Kuvvet ifadeleri nasıl çözülür? Değişmez ifadeler

Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce en çok gezginimize dikkat edin. faydalı kaynakİçin

Şu hoş olmayan cümleyi sık sık duyarız: "Ifadeyi basitleştir." Genellikle şöyle bir canavar görürüz:

“Çok daha basit” diyoruz ama böyle bir cevap genellikle işe yaramıyor.

Şimdi sana bu tür görevlerden korkmamayı öğreteceğim.

Üstelik dersin sonunda bu örneği (sadece!) normal numara(evet, bu mektupların canı cehenneme).

Ancak bu etkinliğe başlamadan önce şunları yapabilmeniz gerekir: kesirleri ele almak Ve faktör polinomları.

Bu nedenle daha önce yapmadıysanız “” ve “” konularına mutlaka hakim olun.

Onu okudun mu? Cevabınız evet ise artık hazırsınız.

Hadi gidelim, hadi gidelim!)

Temel İfade Sadeleştirme İşlemleri

Şimdi ifadeleri basitleştirmek için kullanılan temel tekniklere bakalım.

En basit olanı

1. Benzerlerini getirmek

Benzer olanlar nelerdir? Bunu 7. sınıfta, matematikte sayılar yerine harflerin ilk kez ortaya çıktığı dönemde almıştınız.

Benzer- bunlar aynı harf kısmına sahip terimlerdir (tek terimliler).

Örneğin toplamda benzer terimler- bu benim.

Hatırlıyor musun?

Benzerini ver- birkaç benzer terimin birbirine eklenmesi ve bir terim elde edilmesi anlamına gelir.

Harfleri nasıl bir araya getirebiliriz? - sen sor.

Harflerin bir tür nesne olduğunu düşünürseniz bunu anlamak çok kolaydır.

Örneğin bir mektup bir sandalyedir. O halde ifade neye eşittir?

İki sandalye artı üç sandalye, kaç tane olacak? Aynen öyle, sandalyeler: .

Şimdi şu ifadeyi deneyin: .

Karışıklığı önlemek için izin verin farklı harfler farklı nesneleri temsil eder.

Örneğin - (her zamanki gibi) bir sandalye ve - bir masadır.

sandalyeler masalar sandalye masalar sandalyeler sandalyeler masalar

Bu terimlerdeki harflerin çarpıldığı sayılara denir katsayılar.

Örneğin, bir monomiyalde katsayı eşittir. Ve içinde eşittir.

Yani benzerlerini getirmenin kuralı şudur:

Örnekler:

Benzerlerini verin:

Yanıtlar:

2. (ve benzerdir, çünkü bu terimler aynı harf kısmına sahiptir).

2. Çarpanlara ayırma

Bu genellikle ifadelerin sadeleştirilmesinde en önemli kısımdır.

Benzerlerini verdikten sonra çoğunlukla ortaya çıkan ifadeye ihtiyaç duyulur. çarpanlara ayırmak yani ürün şeklinde sunulmaktadır.

Özellikle bu kesirlerde önemli: sonuçta kesri azaltabilmek için, Pay ve payda bir çarpım olarak temsil edilmelidir.

“” Konusunda ifadeleri çarpanlara ayırma yöntemlerini ayrıntılı olarak incelediniz, bu yüzden burada öğrendiklerinizi hatırlamanız yeterli.

Bunu yapmak için birkaç örneği çözün (bunları çarpanlara ayırmanız gerekir)

Örnekler:

Çözümler:

3. Bir kesirin azaltılması.

Peki pay ve paydanın bir kısmının üzerini çizip hayatınızdan atmaktan daha hoş ne olabilir?

Küçülmenin güzelliği bu.

Basit:

Pay ve payda aynı faktörleri içeriyorsa azaltılabilir, yani kesirden çıkarılabilir.

Bu kural bir kesrin temel özelliğinden kaynaklanır:

Yani azaltma işleminin özü şudur: Kesrin payını ve paydasını aynı sayıya (veya aynı ifadeye) böleriz.

