), eğer f(x).( basit kökler polinom.

Rm alanındaki katsayılara sahip, n>0 dereceli her bir f(x) polinomunun Pn'de n'den fazla kökü vardır, her kökü kendi çokluğu kadar sayar (ve dolayısıyla n'den fazla farklı kök yoktur).

İÇİNDE cebirsel olarak kapalı alan Her derece polinomunun tam kökleri vardır (çoklukları dikkate alınarak). Bu özellikle karmaşık sayılar alanı için geçerlidir.

Pnaz alanındaki katsayılarla ps derecesinin denklemi (1). bir alan üzerinde indirgenemez R, eğer polinom (2) bu alan üzerinde indirgenemez ise, yani alan üzerindeki diğer polinomların çarpımı olarak temsil edilemiyorsa R, dereceleri daha az olan P. Aksi takdirde polinom ve karşılık gelen denklem çağrılır. verildi. Sıfır dereceli polinomların kendisi ne indirgenebilir ne de indirgenemez. Belirli bir polinomun P alanı üzerinde indirgenebilir veya indirgenemez olma özelliği, söz konusu alana bağlıdır. Bu nedenle, x 2 -2 polinomu rasyonel sayılar kümesi üzerinde indirgenemez, çünkü aksi takdirde şu şekilde olurdu: rasyonel kökler, ancak bunu gerçek sayılar alanı üzerinden sunuyoruz: x 2 - 2=(x+ TS2)(X-TS2). Aynı şekilde polinom x 2 + 1, gerçel sayılar alanında indirgenemez, ancak karmaşık sayılar alanında indirgenebilir. Genel olarak, yalnızca 1. dereceden polinomlar karmaşık sayılar alanı üzerinde indirgenemez ve herhangi bir polinom şu şekilde ayrıştırılabilir: doğrusal faktörler. Gerçek sayılar alanında, yalnızca 1. dereceden polinomlar ve 2. dereceden gerçek kökleri olmayan polinomlar indirgenemez (ve her polinom doğrusal ve indirgenemez olarak ayrıştırılabilir) kare polinomlar). Rasyonel sayılar alanı üzerinde herhangi bir dereceden indirgenemez polinomlar vardır, örneğin formun polinomları gibi. Bir polinomun rasyonel sayılar alanı üzerinde indirgenemezliği Eisenstein kriteri ile belirlenir: bir polinom için (2) tamsayı katsayılı derecenin başındakinin bölünemeyeceği şekilde p vardır P, diğer tüm katsayılar ile bölünebilir ve serbest terim o zamana kadar bölünemez, o zaman bu polinom rasyonel sayılar alanı üzerinde indirgenemez.

İzin vermek R -özel alan. Bir alan üzerinde indirgenemeyen dereceli herhangi bir polinom için R, böyle bir şey var eklenti polinomun en az bir kökünü içeren P alanı ayrıca bir polinom, yani bir alan vardır; R, burada bu polinom doğrusal faktörlere ayrıştırılabilir. Herhangi bir alan cebirsel olarak kapalıdır.

Cebirsel denklemlerin radikallerde çözülebilirliği. Herhangi bir A.u. 4'ü geçmeyen dereceler radikallerde çözülür. 2. ve 3. dereceden belirli denklem türlerine yol açan problemlerin çözümü antik Babil'de (MÖ 2000) bulunabilir (bkz. İkinci dereceden denklem, Kübik denklem).İkinci dereceden denklemleri çözme teorisinin ilk sunumu Diophantus'un “Aritmetik” kitabında (MS 3. yüzyıl) verilmiştir. Harf katsayılı 3. ve 4. derece denklemlerin radikallerdeki çözümü 16. yüzyılda İtalyan matematikçiler tarafından elde edildi. (santimetre. Cardano, Ferrari yöntemi). Bundan sonraki neredeyse 300 yıl boyunca, harf katsayıları 5'inci ve daha yüksek olan bir denklemi radikallerle çözmek için başarısız girişimlerde bulunuldu. Sonunda 1826'da N. Abel bunun imkansız olduğunu kanıtladı.

Modern formülasyon Abel teoremi: (1) × gerçek katsayılı bir derece denklemi × herhangi bir alan ve RF alanı olsun rasyonel fonksiyonlar gelen katsayılar ile İLE; daha sonra denklemin (1) kökleri (alanın bir uzantısında bulunur) P) sonlu sayıda toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemleri (bu alanda anlamlı olan) kullanılarak bu denklemin katsayıları aracılığıyla ifade edilemez. P) ve kök işaretleri (alanı genişletmede anlamlıdır) R). Başka bir deyişle, genel denklem n>4 derecesi radikallerde çözülemez (bkz. s. 226).

Ancak Abel teoremi her A'nın olduğu gerçeğini dışlamaz. verilen sayısal katsayılarla (veya katsayılar bu alanın) radikallerde çözülür. Herhangi bir türdeki herhangi bir derecedeki denklemler radikallerde çözülür (örneğin, binom denklemleri). Eksiksiz çözüm A.'nın hangi koşullar altında olduğu sorusu. radikallerde çözünür, ca. 1830 E. Galois (E. Galois).

Ana Galois teorisi A. at'nin çözülebilirliği üzerine. radikallerde şu şekilde formüle edilir: Η, K alanından katsayıları olan, K üzerinde indirgenemeyen bir polinom olsun; o zaman: 1) eğer bir denklemin en az bir kökü bu denklemin katsayıları aracılığıyla radikallerle ifade ediliyorsa ve radikallerin üsleri sıfır K'nın karakteristiğine bölünemiyorsa, o zaman bu denklemin alan üzerindeki Galois'i şöyledir: çözülebilir; 2) tersine, eğer denklemin Galois grubu f(x) = Q Krestim alanı üzerinde ve K ya sıfıra eşit ya da bu grubun bileşim faktörlerinin tüm mertebelerinden büyükse, denklemin tüm kökleri katsayıları aracılığıyla radikallerle temsil edilir ve ortaya çıkan radikallerin tüm üsleri asal sayılardır. ve bu radikallere karşılık gelen binom denklemleri alanlar üzerinde indirgenemez. Bunlar Kırım'a katılıyor.

E. Galois bu teoremi aşağıdaki durum için kanıtladı: KH rasyonel sayılar alanı; bu durumda teoremin formülasyonunda yer alan K alanının karakteristiğine ilişkin tüm koşullar gereksiz hale gelir.

Abel teoremi Galois teoreminin bir sonucudur, çünkü Galois dereceli denklem grubu ns alanı üzerindeki harf katsayılarına göre herhangi bir alandan katsayıları olan bir denklemin katsayılarının Rrasyonel fonksiyonları CN simetriktir. grup ve için karar verilemez. Herhangi biri için, radikallerde çözülemeyen rasyonel (ve hatta tamsayı) katsayılara sahip ps dereceli denklemler vardır. Böyle bir denklemin örneği, рН'nin bir asal sayı olduğu denklemdir. Galois teorisi, belirli bir algoritmanın çözümünü azaltma yöntemini kullanır. zincire daha fazla basit denklemler, isminde çözücüler bu denklemin.

Denklemlerin radikallerde çözülebilirliği geometri sorunuyla yakından ilgilidir. pergel ve cetvel kullanan yapılar, özellikle bir daireyi parçalara bölme sorunu N eşit parçalar (bkz. Bir daire polinomunun bölünmesi, ilkel kök).

Sayısal katsayılı bir bilinmeyenli cebirsel denklemler. A. u'nun köklerini bulmak için. Gerçek veya karmaşık sayılar alanındaki katsayılar 2'den yüksek olduğunda, kural olarak yaklaşık hesaplama yöntemleri kullanılır (örn. Parabol yöntemi). Bu durumda öncelikle birden fazla kökten kurtulmak uygundur. Bir c sayısı, ancak ve ancak polinom ve türevlerinin sıralı olması durumunda bir polinomun k katlı köküdür kH 1 dahil sıfıra gider. En büyüğüne bölünürse ortak bölen Bu polinom ve onun türevinin birleştirilmesi durumunda sonuç, polinomla aynı köklere sahip olan ancak yalnızca birinci katlı olan bir polinom olur. Aşağıdaki gibi polinomlar oluşturmak bile mümkündür: basit kökler Bir polinomun tüm kökleri aynı çokluğa sahiptir. Bir polinomun birden fazla kökü vardır ancak ve ancak ayrımcı sıfıra eşittir.