Bir kısmı azaltmak için ihtiyacınız olan:

1) pay ve payda çarpanlara ayırmak

2) pay ve payda şunları içeriyorsa Ortak etkenler, bunların üzeri çizilebilir.

Örnekler:

Sanırım prensip açık mı?

Bir şeye dikkatinizi çekmek isterim tipik hata sözleşme yaparken. Bu konu basit olmasına rağmen birçok kişi bunu anlamadan her şeyi yanlış yapıyor azaltmak- Bunun anlamı bölmek pay ve payda aynı sayıdır.

Pay veya paydanın toplam olması durumunda kısaltma yapılmaz.

Örneğin: basitleştirmemiz gerekiyor.

Bazı insanlar bunu yapıyor: Bu kesinlikle yanlış.

Başka bir örnek: azaltın.

“En akıllı” bunu yapacak:

Söyle bana burada sorun ne? Görünüşe göre: - bu bir çarpan, yani azaltılabileceği anlamına geliyor.

Ama hayır: - bu, paydaki yalnızca bir terimin çarpanıdır, ancak payın kendisi bir bütün olarak çarpanlara ayrılmamıştır.

İşte başka bir örnek: .

Bu ifade çarpanlara ayrılmıştır; bu, onu azaltabileceğiniz, yani payı ve paydayı önce şuna, sonra da şuna bölebileceğiniz anlamına gelir:

Hemen aşağıdakilere bölebilirsiniz:

Bu tür hatalardan kaçınmak için unutmayın kolay yol Bir ifadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığı nasıl belirlenir:

Bir ifadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem “ana” işlemdir.

Yani, harf yerine bazı (herhangi) sayıları koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, son işlem çarpma ise o zaman bir çarpımımız olur (ifade çarpanlara ayrılır).

Son işlem toplama veya çıkarma ise bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla azaltılamayacağı) anlamına gelir.

Bunu güçlendirmek için birkaç örneği kendiniz çözün:

Örnekler:

Çözümler:

4. Kesirleri toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak paydaya indirgemek.

Toplama ve çıkarma sıradan kesirler- operasyon iyi biliniyor: arıyoruz ortak payda, her kesri eksik faktörle çarpın ve payları ekleyin/çıkarın.

Hatırlayalım:

Yanıtlar:

1. Paydalar ve göreceli olarak asaldır, yani ortak çarpanları yoktur. Dolayısıyla bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacak:

2. Burada ortak payda:

3. Buradaki ilk şey karışık kesirler bunları yanlış olanlara dönüştürüyoruz ve ardından olağan düzeni izliyoruz:

Kesirlerin harf içermesi tamamen farklı bir konudur, örneğin:

Basit bir şeyle başlayalım:

a) Paydalar harf içermez

Burada her şey sıradan olanla aynı sayısal kesirler: ortak paydayı bulun, her kesri eksik faktörle çarpın ve payları ekleyin/çıkarın:

Şimdi payda varsa benzerlerini verebilir ve bunları çarpanlara ayırabilirsiniz:

Kendin dene:

Yanıtlar:

b) Paydalar harflerden oluşur

Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:

· Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;

· daha sonra tüm ortak faktörleri birer birer yazıyoruz;

· ve bunları tüm diğer ortak olmayan faktörlerle çarpın.

Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için öncelikle onları asal çarpanlara ayırıyoruz:

Ortak faktörleri vurgulayalım:

Şimdi ortak faktörleri tek tek yazalım ve bunlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri de ekleyelim:

Bu ortak paydadır.

Harflere dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:

· paydaları çarpanlara ayırın;

· ortak (aynı) faktörleri belirlemek;

· tüm ortak faktörleri bir kez yazın;

· bunları diğer tüm ortak olmayan faktörlerle çarpın.

Yani sırasıyla:

1) paydaları çarpanlara ayırın:

2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:

3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:

Yani burada ortak bir payda var. İlk kesir ikinciyle çarpılmalıdır:

Bu arada, bir hile var:

Örneğin: .

Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, ancak hepsi farklı göstergelere sahip. Ortak payda şu şekilde olacaktır:

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar

bir dereceye kadar.

Görevi karmaşıklaştıralım:

Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?

Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım:

Hiçbir yerde aynı sayının bir kesrin payından ve paydasından çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmiyor. Çünkü bu doğru değil!

Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrendin?

İşte sarsılmaz bir kural daha:

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğinizde yalnızca çarpma işlemini kullanın!

Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?

Yani ile çarpın. Ve şununla çarpın:

Çarpanlara ayrılamayan ifadelere “temel faktörler” diyeceğiz.

Örneğin, bu temel bir faktördür. - Aynı. Ama hayır: çarpanlara ayrılabilir.

Peki ya ifade? Temel mi?

Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:

(“” konusunda çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).

Dolayısıyla, ifadeyi harflerle genişlettiğiniz temel faktörler bir analogdur. asal faktörler sayıları ayrıştırdığınız yer. Biz de onlarla aynı şekilde ilgileneceğiz.

Her iki paydanın da çarpanının olduğunu görüyoruz. Dereceye kadar ortak paydaya gidecektir (nedenini hatırlıyor musunuz?).

Faktör temeldir ve ortak bir faktörü yoktur; bu, ilk kesirin onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce bunları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmeniz gerekiyor. İkisi de şunları temsil ediyor:

Harika! Daha sonra:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayıralım. İlk paydayı basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:

Görünüşe göre hiçbir ortak faktör yok. Ama yakından bakarsanız benzer olduklarını görürsünüz... Ve bu doğru:

Öyleyse yazalım:

Yani şu şekilde ortaya çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesirin önündeki işaret de tersine değişti. Bunu sık sık yapmanız gerekeceğini unutmayın.

Şimdi bunu ortak bir paydada buluşturalım:

Anladım? Şimdi kontrol edelim.

Bağımsız çözüm için görevler:

Yanıtlar:

5. Kesirlerde çarpma ve bölme.

Artık işin en zor kısmı bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:

Prosedür

Sayma prosedürü nedir? sayısal ifade? Bu ifadenin anlamını hesaplayarak şunu hatırlayın:

Saydın mı?

İşe yaramalı.

O halde hatırlatmama izin verin.

İlk adım dereceyi hesaplamaktır.

İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birden fazla çarpma ve bölme işlemi varsa bunlar herhangi bir sırayla yapılabilir.

Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Yine herhangi bir sırayla.

Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!

Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi hesaplar, sonra bunları çarpar veya böleriz.

Ya parantezlerin içinde daha fazla parantez varsa? Peki, düşünelim: parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi hesaplarken ilk önce ne yapmalısınız? Doğru, parantezleri hesaplayın. Bunu anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra her şeyi hesaplıyoruz.

Yani yukarıdaki ifadenin prosedürü şu şekildedir (mevcut eylem kırmızıyla vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):

Tamam, her şey çok basit.

Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil değil mi?

Hayır, aynı! Yalnızca aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan eylemleri yapmanız gerekir: benzerini getirmek, kesirleri ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma işlemi olacaktır (bunu kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırmak için I kullanmanız veya yalnızca çıkarmanız gerekir. ortak çarpan parantezlerin dışında.

Genellikle amacımız ifadeyi bir çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.

Örneğin:

İfadeyi sadeleştirelim.

1) Öncelikle parantez içindeki ifadeyi basitleştiriyoruz. Orada kesir farkımız var ve amacımız bunu çarpım veya bölüm olarak sunmak. Böylece kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:

Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır; buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hâlâ hatırlıyor musunuz?).

2) Şunu elde ederiz:

Kesirlerin çarpılması: daha basit ne olabilir?

3) Artık kısaltabilirsiniz:

Tamam artık her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?

Başka bir örnek:

Ifadeyi basitleştir.

Öncelikle sorunu kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.

Çözüm:

Öncelikle eylem sırasını belirleyelim.