Sınırların ve kök sayısının belirlenmesiyle ilgili sorunlar sıklıkla ortaya çıkar. a'nın tüm köklerinin (hem gerçek hem de karmaşık) modüllerinin üst sınırının ötesinde. (1) herhangi bir karmaşık katsayı ile sayıyı alabiliriz

Gerçek katsayılar durumunda, daha doğru bir sınır genellikle şu şekilde verilir: Newton'un yöntemi. Bir tanıma doğru üst sınır pozitif kökler pozitifin alt sınırının yanı sıra üst ve alt sınırların tanımını da azaltır negatif kökler.

Gerçek köklerin sayısını belirlemenin en kolay yolu kullanmaktır. Descartes'ın teoremi. Belirli bir polinomun tüm köklerinin gerçek olduğu biliniyorsa (örneğin, gerçek bir simetrik matrisin karakteristik polinomu için olduğu gibi), o zaman Descartes teoremi tam kök sayısını verir. Bir polinom göz önüne alındığında, negatif köklerin sayısını bulmak için aynı teoremi kullanabilirsiniz. Birden fazla kökü olmayan gerçek katsayılı bir polinomun belirli bir aralıkta yer alan gerçek köklerinin tam sayısı (özellikle tüm gerçek köklerin sayısı) şu şekilde bulunabilir: Sturma kuralı. Descartes'ın teoremi özel bir durumdur Budana H Fourier teoremleri, belirli bir sabit aralıkta yer alan gerçek katsayılara sahip bir polinomun gerçek köklerinin sayısı için üst bir tahmin vermek.

Bazen insanlar özel türden kökleri bulmakla ilgilenirler, örneğin Hurwitz kriteri gerekli ve yeterli koşul Denklemin tüm köklerinin (karmaşık katsayılı) negatif gerçek kısımlara sahip olması için (bkz. Rousa H Hurwitz kriteri).

Rasyonel katsayılara sahip bir polinom için, onun tüm rasyonel köklerini hesaplamaya yönelik bir yöntem vardır. Rasyonel katsayılı bir polinom, katsayıların tüm paydalarının ortak değeriyle çarpılarak elde edilen tamsayı katsayılı bir polinomla aynı köklere sahiptir. Katsayıları tamsayı olan bir polinomun rasyonel kökleri yalnızca bunlar olabilir. indirgenemez kesirler rH'nin sayılar olduğu ve H'nin bir sayının böleni olduğu formun (ve hatta yalnızca herhangi bir tamsayı için sayının ile bölünebildiği kesirlerin kesirleri).

Eğer ise, polinomun tüm rasyonel kökleri (eğer varsa) bölen tamsayılardır ücretsiz üye ve kaba kuvvetle bulunabilir.

Cebirsel denklem sistemleri. A.U. sistemleri hakkında 1. derece bkz. Doğrusal denklem.

İki A.U. sistemi iki bilinmeyenli herhangi bir derece x ve yşu şekilde yazılabilir:

Nerede Bir bilinmeyende H polinomları X.

Eğer bir şey verirsen sayısal değer sabit katsayılı bir bilinmeyenden iki denklemden oluşan bir sistem elde edersiniz. Sonuç bu sistem aşağıdaki belirleyiciye sahip olacaktır:

Aşağıdaki ifade doğrudur: Bir sayı, ancak ve ancak polinomların ortak bir kökü varsa veya her iki baş katsayı da sıfıra eşitse, sonucun kökü olabilir.

Dolayısıyla, sistem (3)'ü çözmek için, bileşkenin tüm köklerini bulmanız, bu köklerin her birini sistem (3)'e yerleştirmeniz ve bulmanız gerekir. ortak kökler bir bilinmeyenli bu iki denklem sen. Ayrıca iki polinomun ortak köklerini bulup (3) sistemine yerleştirerek elde edilen tek bilinmeyenli denklemlerin ortak köklere sahip olup olmadığını kontrol etmek gerekir. Başka bir deyişle iki A'lık bir sistemin çözümü. iki bilinmeyenli yöntem, bir bilinmeyenli bir denklemi çözmek ve bir bilinmeyenli iki denklemin ortak köklerini hesaplamak anlamına gelir (bir bilinmeyenli iki veya daha fazla polinomun ortak kökleri, bunların en büyük ortak bölenlerinin kökleridir). - CEBİR DENKLEM, sol tarafta bilinmeyenlerde bir polinom olacak ve sağ tarafta sıfır olacak şekilde dönüştürülebilen bir denklem. Bir polinomun derecesine denklemin derecesi denir. En basit cebirsel denklemler: doğrusal denklem... ...

Resimli Ansiklopedik Sözlük İkiyi eşitleyerek elde edilen denklem cebirsel ifadeler . Örneğin, x2+xy+y2 =x+1. Bir bilinmeyenli cebirsel denklem aо + a1x + ... + anxn=0 ... biçimine dönüştürülebilir.

Büyük Ansiklopedik Sözlük cebirsel denklem - - [L.G. Bilgi teknolojisi üzerine İngilizce-Rusça sözlük. M.: Devlet Teşebbüsü TsNIIS, 2003.] Konular Bilişim teknolojisi genel olarak EN polinom denklemi ... Teknik Çevirmenin El Kitabı - iki cebirin eşitlenmesiyle elde edilen denklem. ifadeler. Örneğin, x2 + xy + y2 = x+ 1. A.y. bir bilinmeyenli x, ao + a1x+ ... + anxn = 0 ... biçimine dönüştürülebilir.

Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük Matematikte dördüncü dereceden bir denklem şu formdaki cebirsel bir denklemdir: . Cebirsel denklemler için dördüncü derece, mevcut olan en yüksek derecedir. analitik çözüm

genel biçimde radikallerde (yani herhangi bir değer için... ... Wikipedia 5'li 6. derece polinomun grafiği kritik noktalar . Altıncı derece denklem, cebirsel bir denklemdir. maksimum derece

6. Genel olarak şu şekilde yazılabilir... Vikipedi

Cebirsel denklemler – formun denklemleri değişkenlerde bir polinom nerede. Bu değişkenlere bilinmeyenler denir. Sıralı bir sayı kümesi, , , vb. ile değiştirildiğinde bu denklemi karşılar. doğru sayısal eşitlik elde edilir (örneğin, (3, 4, 5) numaralı sayıların sıralı üçlüsü denklemi karşılar, çünkü ). Bir bilinmeyenli cebirsel denklemi sağlayan sayıya o denklemin kökü denir. Karşılayan tüm sayı kümelerinin kümesi Bu denklemin birçok çözümü var. Çözümleri aynı olan iki cebirsel denkleme eşdeğer denir. Bir polinomun derecesine denklemin derecesi denir. Örneğin, - birinci dereceden bir denklem, - ikinci dereceden bir denklem ve - dördüncü derece. Birinci dereceden denklemlere doğrusal da denir (bkz. Doğrusal denklemler).

Bir bilinmeyenli cebirsel denklem son sayı kökleri ve bir cebirsel denklemin çözüm kümesi çok sayıda bilinmeyenler sonsuz sayıda belirli sayı kümesi olabilir. Bu nedenle, genellikle bilinmeyenleri olan bireysel cebirsel denklemleri değil, denklem sistemlerini dikkate alırlar ve belirli bir sistemin tüm denklemlerini aynı anda karşılayan sayı kümelerini ararlar. Tüm bu kümelerin birleşimi sistemin çözüm kümesini oluşturur. Örneğin denklem sisteminin çözüm kümesi: .

Abel'in çalışması tanındı ve matematikçiler onun kaderiyle ilgilenmeye başladı. Fransız akademik matematikçiler, Norveç'i yöneten İsveç kralına, Abel'ın kaderinde yer alma talebiyle bir mesaj gönderir. Bu arada Abel'in tüberkülozu hızla ilerliyordu ve 6 Nisan 1829'da öldü. 1. dereceden bir bilinmeyenli cebirsel denklemler zaten çözülmüştü. Eski Mısır ve Antik Babil. Babil yazarları ikinci dereceden denklemlerin yanı sıra en basit doğrusal denklem sistemlerini ve 2. derece denklemleri çözebildiler. Özel tablolar kullanarak örneğin 3. dereceden bazı denklemleri de çözdüler. Antik Yunan'da ikinci dereceden denklemler geometrik yapılar kullanılarak çözülüyordu. Yunan matematikçi Diophantus (III. Yüzyıl), cebirsel denklemleri ve bu tür denklem sistemlerini birçok bilinmeyenle çözmek için yöntemler geliştirdi. rasyonel sayılar . Örneğin denklemi rasyonel sayılarla çözdü