Öncelikle parantez içindeki kesirleri toplayalım, böylece iki kesir yerine bir kesir elde ederiz.

Daha sonra kesirlerde bölme işlemi yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekleyelim.

Adımları şematik olarak numaralandıracağım:

Son olarak size iki yararlı ipucu vereceğim:

1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Ülkemizde benzerleri ne zaman ortaya çıkarsa çıksın, hemen gündeme getirilmesinde fayda var.

2. Aynı şey kesirlerin azaltılması için de geçerlidir: azaltma fırsatı ortaya çıktığı anda bundan yararlanılmalıdır. Bunun istisnası, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirler içindir: eğer şimdi aynı paydalar, bu durumda azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.

İşte kendi başınıza çözebileceğiniz bazı görevler:

Ve en başında vaat edilen şey:

Yanıtlar:

Çözümler (kısa):

En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız, konuya hakim olduğunuzu düşünün.

Şimdi öğrenmeye geçelim!

İFADELERİ DÖNÜŞTÜRME. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Temel basitleştirme işlemleri:

• Benzerini getirmek: Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
• Faktorizasyon: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak, uygulamak vb.
• Bir kesirin azaltılması: Bir kesrin payı ve paydası, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir; bu, kesrin değerini değiştirmez.
  1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
  2) Pay ve paydanın ortak çarpanları varsa bunların üzeri çizilebilir.

  ÖNEMLİ: yalnızca çarpanlar azaltılabilir!

• Kesirleri toplama ve çıkarma:
  ;
• Kesirlerle çarpma ve bölme:
  ;

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

İçin başarılı tamamlama Birleşik Devlet Sınavı, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin yanı sıra harfli ifadelerin de kullanıldığı cebirsel ifadeye kesirli cebirsel ifade denir. Bunlar, örneğin, ifadeler

İki tam sayının bölümü şeklinde olan cebirsel ifadeye cebirsel kesir diyoruz. cebirsel ifadeler(örneğin, tek terimli veya polinomlar). Bunlar, örneğin, ifadeler

İfadelerden üçüncüsü).

Kesirli cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri çoğunlukla bunları formda temsil etmeyi amaçlamaktadır. cebirsel kesir. Ortak paydayı bulmak için, kesirlerin paydalarının çarpanlara ayrılması - en küçük ortak katlarını bulmak için kullanılan terimler - kullanılır. Cebirsel kesirleri azaltırken, ifadelerin kesin kimliği ihlal edilebilir: indirgemenin yapıldığı faktörün sıfır olduğu miktarların değerlerini hariç tutmak gerekir.

Örnekler verelim kimlik dönüşümleri kesirli cebirsel ifadeler.

Örnek 1: Bir ifadeyi basitleştirme

Tüm terimler ortak bir paydaya indirgenebilir (son terimin paydasındaki işareti ve önündeki işareti değiştirmek uygundur):

İfademiz bu değerler dışındaki tüm değerler için bire eşittir; tanımsızdır ve kesirin azaltılması yasaktır).

Örnek 2. İfadeyi cebirsel kesir olarak temsil edin

Çözüm. İfade ortak bir payda olarak alınabilir. Sırayla buluyoruz:

Egzersizler

1. Cebirsel ifadelerin değerlerini bulun belirtilen değerler parametreler:

2. Çarpanlara ayırın.

Arasında çeşitli ifadeler cebirde ele alınan, önemli yer tek terimlilerin toplamını işgal eder. İşte bu tür ifadelere örnekler:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Monomların toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun terimleri denir. Tek terimlilerin bir üyeden oluşan bir polinom olduğu düşünüldüğünde, monomiyaller polinomlar olarak da sınıflandırılır.

Örneğin, bir polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
basitleştirilebilir.

Tüm terimleri tek terimli formda temsil edelim standart görünüm:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Ortaya çıkan polinomdaki benzer terimleri sunalım:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Sonuç, tüm terimleri standart formun monomları olan ve aralarında benzer olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.

Arka polinom derecesi standart bir biçimde üyelerinin yetkilerinden en yüksek olanı alır. Böylece, \(12a^2b - 7b\) binom üçüncü dereceye, \(2b^2 -7b + 6\) ise ikinci dereceye sahiptir.

Tipik olarak, bir değişken içeren standart formdaki polinomların terimleri, üslerin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Birkaç polinomun toplamı standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).

Bazen bir polinomun terimlerinin gruplara bölünmesi ve her grubun parantez içine alınması gerekir. Kapalı parantez, açılan parantezlerin ters dönüşümü olduğundan formüle edilmesi kolaydır. Parantez açma kuralları:

Parantezlerin önüne “+” işareti konulursa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.

Parantezlerin önüne “-” işareti konulursa parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.

Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Kullanarak dağılma özelliğiçarpmalar bir polinoma, bir monom ve bir polinomun çarpımına dönüştürülebilir (basitleştirilebilir). Örneğin:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir teriminin çarpımlarının toplamına tamamen eşittir.

Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.

Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her bir terimiyle çarpmanız gerekir.

Bir toplamla çarpmak için bu kuralı zaten birkaç kez kullandık.

Polinomların çarpımı. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her terimi ile diğerinin her teriminin çarpımının toplamına özdeştir.

Genellikle aşağıdaki kural kullanılır.

Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Kareler toplamı, farklar ve kareler farkı

Cebirsel dönüşümlerde bazı ifadelerle diğerlerinden daha sık uğraşmanız gerekir. Belki de en yaygın ifadeler \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ve \(a^2 - b^2 \), yani toplamın karesi, karelerin farkı ve farkı. İsimlere dikkat ettiniz mi? belirtilen ifadeler sanki tamamlanmamış gibi, örneğin \((a + b)^2 \) elbette sadece toplamın karesi değil, aynı zamanda a ve b toplamının da karesidir. Ancak a ve b toplamının karesi kural olarak çok sık görülmez; a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ifadeleri kolayca standart formdaki polinomlara dönüştürülebilir (basitleştirilebilir), aslında, polinomları çarparken bu görevle zaten karşılaştınız:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ortaya çıkan kimlikleri hatırlayıp, ara hesaplamalar yapmadan uygulamakta fayda var. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - toplamın karesi toplamına eşit kareler ve ürünü ikiye katlayın.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farkın karesi, iki katı çarpım olmadan karelerin toplamına eşittir.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kareler farkı, farkın ve toplamın çarpımına eşittir.

Bu üç kimlik, dönüşümlerde kişinin sol kısımlarını sağ taraftaki kısımlarla değiştirmesine ve sağ taraftaki kısımları da sol taraftaki kısımlarla değiştirmesine olanak tanır. En zor şey karşılık gelen ifadeleri görmek ve a ve b değişkenlerinin bunların içinde nasıl değiştirildiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.

§ 1 Gerçek bir ifadeyi basitleştirme kavramı

Bu derste “benzer terimler” kavramıyla tanışacağız ve örnekler kullanarak benzer terimlerin indirgenmesini, böylece gerçek ifadelerin nasıl basitleştirileceğini öğreneceğiz.

“Basitleştirme” kavramının anlamını bulalım. “Basitleştirme” sözcüğü “basitleştirme” sözcüğünden türetilmiştir. Basitleştirmek, basitleştirmek, daha basit hale getirmek anlamına gelir. Bu nedenle, harfi harfine ifadeyi basitleştirmek, onu kısaltmak anlamına gelir; minimum miktar hareketler.

9x + 4x ifadesini düşünün. Bu bir toplam olan gerçek bir ifadedir. Buradaki terimler bir sayı ve bir harfin ürünleri olarak sunulmaktadır. Bu tür terimlerin sayısal faktörüne katsayı denir. Bu ifadede katsayılar 9 ve 4 sayıları olacaktır. Harfin temsil ettiği çarpanın bu toplamın her iki teriminde de aynı olduğuna dikkat ediniz.