Bazı geometrik problemler: bir küpün ikiye katlanması, bir açının üçe bölünmesi (bkz. Antik çağın klasik problemleri), düzenli bir yedigenin inşası - kübik denklemlerin çözümüne yol açar. Çözüm sırasında konik kesitlerin (elips, parabol ve hiperbol) kesişme noktalarının bulunması gerekiyordu. Ortaçağ Doğu matematikçileri geometrik yöntemler kullanarak kübik denklemlerin çözümleri üzerinde çalıştılar. Ancak bunları çözecek bir formül bulamadılar. Batı Avrupa matematiğinin ilk büyük keşfi 16. yüzyılda elde edildi. Kübik denklemin çözümü için formül. Çünkü o zamanlar negatif sayılar gibi denklem türlerini ayrı ayrı incelemek gerekiyordu. İtalyan matematikçi S. del Ferro (1465-1526) denklemi çözdü ve çözümü damadı ve öğrencisi A. -M. Kendi kendini yetiştirmiş olağanüstü matematikçi N. Tartaglia'yı (1499-1557) bir matematik turnuvasına davet eden Fiore. Turnuvadan birkaç gün önce Tartaglia şunu buldu: genel yöntem Kübik denklemleri çözdü ve kazandı, kendisine sunulan 30 problemin tamamını hızla çözdü. Ancak Tartaglia'nın denklemi çözmek için bulduğu formül

Cebirsel sembolizmin yaratılması ve sayı kavramının karmaşık sayılara kadar genelleştirilmesi, 17.-18. yüzyıllarda bunu mümkün kıldı. araştırma genel özellikler yüksek dereceli cebirsel denklemlerin yanı sıra bir ve birkaç değişkenli polinomların genel özellikleri.

En çok biri önemli görevler 17.-18. yüzyıllarda cebirsel denklemler teorisi. 5. dereceden bir denklemi çözecek formülü bulmaktı. Birçok kuşak cebircinin sonuçsuz araştırmalarından sonra, 18. yüzyıldaki bir Fransız bilim adamının çabaları sayesinde. J. Lagrange (1736-1813), İtalyan bilim adamı P. Ruffini (1765-1822) ve Norveçli matematikçi N. Abel XVIII'in sonu- 19. yüzyılın başları 5. dereceden herhangi bir denklemin köklerini, denklemin katsayıları aracılığıyla, yalnızca aritmetik işlemler ve köklerin çıkarılmasıyla ifade etmede kullanılabilecek bir formülün olmadığı kanıtlandı. Bu çalışmalar, teorisi herhangi bir denklemin köklerinin radikallerle ifade edilip edilmediğini belirlemeyi mümkün kılan E. Galois'in çalışmasıyla tamamlandı. Bundan önce bile K.F. Gauss, denklemin köklerini kare radikallerle ifade etme problemini çözdü; pergel ve cetvel kullanarak normal bir üçgen oluşturma problemi buna indirgendi. Özellikle bu araçları kullanarak düzgün bir yedigen, dokuzgen vb. oluşturmak imkansızdır. - böyle bir yapı yalnızca aşağıdaki durumlarda mümkündür: asal sayı biçiminde veya farklı bir çarpımda asal sayılar bu tür.

Çözülecek formül arayışıyla birlikte özel denklemler Herhangi bir cebirsel denklemin köklerinin varlığı sorusu araştırıldı. 18. yüzyılda Fransız filozof ve matematikçi J. D'Alembert, derecesi sıfır olmayan, karmaşık katsayılı herhangi bir cebirsel denklemin en az bir karmaşık köke sahip olduğunu kanıtladı. D'Alembert'in kanıtında daha sonra Gauss tarafından doldurulan boşluklar vardı. Bu teoremden, derecesi 0 olan herhangi bir polinomun, doğrusal faktörlerin bir çarpımına ayrıştırılabileceği sonucu çıktı.

Şu anda cebirsel denklem sistemleri teorisi, cebirsel geometri adı verilen bağımsız bir matematik alanına dönüştü. Bu tür denklem sistemleriyle tanımlanan daha yüksek boyutlardaki çizgileri, yüzeyleri ve manifoldları inceler.

CEBİRSEL DENKLEM, F(x 1 ,…,x m)=0 formundaki bir denklemdir; burada F, bilinmeyenler olarak adlandırılan m değişkenli bir polinomdur.

Polinomun katsayılarının sabit bir ana K alanına ait olduğu varsayılmaktadır. Cebirsel bir denklemin çözümü, K alanından (veya onun) bilinmeyen değerlerin x * 1,..., x * m kümesidir. polinom F'ye yerleştirildikten sonra onu sıfıra çeviren uzantı). Cebirsel denklemler teorisinin asıl görevi, belirli bir cebirsel denklemin bir çözümü olduğu koşulları ve tüm çözüm kümesinin bir tanımını açıklığa kavuşturmaktır.

Bir bilinmeyenli cebirsel denklem şu şekildedir:

n>0 ve a 0 ≠ 0 olduğu varsayılmaktadır. n sayısına denklemin derecesi denir ve a 0, a 1 ... ve n sayıları da onun katsayılarıdır. Denklemin çözümü olan bilinmeyen x değerlerine, F(x) polinomunun köklerinin yanı sıra kökleri de denir. Eğer α denklem (1)'in kökü ise, o zaman F(x) polinomu (x-α)'ya kalansız olarak bölünür (Bezout teoremi). K ana alanının (veya uzantısının) bir α elemanına, eğer F(x) polinomu (x-α)k'ye bölünebilir ve (x-α)k'ye bölünemezse, bir cebirsel denklemin k-katlı kökü denir. +1. Birden fazla 1'in köklerine aynı zamanda bir denklemin basit kökleri de denir.

K alanından katsayıları olan n dereceli her polinomun K'da n'den fazla kökü yoktur, kökleri çoklukları dikkate alınarak sayılır. K alanı cebirsel olarak kapalıysa, bu tür her polinomun, çoklukları dikkate alınarak tam olarak n kökü vardır. Bu özellikle karmaşık sayılar C alanı (cebirin temel teoremi) için geçerlidir. Bezout teoreminden F(x)'in şu şekilde temsil edilebileceği sonucu çıkar:

burada α 1,.....α n denklemin kökleridir. Denklemin kökleri ve katsayıları Vieta formülleriyle ilişkilidir.

Derecesi n≤ 4 olan herhangi bir denklem radikallerde çözülebilir. Bu, bir denklemin kökleri için, kökleri denklemin katsayıları aracılığıyla ifade eden ve yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök çıkarma işlemlerini kullanan açık formüllerin olduğu anlamına gelir. N=2 durumunda (ikinci dereceden denklem), formüller şu şekildedir:

2. ve 3. dereceden belirli denklem türlerine indirgenen problemlerin çözümleri çivi yazılı metinlerde bulunur Antik Babil. İkinci dereceden denklemlerin çözümü teorisinin ilk sunumu Diophantus'un Aritmetiği'nde (3. yüzyıl) verilmiştir. Genel formda 3. ve 4. derece denklemlerin radikallerdeki çözümü 16. yüzyılda İtalyan matematikçiler G. Cardano ve L. Ferrari tarafından elde edildi. Bulmak için neredeyse 300 yıldır girişimlerde bulunuldu genel çözüm 4'ten büyük dereceli denklemlerin radikallerinde. 1826'da N. Abel bunun imkansız olduğunu kanıtladı (ancak, n>4 dereceli belirli denklemler için bu tür formüllerin var olma olasılığı dışlanmaz). Cebirsel bir denklemin hangi koşullar altında köklerde çözülebileceği sorusuna tam bir çözüm E. Galois (1830 civarında) tarafından elde edildi. Radikallerdeki denklemlerin çözülebilirliği sorunu, geometrik yapılar bir pergel ve bir cetvel kullanarak, özellikle bir daireyi n eşit parçaya bölmek, bir küpü ikiye katlamanın, bir açıyı üçe bölmenin ve bir dairenin karesini almanın imkansızlığının kanıtıyla.

Uygulamalar için, denklemin katsayıları ve kökleri sayı olduğunda (Z tamsayıları, Q rasyonelleri, R gerçelleri veya C karmaşık sayıları alanlarından); bu durumda, bu alanların özel özellikleri sıklıkla kullanılır (örneğin, topolojinin varlığı veya içlerindeki sıralama). Bu durumda, özel fonksiyonları kullanarak derecesi 4'ten büyük denklemleri çözmek için açık formüller elde edebilirsiniz.

R ve C katsayılı denklemlerin köklerini pratik olarak bulmak için yaklaşık yöntemler kullanılır. Gerçek katsayılı denklemlerin gerçek köklerinin sayısını yukarıdan tahmin etmek için Descartes teoremini kullanabilirsiniz: pozitif köklerin sayısı, çoklukları dikkate alınarak eşittir veya eşittir çift ​​sayı Denklemin sıfır olmayan katsayıları dizisindeki işaret değişikliği sayısından daha az.

Köklerin değerleri için çok sayıda tahmin vardır. Böylece, C alanı üzerinde |α i |, i = 1, ..., n değerleri aşmaz

Katsayılar gerçelse ve a 0 ≥a 1 ≥ ... ≥a n ≥0 ise denklemin tüm kökleri karmaşık düzlem birim çemberde.

Sürdürülebilirlik konusunun incelenmesiyle bağlantılı olarak mekanik sistemler Belirli bir F(x) polinomunun tüm köklerinin negatif gerçel kısımlara sahip olduğu soru ortaya çıkar (Routh-Hurwitz problemi). Bu tür F polinomlarına kararlı denir. Kararlı polinomlarla ilgili temel sonuçlar C. Hermite, İngiliz bilim adamı E. Routh ve Alman matematikçiler A. Hurwitz ve I. Schur'a aittir.

Cebirsel geometride çeşitli bilinmeyenlerdeki cebirsel denklem sistemleri incelenir. Ayrı bir bölüm olan Diophantine denklemleri teorisi, Q alanı gibi açık alanlar üzerinde cebirsel denklemlerin incelenmesini içerir.

Cebirsel denklem sistemi, şu şekle sahip bir denklem sistemidir:

1. derece denklem sistemleri (doğrusal denklemler) doğrusal cebirde incelenir.

Bir cebirsel denklem sisteminin çözüm sayısına ilişkin en basit sonuç k'nın olduğu durum için geçerlidir. homojen denklemler k + 1 değişkenden. Tüm x 1 * ,...,x x+1 k çözümleri, λ 1 * ..., λх k+1 * çözüm sınıflarında birleştirilir; burada λ≠0, K alanına aittir. Daha sonra olmayanların sayısı çokluklarını dikkate alarak sistemin çözümlerinin sıfır (sınıfları) genel durum F 1, ..., F k polinomlarının kuvvetlerinin çarpımına eşittir. Genellik koşulu, F 1, ..., F k polinomlarının katsayılarının bazı cebirsel çeşitliliğe ait olmamasıdır. afin uzayı A'dan kesinlikle daha küçük bir boyuta sahip katsayılar (Bezout teoremi).

Homojen olmayan cebirsel denklem sistemlerinin dikkate alındığı durumda, çözümlerinin sayısını bulmak için dereceden daha ince değişmezlerin, yani Newton çokyüzlülerin kullanılması gerekir. Eğer

burada i=(i 1 ,..i n) Є Z n o zaman bir F polinomunun Newton çokyüzlüsü, a i ≠ 0 olan i noktalarının R n uzayındaki dışbükey gövdedir. Bir aritmetik denklemler sisteminin çözümlerinin sayısı F 1 polinomlarının Newton çokyüzlüleri aracılığıyla ifade edilir. . . ,Fk.

Yandı: Mishina A.P., Proskuryakov I.V. Yüksek cebir. Doğrusal cebir polinomlar, genel cebir. M., 1965; Kurosh A.G. Yüksek cebir kursu. M., 1975; Kostrikin A.I. Cebire giriş. M., 1977; Postnikov M. M. Kararlı polinomlar. M., 1981; Fadeev D.K., Sominsky I.S. Yüksek cebirde problemler. St.Petersburg, 2001.

I. V. Proskuryakov, A. N. Parshin.