Çarpmanın dağılım yasasını hatırlayalım:

Bir toplamı bir sayıyla çarpmak için her terimi bu sayıyla çarpabilir ve elde edilen çarpımları ekleyebilirsiniz.

İÇİNDE Genel görünümşu şekilde yazılır: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Bu yasa her iki yönde de doğrudur ac + bc = (a + b) ∙ c

Bunu harfi harfine ifademize uygulayalım: 9x ile 4x'in çarpımlarının toplamı, birinci çarpanı 9 ile 4'ün toplamına eşit olan ve ikinci çarpanı x olan bir çarpıma eşittir.

9 + 4 = 13, yani 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

İfadede üç işlem yerine tek bir işlem kalıyor; çarpma. Bu, harfiyen ifademizi daha basit hale getirdiğimiz anlamına gelir; basitleştirdi.

§ 2 Benzer terimlerin azaltılması

9x ve 4x terimleri yalnızca katsayılarında farklılık gösterir - bu tür terimlere benzer denir. Benzer terimlerin harf kısımları aynıdır. Benzer terimler aynı zamanda sayıları ve eşit terimleri de içerir.

Örneğin, 9a + 12 - 15 ifadesinde benzer terimler 12 ve -15 sayıları olacak ve 12 ve 6a'nın çarpımının, 14 sayısı ile 12 ve 6a'nın çarpımının toplamında (12 ∙ 6a + 14) olacaktır. + 12 ∙ 6a) 12 ve 6a'nın çarpımı ile temsil edilen eşit terimler.

Katsayıları eşit ancak harf faktörleri farklı olan terimlerin benzer olmadığını belirtmek önemlidir; ancak bazen bunlara dağıtım çarpma yasasını uygulamak yararlı olabilir; örneğin, 5x ve 5y çarpımlarının toplamı şöyledir: 5 sayısının çarpımı ile x ve y'nin toplamına eşittir

5x + 5y = 5(x + y).

-9a + 15a - 4 + 10 ifadesini basitleştirelim.

Benzer terimler bu durumda-9a ve 15a terimleridir, çünkü bunlar yalnızca katsayıları bakımından farklılık gösterir. Harf çarpanları aynıdır ve sayı oldukları için -4 ve 10 terimleri de benzerdir. Benzer terimleri ekleyin:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Şunu elde ederiz: 6a + 6.

İfadeyi basitleştirerek benzer terimlerin toplamlarını bulduk; matematikte buna benzer terimlerin indirgenmesi denir.

Bu tür terimleri eklemek zorsa, onlar için kelimeler bulabilir ve nesneler ekleyebilirsiniz.

Örneğin şu ifadeyi düşünün:

Her harf için kendi nesnemizi alırız: b-elma, c-armut, sonra şunu elde ederiz: 2 elma eksi 5 armut artı 8 armut.

Armutları elmalardan çıkarabilir miyiz? Tabii ki değil. Ama eksi 5 armuta 8 armut ekleyebiliriz.

Benzer terimleri sunalım -5 armut + 8 armut. Benzer terimlerin harf kısmı aynı olduğundan benzer terimleri getirirken katsayıları toplayıp harf kısmını sonuca eklemek yeterlidir:

(-5 + 8) armut - 3 armut alırsınız.

Kelimenin tam anlamıyla ifademize dönersek -5 s + 8 s = 3 s elde ederiz. Böylece benzer terimler getirilerek 2b + 3c ifadesi elde edilir.

Yani bu derste "benzer terimler" kavramıyla tanıştınız ve benzer terimleri azaltarak harfli ifadeleri nasıl basitleştireceğinizi öğrendiniz.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Matematik. 6. sınıf: ders planları ders kitabına I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // yazar-derleyici L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematik. 6. sınıf: öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovich - M .: Mnemosyne, 2013.
3. Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ve diğerleri/düzenleyen: G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Rusya Bilimler Akademisi, Rusya Eğitim Akademisi. M.: “Aydınlanma”, 2010.
4. Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için çalışma/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. Matematik. 6. sınıf: ders kitabı/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Kullanılan görseller: